О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами
Наведено точнi трикутнi зображення скiнченних p-груп Калужнiна Pp,n над полем iз p елементiв. Це дозволяє отримати трикутне зображення проективної границi Pp груп Pp,n. Отримане зображення вивчається за допомогою розробленої для цього мови шаблонiв матриць. Як приклад наведено трикутне зображення вi...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166398 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами / Ю.Г. Леонов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1501–1511. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166398 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Леонов, Ю.Г. 2020-02-19T05:40:03Z 2020-02-19T05:40:03Z 2011 О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами / Ю.Г. Леонов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1501–1511. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166398 512 Наведено точнi трикутнi зображення скiнченних p-груп Калужнiна Pp,n над полем iз p елементiв. Це дозволяє отримати трикутне зображення проективної границi Pp груп Pp,n. Отримане зображення вивчається за допомогою розробленої для цього мови шаблонiв матриць. Як приклад наведено трикутне зображення вiдомої самоподiбної 3-групи Гупта – Сiдкi. Faithful triangular representations of finite Kaloujnine p-groups are presented. This allows us to obtain a triangular representation of the projective limit Pp of groups Pp,n. The obtained representation is studied by using a language of matrix templates specially developed for this purpose. As an example, we present a triangular representation of the well-known self-similar Gupta – Sidki 3-group ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами On the representation of groups approximated by finite p-groups Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами |
| spellingShingle |
О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами Леонов, Ю.Г. Статті |
| title_short |
О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами |
| title_full |
О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами |
| title_fullStr |
О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами |
| title_full_unstemmed |
О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами |
| title_sort |
о представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами |
| author |
Леонов, Ю.Г. |
| author_facet |
Леонов, Ю.Г. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the representation of groups approximated by finite p-groups |
| description |
Наведено точнi трикутнi зображення скiнченних p-груп Калужнiна Pp,n над полем iз p елементiв. Це дозволяє отримати трикутне зображення проективної границi Pp груп Pp,n. Отримане зображення вивчається за допомогою розробленої для цього мови шаблонiв матриць. Як приклад наведено трикутне зображення вiдомої самоподiбної 3-групи Гупта – Сiдкi.
Faithful triangular representations of finite Kaloujnine p-groups are presented. This allows us to obtain a triangular representation of the projective limit Pp of groups Pp,n. The obtained representation is studied by using a language of matrix templates specially developed for this purpose. As an example, we present a triangular representation of the well-known self-similar Gupta – Sidki 3-group
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166398 |
| citation_txt |
О представлении групп, аппроксимируемых конечными p-группами / Ю.Г. Леонов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1501–1511. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT leonovûg opredstavleniigruppapproksimiruemyhkonečnymipgruppami AT leonovûg ontherepresentationofgroupsapproximatedbyfinitepgroups |
| first_indexed |
2025-11-25T20:41:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:41:34Z |
| _version_ |
1850531269962629120 |
| fulltext |
УДК 512
Ю. Г. Леонов (Одес. нац. акад. связи)
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП,
АППРОКСИМИРУЕМЫХ КОНЕЧНЫМИ p-ГРУППАМИ
Faithful triangular representations of finite Kaloujnine p-groups are presented. This allows us to obtain a
triangular representation of the projective limit Pp of groups Pp,n. The obtained representation is studied
by using a language of matrix templates specially developed for this purpose. As an example, we present a
triangular representation of the well-known self-similar Gupta – Sidki 3-group.
Наведено точнi трикутнi зображення скiнченних p-груп Калужнiна Pp,n над полем iз p елементiв.
Це дозволяє отримати трикутне зображення проективної границi Pp груп Pp,n. Отримане зображення
вивчається за допомогою розробленої для цього мови шаблонiв матриць. Як приклад наведено трикутне
зображення вiдомої самоподiбної 3-групи Гупта – Сiдкi.
1. Введение. Конечнократные сплетения циклической группы простого порядка
p на себя и группы унитреугольных матриц UTn(p) над полем Zp из p элементов
являются универсальными по вложению объектами в классе конечных p-групп, т. е.
каждая конечная p-группа допускает точное представление как элементами такого
сплетения, так и унитреугольными матрицами определенной размерности. В зави-
симости от задачи естественным может быть какое-то одно из этих представлений.
Поэтому важно уметь представлять указанные сплетения унитреугольными матри-
цами, а группы UTn(p) погружать в такие сплетения. Вложения группы UTn(p) в
сплетение
oni=1Z(i)
p = Pp,n
легко просматривается и хорошо известно [1]. Будем называть группы Pp,n груп-
пами Калужнина.
