Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності
Получены порядковые оценки приближения классов BΩₚ,₀ периодических функций двух переменных в пространстве Lq с помощью операторов ортогонального проектирования, а также линейных операторов, которые подчинены некоторым условиям....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166352 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності / А.Ф. Конограй // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 2. — С. 176–186. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166352 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1663522025-02-23T20:08:06Z Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності Estimates for the approximate characteristics of the classes BΩₚ,₀ of periodic functions of two variables with given majorant of mixed moduli of continuity Конограй, А.Ф. Статті Получены порядковые оценки приближения классов BΩₚ,₀ периодических функций двух переменных в пространстве Lq с помощью операторов ортогонального проектирования, а также линейных операторов, которые подчинены некоторым условиям. Order estimates are obtained for approximation BΩₚ,₀ of the classes of periodic functions of two variables in the space Lq by operators of orthogonal projection as well as by linear operators subjected to some conditions. 2011 Article Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності / А.Ф. Конограй // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 2. — С. 176–186. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166352 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Конограй, А.Ф. Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності Український математичний журнал |
| description |
Получены порядковые оценки приближения классов BΩₚ,₀ периодических функций двух переменных в пространстве Lq с помощью операторов ортогонального проектирования, а также линейных операторов, которые подчинены некоторым условиям. |
| format |
Article |
| author |
Конограй, А.Ф. |
| author_facet |
Конограй, А.Ф. |
| author_sort |
Конограй, А.Ф. |
| title |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| title_short |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| title_full |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| title_fullStr |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| title_full_unstemmed |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| title_sort |
оцінки апроксимативних характеристик класів bωₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166352 |
| citation_txt |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩₚ,₀ періодичних функцій двох змінних з заданою мажорантою мішаних модулів неперервності / А.Ф. Конограй // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 2. — С. 176–186. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT konograjaf ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbōp0períodičnihfunkcíjdvohzmínnihzzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT konograjaf estimatesfortheapproximatecharacteristicsoftheclassesbōp0ofperiodicfunctionsoftwovariableswithgivenmajorantofmixedmoduliofcontinuity |
| first_indexed |
2025-11-24T21:51:30Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:51:30Z |
| _version_ |
1849710179282583552 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. Ф. Конограй (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
КЛАСIВ BΩ
p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
ДВОХ ЗМIННИХ З ЗАДАНОЮ МАЖОРАНТОЮ
МIШАНИХ МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI
Order estimates are obtained for approximation of the classes BΩ
p,θ of periodic functions of two variables in
the space Lq by operators of orthogonal projection as well as by linear operators subjected to some conditions.
Получены порядковые оценки приближения классов BΩ
p,θ периодических функций двух переменных в
пространстве Lq с помощью операторов ортогонального проектирования, а также линейных операторов,
которые подчинены некоторым условиям.
Вступ. Метою роботи є поширення вiдомих результатiв [1] щодо наближення класiв
HΩ
p перiодичних функцiй двох змiнних iз заданою функцiєю Ω(t) спецiального
вигляду за допомогою операторiв ортогонального проектування, а також лiнiйних
операторiв, що пiдпорядкованi деяким умовам на класи BΩ
p,θ. Зауважимо, що з
метою спрощення технiчних викладок у данiй роботi, як i в [1], розглядаються класи
BΩ
p,θ перiодичних функцiй двох змiнних. Згаданi класи функцiй та апроксимативнi
характеристики будуть означенi нижче, а зараз наведемо необхiднi позначення та
означення.
Нехай Lp(π2), 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i
сумовних у степенi p на квадратi π2 =
∏2
j=1
[0; 2π] функцiй f(x) = f(x1, x2), в
якому норма визначається таким чином:
||f ||Lp(π2) = ||f ||p =
(2π)
−2
∫
π2
|f(x)|pdx
1/p
,
L∞(π2) — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй суттєво обмежених функцiй
f(x) = f(x1, x2) з нормою
||f ||L∞(π2) = ||f ||∞ = ess sup
x∈π2
|f(x)|.
Далi будемо вважати, що для функцiй f ∈ Lp(π2) виконується додаткова умова
2π∫
0
f(x)dxj = 0, j = 1, 2.
