Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Український математичний журнал
Datum:	2011
1. Verfasser:	Гусак, Д.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2011
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166365
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані / Д.В. Гусак // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1021–1029. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166365
record_format	dspace
spelling	Гусак, Д.В. 2020-02-19T05:03:17Z 2020-02-19T05:03:17Z 2011 Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані / Д.В. Гусак // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1021–1029. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166365 519.21 uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані Sojourn time of almost semicontinuous integral-valued processes in a fixed state Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані
spellingShingle	Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані Гусак, Д.В. Статті
title_short	Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані
title_full	Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані
title_fullStr	Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані
title_full_unstemmed	Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані
title_sort	час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані
author	Гусак, Д.В.
author_facet	Гусак, Д.В.
topic	Статті
topic_facet	Статті
publishDate	2011
language	Ukrainian
container_title	Український математичний журнал
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Sojourn time of almost semicontinuous integral-valued processes in a fixed state
issn	1027-3190
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166365
citation_txt	Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані / Д.В. Гусак // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1021–1029. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT gusakdv časperebuvannâmaiženapívneperervnihcíloznačnihprocesívufíksovanomustaní AT gusakdv sojourntimeofalmostsemicontinuousintegralvaluedprocessesinafixedstate
first_indexed	2025-11-25T21:04:16Z
last_indexed	2025-11-25T21:04:16Z
_version_	1850546041551585280
fulltext	УДК 519.21 Д. В. Гусак (Iн-т математики НАН України, Київ) ЧАС ПЕРЕБУВАННЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ ЦIЛОЗНАЧНИХ ПРОЦЕСIВ У ФIКСОВАНОМУ СТАНI Let ξ(t) be an almost lower semicontinuous integer-valued process with the moment generating function of the negative part of jumps ξk : E[zξk/ξk < 0] = 1− b z − b , 0 ≤ b < 1. For the moment generating function of the sojourn time of ξ(t) in a fixed state, we obtain relations in terms of the roots zs < 1 < ẑs of the Lundberg equation. By passing to the limit (s→ 0) in the ob-tained relations, we determine the distributions of lr(∞). Пусть