Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи
Получены формулы для вычисления коэффициентов в обобщённом законе Фурье и определения теплового потока в отливках с учётом фононной теплопередачи. Отримано формули для обчислення коефіцієнтів в узагальненому законі Фур’є і визначення теплового потоку у виливках з урахуванням фононної теплопередачі....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Процессы литья |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167420 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи / В.З. Тыднюк, О.И. Шинский, В.П. Кравченко, С.И. Клименко // Процессы литья. — 2016. — № 4 (118). — С. 18-25. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-167420 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Тыднюк, В.З. Шинский, О.И. Кравченко, В.П. Клименко, С.И. 2020-03-27T10:46:38Z 2020-03-27T10:46:38Z 2016 Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи / В.З. Тыднюк, О.И. Шинский, В.П. Кравченко, С.И. Клименко // Процессы литья. — 2016. — № 4 (118). — С. 18-25. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0235-5884 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167420 669.018:54 Получены формулы для вычисления коэффициентов в обобщённом законе Фурье и определения теплового потока в отливках с учётом фононной теплопередачи. Отримано формули для обчислення коефіцієнтів в узагальненому законі Фур’є і визначення теплового потоку у виливках з урахуванням фононної теплопередачі. The formulas for calculating coefficients in the generalized Fourier's law, and for determination of heat flow in castings considering the generalized Fourier's law and phonon heat transfer, were obtained. ru Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України Процессы литья Затвердевание сплавов Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи Оцінка теплового потоку при кристалізації виливків з урахуванням узагальненого закону фур'є і фононної теплопередачі The heat flow estimation by crystallization of castings considering the generalized Fourier’s low and phonon heat transfer Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи |
| spellingShingle |
Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи Тыднюк, В.З. Шинский, О.И. Кравченко, В.П. Клименко, С.И. Затвердевание сплавов |
| title_short |
Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи |
| title_full |
Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи |
| title_fullStr |
Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи |
| title_full_unstemmed |
Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи |
| title_sort |
оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи |
| author |
Тыднюк, В.З. Шинский, О.И. Кравченко, В.П. Клименко, С.И. |
| author_facet |
Тыднюк, В.З. Шинский, О.И. Кравченко, В.П. Клименко, С.И. |
| topic |
Затвердевание сплавов |
| topic_facet |
Затвердевание сплавов |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Процессы литья |
| publisher |
Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Оцінка теплового потоку при кристалізації виливків з урахуванням узагальненого закону фур'є і фононної теплопередачі The heat flow estimation by crystallization of castings considering the generalized Fourier’s low and phonon heat transfer |
| description |
Получены формулы для вычисления коэффициентов в обобщённом законе Фурье и определения теплового потока в отливках с учётом фононной теплопередачи.
Отримано формули для обчислення коефіцієнтів в узагальненому законі Фур’є і визначення теплового потоку у виливках з урахуванням фононної теплопередачі.
The formulas for calculating coefficients in the generalized Fourier's law, and for determination of heat flow in castings considering the generalized Fourier's law and phonon heat transfer, were obtained.
