Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии
В статье приведены теоретические основы, алгоритмы и результаты применения разработанных вариантов трехмерного моделирования временных полей как лучевой, так и скинченноризницевим методом на практических примерах....
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
2019
|
| Series: | Геофизический журнал |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167624 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии / В.Н. Пилипенко, А.О. Верпаховская // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 5. — С. 3-26. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-167624 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1676242025-02-09T17:57:21Z Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии Тривимірне моделювання часового поля променевим і скінченнорізницевим методами для розв’язання задач сейсмології Three-dimensional modeling of temporal field by radial and finite-differential methods for solving the problems of seismology Пилипенко, В.Н. Верпаховская, А.О. В статье приведены теоретические основы, алгоритмы и результаты применения разработанных вариантов трехмерного моделирования временных полей как лучевой, так и скинченноризницевим методом на практических примерах. У статті наведено теоретичні основи, алгоритми та результати застосування розроблених варіантів тривимірного моделювання часових полів як променевим, так і скінченно-різницевим методом на практичних прикладах. The paper gives theoretical foundations, algorithms, and results of application of three-dimensional temporal fields modeling developed for both radial and finite-differential methods by practical examples. 2019 Article Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии / В.Н. Пилипенко, А.О. Верпаховская // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 5. — С. 3-26. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0203-3100 DOI: https://doi.org/10.24028/gzh.0203-3100.v41i5.2019.183636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167624 550.834 ru Геофизический журнал application/pdf Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье приведены теоретические основы, алгоритмы и результаты применения разработанных вариантов трехмерного моделирования временных полей как лучевой, так и скинченноризницевим методом на практических примерах. |
| format |
Article |
| author |
Пилипенко, В.Н. Верпаховская, А.О. |
| spellingShingle |
Пилипенко, В.Н. Верпаховская, А.О. Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии Геофизический журнал |
| author_facet |
Пилипенко, В.Н. Верпаховская, А.О. |
| author_sort |
Пилипенко, В.Н. |
| title |
Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии |
| title_short |
Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии |
| title_full |
Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии |
| title_fullStr |
Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии |
| title_full_unstemmed |
Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии |
| title_sort |
трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии |
| publisher |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| publishDate |
2019 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167624 |
| citation_txt |
Трехмерное моделирование временного поля лучевым и конечно-разностным методами для решения задач сейсмологии / В.Н. Пилипенко, А.О. Верпаховская // Геофизический журнал. — 2019. — Т. 41, № 5. — С. 3-26. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Геофизический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT pilipenkovn trehmernoemodelirovanievremennogopolâlučevymikonečnoraznostnymmetodamidlârešeniâzadačsejsmologii AT verpahovskaâao trehmernoemodelirovanievremennogopolâlučevymikonečnoraznostnymmetodamidlârešeniâzadačsejsmologii AT pilipenkovn trivimírnemodelûvannâčasovogopolâpromenevimískínčennoríznicevimmetodamidlârozvâzannâzadačsejsmologíí AT verpahovskaâao trivimírnemodelûvannâčasovogopolâpromenevimískínčennoríznicevimmetodamidlârozvâzannâzadačsejsmologíí AT pilipenkovn threedimensionalmodelingoftemporalfieldbyradialandfinitedifferentialmethodsforsolvingtheproblemsofseismology AT verpahovskaâao threedimensionalmodelingoftemporalfieldbyradialandfinitedifferentialmethodsforsolvingtheproblemsofseismology |
| first_indexed |
2025-11-29T03:52:12Z |
| last_indexed |
2025-11-29T03:52:12Z |
| _version_ |
1850095273919905792 |
| fulltext |
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) *
��������
�
���������� ��
�����
����
��������� ����
����
�� � ������������������ ����
���
��
������� ��
�� �����������
��������������
���������
��� �����
�����
�
����������������������������������
�����������
� ����! ������
�
"����#�$��%���
�&��&�'�(%���
)��!��*�
����+�$,!�
&�-���!����#�$&�+�.�������!*+�!�������*
��������/!�$01
�!�/�#��2��*! �&�*��#�����*��,�0�&�!�3��$*�#�����4��*-
�/�+��$*+5�
&/ �* ������
-�
�� �!��
�-����#�������!������*6�
&�!�
*4�2*$0�!�/���7.��*!��)���5���+�$,1
!�
&�.�!�5$�!���*
������
����+$&�#���!*����������
���*�����+*!����!7&��
&�����1
�
�/���+�-���#��2��*�*
���#����2*8�&����4���$��*-
�/ �����*���4������!*+�!�$01
�/�+�
�/������4���$��*8�����$�!���
�-�
&���,�0���4��*-
*�#����
* �&�*�!��
�-�1
,�0�
�#�&����#�������
���*8�!�����-�����
�8�-����
����4��*-
����/!�$0�!����#�$&�
"�����5�
&�#����
*!�*�8/������/�
���+�,�0����������!7&��!����9��������$����!1
+�
0���4���$��*8 �������5�#���!*�&�����-
*��0�������
�/�����$0���*!�#����������!�
1
*��*�
�/�����+*!������������*
���#����2*8��#������5�
�/�
�����
*4�#�!��/
*�+�
�/�
:��*�
����*
-�
��*�
�2�!������+�$,!�
&�-���!����#�$&������!��*�
*4������-
*4
3��$*�;��
��.�0�&�
�����#�����+
*4��*���!*4��#�������2*8��*!
