Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале
Наведено деякі інтегральні нерівності на часовій шкалі та отримано достатні умови рівномірної стійкості стану рівноваги нелінійної системи на часовій шкалі.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166262 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале / Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1490–1499. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166262 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1662622025-02-09T20:53:13Z Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале Integral inequalities and stability of an equilibrium state on a time scale Лукьянова, Т.А. Мартынюк, А.А. Статті Наведено деякі інтегральні нерівності на часовій шкалі та отримано достатні умови рівномірної стійкості стану рівноваги нелінійної системи на часовій шкалі. We present some integral inequalities on a time scale and establish sufficient conditions for the uniform stability of an equilibrium state of a nonlinear system on a time scale. 2010 Article Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале / Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1490–1499. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166262 517.929 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Лукьянова, Т.А. Мартынюк, А.А. Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале Український математичний журнал |
| description |
Наведено деякі інтегральні нерівності на часовій шкалі та отримано достатні умови рівномірної стійкості стану рівноваги нелінійної системи на часовій шкалі. |
| format |
Article |
| author |
Лукьянова, Т.А. Мартынюк, А.А. |
| author_facet |
Лукьянова, Т.А. Мартынюк, А.А. |
| author_sort |
Лукьянова, Т.А. |
| title |
Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале |
| title_short |
Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале |
| title_full |
Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале |
| title_fullStr |
Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале |
| title_full_unstemmed |
Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале |
| title_sort |
интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166262 |
| citation_txt |
Интегральные неравенства и устойчивость состояния равновесия на временной шкале / Т.А. Лукьянова, А.А. Мартынюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1490–1499. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT lukʹânovata integralʹnyeneravenstvaiustoičivostʹsostoâniâravnovesiânavremennoiškale AT martynûkaa integralʹnyeneravenstvaiustoičivostʹsostoâniâravnovesiânavremennoiškale AT lukʹânovata integralinequalitiesandstabilityofanequilibriumstateonatimescale AT martynûkaa integralinequalitiesandstabilityofanequilibriumstateonatimescale |
| first_indexed |
2025-11-30T16:40:23Z |
| last_indexed |
2025-11-30T16:40:23Z |
| _version_ |
1850234190443839488 |
| fulltext |
UDK 517.929
T. A. Luk\qnova, A. A. Mart¥ngk (Yn-t mexanyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
YNTEHRAL|NÁE NERAVENSTVA
Y USTOJÇYVOST| SOSTOQNYQ RAVNOVESYQ
NA VREMENNOJ ÍKALE
Some integral inequalities on the time scale are presented and sufficient conditions of the uniform
stability of equilibrium of a nonlinear system on the time scale are obtained.
Navedeno deqki intehral\ni nerivnosti na çasovij ßkali ta otrymano dostatni umovy rivnomirno]
stijkosti stanu rivnovahy nelinijno] systemy na çasovij ßkali.
1. Vvedenye. Yntehral\n¥e neravenstva qvlqgtsq mown¥m y ßyroko pry-
menqem¥m sredstvom dlq kaçestvennoho yssledovanyq yntehral\n¥x y dyf-
ferencyal\n¥x uravnenyj. V çastnosty, v knyhe [1] neravenstvo Hronuolla
y1eho obobwenyq yspol\zugtsq dlq yzuçenyq yntehral\n¥x uravnenyj s de-
heneratyvn¥m qdrom, system dyfferencyal\n¥x uravnenyj obweho vyda y
kvazylynejn¥x system. V dannoj rabote podxod, predloΩenn¥j v [1], ras-
prostranqetsq na sluçaj yntehral\n¥x y dyfferencyal\n¥x uravnenyj na vre-
mennoj ßkale.
Yssledovanye dynamyçeskyx uravnenyj na vremennoj ßkale qvlqetsq ak-
tual\n¥m, poskol\ku pozvolqet kak odnovremenno opysat\ dynamyku system v
neprer¥vnom y dyskretnom sluçaqx, tak y yssledovat\ dynamyku system¥ vo
vremennoj oblasty „meΩdu” πtymy sostoqnyqmy. Krome toho, suΩenye rezul\-
tatov, poluçenn¥x dlq obwej vremennoj ßkal¥, daet vozmoΩnost\ poluçat\
nov¥e rezul\tat¥ dlq dyskretn¥x system (naprymer, sledstvyq 3 y 4), analo-
hyçn¥e yzvestn¥m dlq neprer¥vnoho sluçaq.