ξ(t) — почти полунепрерывный снизу процесс с производящей функцией отрицательной части скачков ξk : E[zξk/ξk < 0] = 1− b z − b , 0 ≤ b < 1. Для производящей функции времени пребывания ξ(t) в фиксированном состоянии установлены соотношения в терминах корней zs < 1 < ẑs уравнения Лундберга. Из полученных соотношений предельным переходом (s → 0) определены распределения lr(∞). Час перебування процесiв з незалежними приростами i значеннями в R вивчався в [1, 2]. Для цiлозначних адитивних послiдовностей та напiвмарковських процесiв розподiл часу перебування розглядався в [3 – 5], де встановлено спiввiдношення для генератриси часу перебування. Такi ж спiввiдношення одержано в [5] для до- вiльного цiлозначного часу перебування без застосування факторизацiї. На основi результатiв уточнення зображення компонент факторизацiї (див. тео- реми 7.5 та 7.6 у [5]) конкретизуються спiввiдношення для розподiлу часу перебу- вання майже неперервних цiлозначних процесiв ξ(t) у довiльному станi. Для цього використовуються спiввiдношення для розподiлу ξ(t), вираженi через значення ко- ренiв рiвняння Лундберга: zs < 1 < ẑs, s > 0. Цiлозначний пуассонiвський процес ξ(t)(ξ(0) = 0, t ≥ 0) називається майже напiвнеперервним знизу, якщо вiн перетинає вiд’ємний рiвень x < 0 лише за допомогою вiд’ємних геометрично розподiлених стрибкiв ξk < 0 : p(z) = E[zξk \| ξk < 0] = 1− b z − b , 0 ≤ b < 1. При b = 0 процес ξ(t) називається напiвнеперервним знизу. Нехай ξ(t) — майже напiвнеперервний знизу цiлозначний процес з кумулянтою k(z) = lnEzξ(t) = λ ( pp(1)(z) + q 1− b z − b − 1 ) , \|z\| = 1, p+ q = 1, (1) де p(1)(z) = E[zξ1 \|ξ1 > 0], b ∈ (0, 1) — параметр геометричного розподiлу ξk < 0, λ > 0 — iнтенсивнiсть стрибкiв ξk. Позначимо через θs випадкову величину з показниковим розподiлом: P{θs > t} = e−st, s > 0. Введемо ще такi позначення: lr(t) = t∫ 0 I{ξ(u) = r}du, τ+(z) = inf{t > 0: ξ(t) > r}, r ∈ Z, ξ±(t) = sup(inf) 0≤t′≤t ξ(t′), ξ± = sup(inf) 0≤<∞ ξ(t), c© Д. В. ГУСАК, 2011 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 1021 1022 Д. В. ГУСАК dr(s, µ) = Ee−µlr(θs) = s ∞∫ 0 e−stEe−µlr(t)dt, g(s, z) = Ezξ(θs) = s ∞∫ 0 Ezξ(t)dt = s(s− k(z))−1, g±(s, z) = Ezξ ±(θs) = s ∞∫ 0 Ezξ ±(t)dt. У роботi [5] показано, що для ξ(t) з кумулянтою (1) рiвняння Лундберга (k(z) = s) має два простi коренi: b < zs < 1 < ẑs. При m = Eξ(1) = 0 i s → 0 цi коренi збiгаються до 1; при m > 0 zs → s→0 z0 < 1, ẑs → s→0 1; при m < 0 ẑs → s→0 ẑ0 > 1, zs → s→0 1. При цьому zs = q−(s) + bp−(s) < 1, p−(s) = P{ξ−(θs) = 0}, q−(s) = = 1− p−(s). У випадку майже напiвнеперервностi знизу для основної факторизацiйної то- тожностi (о. ф. т.) g(s, z) = g+(s, z)g−(s, z), \|z\| = 1, (2) компонента g−(s, z) повнiстю визначається меншим коренем рiвняння Лундберга k(z) = s : zs ∈ (b, 1) (див. теорему 7.6 у [5]): g−(s, z) = p−(s)(z − b) z − zs , p−(s) = P{ξ−(θs) = 0} = 1− zs 1− b . (3) Згiдно з (7.32) в [5] генератрису g+(s, z) можна записати дещо простiше, нiж у формулi Спiтцера, а саме, g+(s, z) = 1 p−(s) [ g0(s, z) + q−(s) b− 1 b− z (g1(s, b)− g1(s, z)) ] , gk(s, z) = ∑ r≥k zrpr(s), pk(s) = P{ξ(θs) = k}, k ≥ 0. (4) Розглянемо майже напiвнеперервний знизу цiлозначний процес ризику ξ(t) з ерланговим розподiлом вимог ξk > 0 p(1)(z) = zn ∏ r≤n 1− cr 1− crz , 0 ≤ cr < 1, та геометричним розподiлом „премiй” ξk < 0 (див. вище p(z) з b ∈ [0, 1)) i дове- демо наступне твердження. Лема 0. Для процесу ризику з ерланговим розподiлом вимог генератриса ξ(θs) має зображення g(s, z) = s(z − b)qn(z) k∗(s, z) , qn(z) = ∏ r≤n (1− crz), q1(z) = 1− cz, (5) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 ЧАС ПЕРЕБУВАННЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ ЦIЛОЗНАЧНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 1023 k∗(s, z) = s(z − b)qn(z)− λ[p(z − b)znqn(1) + pb+ q − z]. (6) Внаслiдок iснування коренiв zs < 1 < ẑs рiвняння Лундберга (k(z) = s ∼ k∗(s, z) = = 0) k∗(s, z) = Pn+1(s, z) = (ẑs − z)(z − zs)Pn−1(s, z), (7) де Pn(s, z) — полiном n-го порядку. Якщо деякi сталi cr = 0, то qm(z) — полiном порядку m < n. Генератрису ξ+(θs) можна записати у виглядi g+(s, z) = s [ p−(s)Q(s, z)(ẑs − z) ]−1 , (8) де Q(s, z) = Pn−1(s, z)q −1 n (z), n ≥ 0, g+(s, z) → z→0 p+(s) = s Q(s, 0)ẑsp−(s) . Зокрема, якщо лише c1 = c 6= 0 i q1(z) = 1− cz (тобто при n = 1), то g+(s, z) = s p−(s) 1− cz (ẑs − z)Q0(s) , ẑs = (p+(s) + cq+(s)) −1, узгоджується з формулою (7.27) у [5] ( g+(s, z) = p+(s)(1− cz)ẑs ẑs − z ) . Доведення. Пiсля пiдстановки p1(z) в (1) i нескладних перетворень встановлю- ється (5) для g(s, z) = s s− k(z) та (6) для k+(s, z). А пiсля пiдстановки (3) та (5) в (2) з урахуванням (7) одержимо спiввiдношення (z − b)qn(z)s (z − zs)(ẑs − z)Pn−1(s, z) = p−(s)(z − b) z − zs g+(s, z), з якого випливає (8) для g+(s, z). У загальному випадку g(s, z) = s(z − b) k∗(s, z) , k∗(s, z) = s(z − b)− λ[p(z − b)p(1)(z) + pb+ q − z], внаслiдок iснування коренiв рiвняння Лундберга zs < 1 < ẑs k(z) = s ∼ k∗(s, z) = 0, k∗(s, z) = Q(s, z)(ẑs − z)(z − zs). Замiсть (5) знаходимо g(s, z) = s(z − b) (ẑs − z)(z − zs)Q(s, z) , Q(s, zs)Q(s, ẑs) 6= 0. На основi (2), (3) та останнього зображення для g(s, z) аналогiчно встановлюється спiввiдношення (z − b)s (z − zs)(ẑs − z)Q(s, z) = z − b z − zs p−(s)g+(s, z), з якого випливає формула (8). У загальному випадку можна обчислити лише час- тиннi значення Q(s, z). Зокрема, iз (8) при z = 1 та z = zs < 1 знаходимо Q(s, 1)(ẑs − 1) = sp−(s) −1, g+(s, zs) = s [ p−(s)Q(s, zs)(ẑs − zs) ]−1 . (9) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 1024 Д. В. ГУСАК При m < 0 zs → 1, ẑs → z0 > 1 iз (9) випливає, що Q(s, zs)(ẑs − zs) → s→0 Q(0, 1)(ẑ0 − 1) = \|m\|(1− b). (10) Хоча повної iнформацiї про Q(s, z) немає, але, як