Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами
Для задачи наилучшей равномерной аппроксимации непрерывного отображения с компактными выпуклыми образами множествами других непрерывных отображений с компактными выпуклыми образами установлены необходимые, достаточные условия и критерий экстремального элемента, который является обобщением классическ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166298 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами / Ю.В. Гнатюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1620 - 1633. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166298 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1662982025-02-09T21:52:42Z Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами Best uniform approximation in the metric space of continuous mappings with compact convex images Гнатюк, Ю.В. Статті Для задачи наилучшей равномерной аппроксимации непрерывного отображения с компактными выпуклыми образами множествами других непрерывных отображений с компактными выпуклыми образами установлены необходимые, достаточные условия и критерий экстремального элемента, который является обобщением классического критерия Колмогорова многочлена наилучшего приближения. For the problem of the best uniform approximation of a continuous mapping with compact convex images by sets of other continuous mappings with compact convex images, we establish necessary and sufficient conditions and a criterion for an element to be extremal; the criterion obtained is a generalization of the classic Kolmogorov criterion for a polynomial of the best approximation. 2010 Article Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами / Ю.В. Гнатюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1620 - 1633. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166298 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гнатюк, Ю.В. Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами Український математичний журнал |
| description |
Для задачи наилучшей равномерной аппроксимации непрерывного отображения с компактными выпуклыми образами множествами других непрерывных отображений с компактными выпуклыми образами установлены необходимые, достаточные условия и критерий экстремального элемента, который является обобщением классического критерия Колмогорова многочлена наилучшего приближения. |
| format |
Article |
| author |
Гнатюк, Ю.В. |
| author_facet |
Гнатюк, Ю.В. |
| author_sort |
Гнатюк, Ю.В. |
| title |
Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами |
| title_short |
Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами |
| title_full |
Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами |
| title_fullStr |
Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами |
| title_full_unstemmed |
Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами |
| title_sort |
найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166298 |
| citation_txt |
Найкраща рівномірна апроксимація в метричному просторі неперервних відображень з компактними опуклими образами / Ю.В. Гнатюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1620 - 1633. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT gnatûkûv naikraŝarívnomírnaaproksimacíâvmetričnomuprostoríneperervnihvídobraženʹzkompaktnimiopuklimiobrazami AT gnatûkûv bestuniformapproximationinthemetricspaceofcontinuousmappingswithcompactconveximages |
| first_indexed |
2025-12-01T04:46:49Z |
| last_indexed |
2025-12-01T04:46:49Z |
| _version_ |
1850279891615875072 |
| fulltext |
UDK 517.5
G. V. Hnatgk (Kam’qnec\-Podil. nac. un-t im. I. Ohi[nka)
NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ
V METRYÇNOMU PROSTORI
NEPERERVNYX VIDOBRAÛEN|
Z KOMPAKTNYMY OPUKLYMY OBRAZAMY
For the problem of the best uniform approximation of a continuous map with compact convex images by
sets of other continuous maps with compact convex images, we establish necessary and sufficient
conditions and the criterion for an extremal element, which is a generalization of the classical
Kolmogorov criterion for the polynomial of best approximation.
Dlq zadaçy nayluçßej ravnomernoj approksymacyy neprer¥vnoho otobraΩenyq s kompaktn¥my
v¥pukl¥my obrazamy mnoΩestvamy druhyx neprer¥vn¥x otobraΩenyj s kompaktn¥my v¥puk-
l¥my obrazamy ustanovlen¥ neobxodym¥e, dostatoçn¥e uslovyq y kryteryj πkstremal\noho
πlementa, kotor¥j qvlqetsq obobwenyem klassyçeskoho kryteryq Kolmohorova mnohoçlena
nayluçßeho pryblyΩenyq.
U cij roboti rozhlqda[t\sq zadaça najkrawo] rivnomirno] aproksymaci] nepe-
rervnoho vidobraΩennq z kompaktnymy opuklymy obrazamy mnoΩynamy inßyx
neperervnyx vidobraΩen\ z kompaktnymy opuklymy obrazamy, qka polqha[ v
nastupnomu.
Nexaj S — kompakt, X — linijnyj nad polem kompleksnyx (dijsnyx ) çysel
normovanyj prostir, C S X,( ) — linijnyj nad polem dijsnyx çysel normovanyj
prostir odnoznaçnyx vidobraΩen\ g kompakta S v X, neperervnyx na S, z nor-
mog g = max ( )s S g s∈ , K X( ) ( K X0( ) ) — sukupnist\ neporoΩnix kompaktiv
(neporoΩnix opuklyx kompaktiv) prostoru X , H A B( , ) =
= max max minx A y B x y∈ ∈{ − , max miny B x A x y∈ ∈ − } — xausdorfova vidstan\
miΩ mnoΩynamy A, B iz K X( ) , C S K X, ( )( ) C S K X, ( )0( )( ) — mnoΩyna nepe-
rervnyx na S vidnosno metryky Xausdorfa bahatoznaçnyx vidobraΩen\ S v
K X( ) S( v K X0( )) .
Zadaçeg najkrawo] rivnomirno] aproksymaci] vidobraΩennq a ∈ C S K X, ( )( )
mnoΩynog V ⊂ C S K X, ( )( ) budemo nazyvaty zadaçu vidßukannq velyçyny
αa V* ( ) = inf max ( ), ( )
g V s S
H g s a s
∈ ∈
( ) . (1)
Qkwo isnu[ element g V* ∈ takyj, wo
αa V* ( ) = max ( ), ( )*
s S
H g s a s
∈
( ) ,
to joho budemo nazyvaty elementom najkrawoho nablyΩennq dlq vidobraΩennq
a u mnoΩyni V, abo ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1).
Slid zaznaçyty, wo pytannq aproksymaci] bahatoznaçnyx vidobraΩen\ u riz-
nyx aspektax rozhlqdalysq u bahat\ox pracqx. Odnak lyße okremi z nyx pry-
svqçeno pytannqm najkrawo] aproksymaci] bahatoznaçnyx vidobraΩen\ (dyv., na-
pryklad, [1 – 6]).
Osoblyvist\ i osnovna skladnist\ doslidΩennq zadaç najkrawo] rivnomirno]
aproksymaci] neperervnyx vidobraΩen\ z kompaktnymy obrazamy pov’qzani z tym,
wo mnoΩyna takyx vidobraΩen\ ne [ linijnym, a otΩe, i linijnym normovanym
prostorom.