В работе [2] получено точное треугольное представление группы Калужнина
P2,n над полем из двух элементов. Данное представление fn : P2,n → UTm(2) уста-
навливалось при m = 2n + 1, и это m является наименьшим с таким свойством.
Последовательность представлений {fn}∞n=1 согласованы между собой, и это поз-
волило в той же работе получить представление проективного предела P2 групп
P2,n в группу бесконечномерных унитреугольных матриц UT (2).
Целью данной работы является построение точного треугольного представ-
ления групп Калужнина Pp,n для всех простых p. Следуя работе [2], мы также
получим представление проективного предела Pp групп Pp,n в группу бесконечно-
мерных унитреугольных матриц UT (p). Отметим, что впервые о подобных пред-
ставлениях шла речь еще в работе [3]. В качестве примера полученных отображе-
ний мы демонстрируем вложение известной группы автоморфизмов регулярного
корневого 3-дерева — 3-группы Гупта – Сидки в группу UT (3).
2. Точные треугольные представления групп Pp,n и их свойства. Рассмот-
рим n-кратное сплетение групп порядка p — группу Pp,n, согласно [1]. Каждый
элемент y ∈ Pp,n представим как таблицу вида
y =
[
y0, y1(t1), . . . , yk(t1, . . . , tk), . . . , yn(t1, . . . , tn)
]
.
Здесь на k-м, k = 0, 1, . . . , n, месте в таблице стоят многочлены yk(t1, . . . , tk), кото-
рые являются представителями минимальной степени классов смежности кольца
c© Ю. Г. ЛЕОНОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11 1501
1502 Ю. Г. ЛЕОНОВ
многочленов Zp[t1, . . . , tk] по модулю идеала, порожденного многочленами вида
tp1 − t1, . . . , tpn − tn. Такие многочлены назовем редуцированными. Каждый одно-
член кольца редуцированных многочленов Zp[t1, . . . , tk] имеет вид α · tb11 . . . tbnn ,
где α, b1, . . . , bn ∈ Zp. Высотой такого одночлена назовем число
h(α · tb11 . . . tbnn ) = 1 +
n∑
s=1
bs · ps−1.
Одночлен высоты j с коэффициентом α = 1 обозначим через t(j). Любой мно-
гочлен кольца редуцированных многочленов Zp[t1, . . . , tk] может быть однозначно
представлен в виде суммы одночленов попарно разных высот следующим образом:
yk(t1, . . . , tk) =
pk∑
j=1
yk,jt(j), (1)
где t(j) — одночлен высоты j, t(1) = 1. Высотой многочлена называется наиболь-
шая из высот одночленов в сумме (1) с ненулевым коэффициентом.
Для построения точного треугольного представления группы Pp,n над полем
из p элементов укажем мономорфизм группы Pp,n в группу нижних треугольных
матриц UTpn+1(p) по аналогии с работой [2] (в несколько иных обозначениях).
Определим действие таблицы y ∈ Pp,n на многочлен g высоты j. Для данных
n и g составим таблицу элемента ḡ в сплетении следующим образом. Первые n
координат таблицы выберем нулевыми, а последнюю координату возьмем равной
g. Легко видеть, что определение корректно и ḡ ∈ P2,n. Рассмотрим элемент ḡy =
= y−1 · ḡ · y. Все координаты его таблицы нулевые, кроме, быть может, последней.
Многочлен, явлющийся последней координатой, обозначим gy. Из определения
видно, что высота многочлена h(g) совпадает с высотой h(gy). Будем говорить,
что многочлен gy получен действием элемента y на многочлен g.
Определим отображение fp,n : Pp,n → UTpn+1(p). А именно, высота многочле-
на в последней координате таблицы y ∈ Pp,n ограничена числом pn. Рассмотрим
одночлены t(k) высоты k = 1, 2, . . . , pn + 1 и многочлены
t(k)
y
=
k∑
j=1
uk,j · t(j).
Возьмем квадратную матрицу U = U(y) размерности pn + 1 с условием
U(y)k,j =
0, k < j,
uk,j , k ≥ j.
(2)
Из определения видно, что U(y)i,i = ui,i = 1 для любой таблицы y. Отображение
fp,n определим равенством fp,n(y) = U(y). Из определения видно, что отобра-
жение fp,n задано корректно. Отображение fp,n впервые встречается в несколько
иной форме в [3].
