К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа
Доведено теореми збiжностi та компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями теоретико-множинного типу на комплексний коефiцiєнт. Для даних класiв побудовано варiацiї. We prove theorems on convergence and compactness for the classes of regular solutions of degen...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166375 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1227-1240. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859665241992855552 |
|---|---|
| author | Ломако, Т.В. |
| author_facet | Ломако, Т.В. |
| citation_txt | К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1227-1240. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Доведено теореми збiжностi та компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями теоретико-множинного типу на комплексний коефiцiєнт. Для даних класiв побудовано варiацiї.
We prove theorems on convergence and compactness for the classes of regular solutions of degenerate Beltrami equations with constraints of the set-theoretic type imposed on the complex coefficient and construct variations for these classes.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:43:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. В. Ломако (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОГО ТИПА
We prove theorems on convergence and compactness for classes of regular solutions of degenerate Beltrami
equations with set-theoretic constraints imposed on the complex coefficient and construct variations for these
classes.
Доведено теореми збiжностi та компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтра-
мi з обмеженнями теоретико-множинного типу на комплексний коефiцiєнт. Для даних класiв побудовано
варiацiї.
1. Введение. Пусть D — область в C, C = C ∪ {∞} . Уравнениями Бельтрами
называются уравнения вида
fz = µ(z)fz, (1)
где µ(z) : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 почти всюду, fz = ∂f =
= (fx + ify) /2, fz = ∂f = (fx − ify) /2, z = x+ iy, fx и fy — частные производ-
ные отображения f по x и y соответственно. Функция µ называется комплексным
коэффициентом, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
(2)
— дилатационным отношением или просто дилатацией уравнения (1).
Уравнение Бельтрами (1) называется вырожденным, если ess supKµ(z) =∞.
Напомним, что отображение f : D → C называется регулярным в точке z0 ∈ D,
если f в этой точке имеет полный дифференциал ∆f = fz∆z + fz∆z + o(|∆z|) и
его якобиан Jf (z) = |fz|2 − |fz|2 6= 0 (см., например, I.1.6 в [1]). В дальнейшем
гомеоморфизм f класса Соболева W 1,1
loc называется регулярным, если Jf (z) > 0
почти всюду. Наконец, регулярным решением уравнения Бельтрами (1) в области D
будем называть регулярный гомеоморфизм, который удовлетворяет (1) почти всюду
в D. Понятие регулярного решения впервые введено в работе [2].
Функция f : D → C называется абсолютно непрерывной на линиях (пишут
f ∈ ACL), если для любого замкнутого прямоугольника R в D, стороны которого
параллельны координатным осям, f |R является абсолютно непрерывной на почти
всех линейных сегментах в R, параллельных сторонам R (см., например, [3, c. 27]).
Пусть Q(z) : D → [1,∞] — произвольная функция. Сохраняющий ориента-
цию гомеоморфизм f : D → C класса ACL называется Q(z)-квазиконформным
(Q(z)-к.к.) отображением, если почти всюду
Kµf
(z) :=
1 + |µf (z)|
1− |µf (z)|
≤ Q(z), (3)
где µf = fz/fz, если fz 6= 0, и µf = 0, если fz = 0. Функцию µf принято назы-
вать комплексной характеристикой, а Kµf
— дилатацией отображения f. Понятие
Q(z)-к.к. отображения впервые было введено в статье [4] для случая, когда Q(z) ∈
∈ L∞, т. е. фактически для Q-к.к. отображений, где Q = ‖Q(z)‖∞.
c© Т. В. ЛОМАКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1227
1228 Т. В. ЛОМАКО
В работах К. Андриян-Казаку, Л. И. Волковыского, М. С. Иоффе, С. Л. Крушка-
ля, Р. Кюнау, М. Летинена, Г. Ренельта, О. Тейхмюллера, М. Шиффера, Г. Шобера
и других авторов исследовались классы Q(z)-к.к. отображений, для которых почти
всюду µ(z) ∈ ∆q(z), где ∆q(z) = {ν ∈ C : |ν| ≤ q(z)}, q(z) = (Q(z)− 1) /
(
Q(z) +
+1
)
, а также классы с дополнительными ограничениями вида F(µ(z), z) ≤ 0 поч-
ти всюду, где F(µ, z) : C × C → R. Наконец, последняя из постановок Шиффе-
ра – Шобера привела к рассмотрению классов с ограничениями общего теоретико-
множественного вида
µ(z) ∈M(z) ⊆ ∆q(z) (4)
почти всюду. Однако это развитие происходило, фактически, в рамках Q-к.к. отоб-
ражений, поскольку предполагалось, что
ess supQ(z) = Q <∞. (5)
Теорема существования и единственности Ги Давида [5] позволила продви-
нуться дальше в указанном направлении. Именно, обозначим через MM класс
всех измеримых функций, удовлетворяющих условию (4), но где, вообще гово-
ря, не выполнено (5). Через HM (соответственно H∗M ) обозначим совокупность
всех ACL (соответственно регулярных) гомеоморфизмов f : C → C, сохраня-
ющих ориентацию с комплексными характеристиками из MM и нормировками
f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) =∞.
Говорят, что измеримая функция Q(z) : C → [1,∞] экспоненциально ограниче-
на по мере, если существуют постоянные T ≥ 1, γ > 0 и c > 0 такие, что для
всех t ≥ T mes{z ∈ C : Q(z) > t} ≤ ce−γt. В работе [6] доказана компактность
класса HM с указанным ограничением на Q(z). Заметим, что при этом ограниче-
нии классы HM и H∗M совпадают. В настоящей статье ставится задача: доказать
компактность класса гомеоморфизмов H∗M с более общими условиями на Q(z),
что имеет важные приложения в теории вариационного метода.
