Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами
С помощью метода сжимающих отображений доказаны существование и единственность при малых значениях времени обобщенного липшицевого решения смешанной задачи с неизвестными границами для записанной в инвариантах Римана гиперболической квазилинейной системы уравнений первого порядка с нелокальными (нер...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166284 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами / Р.В. Андрусяк, Н.О. Будейна, В.М. Кирилич // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1173–1199. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166284 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1662842025-02-09T13:25:41Z Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами Quasilinear hyperbolic stefan problem with nonlocal boundary conditions Андрусяк, Р.В. Бурдейна, Н.О. Кирилич, В.М. Статті С помощью метода сжимающих отображений доказаны существование и единственность при малых значениях времени обобщенного липшицевого решения смешанной задачи с неизвестными границами для записанной в инвариантах Римана гиперболической квазилинейной системы уравнений первого порядка с нелокальными (неразделенными и интегральными) граничными условиями. Using the method of contracting mappings, we prove, for small values of time, the existence and uniqueness of a generalized Lipschitz solution of a mixed problem with unknown boundaries for a hyperbolic quasilinear system of first-order equations represented in terms of Riemann invariants with nonlocal (nonseparated and integral) boundary conditions. 2010 Article Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами / Р.В. Андрусяк, Н.О. Будейна, В.М. Кирилич // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1173–1199. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166284 517.956 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Андрусяк, Р.В. Бурдейна, Н.О. Кирилич, В.М. Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами Український математичний журнал |
| description |
С помощью метода сжимающих отображений доказаны существование и единственность при малых значениях времени обобщенного липшицевого решения смешанной задачи с неизвестными границами для записанной в инвариантах Римана гиперболической квазилинейной системы уравнений первого порядка с нелокальными (неразделенными и интегральными) граничными условиями. |
| format |
Article |
| author |
Андрусяк, Р.В. Бурдейна, Н.О. Кирилич, В.М. |
| author_facet |
Андрусяк, Р.В. Бурдейна, Н.О. Кирилич, В.М. |
| author_sort |
Андрусяк, Р.В. |
| title |
Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами |
| title_short |
Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами |
| title_full |
Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами |
| title_fullStr |
Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами |
| title_full_unstemmed |
Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами |
| title_sort |
квазілінійна гіперболічна задача стефана з нелокальними крайовими умовами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166284 |
| citation_txt |
Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами / Р.В. Андрусяк, Н.О. Будейна, В.М. Кирилич // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1173–1199. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT andrusâkrv kvazílíníjnagíperbolíčnazadačastefanaznelokalʹnimikrajovimiumovami AT burdejnano kvazílíníjnagíperbolíčnazadačastefanaznelokalʹnimikrajovimiumovami AT kiriličvm kvazílíníjnagíperbolíčnazadačastefanaznelokalʹnimikrajovimiumovami AT andrusâkrv quasilinearhyperbolicstefanproblemwithnonlocalboundaryconditions AT burdejnano quasilinearhyperbolicstefanproblemwithnonlocalboundaryconditions AT kiriličvm quasilinearhyperbolicstefanproblemwithnonlocalboundaryconditions |
| first_indexed |
2025-11-26T03:40:58Z |
| last_indexed |
2025-11-26T03:40:58Z |
| _version_ |
1849822766764654592 |
| fulltext |
УДК 517.956
Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна, В. М. Кирилич (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА
З НЕЛОКАЛЬНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ
By applying the method of contractive mappings, for small values of time, we prove the existence and
uniqueness of the generalized Lipschitzian solution of the mixed problem with unknown boundaries for a
hyperbolic quasilinear system of first-order equations, which is presented in terms of the Riemann invariants
and contains nonlocal (unseparated and integral) boundary conditions.
С помощью метода сжимающих отображений доказаны существование и единственность при малых
значениях времени обобщенного липшицевого решения смешанной задачи с неизвестными границами
для записанной в инвариантах Римана гиперболической квазилинейной системы уравнений первого
порядка с нелокальными (неразделенными и интегральными) граничными условиями.
1. Вступ. Задачi Стефана, як правило, пов’язують з рiвняннями параболiчного
та елiптичного типiв (див. [1] та наведену в нiй бiблiографiю). Однак, багато ма-
тематичних моделей теорiї в’язкопружних середовищ (середовища з „пам’яттю”)
[2 – 4], теплопровiдностi (якщо швидкiсть поширення тепла є скiнченною) [1, 5, 6],
руху ґрунтових вод [7] приводять до коливальних процесiв, що вказує на хви-
льову „природу” температуропровiдностi [1]. Зокрема, якщо в класичному зако-
нi Фур’є поширення тепла в середовищi замiсть q(x, t) = −kTx(x, t) розглянути
q(x, t + τ) = −kTx(x, t), τ > 0 (при цьому швидкiсть поширення тепла вважати
скiнченною), то прийдемо до гiперболiчного рiвняння теплопровiдностi (телегра-
фного рiвняння) [1, 5 – 8]
τTtt + Tt = a2Txx.
Застосувавши цей пiдхiд, наприклад, в задачi з невiдомими межами [8], отримаємо
до вiдповiдну задачу для гiперболiчної системи рiвнянь першого порядку (s(t) —
невiдома межа)
Tt + qx = 0,
τqt + a2Tx = −q,
0 < x < s(t), t > 0,
з умовою на поведiнку вiльної межi
s′(t)(1 + T (s(t), t)) = q(s(t), t), t > 0,
та певними початковими i крайовими умовами.
Зокрема, якщо пiдпорядкувати узагальненому закону Фур’є (закону Каттанео –
Фур’є [1, 5]) математичнi моделi iз [9], а саме,
∂2u
∂x2
− ∂u
∂t
= x1−βuβ , 0 < x < s(t), t > 0,
u(x, 0) = 0, 0 < x < s(0),
u(s(t), t) = ux(s(t), t) = 0, t > 0,
c© М. БАЙРАМОГЛЫ, Н. М. АСЛАНОВА, 2010
1172 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1173
s(t)∫
0
[ut + x1−βuβ ]xdx = u(0, t), t > 0,
то одержимо задачу з невiдомою межею s(t) та iнтегральними умовами для вказаної
вище гiперболiчної системи рiвнянь першого порядку.
Задачi з нелокальними (iнтегральними) умовами виникають в теорiї бiопопуля-
цiй, демографiї, фiзицi тощо. Наприклад, вивчення пружних коливань п’єзоелек-
тричного перетворювача [10], який має форму тонкого плоского кiльця, мiж зовнiш-
нiм i внутрiшнiм радiусами якого прикладено iмпульсну напругу v(t), базується на
дослiдженнi розв’язкiв задачi
∂2u
∂t2
= v2
(
∂2u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
− 1
r
u
)
, r1 < r < r2, t > 0,
u(r, 0) = ut(r, 0) = 0, u(r2, t) = 0,
h
r2∫
r1
(
∂u
∂r
− 1
r
u
)
dr = v(t),
а математична модель динамiки популяцiй в демографiчних дослiдженнях [11]
формулюється як задача про знаходження розв’язкiв рiвняння
∂ρ
∂t
+
∂ρ
∂x
= µ(x, t)ρ(x, t) + ω(x, t), x > 0, t > 0,
з умовами
ρ(x, 0) = ρ0(x), x > 0,
ρ(0, t) = β(t)
x2∫
x1
h(x, t)k(x, t)ρ(x, t)dx, t > 0.
Тут ρ(x, t) — щiльнiсть розподiлу популяцiї за вiком x в момент часу t, µ(x, t) —
коефiцiєнт смертностi, ω(x, t) — величина, що описує популяцiю мiгрантiв, а ρ0,
β, h, k — стандартнi демографiчнi параметри.
Є iншi приклади задач, що приводять до нелокальних додаткових умов для
рiвнянь i систем гiперболiчного типу [7, 12 – 15].
Вiрогiдно, одними з перших публукацiй щодо гiперболiчних задач з невiдомими
межами були працi [16 – 18]. Пiзнiше такi задачi почали називати гiперболiчними
задачами Стефана [19 – 22]. Лiтературний огляд iз проблематики гiперболiчних за-
дач з невiдомими межами наведено в [1] (гл. 8).
Гiперболiчнi задачi Стефана для лiнiйних або напiвлiнiйних рiвнянь i систем з
нелокальними умовами дослiджувались, наприклад, у [15, 23, 24].
У данiй статтi розглянуто мiшану задачу з невiдомими межами для гiперболiч-
ної системи квазiлiнiйних рiвнянь першого порядку з нелiнiйними нелокальними
(нероздiленими та iнтегральними) крайовими умовами у випадку двох незалежних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1174 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
змiнних. Коректну розв’язнiсть задачi для малих значень часу одержано з викори-
станням методики iз [25 – 27].
Деякi варiанти квазiлiнiйних гiперболiчних задач Стефана вивчались у працях
[25, 27 – 30].
2. Постановка задачi. НехайDs
T = {(x, t) ∈ R2 : 0 < t < T, s1(t) < x < s2(t)}
— область з вiльними (невiдомими) межами s(t) = (s1(t), s2(t)) : [0, T ]→ R2.
В областi Ds
T розглянемо гiперболiчну систему квазiлiнiйних рiвнянь, записану
в iнварiантах
∂ui
∂t
+ λi(x, t, u)
∂ui
∂x
= fi(x, t, u), i ∈ {1, . . . , n}, (1)
де u(x, t) = (u1(x, t), . . . , un(x, t)) : Ds
T → Rn — шуканi функцiї, а λi(x, t, u) :
Rn+2 → R, fi(x, t, u) : Rn+2 → R — вiдомi функцiї.
Нехай поведiнка функцiй sj описується системою диференцiальних рiвнянь
dsj
dt
= gj(s, t, û(s, t)), j ∈ {1, 2}. (2)
Тут û(s, t) = (u(s1, t), u(s2, t)) : R2 × [0, T ] → R2n, а gj(s, t, û) : R2n+3 → R —
вiдомi функцiї.
Доповнимо системи (1), (2) початковими умовами вигляду
s(0) = s0, (3)
u(x, 0) = α(x), x ∈ [s0
1, s
0
2], (4)
де s0 = (s0
1, s
0
2) — заданi значення, а α(x) = (α1(x), . . . , αn(x)) : [s0
1, s
0
2] → Rn —
заданий набiр функцiй.