буде показано далi, у граничному випадку s → 0 за допомогою (8) при m ≤ 0 можна одержати спiввiдношення для розподiлу lr(∞). Наведемо основнi спiввiдношення з теореми 7.8 у [5] для загального випадку, якi належить уточнити для ξ(t) з кумулянтою (1) у випадку майже напiвнеперерв- ностi знизу. Теорема 1 [5]. Для довiльного цiлозначного процесу ξ(t) справджуються спiв- вiдношення для генератрис lr(θs), d0(s, µ) = s s+ µp0(s) , pr(s) = P{ξ(θs) = r} для будь-якого r, (11) dr(s, µ) = 1− µpr(s) s+ µp0(s) , r 6= 0. Пiсля обернення по µ iз (11) випливає, що P{l0(θs) > y} = e−ysp −1 0 (s), y ≥ 0, P{lr(θs) = 0} = 1− pr(s)p−10 (s), r 6= 0, (12) P{lr(θs) > y} = pr(s)p −1 0 (s)e−ysp −1 0 (s) → y→0 pr(s)p −1 0 (s), P{lr(t) > y} = t∫ 0 P{lr(t− u) > 0}duP{l0(u) > y}, r 6= 0. Щоб уточнити (11), (12) для ξ(t) з кумулянтою (1), використаємо лему про зображення pk(s) у термiнах zs = q−(s) + bq−(s) ∈ (b, 1). Лема 1. Нехай ξ(t) — майже напiвнеперервний знизу процес з кумулянтою (1). Iз спiввiдношення для розподiлiв ξ±(θs) (див. теорему 7.6 у [5]) p−−k(s) = p−(s)(zs − b)zk−1s , k ≥ 1, p−(s) = 1− zs 1− b , (13) p+k (s) = 1 p−(s) [pk(s) + (b− zs)b−k−1gk+1(s, b)], k > 0, p±0 (s) = p±(s), з о. ф. т. (2) випливають спiввiдношення для pk(s), вираженi через zs, p0(s) = p−(s) [ bz−1s p+(s) + (1− z−1s b)g+(s, zs) ] , pk(s) = p−(s)[p + k (s) + (1− z−1s b)z−ks g+k+1(s, zs)], k > 0, p−k(s) = p−(s)(zs − b)zk−1s g+(s, zs), r = −k < 0, g+k (s, z) = ∑ r≥k p+r (s)z r (k ≥ 0), g+0 (s, z) = g+(s, z). (14) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 ЧАС ПЕРЕБУВАННЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ ЦIЛОЗНАЧНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 1025 Для атомарних iмовiрностей p±(s) справджується спiввiдношення в термiнах zs : p+(s) = 1− b 1− zs [p0(s) + (b− zs)b−1E[bξ(θs), ξ(θs) ≥ 1]], p+(s) = p0(s)− p1(s)zs(1− zs)−1 при b = 0, p−(s) = (1− zs)(1− b)−1 → 1− zs при b→ 0. (15) Доведення. З розкладiв у ряд Лорана для генератрис ξ(θs), ξ±(θs) g(s, z) = ∞∑ k=−∞ zkpk(s), g±(s, z) = ∑ k≥0 z±kp±±k(s) пiсля пiдстановки в (2) i перемножування двох останнiх рядiв шляхом групування членiв з однаковими степенями z встановлюються спiввiдношення (14). Спiввiдно- шення (15) для p+(s) випливає з формули (4), а для p−(s) — iз (3). При знаходженнi границь (s→ 0) p̃k = lim s→0 pk(s) s = ∞∫ 0 P{ξ(t) = k}dt, k = 0,±1, . . . , значення яких залежить вiд знаку m, нам знадобляться ще наступнi леми (для випадку m = 0 та m 6= 0). Лема 2. Нехай ξ(t) — майже напiвнеперервний знизу процес з кумулянтою (1). Тодi згiдно з (8) та (14) обернена величина показника експоненти розподiлу (12) визначається спiввiдношенням p0(s)s −1 = z−1s [ b ẑsQ(s, 0) + zs − b (ẑs − zs)Q(s, zs) ] . (16) Якщо m = 0 (zs → 1− 0, ẑs → 1 + 0 при s→ 0), то lim s→0 p0(s)/s = p̃0 =∞, 1 p̃0 = 0. (17) Якщо r = −k < 0 i m = 0, то