Операторне узагальнення одного результату Рубела
Описаны все пары линейных непрерывных операторов, действующих в пространствах аналитических в областях функций и удовлетворяющих соотношению, которое является операторным аналогом уравнения Рубела в классе функционалов. We describe all pairs of linear continuous operators that act in spaces of funct...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166409 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Операторне узагальнення одного результату Рубела / Ю.С. Лінчук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1710–1716. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166409 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лінчук, Ю.С. 2020-02-19T05:48:01Z 2020-02-19T05:48:01Z 2011 Операторне узагальнення одного результату Рубела / Ю.С. Лінчук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1710–1716. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166409 517.983 Описаны все пары линейных непрерывных операторов, действующих в пространствах аналитических в областях функций и удовлетворяющих соотношению, которое является операторным аналогом уравнения Рубела в классе функционалов. We describe all pairs of linear continuous operators that act in spaces of functions analytic in domains and satisfy a relation that is an operator analog of the Rubel equation. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Операторне узагальнення одного результату Рубела Generalization of Rubel's result for operators Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Операторне узагальнення одного результату Рубела |
| spellingShingle |
Операторне узагальнення одного результату Рубела Лінчук, Ю.С. Короткі повідомлення |
| title_short |
Операторне узагальнення одного результату Рубела |
| title_full |
Операторне узагальнення одного результату Рубела |
| title_fullStr |
Операторне узагальнення одного результату Рубела |
| title_full_unstemmed |
Операторне узагальнення одного результату Рубела |
| title_sort |
операторне узагальнення одного результату рубела |
| author |
Лінчук, Ю.С. |
| author_facet |
Лінчук, Ю.С. |
| topic |
Короткі повідомлення |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Generalization of Rubel's result for operators |
| description |
Описаны все пары линейных непрерывных операторов, действующих в пространствах аналитических в областях функций и удовлетворяющих соотношению, которое является операторным аналогом уравнения Рубела в классе функционалов.
We describe all pairs of linear continuous operators that act in spaces of functions analytic in domains and satisfy a relation that is an operator analog of the Rubel equation.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166409 |
| citation_txt |
Операторне узагальнення одного результату Рубела / Ю.С. Лінчук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1710–1716. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT línčukûs operatorneuzagalʹnennâodnogorezulʹtaturubela AT línčukûs generalizationofrubelsresultforoperators |
| first_indexed |
2025-11-27T07:35:58Z |
| last_indexed |
2025-11-27T07:35:58Z |
| _version_ |
1850806612367769600 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.983
Ю. С. Лiнчук (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ОПЕРАТОРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ
ОДНОГО РЕЗУЛЬТАТУ РУБЕЛА
We describe all pairs of linear continuous operators that act in spaces of functions analytic in domains and
satisfy a relation that is an operator analog of the Rubel equation.
Описаны все пары линейных непрерывных операторов, действующих в пространствах аналитических
в областях функций и удовлетворяющих соотношению, которое является операторным аналогом урав-
нения Рубела в классе функционалов.
Нехай G — довiльна область комплексної площини. Через H(G) позначимо прос-
тiр усiх аналiтичних в областi G функцiй, що надiлений топологiєю компактної
збiжностi, а через L(H(G)) — множину всiх лiнiйних неперервних операторiв на
просторi H(G). Л. А. Рубел [1], узагальнюючи формулу для диференцiювання до-
бутку двох функцiй, поставив i розв’язав задачу про знаходження всiх пар лiнiйних
неперервних функцiоналiв L та M на просторi H(G), якi задовольняють спiввiд-
ношення
L(fg) = L(f)M(g) + L(g)M(f) (1)
для довiльних функцiй f та g з просторуH(G). Н. Р. Нандакумар [2] розв’язав зада-
чу Рубела у класi лiнiйних функцiоналiв на просторi H(G). Подальшi дослiдження
щодо опису пар лiнiйних функцiоналiв на просторi H(G), якi задовольняють по-
дiбнi спiввiдношення, виконано Н. Р. Нандакумаром та П. Каннапаном в [3, 4]. У
монографiях [5, 6] систематизовано цi дослiдження та їхнi узагальнення.
