Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом
Доказано, что при некоторых условиях регулярности асимптотическое распределение оценки Коенкера – Бассета совпадает с асимптотическим распределением интеграла от порожденного случайным процессом индикаторного процесса, взвешенного градиентом функции регресcии. We prove that, under certain regularity...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166366 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом / О.В. Іванов, І.М. Савич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1030–1052. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860238689355956224 |
|---|---|
| author | Іванов, О.В. Савич, І.М. |
| author_facet | Іванов, О.В. Савич, І.М. |
| citation_txt | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом / О.В. Іванов, І.М. Савич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1030–1052. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Доказано, что при некоторых условиях регулярности асимптотическое распределение оценки Коенкера – Бассета совпадает с асимптотическим распределением интеграла от порожденного случайным процессом индикаторного процесса, взвешенного градиентом функции регресcии.
We prove that, under certain regularity conditions, the asymptotic distribution of the Koenker - Bassett estimator coincides with the asymptotic distribution of the integral of the indicator process generated by a random noise weighted by the gradient of the regression function.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:27:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ , 2011
1030 ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, & .63, * 8
УДК 519.21
!. ". #$%&'$, #. (. )%$*+ (Нац. техн. ун-т України „КПІ”, Київ)
,-! .)/(,0!0/12/3 -! 4,!5#6 !7#28/
8!9289- . Ð:.))90. ,.-.(90-. 29 6#2#32!; (!596#
-9<-9)#; 4 )/6=2! 4. 69>2/( ?@(!(
We prove that, under certain regularity conditions, the asymptotic distribution of the Koenker – Bassett
estimator coincides with the asymptotic distribution of the integral of the indicator process generated by a
random noise weighted by the gradient of the regression function.
Доказано, что при некоторых условиях регулярности асимптотическое распределение оценки Коен-
кера – Бассета совпадает с асимптотическим распределением интеграла от порожденного случайным
процессом индикаторного процесса, взвешенного градиентом функции регресcии.
"ABCD. Математичні моделі спостережень ,,сигнал плюс шум” мають велику сфе-
ру застосувань у різних галузях природничих та соціальних наук, таких як теорія
турбулентності, метеорологія, гідрологія, геофізика, статистична радіофізика,
хімічна кінетика, економетрика, фінанси, соціологія тощо.
Вивчення випадкових процесів з кореляцією, яка збігається з гіперболічною
швидкістю, тобто процесів з неінтегровними коваріаційними функціями, призво-
дить до складних імовірнісних та статистичних задач. Протягом останніх двох
десятиріч спостерігається прогрес у теоретичному осмисленні явища сильної
залежності. З іншого боку, нещодавні прикладні дослідження підтвердили, що дані
наукових областей, згаданих вище, демонструють сильну залежність (див. роботи
[1 – 3], які містять огляди та бібліографію з тематики сильної залежності, розпо-
чатої ще в [4]).
Для оцінювання параметрів таких нелінійних моделей регресії можна викорис-
товувати оцінку, запропоновану в [5]. Вона є оцінкою невідомого параметра ! -
квантиля спостережень. Величина ! " (0,1) визначається за розподілом випадко-
вого шуму. Таким чином, можна вважати дану нелінійну модель моделлю кван-
тильної регресії. Цій тематиці присвячено багато праць (див., наприклад, [6 – 8]).
1. !D*A E'FGHI. !A&'$&I DJ*DCKG&&L I D'M&%+G&&L. У даній статті розгля-
дається нелінійна регресійна модель
X(t) = g(t, ! ) + "(t), t ! 0 , (1)
де g(t, ! ) — дійсна неперервна за сукупністю змінних (t, ! ) " R+
1 # $ c функція,
! " Rq — відкрита обмежена опукла множина параметрів, яка містить ! . Від-
носно ! (t ) припустимо наступне:
. 1. ! (t) , t ! R1 , — локальний функціонал від гауссівського стаціонарного
процесу !(t) , тобто ! (t ) = G(" (t)) ; G(x) , x ! R1 ; — борелівська функція, !"
#"$" %
! " (0) = 0, ! " 2(0) < # .
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1031
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
. 2. ! (t ) , t ! R1 , — дійсний неперервний у середньому квадратичному вимір-
ний стаціонарний гауссівський процес, який визначено на ймовірнісному просторі
(! , F, P) . Коваріаційна функція (к. ф.) ! (t) має вигляд ! " (t) " (0) = ! (t ) =
= L t( ) t ! " , ! "(1 2,1) , де L(t) — повільно змінна на нескінченності функ-
ція, а ! " (t) = 0, ! " 2(t) = #(0) = 1 .
Позначимо через F(x) функцію розподілу (ф. р.) ! (0) .
. 3. F(0) = ! , ! " (0,1) .
Введемо функцію !" (x) =
"x, x # 0,
(" $1)x, x < 0,
%
&
'
('
! " (0,1).
!M&%+G&&L 1. +,-)"./ 0.1)"1# %Ð2%331&% )14-5.$.6. 7%#%$1&#% ! " # ,
.51#'%)./ 8% 37.3&1#1'1))9$: X(t) , t ! [0,T ] , 4:5( (1) &% ;()",-</ 4&#%&
! " (x) , x ! R1 , )%8:4%<&=39 >(5=-9":? 4:7%5".4:? 41"&.# !̂ T = !̂ T (X(t) , t !
! [0,T ]) ! " c , 5@9 9".6.
QT (ö! T ) = inf
"#$ c
QT (" ), QT (! ) = " # X(t) $ g(t, ! )( ) dt
0
T
% .
Зауважимо, що за введених умов оцінка Коенкера – Бассета існує (див., напри-
клад, роботи [9 – 11]).
Оскільки P(X(t) < g(t, ! )) = P("(t) < 0) = P("(0) < 0) = # , то модель спостере-
жень (1) можна інтерпретувати як нелінійну квантильну регресію. Дійсно, ö! T є
оцінкою невідомого параметра ! ! -квантилів g(t, ! ) спостережень X(t) ,
t ! [0,T ] .
. 4. Випадкова величина ! (0) має обмежену щільність p(x) = !F (x) , яка
задовольняє умову p(x) ! p(0) " H x , p 0( ) > 0 , де H < ! ─ деяка стала.
Припустимо, що функція g(t, ! ) двічі неперервно диференційовна по ! " # c ,
та введемо позначення gi (t, ! ) =
"
" ! i
g(t, ! ) , gil (t, ! ) =
" 2
" ! i " ! l
g(t, ! ) , dT
2(! ) =
= diag diT
2 (! )( )
i=1
q
, diT2 (! ) = gi2 (t, ! )dt0
T
" , dil ,T
2 (! ) = gil
2
0
T
" (t, ! ) dt , ! " # c , i , l =
= 1, q . Будемо вважати, що limT! " T #1 2diT ($) > 0 , i = 1, q . Ці границі можуть
дорівнювати і нескінченності.
Виконаємо заміну змінних у функції регресії u = T ! 1 2dT (" )(# ! " ) та позна-
чимо h(t, u) = g(t, ! + T1 2dT
" 1(! )u), вважаючи, що ! є істинним значенням па-
раметра. При цьому параметрична множина ! переходить у
!UT (! ) =
= T ! 1 2UT (" ) , де UT (! ) = dT (! )(" # ! ) . Після такої заміни оцінка Коенкера –
Бассета ö! T переходить у нормований вектор uT = T !1 2dT (")(ö"T ! ") .