згiдно з (8) p−k(s) = s(zs − b)zks Q(s, zs)(ẑs − zs) , p̃−k = lim s→0 p−k(s) s =∞, 1 p̃−k = 0, (18) lim s→0 p−k(s) p0(s) = lim s→0 (zs − b)zks zs − b+ bQ(s, zs)(ẑs − zs) = 1. (19) Якщо k > 0, то згiдно з (8) та (14) pk(s) = s Q(s, zs)(ẑs − zs) × ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 1026 Д. В. ГУСАК × [ (zs − b)z−k−1s +Q(s, zs)(ẑs − zs)p−(s)(p+(s)− (zs − b)z−k−1s k∑ r=0 zrsp + r (s)) ] . (20) Якщо m = 0, то аналогiчно для k > 0 при s→ 0 знаходимо p̃k = lim s→0 pk(s)/s =∞, 1 p̃k = 0, k > 0, (21) але pk(s) ∼ p0(s) при s→ 0, тому lim s→0 pk(s)/p0(s) = (1− b)Q(0, 1) (1− b)Q(0, 1) = 1, k > 0. Доведення леми 2 дляm = 0 суттєво спирається на зображення (8) для g+(s, zs) з особливiстю при s→ 0 (zs, ẑs → 1∓0). Щоб скористатися спiввiдношенням (14) для pk(s) при k > 0, слiд виразити цю ймовiрнiсть через g+(s, zs) : pk(s) = p−(s) [ p+k (s) + (zs − b)z−k−1s (g+(s, zs)− k∑ r=0 p+r (s)z r s) ] . (22) Пiсля пiдстановки (8) у це спiввiдношення одержуємо (20). Зауваження. Згiдно з теоремою 7.6 [5] p−k (s) виражаються через zs (див. (13)). При перемножуваннi рядiвp−(s) +∑ k≤1 zk(zs − b)zk−1s ∑ k≥0 zkp+k (s) з урахуванням (8) i (22) одержуємо спiввiдношення (20) у термiнах zs < 1 < ẑs та Q(s, zs). Позначимо H(k) = Eτ+(k), k > 0, hk = H(k)−H(k − 1), H(0) = Eτ+(0) = ∞∫ 0 P{ξ+(t) = 0}dt = ṗ+ i доведемо аналогiчну лему для m 6= 0, позначаючи границi p̃k = p̃>k (p̃ < k ) при ±m > 0. Лема 3. Якщо m > 0, то p−(s) → s→0 p−, zs → s→0 z0 < 1 й iснують границi lim s→0 s−1p+r (s) = ṗ+r = hr, r > 0, через якi виражаються значення p̃k = p̃>k в термiнах z0 : p̃>0 = p− bz−10 H(0) + (1− z−10 b) ∑ r≥0 zr0hr , k = 0, p̃>k = p− hk + (1− z−10 b) ∑ r≥k+1 zr−k0 hr , k > 0. (23) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 ЧАС ПЕРЕБУВАННЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ ЦIЛОЗНАЧНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 1027 Згiдно з (13) та (17) при b = 0 H(0) = p̃>0 − z0 1− z0 p̃>1 , hk = 1 1− z0 [p̃>k − z0p̃ > k+1], k > 0. (24) Якщо m < 0, то p+(s) → s→0 p+, zs → 1, p−(s)s −1 → 1 \|m\|(1− b) й iснують аналогiчнi до (19) границi p̃k = p̃<k : p̃<0 = 1− bq+ \|m\|(1− b) → b→0 1 \|m\| , p̃<−k = 1 \|m\| , r = −k < 0, (25) p̃<k = 1 \|m\|(1− b) [p+k + (1− b)P{ξ+ > k}] → b→0 1 \|m\| P{ξ+ ≥ k}, k > 0. Доведення. Для обчислення границь p̃>k при m > 0 слiд використати спiввiд- ношення (14). Iснування границь (23) випливає з (13) та (15). При m < 0 з (14) пiсля домноження на s−1 i граничного переходу (s→ 0) випливають формули (25). На основi цих лем уточнюються спiввiдношення для генератрис dr(s, µ) та граничних розподiлiв для lr(∞). Для випадку b = 0 спiввiдношення (23) та (25) спрощуються й узгоджуються з ранiше одержаними спiввiдношеннями для напiв- неперервних знизу ξ(t). Теорема 2. Якщо ξ(t) — майже напiвнеперервний знизу процес з кумулян- тою (1), то генератриси