V dannoj rabote na osnove nov¥x yntehral\n¥x neravenstv poluçen¥ ocenky
reßenyj system yntehral\n¥x y dyfferencyal\n¥x uravnenyj na proyzvol\-
noj vremennoj ßkale. ∏ty ocenky prymenen¥ dlq yssledovanyq ustojçyvosty
sostoqnyq ravnovesyq system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj obweho vyda.
∏ffektyvnost\ poluçenn¥x rezul\tatov prodemonstryrovana na konkretnom
prymere.
2. Osnovn¥e oboznaçenyq y neobxodym¥e teorem¥. Vremennoj ßkaloj T
naz¥vaetsq proyzvol\noe nepustoe zamknutoe podmnoΩestvo mnoΩestva ve-
westvenn¥x çysel R . Osnovn¥e ponqtyq y teorem¥ matematyçeskoho analyza
na vremennoj ßkale, takye kak opredelenyq proyzvodnoj y yntehrala, pravyla
dyfferencyrovanyq y yntehryrovanyq, opredelenye πksponencyal\noj, rehres-
syvnoj y rd-neprer¥vnoj funkcyj, podrobno yzloΩen¥ v rabotax [2, 3]. Pry-
vedem tol\ko nekotor¥e neobxodym¥e ponqtyq y opredelenyq.
Oboznaçym çerez Crd
n( , )T R mnoΩestvo vsex rd-neprer¥vn¥x funkcyj
g : T → Rn
. Funkcyq f : T × Rn → Rn
naz¥vaetsq rd-neprer¥vnoj, esly po-
roΩdaem¥j eg operator superpozycyy ( )fx perevodyt mnoΩestvo Crd
n( , )T R
v sebq.
Funkcyq f : T → R naz¥vaetsq rehressyvnoj, esly 1 + µ( ) ( )t f t ≠ 0 pry vsex
t k∈T , y poloΩytel\no rehressyvnoj, esly 1 + µ( ) ( )t f t > 0 pry vsex t k∈T .
MnoΩestvo vsex r d-neprer¥vn¥x y poloΩytel\no rehressyvn¥x funkcyj f :
T → R oboznaçym çerez R+
.
Funkcyq f : T × Rn → Rn
naz¥vaetsq rehressyvnoj, esly pry lgbom
© T. A. LUK|QNOVA, A. A. MARTÁNGK, 2010
1490 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
YNTEHRAL|NÁE NERAVENSTVA Y USTOJÇYVOST| SOSTOQNYQ RAVNOVESYQ … 1491
t k∈T operator F : Rn → Rn , dejstvugwyj po formule Fx = x + µ( ) ( , )t f t x ,
obratym.
Krome toho, oboznaçym çerez R+ = u ∈{ R : u ≥ }0 , x = xii
n 2
1
1 2
=∑( ) /
nor-
mu vektora x n∈R , a, +∞[ )T = t ∈{ T : a ≤ t < +∞} , a ∈T .
Dalee nam potrebugtsq sledugwye lemm¥.
Lemma 1 ([4], teorema 3.5). Pust\ funkcyy u, p : T → R+ r d-neprer¥vn¥
na T, funkcyq f : T → R+ qvlqetsq ∆-dyfferencyruemoj na T y f t∆ ( ) ≥
≥ 0. Esly
u t( ) ≤ f t( ) + p s u s s
a
t
( ) ( ) ∆∫
dlq vsex t ∈T , to
u t( ) ≤ f a e t ap( ) ( , ) + f s e t s s
a
t
p
∆ ∆( ) , ( )∫ ( )σ
dlq vsex t ∈T , hde funkcyq e t ap( , ) , a ∈T , qvlqetsq reßenyem naçal\noj
zadaçy
x t∆ ( ) = p t x t( ) ( ) , x a( ) = 1.
Lemma 2 ([5], zameçanye 2). Esly funkcyq p : T → R+ qvlqetsq r d-ne-
prer¥vnoj na T, to
e t ap( , ) ≤ exp ( )p s s
a
t
∫
∆
pry vsex a ∈T , t ∈ a, +∞[ )T .