&
&��4��
�$� �*���1
���2�4�#*+/*+�+��!��
�-�
&��
�-�
0�-����#��/�+����4��*-
�/�/!�$0�����5
����-��
���
�/��$���
�.�
�4��*4�*9�� �����5� ���5������
��!����������
*��0����!7&��
&
�����0�/�#���$�+
�/���!+�
0���4���$��*8��:�+
�-���#��+�!5�
&�-���!����#�$&�.
-����
�,���-��$,!�$0
����#��2������*
-�
��*�
�2�!�8��*���2*8 �&���������$�
��!
<
������*�����*�����*���������������*
����������8
��*�&���!��������!�,�0�#��������1
2*�+�
�/���4������!*+����"���&��������
*/�+��&��$*�0������!���������#7,���
�/
��/
�$��*4�#�!7&��
��#�&!������*4 ��$������*!�*�#������
�/����#$���*! �&�*�+�$�����1
������$*��!�������!7&��
&����!��*�
�/�����*��-
�/ �����������4���$��*-
�/ ���1
+�-���������*�
�!�+�
���������-
*���
�!� ��$���������������$0������������!�
&����1
���$�
�/�!��*�
�*!����!��*�
������+�$,!�
&�-���!�/�#�$*!�&��#����
�!�� �����*
��*
-�
��*�
�2�!�������+���
��#�����-
�/�#���$�+�/�
�����
� ���
�����4���$��*& ����!��*�
����+�$,!�
& �-���!��#�$� ���*
-�
��*�1
�2�!��#��+�!5�
& ��*!
&
&��4��
�$��
�
����! =�+�$���!�
���!����
����#�$&�&!$&���&�!�5
���>��#���#���#��1
!�+�
���������4���$���-����/ �������#�����!�1���!�+�-
�/���4���-����/����$�1
+�!�
�4 �#����$0���#��!�$&����#��+�$��0�/��������#�!�+�
�&���
��������!�$
�!
����!����!�����!
����
��������
�������+����$&���4���$����������
�������$0
��
&!$&���&����/���
���$�-�!�����+�$���!�
���!������-����4�
��+
���+
�4�3��$�
��������#��!�$&�����9��0�#�&��,���+�-����4���$���� ������
��#����!���
�������1
#��+�$�
�,����������!����+������-����0�$�-�!������������� ������5��!���&�����1
��+�
����!�/�+��$�-��
�����
�,�#�!��/
���0�
�����$09�/��$���
�/�!
�����3��$�����#�+�9!�������+���������&+��������/���1
��
�
�4��������������#��!�$��
��
��$,+����&�������$���-��������$���
�������1
�2�������+�$��&!$&,��&����
�2��=�/���!�-�-� �������&���+�$&������
�,�����
DOI ?� @AABC?DDEFG�FHID(��'��' DIJ@��'�
1
(���K�(G��'�(%�(
L
L
������ �������+�$ ������
������
,+��
% ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
�����
��� ������
�2� ��#��+�$&,6�&�#�!��/
���0����
����&+����3
�-�
�&�������1
������#������
�
�&���4���-����/�!�$
�
��>��/����
�2�/����,�������! �������4
�!�+���$0��!�����������
�
���/���-������������!���$��5������6���!�
�������1
�
��������&
�&�!�6���!��3��$���"�+��
��������!�����������
��#��!�$&,��#��1
��
&�0�����+� �����-���
���
��
�#����!
�,��������
�,���
�2�,���$�
�4
��
����������������#���$���
� ��������������,���-����
��+
���+
�����3��$��
M�
�����$���+�$�
��#�#�����$�-�!������+�$���!�
�&�!������-����4�
��+
���+1
�4�3��$��N��� �M�-��+� �(%
O�PFQRH �(% �S �
��#���>�����������
�&�
��+
���+
���0
���������!�$��0�!�!������$0
���
�#��!$�
����:��$�-���#��+$�������������+�����/1
���
������+�$���!�
�&�$�-�4��-���!����&���6���!�
�&�
��+
���+
���0����+��#�
�������
���/�������������������!�!������$0
�� �������!�������
��$0
���
�#��!1
$�
�&/�
)��/���
�����+�$���!�
�����
�-
�1���
���
�������+�����
�!�
��
��#��+�$1
5�
���!����
����#�$&�!����
�/��$���
�/���#��!�$&���!�����
�!$�!��0���
�����1
�����4���-����/�!�$
��"���>�������-��
������
���
���������!�����,��&������
������� �-������������$0
��#���$����0�&������$0
�������#������
�
�,���4���1
-����/�!�$
��)�$-������!���,���
�-
�1���
���
����#��+�$5�
�&�!����
����#�$&
��-�-
��������-
����!����/���
���#������
��!���������5���+�$���������:�+�$�
NTGEUVR �(%%�S �����$0�����������4���$��#����
�
��+$&���9�
�&���+�-���4���$�1
����NWRVCFX �TGEUVR �(%%�S��:�>�����$�-���+$&��##�������2������!
�
�&�>4��
�$�
���$��0����/���
�&�#�&�����$0
�&������ ������
���
�4��-���!�$�&����+
�!����
1
�����#�$0��!�
�������/���#�!����
���
�/�9��$�
�!��:�����9��$�
����!�������
!����
�������#�$�5�
�&�����������,6�/�$�
�4���
�#��!$�
�&����#������
�
�&
����-���!����4�!�$
���"���>��������#�-�!����&�$�90�$�
�4
���#���$�5�
���+��1
����
2��$0
�������!
