Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии
Запропоновано варiант оператора Лапласа для функцiй на гiльбертовому просторi з мiрою. В термiнах вказаного оператора дослiджено задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона. We propose a version of the Laplace operator for functions on a Hilbert space with measure. In terms of this operator, we investigate...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166370 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии / Ю.В. Богданский // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1169-1178. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859611244572442624 |
|---|---|
| author | Богданский, Ю.В. |
| author_facet | Богданский, Ю.В. |
| citation_txt | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии / Ю.В. Богданский // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1169-1178. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Запропоновано варiант оператора Лапласа для функцiй на гiльбертовому просторi з мiрою. В термiнах вказаного оператора дослiджено задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона.
We propose a version of the Laplace operator for functions on a Hilbert space with measure. In terms of this operator, we investigate the Dirichlet problem for the Poisson equation.
|
| first_indexed | 2025-11-28T12:21:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98 + 517.954
Ю. В. Богданский (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ
НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В L2-ВЕРСИИ
We propose a version of the Laplace operator for functions on a Hilbert space with measure. In terms of this
operator, we investigate the Dirichlet problem for the Poisson equation.
Запропоновано варiант оператора Лапласа для функцiй на гiльбертовому просторi з мiрою. В термiнах
вказаного оператора дослiджено задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона.
Классический конечномерный лапласиан изначально появился в задачах математи-
ческой физики в виде
∆u = div(gradu). (1)
Отсутствие в бесконечномерных пространствах инвариантной меры и задание
классического лапласиана в виде (∆u)(x) = j(u′′(x)) (j(A) = trA; более общо
j(A) = trCA, C > 0) инициировало различные версии бесконечномерного обоб-
щения лапласиана для функций на гильбертовом пространстве H, основанные на
его представлении в виде (∆u)(x) = j(u′′(x)), где j — неотрицательный линейный
функционал, определенный на пространстве самосопряженных линейных ограни-
ченных операторов в H (или на некотором его подпространстве) (см., например,
работы [1 – 5]).
Начиная с 90-х годов прошлого века появилась серия работ, посвященных раз-
личным „существенно бесконечномерным” версиям лапласиана (см., например, ра-
боты [6 – 8]). Предлагаемая в настоящей работе версия обобщения оператора Лап-
ласа не исключает конечномерный случай, является вариантом обобщения естест-
венного его задания в форме (1) и, насколько известно автору, ранее не исследо-
валась.
В качестве применения предложенной в статье версии оператора Лапласа рас-
смотрена задача Дирихле. При этом для определенного класса замкнутых поверх-
ностей коразмерности 1 предложен альтернативный подход построения поверх-
ностной меры.
1. Лапласиан по мере в L2-версии. Пусть H — сепарабельное вещественное
гильбертово пространство (dimH 6 ∞); µ — конечная (неотрицательная) боре-
левская мера на H. Условимся говорить, что (вещественнозначная) функция f
(соответственно, векторное поле X), определенная на всем H, принадлежит классу
C1
b = C1
b (H) (соответственно, C1
b (H;H)), если f (соответственно, X) имеет в каж-
дой точке x ∈ H сильную производную, которая вместе с самой f (соответственно,
с X) непрерывна и ограничена на всемH; пусть также Cb = Cb(H) — пространство
непрерывных и ограниченных функций наH. По аналогии определяется Cb(H;H).
ПустьG— ограниченная область вH с границей S = ∂G. СимволомC1(G) обо-
значим семейство функций в G, допускающих продолжение на все H до функций
класса C1
b , а символом C1
0 (G) — семейство функций из C1(G), носители которых
лежат в G. Аналогично определяем C(G) и C0(G); C(G;H), C1(G;H).
Через L2(G) обозначим пространство интегрируемых с квадратом измеримых
функций на G по отношению к мере µ|G. Аналогично определяется гильберто-
c© Ю. В. БОГДАНСКИЙ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1169
1170 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
во пространство L2(G;H) квадратично интегрируемых векторных полей на G.
