Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых групп
Нехай X — скiнченна абелева група, ξi,i=1,2,...,n,n≥2, — незалежнi випадковi величини зi значеннями в X i розподiлами μi,αij,i,j=1,2,...,n, — автоморфiзми X. Доведено, що iз незалежностi n лiнiйних форм Lj=∑ni=1αijξi випливає, що всi μi — зрушення розподiлiв Хаара деякої пiдгрупи групи X. Ця теорема...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166399 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых группе / И.П. Мазур // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1524–1533. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859775895297851392 |
|---|---|
| author | Мазур, И.П. |
| author_facet | Мазур, И.П. |
| citation_txt | Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых группе / И.П. Мазур // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1524–1533. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Нехай X — скiнченна абелева група, ξi,i=1,2,...,n,n≥2, — незалежнi випадковi величини зi значеннями в X i розподiлами μi,αij,i,j=1,2,...,n, — автоморфiзми X. Доведено, що iз незалежностi n лiнiйних форм Lj=∑ni=1αijξi випливає, що всi μi — зрушення розподiлiв Хаара деякої пiдгрупи групи X. Ця теорема є аналогом теореми Скiтовича – Дармуа для скiнченних абелевих груп.
Let X be a finite Abelian group, let ξi,i=1,2,...,n,n≥2, be independent random variables with values in X and distributions μi, and let αij,i,j=1,2,...,n, be automorphisms of X. We prove that the independence of n linear forms Lj=∑ni=1αijξi implies that all μi are shifts of the Haar distributions on some subgroups of the group X. This theorem is an analog of the Skitovich – Darmois theorem for finite Abelian groups
|
| first_indexed | 2025-12-02T08:46:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517+519.2
И. П. Мазур (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА
ДЛЯ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
Let X be a finite Abelian group, let ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, be independent random variables with
values in X and distributions µi, and let αij , i, j = 1, 2, . . . , n, be automorphisms of X. We prove that the
independence of n linear forms Lj =
∑n
i=1
αijξi implies that all µi are shifts of the Haar distributions
on some subgroups of the group X. This theorem is an analog of the Skitovich – Darmois theorem for finite
Abelian groups.
Нехай X — скiнченна абелева група, ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — незалежнi випадковi величини
зi значеннями в X i розподiлами µi, αij , i, j = 1, 2, . . . , n, — автоморфiзми X. Доведено, що iз
незалежностi n лiнiйних форм Lj =
∑n
i=1
αijξi випливає, що всi µi — зрушення розподiлiв Хаара
деякої пiдгрупи групи X. Ця теорема є аналогом теореми Скiтовича – Дармуа для скiнченних абелевих
груп.
1. Введение. Классическая теорема Скитовича – Дармуа гласит (см. [1, 2], а также
[3], гл. 3): Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — независимые случайные величины и
αi, βi — ненулевые константы. Предположим, что линейные формы L1 = α1ξ1+. . .
. . . + αnξn и L2 = β1ξ1 + . . . + βnξn независимы. Тогда все случайные величины
ξi гауссовские.
Гурье и Олкин обобщили теорему Скитовича – Дармуа на случай, когда ξi —
случайные векторы со значениями в Rm и αi, βi — несингулярные матрицы (см. [4],
а также [3], гл. 3). Они доказали, что из независимости линейных форм L1 и L2
следует, что все ξi — гауссовские векторы.
Теорема Скитовича – Дармуа обобщалась на различные классы локально ком-
пактных абелевых групп, такие как конечные, дискретные, компактные абелевы
группы, а также на некоторые классы бесконечномерных линейных пространств
[5 – 14]. В настоящей статье мы продолжаем эти исследования и изучаем теорему
Скитовича – Дармуа в случае, когда случайные величины принимают значения в
конечной абелевой группе и количество линейных форм больше двух.
В статье X будет обозначать конечную абелеву группу, если не оговорено про-
тивное. Пусть Aut(X) — группа автоморфизмов группы X, Z(k) = {0, 1, 2, . . . , k−
− 1} — группа вычетов по модулю k. Положим x ∈ X. Обозначим через Ex
вырожденное распределение, сосредоточенное в x. Пусть K — подгруппа X. Обо-
значим через mK распределение Хаара на K. Обозначим через I(X) множество
всех сдвигов таких распределений, т. е. распределений вида mK ∗ Ex, где K —
подгруппа X, x ∈ X. Распределения класса I(X) называются идемпотентными.
Отметим, что идемпотентные распределения на конечных абелевых группах могут
рассматриваться как аналоги гауссовских распределений на прямой.
Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — независимые случайные величины со значе-
ниями в группе X и распределениями µi, αj , βj — автоморфизмы X. Рассмотрим
линейные формы L1 = α1ξ1 + . . . + αnξn и L2 = β1ξ1 + . . . + βnξn. Пробле-
ма обобщения теоремы Скитовича – Дармуа на конечные абелевы группы впервые
была рассмотрена в [5], где, в частности, доказано, что класс групп, на которых
из независимости линейных форм L1 и L2 следует, что все µi — идемпотентные
распределения, беден и состоит из групп вида
c© И. П. МАЗУР, 2011
1512 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1513
Z(2m1)× . . .× Z(2ml), 0 ≤ m1 < . . . < ml. (1)
С другой стороны, если мы рассмотрим две линейные формы от двух случайных
величин, то теорема Скитовича – Дармуа становится справедливой для произволь-
ной конечной абелевой группы. Именно, имеет место следующая теорема (см. [8],
а также [15], § 13).
