Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах

Дослiджуються проблеми неперервного та гомеоморфного продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Афанасьева, Е.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2011
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166380
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах / Е.С. Афанасьева // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1299–1313. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166380
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1663802025-02-09T13:24:33Z Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах Boundary behavior of ring Q-homeomorphisms on Riemannian manifolds Афанасьева, Е.С. Статті Дослiджуються проблеми неперервного та гомеоморфного продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорiю можна застосувати, зокрема, до класiв Соболєва. We study the problems of a continuous and homeomorphic extension of so-called ring Q-homeomorphisms between domains on Riemannian manifolds to the boundary. We establish conditions for a function Q(x) and the boundaries of domains under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary. This theory can be applied, in particular, to Sobolev classes. 2011 Article Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах / Е.С. Афанасьева // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1299–1313. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166380 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Афанасьева, Е.С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах Український математичний журнал
description	Дослiджуються проблеми неперервного та гомеоморфного продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорiю можна застосувати, зокрема, до класiв Соболєва.
format	Article
author	Афанасьева, Е.С.
author_facet	Афанасьева, Е.С.
author_sort	Афанасьева, Е.С.
title	Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_short	Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_full	Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_fullStr	Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_full_unstemmed	Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_sort	граничное поведение кольцевых q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Статті
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166380
citation_txt	Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах / Е.С. Афанасьева // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1299–1313. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT afanasʹevaes graničnoepovedeniekolʹcevyhqgomeomorfizmovnarimanovyhprostranstvah AT afanasʹevaes boundarybehaviorofringqhomeomorphismsonriemannianmanifolds
first_indexed	2025-11-26T03:41:10Z
last_indexed	2025-11-26T03:41:10Z
_version_	1849822782734467072
fulltext	УДК 517.5 Е. С. Афанасьева (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк) ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ We study the problems of a continuous and homeomorphic extension of so-called ring Q-homeomorphisms between domains on Riemannian manifolds to the boundary. We establish conditions for a function Q(x) and the boundaries of domains under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary. This theory can be applied, in particular, to Sobolev classes. Дослiджуються проблеми неперервного та гомеоморфного продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорiю можна застосувати, зокрема, до класiв Соболєва. 1. Введение. Систематическое изучение пространственных квазиконформных отоб- ражений началось в конце 50-х – начале 60-х годов. Метод экстремальных длин был впервые использован Альфорсом и Берлингом для исследования конформных отображений и восходит, в свою очередь, к приемам Гретша. Однако впоследствии вместо экстремальной длины стали использовать более удобную обратную к ней величину — конформный модуль, который имеет свойство полуаддитивности и является внешней мерой в пространстве кривых. Метод экстремальных длин или модулей успешно применялся в геометрической теории функции, в частности, к ис- следованию граничного поведения конформных и квазиконформных отображений. В 1854 г. Риман использовал новый способ определения метрики через по- ложительно определенную (невырожденную) квадратичную форму, которая впо- следствии получила название римановой метрики. Понятие „многообразие” было впервые четко введено позже Пуанкаре. Систематическое изучение гладких мно- гообразий началось после 1912 г. Параллельно этой теории длительное время развивалась и теория отображений в рамках конформных и квазиконформных отображений. Бельтрами, Каратеодо- ри, Кристоффель, Гаусс, Гильберт, Лиувилль, Пуанкаре, Риман, Шварц и другие внесли