Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций
Отримано асимптотично точні оцінки найкращих (α,β) -наближень класів Wʳ₁;γ,δ для натуральних r алгебраїчними поліномами в середньому. Asymptotically sharp estimates are obtained for the best (α,β) -approximations of the classes Wʳ₁;γ,δ with natural r by algebraic polynomials in the mean....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166251 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций / В.П. Моторный, А.Н. Пасько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 798–808. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860153448149811200 |
|---|---|
| author | Моторный, В.П. Пасько, А.Н. |
| author_facet | Моторный, В.П. Пасько, А.Н. |
| citation_txt | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций / В.П. Моторный, А.Н. Пасько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 798–808. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Отримано асимптотично точні оцінки найкращих (α,β) -наближень класів Wʳ₁;γ,δ для натуральних r алгебраїчними поліномами в середньому.
Asymptotically sharp estimates are obtained for the best (α,β) -approximations of the classes Wʳ₁;γ,δ with natural r by algebraic polynomials in the mean.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:52:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
© !. ". #$%$&'(), *. ' . "*+,-$, 20 11
798 ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 6
./- 517.50
!. ". #$%$&'(), *. +. ",-./$ (/123453264. 178. 91-6)
012+34 +*4567849 +2: 4##2;<47+=9
"<4>54?2+4@ +2:4##2; <47+=9
35*::0! A6+314@
Asymptotically sharp estimates are obtained for the best (! , " ) -approximations of the classes W1; ! ,"
r with
natural r by algebraic polynomials in the mean.
$64:;715 7<:;3656:=15 65=1> 58>1?: 17@?47A:B (! , " ) -17CD:E21F ?D7<>G W1; ! ,"
r HDI 176947DF1:B r
7DJ2C47K=1:;: 35D>15;7;: G <242H1F5;9.
!BCDC'EC. &7<<;564:; 345<6471<6G5 Lp[! 1,1] , 1 ! p < " , 0000:L;24:;MB 17 [ ! 1,1]
N91?8:@ f , HDI ?5654MB f (x) p dx
! 1
1
" < # , <17CE21152 154;5@
f p;[ ! 1,1] = f (x) p dx
! 1
1
"
#
$
%
&
'
(
1/ p
.
"5H L! [" 1,1] 351:;726<I 345<6471<6G5 G<2B <9A2<6G2115 5J471:=211MB 17
[ ! 1,1] N91?8:@ f , <17CE21152 154;5@ f ! ;[ " 1,1] = vrai sup
x#[ " 1,1]
f (x) .
"9<6F f ! L1[" 1,1] , ! n Ñ ;15E2<6G5 G<2B 7DJ2C47:=2<?:B ;15J5=D215G <62-
321: 12 GMO2 n . !2D:=:1M En( f )1 = inf
p! " n
f # p 1;[-1,1] 17LMG7P6<I 17:D9=O: -
;: 34 :CD:E21:I;: N91?8:: f 7DJ2C47:=2<?:;: ;15J5=D217;: G <42H12;. '7:-
D9=O:2 34:CD:E21:I G <42H12; 7DJ2C47:=2<?:;: 35D:15;7;: ?D7<<7 N91?8:@
W ! L1[" 1,1] 5342H2DIP6<I 47G21<6G5; En (W )1 = sup
f ! W
En ( f )1 .
"9<6F W1
r Ñ ?D7<< L7H711MB 17 5642L?2 [ ! 1,1] N91?8:@ f 67?:B, =65
f (r ! 1) 7C<5DP615 123424MG17 17 Q65; 5642L?2, 7 f (r)
1;[ ! 1,1]
" 1. +. #. ': ?5DF-
<?:@ [1] 9<6715G:D 7<:;3656:=2<?: 65=19P 5821?9 17:D9=O:B 34:CD:E21:@
?D7<<7 W1
r 7DJ2C47:=2<?:;: ;15J5=D217;: G <42H12;
En (W1
r )1 =
Kr
nr
+ o 1
nr
!
"#
$
%&
, (1)
JH2 Kr = 4
!
(" 1)k(r+1)
2k + 1( )r+1k=0
#$ Ñ 35<65I117I R7G747.
!. *. -5N715G [2] 17O2D 65=1M2 L17=21:I 17:D9=O:B 34:CD:E21:@ G <42H12;
?D7<<7 W1
r
$ST'-U '*UV.WXUY 'T+ U##T%&UW'(Y "&UZVU[T 'U) É 799
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
En(W1
r )1 = Sn,r ! ;[ " 1,1]
HDI n ! r " 1, JH2 Sn,r Ñ :H27DF1M@ <3D7@1, 5342H2D211M@ 47G21<6G5;
Sn,r (x) =
1
r ! 1( )!
(x ! u)+
r ! 1signsin(n + 2)arccosu du
! 1
1
" ,
7 9<2=2117I <6232117I N91?8:I (x ! u)+
r ! 1 5342H2DI26<I 67?:
(x ! u)+
r ! 1 :=
(x ! u)r ! 1, x > u,
0, x " u.