V dal\nejßem budut neobxodym¥ takye svojstva πksponencyal\noj funk-
cyy:
1) e a ap( , ) = 1, e t ap( , ) > 0 pry p ∈ +R , a ∈T y t ∈ a, +∞[ )T ;
2) p e s a s
a
t
p∫ ( , ) ∆ = e t ap( , ) – 1 pry p ∈ +R , a ∈T y t ∈ a, +∞[ )T ;
3) esly λ ∈ +R , to lim ( , )t e t a→+∞ �λ = 0, hde �λ = −
+
∈ +λ
µ λ1 ( )t
R
(sm.1[6]).
PredpoloΩym, çto na vremennoj ßkale T opredelena systema dynamyçe-
skyx uravnenyj
x t∆ ( ) = f t x t, ( )( ) , t I∈ , (1)
x t t x( ; , )0 0 0 = x0 , t I0 ∈ , x n
0 ∈R , (2)
hde x n∈R , I = α, +∞[ )T , α ∈T , f : I × Rn → Rn
, f t( , )0 ≡ 0, sup T = + ∞.
Krome toho, predpoloΩym, çto dlq zadaçy (1), (2) v¥polnqgtsq uslovyq su-
westvovanyq edynstvennoho reßenyq na t0, +∞[ )T pry lgb¥x naçal\n¥x dan-
n¥x ( , )t x0 0 ∈ I × Rn
. ∏to reßenye budem oboznaçat\ x t( ) = x t t x( ; , )0 0 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
1492 T. A. LUK|QNOVA, A. A. MARTÁNGK
Opredelenye 1. Sostoqnye ravnovesyq x t( ) ≡ 0 system¥ (1) naz¥vaetsq
ravnomerno ustojçyv¥m, esly dlq lgboho ε > 0 suwestvuet postoqnnaq δ =
= δ ε( ) > 0 takaq, çto yz uslovyq x0 < δ sleduet ocenka x t t x( ; , )0 0 < ε
pry vsex t ∈ t0, +∞[ )T y t I0 ∈ .
V rabote [3] dlq proyzvol\noj vremennoj ßkal¥ dokazana sledugwaq teo-
rema suwestvovanyq y edynstvennosty.
Lemma 3 ([3], teorema 8.24). PredpoloΩym, çto dlq lgb¥x znaçenyj t ∈T
y x n∈R opredelen¥ okrestnosty Ic = ( , )t c t c− + ∩ T y S b( ) = y n∈{ R :
y x− < b} , hde c > 0, inf T ≤ t – c , sup T ≥ t + c, takye, çto vektor-
funkcyq f : Ic × S b( ) → Rn
qvlqetsq r d-neprer¥vnoj, ohranyçennoj na
Ic × S b( ) y udovletvorqet uslovyg
f t x f t x( , ) ( , )1 2− ≤ L t x x x( , ) 1 2− , L t x( , ) > 0,
pry vsex ( , )t x1 , ( , )t x2 ∈ Ic × S b( ) . Krome toho, predpoloΩym, çto su-
westvugt poloΩytel\n¥e neprer¥vn¥e funkcyy p, q : T → R+ takye, çto
f t x( , ) ≤ p t x( ) + q t( )
pry vsex ( , )t x ∈ T × Rn
.
Tohda naçal\naq zadaça
x t∆ ( ) = f t x t, ( )( ) , t ∈T ,
x t t x( ; , )0 0 0 = x0 , t0 ∈T , x n
0 ∈R ,
ymeet toçno odno reßenye na T.
3. Ocenky reßenyj system yntehral\n¥x y dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj. Rassmotrym yntehral\noe uravnenye vyda
x t( ) = g t( ) + B t U s x s s
a
t
( ) , ( )( )∫ ∆ , t ∈ a, +∞[ )T , (3)
hde x, g : a, +∞[ )T → Rn
, B : a, +∞[ )T → R, U : a, +∞[ )T × Rn → Rn
— rd-ne-
prer¥vn¥e funkcyy, a I∈ . Pust\ suwestvuet reßenye uravnenyq (3) na
a, +∞[ )T .
Lemma 4. PredpoloΩym, çto suwestvugt rd-neprer¥vn¥e funkcyy L, M :
I × R+ → R+ takye, çto:
1) U t x( , ) ≤ L t x,( ) pry vsex t I∈ , x n∈R ;
2) 0 ≤ L t u( , ) – L t( , )v ≤ M t u( , ) ( )v v− pry vsex t I∈ , u ≥ v ≥ 0.
