Про треті модулі неперервності
An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is not necessarily a modulus of continuity of order 3. An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166307 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про треті модулі неперервності / С І. Безкрила, О.Н. Нестеренко, А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1420–1424. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859619438978924544 |
|---|---|
| author | Безкрила, С.І. Нестеренко, О.Н. Чайковський, А.В. |
| author_facet | Безкрила, С.І. Нестеренко, О.Н. Чайковський, А.В. |
| citation_txt | Про треті модулі неперервності / С І. Безкрила, О.Н. Нестеренко, А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1420–1424. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is not necessarily a modulus of continuity of order 3.
An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is not necessarily a modulus of continuity of order 3.
|
| first_indexed | 2025-11-29T01:56:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. І. БЕЗКРИЛА, О. Н. НЕСТЕРЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, 2014
1420 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
УДК 517.518.2
С. І. Безкрила (Нац. пед. ун-т, Київ),
О. Н. Нестеренко, А. В. Чайковський (Київ. нац. ун-т ім. Т. Шевченка)
ПРО ТРЕТІ МОДУЛІ НЕПЕРЕРВНОСТІ
An inequality for the third uniform modulus of continuity is proved. It follows from this inequality that every 3-majorant
is not necessarily a modulus of continuity of order 3.
Получено неравенство для третьих равномерных модулей непрерывности, с помощью которого доказано, что не
каждая 3-мажоранта является модулем непрерывности третьего порядка.
Для функції f : !! ! розглядатимемо першу, другу та третю скінченні різниці в точці
x !! з кроком h > 0 :
!h1 f , x( ) = f x + h( )" f x( ) ,
!h2 f , x( ) = f x + 2h( )" 2 f x + h( ) + f x( ) ,
!h3 f , x( ) = f x + 3h( )" 3 f x + 2h( ) + 3 f x + h( )" f x( ) .
Через UC !( ) позначимо простір рівномірно неперервних функцій f : !! ! . Для
функції f !UC !( ) розглядатимемо її (рівномірний) k -й модуль неперервності при k = 1,
2, 3:
! k ( f , ") = sup #hk f , x( ) : x $!, 0 < h % "{ } , ! > 0.
Аналогічно до випадку модулів неперервності функцій, заданих на відрізку, властивості
яких викладено, наприклад, у монографії І. О. Шевчука [1, c. 19 – 34], легко можна довести, що
для функцій із простору UC !( ) розглядувані нами модулі неперервності ! = ! k f , "( ) при
k = 1, 2, 3 задовольняють такі умови:
1) !(0) = 0 ;
2) функція ! є неперервною на [0, +!) ;
3) функція ! є неспадною на [0, +!) ;
4) для довільних ! " 0 і n !! справджується нерівність ! n"( ) # nk! "( ) .
Легко бачити, що умова 4 для невід’ємних функцій випливає з умови:
5) функція 0, + !( ) " #! $ #( )/#k монотонно не зростає на 0, +!( ) .
Зауважимо, що в [1, с. 24] функції, що задовольняють умови 1 – 3 і 5, називаються k -мажо-
рантами.
І. О. Шевчук звернув увагу авторів на таке питання. Чи правильно, що при k = 3 кожна
k -мажоранта є модулем неперервності k -го порядку якоїсь функції з простору UC !( ) на
ПРО ТРЕТІ МОДУЛІ НЕПЕРЕРВНОСТІ 1421
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
деякому відрізку 0, !0[ ] , !0 > 0 ? При k = 1 позитивна відповідь на подібне питання помі-
чена ще С. М. Нікольським [2]. Для k = 2 негативну відповідь на таке ж питання дав
С. В. Конягін [3]. Для доведення він встановив допоміжну нерівність
2!2 f ,T( ) " !2 f ,T + t( ) + !2 f ,T # t( ) + 2!2 f , t( ) , 0 ! t ! T , f !UC !( ) .
У цій статті ми даємо також негативну відповідь на поставлене питання при k = 3 . Для
отримання цього результату ми в цілому повторюємо міркування С. В. Конягіна з роботи [3],
але при цьому досить істотно модифікуємо його метод отримання допоміжної нерівності
(теорема 1).