#
$
%
&%
$H17?5 65=1M2 L17=21:I 154; <3D7@15G Sn,r 12:LG2<61M, 35Q65;9 7<:;3 656: -
=2<?: 65=17I 5821?7 (1) 12 624I26 7?697DF15<6:.
"9<6F f Ñ <9;;:492;7I 17 [ ! 1,1] N91?8:I. &7<<;564:; G2D:=:1M
En
+( f )1 = inf f ! p 1;[! 1,1] : p " #n, p(x) $ f (x) %x " [ ! 1,1]{ } ,
En
! ( f )1 = inf f ! p 1;[! 1,1] : p " #n, p(x) $ f (x) %x " [ ! 1,1]{ } .
!2D:=:17 En
+ ( f )1 (<556G26<6G2115 En
! ( f )1 ) 17LMG726<I 17:D9=O:; 5H15<65-
4511:; 34:CD:E21:2; <G24B9 (<556G26<6G2115 <1:L9) N91?8:: f 7DJ2C47:=2<?: -
;: ;15J5=D217;: G <42H12;. ! <D9=72, 2<D: f 12 5J471:=217 <G24B9, <=:672;,
=65 En
+ f( ) 1 = ! , 2<D: E2 f 12 5J471:=217 <1:L9, 65 35D7J72;, =65 En
! ( f )1 =
= ! . '7:D9=O:2 5H15<654511:2 34:CD:E21:I ?D7<<7 W 5342H2DIP6<I <671-
H7461M; 5C47L5;:
En±(W )1 = sup
f ! W
En±( f )1.
%5=1M2 L17=21:I 17:D9=O:B 5H15<6545101:B 34:CD:E21:@ ?D7<<5G W1
r 34:
82DMB r ! 2 17@H21M !. R. Z7C21?5 : !. *. -5N715GM; [3]:
En
±(W1
r )1 = max Sn,r
+
! ;[ " 1,1]
, Sn,r
"
! ;[ " 1,1]{ } ,
JH2 Sn,r
+ (x) , Sn,r
! (x) , n ! r " 1, Ñ 12?5654M2 <3D7@1M. $H17?5 65=1M2 L17=21:I
154; Q6:B <3D7@15G 12:LG2<61M, 35Q65;9 G 47C562 !. ". #565415J5 : *. '. "7<F?5
[4] CMD7 35D9=217 7<:;3656:=2<?: 65=17I 5821?7 G2D:=:1 En
±(W1
r )1 : 34: G<2B
82DMB r ! 1
En
±(W1
r )1 =
2
nr sup
x
Br (x) + O
1
nr +1
!
"#
$
%&
, (2)
800 !. ". #$%$&'(), *. ' . "*+,-$
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
JH2 Br (x) =
cos kx ! " r
2( )
krk=1
#$ Ñ IH45 Z2419DD:, 7 ?51<67167, 5342H2DIPA7I
5<6765=1M@ =D21, L7G:<:6 65DF?5 56 r .
"9<6F ! Ñ G2<5G7I N91?8:I, 6. 2. N91?8:I, 12564:8762DF17I : <9;;:492;7I
17 5642L?2 [ ! 1,1] . $342H2D:; 17:D9=O:2 5H15<654511:2 34:CD:E21:I < G2<5; !
<D2H9PA:; 5C47L5;:
En
+( f )1,! = inf p(x) " f (x)( )!(x)dx
"1
1
# : p $%n, p(x) & f (x) 'x $["1,1]
(
)
*
+*
,
-
*
.*
,
En
! ( f )1," = inf f (x) ! p(x)( ) " (x)dx
! 1
1
# : p $ %n, p(x) & f (x) ' x $ [! 1,1]
(
)
*
+*
,
-
*
.*
,
En
±(W)1,! = sup
f " W
En
±( f )1,! .
! 47C562 !. ". #565415J5 : *. '. "7<F?5 [5] 5821?7 (2) CMD7 5C5CA217 17 <D9-
=7@ 17:D9=O:B 5H15<654511:B 34:CD:E21:@ < G2<5;: HDI DPC5@ G2<5G5@ N91?8::
! , 9H5GD26G54IPA2@ 1247G21<6G7;
1! x2 " # x( ) "
1
1! x2
, x ! [" 1,1] ,
: DPC5J5 82D5J5 r ! 1 :;226 ;2<65 47G21<6G5
En
± (W1
r )1,! = 2
nr sup
x
Br (x) + O
1
nr+1
"
#$
%
&'
,
JH2 ?51<67167, 5342H2DIPA7I 5<6765=1M@ =D21, L7G:<:6 65DF?5 56 r .