© G. V. HNATGK, 2010
1620 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ V METRYÇNOMU PROSTORI … 1621
U cij roboti vstanovleno neobxidni, dostatni umovy ta kryteri] ekstremal\-
noho elementa dlq velyçyny (1).
Poklademo dlq bud\-qkyx g, h ∈ C S K X, ( )( ) ρ( , )g h = max ( ), ( )s S H g s h s∈ ( ) .
Velyçyna ρ( , )g h zada[ metryku na mnoΩyni C S K X, ( )( ) . Vidpovidnyj metryç-
nyj prostir budemo poznaçaty çerez C S K X, ( ) ,( )( )ρ .
Z uraxuvannqm zaznaçenoho zadaçu vidßukannq velyçyny (1) moΩna podaty u
vyhlqdi
αa V* ( ) = inf ( , )
g V
g a
∈
ρ . (2)
Poznaçymo çerez X*
prostir, sprqΩenyj z X, a çerez B*
odynyçnu kulg
c\oho prostoru: B* = f f X: *∈{ , f ≤ }1 .
TverdΩennq 1. Dlq bud\-qkyx g, h ∈ C S K X, ( )0( ) ma[ misce rivnist\
ρ( , )g h = max max max Re ( ) max Re (
*s S f B x g s y h s
f x f y
∈ ∈ ∈ ( ) ∈ ( )
− )) .
Nexaj g, h ∈ C S K X, ( )( ) , α ∈ R . Qk vidomo, sumog bahatoznaçnyx vidobra-
Ωen\ g i h nazyva[t\sq vidobraΩennq g + h take, wo ( ) ( )g h s+ = g s( ) + h s( )
dlq vsix s S∈ , a dobutkom çysla α na vidobraΩennq g nazyva[t\sq vidobra-
Ωennq αg take, wo ( ) ( )αg s = αg s( ) dlq vsix s S∈ . Lehko pereviryty, wo
operaci] dodavannq elementiv mnoΩyn C S K X, ( )( ) , C S K X, ( )0( ) i mnoΩennq
dijsnyx çysel na ci elementy ne vyvodqt\ iz cyx mnoΩyn.
Poznaçymo çerez C S K X, ( )0
2( )( ) prqmyj dobutok C S K X, ( )0( ) × C S( ,
K X0( )) . Oznaçymo v C S K X, ( )0
2( )( ) alhebra]çni operaci] dodavannq i mnoΩennq
na dijsni çysla takym çynom:
( , )g h1 1 + ( , )g h2 2 = ( , )g g h h1 2 1 2+ + ,
α ⋅ ( , )g h = ( , )α αg h , qkwo α ∈ R , α ≥ 0,
α ⋅ ( , )g h = ( , )α αh g , qkwo α ∈ R , α < 0.
Budemo vvaΩaty, wo ( , )g h1 1 ≈ ( , )g h2 2 , de ( , )g h1 1 , ( , )g h2 2 ∈ C S(( ,
K X0
2( ))) , qkwo g h1 2− = g h2 1− , tobto qkwo dlq vsix s S∈ g s h s1 2( ) ( )− =
= g s h s2 1( ) ( )− . Lehko perekonatysq, wo vidnoßennq ≈ [ vidnoßennqm ekviva-
lentnosti, qke dozvolq[ rozbyty C S K X, ( )0
2( )( ) na klasy K g h( , ) ekvivalentnyx
miΩ sobog par ( , )g h . Sukupnist\ takyx klasiv budemo poznaçaty çerez
K
C S K X, ( )0
2( )( ) .
Nexaj α , β ∈ ( )( )K
C S K X, ( )0
2 , c — dijsne çyslo, ( , )g h1 1 ∈ α, K ( , )g h2 2 ∈ β.
Poklademo α + β = γ = K g g h h( , )1 2 1 2+ + , c Kc g hα = ( , )1 1
. MoΩna perekonatysq, wo
rezul\taty operacij dodavannq klasiv i mnoΩennq ]x na dijsni çysla ne zale-
Ωat\ vid vyboru elementiv iz cyx klasiv i mnoΩyna K
C S K X, ( )0
2( )( ) z tak oznaçe-
nymy alhebra]çnymy operaciqmy [ linijnym prostorom nad polem dijsnyx çysel.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1622 G. V. HNATGK
Rol\ nulq v c\omu prostori bude vidihravaty sukupnist\ usix par ( , )g h , ekviva-
lentnyx pari (0, 0), tobto dlq qkyx h = – g. OtΩe, K( , )0 0 = ( , )g g−{ : g ∈
∈ C S K X, ( )0( )} . Dlq vsix α ∈ K
C S K X, 0
2( )( )( ) i ( , )g h ∈ α poklademo
α = K g h,( ) = max max max Re ( ) min Re (
*s S f B x g s y h s
f x f y
∈ ∈ ∈ ( ) ∈ ( )
+ )) . (3)
MoΩna perekonatysq, wo velyçyna α , α ∈ K
C S K X, 0
2( )( )( ) , ne zaleΩyt\ vid
vyboru ( , )g h iz α i zadovol\nq[ vsi aksiomy normy. Takym çynom, prostir
K
C S K X, 0
2( )( )( ) [ linijnym nad polem dijsnyx çysel normovanym prostorom.
Dlq a, g ∈ C S K X, ( )0( ) , zhidno z tverdΩennqm 1 i spivvidnoßennqm (3), ma-
tymemo
ρ( , )g a = max max max Re ( ) max Re (
* ( ) ( )s S f B x g s y a s
f x f y
∈ ∈ ∈ ∈
− )) =
= max max max Re ( ) min Re (
* ( ) ( )s S f B x g s y a s
f x f
∈ ∈ ∈ ∈−
+ yy) = K Kg a( , ) ( , )0 0− .
