Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению
Знайдено найкращу iнтервальну квадратурну формулу на класi заданих на вiдрiзку [0, 1] опуклозначних функцiй, монотонних вiдносно включення. The best interval quadrature formula is obtained for the class of convex set-valued functions defined on the segment [0, 1] and monotone with respect to inclusi...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166393 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению / В.В. Бабенко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1565–1569. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860179847306805248 |
|---|---|
| author | Бабенко, В.В. |
| author_facet | Бабенко, В.В. |
| citation_txt | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению / В.В. Бабенко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1565–1569. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Знайдено найкращу iнтервальну квадратурну формулу на класi заданих на вiдрiзку [0, 1] опуклозначних функцiй, монотонних вiдносно включення.
The best interval quadrature formula is obtained for the class of convex set-valued functions defined on the segment [0, 1] and monotone with respect to inclusion.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:02:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
В. В. Бабенко (Днепропетр. нац. ун-т)
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ФОРМУЛ
ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ
ФУНКЦИЙ, МОНОТОННЫХ ПО ВКЛЮЧЕНИЮ
The best interval quadrature formula is obtained for the class of convex set-valued functions defined on the
segment [0, 1] and monotone with respect to inclusion.
Знайдено найкращу iнтервальну квадратурну формулу на класi заданих на вiдрiзку [0, 1] опуклозначних
функцiй, монотонних вiдносно включення.
В работе [1] решена задача о наилучшей квадратурной формуле на классе моно-
тонно неубывающих функций f : [0, 1]→ R таких, что f(0) = 0, f(1) = 1. Задача о
наилучшей интервальной квадратурной формуле на этом классе функций решена в
работе [2]. В [3] решена задача оптимизации приближенного вычисления интегра-
лов в смысле Хукухары [4] на классах заданных на [0, 1] многозначных функций,
монотонных по включению, с помощью „точечных” квадратурных формул. Цель
данной статьи — решение задачи оптимизации интервальных квадратурных формул
на рассмотренных в [3] классах функций.
Мы будем использовать определения и факты, приведенные в [3]. Кратко опи-
шем некоторые из них.
Через K(Rd) обозначим совокупность непустых компактных выпуклых под-
множеств пространства Rd. Пусть A1, . . . , An ∈ K(Rd), α1, . . . , αn ∈ R, Ai 6= ∅ и
αi ≥ 0 для i = 1, n. Как обычно, положим
n∑
i=1
αiAi =
{
n∑
i=1
αixi : xi ∈ Ai, i = 1, n
}
.
Метрика Хаусдорфа в K(Rd) определяется соотношением
δ(A,B) = max
{
sup
x∈A
inf
y∈B
|x− y|, sup
x∈B
inf
y∈A
|x− y|
}
,
где | · | — евклидова норма в пространстве Rd.
Точная постановка рассматриваемой нами задачи такова.
Пусть заданы множества A,B ∈ K(Rd) (A ⊂ B). Через MA,B обозначим класс
функций f : [0; 1] −→ K(Rd), монотонных по включению (т. е. из 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1
следует, что f(x1) ⊂ f(x2)) и таких, что f(0) = A, f(1) = B.
Для заданных чисел n ∈ N и H ∈ (0, 1) обозначим через Qn,H совокупность
квадратурных формул вида
q(f) = C +
n∑
k=1
ck
1
|Ik|
∫
Ik
f(x)dx, f ∈MA,B , (1)
c© В. В. БАБЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11 1565
1566 В. В. БАБЕНКО
где C ∈ K(Rd), ck ≥ 0, k = 1, n, {Ik}nk=1 — совокупность содержащихся в [0, 1]
отрезков, таких, что
∑n
k=1
|Ik| ≤ H , |Ik| — длина отрезка Ik.
Положим
R(MA,B , q) = sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, q(f)
,
Rn,H(MA,B) = inf
q∈Qn,H
R(MA,B , q).
(2)
Задача о наилучшей на классе MA,B квадратурной формуле из Qn,H состоит
в том, чтобы найти величину (2) и квадратурную формулу вида (1), реализующую
точную нижнюю грань в правой части (2).