Теорема 1.1. Пусть ξ1 и ξ2 — независимые случайные величины со значениями
в X и распределениями µ1 и µ2, αi, βi ∈ Aut(X), i = 1, 2. Если линейные формы
L1 = α1ξ1 + α2ξ2 и L2 = β1ξ1 + β2ξ2 независимы, то µi ∈ I(X), i = 1, 2.
В статье мы рассматриваем n линейных форм Lj от n случайных величин
ξi со значениями в конечной абелевой группе. Коэффициентами форм являются
автоморфизмы группы. Мы доказываем, что из независимости Lj следует, что все
ξi имеют идемпотентные распределения. Этот результат обобщает теорему 1.1 и
может рассматриваться как естественный аналог теоремы Скитовича – Дармуа для
конечных абелевых групп.
Основным результатом статьи является следующая теорема.
Теорема 1.2. Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — независимые случайные
величины со значениями в группе X и распределениями µi. Если линейные формы
Lj =
∑n
i=1
αijξi, где αij ∈ Aut(X), i, j = 1, 2, . . . , n, независимы, то µi ∈ I(X),
i = 1, 2, . . . , n.
Отметим, что доказательство теоремы 1.2 отличается от доказательства теоре-
мы 1.1 при n = 2 и не опирается на него.
Также мы покажем, что теорема 1.2 не верна, если рассматривать менее чем n
линейных форм от n случайных величин.
Для доказательства основной теоремы нам понадобятся некоторые понятия и
результаты из абстрактного гармонического анализа (см. [16]). Пусть Y = X∗ —
группа характеров X. Поскольку группа X конечна, то Y ∼= X. Значение характера
y ∈ Y на элементе x ∈ X обозначим через (x, y).Пусть α : X → X — гомоморфизм.
Для любого y ∈ Y определим отображение α̃ : Y → Y по формуле (αx, y) = (x, α̃y)
для всех x ∈ X, y ∈ Y. Отображение α̃ является гомоморфизмом. Оно называется
сопряженным к α. Тождественный автоморфизм группы обозначим через I. Пусть
B — подгруппа X. Положим A(Y,B) = {y ∈ Y : (x, y) = 1 для всех x ∈ B}.
Множество A(Y,B) называется аннулятором B в Y и является подгруппой в Y.
ПодгруппаH группыX называется характеристической, если равенство γ(H) =
= H выполняется для всех γ ∈ Aut(X). Пусть p — простое число. Напомним,
что абелева группа называется элементарной p-группой, если каждый ненулевой
элемент этой группы имеет порядок p. Отметим, что каждая конечная элемен-
тарная p-группа изоморфна группе вида (Z(p))m для некоторого m. Положим
X(p) = {x ∈ X : px = 0}. Очевидно, что X(p) — элементарная p-группа. Также
очевидно, что X(p) — характеристическая подгруппа в X.
Пусть E — конечномерное линейное пространство и γ — линейный оператор,
действующий на E. Обозначим через dimE размерность E и через Ker γ ядро
γ. Пусть {Ei}ni=1 — семейства линейных пространств. Обозначим через
⊕n
i=1Ei
прямую сумму линейных пространств Ei, i = 1, 2, . . . , n.
Пусть µ — вероятностное распределение на X. Обозначим через σ(µ) носитель
µ. Положим µ̄(M) = µ(−M), где M ⊂ X, −M = {−m : m ∈ M}. Характеристи-
ческая функция распределения µ определяется по формуле
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1514 И. П. МАЗУР
µ̂(y) =
∑
x∈X
(x, y)µ({x}), y ∈ Y.
Если ξ — случайная величина со значениями в X и распределением µ, то µ̂(y) =
= E[(ξ, y)]. Положим
Fµ = {y ∈ Y : µ̂(y) = 1}.
Множество Fµ является подгруппой в Y, справедливо включение σ(µ) ⊂ A(X,Fµ)
и выполняется равенство µ̂(y + h) = µ̂(y) для всех y ∈ Y, h ∈ Fµ. Если K —
подгруппа в X, то
m̂K(y) =
1, y ∈ A(Y,K),
0, y 6∈ A(Y,K).
(2)
2. Вспомогательные утверждения. Для доказательства теоремы 1.2 понадобят-
ся некоторые леммы. При доказательстве следующей леммы используются стан-
дартные рассуждения (см. [15], § 10).