Z uraxuvannqm c\oho zadaçu vidßukannq velyçyny (1) ((2)) dlq a ∈ C S( ,
K X0( )) , V ⊂ C S K X, ( )0( ) moΩna podaty u vyhlqdi
αa V* ( ) = inf max ( ), ( )
g V s S
H g s a s
∈ ∈
( ) = inf ( , )
g V
g a
∈
ρ = inf ( , ) ( , )
g V
g aK K
∈
−0 0 . (4)
Poznaçymo çerez KV mnoΩynu linijnoho normovanoho prostoru
K
C S K X, ( )0
2( )( ) , qka zada[t\sq qk KV = K g( , )0{ ∈ K
C S K X, ( )0
2( )( ) : g V∈ } , ta roz-
hlqnemo u prostori K
C S K X, ( )0
2( )( ) zadaçu najkrawoho nablyΩennq elementa
K a( , )0 mnoΩynog KV , tobto zadaçu vidßukannq velyçyny
inf
( , )
( , ) ( , )
K K
g a
g V
K K
0
0 0∈
− . (5)
Zrozumilo, wo spravedlyvog [ rivnist\
αa V* ( ) = inf
( , )
( , ) ( , )
K K
g a
g V
K K
0
0 0∈
− , (6)
i dlq toho wob element g V* ∈ buv ekstremal\nym elementom dlq velyçyny
(4), neobxidno i dostatn\o, wob element K g( , )* 0 buv ekstremal\nym elementom
dlq velyçyny (5).
TverdΩennq 2. Nexaj a ∈ C S K X, ( )0( ) , s S∈ , α ∈ K
C S K X, ( )0
2( )( ) , ( , )g h ∈
∈ α i ϕ αs
a ( ) = H g s a s h s( ), ( ) ( )−( ) . Funkciq ϕ αs
a ( ) ne zaleΩyt\ vid vyboru
pary ( , )g h iz α , [ neperervnog ta opuklog po α na K
C S K X, ( )0
2( )( ) . Pry
fiksovanomu α funkciq ϕ αs
a ( ) [ neperervnog po s na S.
TverdΩennq 3 . Nexaj dlq a ∈ C S K X, ( )0( ) , s S∈ , f B∈ *
, α ∈
∈ K
C S K X, ( )0
2( )( ) , ( , )g h ∈Kα
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ V METRYÇNOMU PROSTORI … 1623
Ψ f
s ( )α = max Re ( ) max Re ( ) max R
( ) ( ) ( )x g s y a s y h s
f x f y
∈ ∈ ∈−
− − ee ( )f y .
Funkciq Ψ f
s ( )α ne zaleΩyt\ vid vyboru pary ( , )g h iz α , [ neperervnog
ta opuklog po α na K
C S K X, ( )0
2( )( ) . Pry fiksovanyx s , a, α funkciq Ψ f
s ( )α
[ neperervnog po f na B*
u rozuminni slabko] * topolohi] B*
.
TverdΩennq 4 . Nexaj s S∈ , f B∈ *
, α ∈ K
C S K X, ( )0
2( )( ) , ( , )g h ∈ α,
ls
f ( )α = max Re ( )
( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y h s
f y
∈−
. Todi velyçyna ls
f ( )α ne zaleΩyt\ vid
vyboru ( , )g h i zada[ linijnyj neperervnyj funkcional na K
C S K X, ( )0
2( )( ) , tob-
to ls
f ∈ K
C S K X, ( )0
2( )( )
∗( ) , de K
C S K X, ( )0
2( )( )
∗( ) — prostir, sprqΩenyj z
K
C S K X, ( )0
2( )( ) .
U podal\ßomu budemo prypuskaty, wo u zadaçi vidßukannq velyçyny (4)
a V∉ , de V — zamykannq mnoΩyny V prostoru C S K X, ( ) ,0( )( )ρ . Lehko pe-
rekonatysq, wo cq umova ekvivalentna umovi K Ka V( , )0 ∉ , de KV — zamykannq
mnoΩyny KV u linijnomu normovanomu prostori K
C S K X, ( )0
2( )( ) . Zrozumilo, wo
za umovy vykonannq spivvidnoßennq a V∉ ma[ misce nerivnist\ αa V* ( ) > 0. Z
otrymano] nerivnosti vyplyva[, wo mnoΩyna tyx g ∈ C S K X, ( )0( ) , dlq qkyx
ρ( , )g a < αa V* ( ) , ne [ poroΩn\og mnoΩynog. Cij mnoΩyni naleΩyt\, zokrema,
vidobraΩennq a. Ne [ poroΩn\og takoΩ mnoΩyna tyx elementiv K g h( , ) , dlq
qkyx K Kg h a( , ) ( , )− 0 < αa V* ( ) . Dlq a ∈KC S K X, ( )0( ) ta g V* ∈ poklademo
αa
g*
= ρ( , )*g a = max ( ), ( )*
s S
H g s a s
∈
( ) = K Kg a( , ) ( , )* 0 0− ,
Ca
g*
= K K K Kg h C S K X g h a a
g
( , ) , ( ) ( , ) ( , ):
*
∈ − <{ }( )( )0
2 0 α ,
Sa
g*
= s S H g s a s a
g∈ ( ) ={ }: ( ), ( )* *
α ,
B sa
g*
( ) = f B f x f y
x g s y a s
∈ −
∈ ∈
*
( ) ( )
: max Re ( ) max Re ( )
*
=
= max max Re ( ) max Re ( )
* *( ) ( )f B x g s y a s
f x f y
∈ ∈ ∈
− = H g s a s*( ), ( )( )
, s Sa
g∈
*
.
Zhidno z [7, s.12, 13] çerez Γ( , )*M y , Γ* *( , )M y poznaçymo vidpovidno ko-
nusy vnutrißnix ta hranyçnyx naprqmkiv dlq mnoΩyny M linijnoho normova-
noho prostoru Y iz y Y* ∈ .
Teorema 1. Spravedlyvog [ rivnist\
Γ C K K Ka
g
g g h C S K X
f B
*
*, ( , ) ( , ) , ( )0 0
2( ) = ∈
( )( )
∈ aa
g
a
g ss S
**
( )
∩∩
∈
:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1624 G. V. HNATGK
sign max Re ( ) max Re ( ) m
*( ) ( )x g s y a s
f x f y
∈ ∈
−
aax Re ( ) max Re ( )
( ) ( )x g s y h s
f x f y
∈ ∈−
−
<
0 .(7)
Dovedennq. Ma[mo
Ca
g*
= K Kg h C S K X( , ) , ( )
∈{ ( )( )0
2 : K Kg h a( , ) ( , )− 0 =
= K Kg h a
s S
s
a
g h a
g
( , ) ( , )max ( )
*
− ∈
= < }ϕ α ,
de dlq s S∈ ϕs
a
g hK( )( , ) = H g s a s h s( ), ( ) ( )−( ) , K g h( , ) ∈ K
C S K X, ( )0
2( )( ) .