|
| issn |
0235-5884 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167420 |
| citation_txt |
Оценка теплового потока при кристаллизации отливок с учётом обобщённого закона фурье и фононной теплопередачи / В.З. Тыднюк, О.И. Шинский, В.П. Кравченко, С.И. Клименко // Процессы литья. — 2016. — № 4 (118). — С. 18-25. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT tydnûkvz ocenkateplovogopotokaprikristallizaciiotlivoksučetomobobŝennogozakonafurʹeifononnoiteploperedači AT šinskiioi ocenkateplovogopotokaprikristallizaciiotlivoksučetomobobŝennogozakonafurʹeifononnoiteploperedači AT kravčenkovp ocenkateplovogopotokaprikristallizaciiotlivoksučetomobobŝennogozakonafurʹeifononnoiteploperedači AT klimenkosi ocenkateplovogopotokaprikristallizaciiotlivoksučetomobobŝennogozakonafurʹeifononnoiteploperedači AT tydnûkvz ocínkateplovogopotokuprikristalízacíívilivkívzurahuvannâmuzagalʹnenogozakonufurêífononnoíteploperedačí AT šinskiioi ocínkateplovogopotokuprikristalízacíívilivkívzurahuvannâmuzagalʹnenogozakonufurêífononnoíteploperedačí AT kravčenkovp ocínkateplovogopotokuprikristalízacíívilivkívzurahuvannâmuzagalʹnenogozakonufurêífononnoíteploperedačí AT klimenkosi ocínkateplovogopotokuprikristalízacíívilivkívzurahuvannâmuzagalʹnenogozakonufurêífononnoíteploperedačí AT tydnûkvz theheatflowestimationbycrystallizationofcastingsconsideringthegeneralizedfourierslowandphononheattransfer AT šinskiioi theheatflowestimationbycrystallizationofcastingsconsideringthegeneralizedfourierslowandphononheattransfer AT kravčenkovp theheatflowestimationbycrystallizationofcastingsconsideringthegeneralizedfourierslowandphononheattransfer AT klimenkosi theheatflowestimationbycrystallizationofcastingsconsideringthegeneralizedfourierslowandphononheattransfer |
| first_indexed |
2025-11-26T08:36:47Z |
| last_indexed |
2025-11-26T08:36:47Z |
| _version_ |
1850615998242095104 |
| fulltext |
18 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2016. № 4 (118)
Затвердевание сплавов
УдК 669.018:54
в. З. тыднюк, о. и. Шинский, в. п. Кравченко,
с. и. Клименко
Физико-технологический институт металлов и сплавов НАН Украины, Киев
оЦенКа тепловоГо потоКа при КристаллиЗаЦии
отливоК с УЧЁтоМ оБоБЩЁнноГо ЗаКона ФУрЬе и
ФононноЙ теплопередаЧи
Получены формулы для вычисления коэффициентов в обобщённом законе Фурье и опреде-
ления теплового потока в отливках с учётом фононной теплопередачи.
Ключевые слова: тепловой поток, обобщённый закон Фурье, гиперболическое уравнение
теплопроводности, механизмы теплопередачи, температурные волны, фононная теплопере-
дача, кристаллизация отливок, влияние размеров зерна на теплопередачу.
Отримано формули для обчислення коефіцієнтів в узагальненому законі Фур’є і визначення
теплового потоку у виливках з урахуванням фононної теплопередачі.
Ключові слова: тепловий потік, узагальнений закон Фур’є, гіперболічне рівняння теплопро-
відності, механізми теплопередачі, температурні хвилі, фононна теплопередача, кристалізація
виливок, вплив розмірів зерна на теплопередачу.
The formulas for calculating coefficients in the generalized Fourier's law, and for determination
of heat flow in castings considering the generalized Fourier's law and phonon heat transfer, were
obtained.
Keywords: heat flow, generalized Fourier’s law, hyperbolic heat conductivity equation, heat trans-
fer mechanism, temperature waves, phonon heat transfer, crystallization of castings, influence of
grain size on heat transfer.
Исследования температурных полей в затвердевающей отливке и литейной
форме были и остаются одной из главных задач литейного производства.
Для соответствия необходимым требованиям, которые предъявляются к микро-
структуре и механическим свойствам литых деталей и, в свою очередь, для соот-
ветствия химического состава и свойств микроструктуры отливок необходимо по-
стоянно совершенствовать технологии литья и разрабатывать новые концепции и
модели построения литейно-металлургических технологий. При этом следует учи-
тывать некоторые простые формульные соотношения, которые лежат как в основе
различных физико-математических моделей тепломассопереноса, так и исполь-
зуются при экспериментальном определении важнейших параметров тепловых
процессов.
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2016. № 4 (118) 19
Затвердевание сплавов
Одной из основных проблем при инженерных расчётах является определение
теплового потока в различных областях жидкого металла, зоне кристаллизации и
разных участках литейной формы, так как этот поток является динамическим фак-
тором и зависит от многих нестационарных условий. Классическое определение
теплового потока, как известно, определяется законом Фурье, и в трёхмерном или
простейшем одномерном случае выражается формулами [1-2]:
( )
.