Лемма 2.1. Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — независимые случайные величи-
ны со значениями в группе X и распределениями µi. Рассмотрим линейные формы
Lj =
∑n
i=1
αijξi, j = 1, 2, . . . , k, где αij — эндоморфизмы группы X. Линейные
формы Lj независимы тогда и только тогда, когда выполняется равенство
n∏
i=1
µ̂i
k∑
j=1
α̃ijuj
=
n∏
i=1
k∏
j=1
µ̂i(α̃ijuj), uj ∈ Y. (3)
Доказательство. Отметим, что линейные формы Lj , j = 1, 2, . . . , k, независи-
мы тогда и только тогда, когда выполняется равенство
E
k∏
j=1
(
n∑
i=1
αijξi, uj
) =
k∏
j=1
E
[(
n∑
i=1
αijξi, uj
)]
, ui ∈ Y. (4)
С учетом того, что случайные величины ξi независимы и µ̂i(y) = E[(ξi, y)],
преобразуем левую часть равенства (4) к виду
E
k∏
j=1
(
n∑
i=1
αijξi, uj
) = E
n∏
i=1
ξi, k∑
j=1
α̃ijuj
=
=
n∏
i=1
E
ξi, k∑
j=1
α̃ijuj
=
n∏
i=1
µ̂i
k∑
j=1
α̃ijuj
.
Рассуждая аналогично, преобразуем правую часть равенства (4):
n∏
i=1
E
k∑
j=1
αijξi, uj
=
n∏
i=1
E
k∏
j=1
(αijξi, uj)
=
=
n∏
i=1
E
k∏
j=1
(ξi, α̃ijuj)
=
n∏
i=1
k∏
j=1
E [(ξi, α̃ijuj)] =
n∏
i=1
k∏
j=1
µ̂i(α̃ijuj).
Лемма 2.1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1515
Лемма 2.2. Пусть Y — линейное пространство, βij — обратимые линейные
операторы, действующие на Y и удовлетворяющие условиям β1j = I, βi1 = I,
i, j = 1, 2, . . . , n, где I — тождественный оператор. Пусть {Ei}ni=1, {Fi}ni=1 —
семейства конечномерных линейных подпространств Y, удовлетворяющих услови-
ям
βij(Ej) ⊂ Fi, i, j = 1, 2, . . . , n, (5)
n∑
i=1
dimFi ≤
n∑
i=1
dimEi. (6)
Тогда Ei = Fj = F, i, j = 1, 2, . . . , n, где F — линейное подпространство Y и
βij(F ) = F.
Доказательство. Положим dimEi = mi, dimFi = ki. Тогда неравенство (6)
примет вид
n∑
i=1
ki ≤
n∑
i=1
mi. (7)
Поскольку βij обратимы, получаем
dimβij(Ej) = mj , i, j = 1, 2, . . . , n. (8)
Из (5) и (8) следует, что
mi ≤ kj , i, j = 1, 2, . . . , n. (9)
Из (9) получаем
max
1≤i≤n
mi ≤ min
1≤j≤n
kj .
Отсюда и из (7) следует, что
n∑
i=1
ki ≤
n∑
i=1
mi ≤ n min
1≤j≤n
kj . (10)
Следовательно, (10) влечет, что kj = k и (10) принимает форму
nk ≤
n∑
i=1
mi ≤ nk.
Отсюда вытекает, что
∑n
i=1
mi = nk. Учитывая это и mi ≤ k, i = 1, 2, . . . , n,
имеем mi = k, i = 1, 2, . . . , n. Отсюда и из (5) вытекает
βij(Ej) = Fi, i, j = 1, 2, . . . , n. (11)
Из (11) и равенств β1j = βi1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n, получаем
F1 = β1j(Ej) = I(Ej) = Ej ,
Fi = βi1(E1) = I(E1) = E1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1516 И. П. МАЗУР
откуда следует, что
Ei = Fj = F, i, j = 1, 2, . . . , n, (12)
где F — подпространство Y. Из (11) и (12) вытекает, что βij(F ) = F, i, j =
= 1, 2, . . . , n.
Лемма 2.2 доказана.
Лемма 2.3. Пусть Y — конечная элементарная p-группа. Пусть µ̂i(y), i =
= 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — неотрицательные характеристические функции на Y,
удовлетворяющие уравнению
n∏
i=1
µ̂i
n∑
j=1
βijuj
=
n∏
i=1
n∏
j=1
µ̂i(βijuj), uj ∈ Y, (13)
где βij ∈ Aut(Y ), β1j = βi1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n. Тогда Fµi = F, i = 1, 2, . . . , n,
где F — подгруппа Y и βij(F ) = F, i, j = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Отметим, что Y — конечномерное линейное пространство над
полем Z(p). При этом подгруппы Y — линейные подпространства Y, автоморфизмы
группы Y — обратимые линейные операторы.
Пусть π — отображение из Y n в Y n, задаваемое формулой
π(u1, u2, . . . , un) =
n∑
j=1
β1juj ,
n∑
j=1
β2juj , . . . ,
n∑
j=1
βnjuj
, (14)
где uj ∈ Y. Тогда π — линейный оператор, вообще говоря, не обратимый.
Положим N = π−1(
⊕n
i=1 Fµi). Очевидно, что
dim
n⊕
i=1
Fµi ≤ dimN. (15)
Пусть φi — проекция на i-е координатное подпространство Y n. Положим Ei =
= φi(N). Тогда Ei — подпространство Y. Мы покажем, что семейства линейных
подпространств {Ei}ni=1, {Fµi
}ni=1 удовлетворяют условиям (5), (6).