Позначимо
1032 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
hi (t, u) = gi t,! + T1 2dT
"1(!)u( ) ,
hil (t, u) = gil t,! + T1 2dT
"1(!)u( ) , i, l = 1, q ,
QT
! (u) = QT " + T1 2dT
#1(" )u( ) , u ! !UT
c (" ) , V(r ) = u ! Rq: u < r{ } ,
! T (u1,u2 ) = h(t,u1) " h(t,u2 )( )2 dt
0
T
# ,
! T
(i ) (u1, u2) = hi (t, u1) " hi (t, u2)( )2 dt
0
T
# , i = 1, q , u1,!u2 ! !UT
c (" ) ,
! (t ) = ! +(t) + ! " (t),
де
!+(t) = !(t)"{ !(t) # 0} , ! " (t ) = ! (t)#{ ! (t) < 0} .
" 1. Для достатньо великих T T > T0( )
sup
!"#c
sup
0$t$T
gi (t, !) diT
%1(&) $ kiT %1 2 , (2)
sup
! " # c
dil ,T (! ) diT
$1(%) dlT
$1(%) & kilT $1 2 . (3)
З умов (2) та (3) для довільних r ! 0 , i, l = 1, q випливають нерівності
sup
u! Vc(r )! "UT
c (" )
sup
0#t#T
hi (t,u) diT
$1(" ) # k(i ) (r )T $1 2 , (4)
sup
u! V c (r)! "UT
c (" )
dil,T " + T 1 2dT#1(" )u( ) diT#1(" ) dlT#1(" ) $ k (il) (r)T #1 2 . (5)
У свою чергу, як показано в [12], із (4) випливає нерівність
sup
u1,u2 ! Vc(r )! "UT
c (" )
T #1$ T (u1,u2 ) u1 # u2
#2 % k(r ) < & , (6)
а з (5) — нерівність
sup
u1,u2! Vc(r )! "UT
c (" )
# T
i( )(u1, u2)diT
$2(" ) u1 $ u2
$2 % "k(i ) (r ) , i = 1, q . (7)
Припустимо, що для довільного r > 0 існує ! (r ) > 0 таке, що для T > T0
inf
u! !UT
c (" )\Vc(r )
T #1EQT
* (u) $ E%+(0) + &(r ) , (8)
до того ж для деяких r0 > 0 , ! 0 > 0 ! (r0) " (2 + #0)E$+(0) .
У роботі [13] доведено, що якщо виконуються умови . 1 – . 3, " 1 та умова роз-
різнення параметрів (8), то для довільного r > 0
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1033
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
P uT ! r( ) = O(B(T)) при T ! " . (9)
Останнє співвідношення є деякою підсиленою властивістю слабкої конзистент-
ності оцінки Коенкера – Бассета.
Позначимо IT (! ) = diT
" 1(! ) dlT
" 1(! ) gi (t, ! )gl (t, ! ) dt
0
T
#( )
i,l =1
q
, ! min(IT (" )) —
найменше власне число IT (! ) .
" 2. ! min(IT (" )) # ! 0 > 0 для T > T0 .
Нехай S1 — ! -алгебра вимірних за Лебегом підмножин R1 . Розглянемо на
(R1, S1) сім’ю комплексних матричних мір µT (d! , " ) = µT (! , " )d! з матрични-
ми щільностями відносно міри Лебега µT (! , " ) = µT
kl (! , " )( )
k,l =1
q
,
µT
kl (! , " ) = gT
k (! , " ) gT
l (! , " ) gT
k (! , " )
2
d!
#$
+$
% gT
l (! , " )
2
d!
#$
+$
%
&
'
(
)
*
+
#1 2
,
gT
k (! , " ) = ei! t gk(t, " ) dt
0
T
# .
!M&%+G&&L 2 [4, 14 – 17]. A"B. 3-$Õ9 $-# µT (d! , " ) 7#: T ! " 3@%>". 8>--
6%<&=39 5. )14-5Õ<$). .8)%C1).D $%&#:C).D $-#: µ(d!,") , &. $-#% µ(d! , " )
)%8:4%<&=39 371"&#%@=)./ $-#./ ;()" ,-D #16#13-D g(t,!) .
Це означає, що для будь-якої обмеженої та неперервної дійсної функції ! (" ) ,
! " R1 ,
! (" )µT (" , #) d"
$%
%
& T' %
( '( ( ( ! (" )µ(d" , #)
$%
%
& , (10)
елементами µ kl (d! , " ) матриці µ(d! , " ) є комплексні заряди обмеженої варіації
та матриця µ(A, ! ) невід’ємно означена для будь-якої множини A ! S1 .
!M&%+G&&L 3 [14]. E-?3)% ;()",-9 ! (" ) , ! " R1 , )%8:4%<&=39 µ -7#:7(3-
&:$./, 9"B. 4.)% -)&16#.4)% 8% $-#./ µ , &.>&. 43- 1@1$1)&: $%&#:,-
! (" )µ(d" ,#)
$%
%
& )%>(4%/&= 3"-)C1)):F 8)%C1)=, &% 4:".)(<&=39 (10) 8% ($.4:
3@%>".D 8>-').3&- µT 5. µ .
" 3. (і) Існує µ(d! , " ) — спектральна міра функції регресії g(t,!) .
(іі) Спектральна щільність (с. щ.) f (! ) , ! " R1 , випадкового процесу ! (t ) є
µ -припустимою.
За умов limT! " dkT
2 (#) = " , sup0! t ! T gk(t, " ) = o dkT
2 (" )( ) , T ! " , k =
= 1, q , компоненти µkl (d!,") визначаються із співвідношень
1034 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
Rkl (s) = lim
T! "
dkT
#1 ($) dlT
#1($) gk
0
T
% (t + s, $)gl (t,$) dt =
= ei! sµkl (d! , " )
#$
$
% , k, l = 1, q ,
за додаткового припущення неперервності матриці R(s) = (Rkl (s))k,l=1
q в нулі [14].
Якщо б к. ф. B(t) = E ! (t)! (0) була абсолютно інтегровною на R1 (випадок
слабкої залежності ! (t) ), то процес ! (t ), t ! R1 , мав би обмежену та неперерв-
ну с.щ. f і для ! = f виконувалось би (10). Якщо с. щ. f обмежена та міра
µ точок її розриву дорівнює нулю, збіжність (10) також має місце (див., на-
приклад, [18]).
З іншого боку, якщо к.ф. B не інтегровна (випадок сильної залежності ! (t ) ),
а с.щ. f існує, то вона може втрачати властивість обмеженості, тому граничний
перехід у (10) для ! = f треба обґрунтовувати. Деякі достатні умови µ -припус-
тимості с.щ. f наведено у роботі [19].
2. N'JECHO$%&&L BG'JGE*. Нехай e — довільний напрям у Rq та ! " # .
Зауважимо, що якщо функції gi (t, ! ) належать C([0,T] ! "c) , i = 1, … , q , то
можливість однобічного диференціювання за довільним напрямком під знаком ін-
теграла QT (! ) = " #(X(t) $ g(t, ! ))
0
%
& dt випливає з теореми Лебега про мажорова-
ну збіжність.
Позначимо !
! e
QT (" ) = lim#$ 0+
QT (" + #e) %QT (" )
#
. Тоді
!
! e
QT (" ) = #$ g(t, " ), e%&{ X(t) ' g(t, " )} ( )( )
0
*
+ dt ,
де ! позначає ! , якщо !"g(t, #), e$ % 0 , і < , якщо !" g(t, #), e$< 0 .
Нехай d0 — відстань між ! та Rq \ ! . Якщо відбувається подія
ö!T " ! < r{ } та r < d0 , то для довільного напрямку e !
! e
QT ("̂ T ) # 0 . Це
зауваження буде використано при доведенні теореми 1.
Нехай e1, É , eq — додатні напрямки координатних осей. Розглянемо вектори
QT
± (! ) з координатами
QiT
± (! ) = diT
! 1(" ) #
#(±ei )
$
%&
'
()
QT (*) =
= ±diT
! 1(" ) gi (t, #) $ X(t) %g(t, #){ } ! &( )
0
T
' dt , i = 1, q .