2. Предварительные замечания. Всюду далее D = {z ∈ C : |z| < 1} , B(z0, r) =
= {z ∈ C : |z−z0| < r}, dist(E,F ) — евклидово расстояние между множествами E
и F в C. Обозначим через h сферическое (хордальное) расстояние между точками
z1 и z2 в C: h(z1,∞) =
1√
1 + |z1|2
, h(z1, z2) =
|z1 − z2|√
1 + |z1|2
√
1 + |z2|2
, z1, z2 6=
6= ∞. Сферическим диаметром множества E в C называется величина h(E) =
= supz1,z2∈E h(z1, z2). В дальнейшем dm(z) соответствует мере Лебега в C, а через
dS(z) =
(
1 + |z|2
)−2
dm(z) обозначается элемент сферической площади в C, через
L1
S — класс всех функций Q : C → R, интегрируемых в C относительно сфериче-
ской площади. Пусть E,F ⊆ C — произвольные множества. Через ∆(E,F,D)
обозначим семейство всех кривых γ : [a, b] → C, которые соединяют E и F в D,
т. е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b).
Далее нам потребуется понятие кольцевого Q-гомеоморфизма, которое мотиви-
ровано кольцевым определением квазиконформности по Герингу и тесно связано
с исследованием вырожденных уравнений Бельтрами на плоскости (см., напри-
мер, [7]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ . . . 1229
Напомним, что борелева функция ρ : C→ [0,∞] называется допустимой для се-
мейства кривых Γ в C (пишут ρ ∈ admΓ), если
∫
γ
ρ(z)|dz| ≥ 1 для всех γ ∈ Γ. Мо-
дуль семейства кривых Γ определяется равенствомM(Γ)=infρ∈admΓ
∫
D
ρ2(z)dm(z).
Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция. Говорят, что гомеомор-
физм f : D → C является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке z0 ∈ D, если
соотношение
M(f(∆(S1, S2, D))) ≤
∫
A
Q(z)η2(|z − z0|)dm(z)
выполнено для любого кольца A = {z ∈ C : r1 < |z − z0| < r2}, 0 < r1 < r2 <
< dist (z0, ∂D), окружностей Si = {z ∈ C : |z − z0| = ri}, i = 1, 2, и для каждой
измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что
∫ r2
r1
η(r)dr ≥ 1.
Понятие кольцевого Q-гомеоморфизма может быть распространено в бесконеч-
ность стандартным образом. Именно, пусть∞ ∈ D ⊆ C. Гомеоморфизм f : D → C
называется кольцевым Q-гомеоморфизмом в ∞, если отображение f̃(z) = f
(
1
z
)
является кольцевым Q′-гомеоморфизмом в нуле с Q′(z) = Q
(
1
z
)
. Иначе говоря,
отображение f : C→ C — кольцевой Q-гомеоморфизм в ∞, если
M (f (∆ (S(R1), S(R2), R))) ≤
∫
R
Q(w)η2 (|w|) dm(w)
для любого кольцаR = {w ∈ C : R1 < |w| < R2} вD с 0 < R1 < R2 <∞, S(Ri) =
= {z ∈ C : |z| = Ri}, i = 1, 2, и для каждой измеримой функции η : (R1, R2) →
→ [0,∞] такой, что
∫ R2
R1
η(r) dr ≥ 1.
Следующее утверждение можно найти как следствие 3.1 в работе [8].
Предложение 1. Любой регулярный гомеоморфизм f : D → C является коль-
цевым Q-гомеоморфизмом с Q(z) = Kµf
(z) во всех точках области D.
Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая функция. Обозначим через RQ,∆(D) класс
всех кольцевых Q-гомеоморфизмов f в области D ⊆ C таких, что h
(
C\f(D)
)
≥
≥ ∆ > 0. Напомним лемму 3.2 из статьи [9] (см. также лемму 7.6 в моногра-
фии [10]).
Предложение 2. Если для некоторых z0 ∈ D, 0 < ε0 < dist (z0, ∂D) и p < 2∫
ε<|z−z0|<ε0
Q(z)ψ2(|z − z0|)dm(z) ≤ cIp(ε) ∀ε ∈ (0, ε0), (6)
где ψ(t) : (0,∞) → [0,∞] — неотрицательная измеримая функция, 0 < I(ε) =
=
∫ ε0
ε
ψ(t)dt <∞ ∀ε ∈ (0, ε0), то
h(f(z), f(z0)) ≤ 32
∆
exp
{
−
(
2π
c
)
I2−p(|z − z0|)
}
для любых f ∈ RQ,∆(D) и z ∈ B(z0, ε0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1230 Т. В. ЛОМАКО
Если ∞ ∈ D, то условие (6) в точке ∞ заменяем условием∫
R0<|z|<R
Q(z)ψ2
∞(|z|)dm(z)
|z|4
≤ cIp∞(R) при R→∞, (7)
где ψ∞(t) — неотрицательная измеримая функция на (0,∞) такая, что 0 < I∞(R) =
=
∫ R
R0
ψ∞(t)dt <∞, R ∈ (R0,∞).
Кроме того, нам понадобится следующий важный факт (см. теорему 1.3 в [11]).
Предложение 3. Если f — регулярный гомеоморфизм с Kµ ∈ L1
loc, то f−1 ∈
∈W 1,2
loc и f−1
w = 0 почти всюду, где Jf−1(w) = 0.