При этом норму в L2(G;H) задаем и обозначаем согласно формуле |||Z|||2 =
=
∫
G
‖Z(x)‖2dµ, а интегрируемость векторного поля трактуем по Бохнеру (см.,
например, [9]).
Предложение 1. Пусть G — область в H, для которой µ(∂G) = 0. Тогда
C1
0 (G) плотно в L2(G).
Доказательство. Достаточно показать, что для каждого α > 0 и любого бо-
релевского множества A ⊂ G \ (∂G)α (здесь и в дальнейшем Cα — α-окрестность
множества C) индикатор jA множества A аппроксимируется в L2(G) функциями
из C1
0 (G). При этом вследствие радоновости меры µ в качестве A можно взять
компакт.
Зафиксируем δ > 0. Тогда найдется β ∈
(
0;
α
2
)
такое, что µ(A2β \ A) < δ (A
замкнуто, а потому A =
∞⋂
n=1
A1/n). Отсюда следует существование множества B —
объединения конечного числа шаров радиуса β : B =
m⋃
k=1
Bk(xk;β), для которого
A ⊂ B ⊂ Bβ ⊂ A2β ⊂ G, и достаточно для каждого ε ∈
(
0;
β
2
)
уметь строить
функцию u ∈ C1
0 (G), для которой |u(x)− 1| < ε для x ∈ B; u(x) = 0 вне B2ε.
Для одного шара B(xk; ε) = {x | ‖x − xk‖ < ε} возьмем функцию vk(x) =
= h(‖x−xk‖), h ∈ C1(R), h(t) = 1 при t 6 ε, h(t) = 0 при t > 2ε, 0 6 h(t) 6 1 при
всех t ∈ R. Пусть f(~y) = max{y1, . . . , ym} — функция на Rm. Тогда f ∈ C(Rm);
f(~0) = 0. Пусть g ∈ C1(Rm) и при этом g(~0) = f(~0) = 0; |g(~y) − f(~y)| < ε для
каждого ~y ∈ {~y | 0 6 yk 6 1, k = 1, . . . ,m}. Тогда u(x) = g(v1(x), . . . , vm(x))
удовлетворяет требуемым условиям.
В дальнейшем всегда будем предполагать
µ(∂G) = 0. (2)
Для функций u ∈ C1(G) определено векторное поле gradu ∈ C(G;H), что
позволяет определить на L2(G) оператор grad : L2(G) → L2(G;H) с областью
определения C1(G).
Пусть граница S области G представляет собой гладкое вложенное в H под-
многообразие коразмерности 1 (см., например, [10]). Обозначим через n векторное
поле класса C1
b на H, которое является продолжением поля единичной внешней
нормали границы S.
Пусть Φn
t — поток векторного поля n; семейство мер µt определим равенством
µt(A) = µ(Φn
t A) для всех борелевских множеств A ∈ B(H). Семейство мер µt
слабо сходится к мере µ при t→ 0. В дальнейшем будем предполагать дифференци-
руемость меры µ вдоль поля n в следующем смысле: семейство знакопеременных
мер
1
t
(µt − µ) слабо фундаментально при t→ 0, т. е. для всех f ∈ Cb существует
limt→0
1
t
(∫
H
fdµt −
∫
H
fdµ
)
, что, в силу слабой полноты пространства боре-
левских мер на H, приводит к существованию (знакопеременной) борелевской
меры ϑ такой, что для всех f ∈ Cb limt→0
1
t
(∫
H
fdµt −
∫
H
fdµ
)
=
∫
H
fdϑ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ . . . 1171
ϑ = dnµ. При этом предполагается, что ϑ ≺ µ, т. е. существует логарифмическая
производная ρnµ =
dϑ
dµ
.
