Dirichlet problems for harmonic functions in half spaces

• Published in: Український математичний журнал
• Date: 2014
• Main Author: Qiao, Lei
• Format: Article
• Language: English
• Published: Інститут математики НАН України 2014
• Subjects: Короткі повідомлення
• Online Access: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166445
• Journal Title: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Cite this: Dirichlet problems for harmonic functions in half spaces / Lei Qiao // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1367–1378. — Бібліогр.: 12 назв. — англ.

In our paper, we prove that if the positive part u+(x) of a harmonic function u(x) in a half space satisfies the condition of slow growth, then its negative part u−(x) can also be dominated by a similar growth condition. Moreover, we give an integral representation of the function u(x). Further, a solution of the Dirichlet problem in the half space for a rapidly growing continuous boundary function is constructed by using the generalized Poisson integral with this boundary function. Доведено, що у випадку, коли додатна частина u+(x)гармонічної функції u(x) у напiвпросторi задовольняє умову повільного зростання, її від'ємна частина u−(x) також може бути домінована подібною умовою зростання. Крім того, наведено інтегральне зображення для функції u(x). Більш того, розв'язок задачі Діріхле в напівпросторі для швидко зростаючої неперервної граничної функції побудовано за допомогою узагальненого інтеграла Пуассона з цією граничною функцією.