Для f ∈ Lp(π2) i t = (t1, t2), tj ≥ 0, j = 1, 2, розглядатимемо мiшаний модуль
неперервностi порядку l
Ωl(f ; t)p = Ωl(f ; (t1, t2))p = sup
|hj |≤tj
j=1,2
||∆l
hf(x)||p,
де
c© А. Ф. КОНОГРАЙ, 2011
176 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ BΩ
p,θ . . . 177
∆l
hf(x) = ∆l
(h1,h2)f(x1, x2) = ∆l
h1
∆l
h2
f(x1, x2)
— мiшана l-та рiзниця з кроком hj за змiнною xj , j = 1, 2.
Нехай Ω(t) = Ω(t1, t2) — задана функцiя типу мiшаного модуля неперервностi
порядку l, яка задовольняє такi умови:
1) Ω(t1, t2) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, 2;
2) Ω(t1, t2) зростає по кожнiй змiннiй;
3) Ω(0, 0) = Ω(t1, 0) = Ω(0, t2) = 0;
4) Ω(m1t1,m2t2) ≤ ml
1 m
l
2Ω(t1, t2), mj ∈ N, j = 1, 2.
Будемо вважати, що Ω(t) задовольняє також умови (S) i (Sl), якi називають
умовами Барi – Стєчкiна [2]. Це означає наступне.
Функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (S), якщо ϕ(τ)/τα майже
зростає при деякому α > 0, тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0,
що
ϕ(τ1)
τα1
≤ C1
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Функцiя ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), якщо ϕ(τ)/τγ майже спадає при
деякому 0 < γ < l, тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τγ1
≥ C2
ϕ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Будемо говорити, що Ω(t) задовольняє умови (S) i (Sl), якщо Ω(t) задовольняє
цi умови по кожнiй змiннiй при умовi, що iнша змiнна фiксована.
Отже, нехай 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а Ω(t) — задана функцiя типу мiша-
ного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови 1 – 4. Тодi, згiдно з
означенням [3],
BΩ
p,θ :=
f ∈ Lp(π2) : ‖f‖BΩ
p,θ
=
∫
π2
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ 2∏
j=1
dtj
tj
1/θ
≤ 1
,
де 1 ≤ θ <∞ i
BΩ
p,∞ :=
{
f ∈ Lp(π2) : ‖f‖BΩ
p,∞
= sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
≤ 1
}
.
Зауважимо, що при θ = ∞ класи BΩ
p,θ збiгаються з класами HΩ
p , якi були
розглянутi М. М. Пустовойтовим в [4].
Для подальших мiркувань нам буде зручно користуватися еквiвалентним (з
точнiстю до абсолютних сталих) означенням класiв BΩ
p,θ.
Кожному вектору s = (s1, s2), sj ∈ N, j = 1, 2, поставимо у вiдповiднiсть
множину
ρ(s) =
{
k = (k1, k2) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z\{0}, j = 1, 2
}
i для f ∈ Lp(π2) позначимо
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
178 А. Ф. КОНОГРАЙ
де
f̂(k) = (2π)−2
∫
π2
f(t)e−i(k,t)dt
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f, (k, x) = k1x1 + k2x2.
Отже, якщо 1 < p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) — задана функцiя типу мiшаного мо-
дуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови 1 – 4, (S) i (Sl), то з точнiстю
до абсолютних сталих класи BΩ
p,θ можна означити таким чином (див. [3]):
BΩ
p,θ :=
f ∈ Lp(π2) : ‖f‖BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖δs(f, x)‖θp
)1/θ
≤ 1
, (1)
де 1 ≤ θ <∞ i
BΩ
p,∞ :=
{
f ∈ Lp(π2) : ‖f‖BΩ
p,∞
= sup
s
‖δs(f, x)‖p
Ω(2−s)
≤ 1
}
, (2)
де Ω(2−s) = Ω(2−s1 , 2−s2), sj ∈ N, j = 1, 2.
Зазначимо, що при Ω(t) =
∏2
j=1
t
rj
j , rj > 0, класи BΩ
p,θ є аналогами вiдомих
класiв Бєсова Brp,θ (див., наприклад, [5]).
Наведене означення класiв BΩ
p,θ можна поширити i на випадки p = 1,∞, дещо
змiнивши в (1) i (2) „блоки” δs(f, x).
Нехай Vn(t) позначає ядро Валле Пуссена порядку 2n− 1, тобто
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k − n
n
)
cos kt.