Очевидно, что N ⊆ (
⊕n
i=1Ei). Отсюда и из (15) получаем
dim
n⊕
i=1
Fµi
≤ dim
n⊕
i=1
Ei. (16)
Неравенство (16) влечет
n∑
i=1
dimFµi
≤
n∑
i=1
dimEi.
Положим в (13) (u1, u2, . . . , un) ∈ N . Тогда левая часть уравнения (13) равна
1 и мы имеем
1 =
n∏
i=1
n∏
j=1
µ̂i(βijuj), (u1, u2, . . . , un) ∈ N. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1517
Фиксируем j. Тогда для каждого u ∈ Ej найдется (u1, u2, . . . , un) ∈ N такой, что
uj = u. Отсюда, из (17) и 0 ≤ µ̂i(y) ≤ 1, y ∈ Y, следует, что µ̂i(βiju) = 1, u ∈ Ej .
Следовательно, справедливы включения
βij(Ej) ⊂ Fµi
, i, j = 1, 2, . . . , n.
В итоге получаем, что выполнены условия леммы 2.2. Следовательно, Fµi
= F,
где F — подгруппа Y и βij(F ) = F, i, j = 1, 2, . . . , n.
Лемма 2.3 доказана.
Следствие 2.1. Пусть Y — конечная группа, µ̂i(y), i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, —
неотрицательные характеристические функции на Y, удовлетворяющие уравне-
нию (13), где β1j = βi1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n. Тогда либо Fµi
= {0}, i = 1, 2, . . . , n,
либо Fµi 6= {0}, i = 1, 2, . . . , n, и существует ненулевая подгруппа H группы Y
такая, что H ⊂
(⋂n
i=1
Fµi
)
и βij(H) = H, i, j = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Предположим, что Fµk
= {0} для некоторого k. Зафиксируем
простое число p и рассмотрим Y(p). Поскольку Y(p) является характеристической
подгруппой, можно рассмотреть сужение уравнения (13) на Y(p). Тогда Y(p)∩Fµk
=
= {0}. Отсюда и из леммы 2.3 следует, что Y(p) ∩ Fµi
= {0}, i = 1, 2, . . . , n. Это
означает, что каждая Fµi не содержит элементов порядка p. Так как p произвольно,
получаем Fµi
= {0}, i = 1, 2, . . . , n.
Пусть Fµk
6= {0} для всех k. Тогда, в частности, Fµ1 6= {0}. Следовательно,
Y(p)∩Fµ1
6= {0} для некоторого p. Из леммы 2.3 следует, что подгруппы Y(p)∩Fµi
,
i = 1, 2, . . . , n, ненулевые, совпадают и инвариантны относительно βij , i, j =
= 1, 2, . . . , n. Положим H = Y(p) ∩ Fµi
. Тогда H — искомая подгруппа.
Следствие доказано.
Следующая лемма является ключевой для доказательства теоремы 1.2.
Лемма 2.4. Путь ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — независимые случайные ве-
личины со значениями в группе X и распределениями µi такие, что µ̂i(y) ≥ 0.
Рассмотрим линейные формы Lj =
∑n
i=1
αijξi, где αij ∈ Aut(X), α1j = αi1 = I,
i, j = 1, 2, . . . , n. Предположим, что выполняется следующее условие:
(A) для некоторого k никакая собственная подгруппа группы X не содержит
носитель µk.
Тогда из независимости Lj следует, что µi = mX , i = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Согласно лемме 2.1 справедливо равенство
n∏
i=1
µ̂i
n∑
j=1
α̃ijuj
=
n∏
i=1
n∏
j=1
µ̂i(α̃ijuj), uj ∈ Y. (18)
Из условия (А) следует, что
Fµk
= {0}. (19)
Пусть π : Y n → Y n — гомоморфизм, определяемый по формуле
π(u1, u2, . . . , un) =
n∑
j=1
α̃1juj ,
n∑
j=1
α̃2juj , . . . ,
n∑
j=1
α̃njuj
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1518 И. П. МАЗУР
где uj ∈ Y. Покажем, что π ∈ Aut(Y n). Предположим противное, т. е. что π 6∈
6∈ Aut(Y n). Поскольку Y n — конечная группа, то Kerπ 6= {0}. Положим в (18)
(u1, u2, . . . , un) ∈ Kerπ, (u1, u2, . . . , un) 6= 0:
1 =
n∏
i=1
n∏
j=1
µ̂i(α̃ijuj). (20)
Из (20) и µ̂i(y) ≥ 0 вытекает, что все сомножители в правой части равенства (20)
равны 1. В частности, так как uj0 6= 0 для некоторого j0, получаем µ̂i(αij0uj0) = 1,
i = 1, 2, . . . , n, откуда следует, что Fµi
6= {0}, i = 1, 2, . . . , n. Это противоречит
условию (19). Следовательно, π ∈ Aut(Y n).
Покажем, что µ̂i(y) = 0, i = 1, 2, . . . , n, для всех y ∈ Y, y 6= 0. Предположим
противное. Тогда для некоторого l найдется ỹ 6= 0 такой, что
µ̂l(ỹ) 6= 0. (21)
Без потери общности можем предполагать, что l = 1.