Теорема 1. При любом n ≥ 1 определенное выше отображение
fp,n : Pp,n → UTpn+1(p)
является мономорфизмом. Не существует изоморфных вложений группы Pp,n в
группу унитреугольных матриц над Zp меньших размерностей.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП, АППРОКСИМИРУЕМЫХ КОНЕЧНЫМИ p-ГРУППАМИ 1503
Доказательство. Покажем, что
fp,n(y · z) = fp,n(y) · fp,n(z)
для любых y, z ∈ Pp,n. Рассмотрим t(k)(y·z) = (t(k)
y
)
z
. Расписывая левую часть
по определению, имеем
pn+1∑
s=1
fp,n(y · z)k,s · t(s)
(ясно, что fp,n(y · z)k,s = 0 при k < s). Рассмотрим теперь правую часть:pn+1∑
j=1
fp,n(y)k,j · t(j)
z =
pn+1∑
j=1
(
fp,n(y)k,j · t(j)
)z
=
=
pn+1∑
j=1
(
fp,n(y)k,j ·
pn+1∑
s=1
fp,n(z)j,s · t(s)
)
=
=
pn+1∑
s=1
pn+1∑
j=1
fp,n(y)k,j · fp,n(z)j,s
· t(s).
Мы показали, что
fp,n(y · z)k,s =
pn+1∑
j=1
fp,n(y)k,j · fp,n(z)j,s для всех k, s.
Следовательно, матрицы fp,n(y · z) и fp,n(y) · fp,n(z) совпадают.
Для доказательства инъективности возьмем одночлены вида t(1 + pl) = tl+1,
l ≥ 0. Рассмотрим многочлен tyl+1 и заметим, что справедливо равенство
fp,n(y)i,1+pl = yl,i для всех i = 1, . . . , pl. Отсюда следует инъективность отоб-
ражения fn.
Последнее утверждение теоремы следует из того, что класс нильпотентности
группы Pp,n равен pn (см., например, [4]), а класс нильпотентности группы UTm(p)
равен m− 1.
Теорема 1 доказана.
Из определения произведения таблиц сплетений ясно, что многочлен t(j)y не
зависит от фиксированного числа n. Пусть τn,m(p) : Pp,n → Pp,m — гомоморфизм,
который убирает лишние координаты в таблицах при n > m и дописывает необхо-
димые нулевые координаты в случае n < m. Действие y на t(j) можно определить
в сплетении Pp,m, m = [logp(j + 1)], положив t(j)y = t(j)
τn,m(p)(y)
.
Система мономорфизмов τn+1,n(p), n = 0, 1, . . . , позволяет рассмотреть есте-
ственный проективный (обратный) предел Pp групп Pp,n. Элементы группы Pp
можно рассматривать в виде (неограниченной) последовательности редуцирован-
ных многочленов y =
[
y0, y1(t1), y2(t1, t2), . . .
]
по аналогии с таблицами конечных
групп Калужнина.
На основании изложенного можно утверждать, что система мономорфизмов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1504 Ю. Г. ЛЕОНОВ
fp,n : Pp,n → UTpn+1(p), n ∈ N,
определяет мономорфизм
fp : Pp → UT (p),
где UT (p) — группа бесконечномерных унитреугольных матриц над полем из p
элементов. Строки и столбцы матриц этой группы будем индексировать натураль-
ными числами. При этом для произвольной таблицы y ∈ Pp матрица U = fp(y)
определяется по той же формуле (2).
3. Шаблоны матриц. В предыдущем пункте мы указали представление груп-
пы Pp бесконечными унитреугольными матрицами из UT (p). В этом пункте мы
укажем удобный язык для работы с матрицами из UT (p), который назовем языком
шаблонов матриц. Мы увидим, что вложения fp(y) для y ∈ Pp имеют естественный
вид в терминах шаблонов матриц. Впервые шаблоны рассматривались в работе [2]
при p = 2.
Пусть M(p) — множество матриц над кольцом Zp, строки и столбцы которых
индексируются натуральными числами, с элементами над главной диагональю, рав-
ными 0. Очевидно, что UT (p) ⊂ M(p). Рассмотрим также подмножество M0(p)
множества M(p), состоящее из матриц с нулями на главной диагонали. На множе-
стве M(p) естественным образом задается операция произведения матриц.
