Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку
Рассматривается краевая задача типа Коши, задача с тремя граничными условиями и задача Дирихле для общего бестипного дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными комплексными коэффициентами и ненулевой правой частью в ограниченной области Ω⊂R² с гладкой границей. С помощью метода фор...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166364 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку / К.О. Буряченко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1011–1020. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859531230351982592 |
|---|---|
| author | Буряченко, К.О. |
| author_facet | Буряченко, К.О. |
| citation_txt | Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку / К.О. Буряченко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1011–1020. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Рассматривается краевая задача типа Коши, задача с тремя граничными условиями и задача Дирихле для общего бестипного дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными комплексными коэффициентами и ненулевой правой частью в ограниченной области Ω⊂R² с гладкой границей. С помощью метода формулы Грина, теории расширений дифференциальных операторов, теории L-следов, т. е. следов, ассоциированных с дифференциальной операцией L, получены необходимые, а в случае эллиптичности оператора и достаточные условия разрешимости каждой из задач в пространстве Hᵐ(Ω),m≥4.
We consider a Cauchy-type boundary-value problem of, a problem with three boundary conditions, and the Dirichlet problem for a general fourth-order differential equation with constant complex coefficients and nonzero right-hand side in a bounded domain Ω⊂R² with smooth boundary. Using the method of the Green formula, the theory of expansion of differential operators, and the theory of L-traces (i.e., traces associated with a differential operation L), we obtain necessary and sufficient (for elliptic operators) conditions for the solvability of each of the problems under consideration in the space Hᵐ(Ω),m≥4.
|
| first_indexed | 2025-11-25T22:47:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
K. O. Буряченко (Донец. нац. ун-т)
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕОДНОРIДНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКУ
We consider a Cauchy-type boundary-value problem of, a problem with three boundary conditions, and the
Dirichlet problem for a general fourth-order differential equation with constant complex coefficients and
nonzero right-hand side in a bounded domain Ω ⊂ R2 with smooth boundary. Using the method of the Green
formula, the theory of expansion of differential operators, and the theory of L-traces (i.e., traces associated
with a differential operation L), we obtain necessary and sufficient (for elliptic operators) conditions for the
solvability of each of the problems under consideration in the space Hm(Ω), m ≥ 4.
Рассматривается краевая задача типа Коши, задача с тремя граничными условиями и задача Дирихле для
общего бестипного дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными комплексными
коэффициентами и ненулевой правой частью в ограниченной области Ω ⊂ R2 с гладкой границей.
С помощью метода формулы Грина, теории расширений дифференциальных операторов, теории L-
следов, т. е. следов, ассоциированных с дифференциальной операцией L, получены необходимые, а в
случае эллиптичности оператора и достаточные условия разрешимости каждой из задач в пространстве
Hm(Ω), m ≥ 4.
Вступ. У рoботi розглядаються питання iснування розв’язку задачi з трьома гра-
ничними умовами та задачi Дiрiхле для безтипних диференцiальних рiвнянь чет-
вертого порядку зi сталими комплексними коефiцiєнтами та ненульовою правою
частиною. Чималу увагу придiлено вивченню проблеми iснування розв’язку гранич-
ної задачi типу Кошi (з чотирма граничними умовами), яка є допомiжною задачею
для вивчення аналогiчних властивостей розв’язкiв задачi з трьома граничними умо-
вами та задачi Дiрiхле.
Основним апаратом дослiджень є метод формули Грiна та метод L-слiдiв, тоб-
то слiдiв, асоцiйованих з лiнiйною безтипною диференцiальною операцiєю L зi
сталими комплексними коефiцiєнтами. Умови iснування розв’язку деяких гранич-
них задач, якi формулюються в термiнах L-слiдiв, виникали ще при дослiдженнi
задачi Неймана для рiвняння Лапласа ∆u = f(x), u′ν |∂Ω = ψ(x) :
∫
∂Ω
ψ(x)dsx =
=
∫
Ω
f(x)dx. Враховуючи, що для оператора L = ∆ цi слiди мають вигляд
L(0)u = −u|∂Ω, L(1)u = u′ν |∂Ω, останню умову можна записати в термiнах L-слiдiв:∫
∂Ω
L(1)u dsx =
∫
Ω
f(x)dx. Поширенню цього результату на випадок деяких кра-
йових задач для загального безтипного диференцiального оператора четвертого
порядку присвячено дану роботу.
В монографiї [1] було розроблено метод формули Грiна для загальної безтипної
лiнiйної диференцiальної операцiї L зi сталими комплексними коефiцiєнтами
L(Dx) =
∑
|α|≤m
aαD
α,
c© K. O. БУРЯЧЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 1011
1012 K. O. БУРЯЧЕНКО
а також введено означення асоцiйованих з цiєю операцiєю слiдiв (L-слiдiв). Це по-
няття виникло у зв’язку з вивченням граничних властивостей розв’язкiв з простору
L2(Ω) диференцiальних рiвнянь з максимальним оператором Lu = f(x) ∈ L2(Ω).