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1035
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
Зауважимо, що
QT
+(! ) = " QT
" (! ) =
= dT
! 1(" ) # g(t, $) %{ X(t) < g(t, $)} ! &( )
0
'
( dt майже напевно
для детермінованого ! , але QT
+(ö! T ) може не збігатися з ! QT
! (ö" T ) .
Введемо також вектори EQT
±(! ) з координатами
EQiT
± (!) = ± diT
"1(#) gi (t, !) F g(t, !) " g(t,#)( ) " $( )
0
T
% dt , i = 1, q .
Завдяки умові . 3, очевидно, EQT
± (! ) = 0 .
Позначимо ! T (" ) = IT#1(" ) .
0G'JGE% 1. G1F%? 4:".)%). ($.4: . 1 – . 4, " 1 – " 3 &% .,-)"% 0.1)"1# %Ð
2%331&% ö! T < ".)8:3&1)&)./ 4 31)3- (9). H.5- %3:$7&.&:C):? 7#: T ! "
#.87.5-@ 41"&.#% dT (! )(!̂ T " ! ) 8>-6%<&=39 8 %3:$7&.&:C):$ #.87.5-@.$, 9"B.
4-) -3)(<, 41"&.#% ! p! 1(0)" T (#)QT
+ (#) .
Встановлення, наприклад, асимптотичної нормальності QT
+(! ) є досить склад-
ною задачею. За умов теореми 1 одне таке твердження, при доведенні якого ви-
користовується центральна гранична теорема для кратних стохастичних інтегралів
і діаграмна техніка, сформульовано в [20].
3. 5'D'EIP&I B$GJFPG&&L. При доведенні наступного факту використовуєть-
ся метод фрагментації параметричної множини, який належить Хьюберу [21, 22].
Введемо позначення
QT
*±(u) = QT
± ! + T1 2dT
" 1(! )u( ) ,
zT
± (! ,u) = QT
*± (u) " QT
*± (0) " EQT
*± (u) 1+ EQT
*± (u)( )" 1
.
6GE% 1. I#: 4:".)%))- ($.4 . 1 – . 4, " 1, " 2 5@9 5.4-@=).6. ! > 0 &%
5.3&%&)=. $%@:F r > 0
P sup
u! Vc(r )! "UT
c (" )
zT
± (" ,u) > #$
%&
'
() T* +
, *, , , 0 . (11)
Доведення проведемо для величини zT
+ (! ,u) . Припустимо, для простоти, що
r = 1 та супремум у (11) задано у кубі C0 = u : u 0 = max
1! i! q
ui ! 1{ } " V c (1).
Виконаємо покриття куба C0 за допомогою N0 = O(lnT ) кубів C(1), … , C(N0 )
таким чином. Нехай p ! (0,1) — деяке число. Побудуємо концентричну систему
множин
1036 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
C(m) = u : u 0 ! 1" p( )m+1, 1" p( )m#
$
%
&{ } , m = 0, m0 ! 1 ,
C(m0) = u : u 0 < 1! p( )m0{ } .
Покриємо кожну з множин C (m) однаковими кубами зі стороною
am = 1! p( )m ! 1! p( )m+1 = p 1! p( )m
та пронумеруємо ці куби. Вони формують необхідне покриття C(1), É , C(N0 ! 1) ,
C(N0) ! C(m0) . Виберемо m0 = m0 (T ) з умови Rq , C(m) , ! " (1 2,1) .
Зауважимо, що ! 0 — відстань від C l( ) до 0 — є r (l ) = (1! p)T ! " #m#!m0
! 1
,
та ! 0 — діаметр C l( ) — дорівнює a(l ) = pT!" m !m0
!1
для деякого m = m(l ) , l =
= 1, N0 ! 1 . Більш того, якщо куб C l( ) є елементом покриття множини C(m) ,
то a(l ) = am . Кількість кубів C l( ) покриття кожної множини C(m) можна зро-
бити незалежною від m і, відповідно, від T . Щоб у цьому переконатися, розгля-
немо будь-який октант у Rq . Об’єм тієї частини множини C(m) , що лежить у
цьому октанті, складає (1! p)mq ! (1! p)(m+1)q , а об’єм куба C l( ) дорівнює
aq(l ) = pq(1! p)mq . Таким чином, максимальна „кількість” кубів C l( ) , що по-
кривають частину C(m) , яка знаходиться в даному октанті, дорівнює
(1! p)mq ! (1! p)(m+1)q( ) p!q(1! p)!mq = 1! (1! p)q( ) p!q .
З того, що m0 = O(lnT) , випливає, що N0 = O(lnT) також. Отже, маємо
P sup
u! C0
zT
+ (" , u) > #
$
%&
'
()
* P sup
u! C(l )
zT
+ (" , u) > #
$
%
&
'
(
)
l =1
N0
+ . (12)
Оцінимо кожен доданок у (12). Загальний елемент матриці похідних DT (u)
відображення u ! EQT
*+ (u) має ви$&'д
DT
il (u) = !
! ul
EQiT*+ (u) =
= T1 2diT
! 1(" ) dlT
! 1(" ) hil (t, u) F h(t, u) ! h(t, 0)( ) ! #[ ] dt
0
T
$ +
+ T1 2diT
!1(") dlT
!1(") hi (t, u)hl (t, u)p h(t, u) ! h(t, 0)( ) dt
0
T
# =
= 1DT
il (u) + 2 DT
il (u) .
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1037
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
Беручи до уваги (5), (6) та нерівність supx! R1 p(x) = p0 < " , для u < r отри-
муємо
T ! 1 2
1DT
il (u) " T1 2diT
! 1(#) dlT
! 1(#) dil ,T # + T1 2dT
! 1(#)u( ) $
! T " 1 F h(t, u) " h(t, 0)( ) " F(0)[ ]2 dt
0
T
#
$
%
&
'
(
)
1 2
≤
≤ k(il ) (r )p0k1 2(r ) u . (13)
З іншого боку,
T !1 2
2 DT
il (u) ! p(0)I il (") ≤
≤ p0diT! 1 "( )dlT! 1 "( ) # T
(i) (u, 0)( )1 2
# T
(l) (u, 0)( )1 2$
%&
+
+ diT (! ) " T
(l ) (u, 0)( )1 2 + dlT (! ) " T
(i ) (u, 0)( )1 2 #
$%
+
+ diT
! 1(" ) dlT
! 1(" ) gi (t, " )gl (t, " ) p h(t, u) ! h(t, 0)( ) ! p(0)( ) dt
0
T
# . (14)
З (7) випливає, що доданки у квадратних дужках обмежені величиною
p0 !k(i ) (r )( )1 2 !k(l ) (r )( )1 2 + !k(l ) (r )( )1 2 + !k(i ) (r )( )1 2!
"#
$
%&
u .
Для останнього доданк( (14), використовуючи умови . 4, (4) та нерівність (6), зна-
ходимо мажоранту
HT1 2 diT
! 1(" ) sup
0#t#T
gi (t, " ) T ! 1 2$ 2T
1 2(u, 0)( ) # Hk(i ) (r ) k1 2(r ) u . (15)
За формулою Тейлора
T ! 1 2 EQiT
*+ (u) = T ! 1 2
l=1
q
" DT
il (u(i ) ) ul , u(i ) < u , i = 1, q .
Позначимо HT = T ! 1 2DTil (u(i) )( )i,l=1
q
. Тоді, як ми довели, HT = p(0)IT (!) +
+ MT , де MT
il !
u! 0
0 , i, l = 1, q , рівномірно )" T . Очевидно,
!HT HT = p2(0)IT
2 (") + p(0) !MT IT (") + IT (")MT( ) + !MT MT( ) .