У зв’язку з цими задачами природним чином виникає питання про опис усiх
пар лiнiйних неперервних операторiв A та B на просторi H(G) таких, що
(A(fg))(z) = (Af)(z)(Bg)(z) + (Ag)(z)(Bf)(z) (2)
для довiльних функцiй f(z) та g(z) з простору H(G) при z ∈ G. Для розв’язуван-
ня цiєї задачi нам буде потрiбне iнтегральне зображення Кете операторiв з класу
L(H(G)) [7]. Для зручностi наведемо його.
Нехай G — довiльна однозв’язна область комплексної площини, а (Gn)
∞
n=1 —
послiдовнiсть однозв’язних областей, кожна з яких обмежена замкненою спрям-
ною жордановою кривою, яка апроксимує зсередини область G, тобто Gn ⊂ Gn+1,
G =
⋃∞
n=1
Gn. Через Bn позначимо банахiв простiр, що складається з функцiй
f(z), якi неперервнi на Gn i є аналiтичними в Gn, з нормою ‖f‖ = maxz∈Gn
|f(z)|,
n = 1, 2, . . . . Якщо оператор T належить L(H(G)), то для довiльного натурального
числа n iснує натуральне число N(n) таке, що оператор T однозначно продовжу-
ється до лiнiйного неперервного оператора, який дiє з простору BN(n) в Bn. Тому
функцiя
t(λ, z) = (Tfλ)(z), fλ(z) =
1
λ− z
, λ ∈ {G, z ∈ G, (3)
c© Ю. С. ЛIНЧУК, 2011
1710 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
ОПЕРАТОРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ОДНОГО РЕЗУЛЬТАТУ РУБЕЛА 1711
є локально аналiтичною на множинi {G × G в такому сенсi: iснує монотонно
зростаюча функцiя N(n) : N −→ N така, що для кожного натурального n функцiя
t(λ, z) є аналiтичною на множинi {GN(n) × Gn, при цьому t(∞, z) = 0; крiм
того, якщо m > n, то функцiя t(λ, z), яка визначена на множинах {GN(n) × Gn
i {GN(m) × Gm, збiгається на їхньому перетинi {GN(m) × Gn. При цьому для
g ∈ H(G) при z ∈ Gn
(Tg)(z) =
1
2πi
∫
γn
t(λ, z)g(λ)dλ, (4)
де γn — межа областi GN(n)+1.
Навпаки, якщо функцiя t(λ, z) є локально аналiтичною на множинi {G×G, то
вона є аналiтичною на множинi F =
⋃∞
n=1
{GN(n) × Gn i рiвнiстю (4) визнача-
ється оператор T ∈ L(H(G)). Таким чином, формулами (3) та (4) встановлюється
взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж локально аналiтичними на множинi {G×G
функцiями t(λ, z) i операторами T ∈ L(H(G)). Функцiю t(λ, z), яка для оператора
T ∈ L(H(G)) визначається формулою (3), називають характеристичною за Кете
функцiєю оператора T.