"9<6F L7H71M 35D5E:62DF1M2 =:<D7 ! , ! . &7<<;564:; 5342H2D211M@ 17
345<6471<6G2 Lp[! 1,1] , 1 ! p ! " , N91?8:517D
f p;[ ! 1,1];(" ,#) = " f+ + #f! p;[ ! 1,1] , JH2 f± (x) = max ± f (x), 0{ } ,
17LMG72;M@ (! , " ) -154;5@. \656 N91?8:517D IGDI26<I 12<:;;264:=15@ 154;5@ G
65; <;M<D2, =65 HDI 12J5 GM35D1IP6<I G<2 7?<:5;M 154;M, L7 :<?DP=21:2; 47-
G21<6G7 ! f = ! f , ?565452 GM35D1I26<I D:OF HDI 35D5E:62DF1MB ! .
+:;G5D5; Lp , 1 ! p < " , 5C5L17=:; 345<6471<6G5 :L;24:;MB 2! -324:5H:-
=2<?:B N91?8:@ f , HDI ?5654MB f (t) p dt
0
2!
" < # , <17CE21152 154;5@
f p = f (t) p dt
0
2!
"
#
$
%
&
'
(
1/ p
.
"5H L! C9H2; 351:;76F 345<6471<6G5 G<2B <9A2<6G2115 5J471:=211MB 2! -32-
4:5H:=2<?:B N91?8:@ f , <17CE21152 154;5@ f ! = vrai sup
t
f (t) .
$ST'-U '*UV.WXUY 'T+ U##T%&UW'(Y "&UZVU[T 'U) É 801
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
/DI 35D5E:62DF1MB =:<2D ! , ! 17 345<6471<6G2 Lp , 1 ! p ! " , 67?E2
GG5H:6<I 17LMG72;M@ (! , " ) -154;5@ N91?8:517D f p;(! ," ) = ! f+ + " f# p .
/DI DPC5@ <9;;:492;5@ 17 5642L?2 [ ! 1,1] N91?8:: f 5342H2D:; 17:-
D9=O22 (! , " ) -34:CD:E21:2 G <42H12; 7DJ2C47:=2<?:;: 35D:15;7;: ?7?
En
! ," ( f )1 = inf
p#$n
f %p 1;[%1,1];(! ," ) .
'7:D9=O22 (! , " ) -34:CD:E21:2 G <42H12; ?D7<<7 W 5342H2DI26<I 47G21<6-
G5;
En
! ," (W)1 = sup
f #W
En
! ," ( f )1 .
/DI DPCMB ! > 0 , ! > 0 47<<;564:; ?D7<< W1;! ,"
r L7H711MB 17 5642L?2
[ ! 1,1] N91?8:@ f 67?:B, =65 f (r ! 1) 7C<5DP615 123424MG17 17 Q65; 5642L?2, 7
r -I 345:LG5H17I 9H5GD26G54I26 9<D5G:P f (r )
1;[ ! 1,1];(" ,#)
$ 1.
!. R. Z7C21?5 : !. *. -5N715G [3] H5?7L7D:, =65 34: G<2B 82DMB r ! 2 :
n ! r "1 :;226 ;2<65 47G21<6G5
En
! ," W1;#,$
r( )
1
= max
1
#
max Sn,r
(! ," )( )
+ %;[&1,1]
, Sn,r
(" ,! )( )
& %;[&1,1]
'
(
)
*
+
,
'
(
)
,
1
!
max Sn,r
(" ,# )( )
+ $ ; %1,1[ ]
, Sn,r
(# ," )( )
% $ ; %1,1[ ]
&
'
(
)
*
+
)
*
+
. (3)
+3D7@1M Sn,r
(! ," ) G 47G21<6G2 (3) 5342H2DIP6<I <55615O21:2;
Sn,r
(! ," ) (x) =
(x # t)+
r #1
(r # 1)!
sn
(! ," ) (t )dt
#1
1
$ ,
JH2
sn(! ," ) (x) = ! Pn+1
(! ," ) (x)( )
+
# " Pn+1
(! ," ) (x)( )
#
,
7 Pn+1
(! ," ) (x) = (#1)n+1xn+1 # p(x) , JH2 p(x) Ñ 35D:15; :L ! n -17:D9=O2J5 (!,") -
34:CD:E21:I N91?8:: (! 1)n+1xn+1 . $H17?5 : G Q65; <D9=72 717D:6:=2<?:2 GM-
47E21:I HDI 154; <3D7@15G Sn,r
(! ," ) 12:LG2<61M, =65 34:G5H:6 ? 125CB5H:;5<6:
35D9=21:I 7<:;3656:=2<?: 65=15@ 5821?: G2D:=:1 En
! ," W1;#,$
r( )
1
.
&7<<;564:; G2<5G9P N91?8:P ! : 5342H2D:; 17:D9=O:2 (! , " ) -34:CD:E2-
1:I G <42H12; < G2<5; N91?8:: f : ?D7<<7 W ?7?
En
!," ( f )1,# = inf
p$%n
! f (x) & p(x)( )+ + " f (x) & p(x)( )&( )#(x)dx
&1
1
' ,
802 !. ". #$%$&'(), *. ' . "*+,-$
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
En
! ," (W)1,# = sup
f $W
En
! ," ( f )1,# .
$<15G1M; 42L9DF6765; H7115@ 47C56M IGDI26<I <D2H9PA7I 62542;7.