Существование такого векторного поля n постулируется и представляет собой
дополнительное условие на гладкость границы S. В дальнейшем кратко говорим о
„согласовании S с мерой µ” (соответствующее поле нормали n назовем „согласо-
ванным с мерой µ”). Далее, при дополнительных условиях на меру µ будет доказана
замыкаемость оператора grad (см. п. 3). Дополнительное условие (2), в силу пред-
ложения 1, позволяет корректно ввести оператор div = −(grad)∗ : L2(G;H) →
→ L2(G). Лапласиан определим формулой ∆ = div ◦grad.
2. Интегрирование по частям. Пусть G — ограниченная область в H с гладкой
границей S = ∂G, согласованной с мерой µ. Пусть также выполнено условие (2).
Предложение 2. Пусть u ∈ C1
b . Тогда имеет место равенство
d
dt
∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
udµ =
∫
G
(gradu(x),n(x))dµ+
∫
G
u · ρnµdµ. (3)
Доказательство. Пусть u ∈ C1
b . Тогда для t 6= 0 имеем:
1
t
∫
Φn
t G
udµ−
∫
G
udµ
=
1
t
∫
G
u(Φn
t x)dµt −
∫
G
udµ
=
=
1
t
∫
G
(u(Φn
t x)− u(x))dµt +
1
t
∫
G
udµt −
∫
G
udµ
. (4)
Докажем, что второе слагаемое в правой части равенства (4) стремится к
∫
G
udϑ
при t → 0. Действительно, из согласования границы S и меры µ следует спра-
ведливость для каждого борелевского множества A ∈ B(H) равенства ϑ(A) =
= limt→0
1
t
(µt(A)−µ(A)), а потому для функции v = u · jG (здесь jG — индикатор
G) имеем limt→0
1
t
(∫
H
vdµt −
∫
H
vdµ
)
=
∫
H
vdϑ.
Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части (4). При t → 0 функции
gt(x) =
1
t
(u(Φn
t x)−u(x))→ (gradu(x),n(x)) = g0(x); gt ·jG → g0 ·jG поточечно;
gt равномерно ограничены на H. Поскольку для каждого A ∈ B(H) µt(A) →
→ µ(A), t → 0, в силу теоремы 1.2.19 [11] имеет место равенство
∫
H
g0 · jGdµ =
= limt→0
∫
H
gt · jGdµt.
Таким образом, существует предел правой части равенства (4), равный∫
G
(gradu(x),n(x))dµ +
∫
G
u · ρnµdµ, откуда следует существование производной
d
dt
∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
udµ и равенство (3).
В случае, когда u является первым интегралом векторного поля n, формула (3)
упрощается и принимает вид
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
udµ =
∫
G
u · ρnµdµ. Отметим, что по-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1172 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
следняя формула, как следует из предыдущих рассуждений, остается в силе и в
случае, когда u является ограниченной непрерывной функцией в H, постоянной на
траекториях поля n.
Цель последующих рассуждений — построение на S поверхностной меры σ,
ассоциированной с исходной мерой µ, и получение варианта формулы интегриро-
вания по частям.
Лемма 1. Пусть S = ∂G согласована с мерой µ. Тогда существует n —
продолжение на H поля единичной внешней нормали S такое, что для любой
функции f ∈ C(S) (соответственно, f ∈ C1(S)) существует f̂ — продолжение
f на все H, для которого f̂ ∈ Cb (соотвественно, f̂ ∈ C1
b ) и f̂ постоянна на
траекториях поля n.
Доказательство. Векторное поле ищем в виде n(x) = ϕ(x)n1(x), где n1 —
векторное поле, существование которого гарантировано определением согласова-
ния S с мерой µ, а ϕ — гладкая функция на H. Более точно, если Φ(t, x) — поток
поля n1, то для y ∈ S задаем n(Φ(t, y)) = n1(Φ(t, y))h(t), где h(s) = 1 при
s ∈ [−δ; δ], h(s) = 0 вне (−2δ; 2δ) при некотором δ > 0. При этом продолжение f̂
формируется по формуле f̂(Φ(t, y)) = f(y)h
(
t
3
)
, y ∈ S, а для тех x ∈ H, которые
не представимы в виде x = Φ(t, y), y ∈ S, полагаем n(x) = 0, f̂(x) = 0. Заме-
тим, что путем уменьшения δ > 0 носитель векторного поля n можно поместить в
заранее заданную окрестность границы S.