Кожному вектору s = (s1, s2), sj ∈ N, j = 1, 2, поставимо у вiдповiднiсть
полiном
As(x) =
2∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
i для f ∈ Lp(π2), 1 ≤ p ≤ ∞, через As(f, x) позначимо згортку
As(f, x) = f ∗As.
У прийнятих позначеннях (з точнiстю до абсолютних сталих) класи BΩ
p,θ, 1 ≤
≤ p ≤ ∞, можна означити таким чином (див. вiдповiдно [6] та [4]):
BΩ
p,θ :=
f ∈ Lp(π2) : ‖f‖BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s) ‖As(f, x)‖θp
)1/θ
≤ 1
, (3)
де 1 ≤ θ <∞ i
BΩ
p,∞ :=
{
f ∈ Lp(π2) : ‖f‖BΩ
p,∞
= sup
s
‖As(f, x)‖p
Ω(2−s)
≤ 1
}
. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ BΩ
p,θ . . . 179
Зауважимо, що при 1 < p <∞ означення норм функцiй iз класiв BΩ
p,θ (1) та (2)
еквiвалентнi означенням (3) та (4) вiдповiдно.
Нижче будемо розглядати класи BΩ
p,θ, якi визначаються функцiєю Ω(t) деякого
спецiального вигляду
Ω(t) = Ω(t1, t2) =
tr1(
log
1
t1
)b1
+
tr2(
log
1
t2
)b2
+
, якщо tj > 0, j = 1, 2,
0, якщо t1t2 = 0.
(5)
Тут i далi розглядаються логарифми за основою 2, крiм того,(
log τ
)
+
= max{1, log τ}.
Також будемо вважати, що bj < r, j = 1, 2 та 0 < r < l, а oтже, Ω(t) задовольняє
умови 1 – 4, (S) та (Sl).
Метою роботи є встановлення точних за порядком оцiнок ортопроекцiйних
поперечникiв класiв BΩ
p,θ у просторi Lq, 1 ≤ q < ∞. Нагадаємо, що поняття
ортопроекцiйного поперечника ввiв В. М. Темляков [7]. Щоб навести означення
величини, що нами дослiджується, введемо деякi позначення.
Нехай {ui}Mi=1 — ортонормована система функцiй ui ∈ L∞(π2). Кожнiй функцiї
f ∈ Lq(π2), 1 ≤ q ≤ ∞, поставимо у вiдповiднiсть апарат наближення вигляду∑M
i=1
(f, ui)ui, тобто ортогональну проекцiю функцiї f на пiдпростiр, породжений
системою функцiй {ui}Mi=1. Тодi для функцiонального класу F ⊂ Lq(π2) величина
d⊥M (F,Lq) = inf
{ui}Mi=1
sup
f∈F
∥∥∥∥∥f(x)−
M∑
i=1
(f, ui)ui(x)
∥∥∥∥∥
q
(6)
називається ортопроекцiйним поперечником цього класу в просторi Lq(π2).
Крiм ортопроекцiйних поперечникiв будемо дослiджувати величини dBM (F,Lq),
введенi В. М. Темляковим [7], якi визначаються таким чином:
dBM (F,Lq) = inf
G∈LM (B)q
sup
f∈F∩D(G)
‖f(x)−Gf(x)‖q . (7)
Тут через LM (B)q позначено множину лiнiйних операторiв, якi задовольняють такi
умови:
а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi тригонометричнi полi-
номи, а їх область значень мiститься у пiдпросторi розмiрностiM простору Lq(π2);
б) iснує число B ≥ 1 таке, що для всiх векторiв k = (k1, k2), kj ∈ Z, j = 1, 2,
виконується нерiвнiсть
∥∥Gei(k,x)
∥∥
2
≤ B.
Зазначимо, що до LM (1)2 належать оператори ортогонального проектування
на простори розмiрностi M, а також оператори, якi задаються на ортонормованiй
системi функцiй за допомогою мультиплiкатора, який визначається послiдовнiстю
{λm} такою, що |λm| ≤ 1 для всiх m. Iз (6) i (7) легко бачити також, що величини
d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq) пов’язанi мiж собою нерiвнiстю
dBM (F,Lq) ≤ d⊥M (F,Lq).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
180 А. Ф. КОНОГРАЙ
На сьогоднi є велика кiлькiсть робiт, в яких дослiджувались ортопроекцiйнi
поперечники тих чи iнших класiв функцiй. Вiдмiтимо роботи [8 – 12], в яких ви-
вчалися величини (6), (7) для класiв функцiй багатьох змiнних W r
p,α, H
r
p та Brp,θ i
в яких можна ознайомитися з детальнiшою бiблiографiєю.