Теорема. Среди всех квадратурных формул q ∈ Qn,H наилучшей на классе
MA,B является формула
qn,H(f) =
(1−H)
2(n+ 1)
(A+B) +
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx,
где
Ik =
k 1 + H
n
n+ 1
− H
n
, k
1 +
H
n
n+ 1
, k = 1, n,
при этом
Rn,H(MA,B) = R(MA,B , qn,H) =
= sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, qn,H(f)
=
1−H
2(n+ 1)
δ(A,B).
Доказательство. Нам понадобится следующий факт об интегралах от моно-
тонных функций (см. [3], утверждение 5):
f(a)(b− a) ⊂
b∫
a
f(x)dx ⊂ f(b)(b− a). (3)
Далее для сокращения записей положим l = H/(2n) xk = −H
2n
+ k
1 +H/n
n+ 1
=[
−l + k
1 + 2l
n+ 1
]
, k = 1, n.
Учитывая аддитивность интеграла (см. [3], утверждение 4), для f ∈ MA,B
имеем
1∫
0
f(x)dx =
x1+l∫
x0+l
f(x)dx+
x2+l∫
x1+l
f(x)dx+ . . .+
xn+l∫
xn−1+l
f(x)dx+
1∫
xn+l
f(x)dx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ФОРМУЛ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ . . . 1567
Для k = 0, n− 1, используя (3), получаем
xk+1+l∫
xk+l
f(x)dx =
=
xk+1−l∫
xk+l
f(x)dx+
xk+1+l∫
xk+1−l
f(x)dx ⊂ f(xk+1 − l)
1−H
n+ 1
+
xk+1+l∫
xk+1−l
f(x)dx ⊂
⊂ n
H
1−H
n+ 1
∫
Ik+1
f(x)dx+
∫
Ik+1
f(x)dx =
1 +
H
n
n+ 1
n
H
∫
Ik+1
f(x)dx.
Кроме того,
1∫
xn+l
f(x)dx ⊂ 1−H
n+ 1
B.
Тогда
1∫
0
f(x)dx ⊂
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
∫
Ik
f(x)dx+B
1−H
n+ 1
.
Аналогично устанавливается, что
1∫
0
f(x)dx ⊃
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx+A
1−H
n+ 1
.
Таким образом,
A
1−H
n+ 1
+
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx ⊂
1∫
0
f(x)dx ⊂
⊂ B 1−H
n+ 1
+
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx. (4)
В [3] доказано, что если X,Y, Z ∈ K(Rd) и X ⊂ Y ⊂ Z, то
δ
(
Y,
X + Z
2
)
≤ 1
2
δ(X,Z).
Отсюда и из (4) выводим
δ
1∫
0
f(x)dx,
1−H
2(n+ 1)
(A+B) +
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1568 В. В. БАБЕНКО
≤ 1−H
2(n+ 1)
δ(A,B).
Таким образом, мы доказали, что
Rn,H(MA,B) ≤ R(MA,B ; qn,H) ≤ 1−H
2(n+ 1)
δ(A,B). (5)
Теперь покажем, что для произвольной квадратурной формулы вида (1)
R(MA,B , q) = sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, q(f)
≥ 1−H
2(n+ 1)
δ(A,B).
Отсюда и из (5) следует утверждение теоремы.
Рассмотрим множество [0, 1]\
n⋃
k=1
Ik. Поскольку
∑n
k=1
|Ik| ≤ H, это множес-
тво будет содержать интервал (a, b), длина которого не меньше чем
1−H
n+ 1
. Поло-
жим
f1(x) =
A, x ≤ a,
B, x > a,
и f2(x) =
A, x < b,
B, x ≥ b.
Тогда
1∫
0
f1(x)dx = Aa+B(1− a),
1∫
0
f2(x)dx = Ab+B(1− b)
и
q(f1) = q(f2).