Непрерывность и ограниченность функции f̂ очевидны, и единственную слож-
ность представляет обоснование ее непрерывной дифференцируемости и ограни-
ченности производной f̂ ′ в случае, когда f ∈ C1(S).
Гладкость потока Φ(t, x) по совокупности переменных следует, например, из
теоремы 1 [10, с. 90], а анализ доказательства той же теоремы приводит к выводу
о том, что частные производные потока Φ(t, x) по обеим переменным равномерно
ограничены на множестве {〈t;x〉} = [−t0; t0]×H.
Для x ∈ supp f̂ определим t(x) формулой Φ(t(x), x) ∈ S. Существование и
единственность такого t(x) следует из приведенной выше конструкции f̂ . В силу
теоремы о неявной функции t(·) является функцией класса C1 (при этом учи-
тывается тот факт, что S — вложенное в H гладкое многообразие). Стандартные
выкладки приводят к формуле
grad t(x) = −
(
∂Φ
∂x
(t(x), x)
)∗
n1(Φ(t(x), x)). (5)
Положим Ψ(x) = Φ(t(x), x). Тогда Ψ — отображение класса C1 и при этом
Ψ′(x) =
∂Φ
∂t
(t(x), x) · t′(x) +
∂Φ
∂x
(t(x), x) =
∂Φ
∂x
(t(x), x) + n1(Φ(t(x), x)) · t′(x).
В силу (5) получаем
Ψ′(x) =
(
I − n1(Φ(t(x), x))
(
n1(Φ(t(x), x))
)∗)∂Φ
∂x
(t(x), x).
Поэтому существует константаC, для которой при всех x ∈ supp f̂ имеем ‖Ψ′(x)‖ 6
6 C
∥∥∥∥∂Φ
∂x
(t(x), x)
∥∥∥∥.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ . . . 1173
Если g — функция из C1
b , ограничение которой на S и есть f, то f̂(x) = g(Ψ(x))
и, следовательно, f̂ ∈ C1
b наряду с g.
Замечание 1. Векторное поле n = ϕ · n1, полученное при доказательстве
леммы 1, также согласовано с мерой µ, и при этом ρnµ = ϕ · ρn1
µ + n1ϕ.
Действительно, если Φt — поток векторного поля n1, то согласованность поля
n1 с мерой µ эквивалентна равенству
∫
H
(f ◦ Φt − f)dµ = −
t∫
0
ds
∫
H
(f ◦ Φs) · ρn1
µ dµ, (6)
справедливому для всех f ∈ Cb. Подходящей аппроксимацией f ∈ Cb функци-
ями из класса C1
b доказывается, что равенство (6), а поэтому и определяющее
ρn1
µ равенство
d
dt
∣∣∣
t=0
∫
H
fdµt =
∫
H
f · ρn1
µ dµ, достаточно проверять лишь для
f ∈ C1
b . Для функций f ∈ C1
b
∫
H
f · ρn1
µ dµ = −
∫
H
n1fdµ, откуда в силу равен-
ства −
∫
H
nfdµ = −
∫
H
(n1(ϕf) − f · n1ϕ)dµ =
∫
H
(ϕ · ρn1
µ + n1ϕ)fdµ следует
согласование поля n с мерой µ.
Пусть векторное поле n выбрано в соответствии с леммой 1.
Для каждой ограниченной непрерывной функции f на S определим число
In(f) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
f̂dµ =
∫
G
f̂ρnµdµ. (7)
In — линейный функционал на пространстве C(S). Он неотрицателен в силу пер-
вого равенства в (7) и имеет свойство: из поточечной монотонной сходимости
fm ↘ 0 следует In(fm) ↘ 0, m → ∞, в силу второго равенства. Поэтому, как
следует из схемы Даниэля построения интеграла Лебега (см. [12, с. 150]), сущест-
вует и притом единственная мера σ на борелевской σ-алгебре в S, для которой
In(f) =
∫
S
fdσ для всех f ∈ C(S).