1. Допомiжнi твердження. Наведемо кiлька вiдомих тверджень, якi будемо
використовувати у подальших мiркуваннях.
Теорема A (Лiттлвуда – Пелi [13, c. 65]). Нехай задано 1 < p < ∞. Iснують
додатнi числа C3, C4 такi, що для кожної функцiї f ∈ Lp(π2) виконуються спiв-
вiдношення
C3‖f‖p ≤
∥∥∥∥∥∥
(∑
s
|δs(f, x)|2
)1/2
∥∥∥∥∥∥
p
≤ C4‖f‖p.
З теореми А випливає такий наслiдок.
Наслiдок. Для f ∈ Lp(π2) при 1 < p <∞ має мiсце спiввiдношення
‖f‖p �
(∑
s
‖δs(f, x)‖p0
p
)1/p0
, (8)
де p
0
= min{p; 2}.
Тут i далi для додатних функцiй µ1(N) та µ2(N) запис µ1 � µ2 означає, що
iснує сталаC > 0 така, що µ1(N) ≤ Cµ2(N). Спiввiдношення µ1 � µ2 рiвносильне
тому, що виконуються порядковi нерiвностi µ1 � µ2 та µ1 � µ2. Зауважимо, що всi
сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися в роботi, можуть залежати лише вiд
параметрiв, що входять в означення класу та метрики, в якiй вимiрюється похибка
наближення.
Для натурального N покладемо
χ(N) =
{
s = (s1, s2) : sj ∈ N, j = 1, 2, Ω(2−s) ≥ 1
N
}
,
Q(N) =
⋃
s∈χ(N)
ρ(s).
Далi, нехай
χ⊥(N) = N2 \ χ(N)
та
Θ(N) =
{
s = (s1, s2) : sj ∈ N, j = 1, 2,
1
2lN
≤ Ω(2−s) <
1
N
}
.
У прийнятих позначеннях мають мiсце наступнi твердження, встановленi М. М. Пу-
стовойтовим в роботi [1].
Лема 1. Кiлькiсть елементiв множини Q(N) рiвна за порядком:
|Q(N)| � N1/r
(
logN
)−b1/r−b2/r+1
.
Лема 2. Для кiлькостi елементiв множини Θ(N) має мiсце спiввiдношення
|Θ(N)| � logN. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ BΩ
p,θ . . . 181
Лема 3. Для функцiї Ω(t), яка визначена рiвнiстю (5), при 0 < p < ∞ має
мiсце оцiнка ∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)
)p
�
∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)
)p
.
Перш нiж перейти до викладу отриманих результатiв, покладемо M = |Q(N)|,
тодi згiдно з лемою 1 отримаємо
M � N1/r
(
logN
)−b1/r−b2/r+1
,
N �Mr
(
logM
)b1+b2−r
, logM � logN.
(10)
2. Основнi результати. Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай 1 ≤ q ≤ p <∞, p ≥ 2, 1 ≤ θ <∞, а функцiю Ω(t) задано
формулою (5) з r > 0, тодi
d⊥M (BΩ
p,θ, Lq) � dBM (BΩ
p,θ, Lq) �M−r
(
logM
)−b1−b2+r+(1/2−1/θ)+
, (11)
де a+ = max{a, 0}.
Перш нiж перейти до доведення (11), зробимо одне зауваження. Оскiльки
dBM (BΩ
p,θ, Lq) ≤ d⊥M (BΩ
p,θ, Lq), то для доведення теореми достатньо оцiнити знизу
величину dBM (BΩ
p,θ, Lq) i, вiдповiдно, зверху величину d⊥M (BΩ
p,θ, Lq).
Доведення. Спочатку встановимо в (11) оцiнку зверху. З цiєю метою розглянемо
наближення функцiї f ∈ BΩ
p,θ тригонометричними полiномами tQ(N)(x) вигляду
tQ(N)(x) =
∑
s∈χ(N)
δs(f, x).