�
�&�>4��
�$������!����!�,6������
���
�� �-���
������
1
����������
09�
���#����9
�����!��-����#��#��2��
�$0
�����
09�
�,�9�������1
��������/�+����#���
��0 �-����+
�!����
�����#�$0��!�
������
�/�9��$�
�!�&!1
$&���&� ��!��9�
��
�#����$���� � #����$0���
�� #��!�$&��� +����-0�
�#����!
�1
���#$�!
����!�����
�!$�
�&�!����
����#�$&�!!�+�����$�-
�4����#�
��#���$�5�1
�&����
���
�4��/����!���$���� ��+��#����/�+��������+!�/����
�/�9��$�
�!�
:��
�����������������������������������
��+$���$0
���!���&����������!����&
����+���
�����-����4������2�������#�$&�����5�
�/ �������#�$&�#��$��$�
�/
!�$
���
�!�
�4�
����
�-
�1���
���
���#��+�$5�
���!����
����#�$&�+$&���9�1
�&����
�/�#���$�+
�/���+�-�#����$0
�4���#$�6�+
�4���4������!�+���N"�$�#�
1
�����+�� �'��%O�:��#�/�!���& �'�(( �'�(�O�:��#�/�!���& �"�$�#�
�� �'�( S�������
���� �#��+�$5�
���!����
����#�$&�&!$&���&�
���Y��$���4�-���0,��$�������!�+�
�1
��-����4���
�-
�1���
���
�4������2�� �!����
���������4����5��#����&
�����1
������!�,��&� �� ���!��9�
��!�,��&� �!������� �� 2�$0,� #�!�9�
�&� ��-
����� !��1
���
�!$�
�&��$���
���������
�&���4�
�!����$�+�!�
�&�#��+�
���+!����
�4�NZUK1
VRX[FKU�RA�UV� �'��%O�Z\V\BRX[F�RA�UV� �'�((O�TRHBU[@FKC[U�RA�UV� �'�(�O�:��#�/�!���&��
+�� �'�(]O�TRHBU[@FKC[U�RA�UV� �'�( S������/���
�4���4������!�+���N:��#�/�!���&��
+�� �'�(�O�"�$�#�
�����+�� �'�(�S��:�������
�-
�1���
���
��������+����9�
�&����!1
�
�&�>4��
�$������$�!$�
�����!����5
���0,���#�$0��!�
�&�9���������$�����
�1
�+
���+
�/���+�$�4����+� �������!�����4�����4-�!���0,���9�
�&�#�����!
�
�,
��$�-�!���#�+/�+���#������-����!����
����#�$&������������ ��#��+�$�
���!��1
��
����#�$&�!���!
����
�����#��+�$�
�/���$�/�������#�����
�-
�1���
���
��
����+����6���!�
����$��-����
���/�+���,�+$&�#�����-����/�#��$�5�
�4��
���1
#�$&2�,�!����
�4���
�2���!�#����!�$0
�/���-��/����+��
:�����0��#��+���!$�
���������-��������
�!�����$�����������-����!����
���
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) #
#�$&�!����/���
�4�
��+
���+
�4����+��#�����#�$0��!�
���$�-�!��������+������1
�-
�1���
���
�4��##�������2������!
�
�&�>4��
�$� ������5�����������
��#��1
�����>������!
����#����
�
�&�#�����9�
�����+�-���4���$�����
������������� ����
� ����������� ��
�����
����
�������� ����� ����
��
����
��
�� ��"���
���� ���
����
��� ���
�!�)��/���
�����+�$���!�
���!��1
��
�/�#�$�4�$�-�!�������+���!������-����4�
��+
���+
�4����+��#��!�$&�����1
9��0�#�&��,���+�-����4���$�����^�#����!���
�������#��+�$�
�,����������!�3��1
$������-���!��0�$�-�!������������� ������5��!���&�������+�
����!�/�+��$�-��
�
���#�!��/
���0����
���#���������&!$&,��&�
���/�+������#������-�
������$�1
��&��
�4���!
����
���������
�&�3��$��#����4���$���-������+�
���
_���
�-���+����+$�
��$�-������s��:���&�#�������!+�$0�$�-���#��+�$&���&������$�4
0
,
( )
d s
T
V r
θ
= ∫ `(a
�+��θ�^�>#�2�
���$0
���������&
�� ����-���!����������-�������$���&��
�&O�V (r)�^
��
�2�&�����
�
�&�������������$���
�4 �������&�+�$5
�����0�#��+!�����$0
����1
!���
��
b�-�!�����+�$���!�
���!������-����4����/1
���
�4�
��+
���+
�4�3��$����
�!�
��
����9�1
��������������!
�
�4�$�-�4�!������-����/���1
��+�
���/��_���
�-��������-����������+�
���
-�����r �θ �ϕ ��+��r�^���+��$0
���������&
�� �θ�^
#�$&�
�4����$ �ϕ�^�+�$��������#��!$�
����+�1
�-
�/�������
�$0
�/�!������!�!������-����4
������������+�
���#�����
��
�������(�
�$�
�������
�-
����$����>$���
���!������-��1
��/�����+�
���/���+����&�����
�9�
���
2 2 2 2 2 2sin .d s d r r d r d= + θ + θ ϕ
:������-����/�����+�
���/���������$�-�!�/
���!
�
�4���5������0���#���
��!����
�/����1
��/�������$���#����$�����!����
����!��$�-��
��+�$���!�
�&�!�
��+
���+
�4������-����4����+��&!$&���&������������!