свой вклад в развитие теории отображений. Отметим, что конформные отображения и их обобщения играют важную роль в развитии теории потенциала, математической физики, римановых поверхностей и топологии. В конце 1920-х – начале 1930-х годов был введен более общий, чем конформ- ные, класс отображений, которые позже были названы квазиконформными. Вскоре квазиконформные отображения стали применяться к классическим проблем покры- тия римановых поверхностей (Альфорс), классификации односвязных римановых поверхностей (Волковыский), описанию модулей римановых поверхностей (Тейх- мюллер). Затем произошел переход к исследованию более общих отображений, таких как отображения, квазиконформные в среднем, с ограниченным интегра- c© Е. С. АФАНАСЬЕВА, 2011 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1299 1300 Е. С. АФАНАСЬЕВА лом Дирихле, с конечным искажением и др. В работе [1] для пространственных квазиконформных отображений было получено модульное неравенство, которое впоследствии легло в основу определения так называемых Q-гомеоморфизмов. В последние годы активно изучаются так называемые кольцевые Q-гомеоморфизмы. Это понятие мотивировано кольцевым определением квазиконформности по Ге- рингу и представляет собой обобщение и локализацию этого определения, которое впервые было введено на плоскости в связи с изучением вырожденных уравнений Бельтрами, а затем в Rn, n ≥ 3, и метрических пространствах с мерами (см., например, статьи [2 – 5], а также монографию [6]). В настоящей работе доказываются следствия для кольцевыхQ-гомеоморфизмов и отображений класса Соболева W 1,n loc на римановых многообразиях из предыду- щей статьи автора [5] о граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах с мерами. 2. Предварительные замечания. Напомним определения, которые можно най- ти, например, в [7 – 10]. n-Мерное топологическое многообразие Mn — это хаус- дорфово топологическое пространство со счетной базой, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную Rn. Картой на многообразии Mn называется пара (U,ϕ), где U — открытое подмножество пространства Mn, а ϕ — гомеоморфизм подмножества U на открытое подмножество координатного про- странства Rn: каждой точке p ∈ U ставится во взаимно однозначное соответствие набор из n чисел, ее локальных координат. Гладкое многообразие — многообразие с картами (Uα, ϕα), локальные координаты которых связаны гладким (C∞)-образом. Римановым многообразием (Mn, g) называется гладкое многообразие вместе с заданным на нем метрическим тензором g или римановой метрикой. Римановой метрикой на многообразии называется положительно определенное (невырожден- ное) симметричное тензорное поле g = gij(x) = g11 . . . g1n . . . . . . . . . gn1 . . . gnn , которое определяется только в координатных картах с правилом перехода ′gij(x) = gkl(y(x)) ∂yk ∂xi ∂yl ∂xj . (1) Тензорное метрическое поле gij(x) в дальнейшем предполагается гладким. Элемент длины на (Mn, g) задается инвариантной дифференциальной формой ds2 = gijdx idxj := n∑ i,j=1 gijdx idxj = (dx1, . . . , dxi) g11 . . . g1n . . . . . . . . . gn1 . . . gnn dx1 . . . dxj , (2) где gij — метрический тензор, xi — локальные координаты. В соответствии с этим, если γ : [a, b]→Mn — кусочно-гладкая кривая и x(t) — ее параметрическое задание в локальных координатах, то ее длина вычисляется по формуле sγ = b∫ a √ gij(x(t)) dxi dt dxj dt dt. (3) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1301 Геодезическое расстояние d(p1, p2) определяется как инфимум длин кусочно-гладких кривых, соединяющих точки p1 и p2 в (Mn, g) (см. [8, с. 94]). Напомним также, что элемент объема на (Mn, g) определяется инвариантной формой dv = √ det gij dx 1 . . . dxn, (4) а элемент площади гладкой гиперповерхности H на (Mn, g) — инвариантной фор- мой dA = √ det g∗αβ du1 . . . dun−1, (5) где g∗αβ — риманова метрика на H, порожденная исходной римановой метрикой gij по формуле g∗αβ(u) = gij(x(u)) ∂xi ∂uα ∂xj ∂uβ (6) (см., например, § 88 в [10]). Здесь x(u) — гладкая параметризация гиперповерхности H с ∇ux 6= 0. Таким образом, метрический тензор g на римановом многообразии порождает соответствующий метрический тензор g∗ на произвольной регулярной поверхности. Здесь под гиперповерхностью на многообразии (Mn, g) понимается непрерыв- ное отображение H : U → Mn, где U — область в (n − 1)-мерном пространстве Rn−1 или более общо U — (n− 1)-мерное многообразие, например (n− 1)-мерная сфера. Если отображение H является гладким (класса C1) в локальных коорди- натах, то гиперповерхность называют гладкой. Если, кроме того, ∇ux 6= 0, то гиперповерхность H называется регулярной. Например, геодезические сферы в до- статочно малых окрестностях любой точки риманового многообразия являются регулярными гиперповерхностями (см. [8, с. 106]). Напомним следующие фундаментальные факты (см., например, лемму 5.10 и следствие 6.11 в [8], а также [7, с. 260, 261]). Предложение 1. В каждой точке риманова многообразия существуют ее окрестности и соответствующие локальные координаты в них, в которых гео- дезическим сферам с центром в данной точке соответствуют евклидовы сферы с теми же радиусами и с центром в начале координат, а связке геодезических, исходящих из данной точки, соответствует связка лучей, исходящих из начала координат. Указанные окрестности и координаты принято называть нормальными. Замечание 1. В частности, в нормальных координатах геодезические сферы имеют естественную регулярную параметризацию через направляющие косинусы соответствующих лучей, исходящих из начала координат. Кроме того, метрический тензор в начале координат в этих координатах совпадает с единичной матрицей (см., например, предложение 5.11 в [8]). Пусть Γ = {γ} — семейство кривых на n-мерном римановом многообразии (Mn, g). Измеримая по Борелю неотрицательная функция ρ : Mn → R+, n ≥ 2, называется допустимой для Γ, если условие∫ γ ρ ds ≥ 1 (7) выполнено для каждой кривой γ ∈ Γ. Здесь мы используем естественный параметр s длин дуг кривой γ. Под длиной произвольной кривой γ : [a, b] → Mn понимается ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1302 Е. С. АФАНАСЬЕВА супремум всех сумм sup k∑ j=1 d(γ(ti), γ(ti−1)) (8) над всеми конечными разбиениями a = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tk = b интервала [a, b]. Кривая γ называется спрямляемой, если ее длина конечна; кривая γ : [a, b] → Mn называется локально спрямляемой, если любая ее собственная подкривая γ\|[a′,b′], a < a′ < b′ < b, спрямляема. Конформным модулем семейства кривых Γ называется величина M(Γ) := inf ρ∈adm Γ ∫ Mn ρndv, (9) где нижняя грань берется по всем допустимым для Γ функциям. Величина (9) выполняет роль внешней меры в пространстве кривых. В даль- нейшем говорим, что некоторое свойство P имеет место для почти всех кривых семейства Γ, если подсемейство Γ∗ кривых семейства Γ, для которых свойство P нарушается, имеет нулевой конформный модуль. В частности, очевидно, что почти всех кривые в (Mn, g) являются спрямляемыми. Аналогично [6] говорим, что гомеоморфизм f : D → D∗ между областями D и D∗ на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗) является Q-гомеоморфизмом с измеримой функцией Q : D → [1,∞], если M(fΓ) ≤ ∫ D Q(x)ρn(x) dv(x) (10) для произвольного семейства Γ кривых в D и любых ρ ∈ adm Γ. Следующая концепция является естественным обобщением кольцевого опреде- ления квазиконформных отображений по Герингу (ср. с [11]). В дальнейшем подразумевается, что геодезические сферы S(x0, r) = {x ∈ ∈ Mn : d(x, x0) = r}, геодезические кольца A = A(x0, r1, r2) = {x ∈ Mn : r1 < < d(x, x0) < r2} и геодезические шары B(x0, r) = {x ∈ Mn : d(x, x0) < r} лежат в нормальной окрестности точки x0. Пусть D — область на римановом многообразии (Mn, g), D∗ — область на ри- мановом многообразии (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, и Q : D → [0,∞] — измеримая функция. В дальнейшем мы часто без оговорок будем подразумевать, что функция Q продол- жена нулем вне области D. Далее ∆(E,F ;D) обозначает семейство всех кривых γ, соединяющих множества E и F в D. Говорим, что гомеоморфизм f : D → D∗ называется кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если условие M (∆(f(C0), f(C1);D∗)) ≤ ∫ A∩D Q(x) ηn (d(x, x0)) dv(x) (11) выполняется для любого геодезического кольца A = A(x0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < <∞, любых двух континуумов (компактных связных множеств) C0 ⊂ B(x0, r1) и C1 ⊂Mn \B(x0, r2) и любой измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что r2∫ r1 η(r)dr ≥ 1. (12) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1303 Также говорим, что f является кольцевым Q-гомеоморфизмом в D, если (11) выполнено для всех точек x0 ∈ D. Заметим, что любой Q-гомеоморфизм в области является кольцевым Q-гомеоморфизмом в той же области, но не наоборот. Понятие кольцевого Q-гомеоморфизма было впервые введено в связи с иссле- дованиями уравнений Бельтрами на плоскости (см., например, [4]), затем в Rn, n ≥ 3, в статье [3] и, наконец, в метрических пространствах с мерами в работе [5]. 