Використовуючи нерiвнiсть ‖ · ‖q ≤ ‖ · ‖p при q ≤ p та спiввiдношення (8),
одержуємо ∥∥∥∥∥∥f(x)−
∑
s∈ χ(N)
δs(f, x)
∥∥∥∥∥∥
q
≤
∥∥∥∥∥∥f(x)−
∑
s∈ χ(N)
δs(f, x)
∥∥∥∥∥∥
p
�
�
( ∑
s∈ χ⊥(N)
‖δs(f, x)‖2p
)1/2
=
( ∑
s∈ χ⊥(N)
Ω−2(2−s)‖δs(f, x)‖2p Ω2(2−s)
)1/2
=I1.
Щоб оцiнити I1, розглянемо два випадки.
Нехай 1 ≤ θ ≤ 2. Згiдно з нерiвнiстю [14, с. 43](∑
k
|ak|ν2
)1/ν2
≤
(∑
k
|ak|ν1
)1/ν1
, 1 ≤ ν1 ≤ ν2 <∞,
враховуючи той факт, що Ω(2−s) <
1
N
при s ∈ χ⊥(N), маємо
I1 ≤ N−1
∑
s∈ χ⊥(N)
Ω−θ(2−s)‖δs(f, x)‖θp
1/θ
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
182 А. Ф. КОНОГРАЙ
� N−1‖f‖BΩ
p,θ
≤ N−1 �M−r
(
logM
)−b1−b2+r
.
Якщо ж 2 < θ < ∞, то, застосувавши до I1 нерiвнiсть Гельдера з показником
θ
2
, отримаємо
I1 ≤
( ∑
s∈ χ⊥(N)
Ω−θ(2−s)‖δs(f, x)‖θp
)1/θ( ∑
s∈ χ⊥(N)
(
Ω(2−s)
)2θ/(θ−2)
)1/2−1/θ
�
� ‖f‖BΩ
p,θ
( ∑
s∈ χ⊥(N)
(
Ω(2−s)
)2θ/(θ−2)
)1/2−1/θ
≤
≤
( ∑
s∈ χ⊥(N)
(
Ω(2−s)
)2θ/(θ−2)
)1/2−1/θ
= I2.
Застосувавши до I2 лему 3 та використавши спiввiдношення (9), (10), дiстанемо
I2 �
( ∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)
)2θ/(θ−2)
)1/2−1/θ
� N−1
( ∑
s∈Θ(N)
1
)1/2−1/θ
�
� N−1
(
logN
)1/2−1/θ �M−r
(
logM
)−b1−b2+r+1/2−1/θ
.
Таким чином, оцiнку зверху в (11) встановлено.
Перейдемо до встановлення в (11) оцiнки знизу. Зазначимо, що оскiльки отри-
мана оцiнка зверху не залежить вiд параметра q, то для доведення оцiнки знизу
величини dBM (BΩ
p,θ, Lq) достатньо розглянути випадок q = 1. Доведення розiб’ємо
на двi частини.
Для встановлення вiдповiдної оцiнки знизу величини dBM (BΩ
p,θ, L1) у випадку
1 ≤ θ < 2 використаємо мiркування, аналогiчнi тим, якi використовувались у
прикладi 1 роботи [9].
Отже, нехай M задано, G ∈ LM (B)1. Ми можемо показати, що iснує вектор
k0 = (k0
1, k
0
2) ∈
⋃
s∈Θ(N)
ρ(s) такий, що
∥∥ei(k0,x) −Gei(k
0,x)
∥∥
1
� 1. (12)
Розглянемо функцiю
g1(x) = N−1ei(k
0,x),
яка, як неважко переконатися, належить класу BΩ
p,θ, 1 ≤ θ < 2.
Тодi внаслiдок (12) для g1 отримаємо∥∥g1(x)−Gg1(x)
∥∥
1
= N−1
∥∥ei(k0,x) −Gei(k
0,x)
∥∥
1
�
� N−1 �M−r
(
logM
)−b1−b2+r
.