Теорема 1. Нехай f !UC !( ) , t > 0 , N !! . Тоді
2!3 f , Nt( ) " !3 f , N +1( ) t( ) + !3 f , N #1( ) t( ) + 6N!3 f , t( ) . (1)
Доведення. Для N = 1 нерівність (1) є тривіальною, тому вважаємо, що N ! 2 . Нехай
h !(0, t] — довільне фіксоване число, H = Nh . Враховуючи означення третьої скінченної
різниці та вираз для другої скінченної різниці з кроком 2h через таку ж різницю з кроком h
(див. формулу (1.31) з [1] при n = m = 2 ), для всіх x !! маємо
!H+h
3 f , x " h( ) + !H"h
3 f , x + h( )" 2!H
3 f , x( ) =
= f x + 3H + 2h( )! 3 f x + 2H + h( ) + 3 f x + H( )! f x ! h( ) +
+ f x + 3H ! 2h( )! 3 f x + 2H ! h( ) + 3 f x + H( )! f x + h( ) –
– 2 f x + 3H( ) + 6 f x + 2H( )! 6 f x + H( ) + 2 f x( ) =
= !2h2 f , x + 3H " 2h( )" 3!h2 f , x + 2H " h( )" !h2 f , x " h( ) =
= !h2 f , x + 3H( ) + 2!h2 f , x + 3H " h( )+
+ !h2 f , x + 3H " 2h( )" 3!h2 f , x + 2H " h( )" !h2 f , x " h( ) =
= !h2 f , x + 3Nh( )" !h2 f , x + 2N "1( )h( ) + 2!h2 f , x + 3N "1( )h( ) –
– 2!h2 f , x + 2N "1( )h( ) + !h2 f , x + 3N " 2( )h( ) " !h2 f , x " h( ) = : E .
Розглядаючи третю скінченну різницю як різницю других скінченних різниць, для довіль-
них l !! і m !! отримуємо
!h2 f , x + l + m( )h( ) " !h2 f , x + lh( ) =
= !h2 f , x + l + k +1( )h( ) " !h2 f , x + l + k( )h( )( )
k=0
m"1
# =
1422 С. І. БЕЗКРИЛА, О. Н. НЕСТЕРЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
=
!h3 f , x + l + k( )h( )
k=0
m"1
# $ !h3 f , x + l + k( )h( )
k=0
m"1
# $ %3 f , t( )m
.
Враховуючи отриману оцінку, переконуємося, що
E ! "3 f , t( ) N +1+ 2N + 3N #1( ) = 6N"3 f , t( ) .
Отже,
!H+h
3 f , x " h( ) + !H"h
3 f , x + h( )" 2!H
3 f , x( ) # 6N$3 f , t( ) .
Звідси випливає, що
2 !H
3 f , x( ) " !H+h
3 f , x # h( ) + !H#h
3 f , x + h( ) + 6N$3 f , t( ) ≤
≤ !3 f , N +1( ) t( ) + !3 f , N "1( ) t( ) + 6N!3 f , t( ) .
Якщо h пробігає весь проміжок (0, t] , то H пробігає весь проміжок (0, Nt] , тому з
останньої нерівності та означення точної верхньої межі й одержуємо нерівність (1).
Наслідок. Функція ! t( ) = t 3 , t ! 0, 1 / 2[ ] , ! t( ) = 1/8 , t > 1/2 , задовольняє умови
1 – 3 і 5 при k = 3 , але не є модулем неперервності третього порядку ні для якої функції з
простору UC !( ) .
Доведення випливає з теореми 1, оскільки при досить великих n !!
! 1
2
+ 1
2n
"
#$
%
&' ( 2!
1
2
"
#$
%
&' + ! 1
2
( 1
2n
"
#$
%
&' + 6n!
1
2n
"
#$
%
&' < 0 .
Отже, якщо покласти t = 1
2n
і N = n , то нерівність (1) стає хибною, що для третього
модуля неперервності неможливо. Умови 1 – 3 і 5 для функції ! очевидно виконуються.
Цей наслідок значно посилює наступна теорема.
Теорема 2. Для кожного числа ! > 2 існує ненульова функція ! : [0, +")# ! , що
задовольняє умови 1 – 3, така, що функція 0, +!( ) " #! $ #( )/#% є незростаючою на
0, +!( ) і при цьому ні для якої функції f !UC !( ) не виконується рівність
lim
!" 0
#3 f , !( )/# !( ) = 1 .
Доведення. Розглянемо функцію ! t( ) = t" , t ! 0, 1 / 2[ ] , ! t( ) = 1 / 2( )" , t !(1 / 2, 1] .
Оскільки
! 1
2
+ 1
2n
"
#$
%
&' ( 2!
1
2
"
#$
%
&' + ! 1
2
( 1
2n
"
#$
%
&' + 6n!
1
2n
"
#$
%
&' = ( )
2)n
+ o 1
n
"
#$
%
&' , n* + ,
ПРО ТРЕТІ МОДУЛІ НЕПЕРЕРВНОСТІ 1423
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
то існують такі числа n0 !! , n0 ! 2 і ! > 0 , що
! 1
2
+ 1
2n0
"
#$
%
&'
( 2! 1
2
"
#$
%
&' + ! 1
2
( 1
2n0
"
#$
%
&'
+ 6n0!
1
2n0
"
#$
%
&'
= ( ) .