Наконец, нам будет полезна следующая теорема (см. теорему 3.1 и замечание
3.1 в [12], а также следствие 5 в [13]).
Предложение 4. Пусть fn : D → C — последовательность сохраняющих
ориентацию гомеоморфизмов класса W 1,1
loc с комплексными коэффициентами µn
такими, что Kµn
(z) ≤ Q(z) ∈ L1
loc, n = 1, 2, . . . . Если fn → f локально равно-
мерно в D, где f : D → C — гомеоморфизм, то f ∈ W 1,1
loc , (fn)z → fz, (fn)z → fz
при n→∞ слабо в L1
loc и почти всюду Kµ(z) ≤ lim sup
n→∞
Kµn
(z).
3. Теоремы сходимости. Данный пункт посвящен теоремам сходимости для
уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа на дила-
тацию.
Для формулировки основных результатов нам понадобятся некоторые элементы
теории инвариантно-выпуклых множеств (см., например, [14]). Пусть G — группа
всех дробно-линейных отображений D на себя. Множество M из D называется
инвариантно-выпуклым, если все множества g(M), g ∈ G, являются выпуклыми.
В частности, такие множества являются выпуклыми. Инвариантно-выпуклой обо-
лочкой inv coM множества M из D, M ⊆ D, будем называть минимальное по
включению замкнутое инвариантно-выпуклое множество, содержащее M.
В работе [15] показано, что если fn : D → C, n = 1, 2, . . . , — последователь-
ность Q(z)-к.к. отображений с Q(z) ≡ Q <∞ и fn → f локально равномерно, где
f : D → C — гомеоморфизм, то |µ(z)| ≤ lim sup
n→∞
|µn(z)| почти всюду. Следующая
лемма уточняет область комплексного коэффициента предельного отображения и
распространяет его на случай локально суммируемой Q(z).
Лемма 1. Пусть fn : D → C, n = 1, 2, . . . , — последовательность Q(z)-к.к.
отображений с Q ∈ L1
loc и fn → f локально равномерно при n→∞, где f : D →
→ C — гомеоморфизм. Тогда f является Q(z)-к.к. отображением и (fn)z → fz,
(fn)z → fz при n→∞ слабо в L1
loc. Кроме того, для почти всех z ∈ Rf
µ(z) ∈ inv coM(z), (8)
где Rf — множество всех регулярных точек отображения f и
M(z) = Lsn→∞{µn(z)}, (9)
Lsn→∞{µn(z)} обозначает верхний топологический предел множеств {µn(z)},
т. е. множество всех точек накопления последовательности µn(z) (см. [16, c. 344]).
Доказательство. По предложению 4 f является Q(z)-к.к. отображением и
(fn)z → fz и (fn)z → fz слабо в L1
loc. Остается доказать (8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ . . . 1231
В силу предложения 2 из [14] inv coM(z) =
⋂
m∈N(z)
Km почти всюду, где
Km, m = 1, 2, . . . , — некоторая перенумерация всех замкнутых кругов из D, ко-
ординаты центров и радиусы которых являются рациональными числами, а N(z)
— множество всех натуральных чисел m = 1, 2, . . . , для которых M(z) ⊆ Km.
Поэтому достаточно показать, что µ(z) ∈ Km при всех m ∈ N(z) для почти всех
z ∈ Rf .
Пусть cm и km — центр и радиус кругаKm в гиперболической метрике в D (см.,
например, [17, с. 128, 129]). Тогда с помощью дробно-линейного отображения D на
себя γm(ν) = (ν− cm)/(1−νcm) круг Km преобразуется в некоторый круг с цент-
ром в нуле. Евклидов радиус этого круга обозначим через rm. Рассмотрим аффин-
ные преобразования плоскости zm(ζ) = ζ − cmζ, m = 1, 2, . . . , которые одновре-
менно являются Qm-к.к. отображениями C на себя, где Qm = (1+ |cm|)/(1−|cm|).
Пусть µ(m) и µ
(m)
n — комплексные характеристики отображений f (m) = f ◦
◦ zm и f
(m)
n = fn ◦ zm, m, n = 1, 2, . . . , соответственно. Заметим, что f
(m)
n (ζ)
являются Q∗m(ζ)-к.к. отображениями с Q∗m(ζ) := Qm ·Q(zm(ζ)) ∈ L1
loc. Поскольку
для каждого фиксированного m = 1, 2, . . . очевидно, что f (m)
n → f (m) локально
равномерно при n → ∞, по предложению 4 |µ(m)(ζ)| ≤ limn→∞ |µ(m)
n (ζ)| ≤ rm
для всех ζ ∈ E(m) \ e(m), где e(m) — некоторое подмножество нулевой меры
E(m) = z−1
m (Em), a Em — множество всех точек z ∈ D, для которых M(z) ⊆ Km.
Таким образом, при каждом m = 1, 2, . . .
|γm(µ(z))| ≤ rm (10)
для всех z ∈ Rf ∩ Em \ em, где em = zm(e(m)) — множество нулевой меры
(см. [3, c. 36]). Пусть E = ∪ em. Тогда E — множество нулевой меры и для
любого z ∈ Rf \ E неравенство (10) имеет место при всех m ∈ N(z). Однако
(10) эквивалентно при z ∈ Rf включению µ(z) ∈ Km, и тем самым включение (8)
доказано для почти всех z ∈ Rf .
Теорема 1. Пусть fn : C → C — последовательность регулярных гомеомор-
физмов с нормировками fn(0) = 0, fn(1) = 1, fn(∞) = ∞, сходящаяся локально
равномерно в C относительно сферической метрики к некоторому отображе-
нию f, причем Kµfn
(z) ≤ Q(z) ∈ L1
S . Тогда f – регулярный гомеоморфизм C с
нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) =∞.