�
�4�$�1
-� ��+��!���-���!��
���!�����4�#�����
�4�!+�$0�$�-����#�$0�����&�!���&�#����1
���T�N��4���-����&�c �(%%�S?
1 cos ,
d r
i
d T n
= ���
1 sin cos ,
d
i
d T rn
θ
= ξ ���
1 sin sin ,
sin
d
i
d T rn
ϕ
= ξ
θ
2 2 2
cos sin1 1 1 1sin cos ,
sin
di n i n n
i
d T n r r rn n n
∂ ∂ ∂ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + + ξ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂θ θ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
sin cos1 1 1 1 sin sin ctg ,
sin sin sin
d n n
i
d T r i i r n rn n
ξ ∂ ∂ξ ξ
= − + − ξ θ
∂θ θ ∂ϕ
90 180i≤ < �� ����� ,180 270i< ≤ �� �� 0 360 ,< ξ ≤� � `'a
M����(�������-����&�������������+�
���
������ �������+�$ ������
������
,+��
- ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
�+�� (Dn� =�V� ^� �������0 � i� ^� ���$� ��5+�� $�-��� �� !�������� r � ξ� ^� ���$� ��5+�
!����������#����2��4�$�-��
��#$������0�θϕ������/�+����#��
��0 �-���∂VD∂r�!���1
+������2���$0
�� �#����$0����������0�����������$���
�4�
�$&���9�
�&������������!
�
�4� `'a���+�,��&�
�-�$0
�����$�!�& ��#��+�$&,1
6��� ��-���
�� $�-��θ� �ϕ� � r� �
�#��!$�
��� $�-�� !� >��4� ��-��� �� �� ��
�-�$0
��
!���&� #������
0,T = ��� 0 ,zr R r= − `
a
�+��R�^���+����3��$� ���rz�^��$���
���-�������$���&��
�&������������ ���!���
�4
&!$&���&���
�2�&����#��+�$�
�&����������V (r �θ �ϕ)�
d��$�
�4����-���$�-��!�#�$
&���&���9�
������+�-����9��+$&������������!1
�
�4�`'a�#���
�-�$0
�/���$�!�&/�`
a�����+���M�
��^������Ne�+�
�! �M&��
0��4
(%]]S�
�����5+���j1��9����ΔT�!�#�$
&,��&�-���������-��
����#���2�� ���������#��1
!�$&,���#��+�$��0���>���2��
��� r ik k k k kθ ϕ ξ ����$��
�������������!
�
�4�`'a?
(a�����-���!�,��&���>���2��
��� r ik k k k kθ ϕ ξ( ( ( ( ( � +$&��
�-�
�4
j j j j jr iθ ϕ ξ O
'a�����-���!�,��&���>���2��
��� r ik k k k kθ ϕ ξ' ' ' ' ' �+$&��
�-�
�4
1 1 1 1 1, , , ,
2 2 2 2 2j r j j j i j
T T T T T
r k k k i k kθ ϕ ξ
Δ Δ Δ Δ Δ
+ θ + ϕ + + ξ + O
a�����-���!�,��&���>���2��
��� r ik k k k kθ ϕ ξ
�+$&��
�-�
�4
2 2 2 2 2, , , ,
2 2 2 2 2j r j j j i j
T T T T Tr k k k i k kθ ϕ ξ
Δ Δ Δ Δ Δ+ θ + ϕ + + ξ + O
�a�����-���!�,��&���>���2��
��� r ik k k k kθ ϕ ξ� � � � � �+$&��
�-�
�4
3 3 3 3 3, , , ,j r j j j i jr T k T k T k i T k T kθ ϕ ξ+ Δ θ + Δ ϕ + Δ + Δ ξ + Δ �
"���������+$&����-���!��$�+�,6����9����j�+�(��#��+�$&,��&�#�������$��
( )1 1 2 3 42 2 ,
6j j r r r r
T
r r k k k k+
Δ
= + + + + ��� ( )1 1 2 3 42 2 ,
6j j
T
k k k k+ θ θ θ θ
Δ
θ = θ + + + +
( )1 1 2 3 42 2 ,
6j j
T
k k k k+ ϕ ϕ ϕ ϕ
Δ
ϕ = ϕ + + + + ��� ( )1 1 2 432 2 ,
6j j i i i i
T
i i k k k k+
Δ
= + + + +
( )1 1 2 3 42 2 .
6j j
T
k k k k+ ξ ξ ξ ξ
Δ
ξ = ξ + + + +
:�-��$�
���!�+���&�+������
���!�/�+��$�-��
�����
�,�#�!��/
���0 ������
�
+�����������
�� ����+��!�#�$
&���&���$�!��� jr R+ >( �#��$��-�����#��+�$&,��&���-1
���!���&�������+�
����!�/�+��$�-��
��#�!��/
���0?
1
,R
j
j j
R r
T j T T
r r+
−
= Δ + Δ
− ��� ( )1
1
,R
j
j j j
j j
R r
r r +
+
−
θ = θ + θ − θ
−
( )1
1
.R
j
j j j
j j
R r
r r +
+
−
ϕ = ϕ + ϕ − ϕ
−
"�$�-�
���+�
���#��!�$&,��#����
���$���!��0����$0
��
��$,+�
�����+�1
������+$&����-����/���4�
�!�� �#��!����5
���� ��2�
��0��/��������
���0�
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) .