Як показано в роботi [2], в загальному випадку звичайнi слiди u|∂Ω, u
′
ν |∂Ω, . . .
. . . , u
(m−1)
ν |∂Ω розв’язкiв цього рiвняння з простору L2(Ω) не iснують навiть у сен-
сi узагальнених функцiй. Так, у випадку L =
∂2
∂x∂y
в одиничному крузi K функцiя
u(x, y) =
1
(1− x2)5/8
∈ L2(K) є розв’язком рiвняння Lu = 0, але 〈u|∂K , 1〉 = ∞,
оскiльки lim|r|→1−0
∫
x2+y2=r2
u(x, y)ds = ∞. Однак у кожного L2-розв’язку рiв-
няння Lu = 0 iснують L-слiди [2].
При доведеннi основних результатiв роботи використано теореми iснування
розв’язкiв неоднорiдних операторних рiвнянь з мiнiмальним оператором [3].
У роботi доведено необхiднi, а у випадку елiптичностi оператора i достатнi
умови iснування розв’язкiв декiлькох граничних задач: граничної задачi типу Кошi,
задачi з трьома граничними умовами та задачi Дiрiхле для лiнiйних неоднорiдних
диференцiальних рiвнянь четвертого порядку зi сталими комплексними коефiцi-
єнтами. Аналогiчнi питання для однорiдних рiвнянь другого порядку повнiстю
вивчено в [1], а для четвертого порядку — в роботах [4, 5]. Випадок неоднорiдних
диференцiальних рiвнянь четвертого порядку розглядається уперше в данiй роботi.
1. Формулювання задачi. В обмеженiй областi Ω ⊂ R2 з гладкою межею ∂Ω
розглянемо безтипне диференцiальне рiвняння четвертого порядку з ненульовою
правою частиною та зi сталими комплексними коефiцiєнтами:
L(∂x)u = a0
∂4u
∂x4
1
+ a1
∂4u
∂x3
1∂x2
+ a2
∂4u
∂x2
1∂x
2
2
+ a3
∂4u
∂x1∂x3
2
+ a4
∂4u
∂x4
2
= f(x). (1)
Для рiвняння (1) розглянемо кiлька граничних задач:
задачу типу Кошi
u|∂Ω = ϕ(x), u′ν |∂Ω = ψ(x), u′′νν |∂Ω = σ(x), u′′′ννν |∂Ω = χ(x); (2)
задачу з трьома крайовими умовами
u|∂Ω = ϕ(x), u′ν |∂Ω = ψ(x), u′′νν |∂Ω = σ(x); (3)
задачу Дiрiхле
u|∂Ω = ϕ(x), u′ν |∂Ω = ψ(x). (4)
Вважатимемо, що f(x) ∈ Hm−4(Ω), ϕ(x) ∈ Hm−1/2(∂Ω), ψ(x) ∈ Hm−3/2(∂Ω),
σ(x) ∈ Hm−5/2(∂Ω), χ(x) ∈ Hm−7/2(∂Ω), m ≥ 4, ν — вектор зовнiшньої нормалi,
|ν| = 1, ∂x =
(
∂
∂x1
,
∂
∂x2
)
, ai ∈ C, i = 0, 1, . . . , 4.
Розв’язком задачi (1), (2) з класу Hm(Ω), m ≥ 4, називатимемо функцiю u ∈
∈ Hm(Ω), m ≥ 4, яка задовольняє рiвняння (1) та умови на межi (2) (див., напри-
клад, [1]).
Зауважимо, що символ оператора L(Dx) допускає зображення L(ξ) = a0ξ
4
1 +
+ a1ξ
3
1ξ2 + a2ξ
2
1ξ
2
2 + a3ξ1ξ
3
2 + a4ξ
4
2 = 〈ξ, a1〉〈ξ, a2〉〈ξ, a3〉〈ξ, a4〉, отже, рiвняння (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕОДНОРIДНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1013
можна записати у виглядi
〈∇, a1〉〈∇, a2〉〈∇, a3〉〈∇, a4〉u = f(x), (1∗)
де aj ∈ C2, j = 1, . . . , 4, — комплекснi вектори, якi визначаються коефiцiєнтами
рiвняння (1), 〈a, b〉 = a1b̄1 + a2b̄2 — скалярний добуток. Розглядатимемо далi також
вектори ãj = (−āj2, ā
j
1), j = 1, . . . , 4.
Метою роботи є отримання необхiдних, а для елiптичних рiвнянь i достатнiх
умов iснування розв’язку граничних задач (2) – (4) у просторi Соболєва Hm(Ω),
m ≥ 4. Розглянемо спочатку задачу (1), (2). Основним апаратом дослiджень є
метод асоцiйованих з оператором L слiдiв (L-слiдiв).