OtΩe,
Ca
g*
= C sa
g
s S
*
( )
∈
∩ ,
C sa
g*
( ) = K K Kg h C S K X s
a
g h a
g
( , ) , ( ) ( , ): ( )
*
∈ <{ }( )( )0
2 ϕ α .
Tomu zhidno z tverdΩennqm 1.2.2 [7, s. 14]
Γ C Ka
g
g
*
*, ( , )0( ) ⊂ Γ
s S
a
g
gC s K
∈
( )∩
*
*( ), ( , )0 ⊂ Γ
s S
a
g
g
a
g
C s K
∈
( )
*
*
*( ), ( , )∩ 0 . (8)
Oskil\ky dlq s S Sa
g
0 ∈ \
*
, zhidno iz zauvaΩennqm 1.1.7 [7, s. 13], Γ C sa
g*
( )0( ,
K g( , )* 0 ) = K
C S K X, ( )0
2( )( ) , to iz spivvidnoßennq (8) otryma[mo
Γ C Ka
g
g
*
*, ( , )0( ) ⊂ Γ
s S
a
g
gC s K
∈
( )∩
*
*( ), ( , )0 = Γ
s S
a
g
g
a
g
C s K
∈
( )
*
*
*( ), ( , )∩ 0 . (9)
Viz\memo dovil\ne K g h( , ) ∈ Γ
s S
a
g
g
a
g
C s K
∈
( )
*
*
*( ), ( , )∩ 0 = Γ
s S
a
g
gC s K
∈
( )∩
*
*( ), ( , )0 .
Todi zhidno z oznaçennqm konusa vnutrißnix naprqmkiv dlq bud\-qkoho s S∈
isnu[ αs > 0 take, wo K g( , )* 0 + αs g hK( , ) = K
g g hs s
* ,+( )α α ∈ C sa
g*
( ) . Vnaslidok
c\oho
ϕ αs
a
g s g hK K( , ) ( , )* 0 +( ) < αa
g*
. (10)
Zafiksu[mo αs i rozhlqnemo ϕ α′ +( )s
a
g s g hK K( , ) ( , )* 0 qk funkcig ′s na S.
Zhidno z tverdΩennqmK2 vona [ neperervnog funkci[g v koΩnij toçci s S∈ , a
tomu z nerivnosti (10) vyplyva[ isnuvannq okolu Ο( )s toçky s u kompakti S
takoho, wo dlq vsix ′ ∈s sΟ( ) spravdΩu[t\sq nerivnist\
ϕ α′ +( )s
a
g s g hK K( , ) ( , )* 0 < αa
g*
. (11)
Vnaslidok opuklosti funkci] ϕ ′( )s
a
g pK( , ) po K g p( , ) na K
C S K X, ( )0
2( )( ) (dyv.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ V METRYÇNOMU PROSTORI … 1625
tverdΩennqK2), nerivnosti (11) ta spivvidnoßennq ϕ ′( )s
a
gK( , )* 0 = H g s*( )′( ,
a s( )′ ) ≤ max ( ), ( )*
s S
H g s a s
∈
( ) = αa
g*
dlq vsix α ∈( ]0 1, otryma[mo spivvidno-
ßennq
ϕ α α α′ − + +( )( )s
a
g g s g hK K K( ) ( , ) ( , ) ( , )* *1 0 0 = ϕ αα′ +( )s
a
g s g hK K( , ) ( , )* 0 ≤
≤ ( ) ( , )*1 0− ( )′α ϕs
a
gK + αϕ α′ +( )s
a
g s g hK K( , ) ( , )* 0 < ( )
*
1 − α αa
g +
+ ααa
g*
= αa
g*
.
Zvidsy vyplyva[, wo
ϕ ′ +( )s
a
g g hK tK( , ) ( , )* 0 < αa
g*
(12)
dlq vsix t s∈( ]0, α , ′ ∈s sΟ( ) . Oskil\ky S [ kompaktom i Ο( )s
s S∈∪ = S, to z
pokryttq Ο( )s kompakta S moΩna vydilyty skinçenne pidpokryttq Ο( )si , i =
= 1, k , m, tobto Ο( )sii
k
=1∪ = S. Poklademo α = max1≤ ≤i k si
α . Todi z (12) vy-
plyva[, wo
ϕs
a
g a g hK tK( , ) ( , )* +( ) < αa
g*
(13)
dlq vsix s S∈ ta vsix t ∈( 0, α .
Tomu vnaslidok neperervnosti po s n a S funkci] ϕ αs
a
g g hK K( , ) ( , )* 0 +( )
(dyv. tverdΩennqK2) oderΩymo
max ( , ) ( , )*
s S
s
a
g g hK K
∈
+( )ϕ α0 = max ( ) ( ), ( ) ( )*
s S
H g s g s a s h s
∈
+ −( )α α =
= ρ α αg g a h* ,+ −( ) = K g g h a( , )* + −α α =
= K K Kg g h a( , ) ( , ) ( , )* 0 0+ −α < αa
g*
.