#������� ����������� ��
�����
����
�������� ����� ����
�� ����
��
��
��"���
���� ���
����
��� ���
�!����-������������-����/���
�!���$������!$�
�$���������+�$���!�
�&�!����
����#�$&�!�
��+
���+
�4������-����4�3��$��$�-�1
!�������+�� �������4�������������$�+�,6�/�>��#�!?�#�+����!�����/�+
�/�+�
�/
�������!�
������/���
�4��������
�4���+�$�����+� ����/���
�����+�$���!�
��
$�-��!������-����4�
��+
���+
�4�3��$�����������!�
���#�$�-�
�/�����$0����!�
"�+����!�����/�+
�/� +�
�/� #��!�+���&�#������������!�
�&�#��������-��1
�������4$����$&���+�$���!�
�&�$�-�4�!����/���
�4�
��+
���+
�4������-����4�3��1
$��
���/�+������+��0�
�-�$0
�����$�!�&?������-����������+�
������-�� ��������1
��4�!�/�+���$�-�` rθ ϕ� � � a �
�#��!$�
���$�-��!�>��4���-���` i ξ� � a���
�-�$0
��
!���&�#������� T =� � �
��-�$0
�������+�
����`θ � �^�#�$&�
�4����$ �ϕ � �^�+�$����a���
�#��!$�
���+!�1
5�
�&�$�-��` i ξ� � a���+�,��&�!���+��
�/ � r� ���+����&���
�����$0
�����
�4�#�!��/1
�����`��$������-
���
�/�+���&�
��#�!��/
�����3��$� ���� r R= =� L
]� �� ���������1
+�����3��$�a�
"�����,6���&��#����
���+�
��������#��+�$�
�����������4�!����+������-�1
��!����&����/���
�&��������
�&���+�$0������+����&����$�2����������4���#����1
���+�
��������������!����+��#��+���!$&,������4��
�-�
�&��������� ���+�
��
!�#����!�$0
�/���-��/�#������
��!���"��>�����
�-�
�&������-���!����&�����+�
1
���9�����#���$���
���������-����������+�
�����������������4���������
�&���1
+�$0���5������0�����-���
��������#����&
�� ���������#�����
���#���$���
��
���!
&�����+��
����`����4����-���#��+#�$����� �-������+��
������
&���&�
���$�1
��
�/����!
&/ ���+�
�/��#����
�a��)���&�!����5
���0�#��+�������
��!������1
����
����$��������
3�+�-����+�$���!�
�&�$�-��!������-����4�
��+
���+
�4�3��$����9����& ����
#�����
��!�9� ���#���60,���9�
�&���������$�-�!�/����!
�
�4�!������-����/
����+�
���/�`'a�#���
�-�$0
�/���$�!�&/�`
a�����+���M�
��^�������"���>����
�
��5+���!����
������!
� ��#��+�$&�������+�
���9�����#��!����
� �!�#�$
&��1
�&�-���������-��
����#���2���#�����-������>���2��
��!�+$&���5+����#������
��1
!�
����#��������� r ik k k k kθ ϕ ξ �#��$��-�����#��+�$&,��&�#����������$�+�,1
6����!����
�������!
&����
�4����-���#��+�$5����&�+������
���!�/�+��$�-��
�
���
�,�#�!��/
���0��"���!�#�$
�
�����$�!�&� jr R+ >( ��#��+�$&,��&���-
���!��1
�&�������+�
����!�/�+��$�-��
��#�!��/
���0��M���$0�����!�-��$�
�4�+�,��!����51
���0�#����
���$���!��0����$0
��
��$,+�
�����+�������+$&����-����/���4�
�!�
"�������������-���
�4������������$�-��`�$���
� �!���& �����+�
���a���
��&�1
�&�!����$�2��
"��#��!�+�
�����$����������$��
�#���
��#�������� ������������$���,��#��1
2������+�$���!�
�&�$�-�4�!������-����4�
��+
���+
�4�3��$�����5+����9�����$��1
����������!����!�����+
��#�������� ���!��$�-������-�������/���
�4��������
�4���1
+�$��������
�
�������+��
��������������$�-���!��#������������!����!������$�-�1
��!���#�����!���+�
�&����+��
���
�����!$�
���#�����������$���#����!�
��
����+�$0
�/�#������/�#�����-���
���������4� $�-�4� #��� ��+�
��� ���$�-
�/� ��/�+
�/� +�
�/ � !�$,-�&� ����
�
�&
�������
�/� /������������� ���+��
�$&�#��!������������#��������#�����-���������������$�-����$��!�&����������1
�&���+�$0 �������&��-�
0��$���������+�$� �����-���
�4�e���
���������#��!�+�
1
�4�!��������N��!���
���4 ����
�� �(%��S���#����
�&��
�����2�&���$����+�
��!
!�+�����$�2��`���$��(a?