Визначимо множини iндексiв I1, I2 таким чином:
I1 =
{
i ∈ {1, . . . , n} : λi
(
s0
1, 0, α(s0
1)
)
> g1
(
s0, 0, α̂(s0)
)}
,
I2 =
{
i ∈ {1, . . . , n} : λi
(
s0
2, 0, α(s0
2)
)
< g2
(
s0, 0, α̂(s0)
)}
,
де α̂(s0) =
(
α(s0
1), α(s0
2)
)
.
Припустимо, що на бiчних межах областi Ds
T виконуються нелокальнi крайовi
умови вигляду
ui(sj(t), t) = βij
s(t), t, ũ(s(t), t),
s2(t)∫
s1(t)
γij
(
y, t, u(y, t)
)
dy
, j ∈ {1, 2}, i ∈ Ij ,
(5)
де ũ(s, t) =
(
ui1(s1, t), . . . , uik1 (s1, t), uj1(s2, t), . . . , ujk2 (s2, t)
)
, а {i1, . . . , ik1} =
= {1, . . . , n} \I1, {j1, . . . , jk2} = {1, . . . , n}\I2, до того ж βij(s, t, ũ, v) : Rk1+k2+4 →
→ R, γij(x, t, u) : Rn+2 → R — вiдомi функцiї.
3. Узагальнений розв’язок задачi. Нехай i ∈ {1, . . . , n}, s(t) : [0, T ] → R2,
u(x, t) : Ds
T → Rn — визначенi функцiї. Розглянемо задачу Кошi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1175
dx
dt
= λi(x, t, u(x, t)), x(t0) = x0.
Умови теореми та припущення просторуM, в межах якого будуть вибиратися па-
ри функцiй (u, s) (див. доведення теореми нижче), забезпечують неперервнiсть та
лiпшицевiсть за змiнною x правої частини рiвняння на множинi Ds
T , тому задача
Кошi має єдиний розв’язок, який можна продовжити до межi областi Ds
T . Позна-
чимо його через ϕi[u](t;x0, t0). В результатi отримаємо сiм’ю функцiй аргументу
t з параметрами x0, t0, яка, в свою чергу, залежить вiд вибору функцiї u, тобто,
iншими словами, сiм’ю операторiв.
Зауважимо, що розв’язок ϕi[u](t;x0, t0) при фiксованих i, s, u, x0, t0 можна
продовжити до перетину з межею областi Ds
T . Нехай
χi[u, s](x0, t0) = min
{
t ∈ [0, t0] : (ϕi[u](t;x0, t0), t) ∈ Ds
T
}
.
Таким чином, функцiю ϕi[u](t;x0, t0) визначено на вiдрiзку [χi[u, s](x0, t0), t0], до
того ж χi[u, s](x0, t0) є сiм’єю функцiоналiв iз параметрами x0, t0.
Запишемо систему рiвнянь (1) у виглядi
dui(ϕi[u](t;x0, t0), t)
dt
= fi(ϕi[u](t;x0, t0), t, u(ϕi[u](t;x0, t0), t)), i ∈ {1, . . . , n}.
Зiнтегруємо кожне рiвняння отриманої системи в межах вiд χi[u, s](x0, t0) до t0. В
результатi отримаємо систему iнтегро-функцiональних рiвнянь
ui(x, t) = ui(ϕi[u](χi[u, s](x, t);x, t), χi[u, s](x, t))+
+
t∫
χi[u,s](x,t)
fi(ϕi[u](τ ;x, t), τ, u(ϕi[u](τ ;x, t), τ)) dτ, i ∈ {1, . . . , n}. (6)
Зауважимо, що системи (1) та (6) еквiвалентнi в класi функцiй (u, s) ∈ [C1(Ds
T )]n
×[C1[0, T ]]2, проте розв’язок останньої системи може бути, взагалi кажучи, неди-
ференцiйовним.
Означення. Узагальненим ров’язком задачi (1) – (5), визначеним на вiдрiзку
[0, T0], будемо називати набiр функцiй (u, s) ∈
[
Lip(Ds
T0
)
]n × [C1[0, T0]
]2
, 0 <
< T0 ≤ T, що задовольняє системи (2), (6), а також умови (3) – (5). Якщо T0 < T,
то розв’язок є локальним.
Розв’язнiсть задачi. Визначимо наступнi множини:
D1
T (U, S) =
{
(x, t, u) ∈ Rn+2 : 0 ≤ t ≤ T, s0
1 − St ≤ x ≤ s0
2 + St, |u| ≤ U
}
,
D2
T (U, S) =
{
(s, t, û) ∈ R2n+3 : 0 ≤ t ≤ T,
s0
j − St ≤ sj ≤ s0
j + St, j ∈ {1, 2}, |û| ≤ U
}
,
D3
T (U, V, S) =
{
(s, t, ũ, v) ∈ Rk1+k2+4 :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1176 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
0 ≤ t ≤ T, s0
j − St ≤ sj ≤ s0
j + St, j ∈ {1, 2}, |ũ| ≤ U, |v| ≤ V
}
.
Тут | · | — норма у просторi RN в сенсi максимум модулiв (розмiрнiсть N у кожному
випадку буде зрозумiлою iз контексту),
U = max
i∈{1,...,n}
x∈[s01,s
0
2]
|αi(x)|+ 1, S = max
j∈{1,2}
∣∣gj(s0, 0, α̂(s0))
∣∣+ 1,
V = (s0
2 − s0
1 + 2ST )Γ, Γ = max
j∈{1,2}, i∈Ij
(x,t,u)∈D1
T (U,S)
|γij(x, t, u)|.
Введемо також iншi позначення:
Λ = max
i∈{1,...,n}
(x,t,u)∈D1
T (U,S)
|λi(x, t, u)|, F = max
i∈{1,...,n}
(x,t,u)∈D1
T (U,S)
|fi(x, t, u)|,
δ =
1
2
min
i∈{1,...,n}, j∈{1,2}
∣∣λi(s0
j , 0, α(s0
j ))− gj(s0, 0, α̂(s0))
∣∣,
i нехай λ0, f0, g0, α0, β0, γ0 — сталi Лiпшиця функцiй λi, fi, gj , αi, βij , γij за
вiдповiдними змiнними.
Визначимо
αi(x) =
αi(x), якщо x ∈ [s0
1, s
0
2],
αi(s
0
1), якщо x ∈ (−∞, s0
1),
αi(s
0
2), якщо x ∈ (s0
2,+∞).
Далi будемо використовувати позначення4kF (k) для рiзницi F (1)−F (2) (змiст
функцiї F у кожному випадку буде зрозумiлим iз контексту).
Теорема. Нехай виконуються наступнi умови:
1) λi ∈ C(D1
T (U, S)) ∩ Lipx,u(D1
T (U, S)), i ∈ {1, . . . , n};
2) fi ∈ C(D1
T (U, S)) ∩ Lipx,u(D1
T (U, S)), i ∈ {1, . . . , n};
3) gj ∈ C(D2
T (U, S)) ∩ Lips,û(D2
T (U, S)), j ∈ {1, 2};
4) αi ∈ Lip[s0
1, s
0
2], i ∈ {1, . . . , n};
5) βij ∈ Lip(D3
T (U, V, S)), j ∈ {1, 2}, i ∈ Ij ;
6) γij ∈ C(D1
T (U, S)) ∩ Lipt,u(D1
T (U, S)), j ∈ {1, 2}, i ∈ Ij ;
7) λi(s
0
j , 0, α(s0
j )) 6= gj(s
0, 0, α̂(s0)), j ∈ {1, 2}, i ∈ {1, . . . , n};
8) αi(s
0
j ) = βij
(
s0, 0, α̃(s0),
∫ s02
s01
γij(y, 0, α(y)) dy
)
, j ∈ {1, 2}, i ∈ Ij , де α̃(s0)
— набiр k1 + k2 сталих вигляду αi(s0
j ), j ∈ {1, 2}, i 6∈ Ij .
Тодi на вiдрiзку [0, T0] iснує єдиний узагальнений розв’язок задачi (1) – (5), а значен-
ня T0 визначається вихiдними даними задачi.
Доведення. Розглянемо метричний простiр (M, ρ), деM =M(T0, U0, Lx, Lt)
— множина наборiв функцiй (u, s) ∈
[
C(Ds
T0
)
]n × [C[0, T0]
]2
, 0 < T0 ≤ T, що
задовольняють такi обмеження:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1177
1) sj ∈ Lip([0, T0], S), sj(0) = s0
j , j ∈ {1, 2} (S — стала, що обмежує зверху
сталi Лiпшиця функцiй sj);
2) |ui(x, t) − αi(x)| ≤ U0 ≤ 1, (x, t) ∈ Ds
T0
, ui(x, 0) = αi(x), x ∈ [s0
1, s
0
2],
i ∈ {1, . . . , n};
3) ui ∈ Lip(Ds
T0
, Lx, Lt), Lx ≥ 1, i ∈ {1, . . . , n} (Lx, Lt — сталi, що обмежують
зверху сталi Лiпшиця функцiй ui за змiнними x та t вiдповiдно).
Нехай (u1, s1) ∈ M, (u2, s2) ∈ M. Вiдстань мiж елементами простору M
визначимо згiдно з формулою
ρ
(
(u1, s1), (u2, s2)
)
=
= max
max
i∈{1,...,n}
(x,t)∈Ds1T0∪D
s2
T0
|ū1
i (x, t)− ū2
i (x, t)|, max
j∈{1,2}
t∈[0,T0]
|s1
j (t)− s2
j (t)|
,
де
ū(x, t) = (ū1(x, t), . . . , ūn(x, t)) =
u(x, t), якщо (x, t) ∈ Ds
T0
,
u(s1(t), t), якщо x < s1(t),
u(s2(t), t), якщо s2(t) < x.
Лема 1. Метричний простiр (M, ρ) є повним.
Доведення. Нехай (un, sn) ∈ M, n ∈ N, — фундаментальна послiдовнiсть,
тобто така, що для довiльного ε > 0 при достатньо великих значеннях n та m
виконуються оцiнки
|sn(t)− sm(t)| ≤ ε, t ∈ [0, T0], (7)
|ūn(x, t)− ūm(x, t)| ≤ ε, (x, t) ∈ Dsn
T0
∪Dsm
T0
. (8)
На основi оцiнки (7), використовуючи повноту простору C[0, T0] з рiвномiр-
ною метрикою, виводимо iснування функцiї s ∈ [C[0, T0]]2, до якої рiвномiрно
збiгається на вiдрiзку [0, T0] послiдовнiсть sn.