Tohda dlq reßenyq x t( ) yntehral\noho uravnenyq (3) pry vsex t ∈ a[ ,
+∞)T ymeet mesto ocenka
x t g t( ) ( )− ≤ B t L s g s e t s s
a
t
p( ) , ( ) , ( )( ) ( )∫ σ ∆ ,
hde p t( ) = B t M t g t( ) , ( )( ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
YNTEHRAL|NÁE NERAVENSTVA Y USTOJÇYVOST| SOSTOQNYQ RAVNOVESYQ … 1493
Dokazatel\stvo. Pust\ funkcyq x t( ) qvlqetsq reßenye uravnenyq (3).
Oboznaçym
y t( ) = U s x s s
a
t
, ( )( )∫ ∆ (4)
y yz (3) poluçym
x t( ) = g t( ) + B t y t( ) ( ) . (5)
Dyfferencyruq (4), s uçetom (5) ymeem
y t∆ ( ) = U t g t B t y t, ( ) ( ) ( )+( ) , y a( ) = 0 .
Tohda
y t∆ ( ) = U t g t B t y t, ( ) ( ) ( )+( ) ≤ L t g t B t y t, ( ) ( ) ( )+( ) ≤
≤ L t g t B t y t, ( ) ( ) ( )+( ) = L t g t B t y t, ( ) ( ) ( )+( ) – L t g t, ( )( ) +
+ L t g t, ( )( ) ≤ L t g t, ( )( ) + M t g t B t y t, ( ) ( ) ( )( ) (6)
y, poskol\ku y t( ) = y s s
a
t ∆ ∆( )∫ ≤ y s s
a
t ∆ ∆( )∫ , yz (6) sleduet ocenka
y t( ) ≤ y s s
a
t
∆ ∆( )∫ ≤ L s g s s
a
t
, ( )( )∫ ∆ +
+ B s M s g s y s s
a
t
( ) , ( ) ( )∫ ( ) ∆ . (7)
Oboznaçaq f t( ) = L s g s s
a
t
, ( ) ,( )∫ ∆ p t( ) = B t M t g t( ) , ( )( ) , neravenstvo (7)
zapys¥vaem v vyde
y t( ) ≤ f t( ) + p s y s s
a
t
( ) ( )∫ ∆ ,
pry πtom f t∆ ( ) = L t g t, ( )( ) ≥ 0, f a( ) = 0. S uçetom lemm¥11 pry vsex
t ∈ a, +∞[ )T poluçaem neravenstvo
y t( ) ≤ f a e t ap( ) ( , ) + L s g s e t s s
a
t
p, ( ) , ( )( ) ( )∫ σ ∆ ,
otkuda ymeem ocenku
x t g t( ) ( )− ≤ B t y t( ) ( ) ≤ B t L s g s e t s s
a
t
p( ) , ( ) , ( )( ) ( )∫ σ ∆ .
Lemma 4 dokazana.
Lemma 5. PredpoloΩym, çto suwestvuet rd-neprer¥vnaq funkcyq S : a[ ,
+∞)T × R+ → R+ takaq, çto pry vsex t ∈ a, +∞[ )T y x , y n∈R v¥polnq-
etsq neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
1494 T. A. LUK|QNOVA, A. A. MARTÁNGK
U t x y U t x( , ) ( , )+ − ≤ S t x y,( ) .
Tohda dlq reßenyq x t( ) yntehral\noho uravnenyq (3) pry vsex t ∈ a[ ,
+∞)T ymeet mesto ocenka
x t g t( ) ( )− ≤ B t U s g s e t s s
a
t
p( ) , ( ) , ( )( ) ( )∫ σ ∆ , (8)
hde p t( ) = B t S t g t( ) , ( )( ) .