dr(s, µ) та розподiли lr(θs) визначаються формула- ми (11), (12) через iмовiрностi pk(s), вираженi через zs у (14). Вiдповiднi граничнi генератриси та розподiли lr(∞) визначаються залежно вiд знаку m : 1) при m = 0 (zs → s→0 1− 0, ẑs → s→0 1 + 0) Ee−µlr(∞) = 0, P{lr(∞) = +∞} = 1 для будь-якого r; (26) 2) при m > 0 за допомогою значень p̃>k , виражених через z0 в (23), встанов- люється, що Ee−µl0(∞) = 1 1 + µp̃>0 , Ee−µlr(∞) = 1− p̃>r p̃>0 µ (p̃>0 ) −1 + µ , r 6= 0, P{lr(∞) > 0} = p̃>r p̃>0 , P{lr(∞) > y} = p̃>r p̃>0 e−y/p̃ > 0 , y > 0, r 6= 0, (27) при r = −k → −∞ limr→−∞P{lr(∞) > 0} = 0, P{lr(∞) = 0} → r→−∞ 1; 3) при m < 0 за допомогою значень p̃<k , виражених у (25) через розподiл абсолютного максимуму ξ+, встановлюється, що Ee−µlk(∞) = 1− p̃<k p̃<0 µ (p̃<0 ) −1 + µ , k 6= 0, P{lk(∞) > 0} = p̃<k p̃<0 , P{lk(∞) > y} = p̃<k p̃<0 e−y/p̃ < 0 , k 6= 0, (28) при цьому згiдно з (25) для k < 0 вiдношення p̃<k /p̃ < 0 не залежать вiд k : ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 1028 Д. В. ГУСАК p̃<k p̃<0 = 1− b 1− bq+ , P{lk(∞) = 0} = bp+ 1− bq+ → b→0 0 для k = −r <∞, (29) а для k > 0 P{lk(∞) > 0} = p̃<k p̃<0 = p+k + (1− b)P{ξ+ > k} 1− bq+ , P{lk(∞) > y} = p̃<k p̃<0 e −y \|m\|(1−b) 1−bq+ , y > 0, lim k→+∞ P{lk(∞) > y} = 0 (y ≥ 0), P{lk(∞) = 0} → k→+∞ 1. (30) Доведення. Спiввiдношення (26) – (29) випливають iз (11), (12) пiсля гранич- ного переходу з урахуванням знаку m та вiдповiдних граничних значень p̃k, одер- жаних у лемах 2, 3. Слiд зауважити, що приm > 0 атомарнi ймовiрностi P{lr(∞) = = 0} = 1 − p̃r p̃0 залежать вiд r 6= 0. При r → −∞ P{lr(∞) = 0} → 1, оскiльки згiдно з (23) p̃>−k = O(zk0 ) при r = −k → −∞. При m < 0 вони залежать вiд r лише при r > 0, при r < 0 не залежать вiд r, а при b = 0 дорiвнюють нулю. При k → +∞ P{lk(∞) = 0} → 1, оскiльки в (25) p+k → 0, P{ξ+ > k} → 0 при k → +∞. Висновки. Найбiльш важливi результати теорем 1, 2 при m 6= 0 полягають у тому, що часи перебування у фiксованих станах k 6= 0 мають показниковий розподiл (див. дограничнi спiввiдношення (12) при s > 0 та (27), (28) при s → 0) з ненульовими атомарними ймовiрностями. Дограничнi параметри показникового розподiлу lr(θs) в (12) виражаються через розподiли pk(s) у термiнах zs (див. (14)). Граничнi параметри згiдно з лемою 3 визначаються за допомогою p̃>k при m > 0 та p̃<k при m < 0. Найбiльш цiкавi граничнi результати для процесу ризику з m < 0 стосуються часiв його перебування lr(∞) у критичних станах ризикової („червоної”) зони r > u (u > 0 — початковий капiтал страхової компанiї). Для такого процесу ризику згiдно з (30) p̃<k (k > 0) повнiстю виражається через розподiл ξ+ : p+r = P{ξ+ = r}, r ≥ 0, до того ж для k → +∞ (див. останнi два спiввiдношення в (30)) час перебування lk(∞) стає майже нульовим P{lk(∞) ≥ y} → 0, y ≥ 0, тобто P{lk(∞) = 0} → 1. Проте згiдно з (29) має мiсце стабiльне “вiдвiдування” всiх станiв k ≤ 0 з незалеж- ними вiд k ймовiрностями P{lk(∞) > y} = 1− b 1− bq+ e −y \|m\|(1−b) 1−bq+ , y ≥ 0, P{lk(∞) = 0} = bp+ 1− bq+ . У випадку геометрично розподiлених вимог (n = 1, c1 = c < 1) ξ+ мають розподiл (близький до геометричного) p+k = p+ẑ −r 0 (1− cẑ0), k > 0, p+ = 1− ẑ−10 1− c , ẑ0 = (q+ + cp+) −1. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 ЧАС ПЕРЕБУВАННЯ МАЙЖЕ НАПIВНЕПЕРЕРВНИХ ЦIЛОЗНАЧНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 1029 При m = 0 i s→ 0 розподiл lk(θs) (а отже, i lk(t) при t→∞) для будь-якого k стає виродженим (див. (26)). Але якщо покласти mε = Eξε(1) = cε(ε > 0, c 6= 0), то в [6] показано, що граничний розподiл „εlk,ε(∞)” при b = 0 i ε → 0 стає показниковим: lim ε→0 P{εlk,ε(∞) > y} = e−\|c\|y, y ≥ 0. (31) Найлегше всього переконатися у справедливостi (31) для lk,ε(∞) = ∫ ∞ 0 I{ξε(t) = = k}dt, якщо Eξε(1) = mε = cε < 0. Тодi на пiдставi (25) i (29) (враховуючи, що p̃<0,ε = (1 − bq(ε)+ )[\|c\|ε(1 − b)]−1, q(ε)+ = P{ξ+ε > 0} → ε→0 1) переконуємось, що для 0 ≤ b < 1 при k < 0 P{lk,ε(∞) > yε−1} = 1− b 1− bq(ε)+ e−\|c\|εy/ε → ε→0 e−\|c\|y ∼ (31). При k > 0 iз (25) випливає, що lim ε→0 p̃<k,ε(p̃ < 0,ε) −1 = lim ε→0 1− bP{ξ+ε > k} 1− bq(ε)+ = 1. Тодi згiдно з (30) при k > 0 спiввiдношення (31) також залишається правильним. 1. Гусак Д. В. Распределение времени пребывания однородного процесса с независимыми прираще- ниями над произвольным уровнем // Докл. УССР. Сер. А. – 1981. – № 1. – C. 14 – 17. 2. Гусак Д. В. О пребывании над уровнем сумм независимых случайных величин // Укр. мат. журн. – 1982. – 34, № 3. – C. 289 – 295. 3. Гусак Д. В., Каплан Б. И. О распределении времени пребывания в фиксированном состоянии для одной схемы блужданий с дискретно распределенными скачками // Аналитические методы в задачах теории вероятностей. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. – С. 27 – 40. 4. Гусак Д.В., Розуменко А.М. Час перебування в фiксованому станi процесiв, що задаються су- мами випадкового числа дискретно розподiлених доданкiв // Асимптотичний аналiз випадкових еволюцiй. – Київ: Iн-та математики НАН України, 1994. – С. 74 – 93. 5. Гусак Д.В. Граничнi задачi для процесiв з незалежними приростами в теорiї ризику. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2007. – 460 с. 6. Каплан Б.И. Асимптотическое поведение времени пребывания в фиксированном состоянии полу- непрерывных блужданий на цепи Маркова // Асимптотическое поведение сумм случайных величин на марковских процессах и периодических цепях Маркова. – Киев, 1965. – С. 50 – 59. – (Препринт / АН УССР, Ин-т математики: 85.22). Одержано 18.11.10, пiсля доопрацювання — 23.06.11 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8

Час перебування майже напівнеперервних цілозначних процесів у фіксованому стані

Institution

Ähnliche Einträge