Використовуючи властивість власних чисел суми двох симетричних матриць (див.
[23, с. 101 – 103]), маємо
! min ( "HT HT ) # p2 (0)! min (IT
2 ($)) ≤
1038 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
≤ q p(0) max
1! i,l ! q
"MT IT (#) + IT (#)MT( )il + max
1! i, l ! q
"MT MT( )il$
%&
'
()
=
= O u( ) .
Таким чином, за умови " 2 матриця !HT HT додатно означена рівномірно )"
T > T0 для достатньо малих u (для простоти припустимо, що для u ! C0 ) та
!&' деякого k0 > 0
T ! 1 2 EQT
*+(u)
2
= "HT HTu,u # k0
2 u 0
2 ,
або
EQT*+ (u) ! k0T 1 2 u 0 . (16)
Нехай l ! N0 та v ! C(l ) — довільна точка. Тоді, використовуючи (16),
можна записати
sup
u! C(l )
zT
+ (" ,u) # sup
u! C(l )
MT
(l ) (" ,u, v) + LT
(l ) (" , v)$
%&
'
()
1+ k0T
1 2r(l )( )* 1
,
де
MT
(l )(! , u, v) = M" T
(l ) (! , u, v)
" =1
4# ,
M1T
(l ) (! ,u, v) = dT
" 1(! ) # h(t,u) $ X(t) < h(t,u){ } " $ X(t) < h(t, v){ }( )
0
T
% dt ,
M2T
(l ) (! , u, v) = dT
" 1(! ) # h(t, u) " # h(t, v)( ) $ X(t) < h(t, v){ } " %( )
0
T
& dt ,
M 3T
(l ) (!, u, v) = dT
"1(!) #h(t, u) F h(t, u) " h(t, 0)( ) " F h(t, v) " h(t, 0)( )[ ]
0
T
$ dt ,
M 4T
(l) (! ,u, v) = dT" 1(! ) # h(t,u) " # h(t, v)( ) F h(t, v) " h(t, 0)( ) " $[ ]
0
T
% dt ,
LT
(l ) (! , v) = dT
! 1(" ) # h(t, v) $ X(t) < h(t, v){ } ! %( )[
0
T
& –
– !h(t, 0) " #(t) < 0{ } $ %( ) $ !h(t, v) F h(t, v) $ h(t, 0)( ) $ %( ) dt] .
З огляду на (7) для u ! C(l ) отримуємо
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1039
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
T ! 1 2M 2T
(l ) (" ,u, v) # $ diT
! 2 (" )%T
(i ) (u, v)
i =1
q
&
'
(
)
*
+
,
1 2
# k1a(l ) , (17)
де
k1 = ! !k(i ) (1)
i=1
q
"
#
$
%
&
'
(
1 2
, a(l ) = pT! " m !m0
! 1
, ! = max ! ,1" !{ } .
Більш того, відповідно до (4), (6) та *+",- . 4
T !1 2M 3T
(l ) (", u, v) ≤
≤ T ! 1 2p0" 2T
1 2(u, v) diT2 (# + T 1 2dT! 1(#)u)diT! 2(#)
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
1 2
≤ k2a(l ) , (18)
де
k2 = p0k1 2(1) k(i ) (1)( )2
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
.
Аналогічно до попередньої нерівності
T ! 1 2M 4T
(l ) (" , u, v) ≤
≤ p0T
! 1 2" 2T
1 2(v, 0) diT
! 2(#)" T
(i ) u, v( )
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
1 2
≤ k3a(l ) , (19)
де
k3 = p0k1 2(1) !k(i ) (1)
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
.
Оцінимо M1T
(l ) (! , u, v) . Для довільного u ! C(l) позначимо
! X(t) < h(t, u){ } = ! "(t) < h(t, u) # h(t, 0){ } = ! u , ! = 1 " ! .
Тоді з тотожності ! u! v = 1" ! u( ) 1" ! v( ) = 1" ! u " ! v + ! u! v випливає
! u " ! v = 1" ! u " ! v = ! u! v " ! u! v = ! u! v( ) # ! u! v( ) ≤
≤ ! inf
u"C(l )
h(t, u) # h(t, 0) $ %(t) $ sup
u"C(l )
h(t, u) # h(t, 0)
&
'
(
)(
*
+
(
,(
- !l (t ) . (20)
Таким чином, використовуючи (4), маємо
T ! 1 2M1T
(l ) (" , u, v) ≤
1040 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
≤ T ! 1 2 diT! 2(" ) hi (t,u) # X(t) < h(t,u){ } ! # X(t) < h(t, v){ }[ ] dt
0
T
$
%
&
'
(
)
*
2
i=1
q
+
%
&
'
'
(
)
*
*
1 2
≤
≤T ! 1 2 diT
! 2(" ) hi (t, u)#l (t)dt
0
T
$
%
&
'
(
)
*
2
i=1
q
+
%
&
'
'
(
)
*
*
1 2
≤
≤ T ! 1 2 diT
! 2(" ) sup
0#t#T
hi (t, u)$
%&
'
()
2
i=1
q
*
$
%
&
'
(
)
1 2
+l (t)dt
0
T
, ≤
≤ k4T ! 1 " l (t )dt
0
T
# , k4 = k(i ) (1)( )2
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
. (21)
Використовуючи (4), запишемо
T ! 1 E " l (t)dt
0
T
# =
= T ! 1 F sup
u" C(l )
h(t, u) ! h(t, 0)
#
$
%
&
'
( ! F inf
u" C(l )
h(t, u) ! h(t, 0)
#
$%
&
'(
#
$
%
&
'
( dt
0
T
) ≤
≤ p0T
!1 sup
u1, u2"C(l )
h(t, u1) ! h(t, u2)
0
T
# dt ≤
≤ p0T
! 1 sup
u1,u2" C(l )
T1 2diT
! 1(#) hi (t, u) u1 ! u2
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
0
T
+ dt ,
де u = u1 + ! u2 " u1( ) , ! " 0,1( ) . Отже,
T ! 1 E " l (t) dt
0
T
# $ p0 T ! 1 2diT
! 1(%) sup
u&C(l )
sup
0$t$T
hi (t, u)
i=1
q
' a(l ) $ k5a(l ) , (22)
де
k5 = p0q1 2 k(i ) (1)( )2
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
.
Оцінки (17) – (19), (21), (22) показують, що існують константи k6 , k7 такі,
що
P sup
u! C(l )
MT
(l ) (" , u, v) 1+ k0T
1 2r(l )( )#1
>
$
2
%
&
'
(
)
* ≤
≤ P k6T
! 1 " l (t ) ! E " l (t)( ) dt
0
T
# >
$
2
r(l ) ! k7a(l )
%
&
'
(
)
* . (23)
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1041
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
Величина
!
2
r(l ) " k7a(l ) =
!
2
(1" p) " k7 p#
$%
&
'(
T " ) m !m0
" 1
> 0 , якщо p вибрати до-
статньо малим. Таким чином, .мовірність (23) оцінюється за нерівністю Чебишова
величиною
4k6
2T 2! m !m0
" 1" 2 #(1" p) " 2k7p( )" 2 cov $l (t), $l (s)( ) dt ds
0
T
%
0
T
% . (24)
Оскільки в гільбертовому просторі L2(R1, ! (x) dx) , ! (x) = (2" )#1/2e#x2 /2 ,
розклад функції ! l (t ) за поліномами Чебишова – Ерміта має вигляд
! l (t ) =
cm(t)
m!
Hm(" (t))
m=0
#
$ , c0(t) = E! l (t) ,
cm(t) = ! inf
u" C(l )
h(t,u) # h(t, 0) $ G(x) $ sup
u" C(l )
h(t,u) # h(t, 0)
%
&
'
('
)
*
'
+'R1
, -
! Hm(x) " (x) dx , m ! 1 ,
то
cov ! l (t ), ! l (s)( ) = E ! l (t)! l (s) " E ! l (t ) E ! l (s) =
= E cm(t)ck (s)
m!k!