Зафiксуємо точку (x0, t0) ∈ Ds
T0
. Нехай O(x0, t0) — окiл цiєї точки такий, що
O(x0, t0) ⊂ Ds
T0
. Тодi при достатньо великих значеннях n маємо O(x0, t0) ⊂ Dsn
T0
,
а отже, при достатньо великих значеннях n та m виконується оцiнка∣∣un(x, t)− um(x, t)
∣∣ ≤ ε, (x, t) ∈ O(x0, t0),
звiдки виводимо iснування функцiї u ∈ [C(O(x0, t0))]n, до якої рiвномiрно збiга-
ється на множинi O(x0, t0) послiдовнiсть un.
Таким чином, враховуючи довiльнiсть вибору точки (x0, t0), переконуємося в
iснуваннi функцiї u ∈ [C(Ds
T0
)]n, значення якої в кожнiй точцi (x0, t0) ∈ Ds
T0
є
границею послiдовностi ūn(x0, t0) i яку за неперервнiстю продовжили на межу
областi Ds
T0
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1178 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
Доведемо, що послiдовнiсть (un, sn) збiгається в метрицi ρ до набору функцiй
(u, s), тобто для довiльного ε > 0 при достатньо великих значеннях n виконуються
оцiнки ∣∣sn(t)− s(t)
∣∣ ≤ ε, t ∈ [0, T0], (9)
∣∣ūn(x, t)− ū(x, t)
∣∣ ≤ ε, (x, t) ∈ Dsn
T0
∪Ds
T0
. (10)
Зауважимо, що оцiнка (9) випливає iз нерiвностi (7), якщо в останнiй перейти
до границi при m → ∞ при кожному фiксованому t ∈ [0, T0]. Тому залишилося
встановити оцiнку (10).
Спочатку покажемо, що послiдовнiсть функцiй ūn є одностайно неперервною
при достатньо великих значеннях n, тобто для довiльного ε > 0 при достатньо
великих значеннях n виконується оцiнка∣∣ūn(x1, t)− ūn(x2, t)
∣∣ ≤ ε, (xk, t) ∈ Dsn
T0
, k ∈ {1, 2},
якщо значення xk, k ∈ {1, 2}, є достатньо близькими, тобто |x1 − x2| ≤ δ, до того
ж δ не залежить вiд n.
Отже, зафiксуємо ε > 0, а також достатньо велике значення m, тодi справджу-
ються спiввiдношення
|ūn(x, t)− ūm(x, t)| ≤ ε/3, (x, t) ∈ Dsn
T0
∪Dsm
T0
, n ≥ N,
де значення N є достатньо великим,∣∣ūm(x1, t)− ūm(x2, t)
∣∣ ≤ ε/3, (xk, t) ∈ Dsm
T0
, k ∈ {1, 2}, |x1 − x2| ≤ δ,
де значення δ є достатньо малим, m — фiксоване. Врахувавши отриманi оцiнки,
запишемо
|ūn(x1, t)− ūn(x2, t)| ≤
≤ |ūn(x1, t)− ūm(x1, t)|+ |ūm(x1, t)− ūm(x2, t)|+ |ūm(x2, t)− ūn(x2, t)| ≤
≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, (xk, t) ∈ Dsn
T0
, k ∈ {1, 2}, n ≥ N, |x1 − x2| ≤ δ,
що i доводить одностайну неперервнiсть розглядуваної послiдовностi.
Перейдемо до встановлення оцiнки (10) для довiльного ε > 0 при достатньо
великих значеннях n. Зафiксуємо ε > 0, тодi мають мiсце нерiвностi∣∣ūn(x1, t)− ūn(x2, t)
∣∣ ≤ ε/3,
(xk, t) ∈ Dsn
T0
, k ∈ {1, 2}, n ≥ N1, |x1 − x2| ≤ δ,∣∣ū(x1, t)− ū(x2, t)
∣∣ ≤ ε/3, (xk, t) ∈ Ds
T0
, k ∈ {1, 2}, |x1 − x2| ≤ δ,
де значення N1 є достатньо великим, а δ — достатньо малим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1179
Нехай Ds,δ
T0
=
{
(x, t) ∈ R2 : 0 < t < T0, s1(t) + δ/2 < x < s2(t) − δ/2
}
.
Тодi, згiдно з доведеним, послiдовнiсть un рiвномiрно збiгається до функцiї u на
множинi Ds,δ
T0
. Тому виконується оцiнка∣∣un(x, t)− u(x, t)
∣∣ ≤ ε/3, (x, t) ∈ Ds,δ
T0
, n ≥ N2, (11)
де значення N2 є достатньо великим.
Насамкiнець запишемо нерiвнiсть
|sn(t)− s(t)| ≤ δ/2, t ∈ [0, T0], n ≥ N3,
де значення N3 є достатньо великим, а отже, маємо
ūn(x, t) = un(x, t), (x, t) ∈ Ds,δ
T0
, n ≥ N3.
Таким чином, отримуємо потрiбну оцiнку
|ūn(x, t)− ū(x, t)| ≤
≤ |ūn(x, t)− un(x+ δ, t)|+ |un(x+ δ, t)−
−u(x+ δ, t)|+ |u(x+ δ, t)− ū(x, t)| ≤
≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, (x, t) ∈ Dsn
T0
∪Ds
T0
,
x < s1(t) + δ/2, n ≥ max{N1, N2, N3}.
Припущення x < s1(t) + δ/2 є несуттєвим i ввведене лише для визначеностi. У
випадку x > s2(t)−δ/2 оцiнка встановлюється аналогiчно, а випадок s1(t)+δ/2 ≤
x ≤ s2(t)− δ/2 розглядати не потрiбно (див. оцiнку (11)).
Лему доведено.
Нехай (u, s) ∈ M — узагальнений розв’язок задачi (1) – (5), до того ж викону-
ється умова ∣∣∣∣ ddτ ϕi[u](τ ; sj(t), t)
∣∣∣
τ=t
− s′j(t)
∣∣∣∣ ≥ δ > 0, (12)
i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, 2}, t ∈ [0, T0].
Тодi пара функцiй (u, s) задовольняє систему iнтегро-операторних рiвнянь
sj(t) = s0
j +
t∫
0
gj(s(τ), τ, û(s(τ), τ)) dτ, j ∈ {1, 2},
ui(x, t) = Bi[u, s](x, t)+
+
t∫
χi[u,s](x,t)
fi(ϕi[u](τ ;x, t), τ, u(ϕi[u](τ ;x, t), τ)) dτ, i ∈ {1, . . . , n},
(13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1180 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
де Bi — оператор, визначений на елементах простору M згiдно з формулою (тут
використовуємо позначення χu,si
df
= χi[u, s](x, t))
Bi[u, s](x, t) =
αi(ϕi[u](0;x, t)), якщо χu,si = 0,
βij
s(χu,si ), χu,si , ũ(s(χu,si ), χu,si ),
s2(χu,si )∫
s1(χu,si )
γij(y, χ
u,s
i , u(y, χu,si ))dy
,
якщо ϕi[u](χu,si ;x, t) = sj(χ
u,s
i ), j ∈ {1, 2}.
Справедливим є й обернене твердження: достатньо гладкий розв’язок системи
рiвнянь (13), що задовольняє умову (12), є узагальненим розв’язком задачi (1) – (5).
Еквiвалентнiсть задачi (1) – (5) та системи iнтегро-операторних рiвнянь (13)
дозволяє звести вiдшукання узагальненого розв’язку задачi до знаходження не-
рухомої точки оператора, що визначатиметься на основi правих частин рiвнянь
системи (13).
На елементах просторуM визначимо оператор A:
A[u, s] = (Au[u, s],As[u, s]) =
(
Au1 [u, s], . . . ,Aun[u, s], As1[u, s],As2[u, s]
)
,
Asj [u, s](t) = s0
j +
t∫
0
gj(s(τ), τ, û(s(τ), τ)) dτ, t ∈ [0, T0], j ∈ {1, 2},
Aui [u, s](x, t) = Bi[u, s](x, t) +
+
t∫
χi[P[u,s],As[u,s]](x,t)
fi
(
ϕi[P[u, s]](τ ;x, t), τ,P[u, s](ϕi[P[u, s]](τ ;x, t), τ)
)
dτ,
(x, t) ∈ DAs[u,s]
T0
, i ∈ {1, . . . , n},
де B — оператор, визначений наM згiдно з формулою (тут використовуємо позна-
чення χP,A
s
i
df
= χi
[
P[u, s],As[u, s]
]
(x, t))
Bi[u, s](x, t) =
=
αi
(
ϕi[P[u, s]](0;x, t)
)
, якщо χP,A
s
i = 0,
βij
(
As[u, s](χP,A
s
i ), χP,A
s
i , Ãu[u, s]
(
As[u, s](χP,A
s
i ), χP,A
s
i
)
,Jij [u, s](χP,A
s
i )
)
,
якщо ϕi[P[u, s]](χP,A
s
i ;x, t) = Asj [u, s](χ
P,As
i ), j ∈ {1, 2},
оператор Jij [u, s]:
Jij [u, s](t) =
s01+max{S,Λ}t∫
As1[u,s](t)
γij(y, t,P[u, s](y, t)) dy+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1181
+
s02−max{S,Λ}t∫
s01+max{S,Λ}t
γij(y, t,Au[u, s](y, t)) dy+
+
As2[u,s](t)∫
s02−max{S,Λ}t
γij(y, t,P[u, s](y, t)) dy,
а оператор P[u, s] =
(
P1[u, s], . . . ,Pn[u, s]
)
:
Pi[u, s](x, t) =
ui(x, t), якщо (x, t) ∈ Ds
T0
∩DA
s[u,s]
T0
,
ui(s1(t), t), якщо As1[u, s](t) ≤ x ≤ s1(t),
ui(s2(t), t), якщо s2(t) ≤ x ≤ As2[u, s](t),(
оператор P переводить пару (u, s) у набiр n функцiй, що визначенi на DA
s[u,s]
T0
)
.
Для коректностi визначення оператора A припускаємо виконання умови∣∣∣∣ ddτ ϕi[P[u, s]](τ ;Asj [u, s](t), t)
∣∣∣
τ=t
−Asj [u, s]′(t)
∣∣∣∣ ≥ δ > 0,
(u, s) ∈M, i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, 2}, t ∈ [0, T0].
(14)
Для спрощення мiркувань встановимо обмеження на T0:
T0 ≤ T 1
0 , де T 1
0 =
s0
2 − s0
1
2 max{S,Λ}
. (15)
Проаналiзуємо можливi випадки.
Якщо χi[P[u, s],As[u, s]](x, t) = 0, то Bi[u, s](x, t) визначається однозначно.
