Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения
Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi- нюють Lp-норми (1≤p<∞) дробових похiдних через Lp-норми функцiй (або Lp-норми їхнiх зрiзаних похiдних) та їхнi Lp-модулi неперервностi, та при p=1 встановлено їхню точнiсть. Наведено застосування о...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166369 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения / В.Ф. Бабенко, М.С. Чурилова, // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1155-1168. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166369 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1663692025-02-10T01:50:57Z Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications Бабенко, В.Ф. Чурилова, М.С. Статті Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi- нюють Lp-норми (1≤p<∞) дробових похiдних через Lp-норми функцiй (або Lp-норми їхнiх зрiзаних похiдних) та їхнi Lp-модулi неперервностi, та при p=1 встановлено їхню точнiсть. Наведено застосування одержаних нерiвностей. For functions defined on the entire real axis or a semiaxis, we obtain Kolmogorov-type inequalities that estimate the Lp -norms (1 ≤ p < ∞) of fractional derivatives in terms of the Lp -norms of functions (or the Lp -norms of their truncated derivatives) and their Lp -moduli of continuity and establish their sharpness for p = 1: Applications of the obtained inequalities are given. 2011 Article Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения / В.Ф. Бабенко, М.С. Чурилова, // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1155-1168. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166369 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бабенко, В.Ф. Чурилова, М.С. Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения Український математичний журнал |
| description |
Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi- нюють Lp-норми (1≤p<∞) дробових похiдних через Lp-норми функцiй (або Lp-норми їхнiх зрiзаних похiдних) та їхнi Lp-модулi неперервностi, та при p=1 встановлено їхню точнiсть. Наведено застосування одержаних нерiвностей. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.Ф. Чурилова, М.С. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Чурилова, М.С. |
| author_sort |
Бабенко, В.Ф. |
| title |
Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения |
| title_short |
Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения |
| title_full |
Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения |
| title_fullStr |
Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения |
| title_full_unstemmed |
Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения |
| title_sort |
оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166369 |
| citation_txt |
Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения / В.Ф. Бабенко, М.С. Чурилова, // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1155-1168. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf ocenkinormdrobnyhproizvodnyhčerezintegralʹnyemodulinepreryvnostiiihpriloženiâ AT čurilovams ocenkinormdrobnyhproizvodnyhčerezintegralʹnyemodulinepreryvnostiiihpriloženiâ AT babenkovf estimatesforthenormsoffractionalderivativesintermsofintegralmoduliofcontinuityandtheirapplications AT čurilovams estimatesforthenormsoffractionalderivativesintermsofintegralmoduliofcontinuityandtheirapplications |
| first_indexed |
2025-12-02T14:22:45Z |
| last_indexed |
2025-12-02T14:22:45Z |
| _version_ |
1850406721415020544 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, М. С. Чурилова (Днепропетр. нац. ун-т)
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
For functions defined on the real line or a half-line, we obtain Kolmogorov-type inequalities that estimate the
Lp-norms (1 ≤ p < ∞) of fractional derivatives in terms of the Lp-norms of functions (or the Lp-norms
of their truncated derivatives) and their Lp-moduli of continuity and establish their sharpness for p = 1.
Applications of the obtained inequalities are given.
Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi-
нюють Lp-норми (1 ≤ p < ∞) дробових похiдних через Lp-норми функцiй (або Lp-норми їхнiх
зрiзаних похiдних) та їхнi Lp-модулi неперервностi, та при p = 1 встановлено їхню точнiсть. Наведено
застосування одержаних нерiвностей.
1. Введение. В настоящей статье будем рассматривать три взаимосвязанные задачи:
задачу о точных неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функ-
ций, заданных на всей числовой оси или полуоси, задачу о наилучшем приближе-
нии неограниченного оператора дробного дифференцирования линейными ограни-
ченными операторами, а также задачу об оптимальном восстановлении оператора
дробного дифференцирования на классе функций, заданных с известной погреш-
ностью. С результатами решения этих задач для операторов дифференцирования
целых порядков можно ознакомиться, например, в обзорах [1 – 3] и монографии
[4], где имеются также дальнейшие ссылки. По поводу известных случаев реше-
ния этих задач для операторов дробного дифференцирования см. [5 – 13]. Данная
работа является продолжением исследований, начатых авторами в работах [6, 8].