Hm(! (t))
m,k=0
"
# Hk (! (s)) $ c0 (t)c0 (s) =
= cm(t)cm(s)
m!m=1
!
" Bm(t # s) .
Далі, використовуючи нерівність ab !
1
2
a2 + b2( ) , парність функції B(t) та
рівність B(0) = 1 , отримуємо
T ! 2 cov " l (t), " l (s)( ) dt ds
0
T
#
0
T
# = T ! 2 cm(t)cm(s)
m!
Bm(t ! s) dt ds
0
T
#
0
T
#
m=1
$
% ≤
≤ T ! 2 cm2 (t)
m !
Bm (t ! s) dt ds
0
T
"
0
T
"
m=1
#
$ % T ! 2 cm2 (t)
m !m=1
#
$
&
'
(
)
*
+B(t ! s) dt ds
0
T
"
0
T
" . (25)
Зауважимо, що
cm2 (t)
m !m=1
!
" = D#l (t) $ E #l (t) , (26)
Продовжуючи оцінки (25), (26), отримуємо
1042 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
T !2 cov "l (t), "l (s)( ) dt ds
0
T
#
0
T
# $ T !2 E "l (t)B(t ! s) dt ds
0
T
#
0
T
# ≤
≤ 2 T ! 1 E " l (t) dt
0
T
#
$
%
&
'
(
) T ! 1 B(s) ds
0
T
#
$
%
&
'
(
) .
Для першого інтеграла останнього добутку )/(,-&01"2 3 оцінка (22), а за теоре-
мою з [24, с. 65]
T !1 B(s)ds
0
T
" = O B(T)( ) . (27)
Разом з (24) це мажорує ймовірність (23) величиною
k8L(T)T ! m !m0
" 1" # , (28)
яка збігається до 0 при T ! " зі степеневою швидкістю, якщо ! > " .
Позначимо
L1i (t) = hi (t, v) ! hi (t, 0)( ) " X(t) < h(t, v){ } ! #( ) ,
L2i (t) = hi (t, 0) ! X(t) < h(t, v){ } " ! #(t) < 0{ }( ) , i = 1, q .
Тоді
LT
(l ) (! , v) = diT
" 2(! )
i=1
q
# L$i (t) " E L$i (t)( )
$=1
2
# dt
0
T
%
&
'
(
)
*
+
2&
'
(
(
)
*
+
+
1 2
,
P1 = P LT
(l ) (!, v) 1+ k0T
1 2r(l )( )"1
> #
2
$
%&
'
() ≤
≤ 8 diT
! 2(" )
i=1
q
# E L$i (t) ! E L$i (t)( ) dt
0
T
%
&
'
(
)
*
+
2
$=1
2
#
&
'
(
(
)
*
+
+
, k0( )! 2 T ! 1r ! 2(l ) .
Оцінимо величину
E L1i (t) ! E L1i (t)( ) dt
0
T
"
#
$
%
&
'
(
2
= cov L1i (t), L1i (s)( ) dt ds
0
T
"
0
T
" . (29)
Оскільки
E L1i
2 (t) = hi (t, v) ! hi (t, 0)( )2 E " #(t) < h(t, v) ! h(t, 0){ } ! $( )2 ≤
≤ !2 hi (t, v) " hi (t, 0)( )2 < # ,
то для функції L1i (t) справедливим є розклад у просторі L2(R1, ! (x) dx) :
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1043
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
L1i (t) =
cm(t, v)
m!
Hm(!(t))
m=0
"
# , c0 (t, v) = E L1i (t) ,
cm(t, v) = hi (t, v) ! hi (t, 0)( ) "
! " G(x) < h(t, v) # h(t, 0){ } # $( ) Hm(x) %(x) dx
R1
& , m ! 1 .
Тоді, як і вище,
cov L1i (t), L1i (s)( ) = cm(t, v)cm(s, v)
m!m=1
!
" Bm(t # s) .
Зауважимо також, що
cm2 (t, v)
m !m=1
!
" = DL1i (t) # E L1i
2 (t) # $2 hi (t, v) %hi (t, 0)( )2 .
Продовжуючи оцінку (29), отримуємо
cov L1i (t), L1i (s)( ) dt ds
0
T
!
0
T
! ≤
≤ ! 2 hi (t, v) " hi (t, 0)( )2 B(t " s)dtds
0
T
#
0
T
# ≤
≤ 2T! 2" T
(i ) (v, 0) T #1 B(s) ds
0
T
$
%
&
'
(
)
* .
Далі, з (27) маємо, що (29) мажорується величиною k9T
1!"#T
(i ) (v, 0)L(T) .
Оцінимо E L2i (t) ! E L2i (t)( )dt
0
T
"
#
$
%
&
'
(
2
. Нехай C(l ) — елемент покриття мно-
жини C(m) . Введемо позначення
M ! C(k)
k=m
m0
! . Тоді за аналогією з (20)
! " (t) < h(t, v) # h(t, 0){ } # ! "(t) < 0{ } ≤
≤ ! inf
v"M
h(t, v) # h(t, 0) $ %(t) $ sup
v"M
h(t, v) # h(t, 0){ } & !M (t) .
Отже, L2i (t) ! hi (t, 0) "M (t) . Оскільки
E L2i
2 (t) ! hi
2(t, 0) E " M (t) ≤
≤ hi
2(t, 0) F sup
v! M
h(t, v) " h(t, 0)#
$%
&
'(
" F inf
v! M
h(t, v) " h(t, 0)( ))
*+
,
-.
≤
1044 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
≤ p0hi
2(t, 0) sup
v1, v2! M
h(t, v1) " h(t, v2) < # ,
то має місце розклад функції L2i (t) в L2(R1, ! (x) dx) :
L2i (t) =
!cm(t, v)
m!
Hm(! (t))
m=0
"
# , !c0(t, v) = EL2i (t) ,
!cm(t, v) = hi (t, 0) ! G(x) < h(t, v) " h(t, 0){ } " ! G(x) < 0{ }( ) Hm(x)#(x) dx
R1
$ ,
m ! 1 .
З огляду на те, що
E L2i (t) ! EL2i (t)( ) dt
0
T
"
#
$
%
&
'
(
2
= cov L2i (t), L2i (s)( )dt ds
0
T
"
0
T
" , (30)
cov L2i (t), L2i (s)( ) =
!cm(t, v) !cm(s, v)
m!
Bm(t ! s)
m=1
"
# ,
!cm
2 (t, v)
m!m=1
!
" = DL2i (t) # EL2i
2 (t) ,
отримуємо
cov L2i (t), L2i (s)( ) dtds
0
T
!
0
T
! ≤
≤ p0 hi2(t, 0) sup
v1, v2! M
h(t, v1) " h(t, v2) B(t " s) dt ds
0
T
#
0
T
# ≤
≤ 2p0T hi
2(t, 0) sup
v1, v2! M
h(t, v1) " h(t, v2) dt
0
T
# T " 1 B(s) ds
0
T
#
$
%
&
'
(
) .
За умови (4)
hi
2(t, 0) sup
v1, v2! M
h(t, v1) " h(t, v2) dt
0
T
# ≤
≤
hi
2(t, 0) sup
v1, v2! M
T1 2diT
" 1(#) hi (t, !v) v1 " v2
i=1
q
$
%
&
'
(
)
* dt
0
T
+ ≤
≤ 2 a(l ) + r(l )( ) T1 2diT
! 1(" ) sup
v#M
sup
0$t$T
hi (t, v)
i=1
q
%
&
'
(
)
*
+diT
2 (" ) ≤
≤ 2 k(i ) (1)
i=1
q
!