Для некоторого натурального n рассмотрим множество SHn(p) квадратных
матриц размерности n, элементы которых являются в свою очередь матрицами. А
именно, будем требовать для любого U ∈ SHn(p), чтобы
Ui,j ∈
UT (p), i = j,
M0(p), i < j,
M(p), i > j.
(3)
Введем на множестве SHn(p) стандартную операцию произведения матриц раз-
мерности n. Для удобства дальнейших рассуждений будем вести нумерацию строк
и столбцов матриц во множестве SHn(p), начиная с 0.
Утверждение 1. Множество SHn(p) относительно стандартной операции
произведения матриц размерности n является группой, изоморфной группе UT (p).
Доказательство. Между множествами UT (p) и SHn(p) можно установить
биекцию shn, которая продолжается до изоморфизма. Действительно, для матрицы
u ∈ UT (p) с элементами ui,j ∈ Zp рассмотрим отображение shn : u 7→ U, при
котором матрица Ui,j , i, j ∈ N имеет вид
Ui−1,j−1 =
ui,j ui,j+n ui,j+2n . . .
ui+n,j ui+n,j+n ui+n,j+2n . . .
...
...
...
. . .
.
Другими словами, (Ui−1,j−1)k,l = ui+(k−1)n,j+(l−1)n. Легко видеть, что так опреде-
ленная матрица U лежит во множествеM(p) и отображение shn является биекцией.
Согласованность матричных произведений проверяется непосредственно.
Утверждение 1 доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП, АППРОКСИМИРУЕМЫХ КОНЕЧНЫМИ p-ГРУППАМИ 1505
Матрицу U = shn(u) будем называть шаблоном матрицы u размерности n.
Язык шаблонов оказывается удобным при изучении представлений финитно-ап-
проксимируемых подгрупп группы Pp. Далее в работе будем рассматривать шаб-
лоны размерности n = p.
Обозначим a = [1, 0, 0, . . . ] ∈ Pp. Пусть E — нейтральный элемент мульти-
пликативной группы UT (p),
(
j
i
)
— бином Ньютона по модулю p. Будем полагать(
j
i
)
= 0 при j < i. Для M ∈ M(p) и x ∈ Zp под матрицей x ·M подразумеваем
матрицу со свойством (x ·M)i,j = x ·Mi,j для i, j ∈ Zp. Для натурального c и
k ≤ 2c − 1 рассмотрим p-адическую последовательность длины c : k
∣∣c
p
= kc . . . k1,
удовлетворяющую равенству
k =
c∑
s=1
ks · ps−1
(индексация последовательности ведется справа налево и начинается с единицы).
Обозначим через shp : Pp → SHp(p) композицию отображений shp ◦ fp.
Лемма 1. Пусть A(j) = shp(a
j). Тогда A(j)b,s =
(
b
s
)
jb−s ·E для всех 0 ≤ b,
s ≤ p− 1.
Доказательство. Установим утверждение по определению представления fp
элемента a. Заметим, что для любого yn(t1, . . . , tn) ∈ Zp[t1, . . . , tn] выполняется
yn(t1, t2, . . . , tn)a
j
= yn(t1 + j, t2, . . . , tn). Пусть k ∈ N. Как следует из определе-
ния, для одночлена t(k) = tk11 . . . tkcc выполняется соотношение (k−1)
∣∣c
p
= kc . . . k1,
k1, . . . , kc ∈ Zp для некоторого подходящего c.
Таким образом, при k ≡ 1 (mod p) одночлен t(k) не содержит множитель t1 и,
следовательно, t(k)a
j
= t(k) для всех 0 ≤ j ≤ p− 1. Пусть теперь k 6≡ 1 (mod p).
Тогда 1 ≤ k1 ≤ p− 1, t(k)a
j
= (t1 + j)k1tk22 . . . tkcc и
(t1 + j)k1 =
k1∑
s=0
(
k1
s
)
jk1−sts1
(здесь мы полагаем 00 = 1). Отсюда следует, что матрица fp(aj) имеет следующее
строение: в строках с номерами k ≡ 1 (mod p) единственный ненулевой элемент
— это fp(aj)k,k = 1. Для строки с номером k 6≡ 1 (mod p) в столбце с номером
l ≤ k с условием (l − 1)
∣∣c
p
= kc . . . k2s будет находиться элемент поля Zp, рав-
ный коэффициенту при одночлене ts1t
k2
2 . . . tkcc в многочлене t(k)a
j
. Следовательно,
fp(a
j)k,l =
(
k1
s
)
jk1−s. Как видно из определения представления, для остальных
l выполняется fp(aj)k,l = 0. Принимая во внимание определение шаблона матри-
цы fp(a
j) и учитывая нумерацию строк и столбцов в матрице shp(y), получаем
утверждение леммы.