Припустимо, що оператори A та B з класу L(H(G)) задовольняють спiввiдно-
шення (2). Нехай a(λ, z) та b(λ, z) – характеристичнi за Кете функцiї вiдповiдно
операторiв A та B. Вiзьмемо довiльне натуральне n, i нехай число N(n) знайде-
но за означенням локально аналiтичних функцiй a(λ, z) та b(λ, z). Тодi цi функцiї
є аналiтичними при λ ∈ {GN(n) та z ∈ Gn. Як зазначалося вище, оператори A
та B однозначно продовжуються до лiнiйних неперервних операторiв, якi дiють з
BN(n) в Bn. Для продовжених операторiв зберiгатимемо старi позначення. Покла-
даючи в (2) f(z) =
1
λ− z
та g(z) =
1
µ− z
, де λ, µ ∈ {GN(n), до того ж λ 6= µ,
переконуємося, що при z ∈ Gn виконується рiвнiсть
1
µ− λ
(a(λ, z)− a(µ, z)) = a(λ, z)b(µ, z) + a(µ, z)b(λ, z). (5)
Зафiксувавши в (5) z ∈ Gn та µ ∈ {GN(n) i спрямувавши λ до µ, отримаємо
a′1(µ, z) = −2a(µ, z)b(µ, z), (6)
де a′1(µ, z) =
∂a
∂µ
(µ, z). З (6) i (5) випливає, що
2a(λ, z)a(µ, z)(a(λ, z)− a(µ, z)) = (λ− µ)(a2(λ, z)a′1(µ, z) + a2(µ, z)a′1(λ, z))
(7)
при z ∈ Gn, λ, µ ∈ {GN(n), λ 6= µ. Замiнивши в (7) µ на ν, матимемо
2a(λ, z)a(ν, z)(a(λ, z)− a(ν, z)) = (λ− ν)(a2(λ, z)a′1(ν, z) + a2(ν, z)a′1(λ, z)),
(8)
z ∈ Gn, λ, ν ∈ {GN(n), λ 6= ν.
Виключаючи з рiвностей (7) та (8) a′1(λ, z), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1712 Ю. С. ЛIНЧУК
a(λ, z)c(λ, µ, ν, z) = 0 (9)
при z ∈ Gn, λ, µ, ν ∈ {GN(n), λ 6= µ, λ 6= ν, де c(λ, µ, ν, z) = a(λ, z)[2(λ −
− ν)a(µ, z)a2(ν, z)− 2(λ−µ)a(ν, z)a2(µ, z)− (λ−µ)(λ− ν)a2(ν, z)a′1(µ, z)+ (λ−
− ν)(λ− µ)a2(µ, z)a′1(ν, z)]− 2(µ− ν)a2(µ, z)a2(ν, z).
Зафiксуємо числа µ та ν так, що µ ∈ {GN(n), ν ∈ {GN(n), до того ж µ 6= ν,
i виберемо довiльне λ ∈ {GN(n), для якого λ 6= µ, λ 6= ν. Тодi з (9) випливає,
що для кожної точки z ∈ Gn або a(λ, z) = 0, або c(λ, µ, ν, z) = 0. Тому iснує
пiдмножина E множини Gn, яка має в Gn хоча б одну граничну точку, i така, що
або a(λ, z) = 0 при z ∈ E, або c(λ, z) = 0 при z ∈ E. Оскiльки кожна з цих
функцiй є аналiтичною по змiннiй z в областi Gn, то за теоремою єдиностi для
аналiтичних функцiй одержуємо, що або a(λ, z) = 0 при z ∈ Gn, або c(λ, z) =
= 0 при z ∈ Gn. Оскiльки множина {GN(n) є зв’язною, то, повторюючи ще раз
аналогiчнi мiркування вiдносно змiнної λ, одержуємо, що виконується одна з умов:
1) a(λ, z) = 0 при λ ∈ {GN(n), z ∈ Gn, або 2) c(λ, µ, ν, z) = 0 при λ ∈ {GN(n),
z ∈ Gn. У першому випадку оператор A є нульовим. Легко бачити, що для A =
= 0 та довiльного оператора B ∈ L(H(G)) виконується рiвнiсть (2). Залишилося
розглянути другий випадок.
Нехай c(λ, µ, ν, z) = 0 при λ ∈ {GN(n) i z ∈ Gn та a(λ, z) 6≡ 0 при λ ∈ {GN(n),
z ∈ Gn. Не порушуючи загальностi, вважатимемо числа µ, ν ∈ {GN(n) такими,
що a(ν, z)a(µ, z) 6≡ 0 при z ∈ Gn. Покладемо 2(µ − ν)a2(µ, z)a2(ν, z) = hn(z).