3. Основная лемма. Далее Hk, k = 1, . . . , n − 1, обозначает k-мерную меру Хаусдорфа множества A на (Mn, g), n ≥ 2. Точнее, пусть A — множество на (Mn, g). Тогда полагаем Hk(A) = sup ε>0 Hk ε (A) , (13) Hk ε (A) = inf ∞∑ i=1 δi k , (14) где инфимум в (14) берется над всеми счетными наборами чисел δi ∈ (0, ε) таки- ми, что некоторые множества Ai на (Mn, g) с диаметрами δi покрывают A (см., например, [12]). Пусть для некоторого множества A и k ≥ 0 выполнено условие Hk1(A) <∞. Тогда Hk2(A) = 0 для произвольного числа k2 > k1 (см., например, разд. 1. B гл. VII в [12]). Величина dimHA = sup Hk(A)>0 k называется хаусдорфовой размерностью множества A. Лемма 1. Хаусдорфова размерность областей на гладких римановых много- образиях (Mn, g) относительно геодезического расстояния совпадает с тополо- гической размерностью n. Кроме того, гладкие римановы многообразия локально n-регулярны по Альфорсу. Определение регулярности по Альфорсу метрического пространства с мерой см. в [5]. Доказательство. Напомним, что d(z, y) = inf γ sγ , (15) где инфимум берется по всем кусочно-гладким кривым γ, соединяющим z и y в Mn и sγ — длина кривой γ. При этом sγ = ∫ √ gij(x(s∗)) dxi ds∗ dxj ds∗ ds∗, где s∗ — естественный параметр длин дуг кривой γ, и ∣∣∣∣ dxds∗ ∣∣∣∣ = 1. Пусть η = (η1, . . . , ηn), где ηi = dxi ds∗ . Оценим геодезическое расстояние d(z, y) через евклидово рассто- яние ρ(z, y) в произвольных локальных координатах. Для этого цели рассмотрим функцию ϕx0 (η) = gij(x0) ηiηj , (16) заданную на единичной сфере \|η\| = 1 в Rn, где x0 ∈ Mn — фиксированная точка. По определению метрический тензор gij является положительно определенным и ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1304 Е. С. АФАНАСЬЕВА непрерывным. Поскольку непрерывная на компакте функция является ограничен- ной, ϕx0 (η) достигает на нем своего максимума и минимума 0 < mx0 < ϕx0(η) < Mx0 <∞, (17) где mx0 и Mx0 — константы, зависящие от x0. Вследствие непрерывной зависимости ϕx(η) по совокупности переменных x и η, (17) имеет место не только в точке x0, но и во всех точках x некоторой окрестности x0.От любой наперед заданной координатной системы можно перейти в другую систему, такую, что в точке x0 значения всех координат будут равны нулю, а коэффициенты gij фундаментальной формы (2) равны единице, если i = j, и нулю, если i 6= j (см., например, [7, с. 201]). Таким образом, локально имеем двустороннюю оценку геодезического рассто- яния через евклидово расстояние в соответствующей системе координат mr(z, y) ≤ d(z, y) ≤Mr(z, y), где 0 < m ≤M <∞. С другой стороны, из тех же соображений имеем локальную двустороннюю оценку объема V (B) = ∫ B √ det gijdx 1 . . . dxn геодезических шаров B через их евклидов объем W (B) m̃W (B) ≤ V (B) ≤ M̃W (B) (18) в соответствующей системе координат, где det gij близок к единице. Комбинируя (17) и (18), получаем, что локально cdn ≤ V (B) ≤ Cdn, где d — геодезический радиус шаров B. Таким образом, римановы многообразия являются локально n-регулярными по Альфорсу, а значит, их хаусдорфова размерность совпадает с топологической раз- мерностью n (см. [14, c. 62]). Из леммы 1, в частности, получаем локальное условие удвоения меры. Следствие 1. Для любой точки x0 на гладком римановом многообразии (Mn, g) найдутся r0 > 0 и c ∈ (1,∞) такие, что v(B(x0, 2r)) ≤ cv(B(x0, r)) ∀ r ≤ r0. 4. Функции конечного среднего колебания. Пусть (Mn, g), n ≥ 2, — гладкое риманово многообразие. Аналогично [13] говорим, что функция ϕ : Mn → R имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈Mn (сокращенно ϕ ∈ FMO(x0)), если lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) \|ϕ(x)− ϕ̃ε\| dv(x) <∞ ∀ x0 ∈Mn, (19) где ϕ̃ε = ϕ̃ε,x0 = − ∫ B(x0,ε) ϕ(x) dv(x) = 1 v(B(x0, ε)) ∫ B(x0,ε) ϕ(x) dv(x) (20) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1305 — среднее значение функции ϕ(x) по геодезическому шару B(x0, ε) относительно меры объема v. Здесь условие (19) включает предположение, что ϕ интегрируема относительно меры v по некоторому геодезическому шару B(x0, ε) для некоторого ε > 0. Пишем также ϕ ∈ FMO, если ϕ ∈ FMO(x0) для всех x0 ∈Mn. Известно, что условие (19) выполняется для почти всех точек x0, если ϕ ∈ L1 loc, и поэтому указанное условие является естественным. Предложение 2. Если для некоторых чисел ϕε ∈ R, ε ∈ (0, ε0], lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) \|ϕ(x)− ϕε\| dv(x) <∞, (21) то ϕ имеет конечное среднее колебание в точке x0 (см. [15]). Доказательство. Действительно, по неравенству треугольника − ∫ B(x0,ε) \|ϕ(x)− ϕε\|dv(x) ≤ − ∫ B(x0,ε) \|ϕ(x)− ϕε\|dv(x) + \|ϕε − ϕε\| ≤ ≤ 2 − ∫ B(x0,ε) \|ϕ(x)− ϕε\|dv(x). Следствие 2. Если для точки x0 ∈ D выполнено lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) \|ϕ(x)\| dv(x) <∞, (22) то ϕ имеет конечное среднее колебание в точке x0. Следующее утверждение получается из леммы 4.1 в [15] в силу леммы 1 и следствия 1. Предложение 3. Для любой неотрицательной функции ϕ : Mn → R класса FMO(x0) ∫ A(x0,ε,ε0) ϕ(x) dv(x)( d(x, x0) log 1 d(x, x0) )n = O ( log log 1 ε ) (23) при ε→ 0 и некотором ε0 ∈ (0, δ0), где δ0 = min (e−e, r0), r0 — радиус нормальной окрестности точки x0. 5. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов. Далее D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соот- ветственно. Напомним некоторые определения в соответствии с работой [15], в которой рассматривались произвольные метрические пространства с мерами. Область D называется локально связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдется другая ее окрестность V ⊆ U такая, что V ∩D связно. Заметим, что любая жорданова область D локально связна в любой своей граничной точке (см. [16, c. 66]). Замечание 2. Если область D на (Mn, g) локально связна в точке x0 ∈ ∂D, то она и локально линейно связна в x0. Связность и линейная связность эквивалент- ны для открытых множеств на многообразиях и в так называемых слабо плоских пространствах, которые включают в себя известные широкие классы пространств ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1306 Е. С. АФАНАСЬЕВА Левнера, группы Карно и Гейзенберга (см. следствие 13.1 в [6] или следствие 2.1 в [15]). Будем также говорить, что граница ∂D — слабо плоская в точке x0 ∈ ∂D, если для любого числа P > 0 и любой окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая, что M(∆(E,F ;D)) ≥ P (24) для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V. Будем говорить, что граница области D сильно достижима в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдутся компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие, что M(∆(E,F ;D)) ≥ δ (25) для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V. Очевидно, что (24) влечет (25). Граница ∂D называется сильно достижимой и слабо плоской, если соответ- ствующие свойства имеют место в каждой точке границы. Замечание 3. В определениях слабо плоской и сильно достижимой границ можно ограничиться окрестностями точки x0 из какой-либо фундаментальной сис- темы окрестностей и, в частности, можно выбрать окрестности U и V точки x0 в виде достаточно малых шаров (открытых или замкнутых) с центром в точке x0 в локальных координатах или относительно геодезического расстояния. Кроме того, здесь можно ограничиться только континуумами E и F в U. С учетом леммы 1 следующая лемма вытекает из леммы 3.1 работы [15]. Лемма 2. Если ∂D — слабо плоская в точке x0 ∈ ∂D, то D локально связна в x0. Нижеприведенные результаты о граничном поведении кольцевых Q-гомеомор- физмов на римановых многообразиях следуют непосредственно из леммы 1 и со- ответствующих теорем из предыдущей работы автора [5] о граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах с мерами. В частно- сти, следующая теорема следует из теоремы 3 работы [5]. Теорема 1. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ слабо плоская, D компактно и Q ∈ L1(D). Тогда обратный гомеоморфизм g = f−1 : D∗ → D допускает непрерывное продолжение g : D∗ → D. Следующая лемма получается из леммы 4 в [5] с учетом леммы 1. Лемма 3. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, D∗ — компакт, а f : D → D∗ — кольцевой Q-гомеоморфизм в x0 такой, что ∂D∗ сильно достижима хотя бы в одной точке предельного множества C(x0, f) = { y ∈Mn ∗ : y = lim k→∞ f(xk), xk → x0, xk ∈ D } , (26) Q : D → [0,∞] — измеримая функция, удовлетворяющая условию∫ Dx0,ε0 (ε) Q(x)ψnx0,ε(d(x, x0)) dv(x) = o(Inx0,ε0(ε)) (27) для некоторого достаточно малого ε0 ∈ (0, d(x0)) при ε → 0, где d(x0) = = supx∈D d(x, x0), Dx0,ε0(ε) = {x ∈ D : ε < d(x, x0) < ε0} и ψx0,ε(t) — семейство ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1307 неотрицательных измеримых (по Лебегу) функций на (0,∞) таких, что 0 < Ix0,ε0(ε) := ε0∫ ε ψx0,ε(t) dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d(x0)). (28) Тогда f продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). В частности, из леммы 3 получаем следующее утверждение. Лемма 4. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, D∗ — компакт, а f : D → D∗ — кольцевой Q-гомеоморфизм в x0 такой, что ∂D∗ сильно достижи- ма хотя бы в одной точке предельного множества C(x0, f), Q : D → [0,∞] — измеримая функция, удовлетворяющая условию δ(x0)∫ 0 dt(∫ D∩S(x0,t) Q(x) dA )1/(n−1) =∞ (29) для некоторого δ(x0) ∈ (0, d(x0)), где d(x0) = supx∈D d(x, x0), B(x0, δ(x0)) — нор- мальная окрестность точки x0. Тогда f продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Доказательство. Действительно, положим ψ(t) =  1[∫ S(x0,t) Q(x) dA ]1/(n−1) , t ∈ (0, ε0), 0, t > ε0. (30) Тогда в силу условия (29) ∫ A∩D Q(x)ψn (r) dv(x) = = ε0∫ ε dr(∫ S(x0,r) Q(x) dA )1/(n−1) = Ix0,ε0(ε) = o(Inx0,ε0(ε)), где A = A(x0, ε, ε0). Таким образом, по лемме 3 получаем заключение леммы 4. Из предложения 3 и леммы 3 получаем также следующую теорему. Теорема 2. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ сильно дости- жима и D∗ компактно. Если Q ∈ FMO(x0), то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Следствие 3. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ сильно дости- жима и D∗ компактно. Если lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) Q(x) dv(x) <∞, (31) то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим в точку x0 по непре- рывности на (Mn ∗ , g ∗). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1308 Е. С. АФАНАСЬЕВА Комбинируя теорему 1 и лемму 3, получаем также следующие утверждения. Лемма 5. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ слабо плоская, D ком- пактно. Если функция Q ∈ L1(D) удовлетворяет условию (27) в каждой точке x0 ∈ ∂D, то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим до гомео- морфизма f : D → D∗. Теорема 3. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ слабо плоская (сильно достижимая), D∗ (и D) компактно и Q ∈ L1(D). Если Q принадлежит FMO, то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает гомеоморфное (непре- рывное) продолжение f : D → D∗. Теорема 4. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ слабо плоская (сильно достижимая), D∗ (и D) компактно, Q ∈ L1(D), ε(x0)∫ 0 dr(∫ S(x0,r)∩D Q(x) dA )1/(n−1) =∞ ∀ x0 ∈ ∂D (32) и 0 < ε(x0) < d0 = supx∈D d(x, x0) таково, что B(x0, ε(x0)) — нормальная окрестность точки x0. Тогда каждый кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает гомеоморфное (непрерывное) продолжение f : D → D∗. Следствие 4. Пусть D локально связна на ∂D, ∂D∗ слабо плоская (сильно достижимая), D∗ (и D) компактно, Q ∈ L1(D) и 1 rn−1 ∫ S(x0,r)∩D Q(x) dA = O ( logn−1 1 r ) . (33) Тогда каждый кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает гомеоморфное (непрерывное) продолжение f : D → D∗. 6. Следствия для гомеоморфизмов класса Соболева. В качестве следствий сформулируем основные результаты для гомеоморфизмов класса Соболева W 1,n loc между областями на гладких римановых n-мерных многообразиях. Именно, пусть D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соответственно. Говорят, что отображение f : D → D∗ принадле- жит классу Соболева W 1,p loc (D), если координатные функции f имеют в локальных координатах обобщенные частные производные первого порядка, локально инте- грируемые в степени p. Определение класса Соболева W 1,p loc корректно вследствие его инвариантности относительно замен локальных координат. Известно, что непрерывная функция f в Rn принадлежит классу W 1,p loc тогда и только тогда, когда f ∈ ACLp, т. е. если отображение f локально абсолютно непрерывно на почти всех отрезках, параллельных координатным осям, а первые частные производные f локально интегрируемы в степени p (см., например, теоре- мы 2.7.1 и 2.7.2 в [17]). Также известно, что непрерывные функции f класса W 1,p loc в Rn характеризуются тем, что их можно аппроксимировать последовательностя- ми гладких функций {fm} так, что fm → f локально равномерно, а их первые обобщенные производные сходятся локально в Lp (cм., например, теорему 27.7 в [18], а также теоремы 1.1, 1.6 и 1.8 в [19]). Аналогичный критерий имеет место на гладких римановых многобразиях (см., например, теорему 6.10 в [20]). В случае ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1309 p = n существует подпоследовательность {fmk }, производные которой сходятся локально в L1 на почти всех локально спряляемых кривых к производным f отно- сительно естественной меры длин дуг [21]. Таком образом, приходим к следующей теореме (ср. с теоремой 28.2 в [18] для Rn). Теорема Фугледе. Пусть D — область на гладком римановом многообразии (Mn, g) и f : D → R — непрерывная функция класса W 1,n loc . Тогда M(Γ) = 0, где Γ — семейство всех спрямляемых кривых в D, на которых f не является локально абсолютно непрерывной. Развитая в п. 5 теория будет применима к гомеоморфизмам класса W 1,n loc с KI(x, f) ∈ L1 loc, так как такие гомеоморфизмы, как мы покажем, являются кольце- выми Q-гомеоморфизмами с Q(x) = KI(x, f), где KI(x, f) — внутренняя дилата- ция отображения f : KI(x, f) = J(x, f) ln(x, f) . (34) Здесь J(x, f) = lim sup r→0 v∗(f(B(x, r))) v(B(x, r)) и l(x, f) = lim inf y→x d∗(f(x), f(y)) d(x, y) . В (34) доопределяем KI(x, f) = 1, если l(x, f) = 0 = J(x, f), и KI(x, f) =∞, если l(x, f) = 0, но J(x, f) 6= 0. Замечание 4. Напомним, что гомеоморфизмы f между областями в Rn класса W 1,n loc дифференцируемы почти всюду и имеют (N)-свойство Лузина (см. [22, 23]). При этом если к тому же KI(x, f) ∈ L1 loc, то f −1 ∈W 1,n loc по следствию 2.3 в работе [24], cледовательно, f−1 также дифференцируемый почти всюду и имеет (N)- свойство. Последнее свойство влечет, что J(x, f) 6= 0 почти всюду (см. [25]). Таким образом, в (34) мы можем почти всюду J(x, f) заменить на Jf (x) := \|det f ′(x)\|, а l(x, f) — на lf (x) := inf h∈Rn, \|h\|=1 \|f ′(x)h\|, где f ′(x) — якобиева матрица отображения f в любых локальных координатах