Dokazatel\stvo. Kak y pry dokazatel\stve lemm¥14, dlq
y t( ) = U s x s s
a
t
, ( )( )∫ ∆
poluçaem ocenku
y t∆ ( ) = U t g t B t y t( , ( ) ( ) ( ))+ ≤ U t g t( , ( )) + S t g t B t y t, ( ) ( ) ( )( ) ,
otkuda sleduet, çto
y t( ) ≤ y s s
a
t
∆ ∆( )∫ ≤ U s g s s
a
t
, ( )( )∫ ∆ +
+ B s S s g s y s s
a
t
( ) , ( ) ( )∫ ( ) ∆ . (9)
Esly poloΩyt\ f t( ) = U s g s s
a
t
, ( )( )∫ ∆ , p t( ) = B s S t g t( ) , ( )( ) , to nera-
venstvo (9) prymet vyd
y t( ) ≤ f t( ) + p s y s s
a
t
( ) ( )∫ ∆ .
Tohda s uçetom lemm¥11 poluçaem
y t( ) ≤ U s g s e t s s
a
t
p, ( ) , ( )( ) ( )∫ σ ∆ ,
otkuda ymeem ocenku
x t g t( ) ( )− ≤ B t y t( ) ( ) ≤ B t U s g s e t s s
a
t
p( ) , ( ) , ( )( ) ( )∫ σ ∆ .
Lemma 5 dokazana.
Sledstvye 1 . PredpoloΩym , çto suwestvugt rd-neprer¥vn¥e funkcyy
L, M : I × R+ → R+ takye, çto:
1) f t x( , ) ≤ L t x,( ) pry vsex t I∈ , x n∈R ;
2) 0 ≤ L t u( , ) – L t( , )v ≤ M t u( , ) ( )v v− pry vsex t I∈ , u ≥ v ≥ 0.
Tohda dlq reßenyq x t( ) zadaçy (1), (2) pry vsex t ∈ t0, +∞[ )T ymeet mes-
to ocenka
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
YNTEHRAL|NÁE NERAVENSTVA Y USTOJÇYVOST| SOSTOQNYQ RAVNOVESYQ … 1495
x t x( ) − 0 ≤ L s x e t s s
t
t
p, , ( )0
0
( ) ( )∫ σ ∆ , (10)
hde p t( ) = M t x, 0( ) .
Dokazatel\stvo. Perepyßem uravnenyq (1) v vyde
x t( ) = x0 + f s x s s
t
t
, ( )( )∫
0
∆ .
Yspol\zuq lemmu14 pry g t( ) ≡ x0 , B t( ) ≡ 1, a = t0 , poluçaem ocenku (10).
Sledstvye 2. PredpoloΩym, çto suwestvuet rd -neprer¥vnaq funkcyq
S : a, +∞[ )T × R+ → R+ takaq, çto pry vsex t ∈ a, +∞[ )T y x , y n∈R v¥-
polnqetsq neravenstvo
U t x y U t x( , ) ( , )+ − ≤ S t x y,( ) .
Tohda dlq reßenyq x t( ) zadaçy (1), (2) pry vsex t ∈ t0, +∞[ )T ymeet mesto
ocenka
x t x( ) − 0 ≤ f s x e t s s
t
t
p( , ) , ( )0
0
∫ ( )σ ∆ , (11)
hde p t( ) = S t x, 0( ) .
Dokazatel\stvo. Kak y pry dokazatel\stve sledstvyq11, yspol\zuq lem-
mu15 pry g t( ) ≡ x0 , B t( ) ≡ 1, a = t0 , poluçaem ocenku (11).
4. Osnovnoj rezul\tat. Teper\ m¥ moΩem dokazat\ sledugwye utverΩ-
denyq.
Teorema 1. PredpoloΩym, çto suwestvugt rd -neprer¥vn¥e funkcyy L,
M : I × R+ → R+ takye, çto L t( , )0 ≡ 0 y v¥polnqgtsq neravenstva:
1) f t x( , ) ≤ L t x,( ) pry vsex t I∈ , x n∈R ;
2) 0 ≤ L t u( , ) – L t( , )v ≤ M t u( , ) ( )v v− pry vsex t I∈ , u ≥ v ≥ 0.
Tohda esly suwestvugt postoqnn¥e K > 0, δ0 > 0 takye, çto
M s s( , )δ
α
+∞
∫ ∆ ≤ K
dlq lgboho 0 ≤ δ ≤ δ0 , to sostoqnye ravnovesyq x t( ) ≡ 0 system¥ (1) rav-
nomerno ustojçyvo.