Якщо ж χi[P[u, s],As[u, s]](x, t) > 0, то значення Bi[u, s](x, t) визначається за
другою альтернативою через значення Aui [u, s](Asj [u, s](t), t), j ∈ {1, 2}, i 6∈ Ij ,
якi, в свою чергу, виражаються через значення Bi[u, s](Asj [u, s](t), t), а останнi з
урахуванням умови (15) та обмеження 1) простору M щодо функцiй Asj [u, s](t)
обчислюються згiдно з першою альтернативою цiлком однозначно.
Наступний етап дослiдження – встановлення обмежень на параметри простору
M, при яких iснує єдина нерухома точка оператора A в цьому метричному просто-
рi, яка i буде узагальненим розв’язком задачi (1) – (5). Для доведення iснування та
єдиностi нерухомої точки оператора скористаємося теоремою Банаха про стиску-
ючi вiдображення, а тому дослiдимо, за яких умов оператор A переводить повний
метричний простiр M в себе, є стискуючим, а також виконується спiввiдношен-
ня (14).
Перевiримо виконання обмеження 1) просторуM щодо функцiй Asj [u, s](t).
Нехай (u, s) ∈M, tk ∈ [0, T0], k ∈ {1, 2}. Доведемо, що
Asj [u, s] ∈ Lip([0, T0], S), j ∈ {1, 2},
або
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1182 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ∣∣4kAsj [u, s](tk)
∣∣ ≤ S|4ktk|, j ∈ {1, 2}. (16)
Враховуючи оцiнки∣∣sj(t)− s0
j
∣∣ ≤ ST0,∣∣ui(sj(t), t)− αi(s0
j )
∣∣ ≤ U0 + α0ST0,
t ∈ [0, T0], i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, 2},
при достатньо малих значеннях параметрiв T0 та U0
T0 ≤ T 2
0 , U0 ≤ U1
0 ,
отримуємо правильнi нерiвностi∣∣gj(s(t), t, û(s(t), t))− gj(s0, 0, α̂(s0))
∣∣ ≤ 1, t ∈ [0, T0], j ∈ {1, 2}.
Справедливiсть умови (16) виводимо з оцiнки
|4kAsj [u, s](tk)| ≤
∣∣∣∣∣∣
t2∫
t1
|gj(s(τ), τ, û(s(τ), τ))| dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
t2∫
t1
(|gj(s(τ), τ, û(s(τ), τ))− gj(s0, 0, α̂(s0))|+ |gj(s0, 0, α̂(s0))|) dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ S|4ktk|.
Безпосередньою пiдстановкою переконуємося у правильностi спiввiдношення
Asj [u, s](0) = s0
j , j ∈ {1, 2}.
Доведемо виконання умови (14), якщо (u, s) ∈ M, t ∈ [0, T0]. Враховуючи
оцiнки∣∣Asj [u, s](t)− s0
j
∣∣ ≤ ST0,∣∣Pi[u, s](Asj [u, s](t), t)− αi(s0
j )
∣∣ ≤ U0 + α0ST0,
i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, 2},
при достатньо малих значеннях параметрiв T0 та U0
T0 ≤ T 3
0 , U0 ≤ U2
0 ,
маємо нерiвностi∣∣λi(Asj [u, s](t), t,P[u, s](Asj [u, s](t), t))− λi(s0
j , 0, α(s0
j ))
∣∣+
+
∣∣gj(s(t), t, û(s(t), t))− gj(s0, 0, α̂(s0))
∣∣ ≤ δ.
Справедливiсть умови (14) виводимо з оцiнки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1183∣∣∣∣ ddτ ϕi[P[u, s]](τ ;Asj [u, s](t), t)
∣∣∣
τ=t
−Asj [u, s]′(t)
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣λi(Asj [u, s](t), t,P[u, s](Asj [u, s](t), t))− gj(s(t), t, û(s(t), t))
∣∣∣ ≥
≥
∣∣λi(s0
j , 0, α(s0
j ))− gj(s0, 0, α̂(s0))
∣∣−
−
∣∣∣λi(Asj [u, s](t), t,P[u, s](Asj [u, s](t), t))− λi(s0
j , 0, α(s0
j ))
∣∣∣−
−
∣∣gj(s(t), t, û(s(t), t))− gj(s0, 0, α̂(s0))
∣∣ ≥ δ.
Зафiксуємо
U0 = U∗0 , де U∗0 ≤ min
{
U1
0 , U
2
0
}
.
Покажемо виконання обмеження 2) просторуM щодо функцiй Aui [u, s](x, t).
Нехай (u, s) ∈M, (x, t) ∈ DA
s[u,s]
T0
. Доведемо справедливiсть спiввiдношення∣∣Aui [u, s](x, t)− αi(x)
∣∣ ≤ U∗0 , i ∈ {1, . . . , n}. (17)
Розглянемо перший випадок. Якщо χi[P[u, s],As[u, s]](x, t) = 0, то правильною
є оцiнка ∣∣Bi[u, s](x, t)− αi(x)
∣∣ =
=
∣∣∣αi(ϕi[P[u, s]](0;x, t)
)
− αi(x)
∣∣∣ ≤ α0
∣∣ϕi[P[u, s]](0;x, t)− x
∣∣ ≤ α0ΛT0,
а отже, виконується нерiвнiсть∣∣Aui [u, s](x, t)− αi(x)
∣∣ ≤ ∣∣Bi[u, s](x, t)− αi(x)
∣∣+
+
t∫
0
∣∣∣fi(ϕi[P[u, s]](τ ;x, t), τ,P[u, s](ϕi[P[u, s]](τ ;x, t), τ)
)∣∣∣ dτ ≤
≤ α0ΛT0 + FT0 = C1T0.
Тепер встановимо двi допомiжнi оцiнки.
На основi припущення (15) маємо
χi
[
P[u, s],As[u, s]
]
(Asj [u, s](t), t) = 0, j ∈ {1, 2}, i 6∈ Ij ,
тому має мiсце оцiнка ∣∣∣Aui [u, s]
(
Asj [u, s](t), t
)
− αi(s0)
∣∣∣ ≤
≤
∣∣αi(ϕi[P[u, s]](0;Asj [u, s](t), t)
)
− αi(s0)
∣∣+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1184 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
+
t∫
0
∣∣∣fi(ϕi[P[u, s]](τ ;Asj [u, s](t), t), τ,
P[u, s](ϕi[P[u, s]](τ ;Asj [u, s](t), t), τ)
)∣∣∣ dτ ≤
≤ α0(S + Λ)T0 + FT0 = C2T0.
Встановимо також наступну оцiнку:
∣∣∣∣∣∣∣Jij [u, s](t)−
s02∫
s01
γij(y, 0, α(y)) dy
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
s01+max{S,Λ}t∫
As1[u,s](t)
|γij(y, t,P[u, s](y, t))| dy+
+
As2[u,s](t)∫
s02−max{S,Λ}t
∣∣γij(y, t,P[u, s](y, t))
∣∣ dy+
+
∣∣∣∣∣∣∣
s02−max{S,Λ}t∫
s01+max{S,Λ}t
γij(y, t,Au[u, s](y, t)) dy −
s02∫
s01
γij(y, 0, α(y)) dy
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 2Γ
(
S + max{S,Λ}
)
T0+
+
s02−max{S,Λ}t∫
s01+max{S,Λ}t
∣∣γij(y, t,Au[u, s](y, t)) dy − γij(y, 0, α(y))
∣∣ dy+
+
s01+max{S,Λ}t∫
s01
|γij(y, 0, α(y))| dy +
s02∫
s02−max{S,Λ}t
|γij(y, 0, α(y))| dy ≤
≤ 2Γ(S + max{S,Λ})T0 + 2Γ max{S,Λ}T0+
+
s02−max{S,Λ}t∫
s01+max{S,Λ}t
γ0 max
{
t, |Au[u, s](y, t)− α(y)|
}
dy ≤
≤ 2Γ(S + 2 max{S,Λ})T0 + (s0
2 − s0
1)γ0(1 + C1)T0 = C3T0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1185
Розглянемо другий випадок. Нехай ϕi[P[u, s]](χP,A
s
i ;x, t) = Asj [u, s](χ
P,As
i ).
Тодi, використовуючи наведенi вище спiввiдношення та умови узгодження 8 тео-
реми, встановлюємо оцiнку ∣∣Bi[u, s](x, t)− αi(x)
∣∣ =
=
∣∣∣∣βij(As[u, s](χP,Asi ), χP,A
s
i ,
Ãu[u, s]
(
As[u, s](χP,A
s
i ), χP,A
s
i
)
,Jij [u, s](χP,A
s
i )
)
− αi(x)
∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣∣βij
(
As[u, s](χP,A
s
i ), χP,A
s
i , Ãu[u, s]
(
As[u, s](χP,A
s
i ), χP,A
s
i
)
,
Jij [u, s](χP,A
s
i )
)
−βij
s0, 0, α̃(s0),
s02∫
s01
γij(y, 0, α(y)) dy
∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣αi(x)− αi(s0
j )
∣∣ ≤
≤ β0 max
∣∣∣As[u, s](χP,Asi )− s0
∣∣∣, χP,Asi ,
∣∣∣Ãu[u, s]
(
As[u, s](χP,A
s
i ), χP,A
s
i
)
− α̃(s0)
∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣Jij [u, s](χP,A
s
i )−
s02∫
s01
γij(y, 0, α(y)) dy
∣∣∣∣∣∣∣
+ α0|x− s0
j | ≤
≤ β0 max
{
ST0, T0, C2T0, C3T0
}
+ α0 max{S,Λ}T0 = C4T0.
Таким чином, в цьому випадку виконується нерiвнiсть∣∣Aui [u, s](x, t)− αi(x)
∣∣ ≤ |Bi[u, s](x, t)− αi(x)|+
+
t∫
χP,A
s
i
∣∣∣fi(ϕi[P[u, s]](τ ;x, t), τ,P[u, s](ϕi[P[u, s]](τ ;x, t), τ)
)∣∣∣ dτ ≤
≤ C4T0 + FT0 = C5T0.
Отже, об’єднавши розглянутi випадки, запишемо загальну оцiнку∣∣Aui [u, s](x, t)− αi(x)
∣∣ ≤ max{C1, C5}T0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1186 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
i, як наслiдок, отримаємо спiввiдношення (17) за умови
max{C1, C5}T0 ≤ U∗0 ,
або
T0 ≤ T 4
0 , де T 4
0 =
U∗0
max{C1, C5}
.
Безпосередньою пiдстановкою переконуємося, що виконується рiвнiсть
Aui [u, s](x, 0) = αi(x), x ∈ [s0
1, s
0
2], i ∈ {1, . . . , n}.