Полагая в (18) (ũ1, ũ2 . . . , ũn) = π−1(ỹ, 0, . . . , 0), получаем
µ̂1(ỹ) =
n∏
i=1
n∏
j=1
µ̂i(α̃ij ũj). (22)
Отметим, что найдутся по крайней мере два номера j1, j2 таких, что ũj1 6= 0,
ũj2 6= 0. Действительно, если ũj = 0, j = 1, 2, . . . , n, то получаем противоре-
чие с π−1 ∈ Aut(Y n). Если ũj0 6= 0, ũj = 0, j 6= j0, для некоторого j0, то
π(0, 0, . . . , ũj0 , . . . , 0) = (α̃1j0 ũj0 , α̃2j0 ũj0 , . . . , α̃nj0 ũj0) = (ỹ, 0, . . . , 0). Это проти-
воречит включению α̃ij0 ∈ Aut(Y ). Следовательно, ũj1 , ũj2 6= 0 для некоторых j1
и j2. Из неравенств
0 ≤ µ̂i(y) ≤ 1, i = 1, 2, . . . , n, (23)
и равенства (22) получаем
µ̂1(ỹ) ≤
n∏
i=1
µ̂i(α̃ij1 ũj1)µ̂i(α̃ij2 ũj2). (24)
Положим
C = max
1≤i≤n
max
y 6=0
µ̂i(y). (25)
Согласно следствию 2.1 из (19) имеем
Fµi
= {0}, i = 1, 2, . . . , n. (26)
Используя (23), (21) и (26), получаем, что 0 < C < 1. Поскольку ũj1 6= 0, ũj2 6= 0 и
α̃ij1 , α̃ij2 ∈ Aut(Y ), имеем α̃ij1 ũj1 6= 0, α̃ij2 ũj2 6= 0. Следовательно, из (24) и (25)
вытекает, что
µ̂1(ỹ) ≤ C2n.
Из неравенств (24) и µ̂1(ỹ) 6= 0 следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1519
µ̂i(α̃ij1 ũj1), µ̂i(α̃ij2 ũj2) 6= 0, (27)
где ũj1 6= 0, ũj2 6= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Используя (27), таким же образом, как (24) было получено из (21), получаем
оценку для каждого сомножителя в правой части (24) и применяем эту оценку к
(24). Повторяя этот процесс m раз, приходим к неравенству, из которого следует,
что
µ̂1(ỹ) ≤ C(2n)m+1
.
Так как C(2n)m+1 → 0 при m → ∞, то µ̂1(ỹ) = 0. Это противоречит предпо-
ложению. Следовательно, µ̂i(y) = 0, i = 1, 2, . . . , n, для всех y ∈ Y, y 6= 0.
Отсюда и из (2) получаем, что µ̂i(y) = m̂X(y), y ∈ Y, i = 1, 2, . . . , n. Поэтому
µi = mX , i = 1, 2, . . . , n.
Лемма 2.4 доказана.
3. Доказательствa основных теорем. Доказательство теоремы 1.2. Пусть
δj ∈ Aut(X), j = 1, 2, . . . , n. Отметим, что линейные формы Lj =
∑n
i=1
αijξi,
j = 1, 2, . . . , n, независимы тогда и только тогда, когда независимы линейные
формы δjLj , j = 1, 2, . . . , n, . Поскольку
Lj = α1j(ξ1 + α−11j α2jξ2 + . . .+ α−11j αnjξn), j = 1, 2, . . . , n,
без потери общности можно предполагать, что α1j = I, j = 1, 2 . . . , n, т. е.
Lj = ξ1 + α2jξ2 + . . .+ αnjξn, j = 1, 2, . . . , n. (28)
Положим ηi = αi1ξi и γij = αijα
−1
i1 . Тогда (28) можно записать в виде
L1 = η1 + η2 + . . .+ ηn,
Lj = η1 + γ2jη2 + . . .+ γnjηn, , j = 2, . . . , n,
где случайные величины ηi независимы. Очевидно, что достаточно доказать тео-
рему 1.2, предположив что α1j = αi1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n.
По лемме 2.1 функции µ̂i(y) удовлетворяют уравнению (18). Положим νi = µi ∗
∗ µ̄i, i = 1, 2, . . . , n. Тогда ν̂i(y) = |µ̂i(y)|2, y ∈ Y. Функции ν̂i(y) неотрицательны и
также удовлетворяют уравнению (18). Докажем, что νi = mK , где K — подгруппа
группы X. Отсюда вытекает, что µi = Exi ∗ mK , xi ∈ X, i = 1, 2, . . . , n, т. е.
µi ∈ I(X), i = 1, 2, . . . , n.
Положим F =
⋂n
i=1
Fµi
. Рассмотрим множество подгрупп {Gl} ⊂ F таких,
что α̃ijGl = α̃ij , i, j = 1, 2, . . . , n. Обозначим черезH подгруппу группы Y, порож-
денную всеми {Gl}. Несложно показать, что H — максимальная подгруппа группы
Y, удовлетворяющая условию
(B) ν̂i(y) = 1, y ∈ H̃, i = 1, 2, . . . , n, α̃ijH̃ = H̃, i, j = 1, 2, . . . , n.