В обмеженiй областi Ω ∈ Rn розглянемо лiнiйну диференцiальну операцiю L
та формально спряжену до неї L+:
L(Dx) =
∑
|α|≤m
aαD
α, L+(Dx) =
∑
|α|≤m
Dα(āα·), (5)
де aα ∈ C, α = (α1, . . . , αn), |α| = α1 + . . .+αn, D
α = (−i)|α| ∂|α|
∂xα1
1 ∂xα2
2 . . . ∂xαn
n
.
Означення 1. Нехай L00 — оператор, породжений операцiєю L(Dx) на
C∞0 (Ω). Мiнiмальним оператором L0 називається розширення оператора L00 на
множину D(L0) := C∞0 (Ω). (Замикання вiдбувається за нормою графiка: ||u||2L =
= ||u||2L2(Ω) + ||Lu||2L2(Ω).)
Означення 2. Максимальним операторомL називається звуженняL(Dx)|D′(Ω)
на множину D(L) := {u ∈ L2(Ω): Lu ∈ L2(Ω)}.
Визначимо розширення L̃ мiнiмального оператора, що мiститься в максималь-
ному: L0 ⊂ L̃ ⊂ L.
Означення 3. Оператором L̃ будемо називати розширення оператора L0 на
множину D(L̃) := C∞(Ω) (за нормою графiка).
Означення 4. Максимальний оператор L називається правильним, якщо
D(L) = D(L̃).
Означення 5. Нехай для деякої функцiї u ∈ D(L̃) iснують лiнiйнi неперервнi
функцiонали L(p)u над простором Hm−p−1/2(∂Ω), p = 0, 1, . . . ,m − 1, такi, що
виконується рiвнiсть
(Lu, v)− (u, L+v) =
m−1∑
j=0
(L(m−1−j)u, γjv), (6)
де γj = pjγ, γ : u ∈ Hm(Ω) → (u|∂Ω, . . . , u
(m−1)
ν |∂Ω) ∈ H(m), pj : H(m) →
→ Hm−j−1/2(∂Ω). Функцiонал L(p)u називатимемо L(p)-слiдом функцiї u ∈ D(L̃).
Аналогiчно мoжна побудувати оператори L+
0 , L
+, L̃+, пов’язанi з формально
спряженою операцiєю L+(Dx).
2. Теореми iснування та єдиностi. В цьому пунктi ми сформулюємо i доведемо
основнi результати даної роботи.
Теорема 1. Для iснування та єдиностi розв’язку задачi Кошi (1), (2) у просто-
рi Соболєва Hm(Ω), m > 4, необхiдно, щоб L-слiди цього розв’язку L(0)u, L(1)u,
L(2)u, L(3)u задовольняли умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1014 K. O. БУРЯЧЕНКО∫
∂Ω
{L(3)u ·Q(−ãj · x) + L(2)u · (−ãj · x)Q′(−ãj · x)+
+L(1)u · (−ãj · x)2Q′′(−ãj · x) + L(0)u · (−ãj · x)3Q′′′(−ãj · x)}dsx =
=
∫
Ω
f(x) ·Q(−ãj · x)dx (7)
для довiльного полiнома Q ∈ C[z], j = 1, 2, 3, 4.
Доведення. Нехай u ∈ Hm(Ω), m ≥ 4, — розв’язок задачi (1), (2). Запишемо
формулу Грiна∫
Ω
{Lu · v̄ − u · L+v}dx =
m−1∑
k=0
∫
∂Ω
L(m−k−1)u · v(k)
ν dsx
для цього розв’язку u та деякої функцiї v ∈ KerL+. В результатi матимемо∫
Ω
f(x) · v(x)dx =
∫
∂Ω
{P (x) · v +R(x) · v′ν + S(x) · v′′νν + T (x) · v′′′ννν}dsx, (8)
де функцiї P, R, S, T — L-слiди розв’язку u задачi (1), (2), якi однозначно визна-
чаються за допомогою функцiй ϕ(x), ψ(x), σ(x), χ(x):
T (x) = L(0)u = −L(ν)ϕ(x) ∈ Hm−1/2(∂Ω),
S(x) = L(1)u = L(ν)ψ(x) + α1ϕ
′
s(x) + α2ϕ(x) ∈ Hm−3/2(∂Ω),
R(x) = L(2)u = −L(ν)σ(x) + β1ψ
′
s(x) + β2ψ(x) + β3ϕ
′′
ss(x)+
+β4ϕ
′
s(x) + β5ϕ(x) ∈ Hm−5/2(∂Ω),
P (x) = L(3)u = L(ν)χ(x) + δ1ϕ
′′′
sss(x) + δ2σ(x) + δ3ψ
′′
ss(x) + δ4ψ
′
s(x)+
+δ5ψ(x) + δ6ϕ
′′
ss(x) + δ7ϕ
′
s(x) + δ8ϕ(x) ∈ Hm−7/2(∂Ω).