Zvidsy zhidno z teoremog 1.3.4 [7, s . 19] otrymu[mo, wo K g h( , ) ∈ Γ Ca
g*( ,
K g( , )* 0 ) . Z uraxuvannqm c\oho ta spivvidnoßennq (9) robymo vysnovok, wo
spravdΩu[t\sq rivnist\
Γ C Ka
g
g
*
*, ( , )0( ) = Γ
s S
a
g
g
a
g
C s K
∈
( )
*
*
*( ), ( , )∩ 0 . (14)
Teper perejdemo do opysu konusa Γ C s Ka
g
g
*
*( ), ( , )0( ) , s Sa
g∈
*
. Nexaj dlq s ∈
∈ Sa
g*
, f B∈ *
ψ f
s
g hK( , )( ) = max Re ( ) max Re ( ) max R
( ) ( ) ( )x g s y a s y h s
f x f y
∈ ∈ ∈−
− − ee ( )f y , (15)
K Kg h C S K X( , ) , ( )
∈ ( )( )0
2 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1626 G. V. HNATGK
Todi dlq s Sa
g∈
*
C sa
g*
( ) = K K Kg h C S K X f B
f
s
g h a( , ) , ( ) ( , ): max
*
∈ ( ) <( )( ) ∈0
2 ψ αgg*
. (16)
Dlq s Sa
g∈
*
, f B∈ *
poznaçymo
C f sa
g*
( , ) = K K Kg h C S K X f
s
g h a
g
( , ) , ( ) ( , ):
*
∈ ( ) <{ }( )( )0
2 ψ α . (17)
Zhidno z (16) dlq s Sa
g∈
*
C sa
g*
( ) = C f sa
g
f B
*
* ( , )∈∩ . Tomu dlq s Sa
g∈
*
za
tverdΩennqm 1.2.2 [7, s.14]
Γ C s Ka
g
g
*
*( ), ( , )0( ) ⊂ Γ C f s Ka
g
g
f B
*
*
*
( , ), ( , )0( )
∈
∩ ⊂
⊂ Γ C f s Ka
g
g
f B sa
g
*
*
*
( , ), ( , )
( )
0( )
∈
∩ . (18)
Nexaj dlq s Sa
g∈
*
f B sa
g∉
*
( ) . Todi max Re ( )
*( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y a s
f y
∈
=
= Ψ f
s
gK( , )* 0( ) < αa
g*
. Vnaslidok neperervnosti funkci] ψ f
s
g hK( , )( ) po K g h( , )
(dyv. tverdΩennqK3) zhidno z [7, s. 13] robymo vysnovok, wo Γ C f sa
g*
( , )( ,
K g( , )* 0 ) = K
C S K X, ( )0
2( )( ) . Zvidsy ta z spivvidnoßennq (18) vyplyva[, wo
Γ C s Ka
g
g
*
*( ), ( , )0( ) ⊂ Γ C f s Ka
g
g
f B
*
*
*
( , ), ( , )0( )
∈
∩ =
= Γ C f s Ka
g
g
f B sa
g
*
*
*
( , ), ( , )
( )
0( )
∈
∩ . (19)
Viz\memo dovil\ne K g h( , ) ∈ Γ C f s Ka
g
gf B sa
g
*
** ( , ), ( , )( ) 0( )∈∩ = Γ C f sa
g
f B
*
* ( , )(∈∩ ,
K g( , )* 0 ) . Zhidno z oznaçennqm konusa vnutrißnix naprqmkiv dlq bud\-qkoho
f B∈ *
isnu[ λ f > 0 take, wo K g( , )* 0 + λ f g hK( , ) = K g g hf f( , )* +λ λ ∈ C f sa
g*
( , ) .
Vnaslidok c\oho
Ψ f
s
g f g hK K( , ) ( , )* 0 +( )λ < αa
g*
. (20)
Zafiksu[mo λ f i rozhlqnemo Ψ ′ +( )f
s
g f g hK K( , ) ( , )* 0 λ qk funkcig ′f na B*
.
Zhidno z tverdΩennqmK3 vona [ neperervnog po ′f u slabkij ∗ topolohi] B*
.
Oskil\ky ma[ misce nerivnist\ (20), to vnaslidok c\oho isnu[ okil Ο( )f u ro-
zuminni slabko] ∗ topolohi] prostoru X*
toçky f u B*
takyj, wo dlq vsix
′ ∈f fΟ( ) spravdΩu[t\sq nerivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ V METRYÇNOMU PROSTORI … 1627
Ψ ′ +( )f
s
g f g hK K( , ) ( , )* 0 λ < αa
g*
. (21)
Vnaslidok opuklosti funkci] Ψ ′( )f
s
q pK( , ) po K q p( , ) na K
C S K X, ( )0
2( )( ) (dyv.
tverdΩennqK3), nerivnosti (21) ta spivvidnoßennq Ψ ′( )f
s
gK( , )* 0 =
= max Re ( )
*( )x g s
f x
∈
′ – max Re ( )
( )y a s
f y
∈
′ ≤ αa
g*
dlq vsix α ∈( ]0 1, otryma[mo spiv-
vidnoßennq
Ψ ′ −( ) + +( )( )f
s
g g f g hK K K1 0 0α α λ( , ) ( , ) ( , )* * = Ψ ′ +( )f
s
g f g hK K( , ) ( , )* 0 αλ ≤
≤ 1 0−( ) ( )′α Ψ f
s
gK( , )* + α λΨ ′ +( )f
s
g f g hK K( , ) ( , )* 0 <
< 1 −( )α αa
g*
+ ααa
g*
= αa
g*
.
Zvidsy vyplyva[, wo
Ψ ′ +( )f
s
g g hK tK( , ) ( , )* 0 < αa
g*
(22)
dlq vsix t f∈( 0, λ . Oskil\ky B*
[ slabko ∗ kompaktnog mnoΩynog (dyv.,
napryklad, [8, s. 35]) i Ο( )* f
f B∈∪ = B*
, to z pokryttq Ο( )f mnoΩyny B*
moΩna vydilyty skinçenne pidpokryttq Ο( )fi , i = 1, k , tobto Ο( )fii
k
=1∪ = B*
.
Poklademo λ = min
1≤ ≤i k
fiλ . Todi z (22) vyplyva[, wo Ψ f
s
g g hK tK( , ) ( , )* 0 +( ) < αa
g*
dlq vsix f B∈ *
ta t ∈( 0, λ . Vnaslidok neperervnosti u rozuminni slabko] ∗
topolohi] B*
po f na B*
funkci] Ψ f
s
g g hK K( , ) ( , )* 0 +( )λ ta slabko] ∗ kom-
paktnosti B*
zvidsy otrymu[mo max * *( , ) ( , )f B f
s
g g hK K∈ +( )Ψ 0 λ < αa
g*
. Vraxo-
vugçy cg nerivnist\ ta spivvidnoßennq (16), robymo vysnovok, wo K g( , )* 0 +
+ λK g h( , ) ∈ C sa
g*
( ) . Oskil\ky C sa
g*
( ) [ opuklog mnoΩynog prostoru
K
C S K X, ( )0
2( )( ) ta K g( , )* 0 ∈ C sa
g*
( ) , to zvidsy zhidno z teoremog 1.3.4 [7, s. 19] vy-
plyva[, wo K g h( , ) ∈ Γ C s Ka
g
g
*
*( ), ( , )0( ) . Tomu z uraxuvannqm spivvidnoßennqK(19)
moΩna zrobyty vysnovok, wo dlq s Sa
g∈
*
ma[ misce rivnist\
Γ C s Ka
g
g
*
*( ), ( , )0( ) = Γ C f s Ka
g
g
f B sa
g
*
*
*
( , ), ( , )
( )
0( )
∈
∩ . (23)
Zhidno z (15), (17) dlq s Sa
g∈
*
, f B sa
g∈
*
( ) ma[mo
C s fa
g*
( , ) = K Kg h C S K X( , ) , , ( )
∈{ ( )( )0
2 :
max Re ( ) max Re ( ) max R
( ) ( )x g s y a s y h s
f x f y
∈ ∈ ∈− ( )
− − ee ( )f y < αa
g*} . (24)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1628 G. V. HNATGK
Z rivnosti (24) vyplyva[, wo dlq s Sa
g∈
*
, f B sa
g∈
*
( )
C s fa
g*
( , ) = A s f B s fa
g
a
g* *
( , ) ( , )∩ , (25)
de
A s fa
g*
( , ) = K Kg h C S K X( , ) , ( )
∈{ ( )( )0
2 : max Re ( )
( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y a s
f y
∈
–
– max Re ( )
( )y h s
f y
∈−
< αa
g*} ,
B s fa
g*
( , ) = K Kg h C S K X( , ) , ( )
∈{ ( )( )0
2 : max Re ( )
( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y a s
f y
∈
–
– max Re ( )
( )y h s
f y
∈−
> − }αa
g*
.