Опишем кратко структуру статьи. В п. 2 приведены пространства и произ-
водные, используемые в статье, а также общая постановка задачи аппроксимации
неограниченного оператора линейными ограниченными и задачи оптимального
восстановления операторов на классе функций, заданных с погрешностью.
В п. 3 изложено точное решение первой задачи в случае приближения операто-
ров дробного дифференцирования Dα
±, 0 < α < 1, в форме Маршо (см. [14, с. 95]).
В процессе решения этой задачи получены неравенства, оценивающие Lp-норму
дробных производных через Lp- и Hω
p -нормы самих функций, при p = 1 уста-
новлена точность полученных неравенств. Из доказанных неравенств выведено
следствие об оценке модуля непрерывности оператора дробного дифференцирова-
ния по Маршо и получено решение задачи оптимального восстановления операто-
ров дробного дифференцирования на классе функций, заданных с погрешностью.
В п. 4 установлены неравенства, оценивающие Lp-норму дробной производной
через Lp-норму усеченной дробной производной и Hω
p -норму функции, и доказана
их точность при p = 1.
2. Необходимые определения и обозначения. Постановки задач. Пусть G
есть R или R+. Через Lp (G) , 1 ≤ p ≤ ∞, обозначим пространство измеримых
функций x : G→ R с конечной нормой
c© В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1155
1156 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
‖x‖p = ‖x‖Lp(G) :=
(∫
G
|x(u)|p du
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
ess sup
u∈G
|x(u)|, p =∞,
а через C (G) — пространство непрерывных ограниченных функций x : G → R с
нормой
‖x‖C = ‖x‖C(G) := sup
u∈G
|x(u)|.
Пусть ω(t) — некоторый модуль непрерывности, т. е. неубывающая на R+,
непрерывная и полуаддитивная функция, в нуле равная нулю. Через Hω (G) будем
обозначать множество функций x ∈ C (G) таких, что
‖x‖Hω(G) := sup
t∈G
t 6=0
‖x(·)− x(·+ t)‖C(G)
ω (|t|)
<∞,
а через Hω
p (G) , 1 ≤ p <∞, — множество функций x ∈ Lp (G) , для которых
‖x‖Hωp (G) := sup
t∈G
t6=0
‖x(·)− x(·+ t)‖Lp(G)
ω (|t|)
<∞.
Если ω(t) = tβ , 0 < β ≤ 1, то вместо Hω
p (G) будем писать Hβ
p (G).
Если X есть Hω (G) или Hω
p (G) , то через UX обозначим единичный шар
пространства X, т. е. множество функций x ∈ X таких, что ‖x‖X ≤ 1.
Производные Dα
±x, 0 < α < 1, в смысле Маршо для функций x : G → R
определяются следующим образом:
(Dα
±x)(u) := Aα
∞∫
0
x(u)− x(u∓ t)
t1+α
dt,
где Aα =
α
Γ(1− α)
(в случае G = R+ данной формулой определяется только
правосторонняя производная Dα
−x).
Усеченные дробные производные Маршо определяются так [14]:
(Dα
±,hx)(u) := Aα
∞∫
h
x(u)− x(u∓ t)
t1+α
dt, h > 0.
Рассматриваемая нами задача о неравенствах типа Колмогорова состоит в оцен-
ке
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
через ‖x‖Lp(G) и ‖x‖Hωp (G) , или, что эквивалентно, в решении
следующей экстремальной задачи на классе UHω
p (G):∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
→ sup, ‖x‖Lp(G) ≤ δ, δ > 0.
Общая постановка задачи наилучшего приближения неограниченного операто-
ра линейными ограниченными операторами (см. [15], а также, например, [1; 2; 4,
с. 391]) состоит в следующем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1157
Пусть X, Y — банаховы пространства; A : X → Y — некоторый оператор (не
обязательно линейный) с областью определения D(A) ⊂ X; L (N) = L (N ;X,Y )
— множество линейных ограниченных операторов T, которые действуют из X в
Y и нормы которых ‖T‖ = ‖T‖X→Y не превышают числа N > 0; Q ⊂ D (A) —
некоторый класс элементов. Величина
U (T ) = sup {‖Ax− Tx‖Y : x ∈ Q}
называется уклонением оператора T ∈ L (N) от оператора A на классе Q, а вели-
чина
E (N) = E (N ;A,Q) := inf {U (T ) : T ∈ L (N)} (1)
— наилучшим приближением оператора A множеством ограниченных операторов
L (N) на классе Q.