−
∂ ∆
= − ≈ −
∂ ∆
u uq k
x x
= grad ;q k u M, t
k
(1)
Здесь q – плотность теплового потока, Вт/м2; k − коэффициент теплопроводности,
Вт/м ⋅ град; u (M, t) – температура, град. по шкале Цельсия (0C) или Кельвина (K );
M – точка пространства. При инженерных расчётах дифференциалы часто заменяют
конечным расстоянием ∆x между двумя близкими точками и разностью температур
∆u в этих точках, [2]. Коэффициент теплопроводности предполагается постоянным
лишь для определённого температурного интервала и не зависит от направления
только в изотропной (по тепловым свойствам) среде.
Формально одномерный тепловой поток как функция двух переменных q (x, t) рас-
кладывается в ряд Тейлора и, при сохранении линейных слагаемых, будет иметь вид:
∂ ∂
− − α
∂ ∂
= .
u u
q k
x t
(2)
Вторым слагаемым можно пренебречь лишь в случае достаточно малого значения
среднего значения коэффициента α по сравнению со средним значением коэффи-
циента теплопроводности k для некоторого интервала времени ∆t. Но при этом в
разных фазовых точках теплового процесса производные ∂u/∂x и ∂u/∂t могут отли-
чаться на несколько порядков, что вносит свой вклад во второе слагаемое в (2). То
есть, нет никаких предусловий считать этот коэффициент постоянно близким к нулю
и независимым по величине от некоторых дополнительных физических факторов,
которые не были учтены в классической теории теплопереноса. Поэтому формулу
теплового потока в форме (1) можно считать верной лишь в единственном случае,
когда производная потока по времени в (2) при любых условиях, по крайней мере
для малых промежутков времени, является линейной функцией от производной
теплового потока по координате:
∂ ∂
β
∂ ∂
= ;
u u
t x
β = const.
Теперь обратим внимание на некоторые физические факторы. Во-первых, тепло
распространяется с конечной скоростью. Во-вторых, существует, как минимум,
четыре разных механизма теплопереноса. Это так называемая «решёточная» те-
плопередача, когда кинетическая и потенциальная энергии теплового движения
передаются путём механических упругих и неупругих столкновений атомных единиц
(атомов, молекул, ионов) в твёрдых, жидких или газообразных средах. Далее, тепло-
та распространяется также с помощью электромагнитного излучения. При любых
температурах выше абсолютного нуля при движении электрически заряженных зон
или диполей в атомных единицах среды в разных диапазонах излучается лучистая
электромагнитная энергия. Зависимость такого излучения от температуры в клас-
сической области описывают закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина.
Однако, в проводниках и полупроводниках с большим коэффициентом поглощения
эта энергия тут же поглощается в ближайших атомных слоях, и через некоторое вре-
20 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2016. № 4 (118)
Затвердевание сплавов
мя задержки опять переизлучается. Определение оптико-геометрических свойств
среды в металлах и полупроводниках связано со значительными математическими
трудностями [1], но ввиду большого поглощения электромагнитного излучения,
особенно в металлах, можно считать, что скорость лучистой теплопередачи в таких
проводящих средах будет мало отличаться от скорости решёточной теплопередачи.
Тем не менее, при больших температурах лучистую теплопередачу (особенно в ин-
фракрасном диапазоне) следует учитывать на границах отливки, а также в литейных
формах, которые выполнены из диэлектрических материалов.
В проводниках и полупроводниках в теплопередаче отдельно участвует электрон-
ный газ из свободных электронов проводимости или других носителей электрического
заряда. Как известно, теплопроводность чистых металлов почти полностью опреде-
ляется теплопроводностью их электронного газа [3]: k = kреш + kэл; kреш/ kэл ≅ 5⋅10-2.
Но средняя длина свободного пробега электрона при этом составляет всего лишь
l
эл
≅ 10-8 м=10-6см.Так как размер атома водорода ≅10-8 см, то электрон на этом пути
проходит не более 100 атомов кристаллической решётки или жидкокристаллического
кластера. При наличии дефектов, дислокаций и примесных атомов длина свободно-
го пробега электрона ещё более уменьшается, и уменьшается и доля электронной
теплопроводности, kреш ≅ kэл , [3].