Dokazatel\stvo. Yspol\zuq sledstvye11 y lemmu12, dlq reßenyq x t( )
system¥ (1) poluçaem ocenku
x t( ) ≤ x0 + x t x( ) − 0 ≤ x0 + L s x e t s s
t
t
p, , ( )0
0
( ) ( )∫ σ ∆ ≤
≤ x0 + L s x p s
t
t
s
t
, exp ( )
( )
0
0
( )
∫ ∫ τ τ
σ
∆ ∆ =
= x0 + L s x M x s
t
t
s
t
, exp ,
( )
0 0
0
( ) ( )
∫ ∫ τ τ
σ
∆ ∆ . (12)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
1496 T. A. LUK|QNOVA, A. A. MARTÁNGK
V¥berem proyzvol\noe ε > 0 y poloΩym δ = δ ε( ) = min ε/2{ , ε/( )2KeK ,
δ0} . V sylu uslovyq12 teorem¥ L t u( , ) ≤ M t u( , )0 pry vsex t ∈ t0, +∞[ )T y
u ≥ 0, otkuda sleduet neravenstvo
L s u s
t
t
( , )
0
∫ ∆ ≤ u M s s
t
t
( , )0
0
∫ ∆ ≤ u M s s( , )0
α
+∞
∫ ∆ ≤ Ku .
ProdolΩaq ocenku (12), pry vsex x0 ≤ δ y t ∈ t0, +∞[ )T poluçaem
x t( ) ≤
ε
2
+ L s x M x s
t
t
s
t
, exp ,
( )
0 0
0
( ) ( )
∫ ∫ τ τ
σ
∆ ∆ ≤
≤
ε
2
+ L s x M x s
t
t
, exp ,0 0
0
( ) ( )
∫ ∫
+∞
τ τ
α
∆ ∆ ≤
≤
ε
2
+ e L s x sK
t
t
, 0
0
( )∫ ∆ ≤
ε
2
+ e K xK
0 ≤ ε,
otkuda y sleduet ravnomernaq ustojçyvost\ nulevoho sostoqnyq ravnovesyq
system¥ (1).
Teorema 1 dokazana.
Teorema 2. PredpoloΩym, çto suwestvuet rd -neprer¥vnaq funkcyq S :
α, +∞[ )T × R+ → R+ takaq, çto pry vsex t ∈ α, +∞[ )T y x , y n∈R v¥pol-
nqetsq neravenstvo
f t x y f t x( , ) ( , )+ − ≤ S t x y,( ) .
Tohda esly suwestvugt postoqnn¥e K > 0 y δ0 > 0 takye, çto
S u u, δ
α
( )
+∞
∫ ∆ ≤ K
dlq lgboho 0 ≤ δ ≤ δ0 , to sostoqnye ravnovesyq x t( ) ≡ 0 system¥1(1) rav-
nomerno ustojçyvo.
Dokazatel\stvo. Polahaq y = – x pry vsex t I∈ y x n∈R , poluçaem ne-
ravenstvo
f t x( , ) ≤ S t x x,( ) ,
otkuda sohlasno lemme15 ymeem
x t( ) ≤ x0 + x t x( ) − 0 ≤ x0 + f s x e t s s
t
t
p( , ) , ( )0
0
∫ ( )σ ∆ ≤
≤ x0 + x S s x p s
t
t
s
t
0 0
0
, exp ( )
( )
( )
∫ ∫ τ τ
σ
∆ ∆ =
= x0 + x S s x S x s
t
t
s
t
0 0 0
0
, exp ,
( )
( ) ( )
∫ ∫ τ τ
σ
∆ ∆ , (13)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
YNTEHRAL|NÁE NERAVENSTVA Y USTOJÇYVOST| SOSTOQNYQ RAVNOVESYQ … 1497
hde p t( ) = S t x, 0( ) , t ∈ t0, +∞[ )T . V¥berem proyzvol\noe ε > 0 y poloΩym
δ = δ ε( ) = min ε/2{ , ε/( )2KeK , δ0} . ProdolΩaq ocenku (13), pry vsex x0 ≤ δ
y t ∈ t0, +∞[ )T poluçaem
x t( ) ≤
ε
2
+ x S s x S x s0 0 0, exp ,( ) ( )
+∞ +∞
∫ ∫
α α
τ τ∆ ∆ ≤
≤
ε
2
+ x e S s x sK
0 0,( )
+∞
∫
α
∆ ≤
≤
ε
2
+ e K xK
0 ≤ ε,
otkuda y sleduet ravnomernaq ustojçyvost\ nulevoho sostoqnyq ravnovesyq
system¥ (1).