Rozhlqnemo vypadok , koly dlq s Sa
g∈
*
, f B sa
g∈
*
( )
αa
g*
= max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s y a s
f x f y
∈ ∈
− = max Re ( )
*( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y a s
f y
∈
.
Todi
A s fa
g*
( , ) = K Kg h C S K X( , ) , ( )
∈{ ( )( )0
2 : max Re ( )
( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y h s
f y
∈−
<
< max Re ( )
*( )x g s
f x
∈ } ,
B s fa
g*
( , ) = K Kg h C S K X( , ) , ( )
∈{ ( )( )0
2 : max Re ( )
( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y h s
f y
∈−
>
> −αa
g*
+ max Re ( )
( )y a s
f y
∈ } .
Poznaçymo � s
f
g hK( , )( ) = max Re ( )
( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y h s
f y
∈−
, K Kg h C S K X( , ) , ( )
∈ ( )( )0
2 .
Zhidno z tverdΩennqm 4 � s
f
[ linijnym neperervnym funkcionalom na
K
C S K X, ( )0
2( )( ) . Ma[mo
A s fa
g*
( , ) = K K K Kg h C S K X s
f
g h s
f
g( , ) , ( ) , ( ,: *∈ ( ) <( )( ) ( )
0
2 0� � ))( ){ } ,
B s fa
g*
( , ) = K K Kg h C S K X s
f
g h a
g
( , ) , ( ) ,: ma
*
∈{ ( ) > − +( )( ) ( )
0
2 � α xx Re ( )
( )y a s
f y
∈ } .
Oskil\ky
� s
f
gK( , )* 0( ) = max Re ( )
*( )x g s
f x
∈
= max Re ( )
*( )x g s
f x
∈
– max Re ( )
( )y a s
f y
∈
+
+ max Re ( )
( )y a s
f y
∈
= αa
g*
+ max Re ( )
( )y a s
f y
∈
> −αa
g*
+ max Re ( )
( )y a s
f y
∈
,
to zhidno z tverdΩennqm 1.3.7 [7, s. 21]
Γ A s f Ka
g
g
*
*( , ), ( , )0( ) = K K Kg h C S K X s
f
g h( , ) , ( ) ( , ):∈ ( ) <{ }( )( )0
2 0� =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ V METRYÇNOMU PROSTORI … 1629
= K K f xg h C S K X x g s y
( , ) , ( ) ( )
: max Re ( ) max∈ −( )( ) ∈ ∈0
2
−−
<{ }h s
f y
( )
Re ( ) 0 ,
Γ B s f Ka
g
g
*
*( , ), ( , )0( ) = K
C S K X, ( )0
2( )( ) .
Zvidsy z uraxuvannqm tverdΩennq 1.2.2 [7, s. 14] ta rivnosti (25) oderΩu[mo
Γ C s f Ka
g
g
*
*( , ), ( , )0( ) = Γ ΓA s f K B s f Ka
g
g a
g
g
*
*
*
*( , ), ( , ),( , ) ( , )0 0( ) ( )∩ =
= K K Kg h C S K X s
f
g h( , ) , ( ) ( , ):∈ ( ) <{ }( )( )0
2 0� =
= K K f xg h C S K X x g s y
( , ) , ( ) ( )
: max Re ( ) max∈ −( )( ) ∈ ∈0
2
−−
<{ }h s
f y
( )
Re ( ) 0 =
= K Kg h C S K X x g s
( , ) , ( ) ( )
: max Re
*
∈
( )( ) ∈0
2 sign ff x f y
y a s
( ) max Re ( )
( )
−
∈
×
× max Re ( ) max Re ( )
( ) ( )x g s y h s
f x f y
∈ ∈−
−
<
0
. (26)
Analohiçno dovodyt\sq, wo rivnist\ (26) ma[ misce i u vypadku, koly dlq
s Sa
g∈
*
, f B sa
g∈
*
( ) αa
g*
= max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s y a s
f x f y
∈ ∈
− = max Re ( )
( )y a s
f y
∈
–
– max Re ( )
*( )x g s
f x
∈
.
OtΩe, rivnist\ (26) ma[ misce dlq bud\-qkyx s Sa
g∈
*
, f B sa
g∈
*
( ) .
Z rivnostej (14), (23), (26) robymo vysnovok pro spravedlyvist\ rivnosti (7).
Teoremu dovedeno.
Teorema 2. Nexaj V — dovil\na mnoΩyna prostoru C S K X, ( )0( ) . Dlq to-
ho wob element g V* ∈ buv ekstremal\nym dlq velyçyny (4), neobxidno, wob
ne isnuvalo takoho elementa K g h( , ) ∈ Γ*
( , ), *K KV g 0( ) , wo dlq vsix s Sa
g∈
*
,
fK∈ B sa
g*
( ) spravdΩu[t\sq nerivnist\
sign max Re ( ) max Re ( ) m
*( ) ( )x g s y a s
f x f y
∈ ∈
−
aax Re ( ) max Re ( )
( ) ( )x g s y h s
f x f y
∈ ∈−
−
< 0.
Dovedennq. Nexaj g*
— ekstremal\nyj element dlq velyçyny (4). Todi
K g( , )* 0 [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (5) . Zhidno z teoremog 1.4.1
[7, s. 22] ma[ misce spivvidnoßennq Γ ΓC K K Ka
g
g V g
*
* *, ,,
*
,0 0( ) ( )∩ = ∅.