Данный результат показывает удобство использования языка шаблонов при опи-
сании образов вложения fp. В частности, shp(a)b,s =
(
b
s
)
· E.
Далее, нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.
Утверждение 2. Пусть k ≡ 1 (mod p), t(k) = tk22 . . . tkcc и k = 1 + (i − 1)p,
i ≥ 1. Тогда t(i) = tk21 . . . tkcc−1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1506 Ю. Г. ЛЕОНОВ
Доказательство. Утверждение следует из формулы для расчета высоты одно-
члена и того факта, что каждому натуральному числу соответствует единственный
одночлен данной высоты.
Пусть y ∈ Pp, y = [y0, y1(t1), y2(t1, t2), . . . ]. Определим ограничение y|x таб-
лицы y вдоль пути x ∈ Zp, как таблицу[
y′0, y
′
1(t1), y′2(t1, t2), . . .
]
,
где y′i(t1, . . . , ti) получается из yi+1(t1, . . . , ti+1) с помощью отображения ϕx, за-
данного на множестве переменных по правилу t1 → x, ti → ti−1 при i > 1, и
продолжающегося до гомоморфизма в кольце всех многочленов.
Известна интерпретация элемента сплетения y в виде автоморфизма корневого
однородного (p)-дерева Tp. В такой интерпретации ограничение y|x является ана-
логом сужения действия автоморфизма дерева на поддерево с корневой вершиной с
p-адическим кодом x. Покажем, что язык шаблонов позволяет рассматривать образ
fp(y) элемента сплетения y с помощью образов сужений этого элемента fp(y |x),
0 ≤ x ≤ p − 1. Похожая техника впервые использовалась в работе [2] при p = 2.
Это свойство можно считать основным свойством шаблонов.
Теорема 2. Существует набор элементов Ri,j,x ∈ Zp, 0 ≤ i, j, x ≤ p − 1,
удовлетворяющий равенствам
shp(y)i,j =
p−1∑
x=0
Ri,j,x · fp(y|x)
для любых y ∈ Pp.
Доказательство. Данная теорема позволяет получить матрицу fp(y) по ин-
дукции, если известны представления fp(y|x) сужений сплетения y.
Зафиксируем y = [y0, y1(t1), . . . ] ∈ Pp.
1. Пусть y0 = 0. Докажем теорему для этого случая.
Рассмотрим шаблон
shp(y) =
Y0,0 . . . Y0,p−1
...
. . .
...
Yp−1,0 . . . Yp−1,p−1
.
1.1. Для натурального k 6≡ 1 (mod p) рассмотрим t(k) = tk11 . . . tkcc . Поскольку
k1 6= 0 и y0 = 0, многочлен t(k)y имеет вид
t(k)y = tk11 ·
c∏
u=2
(
tu + yu−1(t̄u−1)
)ku
.
Все слагаемые одночлены этого многочлена имеют множитель t1 ненулевой сте-
пени в силу того, что tp1 = t1 в кольце редуцированных многочленов. Отсюда
следует, что в этом многочлене нет слагаемых t(k′), k′ ≡ 1 (mod p) и столбец
матрицы fp(y) с номером k′ является нулевым. Следовательно, Yi,0 = 0 (здесь 0 —
нулевая матрица), 1 ≤ i ≤ p− 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП, АППРОКСИМИРУЕМЫХ КОНЕЧНЫМИ p-ГРУППАМИ 1507
1.2. Получим описание матрицы Y0,0. Рассмотрим k ≡ 1 (mod p), k = 1 + (i−
1)p, i ≥ 1, (k − 1)
∣∣c
p
= kc . . . k1. Тогда k1 = 0 и
t(k)y =
c∏
u=2
(
tu + yu−1(t1, . . . , tu−1)
)ku
=
c−1∏
u=1
(
tu+1 + yu(t1, . . . , tu)
)ku+1
. (4)
Пусть l ≤ k, l ≡ 1 (mod p), l = 1 + (j − 1)p для некоторого j ≥ 1, t(l) = tl22 . . . t
lc
c .