;C$&CF,. +(,&- ! , ! , ! , ! Ñ ./0/'1&20-)32 41,0% , ! " 1 . 5/67% 708
09:/; <2,/</; =()">11 ! , (7/<02&</#89?2; )2#%<2),&<%$
1! x2( )"
# $(x) #
1
1! x2
, x ! [" 1,1] , (4)
1 09:/6/ >20/6/ r ! 1 1$22& $2,&/ />2)"%
En
! ," W1;#,$
r( )
1,%
= &n,r;! ," ' ; #( 1,$( 1( ) + O
1
nr+1
)
*+
,
-.
, (5)
672 ,.0%;) ! n,r;(" ,#) /.#272082&,8 "%" r -; .2#1/7142,"1; 1)&26#%0, #%<)3; <
,#27)2$ )(09 )% .2#1/72 , /&
2!
n
-.2#1/7142,"/; 42&)/; =()">11 ! n,0;(" ,#) , @%-
7%))/; )% /@"2 0;
!
n
"
#$
%
&'
#%<2),&</$
! n,0;(" ,#)(t) =
" , 0 $ t $
#%
(" + #)n
,
&#,
#%
(" + #)n
< t $
%
n
.
'
(
)
)
*
)
)
A/),&%)&%, /.#272089?%8 /,&%&/4)3; 402) < (5), @%<1,1& &/0-"/ /& r ,
! , ! , ! , ! 1 ! .
$6;26:;, =65 G <D9=72 35<65I115@ G2<5G5@ N91?8:: ! (x) " 1 5821?7 (5) 342H-
<67GDI26 <5C5@ 5821?9 17:D9=O:B (! , " ) -34:CD:E21:@ G <42H12; ?D7<<7 W1;! ,"
r :
En
!," W1;# ,$
r( )
1
= %n,r;!," &; # '1,$'1( ) + O
1
nr +1
(
)*
+
,- .
:BCDC'EC D$/,G,%CH.-%B, %C$&CF( / $IC'/C ',EHJKLEM 'C-EFFC%&EK'(M
N&EOHEPC'E) 'C/$%$&(M NC&E$DEKC-/EM QJ'/IE). $C5L17=:; =242L F2n+1
345<6471<6G5 G<2B 64:J515;264:=2<?:B ;15J5=D215G 354IH?7 12 GMO2 n . /DI
<9;;:492;5@ 17 324:5H2 2! -324:5H:=2<?5@ N91?8:: g 5C5L17=:; =242L
!En
! ," (g)1 22 17:D9=O22 (!,") -34:CD:E21:2 G <42H12; 64:J515;264:=2<?:;: ;15-
J5=D217;: 354IH?7 12 GMO2 n , 6. 2.
!En
! ," (g)1 = inf
T#F2n+1
! g(t) $ T(t)( )+ + " g(t) $ T(t)( )$( ) dt
0
2%
& .
"4: ! = " = 1 35D9=72; 5CM=152 17:D9=O22 34:CD:E21:2
!En(g1) N91?8:: g
64:J515;264:=2<?:;: 35D:15;7;: G <42H12;.
$ST'-U '*UV.WXUY 'T+ U##T%&UW'(Y "&UZVU[T 'U) É 803
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
"9<6F !Wr KV Ñ ?D7<< 2! -324:5H:=2<?:B N91?8:@ f , 9 ?5654MB f (r ! 1)
7C<5DP615 123424MG17 17 [ ! " , " ] , V! "
" f (r )( ) # K , K Ð 35<65I117I. %5JH7 :L
1247G21<6G7
!En! ," ( f )1 # max ! , "{ } !En ( f )1
<D2H926, =65 HDI DPC5@ f ! !Wr KV
!En
! ," ( f )1 #
CK
nr +1 . (6)
!"#$%"&'$ . ]H2<F : G H7DF12@O2; =242L C C9H2; 5C5L17=76F 35<65I119P,
L17=21:2 ?56545@ ;5E26 L7G:<26F 65DF?5 56 ! , ! , ! , ! : ! , 9?7L711MB G
62542;2. -51<67169, ?56547I, ?45;2 GMO23242=:<D211MB 3747;2645G, L7G:<:6 :
56 r , C9H2; 5C5L17=76F =242L Cr . -51?4261M2 E2 L17=21:I Q6:B ?51<6716 G
47L1MB ;2<67B ;5J96 CM6F 47LD:=1M;:.
&7<<;564:; 47G21<6G5
En!," W1;# ,$
r( )
1,%
= max
1
!
max
" 1#a#1
En
$,% (x " a)+
r " 1
(r " 1)!
&
'(
)
*+1,,
-
.
/
0/
,
1
!
max
" 1#a#1
En
$,% (x " a)+
r " 1
(r " 1)!
&
'(
)
*+1,,
-
.