Zvidsy, vraxovugçy (7), robymo vysnovok, wo ne isnu[ K g h( , ) ∈ Γ* KV( ,
K g( , )* 0 ) , dlq qkoho
sign max Re ( ) max Re ( ) m
*( ) ( )x g s y a s
f x f y
∈ ∈
−
aax Re ( ) max Re ( )
( ) ( )x g s y h s
f x f y
∈ ∈−
−
< 0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1630 G. V. HNATGK
dlq vsix s Sa
g∈
*
, f B sa
g∈
*
( ) .
Teoremu dovedeno.
Teorema 3. Nexaj V — dovil\na mnoΩyna prostoru C S K X, ( )0( ) . Qkwo
g V* ∈ [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (4), to dlq bud\-qkoho
K g h( , ) ∈ Γ* KV( , K g( , )* 0 ) isnugt\ elementy s S∈ , f B∈ ∗ taki, wo
max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s y a s
f x f y
∈ ∈
− = H g s a s*( ), ( )( ) = ρ( , )*g a ,
sign max Re ( ) max Re ( ) m
*( ) ( )x g s y a s
f x f y
∈ ∈
−
aax Re ( ) max Re ( )
( ) ( )x g s y h s
f x f y
∈ ∈−
−
≥ 0.
Teorema 4. Nexaj V — dovil\na mnoΩyna prostoru C S K X, ( )0( ) , g V* ∈ .
Qkwo dlq koΩnoho g V∈ isnugt\ elementy s Sg ∈ , f Bg ∈ *
taki, wo ma-
gt\ misce spivvidnoßennq
max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
− = H g s a sg g
*( ), ( )( ) = ρ( , )*g a , (27)
sign max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s
g
y a s
g g
f x f y
∈ ∈
−
×
× max Re ( ) max Re ( )
( ) ( )x g s
g
y g s
g
g g
f x f y
∈ ∈
−
∗
≥ 0, (28)
to g* [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (4).
Dovedennq. Nexaj g — dovil\nyj element mnoΩyny V. Zhidno z umovog
teoremy isnugt\ elementy s Sg ∈ , f Bg ∈ *
taki, dlq qkyx magt\ misce spivvid-
noßennq (27), (28). Todi
0 ≤ sign max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
−
×
× max Re ( ) max Re ( )
( ) ( )*x g s
g
y g s
g
g g
f x f y
∈ ∈
−
=
= sign max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
−
×
× max Re ( ) max Re ( ) max
( ) ( ) *x g s
g
y a s
g
y gg g
f x f y
∈ ∈ ∈
− −
(( ) ( )
Re ( ) max Re ( )
s
g
y a s
g
g g
f y f y−
∈
=
= sign max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
−
×
× max Re ( ) max Re ( )
( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
−
– ρ( , )*g a ≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ V METRYÇNOMU PROSTORI … 1631
≤ max Re ( ) max Re ( )
( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
− – ρ( , )*g a ≤
≤ max max Re ( ) max Re ( )
* ( ) ( )f B x g s y a sg g
f x f y
∈ ∈ ∈
− – ρ( , )*g a =
= H g s a sg g( ), ( )( ) – ρ( , )*g a ≤ max ( ), ( )
s S
H g s a s
∈
( ) – ρ( , )*g a =
= ρ( , )g a – ρ( , )*g a .
Zvidsy ρ( , )g a ≥ ρ( , )*g a dlq vsix g V∈ . Ce j oznaça[, wo g* [ ekstre-
mal\nym elementom dlq velyçyny (4).
Teoremu dovedeno.
Oznaçennq 1 [1, s. 1616]. MnoΩynu M normovanoho prostoru Y budemo
nazyvaty Γ*
-mnoΩynog vidnosno toçky y M0 ∈ , qkwo y – y0 ∈ Γ*( , )M y0
dlq vsix y M∈ .
Oznaçennq 2. MnoΩynu V ⊂ C S K X, ( )0( ) budemo nazyvaty Γ*
-mnoΩynog
vidnosno g V* ∈ , qkwo mnoΩyna KV [ Γ*
-mnoΩynog prostoru
K
C S K X, ( )0
2( )( ) vidnosno K g( , )* 0 , tobto qkwo K g( , )0 – K g( , )* 0 = K g g( , )*− ∈
∈ Γ* KV( , K g( , )* 0 ) dlq vsix g V∈ .
TverdΩennq 5. Zirkova vidnosno g V* ∈ mnoΩyna V ⊂ C S K X, ( )0( ) [
Γ*
-mnoΩynog vidnosno g* .
TverdΩennq 6. Bud\-qka opukla mnoΩyna V ⊂ C S K X, ( )0( ) [ Γ*
-mnoΩy-
nog vidnosno bud\-qkoho g V* ∈ .
Prykladom opuklo] mnoΩyny V ⊂ C S K X, ( )0( ) , elementy qko] magt\ prostu
strukturu, [ mnoΩyna stalyx vidobraΩen\ z kompaktnymy opuklymy obrazamy,
tobto takyx vidobraΩen\ g ∈ C S K X, ( )( ) , wo g s( ) = Kg ∈ K X0( ) dlq vsix
s S∈ .
Z uraxuvannqm c\oho ta tverdΩennqK6 robymo vysnovok, wo mnoΩyna vsix
stalyx vidobraΩen\ z kompaktnymy opuklymy obrazamy [ Γ*
-mnoΩynog vid-
nosno bud\-qkoho g V* ∈ .
TverdΩennq 7. Qkwo mnoΩyna V ⊂ C S X( , ) i [ Γ*
-mnoΩynog prostoru
C S X( , ) vidnosno g V* ∈ u rozuminni oznaçennqK1, to vona [ Γ*
-mnoΩynog
c\oho prostoru vidnosno g* u rozuminni oznaçennq K2.
Teorema 5. Nexaj V ⊂ C S K X, ( )0( ) , g V* ∈ i V [ Γ*
-mnoΩynog vidnos-
no toçky g* ( v tomu çysli zirkovog vidnosno g* abo opuklog mnoΩynog).
Dlq toho wob element g* buv ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (4),
neobxidno i dostatn\o, wob dlq koΩnoho g V∈ isnuvaly elementy s Sg ∈ ,
f Bg ∈ *
, dlq qkyx vykonugt\sq umovy (27), (28).