Teorema 2 dokazana.
Zameçanye 1. V sluçae, kohda T = R, yntehral y ∆-proyzvodnaq na T
sovpadagt s yntehralom Rymana y πjlerovoj proyzvodnoj. Poπtomu teore-
m¥13.5.1 y 3.5.7 yz [1] avtomatyçesky poluçagtsq kak sledstvyq yz teorem 1 y 2.
Pust\ teper\ T = Z. V πtom sluçae naçal\naq zadaça (1), (2) prynymaet vyd
∆x( )τ = f x tτ, ( )( ) , τ ∈ I , (14)
x x( ; , )τ τ0 0 0 = x0 , τ0 ∈ I , x n
0 ∈R , (15)
hde x n∈R , ∆x( )τ = x( )τ + 1 – x( )τ , I = α{ , α + 1, α + 2, …} , α ∈Z , f : I ×
× Rn → Rn
, f ( , )τ 0 ≡ 0, y dlq zadaçy (14), (15) v¥polnqgtsq uslovyq suwest-
vovanyq y edynstvennosty reßenyq na τ0, +∞[ )T pry lgb¥x naçal\n¥x dann¥x
( , )τ0 0x ∈ I × Rn
.
Sledstvye 3. PredpoloΩym, çto suwestvugt funkcyy L , M : I × R+ →
→ R+ takye, çto L( , )τ 0 ≡ 0 y v¥polnqgtsq neravenstva:
1) f x( , )τ ≤ L xτ,( ) pry vsex τ ∈ I , x n∈R ,
2) 0 ≤ L u( , )τ – L( , )τ v ≤ M u( , ) ( )τ v v− pry vsex τ ∈ I , u ≥ v ≥ 0.
Esly suwestvugt postoqnn¥e K > 0, δ0 > 0 takye, çto
M( , )τ δ
τ α=
+∞
∑ ≤ K
dlq lgboho 0 ≤ δ ≤ δ0 , to sostoqnye ravnovesyq x t( ) ≡ 0 system¥1(14) rav-
nomerno ustojçyvo.
Sledstvye 4. PredpoloΩym, çto suwestvuet funkcyq S : I × R+ → R+
takaq, çto pry vsex t I∈ y x, y n∈R v¥polnqetsq neravenstvo
f t x y f t x( , ) ( , )+ − ≤ S t x y,( ) .
Tohda esly suwestvugt postoqnn¥e K > 0 y δ0 > 0 takye, çto
S( , )τ δ
τ α=
+∞
∑ ≤ K
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
1498 T. A. LUK|QNOVA, A. A. MARTÁNGK
dlq lgboho 0 ≤ δ ≤ δ0 , to sostoqnye ravnovesyq x t( ) ≡ 0 system¥ (14) rav-
nomerno ustojçyvo.
5. Prymer. Rassmotrym systemu dynamyçeskyx uravnenyj na vremennoj
ßkale T vyda
x t A t x t∆ ( ) ( ) ( )= , (16)
hde x = ( , )x x1 2
T
, x1 , x2 : T → R, A t( ) =
0
0
a t
a t
( )
( )
, I = α, +∞[ )T . Predpo-
loΩym, çto funkcyq a : T → R qvlqetsq neprer¥vnoj, rehressyvnoj, a t( ) ≠ 0
pry vsex t I∈ y
a s s( )
α
+∞
∫ ∆ ≤ M .
Qsno, çto funkcyq f t x( , ) = A t x( ) qvlqetsq rd-neprer¥vnoj. PokaΩem,
çto ona rehressyvna. Dlq πtoho dostatoçno pokazat\, çto pry lgbom fyksyro-
vannom t I∈ operator F : R2 → R2
, dejstvugwyj po formule F x( ) = x +
+ µ( ) ( )t A t x , obratym. Dlq lgboho z ∈R2
uravnenye F( )ξ = z ymeet edynst-
vennoe reßenye ξ = z t a t2 1( +/( ( ) ( ))µ , z t a t1 1/( ( ) ( ))+ )µ T
, çto y oznaçaet obra-
tymost\ operatora F y, sootvetstvenno, rehressyvnost\ funkcyy f t x( , ) .