"
#
$
%
&
' a(l ) + r(l )( ) diT
2 (() ,
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1045
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
тобто (30) мажорується величиною k10 a(l ) + r(l )( ) diT
2 (! )T1" # L(T) .
Таким чином, завдяки (7)
P1 ≤ 8T1! " #k0( )! 2 T ! 1r ! 2(l )L(T) $
! diT
" 2(#)
i=1
q
$ k9%T
(i ) (v, 0) + k10diT
2 (#) a(l ) + r(l )( )( )&
'
(
(
)
*
+
+
≤
≤ 8T ! " #k0( )! 2 r ! 2(l)L(T ) $
! k9
!k(i ) (1)
i=1
q
"
#
$
%
&
'
( a(l ) + r(l )( )2 + k10q a(l ) + r(l )( )
)
*
+
+
,
-
.
.
≤
≤ k11T
! " L(T) a(l ) + r(l )( )2 r ! 2(l ) + a(l ) + r(l )( ) r ! 2(l )#
$
%
& =
=
k11T
! " L(T) (1! p)! 2 + (1! p)! 2T #m !m0
! 1$
%&
'
()
* k12T
#m !m0
! 1! " L(T) . (31)
Отже, P1 оцінюється величиною k12T
! m !m0
" 1" # L(T ) , яка збігається до нуля
при T ! " зі степеневою швидкістю при ! > " .
Отже, (28) та (31) показують, що для l = 1, É , N0 ! 1 та деякого m =
= m(l ) < m0
P sup
u! C(l )
zT
+ (" , u) > #
$
%
&
'
(
) = O L(T)T * m !m0
+1+,( ) .
Розглянемо випадок, коли l = N0 . Очевидно,
P sup
u! C(N0)
zT
+ (" , u) > #
$
%
&
'
(
) ≤
≤
P sup
u 0<T ! " m0 !m0
! 1
QT*+ (u) ! QT*+ (0) ! EQT*+ (u) > #
$
%
&
&
'
(
)
)
.
Запишемо вираз, що стоїть під знаком норми, у вигляді суми векторів !1(",u) +
+ !2(", u) + ! 3(" , u) , де
! 1(" ,u) = dT
#1(" ) $ h(t,u) # $ h(t, 0)( ) % X(t) < h(t,u){ } # &( )
0
T
' dt ,
! 2(" , u) = dT
#1(" ) $ h(t, 0) % X(t) < h(t, u){ } # % &(t) < 0{ }( )
0
T
' dt ,
1046 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
! 3(" , u) = #dT
#1(" ) $ h(t, u) F h(t, u) # h(t, 0)( ) # %[ ]
0
T
& dt .
Легко бачити, що для
u 0 < T ! " m0 !m0
! 1
! 1(" , u) ≤ !T1 2 diT
"2(#)$T
(i ) (u, 0)
i=1
q
%
&
'
(
)
*
+
1 2
≤
≤
! T1/2" #m0 !m0
" 1 !k(i ) (1)
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
1/2
= k13T
1/2" #m0 !m0
" 1
, (32)
! 3(" , u) ≤ p0! T
1/2(u, 0) diT" 2(#)diT2 (# + T 1/2dT" 1(#)u)
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
1/2
≤
≤ k14T
1/2! " m0 !m0
! 1
. (33)
Якщо ! > 1 2 , то для T > T0 показники степен' у (32) та (33) від’ємні, і
залишається оцінити ймовірність ( !" < " )
P2 ! P sup
u 0<T " #m0 !m0
" 1
$2(%,u) > &'
(
)
*
*
+
,
-
-
.
Зауважимо, що
! 2(" , u) =
= diT! 2(" ) hi (t, 0) # $(t) < h(t,u) ! h(t, 0){ } ! # $(t) < 0{ }( ) dt
0
T
%
&
'
(
)
*
+
2
i=1
q
,
&
'
(
(
)
*
+
+
1/2
. (34)
Тоді за аналогією з (20)
! "(t) < h(t,u) # h(t, 0){ } # ! "(t) < 0{ } ≤
≤
! inf
u 0<T "# m0 !m0
"1
h(t, u) " h(t, 0) $ %(t) $ sup
u 0<T "# m0 !m0
"1
h(t, u) " h(t, 0)
&
'
(
)(
*
+
(
,(
- !N0
(t) .
Продовжуючи (34), маємо
! 2(" , u) ≤ diT
! 2(" ) hi (t, 0) #N0
(t) dt
0
T
$
%
&
'
(
)
*
2
i=1
q
+
%
&
'
'
(
)
*
*
1/2
≤
≤ T ! 1/2 T1/2diT
! 1(" ) sup
0#t#T
hi (t, 0)$
%&
'
()
2
i=1
q
*
$
%
&
'
(
)
1/2
+N0
(t) dt
0
T
, ≤
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1047
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
≤ k(i ) (1)( )2
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
T ( 1 2 ) N0
(t) dt
0
T
* = k15T
! 1/2 " N0
(t) dt
0
T
# .
Отже,
P2 ! P k15T
"1/2 #N0
(t) dt
0
T
$ > %&
'
(
)
*
+
, . (35)
Аналогічно до оцінки (22) отримуємо оцінку
T !1/2 E "N0
(t) dt # k16
0
T
$ T 1/2a(N0) = k16pT 1/2!%m0 !m0
!1
. (36)
Продовжуючи (35), для !!" < !" маємо
P2 ! P k15T
" 1/2 #N0
(t) " E #N0
(t)( ) dt
0
T
$ > %%&
'
(
)
*
+
, ≤
≤ !!"( )#2 k15
2 T #1 cov $N0
(t), $N0
(s)( ) dt ds
0
T
%
0
T
% .
Оскільки в гільбертовому просторі L2(R1, ! (x) dx) має місце розклад
!N0 (t) =
!cm(t)
m!
Hm("(t))
m=0
#
$ ,
!cm(t) =
! inf
u 0<T
" #m0 $!m0
" 1
h(t, u) " h(t, 0) %G(x) % sup
u 0<T
" #m0 $!m0
" 1
h(t, u) " h(t, 0)
&
'
(
)(
*
+
(
,(R1
- .
! Hm (x) " (x) dx , m ! 0 ,
то
T !1 cov "N0
(t),"N0
(s)( ) dt ds
0
T
#
0
T
# ≤
T ! 1 !cm
2 (t)
m!m=1
"
#
$
%
&
'
(
) B(t ! s) dt ds
0
T
*
0
T
* ≤
≤ T ! 1 E " N0
(t)B(t ! s) dt ds
0
T
#
0
T
# ≤ 2 E ! N0 (t)
0
T
" dt T #1 B(s)
0
T
" ds
$
%
&
'
(
) .
Далі, для першого інтеграла використовуємо оцінку (36), а для другого — (27),
отже,
P2 ! k17L(T)T1" # " $m0 !m0
" 1
.
Ця величина збігається до нуля при T ! " , якщо ! + " > 1.
Лему 1 доведено.
1048 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
Покладемо EQT
± !̂ T( ) = EQT
± (" )( ) " =!̂ T
.
6GE% 2. I#: 4:".)%))- ($.4 &1.#1$: 1 5@9 5.4-@=).6. ! > 0
P QT
±(!) + EQT
±(ö!T ) > "( ) T#$% #%%% 0 . (37)
!"#$%$&&'. Для достатньо малого r > 0 маємо
P zT
±(! , uT ) > "( ) =
= P zT±(! ,uT ) > ", uT # r( ) + P zT
±(! , uT ) > ", uT > r( ) = P1+ P2 .
Із співвідношення (11) випливає, що P1 ≤
P sup
u! V c (r)! "UT
c (" )
zT±(" ,u) > #
$
%&
'
()
*
T * +
0 ,
а із конзистентності оцінки ö! T маємо P2 !