Перевiримо виконання обмеження III) просторуM щодо функцiйAui [u, s](x, t).
Нехай (u, s) ∈ M, (xk, t) ∈ DA
s[u,s]
T0
, (x, tk) ∈ DA
s[u,s]
T0
, k ∈ {1, 2}, доведемо
справедливiсть умови
Aui [u, s] ∈ Lip
(
D
As[u,s]
T0
, Lx, Lt
)
, i ∈ {1, . . . , n},
або ∣∣4kAui [u, s](xk, t)
∣∣ ≤ Lx|4kxk|,∣∣4kAui [u, s](x, tk)
∣∣ ≤ Lt|4ktk|, i ∈ {1, . . . , n}.
(18)
Наведемо кiлька допомiжних оцiнок у виглядi лем.
Лема 2. Нехай (u, s) ∈ M, (xk, t) ∈ Ds
T0
, k ∈ {1, 2}, тодi справджується
оцiнка ∣∣4kϕi[u](τ ;xk, t)
∣∣ ≤ eλ0LxT0 |4kxk|, i ∈ {1, . . . , n}.
Доведення випливає з iнтегрального зображення функцiї ϕi[u](τ ;x, t):
ϕi[u](τ ;x, t) = x+
τ∫
t
λi
(
ϕi[u](ξ;x, t), ξ, u(ϕi[u](ξ;x, t), ξ)
)
dξ, i ∈ {1, . . . , n},
i, як наслiдок, оцiнки
∣∣4kϕi[u](τ ;xk, t)
∣∣ ≤ |4kxk|+ t∫
τ
λ0Lx|4kϕi[u](ξ;xk, t)| dξ,
та леми Гронуолла – Беллмана.
Iз леми 2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1. Нехай (u, s) ∈ M, (xk, t) ∈ DA
s[u,s]
T0
, k ∈ {1, 2}, тодi справджу-
ється оцiнка∣∣4kϕi[P[u, s]](τ ;xk, t)
∣∣ ≤ eλ0LxT0 |4kxk|, i ∈ {1, . . . , n}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1187
Лема 3. Нехай (u, s) ∈ M, (xk, t) ∈ Ds
T0
, а також задовольняється обме-
ження ϕi[u](χi[u, s](xk, t);xk, t) = sj(χi[u, s](xk, t)), k ∈ {1, 2}, для деякого j ∈
∈ {1, 2}, до того ж виконуються умови (12) та
λ0Lx(S + Λ)T0 ≤
δ
2
. (19)
Тодi має мiсце оцiнка∣∣4kχi[u, s](xk, t)∣∣ ≤ 2
δ
eλ0LxT0 |4kxk|, i ∈ {1, . . . , n}.
Доведення леми. Покладемо для визначеностi x1 < x2, ϕi[u](χi[u, s](xk, t);
xk, t) = s1(χi[u, s](xk, t)), k ∈ {1, 2}. Тодi, як наслiдок, одержимо χi[u, s](x2, t) <
< χi[u, s](x1, t). Нехай t0 ∈ [χi[u, s](x2, t), t], тодi справджується оцiнка∣∣∣∣∣ ddτ ϕi[u](τ ;x2, t)
∣∣∣∣
τ=t0
− s′1(t0)
∣∣∣∣∣ ≥
≥
∣∣∣∣∣ ddτ ϕi[u](τ ; s1(t0), t0)
∣∣∣∣
τ=t0
− s′1(t0)
∣∣∣∣∣−
−
∣∣∣∣∣ ddτ ϕi[u](τ ;x2, t)
∣∣∣∣
τ=t0
− d
dτ
ϕi[u](τ ; s1(t0), t0)
∣∣∣∣
τ=t0
∣∣∣∣∣ ≥
≥ δ −
∣∣∣λi(ϕi[u](t0;x2, t), t0, u(ϕi[u](t0;x2, t), t0)
)
−
−λi
(
s1(t0), t0, u(s1(t0), t0)
)∣∣∣ ≥
≥ δ − λ0Lx|ϕi[u](t0;x2, t)− s1(t0)| ≥ δ − λ0Lx(S + Λ)T0 ≥ δ −
δ
2
=
δ
2
.
Використовуючи дану оцiнку та теорему Лагранжа, виводимо спiввiдношення∣∣ϕi[u](χi[u, s](x1, t);x2, t)− s1(χi[u, s](x1, t))
∣∣ =
=
∣∣∣∣ ddτ ϕi[u](τ ;x2, t)
∣∣∣
τ=t0
− s′1(t0)
∣∣∣∣∣∣4kχi[u, s](xk, t)∣∣ ≥ δ
2
∣∣4kχi[u, s](xk, t)∣∣,
де t0 є деяким фiксованим значенням з промiжку (χi[u, s](x2, t), χi[u, s](x1, t)) i,
як наслiдок, отримуємо оцiнку∣∣4kχi[u, s](xk, t)∣∣ ≤ 2
δ
∣∣∣ϕi[u](χi[u, s](x1, t);x2, t)− s1(χi[u, s](x1, t))
∣∣∣ =
=
2
δ
∣∣4kϕi[u](χi[u, s](x1, t);xk, t)
∣∣ ≤ 2
δ
eλ0LxT0 |4kxk|.
Лему доведено.
Iз леми 3 випливає такий наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1188 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
Наслiдок 2. Нехай (u, s) ∈ M, (xk, t) ∈ DA
s[u,s]
T0
, а також задовольняється
обмеження
ϕi
[
P[u, s]
](
χi[P[u, s],As[u, s]](xk, t);xk, t
)
=
= Asj [u, s]
(
χi[P[u, s],As[u, s]](xk, t)
)
, k ∈ {1, 2},
для деякого j ∈ {1, 2}, до того ж виконуються умови (14) та (19). Тодi справджу-
ється оцiнка∣∣∣4kχi[P[u, s],As[u, s]](xk, t)
∣∣∣ ≤ 2
δ
eλ0LxT0 |4kxk|, i ∈ {1, . . . , n}.
Використавши наслiдки 1 та 2, встановимо умови, за яких виконуються спiв-
вiдношення (18). Припустимо, що виконується обмеження
max{Lx, Lt}T0 ≤ 1, (20)
та позначимо
χP,A
s,xk
i
df
= χi[P[u, s],As[u, s]](xk, t), χP,A
s,tk
i
df
= χi[P[u, s],As[u, s]](x, tk).
Розглянемо перший випадок. Нехай χP,A
s,xk
i = 0, k ∈ {1, 2}, тодi має мiсце
оцiнка ∣∣4kAui [u, s](xk, t)
∣∣ ≤ ∣∣∣4kαi(ϕi[P[u, s]](0;xk, t)
)∣∣∣+
+
t∫
0
∣∣∣4kfi(ϕi[P[u, s]](τ ;xk, t), τ,P[u, s](ϕi[P[u, s]](τ ;xk, t), τ)
)∣∣∣ dτ ≤
≤ (α0 + f0LxT0)eλ0LxT0 |4kxk| ≤ (α0 + f0)eλ0 |4kxk| = C6|4kxk|,
а якщо χP,A
s,tk
i = 0, k ∈ {1, 2}, то∣∣4kAui [u, s](x, tk)
∣∣ ≤ ∣∣∣4kαi(ϕi[P[u, s]](0;x, tk)
)∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣4k
tk∫
0
fi
(
ϕi[P[u, s]](τ ;x, tk), τ,P[u, s](ϕi[P[u, s]](τ ;x, tk), τ)
)
dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ((α0 + f0LxT0)Λeλ0LxT0 + F )|4ktk| ≤
≤ ((α0 + f0)Λeλ0 + F )|4ktk| = C7|4ktk|.
Отримаємо кiлька допомiжних оцiнок:∣∣4kP[u, s](x, tk)
∣∣ ≤ (LxS + Lt)|4ktk|,
а також
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1189
∣∣4kJij [u, s](tk)
∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣∣4k
s01+max{S,Λ}tk∫
As1[u,s](tk)
γij(y, tk,P[u, s](y, tk)) dy
∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣4k
s02−max{S,Λ}tk∫
s01+max{S,Λ}tk
γij(y, tk,Au[u, s](y, tk)) dy
∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣4k
As2[u,s](tk)∫
s02−max{S,Λ}tk
γij(y, tk,P[u, s](y, tk)) dy
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
(
2ΓS + 4Γ max{S,Λ}+ γ0(LxS + Lt)×
×4 max{S,Λ}T0 + γ0 max{1, C7}(s0
2 − s0
1)
)
|4ktk| ≤
≤
(
(6Γ + 4γ0(S + 1)) max{S,Λ}+ γ0 max{1, C7}(s0
2 − s0
1)
)
|4ktk| = C8|4ktk|.
Тепер розглянемо другий випадок.
Нехай ϕi
[
P[u, s]
](
χP,A
s,xk
i ;xk, t
)
= Asj [u, s]
(
χP,A
s,xk
i
)
:= Âsj [u, s]xk , k ∈
∈ {1, 2}, для деякого j ∈ {1, 2}. Тодi встановлюємо оцiнку∣∣4kAui [u, s](xk, t)
∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣4kβij(Âsj [u, s]xk , χP,As,xki ,
Ãu[u, s]
(
Âsj [u, s]xk , χ
P,As,xk
i
)
,Jij [u, s](χP,A
s,xk
i )
)∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣4k
t∫
χ
P,As,xk
i
fi
(
ϕi[P[u, s]](τ ;xk, t), τ,P[u, s](ϕi[P[u, s]](τ ;xk, t), τ)
)
dτ
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ (β0 max{S, C6(S + Λ) + F, C8}+ F )|4kχP,A
s,xk
i |+ f0LxT0e
λ0LxT0 |4kxk| =
= C9|4kχP,A
s,xk
i |+ f0LxT0e
λ0LxT0 |4kxk| ≤
≤ (C9
2
δ
eλ0 + f0e
λ0)|4kxk| = C10|4kxk|,
а якщо ϕi
[
P[u, s]
](
χP,A
s,tk
i ;x, tk
)
= Asj [u, s]
(
χP,A
s,tk
i
)
:= Âsj [u, s]tk , k ∈ {1, 2},
для деякого j ∈ {1, 2}, то ∣∣4kAui [u, s](x, tk)
∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1190 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
≤
∣∣∣∣4kβij(Âsj [u, s]tk , χP,As,tki ,
Ãu[u, s]
(
Âsj [u, s]tk , χ
P,As,tk
i
)
,Jij [u, s](χP,A
s,tk
i )
)∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣4k
tk∫
χ
P,As,tk
i
fi
(
ϕi[P[u, s]](τ ;x, tk), τ,P[u, s](ϕi[P[u, s]](τ ;x, tk), τ)
)
dτ
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C9|4kχP,A
s,tk
i |+ (f0LxT0Λeλ0LxT0 + F )|4ktk| ≤
≤ (C9
2
δ
Λeλ0 + f0Λeλ0 + F )|4ktk| = C11|4ktk|.