Однако функционал In и мера σ формально зависят от выбора поля нормали n.
Лемма 2. Пусть выполнено условие
µ(Sε) = O(ε), ε→ 0, (8)
где Sε — ε-окрестность поверхности S. Пусть n1, n2 — два векторных поля класса
C1
b на H, которые являются продолжениями поля единичной внешней нормали на
S. Пусть, далее, fk, k = 1, 2, — ограниченные непрерывные функции на H, посто-
янные на траекториях векторного поля nk, представляющие собой продолжение
заданной на S функции g. Тогда
In1
(g) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n1
t G
f1dµ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n2
t G
f2dµ = In2
(g). (9)
Доказательство. В [13] доказано, что в условиях леммы имеет место равен-
ство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1174 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
d
dt
∣∣∣
t=0
µ(Φn1
t G) =
d
dt
∣∣∣
t=0
µ(Φn2
t G).
Это следует из соотношения µ((Φn1
t G)∆(Φn2
t G)) = o(t) при t → 0, откуда также
следует равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n1
t G
f1dµ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n2
t G
f1dµ. (10)
Если функция g = f1|S = f2|S равномерно непрерывна на S, то supx∈Sε
|f1(x)−
− f2(x)| → 0 при ε→ 0, поэтому
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n2
t G
(f1 − f2)dµ = 0. (11)
Таким образом, в силу равенства (10) для равномерно непрерывных на S функций
g формула (9) установлена. Но этого достаточно для совпадения соответствующих
мер на S, поэтому равенство (9) имеет место для всех ограниченных непрерывных
функций g на S.
Тем самым на S корректно определена (конечная) поверхностная мера σ и для
непрерывных ограниченных на S функций имеет место равенство∫
S
gdσ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
ĝdµ =
∫
G
ĝρnµdµ. (12)
Из (11) также следует, что для равномерно непрерывных в окрестности S функций
u имеет место равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
udµ =
∫
S
udσ, (13)
а для функций класса C1
b , в силу предложения 2∫
S
udσ =
∫
G
(gradu(·),n(·))dµ+
∫
G
uρnµdµ. (14)
Итак, получен следующий результат.
Теорема 1. Пусть G — ограниченная область в H, граница которой S = ∂G
согласована с мерой µ и выполнено условие µ(Sε) = O(ε). Тогда на S существует
и притом единственная конечная борелевская мера σ, для которой имеют место
равенства (12) (здесь ĝ — продолжение g на H, построенное согласно лемме 1).
При этом для равномерно непрерывных в окрестности S функций u выполнено
равенство (13), а для функций класса C1
b имеет место формула (14).
Замечание 2. Классический конечномерный вариант формулы (14) в случае
инвариантной меры эквивалентен формуле Гаусса – Остроградского.
3. Исследование оператора grad. Напомним, что вектор a ∈ H называется
допустимым сдвигом меры µ, если µa ≺ µ, где µa(A) = µ{x − a | x ∈ A} (для
всех борелевских множеств A ∈ B(H)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ . . . 1175
Наложим на меру µ дополнительное условие (∗): пусть существуют a ∈ H,
a 6= 0, и δ > 0 такие, что для каждого s ∈ (0; δ) вектор sa является допустимым
сдвигом меры µ и при этом функции
dµsa
dµ
равномерно относительно s ∈ (0; δ)
ограничены (в существенном) на шарах в H, т. е. для каждого r > 0 существует
C > 0 такое, что при всех 〈s;x〉 ∈ (0; δ) × {x | ‖x‖ 6 r} выполнено неравенство∣∣∣∣dµsadµ
∣∣∣∣ 6 C почти всюду.