При доказательстве теоремы 1 используем следующее равенство, которое легко
проверить непосредственным вычислением для f = u+ iv:
|∂f |2 + |∂f |2 =
1
2
(
|∇u|2 + |∇v|2
)
. (11)
Доказательство. Покажем, что f — гомеоморфизм в C. Полагая gn = f−1
n и
un = Re gn, vn = Im gn, согласно равенству (11) и предложению 3 имеем
In :=
∫
C
|∇un|2 + |∇vn|2
(1 + |un|2 + |vn|2)2
dm(ζ) = 2
∫
C
|∂gn|2 + |∂gn|2
(1 + |gn|2)2
dm(ζ) ≤
≤ 4
∫
C
|∂gn|2
dm(ζ)
(1 + |gn|2)2
= 4
∫
C
1
1− |νn(ζ)|2
Jn(ζ)
dm(ζ)
(1 + |gn|2)2
, (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1232 Т. В. ЛОМАКО
где Jn обозначает якобиан отображения gn, а νn — его комплексную дилатацию. По
предложению 3 gn ∈W 1,2
loc . Следовательно, gn локально абсолютно непрерывны, и
после замены переменных получаем
In ≤ 4
∫
C
1
1− |µn(z)|2
dm(z)
(1 + |z|2)2
≤ 4
∫
C
Q(z)dS(z) <∞ (13)
(см. леммы III.2.1 и III.3.2, а также теоремы III.3.1 и III.6.1 в [1] и I.C(3) в [3]).
Оценка (13) позволяет установить, что предельное отображение f является локаль-
но гомеоморфным, а потому и просто гомеоморфизмом C на себя. Действительно,
по теореме I.13.3 в [16] f — непрерывное отображение как равномерный предел
непрерывных отображений, и, таким образом, последовательность fn образует рав-
ностепенно непрерывное семейство отображений (см., например, предложение 7.1
в [10]). Пусть
ϕ(t) =
1
2
arcsin
(
2√
3
sin t
)
.
Тогда согласно теореме 9 в [18, с. 62] найдется δ > 0 такое, что
h (fn(z1), fn(z2)) > ϕ−1
(
exp
{
− 4πIn
h2(z1, z2)
})
,
как только h(z1, z2) < δ. Таким образом, при n→∞ получаем
h (f(z1), f(z2)) > ϕ−1
(
exp
{
− 4πIn
h2(z1, z2)
})
> 0 при h(z1, z2) < δ. (14)
Из неравенств (13) и (14) следует, что f является локальным гомеоморфизмом и,
значит, гомеоморфизмом в C (см., например, следствие из теоремы 17.2 в [19]).
Применяя инверсию относительно единичной окружности, убеждаемся, что f —
гомеоморфизм C на C.
Покажем, что гомеоморфизм f является регулярным в C. Заметим, что из
локально равномерной сходимости fn → f последовательности fn следует, что
f−1
n → f−1 локально равномерно (см., например, лемму 3.1 в [20]). Таким об-
разом, в силу (13) по теореме 1 в [18] получаем, что f−1 ∈ W 1,2
loc(C). Условие
f−1 ∈ W 1,2
loc(C) влечет N−1-свойство f (см., например, теорему III.6.1 в [1]) и,
следовательно, Jf (z) 6= 0 почти всюду по теореме 1 в [21]. Наконец, f ∈ W 1,1
loc(C)
по предложению 4.
Комбинируя лемму 1 и теорему 1, получаем следующее заключение.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 f является Q(z)-к.к. отображением и
µ(z) ∈ inv coM(z) (15)
почти всюду, где M(z) определено в (9).
4. Теоремы компактности. Семейство F непрерывных отображений из области
D ⊆ C в C называется нормальным, если каждая последовательность отображений
fm из F имеет подпоследовательность fmk
, которая сходится к непрерывному
отображению f : D → C равномерно на каждом компактном множестве K ⊂ D
относительно сферической метрики. Семейство F называется замкнутым, если
все предельные отображения f относительно указанной сходимости принадлежат
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ . . . 1233
F. Наконец, класс отображений F называется компактным, если F нормален и
замкнут.
Говорят, что семейство компактных множеств в M(z) ⊆ D, z ∈ C, измеримо по
параметру z, если для любого замкнутого множества M0 ⊆ C множество точек
E0 = {z ∈ C : M(z) ⊆M0} измеримо по Лебегу (ср. с [22, c. 27]). В дальнейшем
QM (z) :=
1 + qM (z)
1− qM (z)
, qM (z) := max
ν∈M(z)
|ν|. (16)
Из результатов п. 3 получаем следующее заключение.
Следствие 2. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных инвариантно-
выпуклых множеств в D, измеримое по параметру, и QM ∈ L1
S . Тогда класс H∗M
замкнут.
Лемма 2. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных инвариантно-вы-
пуклых множеств в D, измеримое по параметру, такое, что QM ∈ L1
S и удовлет-
воряет условиям вида (6) и (7). Тогда класс H∗M компактен.
Доказательство. Нормальность класса H∗M следует из предложений 1, 2, а
также теоремы Арцела – Асколи (см., например, [23, с. 68]), а замкнутость — из
следствия 2.