Следовательно,
sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, q(f)
≥
≥ max
δ
1∫
0
f1(x)dx, q(f1)
, δ
1∫
0
f2(x)dx, q(f2)
≥
≥ 1
2
δ
1∫
0
f1(x)dx, q(f1)
+ δ
1∫
0
f2(x)dx, q(f2)
≥
≥ 1
2
δ
1∫
0
f1(x)dx,
1∫
0
f2(x)dx
=
1
2
δ(Aa+B(1− a), Ab+B(1− b)).
Для множеств C,D ⊂ K(Rd) положим e(C,D) = supx∈C infy∈D |x−y|, так что
δ(C,D) = max(e(C,D), e(D,C)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ФОРМУЛ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ . . . 1569
Рассмотрим e(Aa+B(1−a), Ab+B(1−b)). Используя теорему двойственности
(см., например, [5], теорема 2.3.1), имеем
e(Aa+B(1− a), Ab+B(1− b)) =
= sup
z∈Aa+B(1−a)
sup
||f ||≤1
{
f(z)− sup
w∈(Ab+B(1−b))
f(w)
}
=
= sup
||f ||≤1
{
sup
x∈A,y∈B
(af(x) + (1− a)f(y))− sup
u∈A,v∈B
(bf(u) + (1− b)f(v))
}
=
= sup
||f ||≤1
(
a sup
x∈A
f(x) + (1− a) sup
y∈B
f(y)− b sup
x∈A
f(x)− (1− b) sup
x∈B
f(y)
)
=
= sup
||f ||≤1
((a− b) sup
x∈A
f(x) + (b− a) sup
y∈B
f(y)) =
= (b− a) sup
y∈B
sup
||f ||=1
(f(y)− sup
x∈A
f(x)) = (b− a)e(B,A).
Поскольку A ⊂ B, нетрудно проверить, что
Ab+B(1− b) ⊂ Aa+B(1− a))
и, следовательно, e(A,B) = 0, так что δ(Aa+B(1−a), Ab+B(1−b)) = e(B,A) =
= δ(A,B).
Таким образом, для любой квадратурной формулы q ∈ Qn,H
sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, q(f)
≥ 1
2
(b− a)δ(A,B) ≥ 1−H
2(n+ 1)
δ(A,B).
Теорема доказана.
1. Kiefer J. Optimum sequential search and approximation methods under minimum regularity assumptions
// J. Soc. Indust. Appl. Math. – 1957. – 5, № 3. – P. 105 – 136.
2. Бабенко В. Ф., Бородачев С. В. Об оптимизации кубатурных монотонных функций нескольких
переменных // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2002. – Вип. 7. – С. 3 – 7.
3. Бабенко В. Ф., Бабенко В. В. Оптимизация приближенного интегрирования многозначных функ-
ций, монотонных по включению // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 147 – 155.
4. Hukuhara M. Integration des Applicaitons Mesurables dont la Valeur est un Compact Convexe // Funkc.
ekvacioj. – 1967. – 10. – P. 205 – 223.
5. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 c.
Получено 01.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166393 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:02:03Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабенко, В.В. 2020-02-19T05:35:13Z 2020-02-19T05:35:13Z 2011 Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению / В.В. Бабенко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1565–1569. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166393 517.5 Знайдено найкращу iнтервальну квадратурну формулу на класi заданих на вiдрiзку [0, 1] опуклозначних функцiй, монотонних вiдносно включення. The best interval quadrature formula is obtained for the class of convex set-valued functions defined on the segment [0, 1] and monotone with respect to inclusion. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению Бабенко, В.В. Короткі повідомлення |
| title | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению |
| title_alt | Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion |
| title_full | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению |
| title_fullStr | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению |
| title_full_unstemmed | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению |
| title_short | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению |
| title_sort | оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166393 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovv optimizaciâintervalʹnyhformulpribližennogointegrirovaniâmnogoznačnyhfunkciimonotonnyhpovklûčeniû AT babenkovv optimizationofintervalformulasforapproximateintegrationofsetvaluedfunctionsmonotonewithrespecttoinclusion |