Задача состоит в вычислении (исследовании) величины E (N) и отыскании
(исследовании вопросов существования, единственности, характеризации) экстре-
мального оператора, т. е. оператора, реализующего нижнюю грань в правой час-
ти (1).
Для пространств X и Y, оператора A и класса Q функцию
Ω (δ) = Ω (δ,Q) = sup {‖Ax‖Y : x ∈ Q, ‖x‖X ≤ δ} (2)
переменной δ называют модулем непрерывности оператора A на классе Q. Задача
вычисления модуля непрерывности Ω (δ) является (см., например, [4]) абстрактной
версией задачи о точном неравенстве типа Колмогорова.
Пусть, далее,
∆ (N) = ∆ (N,Q) = sup {‖Ax‖Y −N ‖x‖X : x ∈ Q} = sup {Ω (δ)−Nδ : δ > 0} ,
l (δ) = inf {E (N) +Nδ : N ≥ 0} .
Следующая теорема С. Б. Стечкина дает простую, но часто используемую и эф-
фективную оценку снизу величины наилучшего приближения оператора через его
модуль непрерывности и, таким образом, устанавливает связь задачи наилучшего
приближения неограниченных операторов с задачей о точных неравенствах типа
Колмогорова.
Теорема 1 [15] (см. также [1, 2] и [4, с. 392] (теорема 7.1.1)). Если A — одно-
родный (в частности, линейный) оператор, Q — центрально-симметричное вы-
пуклое множество из области определения оператора A, то выполняются нера-
венства
E (N) ≥ ∆ (N) , N ≥ 0,
Ω (δ) ≤ l (δ) , δ ≥ 0.
Если при этом существуют элемент x ∈ Q и линейный ограниченный оператор
T такие, что
‖Ax‖Y = U (T ) + ‖T‖ ‖x‖X , (3)
то справедливы равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1158 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
ω (‖x‖X) = ‖Ax‖Y , E (‖T‖) = U (T ) = ‖Ax‖Y − ‖T‖ ‖x‖X ,
и, значит, оператор T является экстремальным в задаче (1) при N = ‖T‖ , а
элемент x — в задаче (2) при δ = ‖x‖X .
Многие задачи вычислительной математики, теории функций и других разделов
математики являются некорректными задачами восстановления значений оператора
A на элементах класса Q ⊂ D (A) в предположении, что элементы класса Q
заданы с известной погрешностью. Восстановление осуществляется с помощью
некоторого множестваR операторов (однозначных отображений), действующих из
пространства X в пространство Y. При этом в качестве R, как правило, берется
одно из следующих множеств:
O = O (X,Y ) — множество всех отображений пространства X в пространст-
во Y ;
L = L (X,Y ) — множество линейных операторов, действующих из X в Y ;
B = B (X,Y ) — множество всех линейных ограниченных операторов из X в Y ;
L (N) = L (N ;X,Y ) — множество операторов из B, норма которых не превы-
шает N.
Для числа δ ≥ 0 и оператора T ∈ R положим
Uδ (T ) := sup {‖Ax− Tη‖Y : x ∈ Q, η ∈ X, ‖x− η‖X ≤ δ} .
Тогда
Eδ (R) = Eδ (R;A,Q) = inf {Uδ (T ) : T ∈ R} (4)
есть величина наилучшего восстановления оператора A с помощью множества
отображений (методов восстановления) R на элементах класса Q, заданных с по-
грешностью δ.
Связь задачи (4) с неравенствами типа Колмогорова, с одной стороны, и задачей
приближения неограниченных операторов ограниченными, с другой, устанавливает
следующая теорема.
Теорема 2 [1, 2], [4, с. 403] (теорема 7.1.4). Если Ω (δ) — выпуклая вверх на
[0,∞] функция и для любого N > 0
E(N) = sup
δ>0
{Ω(δ)−Nδ},
то для любого δ > 0
Eδ (O) = Eδ (L) = Ω (δ) ,
причем экстремальные операторы в задаче (1) и задаче восстановления оператора
при δ > 0, если N является субдифференциалом (производной) Ω при этом фикси-
рованном δ, совпадают.