(9)
Тут s — натуральний параметр ∂Ω, αi, i = 1, 2, βj , j = 1, . . . , 5, δk, k = 1, . . . , 8, —
функцiї, що гладкi за змiнною x i залежать вiд коефiцiєнтiв рiвняння (1).
Згiдно з (1∗), будь-який полiном Q(−ãj · x) ∈ C[z], j = 1, 2, 3, 4, належить
KerL+. Поклавши в (8) v(x) = Q(−ãj · x) ∈ C[z], j = 1, 2, 3, 4, отримаємо умо-
ви (7).
Далi вважатимемо, що рiвняння (1) елiптичне. В цьому випадку справджується,
зокрема, зворотне твердження.
Теорема 2. Нехай iснує четвiрка функцiй (P,R, S, T ) ∈ Hm−7/2(∂Ω) ×
×Hm−5/2(∂Ω) × Hm−3/2(∂Ω) × Hm−1/2(∂Ω), m > 4, яка задовольняє умови (7)
для довiльного полiнома Q ∈ C[z].
Тодi у просторi Соболєва Hm(Ω), m > 4, iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2),
граничнi данi якого пов’язанi з функцiями P, R, S, T спiввiдношеннями (9).
Доведення проведемо в кiлька етапiв.
1. Вважатимемо, що ϕ(x) ∈ H7/2(∂Ω), ψ(x) ∈ H5/2(∂Ω), σ(x) ∈ H3/2(∂Ω),
χ(x) ∈ H1/2(∂Ω), i доведемо iснування розв’язку задачi (1), (2) у просторi H4(Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕОДНОРIДНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1015
Побудуємо функцiю ω ∈ H4(Ω), яка є розв’язком задачi Дiрiхле для правильно
елiптичного рiвняння:
∆4ω = 0, ω|∂Ω = ϕ(x), ω′ν |∂Ω = ψ(x), ω′′νν |∂Ω = σ(x), ω′′′ννν |∂Ω = χ(x).
(10)
З результатiв роботи [6, c. 207 – 218] вiдомо, що така функцiя iснує.
Розв’язок задачi (1), (2) знаходитимемо у виглядi
u = U + ω. (11)
Тодi з урахуванням умов (2) i (10) функцiя U є розв’язком задачi
L(Dx)U = −L(Dx)ω + f(x),
U|∂Ω = 0, U ′ν |∂Ω = 0, U ′′νν |∂Ω = 0, U ′′′ννν |∂Ω = 0.
(12)
Оскiльки, L-слiди розв’язку задачi (12) нульовi, а оператор L є правильним
(згiдно з [7, с. 64 – 69]), то U ∈ D(L0), де L0 — мiнiмальний оператор, який поро-
джений диференцiальною операцiєю (5).
Доведемо iснування розв’язку рiвняння
L0U = −Lω + f(x) (13)
в D(L0). Вiдомо [3, с. 32], що для лiнiйної диференцiальної операцiї L довiльного
порядку зi сталими комплексними коефiцiєнтами в обмеженiй областi з гладкою
межею виконується нерiвнiсть Хермандера
||Lu||L2
> C||u||L2
∀u ∈ C∞0 (Ω). (14)
Згiдно з означенням D(L0) нерiвнiсть (14) можна поширити на функцiї з D(L0).
Тому образ мiнiмального оператора L0 є замкненим пiдпростором в L2(Ω), а отже,
для доведення iснування розв’язку рiвняння (13) в D(L0) можна скористатися
таким результатом.
Лема [8, c. 104, 107]. Для iснування розв’язку рiвняння L0W = F (x) ∈ L2 в
D(L0) необхiдно i достатньо, щоб функцiя F (x) задовольняла умову∫
Ω
F (x) · v(x)dx = 0 (15)
для будь-якої функцiї v ∈ ker(L+) = ker(L∗0).
Отже, для розв’язностi рiвняння (13) в D(L0) достатньо перевiрити виконання
рiвностi
−
∫
Ω
Lω · v(x) dx+
∫
Ω
f(x) · v(x) dx = 0 (16)
для будь-якої функцiї v ∈ ker(L+) = ker(L∗0). Умова (16) — це iнший запис формули
(15) для правої частини F (x) = f(x)− Lw рiвняння (13).
Розглянемо лiву частину (16) для v=Q(−ãj ·x), а iнтеграл−
∫
Ω
Lω·Q(−ãj · x)dx
подамо за допомогою формули Грiна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1016 K. O. БУРЯЧЕНКО
∫
Ω
Lu · v dx−
∫
Ω
u · L+v dx =
3∑
k=0
∫
∂Ω
L(3−k)u · ∂kv dsx.