Зауважимо, що решта випадкiв зводяться до розглянутих двох уведенням про-
мiжної точки. Таким чином, спiввiдношення (18) виконується за умови
Lx ≥ L1
x, Lt ≥ L1
t , де L1
x = max{C6, C10}, L1
t = max{C7, C11}.
Зафiксуємо
Lx = L∗x, Lt = L∗t , де L∗x ≥ L1
x, L∗t ≥ L1
t , (21)
пiсля чого обмеження (19) та (20) зарепишемо у виглядi
T0 ≤ T 5
0 , де T 5
0 =
δ
2λ0L∗x(S + Λ)
,
T0 ≤ T 6
0 , де T 6
0 =
1
max{L∗x, L∗t }
.
Дослiдимо властивiсть стиску оператора A. Нехай (uk, sk) ∈ M, k ∈ {1, 2}.
Дослiдимо величину коефiцiєнта κ, для якого виконується спiввiдношення
ρ
(
(Au[u1, s1],As[u1, s1]), (Au[u2, s2],As[u2, s2])
)
≤ κρ((u1, s1), (u2, s2)),
або
|4kAs[uk, sk](t)| ≤ κρ
(
(u1, s1), (u2, s2)
)
, t ∈ [0, T0], (22)
|4kĀu[uk, sk](x, t)| ≤ κρ((u1, s1), (u2, s2)), (x, t) ∈ DA
s[u1,s1]
T0
∪DA
s[u2,s2]
T0
.
(23)
Наведемо також кiлька допомiжних оцiнок у виглядi лем.
Лема 4. Нехай (uk, sk) ∈M, k ∈ {1, 2}, (x, t) ∈ DA
s[u1,s1]
T0
∩DA
s[u2,s2]
T0
, тодi
справджується оцiнка∣∣4kPi[uk, sk](x, t)
∣∣ ≤ (1 + Lx)ρ((u1, s1), (u2, s2)), i ∈ {1, . . . , n}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1191
Доведення. Покладемо для визначеностi s1
1(t) ≤ s2
1(t), x ≤ min
{
s1
2(t), s2
2(t)
}
.
Розглянемо можливi випадки. Якщо s2
1(t) ≤ x, то виводимо оцiнку∣∣4kPi[uk, sk](x, t)
∣∣ = |4kuk(x, t)| ≤ ρ((u1, s1), (u2, s2)),
якщо ж s1
1(t) ≤ x ≤ s2
1(t), то ∣∣4kPi[uk, sk](x, t)
∣∣ =
= |u1
i (x, t)− u2
i (s
2
1(t), t)| ≤ |u1
i (x, t)− u1
i (s
2
1(t), t)|+ |4kuki (s2
1(t), t)| ≤
≤ Lx|x− s2
1(t)|+ |4kuki (s2
1(t), t)| ≤ Lx|4ksk1(t)|+ |4kuki (s2
1(t), t)| ≤
≤ (1 + Lx)ρ((u1, s1), (u2, s2)),
а якщо x ≤ s1
1(t), то отримуємо оцiнку∣∣4kPi[uk, sk](x, t)
∣∣ = |4kuki (sk1(t), t)| ≤
≤ |4ku1
i (s
k
1(t), t)|+ |4kuki (s2
1(t), t)| ≤ Lx|4ksk1(t)|+ |4kuki (s2
1(t), t)| ≤
≤ (1 + Lx)ρ((u1, s1), (u2, s2)).
Лему доведено.
Лема 5. Нехай (uk, sk) ∈ M, k ∈ {1, 2}, (x, t) ∈ Ds1
T0
∩Ds2
T0
. Тодi справджу-
ється оцiнка∣∣4kϕi[uk](τ ;x, t)
∣∣ ≤ λ0T0e
λ0LxT0ρ((u1, s1), (u2, s2)), i ∈ {1, . . . , n}.
Доведення випливає з оцiнки
∣∣4kϕi[uk](τ ;x, t)
∣∣ ≤ t∫
τ
∣∣∣4kλi(ϕi[uk](ξ;x, t), ξ, uk(ϕi[u
k](ξ;x, t), ξ)
)∣∣∣ dξ ≤
≤ λ0T0ρ((u1, s1), (u2, s2)) +
t∫
τ
λ0Lx|4kϕi[uk](ξ;x, t)| dξ,
та леми Гронуолла – Беллмана.
Наслiдок 3. Нехай (uk, sk) ∈ M, k ∈ {1, 2}, (x, t) ∈ DA
s[u1,s1]
T0
∩ DA
s[u2,s2]
T0
,
тодi справджується оцiнка∣∣4kϕi[P[uk, sk]](τ ;x, t)
∣∣ ≤
≤ λ0(1 + Lx)T0e
λ0LxT0ρ((u1, s1), (u2, s2)), i ∈ {1, . . . , n}.
Лема 6. Нехай (uk, sk) ∈ M, (x, t) ∈ Ds1
T0
∩ Ds2
T0
, а також мають мiсце
обмеження ϕi[uk](χi[u
k, sk](x, t);x, t) = skj (χi[u
k, sk](x, t)), k ∈ {1, 2}, для деяко-
го j ∈ {1, 2}, до того ж виконуються умови (12) (для кожного набору (uk, sk),
k ∈ {1, 2}) та (19). Тодi справджується оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1192 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
∣∣4kχi[uk, sk](x, t)
∣∣ ≤ 2
δ
(λ0T0e
λ0LxT0 + 1)ρ((u1, s1), (u2, s2)), i ∈ {1, . . . , n}.
Доведення. Покладемо ϕi[u
k](χi[u
k, sk](x, t);x, t) = sk1(χi[u
k, sk](x, t)), k ∈
∈ {1, 2}, i для визначеностi вiзьмемо χi[u2, s2](x, t) < χi[u
1, s1](x, t).
Нехай t0 ∈ [χi[u
2, s2](x, t), t], тодi має мiсце оцiнка∣∣∣∣∣ ddτ ϕi[u2](τ ;x, t)
∣∣∣∣
τ=t0
− (s2
1)′(t0)
∣∣∣∣∣ ≥
≥
∣∣∣∣∣ ddτ ϕi[u2](τ ; s2
1(t0), t0)
∣∣∣∣
τ=t0
− (s2
1)′(t0)
∣∣∣∣∣−
−
∣∣∣∣∣ ddτ ϕi[u2](τ ;x, t)
∣∣∣∣
τ=t0
− d
dτ
ϕi[u
2](τ ; s2
1(t0), t0)
∣∣∣
τ=t0
∣∣∣∣∣ ≥
≥ δ −
∣∣∣∣λi(ϕi[u2](t0;x, t), t0, u
2(ϕi[u
2](t0;x, t), t0)
)
−
−λi
(
s2
1(t0), t0, u
2(s2
1(t0), t0)
)∣∣∣∣ ≥
≥ δ − λ0Lx|ϕi[u2](t0;x, t)− s2
1(t0)| ≥ δ − λ0Lx(S + Λ)T0 ≥ δ −
δ
2
=
δ
2
.
Використовуючи дану оцiнку та теорему Лагранжа, виводимо спiввiдношення∣∣ϕi[u2](χi[u
1, s1](x, t);x, t)− s2
1(χi[u
1, s1](x, t))
∣∣ =
=
∣∣∣∣ ddτ ϕi[u2](τ ;x, t)
∣∣∣
τ=t0
− (s2
1)′(t0)
∣∣∣∣ |4kχi[uk, sk](x, t)| ≥
≥ δ
2
|4kχi[uk, sk](x, t)|,
де t0 є деяким фiксованим значенням з промiжку (χi[u
2, s2](x, t), χi[u
1, s1](x, t)) i,
як наслiдок, отримуємо оцiнку
|4kχi[uk, sk](x, t)| ≤ 2
δ
|ϕi[u2](χi[u
1, s1](x, t);x, t)− s2
1(χi[u
1, s1](x, t))| ≤
≤ 2
δ
(
|4kϕi[uk](χi[u
1, s1](x, t);x, t)|+ |4ksk1(χi[u
1, s1](x, t))|
)
≤
≤ 2
δ
(λ0T0e
λ0LxT0 + 1)ρ((u1, s1), (u2, s2)).
Лему доведено.
Визначимо коефiцiєнт κ, для якого виконується спiввiдношення (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1193
∣∣4kAsj [uk, sk](t)
∣∣ ≤ t∫
0
|4kgj(sk(τ), τ, ûk(sk(τ), τ))| dτ ≤
≤ g0(1 + L∗x)T0ρ((u1, s1), (u2, s2)).
Використавши отриману вище оцiнку, запишемо наслiдок iз леми 6.
Наслiдок 4. Нехай (uk, sk) ∈M, (x, t) ∈ DA
s[u1,s1]
T0
∩DA
s[u2,s2]
T0
, виконується
умова ϕi
[
P[uk, sk]
](
χi[P[uk, sk],As[uk, sk]](x, t);x, t
)
= Asj [uk, sk]
(
χi[P[uk, sk],
As[uk, sk]](x, t)
)
, k ∈ {1, 2}, для деякого j ∈ {1, 2}, до того ж задовольняються
обмеження (14) (для кожного набору (uk, sk), k ∈ {1, 2}) та (19). Тодi справджу-
ється оцiнка ∣∣∣4kχi[P[uk, sk],As[uk, sk]](x, t)
∣∣∣ ≤
≤ 2
δ
(λ0e
λ0LxT0 + g0)(1 + Lx)T0ρ((u1, s1), (u2, s2)), i ∈ {1, . . . , n}.
Використавши наслiдки 3 та 4, визначимо коефiцiєнт κ, для якого викону-
ється спiввiдношення (23). Позначимо χP,A
s,uk,sk
i
df
= χi[P[uk, sk],As[uk, sk]](x, t)
та зафiксуємо (x, t) ∈ DA
s[u1,s1]
T0
∩DA
s[u2,s2]
T0
.