3. Решение задач о наилучшем приближении и оптимальном восстановле-
нии операторов дробного дифференцирования. Пусть α ∈ (0; 1), G = R или
G = R+, ω(t) — некоторый модуль непрерывности, такой, что
1∫
0
ω (t)
t1+α
dt <∞. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1159
Для операторов дробного дифференцирования Dα
± : Lp (G) → Lp (G) , 1 ≤ p < ∞
(при G = R+ только для Dα
−), будем рассматривать задачу наилучшего приближе-
ния этих операторов множеством линейных ограниченных операторов T : Lp (G)→
→ Lp (G) , для которых ‖T‖ ≤ N, N > 0, на классе UHω
p (G) .
С этой целью оценим уклонение оператора дробного дифференцирования Dα
−
от оператора взятия усеченной дробной производнойDα
−,h и покажем, что оператор
Dα
−,h и будет экстремальным в нашей задаче для пространства L1 (G) (рассуждения
в случае оператора Dα
+ аналогичны).
Прежде всего покажем, что линейный оператор Dα
−,h является ограниченным.
Используя обобщенное неравенство Минковского, получаем
∥∥Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
= Aα
∥∥∥∥∥∥
∞∫
h
x(·)− x(·+ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα
∞∫
h
‖x(·)− x(·+ t)‖Lp(G)
t1+α
dt ≤ Aα
∞∫
h
2 ‖x‖Lp(G)
t1+α
dt =
2Aα
αhα
‖x‖Lp(G) .
Cледовательно, ∥∥Dα
−,h
∥∥ = sup
‖x‖Lp(G)≤1
∥∥Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
≤ 2Aα
αhα
.
Полагая
h = hN =
(
2Aα
αN
)1/α
=
(
2
NΓ(1− α)
)1/α
,
видим, что оператор Dα
−,hN принадлежит множеству приближающих операторов
(операторов, нормы которых не превышают N ).
Снова используя обобщенное неравенство Минковского и принадлежность функ-
ции x множеству UHω
p (G) , получаем следующую оценку уклонения:
U
(
Dα
−,h
)
= sup
x∈UHωp (G)
∥∥Dα
−x−Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
=
= Aα sup
x∈UHωp (G)
∥∥∥∥∥∥
h∫
0
x(·)− x(·+ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα sup
x∈UHωp (G)
h∫
0
‖x(·)− x(·+ t)‖Lp(G)
t1+α
dt ≤
≤ Aα sup
x∈UHωp (G)
‖x‖Hωp (G)
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt = Aα
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt.
Сопоставляя полученные оценки, приходим к аддитивному неравенству, которое
выполняется для произвольной функции x ∈ Hω
p (G) и произвольного h > 0:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1160 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА∥∥Dα
−x
∥∥
Lp(G)
≤
∥∥Dα
−x−Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
+
∥∥Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα ‖x‖Hωp (G)
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
2Aα
αhα
‖x‖Lp(G) . (6)
В случае G = R неравенство (6) было получено авторами в [8], причем при p = 1
доказана его точность; экстремальная функция для любого h > 0 имеет вид
xh(u) =
1
2
ω′ (u) , u ∈ (0, h),
0, u /∈ (0, h),
(7)
где ω(·) — локально абсолютно непрерывная функция на полуоси [0,∞). Заметим,
что в случае G = R+ при p = 1 неравенство (6) также является точным в том
смысле, что ни одну из констант в правой части (при фиксированной другой)
нельзя уменьшить, поскольку тогда для достаточно большого δ > 0 функция
xh,δ(u) =
1
2
ω′ (u− δ) , u ∈ (δ, h+ δ),
0, u ∈ R+ \ (δ, h+ δ),
(8)
будет удовлетворять неравенству противоположного смысла: ее нормы, содержа-
щиеся в правой части неравенства, равны соответственно
‖xh,δ‖Hω1 (R+) = 1, ‖xh,δ‖L1(R+) =
ω(h)
2
(т. е. совпадают с такими же нормами экстремали на оси), а L1-норма дробной
производной, стоящей слева, стремится к норме дробной производной экстремали
на оси при δ → ∞. Все нормы вычисляются непосредственно; пример такого
вычисления будет дан ниже, в доказательстве точности неравенства для усеченной
производной.