Dovedennq. Neobxidnist\. Nexaj g V* ∈ [ ekstremal\nym elementom dlq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1632 G. V. HNATGK
velyçyny (4) . Oskil\ky V [ Γ*
-mnoΩynog vidnosno g* (v tomu çysli zirko-
vog vidnosno g* abo opuklog mnoΩynog), to K g g( , )*− ∈ Γ*
( , ), *K KV g 0( ) . Todi
zhidno z teoremogK3 dlq bud\-qkoho g V∈ isnugt\ elementy s Sg ∈ , f Bg ∈ *
taki, dlq qkyx vykonugt\sq umovy (27), (28).
Dostatnist\ umov teoremy dlq ekstremal\nosti g* vstanovleno u teo-
remiK4.
Naslidok 1. Nexaj V — pidprostir C S K X, ( )0( ) . Dlq toho wob element
g V* ∈ buv ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (4), neobxidno, wob dlq
koΩnoho g V∈ isnuvaly elementy s Sg ∈ , f Bg ∈ *
taki, wo
max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
− = H g s a sg g
*( ), ( )( ) = ρ( , )*g a , (29)
sign max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
−
∈
max Re ( )
( )x g s
g
g
f x ≥ 0. (30)
Dovedennq. Nexaj V — pidprostir C S K X, ( )0( ) , g V* ∈ [ ekstremal\nym
elementom dlq velyçyny (4), g V∈ . Oskil\ky g + g V* ∈ ta V [ opuklog
mnoΩynog, to zhidno z teoremogK5 isnugt\ elementy s Sg ∈ , f Bg ∈ *
taki, wo
vykonu[t\sq umova (27) i
sign max Re ( ) max Re ( )
*( ) ( )x g s
g
y a s
g
g g
f x f y
∈ ∈
−
×
× max Re ( ) max Re (
( ) ( ) ( )* *x g s g s
g
y g s
g
g g g
f x f
∈ +( ) ∈
− yy)
≥ 0. (31)
Z (31) vyplyva[ (30), qkwo vraxuvaty, wo
max Re ( )
( ) ( )*x g s g s
g
g g
f x
∈ +( )
= max Re ( )
( )x g s
g
g
f x
∈
+ max Re ( )
*( )x g s
g
g
f x
∈
.
Naslidok dovedeno.
Naslidok 2. Nexaj V — pidprostir C S K X, ( )0( ) . Dlq toho wob element
g V* ∈ buv ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (4), neobxidno i dostat-
n\o, wob dlq bud\-qkoho g V∈ isnuvaly elementy s Sg ∈ , f Bg ∈ *
taki, wo
magt\ misce rivnosti (27), (28).
Naslidok 3. Nexaj V [ mnoΩynog stalyx vidobraΩen\ iz C S K X, ( )0( ) .
Dlq toho wob element g V* ∈ buv ekstremal\nym elementom dlq velyçy-
nyK(4), neobxidno i dostatn\o, wob dlq bud\-qkoho g V∈ isnuvaly elementy
s Sg ∈ , f Bg ∈ *
taki, wo magt\ misce rivnosti (27), (28).
ZauvaΩymo, wo v çastkovomu vypadku, koly s [ kompaktom prostoru Rm
, a
X Rl= , cej naslidok vstanovleno u praci [5].
Naslidok 4 [1, s. 1616]. Nexaj V ⊂ C S X( , ) , g V* ∈ i V [ Γ*
-mnoΩynog
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ V METRYÇNOMU PROSTORI … 1633
vidnosno toçky g* u rozuminni oznaçennq 1 (v tomu çysli zirkovog vidnosno
g* abo opuklog mnoΩynog).
Dlq toho wob element g* buv ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (4)
v c\omu vypadku, neobxidno i dostatn\o, wob dlq koΩnoho g V∈ isnuvaly
elementy s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ) , f Bg ∈ *
taki, wo
f g s yg g g
*( ) −( ) = max max ( )
( )
*
s S y a s
g s
∈ ∈
– y = ρ( , )*g a ,
Re ( ) ( )*f g s g sg g g−( ) ≥ 0.
1. Hudyma U. V. Najkrawa rivnomirna aproksymaciq neperervnoho kompaktnoznaçnoho vidob-
raΩennq mnoΩynamy neperervnyx odnoznaçnyx vidobraΩen\ // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57,
# 12. – S.1601 – 1619.
2. Hnatgk G. V., Hudyma U. V. Kryteri] ekstremal\noho elementa ta joho [dynosti dlq zadaçi
najkrawo] rivnomirno] aproksymaci] neperervnoho kompaktnoznaçnoho vidobraΩennq
mnoΩynamy odnoznaçnyx vidobraΩen\ // Dop. NAN Ukra]ny. – 2005.– # 6. – S.19 – 23.
3. Hnatgk V. O., Hnatgk G. V., Hudyma U. V. Modyfikaciq metodu Remeza na vypadok ap-
roksymaci] kompaktnoznaçnoho vidobraΩennq // Visn Ky]v. nac. un-tu. Ser. fiz.-mat. nauky. –
2005. – # 3. – S.239 – 244.
4. Nykol\skyj M. S. Approksymacyq v¥pukloznaçn¥x neprer¥vn¥x mnohoznaçn¥x otobra-
Ωenyj // Dokl. AN SSSR. – 1989. – 308, # 5. – S.1047 – 1050.
5. Nykol\skyj M. S. Ob approksymacyy neprer¥vnoho mnohoznaçnoho otobraΩenyq postoqn-
n¥my mnohoznaçn¥my otobraΩenyqmy // Vestn. Mosk. un-ta. Ser. V¥çyslyt. matematyka y
kybernetyka. – 1990. – # 1. – S.76 – 80.
6. V¥hodçykova Y. G. O nayluçßem pryblyΩenyy neprer¥vnoho mnohoznaçnoho otobraΩenyq
alhebrayçeskym polynomom // Matematyka. Mexanyka: Sb. nauç. tr. – 2000. – #K2. – S.13 –
15.
7. Loran P.-Û. Approksymacyq y optymyzacyq. – M.: Myr, 1975. – 496 s.
8. Hol\ßtejn E. H. Teoryq dvojstvennosty v matematyçeskom prohrammyrovanyy y ee prylo-
Ωenyq. – M.: Nauka, 1971. – 352 s.
OderΩano 13.05.10,
pislq doopracgvannq — 05.09.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
|