Розглянемо перший випадок. Нехай χP,A
s,uk,sk
i = 0, k ∈ {1, 2}, тодi має мiсце
оцiнка ∣∣4kAui [uk, sk](x, t)
∣∣ ≤ ∣∣∣4kαi(ϕi[P[uk, sk]](0;x, t)
)∣∣∣+
+
t∫
0
∣∣∣4kfi(ϕi[P[uk, sk]](τ ;x, t), τ,P[uk, sk](ϕi[P[uk, sk]](τ ;x, t), τ)
)∣∣∣ dτ ≤
≤
(
(α0 + f0L
∗
xT0)λ0(1 + L∗x)T0e
λ0L
∗
xT0 + f0(1 + L∗x)T0
)
ρ((u1, s1), (u2, s2)) ≤
≤
(
(α0 + f0)λ0(1 + L∗x)T0e
λ0 + f0(1 + L∗x)T0
)
ρ((u1, s1), (u2, s2)) =
= C12T0ρ((u1, s1), (u2, s2)).
Отримаємо допомiжну оцiнку
∣∣4kJij [uk, sk](t)
∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣∣4k
s01+max{S,Λ}t∫
As1[uk,sk](t)
γij(y, t,P[uk, sk](y, t)) dy
∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣4k
s02−max{S,Λ}t∫
s01+max{S,Λ}t
γij(y, t,Au[uk, sk](y, t)) dy
∣∣∣∣∣∣∣+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1194 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
+
∣∣∣∣∣∣∣4k
As2[uk,sk](t)∫
s02−max{S,Λ}t
γij(y, t,P[uk, sk](y, t)) dy
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
(
2Γg0(1 + L∗x)T0 + γ0(1 + L∗x)×
×4 max{S,Λ}T0 + (s0
2 − s0
1)γ0C12T0
)
ρ((u1, s1), (u2, s2)) =
= C13T0ρ((u1, s1), (u2, s2)).
Розглянемо другий випадок. Нехай виконується умова ϕi[P[uk, sk]](χP,A
s,uk,sk
i ;
x, t) = Asj [uk, sk](χP,A
s,uk,sk
i ), k ∈ {1, 2}, для деякого j ∈ {1, 2}. Тодi встановлю-
ємо оцiнку
∣∣4kAui [uk, sk](x, t)
∣∣ ≤ ∣∣∣∣4kβij(As[uk, sk](χP,A
s,uk,sk
i ), χP,A
s,uk,sk
i ,
Ãu[uk, sk]
(
As[uk, sk](χP,A
s,uk,sk
i ), χP,A
s,uk,sk
i
)
,Jij [uk, sk](χP,A
s,uk,sk
i )
)∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣4k
t∫
χP,A
s,uk,sk
i
fi
(
ϕi[P[uk, sk]](τ ;x, t), τ,P[uk, sk](ϕi[P[uk, sk]](τ ;x, t), τ)
)
dτ
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C9
∣∣∣4kχP,As,uk,ski
∣∣∣+
(
β0L
∗
xg0(1 + L∗x)T0 + β0 max{C12, C13}T0+
+f0L
∗
xT0λ0(1 + L∗x)T0e
λ0L
∗
xT0 + f0(1 + L∗x)T0
)
ρ((u1, s1), (u2, s2)) ≤
≤
(
C9
2
δ
(λ0e
λ0L
∗
xT0 + g0)(1 + L∗x)T0+
+β0L
∗
xg0(1 + L∗x)T0 + β0 max{C12, C13}T0+
+f0L
∗
xT0λ0(1 + L∗x)T0e
λ0L
∗
xT0 + f0(1 + L∗x)T0
)
ρ((u1, s1), (u2, s2)) ≤
≤
(
C9
2
δ
(λ0e
λ0 + g0)(1 + L∗x)T0 + β0L
∗
xg0(1 + L∗x)T0 + β0 max{C12, C13}T0+
+f0λ0(1 + L∗x)T0e
λ0 + f0(1 + L∗x)T0
)
ρ((u1, s1), (u2, s2)) =
= C14T0ρ((u1, s1), (u2, s2)).
Розглянемо третiй можливий випадок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1195
Нехай ϕi[P[u1, s1]](χP,A
s,u1,s1
i ;x, t) = Asj [u1, s1](χP,A
s,u1,s1
i ), для деякого j ∈
∈ {1, 2} (для визначеностi покладемо j = 1), до того ж χP,A
s,u2,s2
i = 0. Цей ви-
падок можна звести до двох попереднiх, визначивши належним чином промiжний
елемент (u3, s3) ∈M.
Визначимо пару вектор-функцiй (uη, s3), η ∈ [0, 1] :
s3 = (s3
1, s
3
2), де s3
1(t) = min
{
s1
1(t), s2
1(t)
}
,
s3
2(t) = max
{
s1
2(t), s2
2(t)
}
, t ∈ [0, T0],
uη = (uη1 , . . . , u
η
n), де uηi (x, t) = ηū1
i (x, t) + (1− η)ū2
i (x, t), (x, t) ∈ Ds3
T0
.
Легко бачити, що (uη, s3) ∈ M. Зауважимо, що (u0, s3)
df
= (ū2, s3), а (u1, s3)
df
=
df
= (ū1, s3).
Лема 7. Нехай (uk, sk) ∈M, k ∈ {1, 2}, тодi справджується оцiнка
max
{
ρ((u1, s1), (uη, s3)), ρ((u2, s2), (uη, s3))
}
≤ ρ((u1, s1), (u2, s2)).
Доведення. Дане спiввiдношення випливає з наступної послiдовностi оцiнок:
max
{
ρ
(
(u1, s1), (uη, s3)
)
, ρ
(
(u2, s2), (uη, s3)
)}
=
= max
max
max
i∈{1,...,n}
(x,t)∈Ds1T0∪D
s3
T0
|ū1
i (x, t)− u
η
i (x, t)|, max
j∈{1,2}
t∈[0,T0]
|s1
j (t)− s3
j (t)|
,
max
max
i∈{1,...,n}
(x,t)∈Ds2T0∪D
s3
T0
|ū2
i (x, t)− u
η
i (x, t)|, max
j∈{1,2}
t∈[0,T0]
|s2
j (t)− s3
j (t)|
=
= max
max
max
i∈{1,...,n}
(x,t)∈Ds1T0∪D
s3
T0
|ū1
i (x, t)− u
η
i (x, t)|, max
i∈{1,...,n}
(x,t)∈Ds2T0∪D
s3
T0
|ū2
i (x, t)− u
η
i (x, t)|
,
max
max
j∈{1,2}
t∈[0,T0]
|s1
j (t)− s3
j (t)|, max
j∈{1,2}
t∈[0,T0]
|s2
j (t)− s3
j (t)|
=
= max
max
(1− η) max
i∈{1,...,n}
(x,t)∈Ds3T0
|ū1
i (x, t)− ū2
i (x, t)|, η max
i∈{1,...,n}
(x,t)∈Ds3T0
|ū1
i (x, t)− ū2
i (x, t)|
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1196 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
max
max
j∈{1,2}
t∈[0,T0]
|s1
j (t)− s3
j (t)|, max
j∈{1,2}
t∈[0,T0]
|s2
j (t)− s3
j (t)|
≤
≤ max
max
i∈{1,...,n}
(x,t)∈Ds1T0∪D
s2
T0
|ū1
i (x, t)− ū2
i (x, t)|, max
j∈{1,2}
t∈[0,T0]
|s1
j (t)− s2
j (t)|
=
= ρ
(
(u1, s1), (u2, s2)
)
.
Лему доведено.
Якщо при деякому η0 ∈ {0, 1} правильними є рiвностi
ϕi
[
P[uη0 , s3]
](
χP,A
s,uη0 ,s3
i ;x, t
)
= s0
1, χP,A
s,uη0 ,s3
i = 0, (24)
то позначимо u3 df
= uη0 .
Якщо ж ϕi
[
P[u0, s3]
](
χP,A
s,u0,s3
i ;x, t
)
> s0
1, до того ж χP,A
s,u1,s3
i > 0, то
визначимо функцiю
φ(η)
def
= ϕi
[
P[uη, s3]
](
χP,A
s,uη,s3
i ;x, t
)
− (S + 1)χP,A
s,uη,s3
i .
Зауважимо, що φ(η) ∈ C[0, 1]. Правильними є спiввiдношення φ(0) > s0
1, φ(1) <
< s0
1, звiдки виводимо iснування значення η0 ∈ (0, 1), для якого має мiсце рiвнiсть
φ(η0) = s0
1, i, як наслiдок, отримуємо спiввiдношення (24). В цьому випадку по-
значимо u3 df
= uη0 .
Легко бачити, що елементи (u1, s1), (u3, s3) вiдповiдають умовам другого ви-
падку, тодi як елементи (u2, s2), (u3, s3) задовольняють умови першого випадку.
Таким чином, справедливою є оцiнка∣∣4kAui [uk, sk](x, t)
∣∣ ≤
≤
∣∣∣Aui [u1, s1](x, t)−Aui [u3, s3](x, t)
∣∣∣+
∣∣∣Aui [u2, s2](x, t)−Aui [u3, s3](x, t)
∣∣∣ ≤
≤ C14T0ρ((u1, s1), (u3, s3)) + C12T0ρ((u2, s2), (u3, s3)) ≤
≤ (C12 + C14)T0 max
{
ρ((u1, s1), (u3, s3)), ρ((u2, s2), (u3, s3))
}
≤
≤ (C12 + C14)T0ρ((u1, s1), (u2, s2)).
Зафiксуємо (x, t) ∈ DA
s[u1,s1]
T0
\DA
s[u2,s2]
T0
(для визначеностi x < As1[u2, s2]), тодi∣∣4kĀui [uk, sk](x, t)
∣∣ =
∣∣∣Aui [u2, s2](As1[u2, s2](t), t)−Aui [u1, s1](x, t)
∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣4kAui [uk, sk](As1[u2, s2](t), t)
∣∣∣+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1197
+
∣∣∣Aui [u1, s1](x, t)−Aui [u1, s1](As1[u2, s2](t), t)
∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣4kAui [uk, sk](As1[u2, s2](t), t)
∣∣∣+ L∗x
∣∣∣4kAs1[uk, sk](t)
∣∣∣ ≤
≤ (C12 + C14 + L∗xg0(1 + L∗x))T0ρ((u1, s1), (u2, s2)) =
= C15T0ρ
(
(u1, s1), (u2, s2)
)
.
Використавши отриманi оцiнки, запишемо спiввiдношення
ρ
((
Au[u1, s1],As[u1, s1]
)
, (Au[u2, s2],As[u2, s2])
)
≤
≤ max
{
C15, g0(1 + L∗x)
}
T0ρ((u1, s1), (u2, s2)),
а тому оператор A є стискуючим, якщо
max
{
C15, g0(1 + L∗x)
}
T0 < 1,
або
T0 < T 7
0 , де T 7
0 =
1
max{C15, g0(1 + L∗x)}
.