При ω(t) = tβ , 0 < α < β ≤ 1, для произвольной функции x ∈ Hβ
p (G)
неравенство записывается в мультипликативной форме
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
≤ Aα21−α/β
α(1− α/β)
‖x‖1−α/βLp(G) ‖x‖
α/β
Hβp (G)
и при G = R и p = 1 является точным с экстремальной функцией вида (7),
построенной по ω(t) = tβ . При G = R+ и p = 1 точность неравенства получается
с помощью функций (8) при ω(t) = tβ .
Полученное аддитивное неравенство (6) эквивалентно неравенству
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
≤ Aα
∞∫
0
min{2 ‖x‖Lp(G) , ‖x‖Hωp (G) ω(t)}
t1+α
dt (9)
(при G = R+ только для Dα
−).
Учитывая сделанное замечание, получаем следующую оценку для модуля непрерыв-
ности оператора дробного дифференцирования.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1161
Теорема 3. Пусть G = R или G = R+, 1 ≤ p < ∞, модуль непрерывности
ω(t) и число α ∈ (0, 1) таковы, что выполнено условие (5). Тогда для модулей
непрерывности операторов Dα
± (при G = R+ только оператора Dα
−) на классе
UHω
p (G) при любом δ > 0 справедлива оценка
Ω
(
δ, UHω
p (G)
)
≤ Aα
∞∫
0
min{2δ, ω(t)}
t1+α
dt.
В случае, когда p = 1 и модуль непрерывности ω(t) является локально абсолютно
непрерывной функцией,
Ω (δ, UHω
1 (G)) = Aα
∞∫
0
min{2δ, ω(t)}
t1+α
dt.
В частности, если 0 < α < β ≤ 1, то
Ω
(
δ, UHβ
1 (G)
)
=
Aα21−α/β
α(1− α/β)
δ1−α/β .
Продолжим решение задачи о наилучшем приближении оператора дробного
дифференцирования. При найденном hN для функций с единичной нормой
‖x‖Hωp (G) = 1 полученное аддитивное неравенство можно дополнить промежу-
точным звеном:∥∥Dα
−x
∥∥
Lp(G)
≤
∥∥Dα
−x−Dα
−,hNx
∥∥
Lp(G)
+
∥∥Dα
−,hNx
∥∥
Lp(G)
≤
≤ U
(
Dα
−,hN
)
+N ‖x‖Lp(G) ≤ Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
2Aα
αhαN
‖x‖Lp(G) .
Поскольку неравенство (6) точное при G = R и p = 1, для экстремальной функции
xhN имеет место равенство∥∥Dα
−xhN
∥∥
L1(R)
= U
(
Dα
−,hN
)
+
∥∥Dα
−,hN
∥∥ ‖xhN ‖L1(R) .
Тогда по теореме 1
E (N) = E
(∥∥Dα
−,hN
∥∥) = U
(
Dα
−,hN
)
=
α
Γ(1− α)
( 2
NΓ(1−α) )
1/α∫
0
ω(t)
t1+α
dt,
и оператор Dα
−,hN является оператором наилучшего приближения при найден-
ном hN .
В случае полуоси G = R+ и p = 1 мы не можем указать экстремальную функ-
цию типа (7) и для вычисления величины наилучшего приближения поступим
иначе.
Из оценки уклонения оператора Dα
−,hN от Dα
−, полученной при выводе нера-
венства (6), следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1162 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
E (N) ≤ U
(
Dα
−,hN
)
≤ Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt.
Оценим величину E (N) снизу. Из теорем 1 и 3 при условии строгого неограни-
ченного возрастания модуля непрерывности ω(t) получаем
E(N) ≥ sup
δ>0
{Ω(δ)−Nδ} = sup
δ>0
Aα
∞∫
0
min{2δ, ω(t)}
t1+α
dt−Nδ
=
= sup
δ>0
Aα
ω−1(2δ)∫
0
ω(t)
t1+α
dt+Aα
∞∫
ω−1(2δ)
2δ
t1+α
dt−Nδ
.