Poskol\ku f t x( , ) = a t x( ) , v¥polnen¥ uslovyq lemm¥13, t.1e. su-
westvuet edynstvennoe reßenye system¥ (16) na t0, +∞[ )T pry lgb¥x naçal\-
n¥x dann¥x ( , )t x0 0 ∈ I × R2
.
Proverym v¥polnenye uslovyj teorem¥11. Lehko vydet\, çto L t u( , ) =
= a t u( ) ≥ 0 pry u ≥ 0 y, krome toho, 0 ≤ L t u( , ) – L t( , )v = a t u( ) ( )− v pry
u ≥ v ≥ 0 y M t( , )v = a t( ) . Funkcyy L t u( , ) , M t( , )v rd-neprer¥vn¥, po-
πtomu uslovyq teorem¥11 v¥polnen¥ y sostoqnye ravnovesyq x t( ) ≡ 0 syste-
m¥1(16) ravnomerno ustojçyvo.
V çastnosty, funkcyq
a t( ) = � �λ αλe t( , ) =
λ
µ λ
αλ
1 + ( )
( , )
t
e t�
pry neprer¥vnoj µ( )t qvlqetsq neprer¥vnoj y rehressyvnoj pry λ > 0. Po-
skol\ku
λ
µ λ
α
α
λ
1 +
+∞
∫ ( )
( , )
s
e s s� ∆ = −
+∞
∫ � �λ α
α
λe s s( , ) ∆ = − +∞e s�λ αα( , ) =
= − −
→+∞
lim ( , ) ( , )
s
e s e� �λ λα α α = 1,
sostoqnye ravnovesyq x t( ) ≡ 0 system¥ (16) ravnomerno ustojçyvo.
6. Zaklgçytel\n¥e zameçanyq. Za redkym ysklgçenyem (sm. [4]) osnov-
n¥m yntehral\n¥m neravenstvom, prymenqem¥m na vremennoj ßkale, qvlqetsq
neravenstvo Hronuolla (sm. [3]) y nekotor¥e eho modyfykacyy. Lemm¥ 4 y 5,
pryvedenn¥e v πtoj stat\e, pozvolqgt rasßyryt\ hranyc¥ prymenymosty yn-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
YNTEHRAL|NÁE NERAVENSTVA Y USTOJÇYVOST| SOSTOQNYQ RAVNOVESYQ … 1499
tehral\n¥x neravenstv na vremennoj ßkale v processe analyza reßenyj dyna-
myçeskyx uravnenyj. Yx prymenenye moΩet okazat\sq perspektyvn¥m v soçeta-
nyy s metodom funkcyy Lqpunova dlq dynamyçeskyx uravnenyj (sm. [7]).
1. Dragomir S. S. The Gronwall type lemmas and applications. – Timisoara: Tipografia Univ. Timi-
soara, 1987. – 90 p.
2. Boxner M., Mart¥ngk A. A. ∏lement¥ teoryy ustojçyvosty A. M. Lqpunova dlq dynamy-
çeskyx uravnenyj na vremennoj ßkale // Prykl. mexanyka. – 2007. – 43, # 9. – S. 3 – 27.
3. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scales: An introduction with applications. –
Boston: Birkhäuser, 2001. – 358 p.
4. Pachpatte D. B. Explicit estimates on integral inequalities with time scale // J. Inequalities in Pure
and Appl. Math. – 2006. – 7, # 4.
5. Bohner M. Some oscillation criteria for first order delay dynamic equations // Far East J. Appl.
Math. – 2005. – 18, # 3. – P. 289 – 304.
6. Peterson A. C., Raffoul Y. N. Exponential stability of dynamic equations on time scales // Adv.
Difference Equat. – 2005. – 2005, # 2. – P. 133 – 144.
7. Mart¥ngk-Çernyenko G. A. K teoryy ustojçyvosty dvyΩenyq nelynejnoj system¥ na vre-
mennoj ßkale // Ukr. mat. Ωurn. – 2008. – 60, # 6. – S. 776 – 782.
Poluçeno 30.11.09,
posle dorabotky — 02.07.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
|