Из утверждения 2 следует, что t(i) = tk21 . . . tkcc−1, t(j) = tl21 . . . t
lc
c−1. Допустим, что
zk,l = f3(y)k,l — коэффициент при одночлене t(l) в многочлене (4). Для данного y
рассмотрим сужение вдоль 0: y|0 = [y1(0), y2(0, t1), . . . ]. Тогда
t(i)y|0 =
c−1∏
u=1
(
tu + yu(0, t1, . . . , tu−1)
)ku+1
. (5)
Из структуры произведений (4) и (5) видно, что коэффициент при одночлене t(j)
в многочлене (5) совпадает с коэффициентом zk,l. Следовательно,
fp(y)1+(i−1)p,1+(j−1)p = fp(y|0)i,j для всех i, j ∈ N
и
Y0,0 = shp(y)0,0 = fp(y|0).
1.3. Мы нашли значения матриц первого столбца шаблона shp(y). Другими
словами, мы получили p уравнений с неизвестными Yi,0, 0 ≤ i ≤ p−1. Рассмотрим
множество матриц вида Bi,j = shp(y
aj )i,0 ∈ M(p). Очевидно, что Bi,0 = Yi,0. В
силу равенства сужений ya
j ∣∣
0
= y|j и рассуждений из предыдущего пункта имеем
также равенства Bi,j = 0 при i > 0 и B0,j = fp(y|j) для всех j, 0 ≤ j ≤ p − 1.
Лемма 1 дает описание матриц вида shp(ya
j
) = shp(a
−j) · shp(y) · shp(aj), откуда
следует, что матрицы Bi,j являются некоторыми линейными комбинациями матриц
shp(y)k,l = Yk,l. Получили систему p2 уравнений (для каждой пары (i, j), 0 ≤
≤ i, j ≤ p−1) из не более чем p2 неизвестных вида Yk,l.Покажем, что такая система
имеет единственное решение. Для этого упорядочим матрицу коэффициентов при
неизвестных Yk,l определенным образом. Пусть
shp(a
j)i,0 =
p−1∑
u=0
p−1∑
s=0
Dj+ip,s+up · Yu,s, (6)
гдеDk,l ∈ Zp — соответствующие коэффициенты при неизвестных Yu,s в линейном
разложении выражения shp(aj)i,0, k = j + ip, l = s + up, 0 ≤ i, j ≤ p − 1. Обра-
зованная таким образом матрица коэффициентов D = (Dk,l)0≤k,l≤p−1 и является
предметом нашего исследования.
Покажем, что матрица D является невырожденной. В таком случае мы сможем
получить единственное решение системы (6), а значит, найдем каждое Yu,s в виде
линейного выражения ранее известных матриц fp(y|j) = B0,j .
1.4. Из леммы 1 следует, что shp(a−j)b,s = (−1)b+s
(
b
s
)
jb−s. Отсюда найдем
shp(y
aj ), как произведение трех матриц размерности p. Имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1508 Ю. Г. ЛЕОНОВ
shp(y
aj )i,l =
p−1∑
u=0
p−1∑
s=0
(−1)i+u
(
i
u
)(
s
l
)
ji−ujs−l · Yu,s.
Полагая l = 0, получаем
Dj+ip,s+up = (−1)i+u
(
i
u
)
ji−u+s.
В силу
(
i
u
)
= 0 для i < u имеем элементы Dj+ip,v = 0 для всех v ≥ (i +
+ 1)p. Отсюда видна блочная структура матрицы D. Рассмотрим блоки, лежащие
на диагонали матрицы D размерности p. Пусть D(i) — матрица размерности p,
состоящая из элементов матрицы D, лежащих в i-м блоке, 0 ≤ i ≤ p−1: D(i)j,s =
= Dj+ip,s+ip. Используя формулу для элемента Dj+ip,s+up, получаем D(i)j,s = js.
Мы видим, что матрицы D(i) совпадают между собой, и таким образом, матрица
D будет невырожденной, если будет невырожденной матрицаD(0). Исходя из вида
элементов матрицы D(0)j,s = js (00 = 1) хороша видна (можно воспользоваться
малой теоремой Ферма) линейная независимость ее строк и столбцов.
Теорема для y0 = 0 доказана.
2. Пусть теперь y0 6= 0. Тогда элемент y̌ = a−y0 · y имеет таблицу с первой
координатой y̌0 = 0. В этом случае шаблон матрицы можно вычислить с помощью
равенства shp(y) = shp(a
y0) · shp(y̌) с уже описанными выше шаблонами для
сомножителей. Данное равенство не нарушает утверждение теоремы, так как по
определению ограничений y̌|x = y|x, 0 ≤ x ≤ p− 1.