Но теория невзаимодействующих электронов является очень приближённой,
не учитывающей различные взаимодействия. Существует теория Хартри-Фока,
метод самосогласованного поля и другие [4], более точные теории для описания
электронного газа. Электроны взаимодействуют с фононами, между собой, с
фотонами теплового электромагнитного излучения, с атомами кристаллической
решётки или жидкокристаллических кластеров, при этом образуются различные
квазичастицы: плазмоны, поляроны и др. [4]. И, на самом деле, свободное тепло-
вое движение электронов не может само по себе вносить большой вклад в тепло-
передачу из-за малой массы электрона, по сравнению с массой атомной единицы,
но при образовании квазичастиц значительно увеличивается эффективная масса
электрона, при этом снижается и скорость квазичастицы. Поэтому приближённо
также будем считать, что скорость теплопередачи с участием электронов прово-
димости сравнима со скоростью решёточной теплопередачи. Это подтверждает и
закон Видемана-Франца, [5]:
,коэффициент теплопроводности T
удельная электропроводность
α= αT (3)
где α = const, T − абсолютная температура. То есть, при увеличении температуры
пропорционально возрастает и количество свободных электронов, но при этом про-
порционально возрастает в той же среде и решёточная теплопередача.
Кроме образования квазичастиц с кристаллической решёткой или атомными
кластерами в жидкости, свободные электроны проводимости имеют ещё один ка-
нал теплового взаимодействия: обмен тепловыми фононами. Небольшое значение
численного коэффициента в законе Видемана-Франца (3), α = 2,47⋅10-8, подтверж-
дает, что фононный обмен электронов с атомной решёткой и другими электронами
является процессом с большей вероятностью, по сравнению с другими. Закон Ви-
демана-Франца был открыт в 1853 году, но только с помощью квантовой статистики
Зоммерфельдом было получено теоретическое выражение для этого коэффициента,
которое очень хорошо согласовалось с экспериментальными данными.
Фонон [4], [6], [7] представляет собой квазичастицу, акустическое излучение
квантовой системы, которую образуют большие группы (кластеры) атомных еди-
ниц в кристаллической решётке, аморфном твёрдом теле, в жидкости или газе
(при большом давлении или температуре). При этом такая группа атомных единиц
образует квантовый осциллятор с согласованным тепловым движением. Так как
скорость звука, включая области ультразвука и частично гиперзвука, которые и со-
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2016. № 4 (118) 21
Затвердевание сплавов
держат частоты тепловых фононов, значительно превышает скорость решёточной
теплопередачи, то в предложенном приближении тепловой поток будет состоять
из двух основных компонент: решёточная теплопередача, которую характеризуют
коэффициент теплопроводности и коэффициент температуропроводности; фо-
нонная тепловая передача, основной параметр которой − коэффициент затухания.
То есть в реальных тепловых процессах при тепловом движении атомных единиц
постоянно происходит излучение фононов. Фононная волна обгоняет решёточную
теплопередачу, поглощается и снова переизлучается. При этом пробег свободного
фонона значительно превышает междуатомные расстояния. Таким образом, вто-
рое слагаемое в (2), в большинстве случаев, определяется фононной компонентой
теплопередачи.
Тем не менее, при очень развитых теоретических и экспериментальных исследо-
ваниях фононного излучения в твёрдых, жидких телах и газах, а также зависимости
теплоёмкости и других термодинамических параметров от интенсивности фононного
излучения, классическая теория теплопереноса не учитывает фононную компоненту.
Классическое уравнение теплопроводности выводится лишь из закона Фурье (1) и
закона баланса энергии в элементарном микрообъёме.
Однако, обобщённый закон Фурье, где учитывалась и производная по времени,
был вначале сформулирован в несколько отличной форме от (2):
q = −k grad u − τr (∂q/∂t) . (4)
Интерпретация коэффициента τr в (4) обычно связывается со временем релак-
сации тепловых напряжений. Обобщённый закон Фурье (4) является уравнением
с частными производными первого порядка от двух неизвестных, и не даёт непо-
средственную формулу для определения теплового потока.
Но такая формулировка обобщённого закона Фурье имеет собственную историю.