Функцiя hn(z) є аналiтичною в Gn i hn(z) 6≡ 0 в Gn. Рiвнiсть c(λ, µ, ν, z) = 0
можна записати у виглядi
a(λ, z)(ϕ0,n(z)λ
2 + ϕ1,n(z)λ+ ϕ2,n(z)) = hn(z), (10)
де функцiї ϕk,n(z), k = 0, 1, 2, є аналiтичними при z ∈ Gn i рiвнiсть (10) викону-
ється при λ ∈ {GN(n) та z ∈ Gn.
Позначимо dn(λ, z) = ϕ0,n(z)λ
2+ϕ1,n(z)λ+ϕ2,n(z) i покажемо, що dn(λ, z) 6=
6= 0 при λ ∈ {GN(n) та z ∈ Gn. Припустимо, що iснують числа λ0 ∈ {GN(n) та
z0 ∈ Gn, для яких dn(λ0, z0) = 0.Оскiльки функцiї ϕ0,n(z), ϕ1,n(z), ϕ2,n(z) є аналi-
тичними в Gn i коренi квадратного вiдносно λ рiвняння dn(λ, z) = 0 неперервним
чином залежать вiд параметра z, то iснує окiл Uδ(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < δ}
точки z0 такий, що Uδ(z0) ⊂ Gn i для кожного z ∈ Gn один iз коренiв λ(z) квад-
ратного рiвняння dn(λ, z) = 0 вiдносно λ мiститься в {GN(n). Покладаючи в (10)
для довiльного z ∈ Uδ(z0) замiсть λ число λ(z), одержуємо, що hn(z) = 0 при
z ∈ Uδ(z0). За теоремою єдиностi для аналiтичних функцiй звiдси випливає, що
hn(z) = 0 при z ∈ Gn, що суперечить умовi hn(z) 6≡ 0 в Gn. Таким чином, дiйсно,
функцiя dn(λ, z) 6= 0 при λ ∈ {GN(n), z ∈ Gn. Тодi з (10) випливає, що
a(λ, z) =
hn(z)
ϕ0,n(z)λ2 + ϕ1,n(z)λ+ ϕ2,n(z)
(11)
при λ ∈ {GN(n) i z ∈ Gn.
Виберемо довiльне натуральне число m > n i знайдене для нього число N(m)
за означенням локально аналiтичних функцiй a(λ, z) та b(λ, z). Тодi за доведеним
вище твердженням на множинi {GN(m) × Gm функцiю a(λ, z) можна подати у
виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
ОПЕРАТОРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ОДНОГО РЕЗУЛЬТАТУ РУБЕЛА 1713
a(λ, z) =
hm(z)
ϕ0,m(z)λ2 + ϕ1,m(z)λ+ ϕ2,m(z)
, (12)
де hm(z), ϕk,m(z), k = 0, 1, 2, є аналiтичними функцiями на множинi Gm i
ϕ0,m(z)λ2+ϕ1,m(z)λ+ϕ2,m(z) 6= 0 при λ ∈ {GN(m), z ∈ Gm. Оскiльки, за власти-
вiстю локально аналiтичних функцiй, a(λ, z), що визначається формулами (11) та
(12), набуває однакових значень на перетинi множин {GN(n)×Gn та {GN(m)×Gm,
то
hn(z)
ϕ0,n(z)λ2 + ϕ1,n(z)λ+ ϕ2,n(z)
=
hm(z)
ϕ0,m(z)λ2 + ϕ1,m(z)λ+ ϕ2,m(z)
(13)
на множинi {GN(m) × Gn. З цiєї рiвностi випливає, що на множинi Gn множини
нулiв функцiй hn(z) та hm(z) збiгаються. Нехай Sn — множина нулiв функцiї
hn(z) на множинi Gn, n = 1, 2, . . . . Тодi кожна з множин Sn є скiнченною i
Sn ⊂ Sn+1, n = 1, 2, . . . . Тому множина S =
⋃∞
n=1
Sn є не бiльш нiж злiченною.