������ �������+�$ ������
������
,+��
/ ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
"��>����+�
�����9�����!�(�������$�
��������!�
�����/���
�&��������
�&���1
+�$0����+������$�����-���
�$�-�+$&�i�=�( �
��ξ�=��
����
���������������
�������������� ��
������������������������ ����!"����#$
��%�& #�� ��� �&����
� �
�-�
�&���#�!��/1
���� ������-��
���#������
��!�
�����1
��+�
�����:���
2�����$�2����#���!�,��&
+�
���!�/�+��$�-��
��#�!��/
���0�̀ trz�̂
!���& �qrz���frz�^������-����������+�
�1
��a����������$0
����#��
���
�&�$�-��`rd
^��$���
� �td�^�!���& �fd �qd�^������-��1
��������+�
��� �id���ksid�^�
�#��!$�
��
$�-�a��"�$�-�
�4�����$0�����!�+���$0��1
!������!����5
���&/����������
�/�#���1
�������+�$���!�
�&�$�-�4�!����/���
�4
�����-����4�3��$����#���#����!�/��/���1
#�$0��!�
�&�#�����9�
������
�/���+�-
��4���$�����
������������� ����
� ����������� ��
�����
����
��������� ���� �� ����
�
������������������� ������� ���
����� $�������
�� ��"���
���� ���
����
�
��� ���
�!�"���$������+�$���!�
�&�!����
����#�$&�!�
��+
���+
�4����+��#����
-��$�
�������-�������#��+�$�
�&�!����
��#��/�+��#�&��4�!�$
��#�����#�$0��1
!�
����#����
�4��
�����2������������
�/�/�������������/����+��&!$&���&���
�1
!�4�+$&����+�
�&�>������!
�/�#�+/�+�!������$���2��������
�/���4���-����/���1
+�-�+$&��
���#����2���
��$,+�
�/�+�
�/��_����
�������$0
����$�+�����-�1
���0����/���
�4����-���!����
����#�$&�!���$��������$09�4���6
���� ��$�5
����
!�#����
�!������
���������& �!��!�
���������!�
�&�����
����
�/�#�����-����/
#��$�5�
�4�
:����
���#�$����+������������!��0�������
�2�,�!����
��t (ξ)�#��/�+�����
1
���!�$
��!�#����!�$0
�,���-������+����#������
��!�
��������+�
����� ��#��1
+�$&�����!��������ξ�
:�+������!�4����/���
�4�������������+�
���+$&�������#
�4����+����
�2�&�t (x
y �z)�#�+-�
&���&����!
�
�,�>4��
�$�?
2 2 2
2
( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 ,
( , , )
t x y z t x y z t x y z
x y z V x y z
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
`�a
�+��V (x �y �z)�^���4���-����&��������0�!����+��
���!
�
���`�a��$�+����������$&�
����!�$
�!�������!
�
�&�#�����$�!�� �-�����4�1
��-����4����
�$���$�+���������
�-
�4�-������4�N����
�! �(%�
S�
�-���!�&�
���/�+�����0���9�
�&��
���#����2��
�/���+�-���#����!�$0
���/�1
������������#��+�$�
�&����������V (x �y �z)�!����+� �
����$���#����$�����+$&����1
-����!����
����#�$&��$�+�����-����0���
�-
�1���
���
�,��##�������2�,����!
�1
�&�`�a�
��#������
��!�
�4�������
:� ��!��������� ��� #�����-����/� #��$�5�
�4� !�����
�!$�
�&� !����
���� #�$&
�$�5�$��0�����#�+/�+�����������$���2������5+�4����>��/�#�+/�+�!���$�-����&����
�-�$0
���� ��$�!�&�� � ���� �� !�+���� ���-��
�/� +������
2��$0
�/� ���!
�
�4
������� �!���6�� �&!$&,��&�#����!�+
����������!
�
�&�`�a�
H ��� ϕ ���+ θ ���+ v ���D�
� � � � L ] �
�� � � � L �
�� � � � L % �
��� � � � L % �
L�� � � � L (� �
]�� � � � L (( �
(��� � � � L (( �
('�� � � � L (' �
(��� � � � L ('
'��� � � � L ('
'��� � � � L (
�
� � % � �& � ' ! #�������� ��(����&��
� ������
������ ��������
���
�
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) )
� � % � � & � ) ! *����� �����+���� ��
�����
���� ����
�������� L
]�������� �������� ��L����� (�� ���� ��(�����
��'����� LL
L%�% ]
�� �����'(] ��L����L (��]%]
% ���%%%�%
�������� LL
L%�%]��% ������
� ��L��((' (��]%�] ���%% %]
��L����� LL
L%�%L
]% �����L�( ��L��(L (��]%'( ���%% �L
�� ����� LL
L%�%�(LL� ����� L ��L��''
(��] %�] ���%%]%�
(������� LL
L%�%���
� ����(� L ��L��']% (��] L%L ���%%]�
(�'����� LL
L%�%'%L ����(
�
��L��
� (��] �
� ���%%L%'
(������� LL
L%�%(%�
� ����(�'� ��L��
%� (��] (]� ���%%L�(
(�L����� LL
L%�%�%( � ����(]
] ��L����L (��]]%(
���%%�%�
(� ����� LL
L%� %%�(� ����(%�� ��L����( (��]]�L] ���%%�
%
'������� LL
L%� %�L'� ����'(]( ��L����L (��]L ]% ���%%�
'�'����� LL
L%� ' (' ����'
��L��L(' (��]L(%' ���%%�
]
'������� LL