T! "
0 .
Таким чином, оскільки QT
*± (uT ) = QT
± (! + T1 2 dT
" 1(! )uT ) = QT
± (!̂ T ) , отриму-
ємо
QT
±(ö! T ) " QT
±(! ) " EQT
±(ö! T ) 1+ EQT
±(ö! T )( )" 1
T# $
% #% % %
p
0 . (38)
Якщо відбулася подія ö! T " ! < r{ } для деякого r < d0 , то QiT
± (!̂ T ) " 0 ,
i = 1, q , і з (38) випливає
QiT
+ (ö! T ) " QiT
+ (! ) + EQiT
+ (ö! T )( )
1+ EQT
±(ö! T ) T# $
% #% % %
p
0 , (39)
QiT
! (ö"T ) + QiT
+ (") + EQiT
+ (ö"T )( )
1+ EQT
±(ö"T ) T#$% #%%%
p
0 . (40)
В свою чергу з (39), (40) для довільного ! > 0 маємо
P QT
±(! ) + EQT
±(ö! T ) " 1+ EQT
±(ö! T )( ) #( ) T$ %
& $& & & 1 . (41)
З (41) випливає, що P X+(! )( ) "
T" #
1 , де
X+(!) = EQT
+(ö!T ) "
# + QT
+(!)
1$ #
%
&
'
('
)
*
'
+'
. (42)
Доведемо обмеженість за ймовірністю вектора EQT
+(ö! T ) . Маємо
P EQT
+ (!̂ T ) > M( ) = P EQT
+(ö! T ) > M, X+(! )( ) +
+ P EQT
+(ö! T ) > M, X+(! )( ) ≤ P QT+(! ) > M (1" #) " #( ) + P X+(! )( ) , (43)
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1049
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
де X+(!) — доповнення до події X+(! ) .
Позначимо ! (t ) = " { #(t) < 0} $ %, t ! R1 . Тоді QiT
± (! ) = diT
!1(") #
! gi (t,")#(t) dt
0
T
$ майже напевно, i = 1, q . Оцінимо ймовірність P QT
+(! )( >
> M (1! " ) ! " ) .
Очевидно,
E QT+ (!)
2
= E(diT"1(!) gi (t, !)#(t)
0
$
% dt
i=1
q
& )2 ,
E(QiT
+ (! ))2 = diT
" 2(! ) gi (t, ! )gi (s, ! )B#(t " s)
0
T
$
0
T
$ dt ds, i = 1, q ,
де B! (t " s) = E ! (t)! (s) = cov #{ $(t) < 0} , #{ $(s) < 0}( ) . Далі, очевидно також,
що
cov ! { "(t) < 0} , ! { "(s) < 0}( ) =
Cm
2
m!
Bm(t # s)
m=1
$
% ,
Cm = ! {G(x) < 0}
" #
#
$ Hm(x)%(x) dx , m ! 1 ,
E QiT
+ (! )( )2
=
Cm
2
m!
diT
" 2
m=1
#
$ (! ) gi (t, ! )gi (s, ! )
0
T
%
0
T
% Bm(t " s) dt ds.
Оскільки за умовою теореми 1 ! > 1 2 , то B2 (!) " L1(R1) та відповідна с. щ.
f2(! ) , ! " R1 , неперервна та обмежена. Більш того, всі згортки fm(! ) =
= 1
2!
e" i#t Bm
" $
$
% (t) dt , m ! 2 , мають таку ж властивість. Крім цього, fm(! ) ≤
≤ 1
2!
Bm
" #
#
$ (t) dt ≤ 1
2!
B2
" #
#
$ (t) dt , m ! 2 , тобто supm! 2 max" #R1 fm(" ) ≤
≤ 1
2!
B2
" #
#
$ (t) dt та
diT
! 2 (" ) gi (t, " )gi (s, " )Bm(t ! s)
0
T
#
0
T
# dt ds =
=
fm(! ) ei! t
0
T
" gi (t, #) dt
2
d!
$%
%
"
1
2&
ei! t
0
T
" gi (t, #) dt
2
d!
$%
%
"
≤ B2
! "
"
# (t)dt , m ! 2 .
Бачимо, що
1050 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
E(QiT
+ (! ))2 " C1
2diT
#2(! ) gi (t, ! )gi (s, ! )B(t # s)
0
T
$
0
T
$ dt ds+ B2(t) dt
#%
%
$
Cm
2
m!m=2
%
&
'
(
)
*
+
, ,
до того ж Cm2
m !
= D! { "(t) < 0} # C1
2
m=2
$% = &# &2 # C1
2 .
Оскільки с. щ. f (!) має в нулі порядок !"#1 (див. [25]) і 1! " < 1 2 , то
2(1! " ) < 1, тобто функція f 2(! ) інтегровна в околі нуля ! " (#1,1) . Крім
цього, max ! " 1 f (! ) # $ f < %, як це випливає з [25, с. 277]. Це означає, що для
! " 1 f 2(! ) " max µ #1 f (µ)( ) f (! ) " $ f f (! ) і f (!) " L1(R1) ! L2(R1) . За то-
тожністю Планшереля
B2
! "
"
# (t) dt = 2$ f 2
! "
"
# (%) d%. (44)
Зауважимо далі, що завдяки умові " 3,
diT! 2(" ) gi (t, " )gi (s, " )B(t ! s)
0
T
#
0
T
# dt ds =
= 2! f (" )
#$
$
% ei" t
0
T
% gi (t,&) dt
2
ei" t
0
T
% gi (t,&) dt
2
d"
#$
$
%
'
(
)
)
*
+
,
,
#1'
(
)
)
)
*
+
,
,
,
d" =
= 2! f (" )µT
ii (d" , #)
T$ %
& $& & &
' %
%
( 2! f (" )µii (d" , #)
' %
%
( . (45)
Із співвідношень (44), (45) отримуємо, що для будь-якого ! > 0 існує T0 =
= T0(!) > 0 таке, що для T > T0
E QT
+(! )
2
" 2#C1
2 f ($)µii (d$, ! ) + %
&'
'
(
i=1
q
)
*
+
,
-
.
/ + 2#(0 &02 &C1
2)q f 2($) d$
&'
'
( .
Це означає, що вектор QT
+(! ) обмежений за ймовірністю, а разом з ним век-
тор EQT
+(ö! T ) також обмежений за ймовірністю.
Відповідно до (41) для довільного ! > 0
P QT
+(! ) + EQT
+(ö! T ) > "( ) ≤
≤ P QT
+(! ) + EQT
+(ö! T ) > " 1+ M( )#1 1+ EQT
+(ö! T )( ) , EQT
+(ö! T ) $ M( ) +
+ P EQT+(ö! T ) > M( ) ≤
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1051
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 2011, &. 63, * 8
≤ P QT
+ (! ) + EQT
+ (ö! T ) > " 1+ M( )#1 1+ EQT
+ (ö! T )( )( ) +
+ P EQT
+(ö! T ) > M( ) ,
звідки і випливає (37).
Лему 2 доведено.
6GE% 3. J% ($.4 &1.#1$: 1 5@9 5.4-@=).6. ! > 0
P EQT
+ (ö! T ) " p(0)IT (! )dT (! )(ö! T " ! ) > #( ) T$ %
& $& & & 0 . (46)
!"#$%$&&'. Якщо величина uT = T ! 1 2dT (" )(ö" T ! " ) є малою, то з нерів-
ності (16) та обмеженості за ймовірністю випадкового вектора EQT
+(ö! T ) випли-
ває, що вектор dT (! )(ö! T " ! ) = T1 2uT також обмежений за ймовірністю. Дійс-
но, із (16) та конзистентності ö!T випливає, що для достатньо малих r > 0
P T1 2 uT > M( ) ≤ P EQT+(ö! T ) > k0M( ) + P uT > r( ) T ,M " #
$ "$ $ $ $ 0 .