Позначимо S = 1
2n0
, T = 2S( )! . Визначимо тепер функцію ! . Нехай ! 0( ) = 0 , а
якщо ! "[S j+1, S j ) при деякому j !! , то покладемо
! "( ) = T j# "/S j( ) . Отримаємо
функцію ! , коректно визначену на [0, +!) , яка задовольняє умови 1 – 3 і 5. Дійсно, ці
умови виконуються для функції ! , а також
! S j +( ) = ! S j( ) = T j"1# S j /S j"1( ) = 1
2$n0
$j ,
! S j "( ) = lim
# $ S j"
T j% #/S j( ) = 1
2&n0
&j .
Отже, ! неперервна на 0, +!( ) ; ! "( ) # T j # 1/2( ) j , ! "[0, S j ) , тому ! 0 +( ) = 0 =
= ! 0( ) . Оскільки ! неспадна, то ! неспадна на кожному проміжку [S j+1, S j ) , тому, з
огляду на її неперервність на [0, +!) , вона є неспадною на [0, +!) . Аналогічно легко бачи-
ти, що ! задовольняє умову 5.
Оскільки 0 < S ! 1/4 , то при всіх j > 0
S j S +1 / 2( ) , S j /2, S j !S +1/2( ) , S j+1{ } " [S j +1, S j ) ,
тому
! S j S +1/2( )( ) " 2! S j /2( ) + ! S j "S +1/2( )( ) + 6n0! S j +1( ) =
= T j ! 1
2
+ 1
2n0
"
#$
%
&'
( 2! 1
2
"
#$
%
&' + ! 1
2
( 1
2n0
"
#$
%
&'
+ 6n0!
1
2n0
"
#$
%
&'
"
#$
%
&'
=
=
!T j" < ! T j# S +1/2( )" = ! $ S j S +1/2( )( )" . (2)
Якщо функція !! : [0, +")# [0, +") така, що
lim!" 0+ !# !( )/# !( ) = 1 , то існує таке
j !! , що для всіх ! "(0, S j ) виконується нерівність
!! "( )# ! "( ) $ %! "( )
6n0 + 4
.
Звідси, враховуючи (2) і те, що функція ! є неспадною, отримуємо оцінку
1424 С. І. БЕЗКРИЛА, О. Н. НЕСТЕРЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
!! S j S +1/2( )( ) " 2 !! S j /2( ) + !! S j "S +1/2( )( ) + 6n0 !! S j +1( ) <
<
! " S j S +1 / 2( )( )#+ 6n0 + 4( )
#" S j S +1/2( )( )
6n0 + 4
= 0 ,
що суперечить нерівності (1), якщо в ній покласти t = S j +1 і N = n0 . Таким чином,
функція !! не може бути модулем неперервності третього порядку ні для якої функції з
простору UC !( ) .
Теорему доведено.
Автори висловлюють щиру подяку професору І. О. Шевчуку за постановку задачі й під-
тримку в роботі.
1. Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев: Наук. думка,
1992. – 224 с.
2. Никольский С. М. Ряд Фурье с данным модулем непрерывности // Докл. АН СССР. – 1946. – 52, № 3. – С. 191 –
194.
3. Конягин С. В. О вторых модулях непрерывности // Труды Мат. ин-та РАН. – 2010. – 269. – С. 1 – 3.
Одержано 10.07.13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166307 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T01:56:09Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Безкрила, С.І. Нестеренко, О.Н. Чайковський, А.В. 2020-02-18T17:39:23Z 2020-02-18T17:39:23Z 2014 Про треті модулі неперервності / С І. Безкрила, О.Н. Нестеренко, А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1420–1424. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166307 517.518.2 An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is not necessarily a modulus of continuity of order 3. An inequality for the third uniform moduli of continuity is proved. This inequality implies that an arbitrary 3-majorant is not necessarily a modulus of continuity of order 3. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Про треті модулі неперервності On the third moduli of continuity Article published earlier |
| spellingShingle | Про треті модулі неперервності Безкрила, С.І. Нестеренко, О.Н. Чайковський, А.В. Короткі повідомлення |
| title | Про треті модулі неперервності |
| title_alt | On the third moduli of continuity |
| title_full | Про треті модулі неперервності |
| title_fullStr | Про треті модулі неперервності |
| title_full_unstemmed | Про треті модулі неперервності |
| title_short | Про треті модулі неперервності |
| title_sort | про треті модулі неперервності |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166307 |
| work_keys_str_mv | AT bezkrilasí protretímodulíneperervností AT nesterenkoon protretímodulíneperervností AT čaikovsʹkiiav protretímodulíneperervností AT bezkrilasí onthethirdmoduliofcontinuity AT nesterenkoon onthethirdmoduliofcontinuity AT čaikovsʹkiiav onthethirdmoduliofcontinuity |