на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗). Далее мы также используем обозначение операторной нормы якобиевой матрицы ‖f ′(x)‖ := sup h∈Rn, \|h\|=1 \|f ′(x)h\|. Лемма 6. Пусть f : D → D∗ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n loc (D) с KI(x, f) ∈ L1 loc(D). Тогда f является Q-гомеоморфизмом с Q(x) = KI(x, f). Доказательство. Пусть Γ — произвольное семейство кривых в области D и Γ̃ — семейство всех путей γ ∈ f(Γ), на которых f−1 является локально абсолютно непрерывным. Тогда по приведенной выше теореме Фугледе M(f(Γ)) = M(Γ̃). Для произвольной функции ρ ∈ adm Γ полагаем ρ̃(y) = ρ(f−1(y))‖(f−1)′(y)‖ для почти всех y ∈ D∗, где f−1 дифференцируемо, и ρ̃(y) = 0 для остальных точек. Тогда получаем ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1310 Е. С. АФАНАСЬЕВА∫ γ̃ ρ̃ ds ≥ ∫ f−1◦γ̃ ρ ds ≥ 1 для всех γ̃ ∈ Γ̃ и, следовательно, ρ̃ ∈ adm Γ̃. Согласно замечанию 4, f и f−1 являются дифференцируемыми почти всюду, имеют (N)-свойство и J(x, f) 6= 0 почти всюду. Поэтому, применяя замену пере- менных под интегралом (см., например, [26]), получаем M(fΓ) = M(Γ̃) ≤ ∫ D∗ ρ̃n dv∗(y) = = ∫ D∗ ρn(f−1(y))‖(f−1)′(y))‖n dv∗(y) = ∫ D∗ ρn(f−1(y)) lf (f−1(y))n dv∗(y) = = ∫ D∗ ρn(f−1(y))KI(f −1(y), f)Jf−1(y) dv∗(y) = ∫ D KI(x, f)ρn(x) dv(x). Здесь мы также воспользовались соотношениями Jf−1(y) = 1/Jf (f−1(y)) и ‖(f−1)′(y))‖ = 1/ lf (f−1(y)) почти всюду. В качестве следствий леммы 6 и результатов предыдущего пункта получаем следующие теоремы. Теорема 5. Пусть D локально связна на ∂D, ∂D∗ слабо плоская, D компакт- но и f : D → D∗ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n loc (D) с KI(x, f) ∈ L1(D). Тогда обратный гомеоморфизм g = f−1 : D∗ → D допускает непрерывное про- должение g : D∗ → D. Теорема 6. ПустьD локально связна на ∂D, ∂D∗ сильно достижимая (слабо плоская),D∗ (иD) компактно,Q : Mn → (0,∞) иQ— функция класса FMO. Тогда любой гомеоморфизм f : D → D∗ класса Соболева W 1,n loc (D) с KI(x, f) ≤ Q(x) почти всюду в D допускает непрерывное (гомеоморфное) продолжение f : D → → D∗. Следствие 5. Пусть D локально связна на ∂D, ∂D∗ сильно достижимая (слабо плоская),D∗ (иD) компактно,Q : Mn → (0,∞), Q — локально суммируемая функция и lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) Q(x) dv(x) <∞ ∀ x0 ∈ ∂D. Тогда любой гомеоморфизм f : D → D∗ класса Соболева W 1,n loc (D) с KI(x, f) ≤ ≤ Q(x) почти всюду в D допускает непрерывное (гомеоморфное) продолжение f : D → D∗. Теорема 7. ПустьD локально связна на ∂D, ∂D∗ сильно достижимая (слабо плоская), D∗ (и D) компактно. Если f : D → D∗ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n loc (D) такой, что KI(x, f) ∈ L1(D) и ε(x0)∫ 0 dr(∫ D(x0,r) KI(x, f) dA )1/n−1 =∞ ∀ x0 ∈ ∂D, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1311 где D(x0, r) = D ∩S(x0, r), то f допускает непрерывное (гомеоморфное) продол- жение f : D → D∗. Следствие 6. Пусть D локально связна на ∂D, ∂D∗ сильно достижимая (слабо плоская), D∗ (и D) компактно. Если f : D → D∗ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n loc (D) такой, что KI(x, f) ∈ L1(D) и 1 rn−1 ∫ S(x0,r)∩D KI(x, f) dA = O ( logn−1 1 r ) ∀ x0 ∈ ∂D при r → 0,то f допускает непрерывное (гомеоморфное) продолжение f : D → D∗. 7. Интегральные условия. Напомним, что функция Φ: [0,∞]→ [0,∞] назы- вается выпуклой, если Φ(λt1 + (1− λ)t2) ≤ λΦ(t1) + (1− λ)Φ(t2) для всех t1, t2 ∈ [0,∞] и λ ∈ [0, 1]. Лемма 7. Пусть B0 = B(x0, ε0) — нормальная окрестность точки x0 на римановом многообразии (Mn, g), n ≥ 2, Q : B0 → [0,∞] — измеримая функция и Φ: [0,∞]→ (0,∞] — возрастающая выпуклая функция. Тогда ε0∫ 0 dr rq 1 p (r) ≥ c n ∞∫ eCM0 dτ τ [Φ−1(τ)]1/p ∀ p ∈ (0,∞), где M0 — среднее значение функции Φ ◦ Q над геодезическим шаром B0, q(r) — средние значения функции Q(x) над геодезическими сферами S(x0, r) = {x ∈ ∈ Mn : d(x, x0) = r}, c и C — постоянные, произвольно близкие к единице для малых ε0. Доказательство. В нормальной системе координат точка x0 имеет нулевые координаты, а коэффициенты gij фундаментальной формы (2) равны единице, ес- ли i = j, и нулю, если i 6= j (см., например, (b) и (c) предложения 5.11 в [8]). Следовательно, во всех точках достаточно малой окрестности точки x0 матрица gij произвольно близка к единичной. Поэтому элементы объема и площади на гео- дезических сферах в таких окрестностях эквивалентны евклидовым с коэффициен- том эквивалентности, произвольно близким к единице. Таким образом, заключение леммы 7 следует из ее евклидового аналога (см. лемму 1 в [27]). Полагая Q ≡ 0 вне области D и комбинируя леммы 4 и 7 при p = n − 1, получаем следующий результат. Теорема 8. Пусть D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соответственно, D локально связна на ∂D, D∗ имеет сильно достижимую границу и D∗ компактно. Предположим, что f : D → D∗ — кольцевой Q-гомеоморфизм с ∫ D Φ(Q(x)) dv <∞ для выпуклой возрастающей функции Φ: [0,∞]→ (0,∞]. Если ∞∫ δ0 dτ τ [Φ−1(τ)]1/(n−1) =∞ (35) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1312 Е. С. АФАНАСЬЕВА для некоторого δ0 > Φ(0), то f имеет непрерывное продолжение f : D → D∗. Кроме того, используя теорему 1, получаем также следующее утверждение. Теорема 9. Если дополнительно к условиям теоремы 8 Q ∈ L1(D), область D∗ имеет слабо плоскую границу, а замыкание D компактно, то f имеет гомео- морфное продолжение f : D → D∗. Наконец, отсюда с учетом леммы 6 получаем следующую теорему. Теорема 10. Пусть D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соответственно, D локально связна на ∂D, D∗ имеет сильно достижимую (слабо плоскую) границу, D∗ (и D) компактно. Тогда любой гомеоморфизм f : D → D∗ класса Соболева W 1,n loc (D) такой, что∫ D Φ(KI(x, f)) dv(x) <∞ (36) для некоторой выпуклой возрастающей функции Φ: [0,∞] → (0,∞] с условием (35) допускает непрерывное (гомеоморфное) продолжение f : D → D∗. Как показывает соответствующий пример в Rn, n ≥ 2, из работы [28], условие (35) является не только достаточным, но и необходимым для непрерывного про- должения указанных отображений на границу при интегральном ограничении (36). Отметим, наконец, что все известные в настоящий момент регулярные границы — гладкие и липшицевые, а также границы выпуклых, квазивыпуклых, равномер- ных и QED-областей, квазиэкстремальной длины по Герингу – Мартио — являются слабо плоскими и, следовательно, приведенные выше результаты применимы к таким границам (см. [29]). 1. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420. 2. Ломако Т. В. О распространении некоторых обобщений квазиконформных отображений на границу // Укр. мат. журн. – 2009. – 6, № 10. – С. 1329 – 1337. 3. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеомор- физмов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361 – 1376. 4. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Укр. мат. вестн. – 2007. – 4, № 1. С. 97 – 115. 5. Смоловая Е. С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 5. – С. 682 – 689. 6. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer Monogr. Math. – New York: Springer, 2009. 7. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1960. 8. Lee J. M. Riemannian manifolds: An introduction to curvature. – New York: Springer, 1997. 9. Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 10. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Гостехтеоретиздат, 1953. 11. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. – P. 353 – 393. 12. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948. 13. Игнатьев А. А., Рязанов В. И Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2, № 3. – С. 395 – 417. 14. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer, 2001. 15. Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2007. – 4, № 2. – С. 199 – 234. 16. Wilder R. L. Topology of manifolds. – New York: Amer. Math. Soc., 1949. 17. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высш. шк., 1977. 18. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229. 19. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1313 20. Suominen K. Quasiconformal maps in manifolds // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1 Math. – 1966. – 393. – P. 1 – 39. 21. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – 98. – P. 171 – 219. 22. Решетняк Ю. Г. Обобщенные производные и дифференцируемость п. в. // Мат. сб. – 1968. – 75, № 3. – С. 323 – 334. 23. Решетняк Ю. Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений с обобщенными производными // Сиб. мат. журн. – 1966. – 7, № 4. – С. 886 – 919. 24. Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: Capacity and modulus inequalities // J. reine und angew. Math. – 2006. – 599. – S. 1 – 26. 25. Пономарев С. П. N−1-свойство отображений и (N)-условие Лузина // Мат. заметки. – 1995. – 58. – С. 411 – 418. 26. Müller S. Higher integrability of determinants and weak convergence in L1 // J. reine und angew. Math. – 1990. – 412. – S. 20 – 34. 27. Kovtonyuk D., Ryazanov V. Toward the theory of generalized quasi-isometries // Мат. студ. – 2010. – 34, № 2. – С. 129 – 135. 28. Kovtonyuk D., Ryazanov V. On boundary behavior of generalized quasi-isometries // ArXiv: 1005. 0247v1 [math. CV], 3 May 2010. 29. Афанасьева Е. С., Рязанов В. И. Регулярные области в теории отображенй на римановых много- образиях // Труды Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2011. – 22. – С. 1 – 10. Получено 25.02.11, после доработки — 14.07.11 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10

Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах

Репозитарії

Схожі ресурси