Отсюда, выбирая δ = δN =
1
2
ω(hN ) и учитывая соотношение N =
2Aα
αhαN
, имеем
E(N) ≥ Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt+Aα · 2δN
∞∫
hN
dt
t1+α
−NδN =
= Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
2Aα
αhαN
δN −NδN = Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt.
Следовательно,
E(N) ≥ Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4. Пусть G = R или G = R+, ω(t) — некоторый неограниченно
строго возрастающий модуль непрерывности, α ∈ (0; 1) такое, что выполняется
условие (5). Тогда для наилучшего приближения E (N) операторов Dα
± (при G =
= R+ только Dα
−) на классе UHω
1 (G) справедливо равенство
E (N) =
α
Γ(1− α)
( 2
NΓ(1−α) )
1/α∫
0
ω(t)
t1+α
dt,
причем операторами наилучшего приближения являются операторы Dα
±,hN при
hN =
(
2
NΓ(1− α)
)1/α
=
(
2Aα
αN
)1/α
.
Следствие 1. Пусть G = R или G = R+, 0 < α < β ≤ 1. Для наилучшего
приближенияE (N) операторов дробного дифференцированияDα
± в форме Маршо
(при G = R+ только Dα
−) на классе UHβ
1 (G) справедливо равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1163
E (N) =
(
2
N
) β
α−1 α
(β − α) Γ
β
α (1− α)
,
причем операторами наилучшего приближения являются определенные в теоре-
ме 4 операторы Dα
±,hN .
Кроме того, с помощью теорем 2 и 3 получаем решение задачи оптимального
восстановления операторов дробного дифференцирования Dα
± в форме Маршо на
классах UHω
1 (G) и UHβ
1 (G) функций, заданных с погрешностью δ, т. е. имеет
место следующая теорема.
Теорема 5. В условиях теоремы 4 при любом δ > 0 справедливы следующие
равенства:
на классе UHω
1 (G)
Eδ (L) = Aα
∞∫
0
min{2δ, ω(t)}
t1+α
dt,
на классе UHβ
1 (G)
Eδ (L) =
Aα21−α/β
α(1− α/β)
δ1−α/β .
4. Неравенства с нормой усеченной производной. Рассмотрим теперь нера-
венства типа (6), в которых вместо интегральной нормы функции x используются
более индивидуальные, чем норма, характеристики функции. На целесообразность
получения неравенств типа Колмогорова с такими характеристиками обращал вни-
мание С. Б. Стечкин (см. [15]). В качестве таких характеристик мы используем
Lp-нормы усеченных производных.
Теорема 6. Пусть G = R или G = R+, модуль непрерывности ω(t) и число
α ∈ (0, 1) таковы, что выполнено условие (5). Тогда для любой функции x ∈ Hω
p (G),
1 ≤ p <∞, и любого h > 0 имеют место неравенства
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
≤
∥∥Dα
±,hx
∥∥
Lp(G)
+Aα ‖x‖Hωp (G)
h∫
0
ω (u)
u1+α
du
(при G = R+ только для Dα
−). В случае, когда p = 1 и модуль непрерывности
ω(t) является локально абсолютно непрерывной функцией, неравенства являются
точными.
Доказательство. Для любого h > 0 имеем (при G = R+ рассматривается
только правосторонняя производная Dα
−)
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
= Aα
∥∥∥∥∥∥
h∫
0
x(·)− x(· ∓ t)
t1+α
dt+
∞∫
h
x(·)− x(· ∓ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα
∥∥∥∥∥∥
h∫
0
x(·)− x(· ∓ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
+Aα
∥∥∥∥∥∥
∞∫
h
x(·)− x(· ∓ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1164 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
Второе слагаемое представляет собой Lp-норму усеченной производной. Применяя
к первому слагаемому обобщенное неравенство Минковского и учитывая принад-
лежность функции x множеству Hω
p (G), последовательно получаем
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
≤ Aα
∞∫
h
‖x(·)− x(· ∓ t)‖Lp(G)
t1+α
dt+
∥∥Dα
±,hx
∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα ‖x‖Hωp (G)
h∫
0
ω (u)
u1+α
du+
∥∥Dα
±,hx
∥∥
Lp(G)
,
и неравенство доказано.