С учетом того, что ν̂i(y + h) = ν̂i(y), i = 1, 2, . . . , n, для всех y ∈ Y, h ∈ H и
сужения автоморфизмов α̃ij группы Y на подгруппу H являются автоморфизма-
ми H, рассмотрим уравнение, индуцированное уравнением (18) на фактор-группе
Y/H, полагая ν̃i([y]) = ν̂i(y), i = 1, 2, . . . , n, и α̂ij [y] = [α̃ijy], y ∈ [y], [y] ∈ Y/H.
Пусть K = A(X,H). Отметим, что Y/H = (K)∗. Поэтому если мы покажем, что
ν̃i([y]) = m̂K([y]), [y] ∈ Y/H, то получим ν̂i(y) = m̂K(y), y ∈ Y, i = 1, 2, . . . , n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1520 И. П. МАЗУР
Поскольку H — максимальная подгруппа Y, удовлетворяющая условию (B), то
{0} — максимальная подгруппа Y/H, удовлетворяющая условию (B) для инду-
цированных характеристических функций ν̃i([y]) и индуцированных автоморфиз-
мов α̂ij .
Поэтому без потери общности можем предполагать, что
H = {0}. (29)
Покажем, что для некоторого k никакая собственная подгруппа группы X не
содержит σ(νk). Это условие эквивалентно условию Fνk = {0}. Предположим про-
тивное. Тогда согласно следствию 2.1 найдется ненулевая подгруппа H̃ группы Y,
удовлетворяющая условию (B). Но это противоречит (29). Следовательно, никакая
собственная подгруппа X не содержит носитель распределения νk. Тогда по лемме
2.4 νi = mX , i = 1, 2, . . . , n.
Теорема 1.2 доказана.
Из независимости линейных форм Lj , j = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, где α1j = αi1 = I,
вытекает, что ξi = mK ∗Exi
, i = 1, 2, . . . , n. Здесь, в отличие от общего случая, рас-
пределения случайных величин ξi являются сдвигами распределений Хаара одной
и той же подгруппы группы X.
Покажем, что теорема 1.2 точна в следующем смысле: в классе конечных групп
из независимости k линейных форм от n случайных величин, где k < n, не следует,
что µi ∈ I(X).
Теорема 3.1. Пусть n и k удовлетворяют условию n > k > 1, X = (Z(p))n,
где p > 2 — простое число, такое, что p не является делителем n. Тогда су-
ществуют независимые случайные величины ξi, i = 1, 2, . . . , n, со значениями в
группе X и распределениями µi 6∈ I(X) и автоморфизмы αij ∈ Aut(X) такие,
что линейные формы Lj =
∑n
i=1
αijξi, j = 1, 2, . . . , k, независимы.
Доказательство. Очевидно, что достаточно доказать утверждение для k =
= n− 1.
Пусть αi,i−1x = 2x, x ∈ X, i = 2, 3, . . . , n, и αij = I в остальных случаях,
i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n − 1. Ясно, что αij ∈ Aut(X). Отметим, что Y ∼=
∼= (Z(p))n, α̃ij = αij .
Пусть e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , n) ∈ Y. Рассмот-
рим на X функцию
ρi(x) = 1 + Re (x, ei).
Тогда ρi(x) ≥ 0, x ∈ X, и ∑
x∈X
ρi(x)mX({x}) = 1.
Обозначим через µi распределение на группе X с плотностью ρi(x) относительно
распределения mX . Видим, что
µ̂i(y) =
1, y = 0,
1
2
, y = ±ei,
0, y ∈ Y, y 6∈ {0,±ei}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1521
Очевидно, что µi 6∈ I(X). Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, — независимые случайные ве-
личины со значениями в группе X и распределениями µi. Покажем, что линейные
формы Lj =
∑n
i=1
αijξi независимы. По лемме 2.1 достаточно показать, что ха-
рактеристические функции µ̂i(y) удовлетворяют уравнению (3), которое принимает
вид
µ̂1(u1 + u2 +. . .+ un−1)µ̂2(2u1 + u2 +. . .+ un−1) . . . µ̂n(u1 + u2 +. . .+ 2un−1) =
= µ̂1(u1)µ̂1(u2) . . . µ̂1(un−1)µ̂2(2u1)µ̂2(u2) . . . µ̂2(un−1) . . .
. . . µ̂n(u1)µ̂n(u2) . . . µ̂n(2un−1). (30)
Покажем, что левая часть уравнения (30) не равна 0 тогда и только тогда, когда
uj = 0, j = 1, 2, . . . , n − 1. Действительно, предположим, что что левая часть
уравнения (30) не равна 0. Тогда uj удовлетворяет системе уравнений
u1 + u2 + . . .+ un−1 = b1,
2u1 + u2 + . . .+ un−1 = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u1 + u2 + . . .+ 2un−1 = bn,
(31)
где bi ∈ {0,±ei}.
Из (31) следует, что
∑n
i=2
bi = nb1,
u1 = b2 − b1,
u2 = b3 − b1,
. . . . . . . . . . . . . . .
un−1 = bn − b1.
(32)
Первое уравнение системы (32) влечет bi = 0, i = 1, 2, . . . , n. Поэтому един-
ственным решением системы (31) является uj = 0, j = 1, 2, . . . , n− 1.