Зафiксуємо
T0 = T ∗0 , де T ∗0 ≤ min
{
T 1
0 , T
2
0 , T
3
0 , T
4
0 , T
5
0 , T
6
0
}
, T ∗0 < T 7
0 , (25)
та позначимоM∗ df
=M(T ∗0 , U
∗
0 , L
∗
x, L
∗
t ).
Таким чином, оператор A переводить метричний простiр M∗ в себе i є стис-
куючим на елементах цього простору. Отже, за теоремою Банаха про стискую-
чi вiдображення iснує єдина нерухома точка оператора A, тобто набiр функцiй
(u∗, s∗) ∈M∗, що задовольняє операторну рiвнiсть
A[u∗, s∗] = (u∗, s∗),
або систему рiвностей
Asj [u∗, s∗](t) = s∗j (t), t ∈ [0, T ∗0 ], j ∈ {1, 2},
Aui [u∗, s∗](x, t) = u∗i (x, t), (x, t) ∈ Ds∗
T∗0
, i ∈ {1, . . . , n}.
Отриманий набiр функцiй є узагальненим розв’язком задачi (1) – (5), до того ж
вiн єдиний у метричному просторiM∗.
Доведемо єдинiсть узагальненого розв’язку задачi (1) – (5) (без додаткової ви-
моги належностi простору M∗). Нехай (u~, s~) — iнший узагальнений розв’язок
задачi, визначений на вiдрiзку [0, T ∗0 ], до того ж (u∗, s∗) 6= (u~, s~).
Якщо s∗j (t) = s~j (t), t ∈ [0, T ∗0 ], j ∈ {1, 2}, то покладемо t1
df
= T ∗0 , в iншому
випадку визначимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1198 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
t1
df
= inf
{
t ∈ [0, T ∗0 ] : ∃j ∈ {1, 2}, s∗j (t) 6= s~j (t)
}
.
Тодi s∗j (t) = s~j (t), t ∈ [0, t1], j ∈ {1, 2}.
Якщо u∗i (x, t) = u~i (x, t), (x, t) ∈ Ds∗
t1 , i ∈ {1, . . . , n}, то покладемо t2
df
= t1, в
iншому випадку визначимо
t2
df
= inf
{
t ∈ [0, t1] : ∃x ∈ [s∗1(t), s∗2(t)], ∃i ∈ {1, . . . , n}, u∗i (x, t) 6= u~i (x, t)
}
.
Тодi u∗i (x, t) = u~i (x, t), (x, t) ∈ Ds∗
t2 , i ∈ {1, . . . , n}. Очевидно, що t2 < T ∗0 .
Таким чином, на вiдрiзку [0, t2] маємо рiвнiсть (u∗, s∗) = (u~, s~), до того ж для
довiльного t3 ∈ (t2, T
∗
0 ] на вiдрiзку [0, t3] отримаємо нерiвнiсть (u∗, s∗) 6= (u~, s~).
Перенесемо початок координат у точку (0, t2) та приймемо значення розв’яз-
ку (u∗, s∗) при t = t2 за новi початковi функцiї. В результатi отримаємо задачу
вигляду (1) – (5) з вихiдними даними, що задовольняють умови теореми. Згiдно
з доведеним вище iснує єдиний узагальнений розв’язок цiєї задачi у просторi
M∗∗ = M(T ∗∗0 , U∗∗0 , L∗∗x , L
∗∗
t ), де T ∗∗0 , U∗∗0 , L∗∗x , L
∗∗
t — деякi фiксованi значення
параметрiв. Зауважимо, що вiдповiдно до формули (21) значення L∗∗x , L
∗∗
t можна
вибрати достатньо великими, щоб для функцiй u∗i , u
~
i , i ∈ {1, . . . , n}, виконувалось
обмеження 3) простору M∗∗, а вiдповiдно до формули (25) значення T ∗∗0 можна
вибрати достатньо малим, щоб для функцiй s∗j , s
~
j , j ∈ {1, 2}, виконувалось обме-
ження 1) просторуM∗∗ i функцiї u∗i , u
~
i , i ∈ {1, . . . , n}, задовольняли обмеження
2) цього простору. Отже, обидва узагальненi розв’язки розглядуваної задачi будуть
належати простору M∗∗. Отримали суперечнiсть, а тому (u∗, s∗) = (u~, s~) на
вiдрiзку [0, T ∗0 ].
Теорему доведено.
Зауваження. Аналогiчна теорема має мiсце i для випадку, коли систему рiв-
нянь (1) замiнено системою, записаною в другiй канонiчнiй формi (форма Шаудера)
n∑
j=1
lij(x, t, u)
{∂uj
∂t
+ λi(x, t, u)
∂uj
∂x
}
= fi(x, t, u), i ∈ {1, . . . , n}.
1. Gupta S. C. The classical Stefan problem: basic concepts, modeling and analysis. – Amsterdam: Elsevier,
2003. – 385 p.
2. Ишлинский А. Ю. Продольные колебания стержня при наличии нелинейного закона последействия
и релаксации // Прикл. математика и механика. – 1940. – 4, вып. 1. – С. 79 – 92.
3. Рейнер М. Реология. – М.: Наука, 1965. – 224 с.
4. Габов С. А. Новые задачи математической теории волн. – М.: Наука, 1998. – 448 с.
5. Cattaneo C. Sulla conduzione del calore // Atti Semin. mat. e fis. Univ. Modena. – 1948/49. – 3. –
P. 3 – 21.
6. Лыков А. В. Теория теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1967. – 600 с.
7. Сербина Л. И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. – М.: Наука,
2007. – 167 с.
8. Friedman A. The Stefan problem for a hyperbolic heat equation // Math. Anal. and Appl. – 1989. – 138,
№ 1. – P. 249 – 279.
9. Mitropolsky Yu. A. Free and non-local boundary problems in metallurgy, medicine, ecology and materials
scince. Mathematical models and constructive methods solution. Gycle of paper / Yu. A. Mitropolsky, A.
A. Berezovsky. – Kyiv: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2000. – 265 p.
10. Sinha D. R. A note on mechanical response in a piesoelectric transducer to an impulsive voltage input
// Proc. Nat. Inst. Sci., India A. – 1966. – A 31, № 4. – P. 395 – 402.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАЗIЛIНIЙНА ГIПЕРБОЛIЧНА ЗАДАЧА СТЕФАНА З НЕЛОКАЛЬНИМИ . . . 1199
11. Song I. Some developments in mathematical demography and their application to the Peoples Republic
of China // Theor. Pop. Biol. – 1982. – 22. – P. 276 – 299.
12. Гинзбург Л. Р. О динамике и управлении возрастной структурой популяции // Проблемы кибер-
нетики. – 1970. – Вып. 23. – С. 261 – 274.
13. Крутиков В. С. Об одном решении обратной задачи для волнового уравнения с нелинейными
условиями в областях с подвижными границами // Прикл. механика и математика. – 1991. – 55. –
С. 1058 – 1062.
14. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз
частинними похiдними. – К.: Наук. думка, 2002. – 415 с.
15. Кирилич В. М. Нелокальна задача типу Стефана для гiперболiчної системи першого порядку //
Укp. мат. жуpн. – 1988. – 40, № 1. – С. 121 – 124.
16. Lee Da-tsin, Wen-tsu Y. Some existence theorems for quasilinear hyperbolic systems of partial differential
equations in two independent variables. II. Typical boundary value problems of functional form and typical
free boundary problems // Sci. Sinica. – 1964. – 13, № 5. – P. 551 – 562.
17. Самарин Ю. П. Об одной нелинейной задаче для волнового уравнения в однородном пространстве
// Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, № 3. – C. 542 – 543.
18. Hill C. D. A hyperbolic free boundary problem // J. Math. Anal. and Appl. – 1970. – 31, № 1. –
P. 117 – 129.
19. Шеметов H. В. Гиперболическая задача Стефана // Hекоторые прил. функцион. анализа к задачам
мат. физики. – Hовосибирск: Ин математики АH СССР. – 1990. – С. 127 – 144.
20. De Socio L, Gualtieri G. A hyperbolic Stefan problem // Quart. Appl. Math. – 1983. – 41, № 2. –
P. 253 – 259.
21. Solomon A. D., Alexiades V., Wilson D. G., Drake Y. On the formulation of hyperbolic Stefan problems
// Ibid. – 1985. – 43, № 3. – P. 295 – 304.
22. Джураєв Т. Д., Тахиров Ж. О. Гиперболическая задача Стефана // Дифференц. уравнения. – 1994.
– 30, № 5. – С. 821 – 831.
23. Хубиев Р. Н. Краевая задача со свободной границей для одномерного волнового уравнения // Там
же. – 1988. – 24, № 10. – С. 1801 – 1804.
24. Beregowa G., Kyrylycz W., Flud W. Hiperboliczne zagadnienie Stefana o nielokalnych warunkach na
prostej // Zesz. nauk. POpol. Opolskiej. Mat. – 1997. – № 230, z. 14. – С. 31 – 42.
25. Андрусяк Р. В., Кирилич В. М., Мышкис А. Д. Локальная и глобальная разрешимости квазилинейной
гиперболической задачи Стефана на прямой // Дифференц. уравнения. – 2006. – 42, № 4. – С. 489 –
503.
26. Мышкис А. Д., Филимонов А. М. О глобальной непрерывной разрешимости смешанной задачи
для одномерных гиперболических систем квазилинейных уравнений // Там же. – 2008. – 44, № 3.–
С. 1 – 15.
27. Кирилич В. М., Филимонов А. М. Обобщенная непрерывная разрешимость задачи с неизвестными
границами для сингулярных гиперболических систем квазилинейных уравнений // Мат. студ. –
2008. – 30, № 1. – С. 42 – 60.
28. Turo J. Mixed problems for quasilinear hyperbolic systems // Nonlinear Anal., Theory, Meth., Appl. –
1997. – 30, № 4. – P. 2329 – 2340.
29. Li Ta-tsien. Global classical solutions for quasilinear hyperbolic systems. – New York: Masson, 1994. –
315 p.
30. Кирилич В. М. Багатоточкова задача для гiперболiчної сингулярної квазiлiнiйної системи рiвнянь
в областi з невiдомими межами // Доп. НАН України. – 2009. – № 7. – С. 11 – 16.
Одержано 17.12.09,
пiсля доопрацювання — 11.06.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
|