Предложение 3. Пусть мера µ удовлетворяет условию (∗). Тогда сущест-
вует C1 > 0 такое, что для всех u ∈ C1
0 (G) имеет место неравенство ‖u‖L2(G) 6
6 C1|||gradu|||L2(G;H).
Доказательство. Не теряя общности можно считать, что ‖a‖ = d, где d =
= diamG, δ = 1. Тогда для всех x ∈ G, u ∈ C1
0 (G) имеем u(x+a) = 0 (доопределяя
u вне G нулем), поэтому для x ∈ G −u2(x) = 2
∫ 1
0
u(x+ sa)(gradu(x+ sa), a)ds,
∫
H
u2dµ 6 2
∫
H
dµ
1∫
0
|u(x+ sa)| · |(gradu(x+ sa), a)|ds =
= 2
1∫
0
ds
∫
H
|u(x)| · |(gradu(x), a)|dµsa
dµ
(x)dµ 6
6 2Cd · ‖u‖L2(G) · |||gradu|||L2(G;H).
Отсюда ‖u‖L2(G) 6 2Cd|||gradu|||L2(G;H).
Пусть в дальнейшем мера µ удовлетворяет условиям:
1) для меры µ выполнено условие (∗);
2) существует полная в H система векторов, вдоль которых µ L2-дифференци-
руема (т. е. таких векторов h ∈ H, для которых dhµ ≺ µ и соответствующая
плотность ρhµ ∈ L2(H)).
Примером такой меры является гауссова мера, корреляционный оператор которой
имеет плотный образ вH [11]. Анализ выполнения условий 1, 2 для других классов
мер в бесконечномерном гильбертовом пространстве автором не проводился.
Относительно области G далее предполагается следующее:
3) ∂G согласована с мерой µ;
4) µ(Sε) = O(ε) при ε→ 0.
Предложение 4. Пусть, дополнительно, ρnµ|G ∈ L2(G). Тогда оператор
grad : L2(G)→ L2(G;H) (с областью определения C1(G)) замыкаем.
Доказательство. Пусть um ∈ C1(G), um → 0, gradum → Z 6= 0. Полагая
δ =
∫
G
‖Z(·)‖2dµ > 0, выбираем ε > 0 так, что
∫
G\Sε
‖Z(·)‖2dµ > δ
2
.
Пусть ϕ ∈ C1
0 (G) такова, что 0 6 ϕ(x) 6 1 и при этом ϕ(x) = 0 при x ∈ Sε/2,
ϕ(x) = 1 при x ∈ G \ Sε. Тогда ϕum → 0 (в L2(G)), gradϕum = ϕgradum +
+ um gradϕ → ϕZ. При этом |||ϕZ||| >
√
δ/2 > 0 и потому, не теряя общности,
можно считать, что um ∈ C1
0 (G), причем suppum ⊂ G \ Sε/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1176 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Но тогда, в силу (14), для любого согласованного с мерой µ поля нормали
n1 имеем 0 =
∫
S
umdσ =
∫
G
(gradum(·),n1(·))dµ +
∫
G
umρ
n1
µ dµ. Если при этом
ρn1
µ |G ∈ L2(G), то второе слагаемое стремится к 0 при m → ∞, а первое — к∫
G
(Z,n1)dµ. Согласно замечанию 1 в качестве поля n1 можно взять поле ϕ·h+ψ·n,
где ϕ,ψ ∈ C1
b , suppψ ⊂ Sδ, suppϕ ⊂ G\Sδ, δ > 0 и мера µ L2-дифференцируема
вдоль h. Тогда ρn1
µ |G ∈ L2(G) и при δ ∈ (0; ε/2) получим равенство
∫
G
(Z, ϕh)dµ =
= 0.
Поэтому в силу условий 2 – 4, наложенных на меру и область в данном пункте,
Z ортогонально в L2(G;H) всем возможным линейным комбинациям индикаторов
открытых подмножеств в G (с векторными коэффициентами), которые плотны в
L2(G;H). Получили противоречие с исходным допущением.