Классическое параболическое уравнение теплопроводности допускает возможность
мгновенного распространения теплового взаимодействия, и на этот парадокс впер-
вые обратил внимание Риман. Максвелл указал (1867 г.), что такого парадокса можно
избежать, если в законе теплопроводности Фурье (1) добавить дополнительный
член, учитывающий инерцию теплопередачи. Работы Максвелла [8] также являются
основополагающими и при исследованиях собственно релаксации (рассеивания)
упругих и тепловых напряжений, и во многих других областях молекулярной физики
и статистической физики. В 1948 г. Каттанео [9] был предложен вариант закона
Фурье с релаксационным членом (4). П. Вернотт и А. В. Лыков независимо друг от
друга показали, что скорость v распространения теплоты − конечна, а коэффициент τr в (4) − зависимый от времени релаксации, связан с этой скоростью зависимостью:
v√β/τr ; β = const.
В 1967 г. для скоростного потока газов и других высокоинтенсивных нестаци-
онарных процессов А. В. Лыковым был предложен [10] вывод гиперболического
(волнового) уравнения теплопроводности на основе обобщённого закона Фурье (4)
с коэффициентом релаксации, который определяется экспериментально.
Если дополнить обобщённый закон Фурье (4) ещё одним уравнением типа (2),
то получим модифицированное обобщение закона Фурье в виде системы из двух
уравнений, [11]:
q = −k grad u − τ (∂q/∂t), (5)
q = −k grad u − s (∂u/∂t) .
В [11] получено точное аналитическое решение гиперболического уравнения
Лыкова, которое состоит из суммы двух решений: гиперболической (волновой)
части и параболической. При этом показано, что параболическое решение может
быть представлено как конечный ряд низкочастотных амплитудных модуляций на
несущих волнах гиперболического решения. Групповая скорость таких модуляций
будет уже близкой к скорости решёточной теплопередачи.
22 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2016. № 4 (118)
Затвердевание сплавов
Система уравнений (5) позволяет получить более приемлемую для инженерных
расчётов формулу теплового потока, чем обобщённый закон Фурье в виде (4).
Вначале сравним скорости решёточной и фононной теплопередачи. Скорость из-
менения температуры среды посредством механической передачи потенциальной
и кинетической энергии от одних атомных единиц к другим будет определяться
коэффициентом температуропроводности. Для металлов максимальное зна-
чение этого коэффициента составляет ≅ 2⋅10-4 м2/с (калий, серебро). В то же
время минимальная скорость звука в металлах для продольной волны в той же
системе единиц ≅ 3⋅103 м/с (серебро). Поэтому в достаточно широких пределах
временного интервала оба уравнения системы (5) можно продифференцировать по
времени при условии ∂u/∂x = const (одномерный вариант). Решения соответствующих
дифференциальных уравнений второго порядка будут иметь следующий вид, [11]:
− ⋅
τ∂
∂
1
=const( , ) = ( ,0) ;
t
u
x
u x t u x e (6)
,
−
τ∂
∂
1×
=const( , ) = ( ,0)
t
u
x
q x t q x e
где −1/τ − коэффициент затухания во времени для тепловой фононной волны, а
u(x, 0) и q(x, 0) − начальные условия для температуры и плотности теплового потока.
Так как из сравнения первого и второго уравнения в (5) имеем τ (∂q/∂t) = s (∂u/∂t),
то, дифференцируя (6) по времени, находим следующую зависимость между коэф-
фициентами s и τ:
( )
( )
τ
,0
=
,0
q x
s
u x
.
Заменяя в этой формуле отношение начальных условий для плотности теплового
потока и температуры их средними значениями в окрестности точки x,
( )
( )
τ0
,0
= ,
,0
q x
u x
получим: s = τ⋅
( )
( )
τ τ0
,0
= ,
,0
q x
u x
Таким образом, модификация обобщённого закона
Фурье (5) (одномерный вариант) будет иметь следующий вид:
∂ ∂
− − τ
∂ ∂
=× ;
u q
q k
x t
; (7)
( )
( )
∂ ∂
− − τ ⋅
∂ ∂
,0
= .