Для встановлення оцiнки знизу у випадку 2 ≤ θ < ∞ розглянемо функцiю,
аналогiчну функцiї з прикладу 6 роботи [9].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ BΩ
p,θ . . . 183
Нехай G ∈ LM (B)1. Тодi знайдуться N, Θ1(N), Θ1(N) ⊂ Θ(N) такi, що
|Θ1(N)| ≥ 1
2
|Θ(N)|, |Q̃(N)| �M,
де Q̃(N) =
⋃
s∈Θ(N)
ρ(s), i в кожному ρ(s), s ∈ Θ1(N), знайдуться вектори ks,
при яких для функцiї
g2(x) =
∑
s∈Θ1(N)
ei(k
s,x) (13)
знайдеться y∗ = (y∗1 , y
∗
2) такий, що
‖g2(x+ y∗)−Gg2(x+ y∗)‖1 �
(
logM
)1/2
. (14)
Доведення цього факту аналогiчне доведенню прикладу 6 з [9].
Розглянемо функцiю
g3(x) = C5N
−1
(
logN
)−1/θ
g2(x), C5 > 0,
де g2 взято з (13).
Покажемо належнiсть цiєї функцiї класу BΩ
p,θ при вiдповiдному значеннi ста-
лої C5.
Дiйсно,
‖g3‖BΩ
p,θ
=
( ∑
s∈Θ1(N)
Ω−θ(2−s)‖δs(g3, x)‖θp
)1/θ
�
� N−1
(
logN
)−1/θ
( ∑
s∈Θ1(N)
Ω−θ(2−s)
)1/θ
�
� N−1
(
logN
)−1/θ
N |Θ1(N)|1/θ �
(
logN
)−1/θ(
logN
)1/θ
= 1.
Внаслiдок (14) отримаємо
‖g3(x+ y∗)−Gg3(x+ y∗)‖1 �
� N−1
(
logN
)−1/θ(
logM
)1/2 �M−r( logM
)−b1−b2+r+1/2−1/θ
.
Оцiнку знизу встановлено.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай 1 ≤ q ≤ p ≤ 2, (p, q) 6= (1, 1), 1 ≤ θ <∞, а функцiю Ω(t)
задано формулою (5) з r > 0, тодi
d⊥M (BΩ
p,θ, Lq) � dBM (BΩ
p,θ, Lq) �M−r
(
logM
)−b1−b2+r+(1/p−1/θ)+
. (15)
Доведення. Оцiнка зверху в (15) встановлюється так само, як i оцiнка зверху
в (11).
Перш нiж перейти до встановлення вiдповiдної оцiнки знизу в (15) для
dBM (BΩ
p,θ, Lq), зазначимо, що її достатньо встановити для випадку q = 1, 1 < p ≤ 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
184 А. Ф. КОНОГРАЙ
Нехай спочатку 1 ≤ θ < p. В цьому випадку оцiнка знизу встановлюється так
само, як i оцiнка знизу в (11) у випадку 1 ≤ θ < 2.
Нехай тепер p ≤ θ < ∞. Функцiя, за допомогою якої встановлюється оцiнка
знизу в цьому випадку, аналогiчна функцiї з прикладу 7 роботи [9].
Нехай N є достатньо великим. Означимо множину
Θ2(N) =
{
s ∈ Θ(N) : sj ≥
1
4l
log(C6N), j = 1, 2
}
,
де C6 > 0.
Покладемо v = [|Θ2(N)|1/2] i розiб’ємо квадрат π2 =
∏2
j=1
[0; 2π] на v2 ква-
дратiв з довжиною сторони
2π
v
. Встановимо взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж
множиною Θ′2(N) ⊂ Θ2(N), |Θ′2(N)| = v2, i утвореною множиною квадратiв.
Далi, через xs ∈ π2 позначимо центр квадрата, що вiдповiдає вектору s ∈ Θ′2(N),
i покладемо
u = 2
[
1
2 log |Θ2(N)|
]
�
(
logN
)1/2
.
Означимо через Kn ядро Фейєра порядку n, тобто
Kn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
cos kt.
Через ks позначимо вектор ks = (ks11 , k
s2
2 ), де
k
sj
j =
2sj−1 + 2sj−2, sj ≥ 2,
1, sj = 1, j = 1, 2.