4. Оператор следа. Пусть u ∈ C1(G), ϕ ∈ C1
0 (G), ϕ(x) = 1 для x ∈ G \ Sε.
Тогда в силу предложения 3 ‖uϕ‖ 6 C1|||grad(uϕ)|||, причем константа C1 не
зависит от выбора ϕ.
Далее |||grad(uϕ)||| 6 ‖(u‖gradϕ‖)‖L2(G)+‖(ϕ‖gradu‖)‖L2(G). Второе сла-
гаемое в правой части последнего неравенства оценивается сверху |||gradu|||.
Выбирая специальным образом последовательность ϕm, можно для любого k > 1
обеспечить выполнение условий: для всех m ϕm(x) > 0, ϕm(x) = 1 при x ∈
∈ Φn
−1/mG, ‖gradϕm(x)‖ 6 km. Следовательно,∫
G
|u| · ‖gradϕm‖dµ 6 km
∫
G\Φn
−1/m
G
|u|dµ,
∫
G
|u · ϕm|dµ 6 C1
∫
G
ϕ‖gradu‖dµ+ km
∫
G\Φn
−1/m
G
|u|dµ
.
Предельным переходом, учитывая произвольность k > 1, получаем
‖u‖L1(G) 6 C1
(
|||gradu|||L1(G;H) + ‖u|S‖L1(S)
)
. (15)
Здесь |||Z|||L1(G;H) =
∫
G
‖Z(x)‖dµ.
Пусть, далее, ρnµ|G ∈ L∞(G), u ∈ C1(G). Тогда в силу (15) имеем
‖u|S‖L2(S) =
∫
S
u2dσ
1/2
6
6
∫
G
∣∣(grad (u2
)
,n
)∣∣ dµ
1/2
+
∫
G
|u2ρnµ|dµ
1/2
6
6 C‖u‖+ C̃|||gradu||| (16)
(константы C, C̃ от функции u ∈ C1(G) не зависят!).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ . . . 1177
Определение 1. Оператором следа γ : L2(G) → L2(S) с областью опреде-
ления D
(
grad
)
назовем продолжение оператора C1(G) 3 u 7→ u|S , корректное
в силу (16).
Неравенство (16) для u ∈ D
(
grad
)
переходит в следующее:
‖γ(u)‖ 6 C‖u‖+ C̃|||gradu|||, (17)
а при предельном переходе из (15) получаем
‖u‖L1(G) 6 C1
(
|||gradu|||L1(G;H) + ‖γ(u)‖L1(S)
)
. (18)
5. Задача Дирихле. Как и в п. 1, определим операторы
div = −(grad)∗ : L2(G;H)→ L2(G), ∆ = div ◦grad
и поставим первую краевую задачу поиска функции u ∈ D(∆), для которой
∆u = f, f ∈ L2(G), (19)
γ(u) = g, g ∈ γ(D(∆)). (20)
Задачу (19), (20) можно свести к задаче (19) – (21) с условием
γ(u) = 0 (21)
(берем любое v ∈ D(∆), для которого g = γ(v), и переходим к u1 = u− v).
Уравнение (19), вследствие плотности C1
0 (G) в L2(G) (см. предложение 1),
эквивалентно равенству
∫
G
(
gradu,gradϕ
)
dµ = −
∫
G
fϕdµ, которое должно вы-
полняться для всех ϕ ∈ C1
0 (G). Обозначим через W замыкание
{
gradϕ | ϕ ∈
∈ C1
0 (G)
}
в L2(G;H). Очевидно, W ⊂ Im
(
grad
)
.
В условиях предложения 3 функционал α : gradϕ 7→ −
∫
G
fϕdµ ограничен на
плотном в W линейном многообразии
{
gradϕ | ϕ ∈ C1
0 (G)
}
. Поэтому по теореме
Рисса существует Z ∈W такое, что α(gradϕ) =
∫
G
(Z,gradϕ)dµ.