Розглянемо довiльну функцiю h(z) з просторуH(G), множина нулiв якої збiгається
з множиною S. Тодi для кожного натурального n функцiю hn(z) можна на множинi
Gn подати у виглядi hn(z) = h(z)h̃n(z), де h̃n(z) =
hn(z)
h(z)
, z ∈ Gn. Зрозумiло, що
функцiя h̃n(z) є аналiтичною на множинi Gn i h̃n(z) 6= 0 при z ∈ Gn. Тому при
λ ∈ {GN(n), z ∈ Gn функцiю a(λ, z) можна зобразити у виглядi
a(λ, z) =
h(z)
ϕ̃0,n(z)λ2 + ϕ̃1,n(z)λ+ ϕ̃2,n(z)
,
де ϕ̃k,n(z) =
ϕk,n(z)
h̃n(z)
, до того ж функцiї ϕ̃k,n(z), k = 0, 1, 2, є аналiтичними на
множинi Gn. З (13) випливає, що при m > n на множинi {GN(m)×Gn виконується
рiвнiсть
h(z)
ϕ̃0,n(z)λ2 + ϕ̃1,n(z)λ+ ϕ̃2,n(z)
=
h(z)
ϕ̃0,m(z)λ2 + ϕ̃1,m(z)λ+ ϕ̃2,m(z)
. (14)
Звiдси випливає, що ϕ̃0,n(z)λ
2 + ϕ̃1,n(z)λ + ϕ̃2,n(z) = ϕ̃0,m(z)λ2 + ϕ̃1,m(z)λ+
+ϕ̃2,m(z) при λ ∈ {GN(m) i z ∈ Gn. Тому ϕ̃k,n(z) = ϕ̃k,m(z) при z ∈ Gn i кожна
з функцiй ϕk,n(z) аналiтично продовжується до функцiї ϕk(z), k = 0, 1, 2, яка є
аналiтичною на множинi G.
Таким чином, ми показали, що якщо оператори A,B ∈ L(H(G)) з характерис-
тичними функцiями a(λ, z) та b(λ, z) задовольняють спiввiдношення (2) i оператор
A 6= 0, то iснують аналiтичнi в областi G функцiї h(z) та ϕk(z), k = 0, 1, 2, такi,
що на множинi F =
⋃∞
n=1
(({GN(n))×Gn)
ϕ0(z)λ
2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z) 6= 0, (15)
a(λ, z) =
h(z)
ϕ0(z)λ2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z)
, (16)
до того ж h(z) 6≡ 0 в G. Оскiльки за означенням локально аналiтичної функцiї
a(∞, z) = 0 при z ∈ G, то принаймнi одна з функцiй ϕ0(z) або ϕ1(z) не дорiвнює
тотожно нулевi в G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1714 Ю. С. ЛIНЧУК
Використовуючи (6), одержуємо
b(λ, z) =
1
2
2λϕ0(z) + ϕ1(z)
ϕ0(z)λ2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z)
(17)
на F .
Навпаки, нехай h(z), ϕk(z), k = 0, 1, 2, — такi аналiтичнi в областi G функцiї,
що виконується спiввiдношення (15) на множинiF i h(z) 6≡ 0 вG та ϕ0(z)ϕ1(z) 6≡ 0
в G. Тодi формулами (16) та (17) визначаються локально аналiтичнi на множинi
{G×G функцiї a(λ, z) та b(λ, z). Покажемо, що ненульовi оператори A та B, харак-
теристичнi функцiї яких збiгаються вiдповiдно з a(λ, z) та b(λ, z), задовольняють
рiвнiсть (2).