Теорема 2 доказана.
Заметим, что чем выше размерность шаблона, тем больше информации можно
собрать и о самой матрице. Действительно, пусть M ∈ UT (p) и shn(M) — шаблон
матрицы M размерности n. Обозначим Mi,j(n) = shn(M)i,j , 0 ≤ i, j ≤ n−1. Для
матрицы Mi,j(n) ∈ M(p) рассмотрим элемент Mi,j(n)1,1 ∈ Zp. Тогда становится
очевидным следующее утверждение.
Утверждение 3. Отображение ρ : UT (p)→ UTn(p), заданное по правилу
M 7→
M0,0(n)1,1 . . . M0,n−1(n)1,1
...
. . .
...
Mn−1,0(n)1,1 . . . Mn−1,n−1(n)1,1
,
является эпиморфизмом.
Отметим, что теорема 2 не только показывает возможность рекуррентного по-
строения шаблона матрицы представления элементов группы Pp, но и указывает
алгоритм получения этого шаблона. В следующем пункте мы реализуем данный
алгоритм на примере случая p = 3.
4. Пример шаблонов при p = 3. С помощью предыдущей теоремы покажем
устройство шаблонов sh3(y) для произвольного y ∈ P3.
Согласно лемме 1
A = A(1) = sh3(a) =
E 0 0
E E 0
E −E E
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП, АППРОКСИМИРУЕМЫХ КОНЕЧНЫМИ p-ГРУППАМИ 1509
A−1 = A2 = A(2) =
E 0 0
−E E 0
E E E
,
где a = [1, 0, . . . ] ∈ P3.
Обозначим
sh3(y) =
Y0,0 Y0,1 Y0,2
Y1,0 Y1,1 Y1,2
Y2,0 Y2,1 Y2,2
и найдем каждую из матриц Yi,j , 0 ≤ i, j ≤ 2, в виде линейной комбинации матриц
вида f3(y|x), для x = 0, 1, 2.
Допустим, что y0 = 0. Из рассуждений в пункте 1.1 теоремы 2 ясно, что Y1,0 =
= Y2,0 = 0 — нулевые матрицы множества M(p). Из пункта 1.2 этой теоремы
следует, что Y0,0 = f3(y|0).
Получим оставшиеся 6 матриц. По определению, данному в пункте 1.3 теоре-
мы 2, имеем
B0,1 = sh3(ya)0,0 = (A(2) · sh3(y) ·A(1))0,0 = Y0,0 + Y0,1 + Y0,2.
Аналогично
B1,1 = sh3(ya)1,0 = −Y0,0 − Y0,1 − Y0,2 + Y1,0 + Y1,1 + Y1,2,
B2,1 = sh3(ya)2,0 =
∑
0≤i,j≤2
Yi,j ,
B0,2 = sh3(ya
2
)0,0 = (A(1) · sh3(y) ·A(2))0,0 = Y0,0 − Y0,1 + Y0,2,
B1,2 = sh3(ya
2
)1,0 = Y0,0 − Y0,1 + Y0,2 + Y1,0 − Y1,1 + Y1,2,
B2,2 = sh3(ya
2
)2,0 = Y0,0 − Y0,1 + Y0,2 − Y1,0 + Y1,1 − Y1,2 + Y2,0 − Y2,1 + Y2,2.
Поскольку B0,j = f3(y|j) и Bi,j = 0 для i = 1, 2, j = 0, 1, 2, мы имеем систему из
6 уравнений с 6 неизвестными Yi,j и с известными свободными членами.
Решая эту систему, получаем значения неизвестных:
Y0,1 = Y1,2 = Y2,1 = −f3(y|1) + f3(y|2),
Y1,1 = Y2,2 = −f3(y|1)− f3(y|2), Y0,2 = −f3(y|0)− f3(y|1)− f3(y|2).
Обозначим Yx = f3(y|x). Суммируя изложенное, при y0 = 0 имеем
sh3(y) =
Y0 −Y1 + Y2 −Y0 − Y1 − Y2
0 −Y1 − Y2 −Y1 + Y2
0 −Y1 + Y2 −Y1 − Y2
.
Для нахождения шаблона при y0 6= 0 необходимо заметить, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1510 Ю. Г. ЛЕОНОВ
[y0, y1(t1), . . . ] = [y0, 0, . . . ] · [0, y1(t1), . . . ].