/
0/
. (7)
! <D9=72 35<65I115J5 G2<7 ! (x) " 1 47G21<6G5 (7) H5?7L715 G [3], G 5CA2; <D9=72
2J5 H5?7L762DF<6G5 345G5H:6<I 717D5J:=15. Z9H2; :L9=76F 17:D9=O:2 12<:; ;26 -
4:=1M2 34:CD:E21:I 9<2=211MB <623211MB N91?8:@ gr,a (x) =
(x ! a)+
r ! 1
(r ! 1)!
. "5
5342H2D21:P
En
! ," gr,a( )1,#
= inf
p$%n
! gr,a(x) & p(x)( )+
+ " gr,a(x) & p(x)( )&( ) #(x)dx
&1
1
' .
!M35D1:; G 35<D2H12; :162J47D2 L7;219 x = cost :
En
! ," (gr,a)1,# = inf
p$%n
! gr,a(cost) & p(cost)( )+( +
0
%
'
+ ! gr,a (cos t) " p(cos t)( )" ) #(cos t) sin t dt =
=
1
2
inf
p! " n
# gr,a(cost) $ p(cost)( )+
+(
$"
"
%
+ ! gr,a(cost) " p(cost)( )" )#(cost) sin t dt . (8)
804 !. ". #$%$&'(), *. ' . "*+,-$
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
"5HC242; 82D52 j , 9H5GD26G54IPA22 1247G21<6G9 2 j ! 1 " # . %5JH7 :L (4) C9H26
<D2H5G76F 1247G21<6G5 sin2 j t ! " (cost) sin t ! 1, : :L (8) 35D9=:;
1
2
!En+2 j
! ," gr,a(cost) sin2 j t( )
1
# En
! ," (gr,a)1,$ #
1
2
!En
! ," gr,a(cost)( )1 . (9)
ULG2<615 [6], =65 N91?8:I gr,a(cost) 34: r ! 2 ;5E26 CM6F 342H<67GD217 G
G:H2
gr,a(cost) = fr ,0(t) + fr ,1(t) ,
JH2 fr ,1(t) :;226 7C<5DP615 123424MG19P 17 [ ! " , " ] (r ! 1) -P 345:LG5H19P, 7
! "
"
V fr,1
(r )( ) # Crsin
r ! 2$
HDI ! = arccosa : 12 L7G:<IA2@ 56 a ?51<6716M Cr .
R91?8:I fr ,0(t) :;226 17 [ ! " , " ] 7C<5DP615 123424MG19P 345:LG5H19P 35-
4IH?7 r ! 2 , 7 22 (r ! 1) -I 345:LG5H17I
fr ,0
(r ! 1)(t) =
! sin t( )r ! 1 ! " r , t # (! $, $),
! " r , t # [! %, %] \ (! $, $).
&
'
(
)(
]H2<F ! r Ñ ?51<67167, 35H5C47117I :L 9<D5G:I 47G21<6G7 fr ,0
(r ! 1) 19DP G <42H12;
17 324:5H2.
! <D9=72 r = 1 35D5E:; g1,a(cost) = f1,0(t) .
&7<<;564:; N91?8:P
! " ,r (t) =
sinr#1"
$
Br (t + " ) + (#1)r Br (t # " )( ) .
/DI G<2B 176947DF1MB r 47L15<6F fr ,0(t) ! " #,r (t ) :;226 7C<5DP615 123424MG-
19P 17 [ ! " , " ] 345:LG5H19P 354IH?7 r ! 1, 7
! "
"
V
dr
dtr fr ,0(t) ! #$,r (t)( )
%
&'
(
)*
+ 4r sin(r ! 2)+$
(LH2<F (r ! 2)+ = max{ r ! 2, 0} ).
]73: <7G 1247G21<6G5 (6) HDI N91?8:: fr ,1(t) : HDI 47L15<6: fr ,0(t) ! " #,r (t ) ,
35D9=:;, =65
!En
! ," ( fr ,1)1 # Cr /nr +1 ,
!En
! ," ( fr ,0 # $%,r )1 ^ Cr / nr +1 . %5JH7 :L
1247G21<6G7 (9) : 35D97HH:6:G15<6: 17:D9=O2J5 (! , " ) -34:CD:E21:I <D2H9P6
1247G21<6G7
En
!," (gr,a)1,# $ 1
2
!En
!," (%&,r )1 +
Cr
nr +1 , (10)
En
! ," (gr,a)1,# $
1
2
!En+2 j
! ," %&,rsin
2 j t( )
1
'
Cr
nr +1 . (11)
$ST'-U '*UV.WXUY 'T+ U##T%&UW'(Y "&UZVU[T 'U) É 805
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
+,EHJKLEC 'C-EFFC%&EK'(C N&EOHEPC'ER QJ'/IE) ! " ,r (t) . UL 1247-
G21<6G (10), (11) <D2H926, =65 HDI 5821?: 17:D9=O:B (! , " ) -34:CD:E21:@ 9<2=21-
1MB <623211MB N91?8:@ 125CB5H:;5 :<<D2H5G76F 17:D9=O:2 (! , " ) -34:CD:E21:I
64:J515;264:=2<?:;: ;15J5=D217;: N91?8:@ !",r (t ) . "5<?5DF?9 ! " ,r (t ) Ñ D:-
12@17I ?5;C:178:I <HG:J5G IH24 Z2419DD:, 17; 3517H5CI6<I 17@H211M2 G [7, <. 70]
65=1M2 L17=21:I 17:D9=O:B (! , " ) -34:CD:E21:@ IH24 Z2419DD::
1
!