,0
q xu u
q k
x u x t
Так как в экспериментальных исследованиях затухания ультразвука высоких
частот принято пользоваться не коэффициентом затухания во времени − (1/τ), а
коэффициентом затухания в пространстве − δ, [12], то, заменив в экспоненци-
альном законе затухания (6)
− ⋅
τ
1 t
e время t на x/ν, где − ν скорость звука, получим:
− ⋅ − ⋅ − ⋅τ τ τ
δ ⋅
δ
ν
1 1 1
= = , = .
t x xve e e Тогда систему уравнений (7) для обобщённого
закона Фурье запишем следующим образом:
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2016. № 4 (118) 23
Затвердевание сплавов
∂ ∂
− −
∂ ∂δ
1
= ;
u q
q k
x v t
(8)
( )
( )
∂ ∂
− − ⋅
∂ ∂
q xu u
q k
x v u x t
,0 1
= .
,0 δ
Для получения численных оценок коэффициента 1/δv = τ в (8) следует, прежде
всего, определить максимальную длину тепловой фононной волны λ
max
. Такая длина
волны определяет наиболее вероятную низкоэнергетическую частоту излучения при
фононных процессах. Действительно, средняя концентрация фононов
фn опреде-
ляется функцией распределения Планка
−ωф
1
=
1h Tn
e
, где
− постоянная План-
ка, ω квантованная круговая частота, связанная с обычной частотой f формулой
ω = 2 πf, T − абсолютная температура (K), [3], [6]. При высоких температурах T >>
ω
распределение Планка переходит в соотношение ωn T /ф = . Из каждого из двух
распределений очевидно, что наибольшая концентрация фононов при любой фикси-
рованной температуре соответствует максимальной длине квантованной фононной
тепловой волны λmax.
При приближении к абсолютному нулю фононный спектр «вымерзает», и оста-
ются лишь длинноволновые тепловые фононные волны акустического диапазона.
При этом в металлах появляется состояние сверхпроводимости из-за объединения
электронов проводимости в куперовские пары. Квантово-механическое притяже-
ние между двумя электронами куперовской пары объясняется обменом между
электронами низкоэнергетическими квантами возбуждения решётки – фононами.
При этом притяжение наиболее сильно проявляется между электронами, которые
имеют противоположные спины и импульсы.
Куперовская пара и некоторый сегмент кристаллической решётки фактически
образуют на некоторое время квазичастицу, эффективный диаметр которой опре-
деляет максимальную длину фононной волны, при которой акустическая волна
излучается и поглощается дискретно, квантами. Такая длина волны неявно опре-
деляет и максимальное эффективное расстояние квантового взаимодействия в
кристаллической решётке.
Расстояние между электронами куперовской пары D ≈ 10-4 см =10-6 м, при этом
10-6 куперовских пар перекрываются, образуя общий объём, [13]. Такой объём
помещается в куб, длина ребра которого определяет потенциально возможную
максимальную длину квантованной фононной волны:
≅ ⋅ ⋅λ 3 6 2 -6 -4
max 10 = 10 10 м = 10 м = 0,1мм.D (9)
По ГОСТ 5639-82 для сталей и сплавов, [14] − это соответствует размеру зерна № 3.
Для конкретного образца λ
max
будет определяться средним размером зерна
(кристаллита) D для всех
≤ λ maxD . В металлах и сплавах общее затухание состоит
из поглощения и рассеивания акустической волны, формула для затухания имеет
вид, [12]: δ 4 3= + Af Bf D , где f − частота колебаний, A, B − некоторые постоянные
коэффициенты, которые приводятся в справочной литературе. Если длина акусти-
ческой волны ≤λ D , то затухание определяется преимущественно поглощением,
то есть пропорционально частоте.
24 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2016. № 4 (118)
Затвердевание сплавов
Приведём численный расчёт коэффициента τ =1/δv для алюминия. По справочным
данным при частоте f = 2,5 МГц коэффициент затухания δ ≅ 0,1 Нп/м, скорость про-
дольной звуковой волны v ≅ 6⋅103 м/c, , [15]. Средний размер зерна в алюминии без
деформационного отжига
-4= 0,1мм = 10 м.D Тогда
⋅
⋅
λ
3
min -4
max
6 10 м 1
= = = 60МГц.
с м10
v
f
Коэффициент затухания для частоты fmin находим из соотношения пропорциональности
между частотами и коэффициентами затухания:
δ ⋅
⋅
max 1 м 60МГц
= ,
0,1 1 м 2,5МГц
δmax
1
= 2,4 .