Вiзьмемо довiльне натуральне n i виберемо натуральне число N(n) так, щоб
функцiї a(λ, z) та b(λ, z) були аналiтичними на множинi {GN(n) × Gn. Нехай
γn = ∂GN(n)+1 i γ̃n = ∂GN(n)+2. Тодi для довiльних функцiй f та g з H(G) при
z ∈ Gn матимемо
(Af)(z) =
1
2πi
∫
γn
h(z)f(λ)
ϕ0(z)λ2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z)
dλ, (18)
(Ag)(z) =
1
2πi
∫
γ̃n
h(z)g(µ)
ϕ0(z)µ2 + ϕ1(z)µ+ ϕ2(z)
dµ, (19)
(Bg)(z) =
1
2πi
∫
γ̃n
(µϕ0(z) +
1
2ϕ1(z))g(µ)
ϕ0(z)µ2 + ϕ1(z)µ+ ϕ2(z)
dµ, (20)
(Bf)(z) =
1
2πi
∫
γn
(λϕ0(z) +
1
2ϕ1(z))f(λ)
ϕ0(z)λ2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z)
dλ. (21)
Тому при z ∈ Gn
(Af)(z)(Bg)(z) + (Ag)(z)(Bf)(z) =
=
1
(2πi)2
∫
γn
dλ
∫
γ̃n
((λ+ µ)ϕ0(z) + ϕ1(z))h(z)f(λ)g(µ)
(ϕ0(z)λ2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z))(ϕ0(z)µ2 + ϕ1(z)µ+ ϕ2(z))
dµ =
=
h(z)
(2πi)2
∫
γn
dλ
∫
γ̃n
(
1
ϕ0(z)λ2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z)
−
− 1
ϕ0(z)µ2 + ϕ1(z)µ+ ϕ2(z)
)
f(λ)g(µ)
µ− λ
dµ =
=
h(z)
(2πi)2
∫
γn
f(λ)
ϕ0(z)λ2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z)
dλ
∫
γ̃n
g(µ)
µ− λ
dµ−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
ОПЕРАТОРНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ОДНОГО РЕЗУЛЬТАТУ РУБЕЛА 1715
− h(z)
(2πi)2
∫
γ̃n
g(µ)
ϕ0(z)µ2 + ϕ1(z)µ+ ϕ2(z)
dµ
∫
γn
f(λ)
µ− λ
dλ =
=
h(z)
(2πi)2
∫
γn
f(λ)g(λ)
ϕ0(z)λ2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z)
dλ = (A(fg))(z).
Таким чином, є правильним наступне твердження.
Теорема. Для того щоб для ненульових операторiв A та B з класу L(H(G))
виконувалась рiвнiсть (2) для довiльних функцiй f та g з просторуH(G), необхiдно
i достатньо, щоб оператори A та B мали вигляд (18) та (21), де функцiї h(z) та
ϕk(z), k = 0, 1, 2, належать простору H(G), до того ж для них на множинi F
виконується спiввiдношення (15) i ϕ0(z)ϕ1(z) 6≡ 0 та h(z) 6≡ 0 в G.
Зауваження. Як зазначалось у процесi доведення теореми, оператор A = 0 та
довiльний оператор B з класу L(H(G)) задовольняють спiввiдношення (2).
Розглянемо деякi класи операторiв, якi одержуються з теореми i задовольняють
спiввiдношення (2).
I. Нехай
ϕ0(z)λ
2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z) = (λ− ψ1(z))(λ− ψ2(z)),
де ψ1(z) та ψ2(z) — деякi аналiтичнi в областi G функцiї, якi вiдображають G в
себе, до того ж ψ1(z) 6≡ ψ2(z). Тодi умова (15) виконується i для довiльної функцiї
h(z) з простору H(G), а вiдповiднi оператори A та B дiють за правилами
(Af)(z) = h(z)
f(ψ1(z))− f(ψ2(z))
ψ1(z)− ψ2(z)
при z ∈ G : ψ1(z) 6= ψ2(z),
(Af)(z) = h(z)f ′(ψ1(z)) при z ∈ G : ψ1(z) = ψ2(z),
(Bf)(z) =
1
2
(f(ψ1(z)) + f(ψ2(z))).