В результатi матимемо
−
∫
Ω
Lω ·Q(−ãj · x) dx+
∫
Ω
f(x) ·Q(−ãj · x) dx =
=
∫
Ω
f(x) ·Q(−ãj · x) dx−
∫
∂Ω
3∑
k=0
L(3−k)ω · (−ãj · x)kQ(k)(−ãj · x) dsx. (17)
Оскiльки функцiя ω — розв’язок задачi (10), то з урахуванням (9) iї L-слiди
мають вигляд L(0)ω = T, L(1)ω = S, L(2)ω = R, L(3)ω = P, тому права частина
рiвностi (17) дорiвнює нулю внаслiдок умов (8). Отже, рiвнiсть (16) виконується
для полiномiв Q(−ãj · x), j = 1, . . . , 4. Враховуючи можливiсть записати рiвняння
(1) у виглядi (1∗) для aj ∈ C2, aj⊥ãj , j = 1, . . . , 4, а також теорему 1 з монографiї
[9, с. 289], кожен полiном q ∈ kerL+ можна подати у виглядi
q = Q1(−ã1 · x) +Q2(−ã2 · x) +Q3(−ã3 · x) +Q4(−ã4 · x).
Отже, умова (16) справджується для всiх полiномiв q ∈ kerL+.
Внаслiдок елiптичностi оператора L+ область Ω є L+-опуклою для носiїв [10,
с. 62] (наслiдок 10.8.2), що згiдно з наслiдками 10.5.3 та 10.6.10 [10, с. 50 – 54]
призводить до щiльностi полiномiв з kerL+ у множинi всiх L2,loc-розв’язкiв рiв-
няння L+v = 0. Покажемо, що в даному випадку є щiльнiсть таких розв’язкiв у
топологiї простору L2(Ω). Дiйсно, за теоремою 1 з [9, с. 289] кожен розв’язок v
рiвняння L+v = 0 є сумою розв’язкiв вигляду vj(ãj · x), j = 1, 2, 3, 4. Якщо ãj —
дiйсний вектор, то функцiю vj однiєї змiнної (ãj · x) можна продовжити за межi
областi визначення так, щоб продовжена функцiя належала простору L2(Ω). Засто-
совуючи твердження про щiльнiсть у локальному просторi до продовженої функцiї,
отримуємо щiльнiсть розв’язкiв у L2(Ω). Якщо ãj — комплексний вектор, то функ-
цiя v є розв’язком рiвняння 〈∇, aj〉〈∇, aj〉v = 0, яке пiсля стискування вздовж
осi координат перетворюється в рiвняння Лапласа ∆ṽ = 0. Функцiя ṽ має L-слiд
L(0)ṽ = ṽ0 ∈ H−1/2(∂Ω), який можна наблизити гладкими функцiями ṽn → ṽ0. За
теоремою про повний набiр iзоморфiзмiв [6, с. 8] для задачi Дiрiхле iснує опера-
тор T : H−1/2(∂Ω) → L2(Ω) такий, що T |Hm−1/2(∂Ω) ∈ Hm(Ω), тому T ṽn → ṽ в
кожному просторi Hm(Ω) i T ṽn ∈ kerL+ [1, с. 158]. Таким чином, рiвнiсть (16)
справджується для будь-якої функцiї v ∈ kerL+, а рiвняння (13) має розв’язок в
D(L0).
Покажемо, щоD(L0) =
◦
H4(Ω), тобто рiвняння (13) має розв’язок в
◦
H4(Ω). Цей
факт випливає з означень просторiв D(L0) (див. означення 1) i
◦
H4(Ω) [6, с. 71],
а також з еквiвалентностi норми графiка ||u||2L = ||u||2L2
+ ||Lu||2L2
елiптичного
оператора L(Dx) з (1) i норми ||u||H4(Ω) для u ∈ C∞0 (Ω), що є наслiдком нерiвностi
Гордiнга [11, с. 35, 107]:
∀ε > 0 ∃Cε > 0: ||Lu||2L2
> ε||u||2H4 − Cε||u||2L2
∀u ∈ C∞0 (Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕОДНОРIДНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1017
Отже, розв’язок задачi (12) iснує та належить простору
◦
H4(Ω). З формули (11)
отримуємо iснування розв’язку задачi (1), (2) у просторi H4(Ω).
2. Доведемо єдинiсть розв’язку задачi (1), (2) у просторi H4(Ω).
Нехай задача (1), (2) має два розв’язки: u1(x), u2(x) ∈ H4(Ω), тодi функцiя
ũ = u1 − u2 ∈ D(L0) =
◦
H4(Ω) є розв’язком однорiдного рiвняння з мiнiмальним
оператором:
L0ũ = 0,
тобто ũ ∈ kerL0. З нерiвностi Хермандера (14) для ũ ∈ D(L0) отримуємо u1(x) =
= u2(x). Єдинiсть розв’язку задачi (1), (2) у просторi H4(Ω) доведено. Зауважимо,
що при доведеннi єдиностi ми не використовували елiптичнiсть оператора.