Следуя работе [24], говорим, что функция ϕ : D → R класса L1
loc имеет конеч-
ное среднее колебание в точке z0 ∈ D, если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|ϕ(z)− ϕ̃ε(z0)| dm(z) < ∞, (17)
где
ϕ̃ε(z0) = −
∫
B(z0,ε)
ϕ(z) dm(z) < ∞ (18)
— среднее значение функции ϕ(z) по кругу B(z0, ε). Также говорят, что функция
ϕ : D → R имеет конечное среднее колебание в D (сокращенно ϕ ∈ FMO(D)), если
ϕ имеет конечное среднее колебание в каждой точке z0 ∈ D.
Концепция конечного среднего колебания может быть распространена в бес-
конечность стандартным образом. Именно, пусть даны область D ⊆ C, ∞ ∈ D,
и функция ϕ : D → R. Говорят, что ϕ имеет конечное среднее колебание в ∞,
если функция ϕ∗(z) = ϕ (1/z) имеет конечное среднее колебание в 0. Приме-
няя обратную инверсию z → 1/z, после замен переменных получаем следующее
эквивалентное условие:∫
|z|≥R
|ϕ(z)− ϕ̃R|
dm(z)
|z|4
= O
(
1
R2
)
при R→∞,
где
ϕ̃R =
R2
π
∫
|z|≥R
ϕ(z)
dm(z)
|z|4
.
Выбирая в лемме 2 ψ(t) = 1/ (t log 1/t) , p = 1, по лемме 11.1 в [10] получаем
следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1234 Т. В. ЛОМАКО
Теорема 2. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных инвариантно-вы-
пуклых множеств в D, измеримое по параметру. Если QM ∈ FMO(C), то H∗M
компактен.
Точка z0 ∈ C называется точкой Лебега функции Q : C→ R, если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|Q(z)−Q(z0)| dm(z) = 0. (19)
Аналогично, z0 = ∞ будем называть точкой Лебега функции Q, если 0 является
точкой Лебега функции Q∗(z) = Q (1/z) , Q∗(0) = Q(∞), Q∗(∞) = Q(0), т. е.∫
|z|≥R
|Q(z)−Q(∞)|dm(z)
|z|4
= O
(
1
R2
)
при R→∞. (20)
Как следствия из теоремы 2, предложения 11.1 и следствия 11.1 в [10], получаем
следующие два утверждения.
Следствие 3. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных инвариантно-
выпуклых множеств в D, измеримое по параметру. Если каждая точка z0 ∈ C
является точкой Лебега для функции QM , то класс H∗M компактен.
Следствие 4. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных инвариантно-
выпуклых множеств в D, измеримое по параметру. Если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
QM (z) dm(z) <∞ ∀z0 ∈ C
и ∫
|z|≥R
QM (z)
dm(z)
|z|4
= O
(
1
R2
)
при R→∞,
то класс H∗M компактен.
Теорема 3. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных инвариантно-вы-
пуклых множеств в D, измеримое по параметру. Предположим, что
ε0∫
0
dr
rkz0(r)
=∞ ∀z0 ∈ C, (21)
где kz0(r) — среднее значение функции QM (z) на окружности |z − z0| = r, ε0 =
= ε(z0) и
∞∫
δ
dR
Rk∞(R)
=∞ (22)
для некоторого δ > 0, где k∞(R) — среднее значение функции QM (z) на окруж-
ности |z| = R. Тогда класс H∗M компактен.
Доказательство. Пусть z0 ∈ C (при z0 = ∞ используем инверсию). Для
функции
ψ(t) =
(1/[tkz0(t)]) , t ∈ (0, ε0),
0, t ∈ (ε0,∞),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ . . . 1235
имеем ∫
ε<|z−z0|<ε0
Q(z)ψ2(|z − z0|)dm(z) = 2π
ε0∫
ε
dr
rkz0(r)
.
Таким образом, заключение теоремы следует из леммы 2 при условиях (21) и (22).
Следствие 5. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных инвариантно-
выпуклых множеств в D, измеримое по параметру. Если kz0(r) = O
(
log
1
r
)
при
r → 0 в каждой точке z0 ∈ C и k∞(R) = O (logR) при R → ∞, то класс H∗M
компактен.
Далее, для каждой неубывающей функции Φ: R+ → R+ обратную функцию
Φ−1 : R+ → R+ можно корректно определить следующим образом: Φ−1(τ) =
= infΦ(t)≥τ t. Здесь inf равен∞, если множество t ∈ [0,∞], где Φ(t) ≥ τ, является
пустым.
Как следствие теоремы 3, согласно теореме 3.1 в [25] получаем следующий
результат.
Теорема 4. Пусть M(z), z ∈ C, — семейство компактных инвариантно-вы-
пуклых множеств в D, измеримое по параметру, и∫
C
Φ (QM (z)) dS(z) <∞, (23)
где Φ: [0,∞]→ [0,∞] — неубывающая выпуклая функция, такая, что
∞∫
δ0
dτ
τ [Φ−1(τ)]
= ∞ (24)
для некоторого δ0 > Φ(0). Тогда класс H∗M компактен.
Отметим, что условие (24) является не только достаточным, но и необходимым
для компактности классов H∗M с ограничениями интегрального типа (23), как это
следует из теоремы 5.1 в [26].
5. К теории вариационного метода. Одним из важных приложений теорем
компактности является теория вариационного метода. Дело в том, что в компакт-
ных классах всегда гарантируется существование экстремальных отображений для
любых непрерывных, в том числе нелинейных функционалов. Кроме того, как пра-
вило в компактных классах удается показать выпуклость множества комплексных
характеристик, что значительно упрощает построение вариаций. Вариационный
метод исследования экстремальных задач для квазиконформных отображений был
впервые применен П. П. Белинским. Этот метод получил свое дальнейшее развитие
в работах В. Я. Гутлянского, С. Л. Крушкаля, Р. Кюнау, В. И. Рязанова, М. Шиф-
фера, Г. Шобера и многих других. Данный пункт посвящен построению вариаций
в классах H∗M методом, идея которого была впервые предложена в работе [27] для
аналитических функций с квазиконформным продолжением. Впоследствии этот
подход использовался в [6] для классов H∗M при ограничениях на QM по мере
экспоненциального типа.