II. Нехай
ϕ0(z)λ
2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z) = (λ− ψ(z))2,
де ψ(z) — деяка аналiтична в областi G функцiя, до того ж ψ(G) ⊂ G. Тодi,
використовуючи теорему, одержуємо, що для довiльної функцiї h(z) з простору
H(G) оператори A та B, якi дiють за правилами
(Af)(z) = h(z)f ′(ψ(z)), (Bf)(z) = f(ψ(z)),
належать класу L(H(G)) i задовольняють спiввiдношення (2).
III. Нехай
ϕ0(z)λ
2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z) = λ− ψ(z),
де ψ(z) — деяка аналiтична в областi G функцiя, до того ж ψ(G) ⊂ G. Тодi з
теореми випливає, що для довiльної функцiї h(z) з простору H(G) оператори A та
B, якi дiють за правилами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1716 Ю. С. ЛIНЧУК
(Af)(z) = h(z)f(ψ(z)), (Bf)(z) =
1
2
f(ψ(z)),
належать класу L(H(G)) i задовольняють спiввiдношення (2).
Кожному з наведених в I − III класiв пар операторiв A та B, що задовольня-
ють спiввiдношення (2), вiдповiдають деякi пари функцiоналiв, що задовольняють
спiввiдношення (1) i одержанi в [1]. Наведемо приклад пари операторiв A та B
з класу L(H(G)), для яких виконується рiвнiсть (2), до того ж для них не iснує
аналогiчного розв’язку рiвняння (1) у класi лiнiйних неперервних функцiоналiв на
просторi H(G).
IV. Нехай G = {z ∈ C : |z| < 1}. Тодi функцiя
ϕ0(z)λ
2 + ϕ1(z)λ+ ϕ2(z) = λ2 − z
задовольняє спiввiдношення (15) для даної областi G. Тому, обчислюючи iнтеграли
у правих частинах формул (18) i (21), одержуємо, що для довiльної функцiї h(z) з
простору H(G) оператори A та B, якi дiють за правилами
(Af)(z) = h(z)
f(
√
z)− f(−
√
z)
2
√
z
при z ∈ G\{0}, (Af)(0) = h(0)f ′(0),
(Bf)(z) =
f(
√
z) + f(−
√
z)
2
,
належать класу L(H(G)) i задовольняють спiввiдношення (2).
1. Rubel L. A. Derivation pairs on the holomorphic functions // Funkc. еkvacioj. – 1967. – № 10. –
P. 225 – 227.
2. Nandakumar N. R. A note on derivation pairs // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – № 21. – P. 535 – 539.
3. Nandakumar N. R. A note on the functional equation M(fg) = M(f)M(g) + L(f)L(g) on H(G) //
Rend. Semin. Fac. sci. Univ. Cagliari. – 1998. – 68. – P. 13 – 17.
4. Kannappan Pl., Nandakumar N. R. On a cosine functional equation for operators on the algebra of
analytic functions in a domain // Aequat. math. – 2001.– 61, № 3. – P. 233 – 238.
5. Luecking D.H., Rubel L.A. Complex analysis, a functional analysis approach. – New York: Springer,
1984. – 178 p.
6. Kannappan Pl. Functional equations and inequalities with applications // Springer Monogr. in Math. –
New York: Springer, 2009. – 810 р.
7. Köthe G. Dualität in der Funktionentheorie // J. reine und angew. Math. – 1953. – 191. – S. 30 – 49.
Одержано 22.03.11,
пiсля доопрацювання — 02.10.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
|