Докажем сначала его точность в случае G = R для Dα
− (для Dα
+ рассуждения
аналогичны). Это неравенство обращается в равенство для функций (7). Действи-
тельно, найдем ‖xh‖Hω1 (R) . При t ∈ (0, h) имеем
‖xh(·)− xh(· − t)‖L1(R) =
=
1
2
(ω(t) + ω(h− t)− ω(h) + ω(t) + ω(h)− ω(h− t)) = ω(t),
при t > h
‖xh(·)− xh(· − t)‖L1(R) = ω(h).
Значит,
‖xh‖Hω1 (R) = 1.
Теперь найдем
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
. Имеем
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
= Aα
0∫
−∞
+
h∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
xh(u)− xh(u+ t)
t1+α
dt
∣∣∣∣∣∣ du.
Для u < 0
xh(u)− xh(u+ t) =
0, 0 ≤ t < −u,
−1
2
ω′(t+ u), −u < t < h− u,
0, t > h− u.
Если 0 < u < h, то
xh(u)− xh(u+ t) =
1
2
ω′(u)− 1
2
ω′(u+ t), 0 ≤ t < h− u,
1
2
ω′(u), t > h− u.
Таким образом,
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
=
1
2
Aα 0∫
−∞
h−u∫
−u
ω′(t+ u)
t1+α
dt du+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1165
+Aα
h∫
0
h−u∫
0
ω′(u)− ω′(t+ u)
t1+α
dtdu+Aα
h∫
0
ω′(u)
∞∫
h−u
1
t1+α
dt du
=
=
1
2
Aα(I1 + I2 + I3).
Вычислим I1:
I1 =
0∫
−∞
h−u∫
−u
ω′(t+ u)
t1+α
dtdu =
∞∫
0
h+u∫
u
ω′(t− u)
t1+α
dtdu =
=
h∫
0
dt
t1+α
t∫
0
ω′(t− u)du+
∞∫
h
dt
t1+α
t∫
t−h
ω′(t− u)du =
=
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+ ω(h)
∞∫
h
dt
t1+α
=
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
ω(h)
αhα
.
Теперь вычислим I2:
I2 =
h∫
0
h−u∫
0
ω′(u)− ω′(t+ u)
t1+α
dtdu =
h∫
0
h−t∫
0
ω′(u)− ω′(t+ u)
t1+α
dudt =
=
h∫
0
ω(h− t)− ω(h) + ω(t)
t1+α
dt.
Наконец, найдем I3:
I3 =
h∫
0
ω′(u)
∞∫
h−u
1
t1+α
dtdu =
h∫
0
dt
t1+α
h∫
h−t
ω′(u)du+
∞∫
h
dt
t1+α
h∫
0
ω′(u)du =
=
h∫
0
ω(h)− ω(h− t)
t1+α
dt+ ω(h)
∞∫
h
dt
t1+α
=
h∫
0
ω(h)− ω(h− t)
t1+α
dt+
ω(h)
αhα
.
Таким образом,
I1 + I2 + I3 = 2
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
ω(h)
αhα
.
Следовательно,
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
= Aα
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
ω(h)
αhα
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1166 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
Теперь найдем
∥∥∥Dα
−,hxh
∥∥∥
L1(R)
. Имеем
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R)
= Aα
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
h
xh(u)− xh(u+ t)
t1+α
dt
∣∣∣∣∣∣ du.
Поскольку t > h, то
xh(u)− xh(u+ t) =
−1
2
ω′(t+ u), −t < u < h− t,
1
2
ω′(u), 0 < u < h,
0, u 6∈ (−t, h− t) ∪ (0, h),
т. е. при u < −h
xh(u)− xh(u+ t) =
−
1
2
ω′(t+ u), −u < t < h− u,
0, t 6∈ (−u, h− u),
при −h < u < 0
xh(u)− xh(u+ t) =
−
1
2
ω′(t+ u), h < t < h− u,
0, t 6∈ (h, h− u),
при 0 < u < h
xh(u)− xh(u+ t) =
1
2
ω′(u), h < t <∞,
0, t < h.
Таким образом,
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R)
=
1
2
Aα −h∫
−∞
h−u∫
−u
ω′(t+ u)
t1+α
dt du+
+Aα
0∫
−h
h−u∫
h
ω′(t+ u)
t1+α
dtdu+Aα
h∫
0
ω′(u)
∞∫
h
1
t1+α
dt du
.