Приведем необходимые сведения из теории композиционных операторов в про-
странствах Соболева. Пусть D — область в евклидовом пространстве Rn. Напом-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1236 Т. В. ЛОМАКО
ним, что пространство Соболева L1
p(D), p ≥ 1, есть пространство локально инте-
грируемых функций ϕ : D → R с обобщенными производными и с полунормой
‖ϕ‖L1
p(D) = ‖ 5 ϕ‖Lp(D) =
∫
D
| 5 ϕ|pdm
1/p
, (25)
где x = (x1, . . . , xn), m — мера Лебега в Rn,5ϕ — обобщенный градиент функции
ϕ, 5ϕ =
(
∂ϕ
∂x1
, . . . ,
∂ϕ
∂xn
)
, определяемый условиями
∫
D
ϕ
∂η
∂xi
dm = −
∫
D
∂ϕ
∂xi
ηdm ∀η ∈ C∞0 (D), i = 1, 2, . . . , n. (26)
Здесь C∞0 (D) обозначает пространство всех бесконечно гладких функций с ком-
пактным носителем в D. Аналогично говорят, что вектор-функция принадлежит
L1
p(D), если ее координатные функции принадлежат L1
p(D). Известен следующий
факт (см. [28, 29]).
Лемма 3. Пусть f — гомеоморфизм между областями D и D′ в Rn. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
1) композиционное правило f∗ϕ = ϕ ◦ f порождает ограниченный оператор
f∗ : L1
p(D
′)→ L1
q(D), 1 ≤ q ≤ p <∞, (27)
2) отображение f принадлежит классу W 1,1
loc(D), а функция
Kp(x, f) := inf
{
k(x) : |Df |(x) ≤ k(x)|Jf (x)|1/p
}
(28)
— классу Lr(D), где число r определяется из соотношения 1/r = 1/q − 1/p.
Отсюда, в частности, при n = 2, p = 2 и q = 1 имеем следующее утверждение.
Предложение 5. Пусть f : C → C — сохраняющий ориентацию гомеомор-
физм класса W 1,1
loc с Kµf
∈ L1
loc. Тогда g ◦ f ∈ W 1,1
loc для любого отображения
g : C→ C из W 1,2
loc .
Как известно, любое квазиконформное отображение g : C → C принадлежит
классу W 1,2
loc (см., например, теорему IV.1.2 в [1]). Таким образом, приходим к
следующему заключению.
Следствие 6. Для любого квазиконформного отображения g : C→ C и любо-
го сохраняющего ориентацию гомеоморфизма f : C→ C классаW 1,1
loc сKµf
∈ L1
loc
композиция g ◦ f принадлежит классу W 1,1
loc .
Аналогично теореме 5.4.6 в [30, c. 244] доказывается следующее утверждение
о дифференцировании суперпозиции.
Лемма 4. Пусть f — гомеоморфизм между областями D и D′ в Rn, компо-
зиционный оператор f∗ : L1
p(D
′) → L1
q(D), 1 ≤ q ≤ p < ∞, ограничен и f имеет
N−1-свойство. Тогда, для любой функции ϕ ∈ L1
p(D
′) почти всюду
∂(ϕ ◦ f)
∂xi
(x) =
n∑
k=1
∂ϕ
∂yk
(f(x))
∂fk
∂xi
(x), i = 1, . . . , n. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ . . . 1237
Комбинируя леммы 3 и 4, аналогично IC(1) в [3] получаем следующее утвер-
ждение.
Предложение 6. Пусть f : C → C — сохраняющий ориентацию регулярный
гомеоморфизм с Kµf
∈ L1
loc. Тогда для любого g ∈W 1,2
loc почти всюду
(g ◦ f)z = (gw ◦ f)fz + (gw ◦ f)fz, (g ◦ f)z = (gw ◦ f)fz + (gw ◦ f)fz. (30)
Следствие 7. В частности, формулы (30) имеют место для квазиконформ-
ных отображений g : C→ C.
Напомним, что отображение f : X → Y между метрическими пространства-
ми X и Y называется липшицевым, если dist(f(x1), f(x2)) ≤ M dist(x1, x2) для
некоторого M < ∞ и всех x1, x2 ∈ X (см., например, [31, с. 75]). Отображение f
называется билипшицевым, если в дополнениеM∗ dist(x1, x2) ≤ dist(f(x1), f(x2))
для некоторого M∗ > 0 и всех x1, x2 ∈ X. Следующая теорема впервые была до-
казана в [32].
Теорема 5. Пусть M(z), z ∈ C, — произвольное семейство выпуклых мно-
жеств в D. Далее, пусть µ ∈MM — комплексная характеристика отображения
f ∈ H∗M такая, что Kµ ∈ L1
loc, а ν ∈MM такова, что
κ = (ν − µ)/(1− |µ|2) (31)
принадлежит открытому единичному шару в L∞(C). Тогда существует вариация
fε, ε ∈ [0, 1/2], отображения f в классе H∗M c комплексной характеристикой
µε = µ+ ε(ν − µ) = (1− ε)µ+ εν, ε ∈ [0, 1/2], (32)
такая, что
fε(ζ) = f(ζ)− ε
π
∫
C
(ν(z)− µ(z))ϕ(f(z), f(ζ))f2
z dm(z) + o(ε, ζ), (33)
где
ϕ(w,w′) =
1
w − w′
w′
w
w′ − 1
w − 1
(34)
и o(ε, ζ)/ε→ 0 локально равномерно относительно ζ ∈ C.