Використовуючи позначення, які було введено раніше, маємо
T ! 1 2 EQT
+(ö" T ) = T ! 1 2 EQT
#+(uT )HTuT ,
EQT
+(ö! T ) " p(0)IT (! )dT (! )(ö! T " ! ) = H1T + H2T ! p(0)IT (" )( )T1 2uT ,
де матриці HkT = T ! 1/2
kDT
il (u(i ) )( )
i,l =1
q
, k = 1, 2 , u(i ) ! uT , i = 1, q , означені,
як і матриця HT , за аналогією з матрицями T ! 1/2
kDT (u(i ) ) , k = 1, 2 .
Нерівності (13) – (15) показують, що
EQT+(ö! T ) " p(0)IT (! )dT (! )(ö! T " ! ) ≤
≤ H1T dT (! )(ö! T " ! ) + H2T " p(0)IT (! )( ) dT (! )(ö! T " ! ) ≤
≤ k18 uT dT (! )(ö! T " ! ) .
Твердження леми випливає з обмеженості за ймовірністю вектора
dT (! )(ö! T " ! ) .
45+* 3 !",5!51".
4. 5'$GFG&&L BG'JGE* 1. Із співвідношень (37) та (46) для довільного ! > 0
знаходимо
P p! 1(0)" T (#)QT
+(#) + dT (#)(ö#T ! #) > $( ) ≤
≤ P p! 1(0)" T (#) QT
+ (#) + EQT
+ (ö#T )( ) > $
2
%
&'
(
)*
+
1052 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. !"#. $%&. '(#)., 201 1, &. 63, * 8
+ P p! 1(0)" T (#) EQT
+(ö#T ) ! dT (#)(ö#T ! #) >
$
2
%
&'
(
)* T+ ,
- +- - - 0 .
Теорема 1 випливає, наприклад, із теореми [26, с. 117].
1. Beran J. Statistics for long-memory processes. – New York: Chapman and Hall, 1994.
2. Leonenko N. N. Limit theorems for random fields with singular spectrum. – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1999.
3. Doukhan P., Oppenheim G., Takku M. S. Theory and applications of long-range dependence. – Boston:
Birkhäuser, 2003.
4. Grenander U., Rozenblatt M. Statistical analysis of stationary time series. – New York: John Wiley and
Sons, 1957. – 300 p.
5. Bassett G., Koenker R. Regression quantile // Econometrica. – 1978. – 46. – P. 33 – 50.
6. K4%).4 +. L., +#@.43=":? K. L. Асимптотична нормальність оцінок Коенкера – Бассета у неліній-
них моделях регресії // Теорія ймовірностей та мат. статистика. – 2005. – Вип. 72. – С. 30 – 41.
7. +#@.43=":? K. L. Конзистентність оцінок Коенкера – Бассета у нелінійних моделях регресії // На-
ук. вісті НТУУ „КПІ”. – 2004. – № 3 (35). – С. 144 – 150.
8. Kukush A. G., Beirlant J., Goegebeur Y. Nonparametric estimation of conditional quantiles // Dept.
Appl. Econ. – Belgium: K. V. Leuven, 2005. – Res. Rept OR 0557.
9. Jennrich R. I. Asymptotic properties of non-linear least squares estimators // Ann. Math. Statist. – 1969.
– 40. – P. 633 – 643.
10. Pfanzagl J. On the measurability and consistency of minimum contrast estimates // Metrika. – 1969. –
14. – P. 249 – 272.
11. M$1&&1#1# N. Введение в математическую статистику. – М.: Наука, 1976.
12. Ivanov A. V. Asymptotic theory of nonlinear regression. – Dordrecht: Kluwer Acad. Press, 1997.
13. O%4:C K. P. Конзистентність квантильних оцінок у моделях регресії з сильно залежним шумом //
Теорія ймовірностей та мат. статистика. – 2010. – № 82. – С. 128 – 136.
14. Q>#%6:$.4 Q. R., S.8%).4 T. R. Гауссовские случайные процессы. – М.: Наука, 1970. – 383 с.
15. U.@14. R. O. Об оценках коэффициентов регрессии // Теория вероятностей и ее применения. –
1969. – 14. – С. 78 – 101.
16. U.@14. R. O. Об асимптотической нормальности оценок коэффициентов регрессии // Теория
вероятностей и ее применения. –1971. – 16. – С. 724 – 728.
17. Ivanov A. V., Leonenko N. N. Statistical analysis of random fields. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad.
Publ., 1989. – 244 p.
18. 2:@@:)63@: I. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 352 с.
19. K4%).4 +. L., O%4:C K. P. µ -Припустимість спектральної щільності сильно залежного випадко-
вого шуму у нелінійних моделях регресії // Наук. вісті НТУУ „КПІ”. – 2009. – № 1. – С. 143 – 148.
20. Ivanov A. V., Savych I. N. Asymptotic properties of Koenker – Bassett estimator in the regression model
with long-range dependence // Int. Conf. „Modern Stochastics: Theory and Applications II”, Kyiv, 7 –
10 Sept., 2010. – P. 88.
21. U=/>1# I. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984.
22. Huber P. J. The behaviour of maximum likelihood estimates under nonstandard conditions // Proc. 5 th
Berkeley Symp. Math. Statistics and Probability. – Berkeley: Unif. Clif. Press., 1967. – Vol. 1. –
P. 221 – 233.
23. Wilkinson J. H. The algebraic eigenvalue problem. – Oxford: Clarendon Press, 1962. – 662 p.
24. O1)1&% V. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985.
25. Anh V. V., Knopova V. P., Leonenko N. N. Continuous-time stochastic processes with cyclical long-
range dependence // Austral. and N. Z. J. Statist. – 2004. – 46, 6 2. – P. 275 – 296.
26. S%. O. S. Линейные статистические методы и их применения. – М.: Наука, 1968. – 548 с.
Одержано 18.02.10,
після доопрацювання — 23.06.11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166366 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:27:34Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Іванов, О.В. Савич, І.М. 2020-02-19T05:04:02Z 2020-02-19T05:04:02Z 2011 Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом / О.В. Іванов, І.М. Савич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 8. — С. 1030–1052. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166366 519.21 Доказано, что при некоторых условиях регулярности асимптотическое распределение оценки Коенкера – Бассета совпадает с асимптотическим распределением интеграла от порожденного случайным процессом индикаторного процесса, взвешенного градиентом функции регресcии. We prove that, under certain regularity conditions, the asymptotic distribution of the Koenker - Bassett estimator coincides with the asymptotic distribution of the integral of the indicator process generated by a random noise weighted by the gradient of the regression function. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом On the asymptotic distribution of the Koenker-Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise Article published earlier |
| spellingShingle | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом Іванов, О.В. Савич, І.М. Статті |
| title | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом |
| title_alt | On the asymptotic distribution of the Koenker-Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise |
| title_full | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом |
| title_fullStr | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом |
| title_full_unstemmed | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом |
| title_short | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом |
| title_sort | про асимптотичний розподіл оцінки коенкера - бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166366 |
| work_keys_str_mv | AT ívanovov proasimptotičniirozpodílocínkikoenkerabassetaparametranelíníinoímodelíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT savičím proasimptotičniirozpodílocínkikoenkerabassetaparametranelíníinoímodelíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT ívanovov ontheasymptoticdistributionofthekoenkerbassettestimatorforaparameterofthenonlinearmodelofregressionwithstronglydependentnoise AT savičím ontheasymptoticdistributionofthekoenkerbassettestimatorforaparameterofthenonlinearmodelofregressionwithstronglydependentnoise |