Принимая во внимание, что µ̂i(±ej) = 0 при i 6= j, легко видеть, что если
uj 6= 0 для некоторого j, то правая часть уравнения (30) равна 0, т. е. правая часть
уравнения (30) не равна 0 тогда и только тогда, когда uj = 0, j = 1, 2, . . . , n − 1.
Поэтому равенство (30) выполняется для всех uj ∈ Y.
Теорема 3.1 доказана.
Отметим, что теорема 3.1 может быть усилена при n = 3. Обозначим через G
группу вида (1). Справедливы следующие утверждения [13]:
1. Пусть αi, βi ∈ Aut(G), i = 1, 2, 3, ξi — независимые случайные величины
со значениями в группе X и распределениями µi. Предположим, что линейные
формы L1 = α1ξ1 + α2ξ2 + α3ξ3 и L2 = β1ξ1 + β2ξ2 + β3ξ3 независимы. Если
X = G, то все µi – вырожденные распределения. Если X = Z(3)×G, то либо все
µi — вырожденные распределения, либо µi1 ∗Ex1
= µi2 ∗Ex2
= mZ(3), xi ∈ X, для
как минимум двух распределений µi1 и µi2 . Если X = Z(5)×G, то либо все µi —
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1522 И. П. МАЗУР
вырожденные распределения, либо µi1 ∗ Ex1
= mZ(5), x1 ∈ X, для как минимум
одного распределения µi1 .
2. Если группа X не изоморфна ни одной из групп, упоминавшихся в утвер-
ждении 1, то найдутся αi, βi ∈ Aut(X), i = 1, 2, 3, и независимые одинаково
распределенные случайные величины ξi со значениями в группе X и распре-
делениями µ 6∈ I(X) такие, что линейные формы L1 = α1ξ1 + α2ξ2 + α3ξ3 и
L2 = β1ξ1 + β2ξ2 + β3ξ3 независимы.
Докажем, что теорема 1.2 не верна, если αij — эндоморфизмы X и не все αij
являются автоморфизмами.
Предложение 3.1. Предположим, что группа X не изоморфна группе Z(p),
где p — простое число. Тогда найдутся независимые одинаково распределенные
случайные величины ξ1, ξ2 со значениями в X и распределением µ и ненулевые
эндоморфизмы α, β группы Y такие, что:
a) линейные формы L1 = αξ1 + βξ2 и L2 = ξ1 + αξ2 независимы;
b) µ 6∈ I(X);
c) σ(µ) = X.
Доказательство. Сначала покажем, что существуют эндоморфизмы α, β груп-
пы X, удовлетворяющие условиям:
1) α 6∈ Aut(X), β ∈ Aut(X);
2) β(Kerα) = Kerα;
3) α2x 6= βx для всех x ∈ X,x 6= 0.
Без потери общности можем предполагать, что X — p-примарная группа. По
структурной теореме для конечных абелевых групп
X =
m∏
k=1
(Z(pk))kl ,
где kl ≥ 0. Возможны два случая: X ∼= Z(pk) и X 6∼= Z(pk). Если X ∼= Z(pk), где
k > 1, то положим αx = px, x ∈ X, β = (p− 1)x, x ∈ X. Легко доказать, что α и
β удовлетворяют условиям 1 – 3.
Если X 6∼= Z(pk), то X = X1 × X2, где X1, X2 — нетривиальные подгруп-
пы группы X. Обозначим через (x1, x2), xi ∈ Xi, элементы группы X. Пусть
α(x1, x2) = (0, x1), x ∈ X, β = I. Несложно проверить, что условия 1 – 3 выпол-
няются.
Итак, пусть α и β удовлетворяют условиям 1 – 3. Легко показать, что гомомор-
физм π : Y 2 → Y 2, определяемый по формуле
π(u, v) = (α̃u+ v, β̃u+ α̃v), (33)
является автоморфизмом Y 2. Ясно, что H = Ker α̃ 6= {0}. Из (33) и условия 2
следует, что πH2 ⊂ H2. Так как π ∈ Aut(Y 2) и Y 2 конечны, получаем
πH2 = H2. (34)
Положим K = A(X,H), µ = (1− b)mX + bmK , где 0 < b < 1. Тогда
µ̂(y) =
1, y = 0,
b, y ∈ H, y 6= 0,
0, y 6∈ H.
(35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1523
Очевидно, что µ 6∈ I(X) и σ(µ) = X.
Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные величины ξi,
ξ2 со значениями в группе X и распределениями µ. Докажем, что L1 и L2 неза-
висимы. По лемме 2.1 достаточно показать, что характеристические функции µ̂(y)
удовлетворяют уравнению (18), которое принимает вид
µ̂(α̃u+ v)µ̂(β̃u+ α̃v) = µ̂(α̃u)µ̂(v)µ̂(β̃u)µ̂(α̃v), u, v ∈ Y. (36)
Если u, v ∈ H, то очевидно, что (36) выполняется.
Покажем, что если либо u 6∈ H, либо v 6∈ H, то обе части равенства (36) равны 0.
Если либо u 6∈ H, либо v 6∈ H, то (35) влечет, что правая часть (36) равна 0.
Покажем, что то же верно и для левой части (36). Предположим противное. Тогда
справедливы включения
α̃u+ v ∈ H,
β̃u+ α̃v ∈ H.