L%� ]�%]] ����'L�� ��L��LL] (��]���� ���%%
L
'�L����� LL
L%� ]�((] ����' '
��L��]'' (��]� (L ���%%
�
'� ����� LL
L%� L�]�L ����
��� ��L��]] (��]�(' ���%%' �
������� LL
L%� L�
�' ����
'�] ��L��
(��]
��( ���%%'
�
�'����� LL
L%� �L%
� ����
�]� ��L�� (��]']�
���%%(
������� LL
L%� ���%' ����
L%( ��L��%�
(��]'�L� ���%%(
'
�L����� LL
L%� �
�'] ����
%� ��L��%% (��](
] ���%%� '
� ����� LL
L%� �'�
% �����('� ��L�(��
(��]�L%� ���%%�
(
�������� LL
L%� �
�'] �����
�
��L�((�] (��]���' ���% % (
��'����� LL
L%� ���%' ������L� ��L�((L' (��L%
(� ���% %
(
�������� LL
L%� �L%
� �����]]] ��L�('(] (��L L'] ���% �
��L����� LL
L%� L�
�' �����%%� ��L�(']' (��L]%
% ���%
�
�� ����� LL
L%� L�]�L �����'(( ��L�(
'L (��L]'�( ���% ] �
�������� LL
L%� ]�((] ������' ��L�(
( (��LL�L
���% ]
�
��'����� LL
L%� ]L�L� �����L�L ��L�(�
� (��L� ]L ���% L �
�������� LL
L%�
] % ����� L
��L�(�%� (��L�( ���% L'%
��L����� LL
L%� %'�%� ����L� � ��L�(��� (��L���� ���% � �
�� ����� LL
L%�%�(
L] ����L'%] ��L�(�%% (��L
% ���% �
�
L������� LL
L%�%(((
����L�(� ��L�(L�
(��L
L
] ���% � �
L�'����� LL
L%�%'(
] ����L]
( ��L�(]�] (��L
]L ���% �
�
L������� LL
L%�%
'('% ����L%�% ��L�(]L( (��L
((� ���%
�
L�L����� LL
L%�%�' ]( ����](LL ��L�( (� (��L' �� ���%
�
L� ����� LL
L%�%��(�' ����]
��L�( L% (��L'�%� ���% ' (
]������� LL
L%�%L� '� ����]L�� ��L�(%'
(��L'
���% '
(
]�'����� LL
L%�%] �'] ����] (] ��L�(%]] (��L'�]' ���% ( '
]������� LLL
L%�%%�'
� ���� �
� ��L�'�
( (��L( (( ���% (
'
trz =�]���
�L qrz =����� '�( frz =���L�'�]
rd =�L
L%� �'�
% td =�
� ����( fd =���L�(��
qd =������('� id =�(��]�L%� ksid =����%%�
(
������ �������+�$ ������
������
,+��
&( ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
:�#��!���#�+/�+��#��2����!�����
�!$�
�&�!����
����#�$&����6���!$&���&�#�1
�������-����$�-�4 �&!$&,6�/�&�/�������������������!
�
�&�`�a���������
2��$01
������!
�
���!�-���
�/�#����!�+
�/�`�a�!����/���
�4�+������!�4�������������1
+�
������
�����������&�!���������#�����/�+������
2��$0
�/����!
�
�4�N�RHKRX\
RA�UV� �(%]]S?
,
d x p
d z r
= �� ,
d y q
d z r
= ���
3
1 ,
d p V
d z xr V
∂
= −
∂
���
3
1 ,
dq V
d z yr V
∂
= −
∂
���
3
1 ,
d r V
d z zr V
∂
= −
∂
`�a
�+��
t
p
x
∂
≡
∂
�
t
q
y
∂
≡
∂
�
t
r
z
∂
≡
∂
�
�$&����!
�
�&�`�a����������0�������$���!�
��
�-�$0
���+�
���!�!�+��#����1
!�+
�/� p q� � ��#��+�$�
���!��������!�
�4���-���������+�
������ x y z� � � �
3
�-�
��� r� �!�-��$&���&�!���-��� x y z� � � �#�����!���
������#��+�$�
���������1
���#����+��!������!
�
�&�`�a�
)����� ������� �
�� ��
�!��
�-�$0
�/� +�
�/� �� +������
2��$0
�/� ���!
�
�4
`�a ��#��+�$&,6�/�$�- ���5������0�������$���!�
����+�-����9��+$&��#��+�$�
�&
!����
����#�$&�!�#��$�+�!���$0
�������-������+� ���!#�+�,6�4�������������4
+�
����$�-��
"��$�+�!���$0
��!�����
�!$�!�&�
���,���!���#
���0�$�-�4 ���5
���#��+�$��0
!����
���#�$��!�#����!�$0
��
��+
���+
�4����+��+�5��!��$�-�������
��+
��
�-1
�����!�#������
��!�����#�$0��!�
���-��$�
�/�����+�!���9�
�&���������+��1
����
2��$0
�/����!
�
�4�#��!�$&���+����-0��-�
0�!�����4���-
�����!�����
�!1
$�
�&�$�-�4�!�
��+
���+
�4����+���_+
����!�2�$�����+�-���#��+�$�
�&�!����
���
#�$&�������#�������9����&�!��0���
�����4-�!� �-����!&��
����
���!����������-�1
������5+����$�-���:�+�$0
�49�����Y�+�
��0�#�$�-�
���
��$�-�/�������
�
��
�
�-�
�&�!����
��!��+�
���!����
���#�$��#��+���!$&���&������+
���$0
�� ����1
��
��+$&���6���!�
��
��+
���+
�4����+��
:��!������#�+/�+����+�-��!�����
�!$�
�&�!����
����#�$&�!����/���
�4����+�
&!$&���&���$�������4-�!�4 �#����$0�����9����&�����#�$0��!�
������/�+
�/�+�
1
�/�!�!�+��!����
�4���
�2���
��
�������4��������!�
�4�$�
���L�`#����$�a�
"��+#�$�5�� �-���$�
�&�L��+
��
�-
����
�����$0
������X ��#��+�$&���&����!1
�
���� ( )Ly x �����#�$�5�
��
�����
�4�#�!��/
����?�z�=���
:�+�$0
�49�����+������������!��0�#�!�+�
���!����
����#�$&� t�
��
�������4
#�!��/
�����Q ��#��+�$&,6�4�
�#����!