!En
(" ,#) (Br )1 = max
t
$n+1,r ;" ,# (t) = $n+1,r ;" ,# (%0 ) , (12)
JH2 ! 0 Ñ D2E7A7I 17 !
"
n
,
"
n
#
$%
&
'(
65=?7 ;7?<:;9;7 <3D7@17 ! n+1,r;" ,# (t) .
5CFF, 1. B08 09:/6/ )%&(#%0-)/6/ r
!En
(!,") (#$,r )1 % 2sinr&1$ 'max
t
(n+1,r;!," (t) .
()*"+",$-./,0) . "9<6F r Ñ =26152. %5JH7, 34:;21:G 35D97HH:6:G15<6F
N91?8:517D7 17:D9=O2J5 (!,") -34:CD:E21:I : <55615O21:2 (12), 35D9=! ;
!En
(! ," ) (#$,r )1 %
sinr &1$
'
!En
(! ," ) Br ((+ $)( )1 + !En
(! ," ) Br ((&$)( )1( ) =
=
2sinr ! 1"
#
!En
($,%)(Br )1 = 2sinr ! 1" &max
t
' n+1,r;$ ,%(t) .
*17D5J:=1M; 5C47L5;, 34:;21II 35D97HH:6:G15<6F N91?8:517D7 17:D9=O2J5
(! , " ) -34:CD:E21:I : <55615O21:2 (12) G <D9=72 12=2615J5 r , 35D9="#;
!En
(! ," ) (#$,r )1 %
sinr &1$
'
!En
(! ," ) Br ((+ $)( )1 + !En
(! ," ) &Br ((&$)( )1( ) =
=
sinr ! 1"
#
!En
($ ,%) Br (&+ " )( )1 + !En
($ ,%) Br (" ! &)( )1( ) =
=
sinr ! 1"
#
!En
($ ,%)(Br (&))1 + !En
($ ,%) Br (! &)( )1( ) =
= 2sinr ! 1"
#
!En
($,%)(Br )1 = 2sinr ! 1 " &max
t
' n+1,r;$ ,%(t) .
V2;;7 H5?7L717.
5CFF, 2. B08 09:/6/ )%&(#%0-)/6/ r <3./0)82&,8 )2#%<2),&</
!En(! ," ) (#$k ,r )1 % 2sinr&1$k ' max
t
( n+1,r;! ," (t) ,
672 ! k = ! k,n,r = ! 0 +
2" k
n +1
, k = 0,1, 2, ...,n .
()*"+",$-./,0) . ! 47C562 [8] H5?7L715, =65 HDI DPC5@ <9;;:492;5@ 17 32-
806 !. ". #$%$&'(), *. ' . "*+,-$
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
4:5H2 2! -324:5H:=2<?5@ N91?8:: g
!En
(! ," ) (g)1 = sup g(t)#(t) dt
0
2$
% : # & F2n+1, # ' ; ! ( 1," ( 1( ) ) 1
*
+
,
-,
.
/
,
0,
.
R91?8:I ! n+1,0;" ,# :;226 324:5H
2!
n +1
: 47G17 19DP G <42H12; 17 [0, 2! ] .
+D2H5G762DF15, 517 5465J517DF17 G<2; 64:J515;264:=2<?:; 35D:15;7; 354IH?7 12
GMO2 n . -45;2 65J5, !n+1,0;",# $; "%1,#%1( ) = 1, 35Q65;9
!En
(! ," ) (#$k,r )1 % #$k,r (t )
0
2&
' ( n+1,0;! ," (t ) dt =
= sinr ! 1" k
#
Br (t + " k ) + (! 1)r Br (t ! " k )( )
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t) dt =
= sinr ! 1" k
#
Br (" k + t)
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t) dt + (! 1)r Br (t ! " k )
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t)dt
(
)
*
+
,
- .
!M35D1:; G 324G5; :162J47D2 L7;219 3242;2115@ t 17 ! t : G5<35DFL92;<I =26-
15<6FP N91?8:: !n+1,0;",# . -5 G6545;9 :162J47D9 34:;21:; <347G2HD:G52 HDI
G<2B r 47G21<6G5 (! 1)r Br (t ! " k ) = Br (" k ! t) . "5D9=:;
!En(! ," ) (#$k ,r )1 %
2sinr&1$k
'
Br ($k & t)
0
2'
( ) n+1,0;! ," (t) dt =
= 2sinr ! 1" k #$n+1,r;%,&(" k ) . (13)
"5<?5DF?9 N91?8:I ! n+1,r;" ,#
2!
n +1
-324:5H:=17, !n+1,r;",# ($k ) =
= ! n+1,r;" ,# ($0) . %5JH7 1247G21<6G5 (13) < 9=265; G6545J5 :L <55615O21:@ (12)
GD2=26 <347G2HD:G5<6F D2;;M 2.