3. Доведемо, що за умов гладкостi ϕ(x) ∈ Hm−1/2(∂Ω), ψ(x) ∈ Hm−3/2(∂Ω),
σ(x) ∈ Hm−5/2(∂Ω), χ(x) ∈ Hm−7/2(∂Ω), m > 4, побудований в п. 1 розв’язок
u ∈ H4(Ω) задачi (1), (2) належить простору Hm(Ω), m > 4.
Розглянемо функцiю v1 = 〈∇, a2〉〈∇, a3〉〈∇, a4〉u. Оскiльки u ∈ H4(Ω) — роз-
в’язок задачi (1), (2), то функцiя v1 ∈ H1(Ω) задовольняє рiвняння
〈∇, a1〉v1 = f(x) (18)
i умову на межi
v1|∂Ω = a1,1χ(x) + a1,2σ
′
τ (x) + a1,3σ(x) + a1,4ψ
′
τ (x) + a1,5ψ
′′
ττ (x) + a1,6ϕ
′′
ττ (x)+
+a1,7ϕ
′′′
τττ (x) + a1,8ψ(x) + a1,9ϕ
′
τ (x) =: V1(x) ∈ Hm−7/2(∂Ω).
Тут i далi ai,j = ai,j(k, τ, ν, a
1, a2, a3, a4), i = 1, 2, j = 1, . . . , 9, — гладкi за змiнною
x ∈ ∂Ω функцiї, k — кривизна кривої ∂Ω.
Пiсля лiнiйного невиродженого перетворення координат
x = A1y, A1 =
(
Re a1
1 −Im a1
1
Re a1
2 −Im a1
2
)
, (19)
x = (x1, x2)T , y = (y1, y2)T ,
рiвняння (18) набере вигляду(
∂
∂y1
+ i
∂
∂y2
)
ṽ1(y) = f̃(y),
де ṽ1(y) = v1(A1y). Застосовуючи до обох частин останнього рiвняння оператор
∂
∂y1
− i ∂
∂y2
, отримуємо задачу для визначення гладкостi функцiї ṽ1(y):
∆ṽ1(y) =
(
∂
∂y1
− i ∂
∂y2
)
f̃(y) = f̃1(y), ṽ1|∂Ω̃1
= Ṽ1(y) ∈ Hm−7/2(∂Ω), (20)
де f̃1(y) ∈ Hm−5(Ω), Ṽ1(y) = V1(A1y), а через Ω̃1 позначено область, в яку пере-
творилась область Ω пiсля замiни змiнних (19).
Зауважимо, що гладкiсть граничної функцiї Ṽ1 не змiнилася внаслiдок нескiн-
ченної диференцiйовностi ∂Ω та диференцiйовностi перетворення (19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1018 K. O. БУРЯЧЕНКО
З властивостей розв’язку задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа [12, с. 249, 250]
вiдомо, що розв’язок ṽ1(y) задачi (20) належить Hm−3(Ω̃1). Виконуючи зворотний
перехiд до змiнних x = (x1, x2)T , отримуємо v1(x) ∈ Hm−3(Ω).
Розглянемо тепер функцiю v2 = 〈∇, a3〉〈∇, a4〉u ∈ H2(Ω), яка є розв’язком
задачi
〈∇, a2〉v2(x) = v1(x),
v2|∂Ω = a2,1ψ(x) + a2,2σ(x) + a2,3ϕ
′
τ (x) + a2,4ψ
′
τ (x) + a2,5ϕ
′′
ττ (x) =:
(21)
=: V2(x) ∈ Hm−5/2(∂Ω).
Знову виконаємо замiну змiнних
x = A2y, A2 =
(
Re a2
1 −Im a2
1
Re a2
2 −Im a2
2
)
. (22)
Тодi рiвняння в (21) набере вигляду(
∂
∂y1
+ i
∂
∂y2
)
ṽ2(y) = ṽ′1(y),
де ṽ2(y) = v2(A2y) ∈ H2(Ω̃2), ṽ′1(y) = v1(A2y) ∈ Hm−3(Ω̃2).
Застосовуючи оператор
∂
∂y1
− i
∂
∂y2
до обох частин попереднього рiвняння,
отримуємо задачу
∆ṽ2(y) =
( ∂
∂y1
− i ∂
∂y2
)
ṽ′1(y) ∈ Hm−4(Ω̃2), v2|∂Ω̃2
= Ṽ2(y) ∈ Hm−5/2(∂Ω̃2),
(23)
де Ṽ2(y) = V2(A2y) ∈ Hm−5/2(∂Ω̃2), а через Ω̃2 позначено область, в яку пере-
йшла область Ω пiсля замiни координат (22). З результатiв роботи [12, с. 249, 250]
випливає, що розв’язок задачi (23) належить простору Hm−2(Ω̃2), а отже, v2(x) ∈
∈ Hm−2(Ω).
Нехай v3 = 〈∇, a4〉u. Виконуючи аналогiчнi перетворення, можна показати, що
v3(x) ∈ Hm−1(Ω), як розв’язок задачi 〈∇, a3〉v3 = v2(x) ∈ Hm−2(Ω), v3|∂Ω =
= V3(x) ∈ Hm−3/2(∂Ω).