Изменяя порядок интегрирования, получаем
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R)
=
1
2
Aα ∞∫
h
dt
t1+α
h−t∫
−t
ω′(t+ u)du+
∞∫
h
dt
t1+α
h∫
0
ω′(u)du
=
= Aαω(h)
∞∫
h
dt
t1+α
= Aα
ω(h)
αhα
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1167
Используя значения
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
и ‖xh‖Hω1 (R) , имеем
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
= Aα
h∫
0
ω(u)
u1+α
du+
ω(h)
αhα
=
=
∥∥Dα
±,hxh
∥∥
L1(R)
+Aα ‖xh‖Hω1 (R)
h∫
0
ω (u)
u1+α
du.
Точность неравенства при p = 1 для G = R доказана.
Докажем теперь точность неравенства для G = R+.
Для сужения xh на полуось R+, за которым сохраним обозначение xh, имеем
‖xh‖Hω1 (R+) =
1
2
и
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R+)
= Aα
h∫
0
∞∫
h
xh(u)− xh(u+ t)
t1+α
dt du =
=
Aα
2
h∫
0
ω′(u)du
∞∫
h
dt
t1+α
=
Aα
2
ω(h)
αhα
.
Вычисляя
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R+)
, получаем
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R+)
=
Aα
2
h∫
0
ω (u)
u1+α
du+
ω(h)
αhα
=
=
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R+)
+Aα ‖xh‖Hω1 (R+)
h∫
0
ω (u)
u1+α
du.
Точность неравенства при p = 1 доказана.
Отметим, что
∥∥Dα
±,hx
∥∥
Lp(G)
≤ Aα
∞∫
h
‖x(u)− x(u∓ t)‖Lp(G)
t1+α
dt ≤
≤ Aα
∞∫
h
2 ‖x‖Lp(G)
t1+α
dt = Aα
2 ‖x‖Lp(G)
αhα
.
Поэтому из доказанной теоремы вытекает неравенство (6), из которого, как уже
отмечалось, следует неравенство (9).
1. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстре-
мальные задачи // Успехи мат. наук. – 1996. – 51, № 6. – С. 88 – 124.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1168 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
2. Арестов В. В., Габушин В. Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограничен-
ными // Изв. вузов. Математика. – 1995. – № 11. – С. 42 – 63.
3. Бабенко В. Ф. Исследования днепропетровских математиков по неравенствам для производных
периодических функций и их приложениям // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 9 – 29.
4. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их
приложения. – Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
5. Arestov V. V. Inequalities for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Тheory. – 1979. – 4. –
P. 19 – 34.
6. Бабенко В. Ф., Чурiлова М. Г. Про нерiвностi типу Колмогорова для похiдних дробового порядку
// Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2001. – Вип. 6. – С. 16 – 20.
7. Babenko V. F., Churilova M. G. On the Kolmogorov type inequalities for fractional derivatives // East J.
Approxim. – 2002. – 8, № 4. – P. 437 – 446.
8. Бабенко В. Ф., Чурилова М. С. О неравенствах для Lp-норм дробных производных на оси // Вiсн.
Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2007. – Вип. 12. – С. 26 – 30.
9. Бабенко В. Ф., Чурiлова М. С. Про нерiвностi типу Колмогорова для дробових похiдних функцiй,
заданих на дiйснiй осi // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2008. – Вип. 13. – С. 28 – 34.
10. Гейсберг С. П. Обобщение неравенства Адамара. Исследования по некоторым вопросам конструк-
тивной теории функций // Сб. научн. трудов ЛОМИ. – 1965. – 50. – C. 42 – 54.
11. Magarill-Il’jaev G. G., Tikhomirov V. M. On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the
half-line // Anal. Math. – 1981. – 7. – P. 37 – 47.
12. Чурилова М. С. О неравенствах типа Ландау – Колмогорова для дробных производных на отрезке
// Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2005. – № 6, вип. 10. – С. 127 – 134.
13. Чурилова М. С. О неравенствах для дробных производных банаховозначных функций из гельде-
ровых пространств // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2006. – № 11, вип. 10. – С. 120 – 127.
14. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
15. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. – 1967. – 1, № 2. –
С. 137 – 148.
Получено 05.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|