V2;;7 H5?7L717.
S,BC&LC'EC D$/,G,%CH.-%B, %C$&CF(. ! <:D9 1247G21<6G7 (11) HDI 5821?:
<1:L9 17:D9=O:B 12<:;;264:=1MB 34:CD:E21:@ 9<2=211MB <623211MB N91?8:@
17H5 5821:6F <1:L9 17:D9=O:2 12<:;;264:=1M2 34:CD:E21:I 64:J515 ;26 4:=2<?: -
;: 35D:15;7;: N91?8:@ ! " ,r (t )sin2 j t .
5CFF, 3. B08 09:/6/ )%&(#%0-)/6/ r
!En+2 j
!," #$,r (t) sin2 jt( )1 % sin2 j$ & !En+2 j
!," #$,r (t)( )1 ' Cr
nr+1
. (14)
()*"+",$-./,0) . "4:;21:G ? 47G21<6G9
! " ,r (t ) sin2 j t + ! " ,r (t ) sin2 j " # sin2 j t( ) = ! " ,r (t ) sin2 j "
$ST'-U '*UV.WXUY 'T+ U##T%&UW'(Y "&UZVU[T 'U) É 807
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
35D97HH:6:G15<6F N91?8:517D7 17:D9=O2J5 (!,") -34:CD:E21:I, 35D9=:;
!En+2 j
! ," #$,r (t ) sin2 j t( )
1
% sin2 j$ & !En+2 j
! ," #$,r (t )( )1 '
! !En+2 j
" ,# $%,r (t) sin2 j%! sin2 j t( )( )
1
. (15)
R91?8:I ! " ,r (t ) sin2 j " # sin2 j t( ) 34:17HD2E:6 !W
r KV < 12?56545@ ?51<67165@
K , L7G:<IA2@ 56 j : r . %5JH7 G <:D9 (6)
!En+2 j
! ," #$,r (t ) (sin2 j$ %sin2 j t )( )
1
&
Cr
nr +1 .
UL 35<D2H12J5 1247G21<6G7 : 1247G21<6G7 (15) <D2H926 1247G21<6G5 (14).
V2;;7 H5?7L717.
$6;26:;, =65 G <:D9 47G21<6G7 ! n,r;" ,# $ ;(%&1,' &1)
= n! r " 1,r;# ,$ %;(&! 1,' ! 1)
,
<347G2HD:G5J5 HDI G<2B 176947DF1MB n , 5821?7 (5) Q?G:G7D21617 5821?2
En
! ," W1;#,$
r( )
1,%
= &n+1,r;! ," ' ;(#( 1,$( 1)
+ O
1
nr+1
)
*+
,
-.
, (16)
35D9=72;5@ L7;215@ n 17 n +1 G 347G5@ =7<6: (5). /DI H5?7L762DF<6G7 (16) 12-
5CB5H:;5 35D9=:6F HG2 5821?:: 5821?9 <G24B9
En
! ," W1;#,$
r( )
1,%
& ' n+1,r;! ," ( ;(#) 1,$) 1)
+
Cr
nr +1 (17)
: 5821?9 <1:L9
En
! ," W1;#,$
r( )
1,%
& ' n+1,r;! ," ( ;(#) 1,$) 1)
)
Cr
nr +1 . (18)
/5?7E2; 1247G21<6G5 (17). "4:;21:G 35<D2H5G762DF15 47G21<6G5 (7), 1247-
G21<6G5 (10) : D2;;9 1, C9H2; :;26F
En
! ," W1;#,$
r( )
1,%
&
! max " #1 max
t
$n+1,r;%,&(t), ' #1 max
t
$n+1,r;&,%(t){ } +
Cr
nr +1 . (19)
'2649H15 G:H26F, =65 ! n+1,r;" ,# (t) = ! " n+1,r;# ,$ t !
%
n +1
&
'(
)
*+
. +D2H5G762DF15,
max
t
! n+1,r;" ,# (t) = $ min
t
! n+1,r;# ," (t ) .
"5H<67G:G 35<D2H122 47G21<6G5 G (19), 35D9=:; 5821?9 (17).
"242@H2; ? H5?7L762DF<6G9 1247G21<6G7 (18). UL D2;; 2 : 3 <D2H926, =65 HDI
DPC5J5 k
808 !. ". #$%$&'(), *. ' . "*+,-$
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 6
!En+2 j
! ," #$k ,r (t) sin
2 j t( )1 % 2 sinr +2 j &1$k 'max
t
( n+2 j +1,r ;! ," (t) &
Cr
nr +1 (20)
(<=:672;, =65 ! k = ! k,n+2 j ,r ). "4:;21:G 35<D2H5G762DF15 <55615O21:2 (7), 1247-
G21<6G5 (11) : 1247G21<6G5 (20), 35D9=:;
En
! ," W1;#,$
r( )
1,%
& sinr+2 j ' 1( k ) n+2 j+1,r;! ," * ;(#' 1,$' 1)
'
Cr
nr+1 . (21)
'247G21<6G5 :;226 ;2<65 HDI DPC5J5 9LD7 ! k . !MC242; 62324F k0 67?, =65CM
9L2D ! k0
CMD CD:E7@O:; ? 65=?2
!