м
Про-
изведение ⋅ ⋅ ⋅ ⋅δ v 3 4
max
1 м 1
= 2,4 6 10 = 1,44 10 .
м с с
Таким образом, коэффициент τ = 1/δv
для алюминия равен: τ
Al
≈7⋅10-5
с.
Но время релаксации тепловых напряжений τr (4) для металлов ещё более малое,
в частности, для алюминия оно составляет τr
≈ 10-11 с, [10], так как определяется
согласно связанным задачам термоупругости и классической теории теплопере-
носа. Такое большое отличие по порядку в 106 раз между τr в (4) и коэффициентом
τ в (7) объясняется тем, что обобщённый закон Фурье изначально трактовался как
зависимый от времени релаксации термоупругих напряжений, то есть выравнива-
ния упругих напряжений, появляющихся в результате теплопереноса, в ближайшей
окрестности атомной единицы. Такая интерпретация весьма затрудняет и экспери-
ментальное определение именно времени релаксации. Но из расширения обобщён-
ного закона Фурье до системы их двух уравнений (5) непосредственно следует, что
коэффициент τ зависит только от затухания тепловой фононной волны по вектору
теплового потока, то есть представляет собой релаксацию лишь фононной волны.
Исследованиям распространение термоупругих волн в широком диапазоне зна-
чений постоянной релаксации теплового потока, то есть связанным задачам теорий
упругости и теплопереноса, посвящено очень много работ. Это достаточно сложная
проблема, относительно которой приведём следующую цитату, [16]: «Данная за-
дача пред ставляется актуальной, поскольку теоретическая оценка постоянной ре-
лаксации в металлах, согласно фононной теории, составляет несколько пикосекунд
(10-12 с). В то время как экспериментальные данные дают разброс результатов, от-
личающихся от теоретической оценки на несколь ко порядков: от 10-8 с до 10-11 с…
По причине расхождения экспериментальных данных между собой, можно предпо-
ложить, что существующие методы экспе риментального определения релаксации
теплового потока нуждаются в дальнейшем усовершенствовании.»
1. Телегин А. С., Швыдкий В. С. , Дорошенко Ю. Г. Тепло-массоперенос. – М.: «Металлургия»,
1995. – 400 с.
2. Эльдарханов А. С., Ефимов В. А., Нурадинов А. С. Процессы формирования отливок и их
моделирование. – М.: «Машиностроение», 2001. – 208 с
3. Елманов Г. Н., Зуев М. Т., Смирнов Е. А. Теплопроводность металлов и сплавов. – М.:
МИФИ, 2007. – 32 с.
4. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. – М.: «Наука», 1967. – 492 с.
5. Глазков В. Н. Кинетические и электрические явления в твердых телах и металлах. Лекция
5. – М.: «МФТИ», 2015. − 28 с.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. – М.: «Наука», 1976, ч. 1. - 583 с.
7. Карпов С. В. Физика фононов. – Санкт-Петербург: «СПГТУ», 2006.– 129 с.
8. Ельяшевич М. А., Протько Т. С. Вклад Максвелла в развитие молекулярной физики и ста-
тистических методов. − «Успехи физических наук», 1981, т. 135, вып. 3. – С. 381-423.
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2016. № 4 (118) 25
Затвердевание сплавов
9. Carlo Cattaneo. «Sulla conduzione de calore». - Atti del Semine, Mat. Fis. Univ. Modena, 1948.
10. Лыков А. В. Теория теплопроводности. – М.: «Высшая школа», 1957. – 599 с.
11. Тыднюк В. З., Шинский О. И., Кравченко В. П. Кристаллизация и затвердевание отливок
в температурном поле гиперболического типа. – К.: Процессы литья. − 2015. − № 4(112).
– С. 9 – 21.
12. Ермолов И. Н., Алешин Н. П., Потапов А. И. Акустические методы контроля. – М.: Высшая
школа. − 1991. – 283 с.
13. Савельев И. В. Курс общей физики. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого
тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц – М.: Наука. − 1987. Т. 3 – 320 с.
14. ГОСТ 5639-82. Межгосударственный стандарт. Стали и сплавы. Метод выявления и опре-
деления величины зерна. – М.: ИПК Изд. стандартов. − 1983. – 21 с.