Если последовательность ϕm ∈ C1
0 (G) такова, что gradϕm → Z, то в силу
предложения 3 существует limϕm = u. Значит Z = gradu, а в силу неравен-
ства (17) γ(u) = limϕm|S = 0.
Для проверки единственности решения задачи (19), (20) заметим, что уравне-
ние ∆u = 0 равносильно уравнению gradu = 0. Если, дополнительно, γ(u) = 0,
то существует последовательность um ∈ C1(G) такая, что um → u в L2(G),
gradum → gradu в L2(G;H), um|S → 0 в L2(S).Отсюда следует сходимость ука-
занных последовательностей в соответствующих пространствах L1(G), L1(G;H),
L1(S), и в силу неравенства (18) приходим к нулевому решению.
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1 – 4 из п. 3 и ρnµ|G ∈ L∞(G). Тогда
задача Дирихле (19), (20) имеет и притом единственное решение.
Замечание 3. Можно доказать, что условие (8) в формулировке леммы 2 и в
последующем тексте излишне и его можно заменить более слабым условием (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1178 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
1. Gross L. Potential theory on Hilbert space // J. Funct. Anal. – 1967. – 1. – P. 123 – 181.
2. Далецкий Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические
уравнения // Успехи мат. наук. – 1967. – 22, № 4. – С. 3 – 54.
3. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. – М.: Наука, 1967. – 512 с.
4. Немировский А. С., Шилов Г. Е. Об аксиоматическом описании оператора Лапласа для функций
на гильбертовом пространстве // Функцион. анализ и его прил. – 1969. – 3, № 3. – С. 79 – 85.
5. Богданский Ю. В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными
эллиптическими операторами // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 781 – 784.
6. Accardi L., Smolianov O. G. On Laplacians and traces // Conf. Sem. Univ. Bari. – 1993. – 250. – P. 1 – 25.
7. Accardi L., Barhoumi A., Ouerdiane H. A quantum approach to Laplace operators // Infin. Dimens. Anal.
Quantum Probab. Relat. Top. – 2006. – 9. – P. 215 – 248.
8. Accardi L., Ji U. C., Saito K. Exotic Laplacians and associated stohastic processes // Infin. Dimens.
Anal. Quantum Probab. Relat. Top. – 2009. – 12. – P. 1 – 19.
9. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
10. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. – М.: Мир, 1967. – 204 с.
11. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – Москва; Ижевск: РХД, 2008.
– 544 с.
12. Богачев В. И. Основы теории меры. – Москва; Ижевск: РХД, 2006. – Т. 2. – 680 с.
13. Богданський Ю. В. Бездивергентний варiант формули Гаусса – Остроградського на нескiнченно-
вимiрних многовидах // Наук. вiстi НТУУ „КПI”. – 2008. – № 4. – С. 132 – 138.
Получено 22.02.11,
после доработки — 24.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166370 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T12:21:01Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богданский, Ю.В. 2020-02-19T05:07:37Z 2020-02-19T05:07:37Z 2011 Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии / Ю.В. Богданский // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1169-1178. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166370 517.98+517.954 Запропоновано варiант оператора Лапласа для функцiй на гiльбертовому просторi з мiрою. В термiнах вказаного оператора дослiджено задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона. We propose a version of the Laplace operator for functions on a Hilbert space with measure. In terms of this operator, we investigate the Dirichlet problem for the Poisson equation. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L₂-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation Article published earlier |
| spellingShingle | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии Богданский, Ю.В. Статті |
| title | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии |
| title_alt | Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L₂-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation |
| title_full | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии |
| title_fullStr | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии |
| title_full_unstemmed | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии |
| title_short | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L₂-версии |
| title_sort | лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача дирихле для уравнения пуассона в l₂-версии |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166370 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiûv laplasianpomerenagilʹbertovomprostranstveizadačadirihledlâuravneniâpuassonavl2versii AT bogdanskiiûv laplacianwithrespecttoameasureonahilbertspaceandanl2versionofthedirichletproblemforthepoissonequation |