Нехай G ∈ LM (B)1. Тодi iснують число N i множина Θ3(N) ⊂ Θ′2(N) такi,
що |Q̃(N)| �M, де Q̃(N) =
⋃
s∈Θ(N)
ρ(s); |Θ3(N)| ≥ 1
2
|Θ′2(N)| i в кожному ρ(s),
s ∈ Θ3(N), знайдуться квадрати з центрами в ks i довжинами ребер 2u такi, що
для функцiї
g4(x) =
∑
s∈Θ3(N)
ei(k
s,x)
2∏
j=1
Ku(xj − xsj) (16)
i деякого вектора y∗ має мiсце оцiнка
‖g4(x+ y∗)−Gg4(x+ y∗)‖1 � logM. (17)
Доведення (17) аналогiчне доведенню прикладу 7 з [9].
Розглянемо функцiю
g5(x) = C7N
−1
(
logN
)1/p−1−1/θ
g4(x), C7 > 0,
де g4 — функцiя з (16), i оцiнимо ||g5||BΩ
p,θ
, p ≤ θ < ∞, використавши вiдповiдне
зображення норми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ BΩ
p,θ . . . 185
Враховуючи, що внаслiдок вибору параметра u
‖As(g4, x)‖p �
∥∥∥∥∥
2∏
j=1
Ku(xj)
∥∥∥∥∥
p
� u2(1−1/p) �
(
logN
)1−1/p ∀s ∈ Θ3(N),
маємо
||g5||BΩ
p,θ
=
( ∑
s∈Θ3(N)
Ω−θ(2−s)||As(g5, x)||θp
)1/θ
�
� N−1
(
logN
)1/p−1−1/θ
( ∑
s∈Θ3(N)
Ω−θ(2−s)||As(g4, x)||θp
)1/θ
�
� N−1
(
logN
)1/p−1−1/θ(
logN
)1−1/p
( ∑
s∈Θ3(N)
Ω−θ(2−s)
)1/θ
�
�
(
logN
)−1/θ|Θ3(N)|1/θ � 1. (18)
Таким чином, з (18) робимо висновок, що g5 належить BΩ
p,θ, p ≤ θ < ∞, з
вiдповiдною сталою C7 > 0.
Далi, внаслiдок (17) iснує вектор y∗ такий, що
‖g5(x+ y∗)−Gg5(x+ y∗)‖1 � N−1
(
logN
)1/p−1−1/θ
logM �
�M−r
(
logM
)−b1−b2+r(
logM
)1/p−1−1/θ
logM =
= M−r
(
logM
)−b1−b2+r+1/p−1/θ
.
Оцiнку знизу встановлено.
Теорему 2 доведено.
Зауваження. 1. Порядковi оцiнки величин d⊥M (HΩ
p , Lq) та dBM (HΩ
p , Lq) при p
i q, якi задовольняють умови теорем 1 та 2, встановив М. М. Пустовойтов у робо-
тi [1].
2. В теоремах 1 та 2 оптимальним (в сенсi порядку) пiдпростором є пiдпростiр
тригонометричних полiномiв з „номерами” гармонiк iз множини Q(N).
1. Пустовойтов Н. Н. Ортопоперечники некоторых классов периодических функций двух перемен-
ных с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности// Изв. РАН. Сер. мат. – 2000. –
64, № 1. – C. 123 – 144.
2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопря-
женных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – C. 483 – 522.
3. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions
with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 356 – 377.
4. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных
с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. Math. – 1994. – 20, № 1. – P. 35 – 48.
5. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозици-
онной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
6. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй
багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – C. 692 – 704.
7. Темляков В. Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл. АН
СССР. – 1982. – 267, № 2. – C. 314 – 317.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
186 А. Ф. КОНОГРАЙ
8. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1986. – 178. – C. 1 – 112.
9. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной сме-
шанной производной // Там же. – 1989. – 189. – C. 138 – 168.
10. Галеев Э. М. Порядки ортопроекционных поперечников классов периодических функций одной и
нескольких переменных // Мат. заметки. – 1988. – 43, № 2. – C. 197 – 211.
11. Романюк А. С. Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова Brp,θ периодических
функций многих переменных в пространстве Lq . I // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 9. – C. 1224 –
1231.
12. Романюк А. С. Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова Brp,θ периодических
функций многих переменных в пространстве Lq . II // Там же. – 2001. – 53, № 10. – C. 1402 – 1408.
13. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука,
1969. – 480 c.
14. Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948. – 456 с.
Одержано 26.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
|