Розглянемо задачу вiдносно функцiї u:
〈∇, a4〉u = v3(x), u|∂Ω = ϕ(x).
Виконуючи замiну змiнних
x = A4y, A4 =
(
Re a4
1 −Im a4
1
Re a4
2 −Im a4
2
)
i застосовуючи до отриманого оператор
∂
∂y1
− i ∂
∂y2
, маємо
∆ũ(y) =
(
∂
∂y1
− i ∂
∂y2
)
ṽ3(y) ∈ Hm−2(Ω̃4), ũ|∂Ω̃4
= ϕ̃(y) ∈ Hm−1/2(∂Ω̃4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕОДНОРIДНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1019
Тут ũ(y) = u(A4y), ṽ3(y) = v3(A4y) ∈ Hm−1(Ω̃4), Ω̃4 — область, в яку перетво-
рилась область Ω пiсля останньої замiни координат. Звiдси ũ ∈ Hm(Ω̃4) або u ∈
∈ Hm(Ω).
Теорему 2 буде доведено, якщо ми обґрунтуємо невиродженiсть перетворень
Aj , j = 1, . . . , 4.
Оскiльки елiптичнiсть оператора L еквiвалентна комплекснозначностi та лi-
нiйнiй незалежностi компонент усiх векторiв aj = (aj1, a
j
2), j = 1, . . . , 4, саме
елiптичнiсть рiвняння (1) гарантує невиродженiсть перетворень Aj .
Вважатимемо, що перетворення Aj вироджене, тобто
det
(
Re aj1 −Im aj1
Re aj2 −Im aj2
)
= 0, j = 1, 2, 3, 4,
звiдки
Re aj1
Re aj2
=
Im aj1
Im aj2
= tj ∈ R1. Отже, aj = aj2(tj , 1), а рiвняння з комплекс-
ним вектором aj перетворюється в рiвняння з дiйсним вектором bj = (tj , 1), j =
= 1, 2, 3, 4, що суперечить елiптичностi диференцiального рiвняння (1).
Теорему доведено.
3. Деякi застосування. Задача (1), (2) є допомiжною при дослiдженнi власти-
востей задачi (1), (3) та задачi Дiрiхле (1), (4).
Зауваження. З теореми 1 випливає, що виконання умов (7) є необхiдною
умовою iснування у просторi Hm(Ω), m ≥ 4, єдиного розв’язку не лише задачi (1),
(2), а i задачi з трьома граничними умовами (1), (3), а також задачi Дiрiхле (1), (4).
З теореми 2 маємо достатнi умови iснування розв’язку задачi з трьома гранич-
ними умовами (1), (3).
Теорема 3. Нехай iснує функцiя P (x) ∈ Hm−7/2(∂Ω), яка однозначно ви-
значається за допомогою даних задачi (1), (3): функцiй ϕ(x) ∈ Hm−1/2(∂Ω),
ψ(x) ∈ Hm−3/2(∂Ω), σ(x) ∈ Hm−5/2(∂Ω), i четвiрка (P,R, S, T ) ∈ Hm−7/2(∂Ω)×
×Hm−5/2(∂Ω) ×Hm−3/2(∂Ω) ×Hm−1/2(∂Ω), m > 4, задовольняє умови (7) для
довiльного полiнома Q ∈ C[z].
Тодi у просторi Соболєва Hm(Ω), m > 4, iснує єдиний розв’язок задачi (1), (3),
граничнi данi якого пов’язанi з функцiями R, S, T за допомогою спiввiдношень (9).
Явнi формули для визначення функцiї P (x) ∈ Hm−7/2(∂Ω) за допомогою вiдо-
мих функцiй (R, S, T ) ∈ Hm−5/2(∂Ω) ×Hm−3/2(∂Ω) ×Hm−1/2(∂Ω) отримують
iз розв’язання спiввiдношень (7) для конкретних областей. У деяких випадках це
достатньо зробити для f(x) = 0. Дiйсно, розв’язок u задачi (1), (2) можна подати у
виглядi u = u1 + u2, де u1 — розв’язок задачi (10) (для f(x) = 0), (2), u2 — розв’я-
зок задачi (1), (20) (для ϕ(x) = 0, ψ(x) = 0, σ(x) = 0, χ(x) = 0). Для будь-якої
правої частини f(x) ∈ Bloc
p,k(Ω) розв’язок u2 задачi (1), (20) iснує i належить прос-
тору Bloc
p,L̃k
(Ω), L̃2(ξ) =
∑
|α|≥0
|L(α)(ξ)|2 (див. [10], теорема 10.6.7). Iснування
розв’язку u1 задачi (10), (2) доведено в роботi [4], яка присвячена саме однорiдним
рiвнянням четвертого порядку.