Доказательство. Обозначим через B (борелево) множество всех тех точек z
плоскости C, где отображение f имеет полный дифференциал и Jf (z) 6= 0. Тогда
по определению класса H∗M и по теореме Меньшова |C \B| = 0 (см. [33], а также
теорему 42.3 в [34], ср. с теоремой III.3.1 в [1]). Кроме того, по лемме 3.2.2 в
[31] множество B можно разбить на счетное число (борелевских) множеств Bl, на
каждом из которых отображение f является билипшицевым. По теореме Кирсбра-
уна – МакШейна (см., например, теорему 2.10.43 в [31], а также [35, 36]) сужения
f |Bl
допускают продолжение до липшицевых отображений C. Таким образом, f
имеет (N )-свойство на множестве B и можно выполнить замену переменных под
интегралом (см., например, теорему 3.2.5 в [31]).
Пусть
κε =
εκ
1− εκµ
= εκ
∞∑
n=0
(εκµ)
n
, ε ∈ [0, 1]. (35)
Поскольку по условию ‖κ‖∞ = k < 1, при ε ∈ [0, 1/2]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1238 Т. В. ЛОМАКО
‖κε‖∞ ≤
εk
1− εk
≤ k
2− k
= q < 1. (36)
Далее, пусть
γε(w) :=
(
κε ·
fz
fz
)
◦ f−1(w), w ∈ f(B),
0, w ∈ f(C \B).
(37)
Переопределяя, в случае необходимости, κ на множестве нулевой меры, без огра-
ничения общности можем считать, что |κ(z)| ≤ k и |κε(z)| ≤ q для всех z ∈ C и,
таким образом, γε(z) ≤ q также для всех z ∈ C. Кроме того, поскольку |C\B| = 0,
получаем
γε ◦ f = κε ·
fz
fz
(38)
почти всюду.
Рассмотрим семейство Q-квазиконформных (Q = (1 + q)/(1− q)) отображе-
ний gε : C → C, ε ∈ [0, 1/2], с комплексными характеристиками γε, ε ∈ [0, 1/2],
и нормировками gε(0) = 0, gε(1) = 1 и gε(∞) = ∞ (см. теорему существования,
например, в [3, с. 90]). По теореме о дифференцировании Q-к.к. отображений по
параметру
gε(w
′) = w′ − ε
π
∫
f(B)
γ(w)ϕ(w,w′)dm(w) + o(ε, w′), (39)
где
γ(w) =
(
κ · fz
fz
)
◦ f−1(w), w ∈ f(B),
0, w ∈ f(C \B),
(40)
и o(ε, w′)/ε → 0 при ε → 0 локально равномерно относительно w′ ∈ C (см. [3,
с. 94 – 96]).
Теперь рассмотрим семейство отображений fε = gε ◦ f, ε ∈ [0, 1/2]. Покажем,
что fε ∈ H∗M . Во-первых, по следствию 6, fε ∈ W 1,1
loc . Далее, заметим, что регу-
лярный гомеоморфизм f имеет N−1-свойство по теореме Пономарева (см. [21]).
Поэтому аналогично IC(6) в [3], поскольку Jf (z) 6= 0 почти всюду и fz 6= 0 почти
всюду, получаем
µgε ◦ f =
fz
fz
µfε − µf
1− µfµfε
(41)
почти всюду. Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования суперпози-
ции (30) (см. следствие 7). Разрешая (41) относительно µfε , заключаем, что почти
всюду
µfε =
µgε ◦ f +
fz
fz
· µf
fz
fz
+ µf · µgε ◦ f
=
µ+
fz
fz
· γε ◦ f
1 + µ · fz
fz
· γε ◦ f
. (42)
Подставляя в (42) выражения из (35) и (38), имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ . . . 1239
µfε =
µ+ κε
1 + µκε
=
µ+
εκ
1− εκµ
1 + µ
εκ
1− εκµ
= µ+ εκ
(
1− |µ|2
)
(43)
почти всюду. Из (43) и (31) получаем µfε = µε, где µε задано в (32). Таким образом,
µfε ∈MM , ε ∈ [0, 1/2], вследствие выпуклости MM .
Заметим, что гомеоморфизм fε является регулярным при любом ε ∈ [0, 1/2].
Действительно, допустим, что fε не регулярен при некотором ε ∈ [0, 1/2]. По-
скольку |µfε | < 1 почти всюду, это бы означало, что (fε)z = 0 = (fε)z на не-
котором множестве E ⊆ C положительной меры, где отображение fε дифферен-
цируемо, а f регулярно. Тогда аналогично IC(2) в [3] получаем, что всюду на E
(gε)w ◦ f =
[
(fε)zfz − (fε)zfz
]
/Jf = 0 (см. предложение 6). Однако множество
E := f(E) имеет нулевую меру, так как gε — квазиконформное отображение. Та-
ким образом, приходим к противоречию сN−1-свойством отображения f (см. [21]).
Следовательно, fε ∈ H∗M , ε ∈ [0, 1/2].
Наконец, после замен переменных в (39) приходим к (33), поскольку |C\B| = 0.
1. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973. – 258 p.
2. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the Beltrami equations with two characteristics // Complex
Variables and Elliptic Equat. – 2009. – 54, № 10. – P. 935 – 950.
3. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969. – 132 с.
4. Schiffer M., Schober G. Representation of fundamental solutions for generalized Cauchy – Riemann
equations by quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1976. – 2. – P. 501 – 531.
5. David G. Solutions de l’equation de Beltrami avec ‖µ‖∞ = 1 // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math.
– 1988. – 13. – P. 25 – 70.
6. Рязанов В. И. Топологические аспекты теории квазиконформных отображений: Дис.. . . д-ра физ.-
мат. наук. – Донецк, 1993. – 281 c.
7. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Укр. мат. вестн.
– 2007. – 4, № 1. – С. 79 – 115.
8. Salimov R. On regular homeomorphisms in the plane // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 2010. – 35. –
P. 285 – 289.
9. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеомор-
физмов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361 – 1376.
10. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer Monogr.
Math. – New York: Springer, 2009. – 367 p.
11. Hencl S., Koskela P. Regularity of the inverse of a planar Sobolev homeomorphism // Arch. Ration.
Mech. and Anal. – 2006. – 180, № 1. – P. 75 – 95.
12. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On convergence theory for Beltrami equations // Укр. мат. вестн. –
2008. – 5, № 4. – С. 524 – 535.
13. Рязанов В. И. О квазиконформных отображениях с ограничениями по мере // Укр. мат. журн. –
1993. – 45, № 7. – С. 1009 – 1019.
14. Рязанов В. И. Об усилении теоремы сходимости Штребеля К. // Изв. РАН. Сер. мат. – 1992. – 56,
№ 3. – С. 636 – 653.
15. Strebel K. Ein Konvergensatz für Folgen quasikonformer Abbildungen // Comment. math. helv. – 44,
№ 4. – 1969. – P. 469 – 475.
16. Куратовский К. Топология. – М.: Мир, 1966. – Т. 1. – 594 с.
17. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977. –
444 с.
18. Суворов Г. Д. Семейство плоских топологических отображений. – Новосибирск: Наука, 1965. –
264 с.
19. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. – М.: Наука, 1976. – Т. 2. – 264 с.
20. Kolomoitsev Iu. S., Ryazanov V. I. Uniqueness of approximate solutions of the Beltrami equations// Proc.
Inst. Appl. Math. and Mech. Nat. Acad. Sci. Ukraine. – 2009. – 19. – P. 116 – 124.
21. Пономарев С. П. N−1-свойство отображений и условие (N ) Лузина // Мат. заметки. – 1995. – 58,
№ 3. – С. 411 – 418.
22. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Из-во иностр. лит., 1949. – 494 с.
23. Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 299. –
144 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1240 Т. В. ЛОМАКО
24. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. –
2005. – 2, № 3. – C. 395 – 417.
25. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On integral conditions in the mapping theory // Укр. мат. вестн. –
2010. – 7, № 1. – С. 73 – 87.
26. Ryazanov V., Sevostyanov E. Equicontinuity of mappings quasiconformal in the mean // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Math. – 2011. – 36. – P. 231 – 244.
27. Гутлянский В. Я. О методе вариаций для однолистных аналитических функций с квазиконформ-
ным продолжением // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, № 2. – С. 61 – 78.
28. Ухлов А. Отображения, порождающие вложения пространств Соболева // Сиб. мат. журн. – 1993.
– 34, № 1. – С. 165 – 171.
29. Водопьянов С. К., Ухлов А. Пространства Соболева и (P,Q)-квазиконформные отображения групп
Карно // Сиб. мат. журн. – 1998. – 39, № 4. – С. 665 – 682.
30. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными
и квазиконформные отображения. – М.: Наука, 1983. – 284 с.
31. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987. – 760 с.
32. Ломако Т. В., Рязанов В. И. Теория вариационного метода для уравнений Бельтрами // Труды
Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2011. – 22. – С. 1 – 10.
33. Menchoff D. Sur les differentielles totales des fonctions univalentes // Math. Ann. – 1931. – 105. –
P. 75 – 85.
34. Трохимчук Ю. Ю. Устранимые особенности аналитических функций. – Киев: Наук. думка, 1992.
– 223 с.
35. Kirszbraun M. D. Uber die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen // Fund. Math. J. –
1934. – 22. – P. 77 – 108.
36. McShane E. J. Extension of range of functions // Bull. Amer. Math. Soc. – 1934. – 40. – P. 837 – 842.
Получено 08.04.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166375 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:43:00Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ломако, Т.В. 2020-02-19T05:13:30Z 2020-02-19T05:13:30Z 2011 К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 9. — С. 1227-1240. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166375 517.5 Доведено теореми збiжностi та компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями теоретико-множинного типу на комплексний коефiцiєнт. Для даних класiв побудовано варiацiї. We prove theorems on convergence and compactness for the classes of regular solutions of degenerate Beltrami equations with constraints of the set-theoretic type imposed on the complex coefficient and construct variations for these classes. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations with constraints of set-theoretic type Article published earlier |
| spellingShingle | К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа Ломако, Т.В. Статті |
| title | К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_alt | On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations with constraints of set-theoretic type |
| title_full | К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_fullStr | К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_full_unstemmed | К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_short | К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_sort | к теории сходимости и компактности для уравнений бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166375 |
| work_keys_str_mv | AT lomakotv kteoriishodimostiikompaktnostidlâuravneniibelʹtramisograničeniâmiteoretikomnožestvennogotipa AT lomakotv onthetheoryofconvergenceandcompactnessforbeltramiequationswithconstraintsofsettheoretictype |