Кроме того, сужение элемента y ∈ P3 вдоль x не зависит от значения y0. Та-
ким образом, для получения искомого шаблона достаточно получить произведение
матриц sh3(ay0) · sh3(y). Результат запишем в общем виде для значений y0 = 1 и
y0 = 2:
sh3(y) =
Y0 −Y1 + Y2 −Y0 − Y1 − Y2
(−1)y0+1Y0 Yy0 (−1)y0Y0 + (−1)y0+1Yy0
Y0 (−1)y0Yy0 −Y0 − Yy0
.
5. Треугольное представление самоподобной 3-группы Гупта – Сидки. Груп-
па Гупта – Сидки, впервые построенная в работе [5], является примером периоди-
ческой конечнопорожденной бесконечной группы. Поэтому представляется инте-
ресным рассмотреть ее матричное представление. Эта группа определяется, как
подгруппа группы автоморфизмов корневого тернарного дерева (из каждой верши-
ны вниз выходят ровно три ребра) G3 = 〈α, β〉 ≤ Aut T3. При этом ее порождаю-
щие строятся рекуррентным образом. Элемент α переставляет по циклу длины 3
поддеревья с корневыми вершинами первого уровня. Элемент β можно определить
через сужения автоморфизмов дерева на поддеревья следующим образом:
β|0 = β, β|1 = α, β|2 = α−1.
Такое определение позволяет рассмотреть изоморфное вложение ι группы Гупта –
Сидки в группу P3 по правилу, заданному на порождающих: α 7→ a = [1, 0, . . . ],
β 7→ b = [0, b1(t1), . . . ] ∈ P3. При этом элемент b задается однозначно через свои
сужения: b|0 = b, b|1 = a, b|2 = a−1.
Используя представление f3, получаем, что группа Гупта – СидкиG3 изоморфна
матричной группе f3(ι(G3)) = 〈A,B〉, где A = f3(a), B = f3(b). Матрица A и ее
обратная A−1 были описаны в предыдущем пункте работы. Матрицу B опишем с
помощью шаблонов и теоремы 2:
sh3(B) =
B −A+A−1 −B −A−A−1
0 −A−A−1 −A+A−1
0 −A+A−1 −A−A−1
.
Для уточнения деталей рекуррентного строения матрицы мы можем переходить
к шаблонам больших размерностей. Например, используя заданные выше шаблоны
для матриц A, A−1 и B, можно получить более явный вид матрицы B = f3(b) с
помощью шаблона sh9(B). Имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП, АППРОКСИМИРУЕМЫХ КОНЕЧНЫМИ p-ГРУППАМИ 1511
sh9(B) =
=
B 0 −B+E −A+A−1 0 A−A−1 −B−A−A−1 0 B+A+A−1
0 E 0 0 0 0 0 0 0
0 0 E 0 0 0 0 0 0
0 E 0 −A−A−1 0 A+A−1+E −A+A−1 0 A−A−1
0 0 E 0 E 0 0 0 0
0 E 0 0 0 E 0 0 0
0 0 E −A+A−1 −E A−A−1 −A−A−1 0 A+A−1+E
0 E 0 0 0 −E 0 E 0
0 0 E 0 −E 0 0 0 E
.
Продолжая переходить к шаблонам матрицы больших размерностей, мы можем
воспользоваться утверждением 3 для получения большей информации о самой
матрице, представленной в терминах шаблонов.
Заметим, что впервые о существовании точного неприводимого треугольного
представления группы G3 было отмечено в работе [6].
1. Калужнин Л. А. Избранные главы теории групп. – Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1979. – 52 с.
2. Леонов Ю. Г. Представление финитно-аппроксимируемых 2-групп бесконечномерными унитре-
угольными матрицами над полем из двух элементов // Мат. студ. – 2004. – 22, № 2. – С. 134 – 140.
3. Леонов Ю. Г., Некрашевич В. В., Сущанський В. I. Зображення вiнцевих добуткiв унiтрикутними
матрицями // Доп. АН України. – 2005. – № 4. – С. 29 – 33.
4. Kaluzhnin L. A. La structure des p-groupes de sylow des groupes symetriques finis // Ann. sci. Ecole
norm. supér. – 1948. – 3(65). – P. 239 – 276.
5. Gupta N., Sidki S. Some infinite p-groups // Алгебра и логика. – 1983. – 22. – № 5. – C. 584 – 589.
6. Sidki S. A primitive ring associated to a Burnside 3-group // J. London Math. Soc. – 1997. – 55, № 2.–
P. 55 – 64.
Получено 01.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
|