У випадку одиничного круга K = {x ∈ R2 : |x| ≤ 1} у роботi [4] отримано
явнi формули для коефiцiєнтiв Фур’є функцiї P (x) та дослiдженo їх асимптотику
(тобто гладкiсть функцiї P (x)).
Аналогiчне твердження отримуємо i для задачi Дiрiхле (1), (4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1020 K. O. БУРЯЧЕНКО
Теорема 4. Нехай iснує пара функцiй (P, R) ∈ Hm−7/2(∂Ω)×Hm−5/2(∂Ω),
яка однозначно визначена даними задачi (1), (4): функцiями ϕ(x) ∈ Hm−1/2(∂Ω),
ψ(x) ∈ Hm−3/2(∂Ω), i четвiрка (P,R, S, T ) ∈ Hm−7/2(∂Ω) × Hm−5/2(∂Ω) ×
×Hm−3/2(∂Ω)×Hm−1/2(∂Ω), m > 4, задовольняє умови (7) для довiльного полi-
нома Q ∈ C[z].
Тодi у просторi Соболєва Hm(Ω), m > 4, iснує єдиний розв’язок задачi Дiрiхле
(1), (4), граничнi данi якого пов’язанi з функцiями S, T спiввiдношеннями (9).
У роботi [5] у випадку одиничного круга Ω = K = {x ∈ R2 : |x| ≤ 1} отримано
явнi формули для визначення пари функцiй (P, R) ∈ Hm−7/2(∂Ω)×Hm−5/2(∂Ω)
за допомогою вiдомих функцiй (S, T ) ∈ Hm−3/2(∂Ω)×Hm−1/2(∂Ω).
1. Бурский В. П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 2002. – 316 с.
2. Бурский В. П. Граничные свойства L2-решений линейных дифференциальных уравнений и двой-
ственность уравнение-область // Докл. АН СССР. – 1989. – 309, № 5. – C. 1036 – 1039.
3. Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. – М.:
Изд-во иностр. лит., 1959. – 131 с.
4. Буряченко Е. А. Разрешимость краевой задачи с тремя граничными условиями для дифференци-
альных уравнений четвертого порядка в круге // Труды Ин-та прикл. математики и механики НАН
Украины. – 2002. – 7. – C. 17 – 32.
5. Буряченко Е. А. Достаточные условия однозначной разрешимости задачи Дирихле в круге для
линейных эллиптических уравнений четвертого порядка // Труды Ин-та прикл. математики и ме-
ханики НАН Украины. – 2000. – 5. – C. 20 – 29.
6. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971.
– 372 с.
7. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. – М.: Наука, 1980. – 207 с.
8. Крейн С. Г. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
9. Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. – М.:
Наука, 1967. – 488 с.
10. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов. – М.: Мир, 1986. – Т.2. – 456 с.
11. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. – М.: Наука, 1984. – 360 с.
12. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1983. – 424 с.
Одержано 17.03.11,
пiсля доопрацювання — 29.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166364 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-25T22:47:36Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Буряченко, К.О. 2020-02-19T05:02:49Z 2020-02-19T05:02:49Z 2011 Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку / К.О. Буряченко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1011–1020. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166364 517.946 Рассматривается краевая задача типа Коши, задача с тремя граничными условиями и задача Дирихле для общего бестипного дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными комплексными коэффициентами и ненулевой правой частью в ограниченной области Ω⊂R² с гладкой границей. С помощью метода формулы Грина, теории расширений дифференциальных операторов, теории L-следов, т. е. следов, ассоциированных с дифференциальной операцией L, получены необходимые, а в случае эллиптичности оператора и достаточные условия разрешимости каждой из задач в пространстве Hᵐ(Ω),m≥4. We consider a Cauchy-type boundary-value problem of, a problem with three boundary conditions, and the Dirichlet problem for a general fourth-order differential equation with constant complex coefficients and nonzero right-hand side in a bounded domain Ω⊂R² with smooth boundary. Using the method of the Green formula, the theory of expansion of differential operators, and the theory of L-traces (i.e., traces associated with a differential operation L), we obtain necessary and sufficient (for elliptic operators) conditions for the solvability of each of the problems under consideration in the space Hᵐ(Ω),m≥4. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку Solvability of inhomogeneous boundary-value problems for fourth-order differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку Буряченко, К.О. Статті |
| title | Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку |
| title_alt | Solvability of inhomogeneous boundary-value problems for fourth-order differential equations |
| title_full | Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку |
| title_fullStr | Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку |
| title_full_unstemmed | Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку |
| title_short | Розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку |
| title_sort | розв'язність неоднорідних крайових задач для диференціальних рівнянь четвертого порядку |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166364 |
| work_keys_str_mv | AT burâčenkoko rozvâznístʹneodnorídnihkraiovihzadačdlâdiferencíalʹnihrívnânʹčetvertogoporâdku AT burâčenkoko solvabilityofinhomogeneousboundaryvalueproblemsforfourthorderdifferentialequations |