15. Ермолов И. Н., Вопилкин А. Х., Бадалян В. Г. / Расчеты в ультразвуковой дефектоскопии.
– М.: НПЦ «Эхо+», 2004. – 108 с.
16. Бабенков М. Б. Распространение термоупругих волн в среде с учетом релаксации тепло-
вого потока. – Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН. − 2013. – 22 с.
1. Telegin A. S., Shvydkii V. S., Doroshenko Ju. G. (1995). Teplo-massoperenos. [Heat and mass
transfer]. Moscow: Metallurgiia. [in Russian].
2. Eldarhanov A. S., Yefimov V. A., Nuradinov A. S. (2001). Processy formirovaniia otlivok i ih modeli-
rovaniie. [The formation of castings and modeling]. Moscow: «Mashinostroieniie». [in Russian].
3. Elmanov G. N., Zuiev M. T., Smirnov E. A. (2007). Teploprovodnost metallov i splavov. [The thermal
conductivity of metals and alloys]. Moscow: MIFI. [in Russian].
4. Kittel Ch. (1967). Kvantovaia teoriia tverdyh tel. [Quantum theory of solids]. Moscow: Nauka.
[in Russian].
5. Glazkov V. N. (2015). Kineticheskiie i elektricheskiie yavleniia v tverdyh telah i metallah. Lekciia 5.
[Kinetic and electrical phenomena in solids and metals. Lecture 5]. Moscow: «MFTI». [in Russian].
6. Landau L. D., Lifshic E. M. (1976). Statistichieskaia fizika. [Statistical physics]. (Part. 1, 583 p.).
Moscow: Nauka. [in Russian].
7. Karpov S. V. (2006). Fizika fononov. [The physics of phonons]. Sankt-Peterburg: SPGTU. [in
Russian].
8. Eliashevich M. A., Protko T. S. (1981). Vklad Maksvella v razvitiie molekuliarnoi fiziki i statisticheskih
metodov. [Maxwell's contribution to the development of molecular physics and statistical methods].
(Vol. 135, issue 3, pp. 381-423). Uspekhi fizicheskikh nauk. [in Russian].
9. Carlo Cattaneo (1948). Sulla conduzione de calore. Atti del Semine, Mat. Fis. Univ. Modena.
10. Lykov A. V. (1957). Teoriia teploprovodnosti. [The theory of heat conduction]. Moscow: Vysshaia
shkola. [in Russian].
11. Tydniuk V. Z., Shinskii O. I., Kravchenko V. P. (2015). Kristallizaciia i zatverdevaniie otlivok v
temperaturnom pole giperbolicheskogo tipa. [The crystallization and solidification of the castings
in the temperature field of hyperbolic type]. (№ 4 (112), pp. 9-21). Kiev: Protsessy litia. [in Russian].
12. Yermolov I. N., Aleshin N. P., Potapov A. I. (1991). Akusticheskiie metody kontrolia. [Acoustic
control methods]. Moscow: Vysshaia shkola. [in Russian].
13. Savelev I. V. (1987). Kurs obshhei fiziki. Kvantovaia optika. Atomnaia fizika. Fizika tverdogo tela.
Fizika atomnogo yadra i elementarnyh chastits. [The course of general physics. Quantum optics.
Atomic physics. Solid State Physics. Nuclear physics and elementary particles]. (Vol. 3). Moscow:
Nauka. [in Russian].
14. GOST 5939-82. (1983). Mezhgosudarstvennyi standart. Stali i splavy. Metod vyiavleniia i oprede-
leniia velichiny zerna. [Interstate standards. Steel and alloys. Method for detection and determin-
ation of grain size]. Moscow: IPK, Izd. Standartov. [in Russian].
15. Yermolov I. N., Vopilkin A. H., Badalian V. G. (2004). Raschety v ultrazvukovoi defektoskopii.
[Calculations in the ultrasonic testing]. Moscow: NPC ‘Ekho+’.[in Russian].
16. Babenkov M. B. (2013). Rasprostraneniie termouprugih voln v srede s uchetom relaksacii
teplovogo potoka. [Distribution thermoelastic waves in a medium with heat flow relaxation].
Sankt-Peterburg: Institut problem mashinovedeniia RAN. [in Russian].
Поступила 08.06.2016
|