(37)
Включения (37) означают, что π(u, v) ∈ H2. Тогда (34) влечет, что (u, v) ∈ H2, т. е.
u, v ∈ H. Это противоречит предположению.
Предположение 3.1 доказано.
Автор выражает благодарность Г. М. Фельдману за постановку задачи и полез-
ные обсуждения и А. И. Ильинскому за полезные обсуждения и комментарии.
1. Skitovich V. P. On a propherty of the normal distribution // Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.). – 1953. –
89. – P. 217 – 219.
2. Darmois G. Analyse generale des liasions stochastiques. Etude particuliere de l‘analyse factorielle
lineaire // Rev. Inst. Int. Statist. – 1953. – 21. – P. 2 – 8.
3. Kagan A. M., Linnik Yu. V., Rao C. R. Characterization problems in mathematical statistics // Wiley Ser.
in Probab. and Math. Statist. – New York etc.: John Wiley & Sons, 1973.
4. Ghurye S. G., Olkin I. A characterization of the multivariate normal distribution // Ann. Math. Statist. –
1962. – 33. – P. 533 – 541.
5. Feldman G. M. On the Skitovich – Darmois theorem for finite abelian groups // Theory Probab. Appl. –
1992. – 37. – P. 621 – 631.
6. Feldman G. M. On the Skitovich – Darmois theorem on compact groups // Theory Probab. Appl. – 1996.
– 41. – P. 768 – 773.
7. Feldman G. M. The Skitovich – Darmois theorem for discrete periodic Abelian groups // Theory Probab.
Appl. – 1997. – 42. – P. 611 – 617.
8. Feldman G. M. More on the Skitovich – Darmois theorem for finite Abelian groups // Theory Probab.
Appl. – 2001. – 45. – P. 507 – 511.
9. Feldman G. M., Graczyk P. On the Skitovich – Darmois theorem on compact Abelian groups // J. Theor.
Probab. – 2000. – 13. – P. 859 – 869.
10. Feldman G. M., Graczyk P. On the Skitovich – Darmois theorem for discrete Abelian groups // Theory
Probab. Appl. – 2005. – 49. – P. 527 – 531.
11. Feldman G. M., Graczyk P. The Skitovich – Darmois theorem for locally compact Abelian groups // J.
Austral. Math. Soc. – 2010. – 88. – P. 339 – 352.
12. Graczyk P., Feldman G. M. Independent linear statistics on finite abelian groups // Ukr. Math. J. – 2001.
– 53, № 4. – P. 499 – 506.
13. Krakowiak W. The theorem of Darmois – Skitovich for Banach valued random variables // Ann. Inst. H.
Poincare B. – 1975. – 11, № 4. – P. 397 – 404.
14. Myronyuk M. V. On the Skitovich – Darmous and Heyde theorem in a Banach space // Ukr. Math. J. –
2008. – 60, № 9. – P. 1437 – 1447 (transl. from Ukr. Mat. Zh. – 2008. – 60, № 9. – P. 1234 – 1242).
15. Feldman G. Functional equations and characterizations problems on locally compact Abelian groups //
EMS. – 2008.
16. Hewitt E., Ross K. A. Abstract harmonic analysis. – Berlin etc.: Springer, 1963. – Vol. 1.
Получено 23.05.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166399 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T08:46:37Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мазур, И.П. 2020-02-19T05:40:40Z 2020-02-19T05:40:40Z 2011 Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых группе / И.П. Мазур // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1524–1533. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166399 517 519.2 Нехай X — скiнченна абелева група, ξi,i=1,2,...,n,n≥2, — незалежнi випадковi величини зi значеннями в X i розподiлами μi,αij,i,j=1,2,...,n, — автоморфiзми X. Доведено, що iз незалежностi n лiнiйних форм Lj=∑ni=1αijξi випливає, що всi μi — зрушення розподiлiв Хаара деякої пiдгрупи групи X. Ця теорема є аналогом теореми Скiтовича – Дармуа для скiнченних абелевих груп. Let X be a finite Abelian group, let ξi,i=1,2,...,n,n≥2, be independent random variables with values in X and distributions μi, and let αij,i,j=1,2,...,n, be automorphisms of X. We prove that the independence of n linear forms Lj=∑ni=1αijξi implies that all μi are shifts of the Haar distributions on some subgroups of the group X. This theorem is an analog of the Skitovich – Darmois theorem for finite Abelian groups ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых групп Skitovich-Darmois theorem for finite Abelian groups Article published earlier |
| spellingShingle | Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых групп Мазур, И.П. Статті |
| title | Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых групп |
| title_alt | Skitovich-Darmois theorem for finite Abelian groups |
| title_full | Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых групп |
| title_fullStr | Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых групп |
| title_full_unstemmed | Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых групп |
| title_short | Теорема Скитовича - Дармуа для конечных абелевых групп |
| title_sort | теорема скитовича - дармуа для конечных абелевых групп |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166399 |
| work_keys_str_mv | AT mazurip teoremaskitovičadarmuadlâkonečnyhabelevyhgrupp AT mazurip skitovichdarmoistheoremforfiniteabeliangroups |