2
:L G<2B ! k . %5JH7 ! k0
"
#
2
$
#
n + 2 j
,
sin ! k0
" cos
#
n + 2 j
> 1 $
#2
2(n + 2 j)2 , sinr +2 j ! 1" k0
> 1 !
(r + 2 j ! 1)#2
2(n + 2 j )2 .
+ 9=265; 35<D2H12J5 1247G21<6G7 :L (21) <D2H926
En
! ," W1;#,$
r( )
1,%
& ' n+2 j +1,r;! ," ( ;(#) 1,$) 1)
)
Cr
nr +1 .
/DI 35D9=21:I 5821?: (18) 5<67D5<F L7;26:6F, =65
! n+2 j +1,r;" ,# $ ;(%&1,' &1)
& ! n+1,r;" ,# $ ;(%&1,' &1)
= O
1
nr +1
(
)*
+
,-
.
%2542;7 H5?7L717.
1. C1"/0-,"1; D. E. $ 17:D9=O2; 34:CD:E21:: ;15J5=D217;: G <42H12; N91?8:@ a ! x s
// ULG.
*' +++&. +24. ;76. Ð 1947. Ð 11, _ 3. Ð +. 139 Ð 180.
2. A/=%)/< F. G. "4:CD:E21:2 ?D7<<5G H:NN24218:492;MB N91?8:@ G <42H12; // ULG. *' +++&.
+24. ;76. ! 1983. ! 47, _ 5. ! +. 1078 Ð 1090.
3. H%:2)"/ F. I., A/=%)/< F. G. '2<:;;264:=1M2 34:CD:E2 1:I ?D7<<5G H:NN24218:492;MB N91?-
8:@ 7DJ2C47:=2<?:;: ;15J5=D217;: G <42H12; // Anal. Math. Ð 1988. Ð 14. Ð P. 193 Ð 217.
4. Motornyi V. P., Pasko A. N. On the best one-sided approximation of some classes of differentiable func-
tions in L1 // E. J. Approxim. ! 2004. Ð 10, _ 2. Ð P. 159 ! 169.
5. E/&/#)3; F. +., +%,-"/ G. C. '7:D9=O22 5H15<65451122 34:CD:E21:2 9<2=211MB <623212@ :
5821?: 35J42O15<62@ ?G7H476941MB N54;9D 17 12?5654MB ?D7<<7B N91?8:@ // !><1. /1>3453264.
91-69. #762;76:?7. ! 2003. ! !:3. 8. ! +. 74 ! 80.
6. E/&/#)%8 J. F. $ 17:D9=O2; 34:CD:E21:: H:NN24218:492;MB N91?8:@ 7DJ2C47:=2<?:;:
;15J5=D217;: G 345<6471<6G2 L1. ! -:2G, 1993. Ð ("4234:16 / '*' .?47:1M. U1 -6 ;762;76:?:;
93.20).
7. H%:2)"/ F. I. \?<642;7DF1M2 L7H7=: 6254:: 34:CD:E21:I : 12<:;;264:=1M2 154;M: /:<. É H -47
N:L.-;76. 179?. Ð /1234532645G<?, 1987.
8. H%:2)"/ F. I. '2<:;;264:=1M2 34:CD:E21:I G 345<6471<6G7B <9;;:492;MB N91?8:@ // .?4 ;76.
E941. ! 1982. ! 34, _ 4. ! +. 409 ! 416.
"5D9=215 28.03.11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166251 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:52:37Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Моторный, В.П. Пасько, А.Н. 2020-02-18T15:48:32Z 2020-02-18T15:48:32Z 2011 Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций / В.П. Моторный, А.Н. Пасько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 798–808. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166251 517.5 Отримано асимптотично точні оцінки найкращих (α,β) -наближень класів Wʳ₁;γ,δ для натуральних r алгебраїчними поліномами в середньому. Asymptotically sharp estimates are obtained for the best (α,β) -approximations of the classes Wʳ₁;γ,δ with natural r by algebraic polynomials in the mean. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions Article published earlier |
| spellingShingle | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций Моторный, В.П. Пасько, А.Н. Статті |
| title | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_alt | Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions |
| title_full | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_fullStr | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_full_unstemmed | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_short | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_sort | оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166251 |
| work_keys_str_mv | AT motornyivp ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženiinesimmetričnyhklassovfunkcii AT pasʹkoan ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženiinesimmetričnyhklassovfunkcii AT motornyivp estimatesforthebestasymmetricapproximationsofasymmetricclassesoffunctions AT pasʹkoan estimatesforthebestasymmetricapproximationsofasymmetricclassesoffunctions |