�,���!���#
���0�$�-�4 �!�����
�!$�
�/
��$�
���L�!����/���
���#������
��!����$&����-����#�!��/
����� ( )Qy x z ������5�
!����
�4���
�2���
��
�4�!�+!����
�4�������������+�
��� x �z�
���/�+����!��1
#�$0��!��0�&� �������4� +������
2��$0
�/� ���!
�
�4?
,
y y
p r q
x z
∂ ∂
+ =
∂ ∂ ���
3 ,
q q V
p r V
x z y
−∂ ∂ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂ ���
3 ,
p p V
p r V
x z
−∂ ∂ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂
2
1 ,
t t
p r
x z V
∂ ∂
+ =
∂ ∂
`La
�+�� ( )Qy y x z≡ �
( )
( )Q
t x y z
p p x z
x
∂
≡ =
∂
�
( )
( )Q
t x y z
q q x z
y
∂
≡ =
∂
� =≡ )( zxrr Q
''' qpV −−−= − �
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) &&
�����������!
�
�4�`La�
���/�+����+�#�$
��0�
�-�$0
����+�
���?
( , 0) ( ) ,Q Ly x y x= ��� ( , 0) ( ) ,Q Lp x p x= ��� ( , 0) ( ) .Q Lq x q x= `]a
3
�-�
�&� ( )Lp x ��� ( )Lq x ��#��+�$&��&�#���
�-�
�&��
��$,+�
����!����
���
#�$&�
�����
�4�#�!��/
�����
)������������ ���+�-����9� ��#��+�$&���&����!
�
�&���`La���`]a �����#�-�!���
!�����
�!$�
��� !� ���/���
�4� ���+�� ���� $�-�!�4� #�!��/
���� � ���� �� ���#��+�$�1
�&�!����
��
��
�4�#���
�����2�����
��$,+�
���#�$��������#����!�+
�/�
��
�1
������4�$�
������
�4�#�!��/
�����
:�����
�!$�
���$�-�!�4�#�!��/
�����!����/���
���#������
��!���������!�5
�,
��$0�!���+�-�/�#������
�&���4���-����/����
�2�#��
��$,+�
�����
�����-�����
#����������!�$
�!����#�$&��:�#��2�����#������#������
��!�
�������#�$�5�
�&
���
�2��!�
��+
���+
�4����+��#�����#��+�$5�
�&�!
���!�$
�!����#�$& ���!���
�1
���
�����
�4�#�!��/
�����!�����
�-�
�����
���� �!�5
���
��0����
�2����4�-����
���/���
����#������
��!� �!�������4�#��!����
��!�#�$
&�0������
���#��+�$5�
��
!����
����#�$&������4-�!�����9�
���>��4���+�-����#���!�
����9��0�+�
�4�#�+1
/�+�����+�$���!�
�,�!����
����#�$&�������/�������������N"�$�#�
�����+�� �'��%S�
)����4�!����
����
�-
�1���
���
������+�$���!�
�&�!����
����#�$&���
�!�
�
�
�#����+��!�
�4�����-
�4��##�������2������!
�
�&�>4��
�$��`�a��f����#�+/�+��
!�����
�!$�
�,�!����
����#�$&�!�
��+
���+
�4����+��&!$&���&�
����$�������41
-�!�� ����$�+�!���$0
� ���5�������
����!��0��������
���0���9�
�&��
���/�#��1
�$�+
�/���+�-���4�������_
��+���
����5����� �-������-���!����
��!�+���&�
����1
��
����#��+�$�
�/�����$&�
�/�#������
��!�
�/������/���$�+�!���$0
� ����0�!��1
��5
���0�#����
��0�!�#��2��������-����!����
����#�$&�#����!�$0
������#��+�1
$�
����������� ������5��#�$�-��0��
�-�
���!����
��!�����$&�
�/���-��/ �-�����1
$��-������+�-��#�$�-�
�&�!����
����#�$&����������������#��+�$�
���������
�-�1
�4�!�#������
��!��
:�����&�����4-�!���0��#��+�$�
�&�!����
����#�$&�>��������+�������#�-�!�1
���&�#��$�+�!���$0
���#����-�����!����
����#�$&�
����$�/������ �-�� �������!�
1
� �����
��������+
��
�-
���0�����!�����
�!$�
�&���
�-����!��& �#$���4��������41
-�!�4� �-��� &!$&���&� �+
��
�-
���0� ���-��
���� !����
���� #�$&�� _+
��
�-
���0
��������
�-�
���!���
���/�#���$�+
�/���+�-�/���4������
��&!$&���&���6���!�
1
�4����#������ �!���4���$�����#��!����#�
����
�-�
����������#��!����
��
��!1
���!���#$�
�����4���-����4�!�$
��+$&�!��/���#�!�!�$
���
�$���-
��������!�
��
!�+!������&���!���4���-����/�����+�/����������!�
���!����5+�
������$���
�4
���+��
���/�+����#��!��������-���!����
��#��/�+��#�&��4�!�$
���������-
����!
#����!�$0
�,���-���#������
��!��+$&�#��$�+�,6�����������!�
�&�������5�
�&
���+�������
���!�$
�!���#��+�$5�
����
�$&��������
�4�����
���2�����
�-
�1���
���
����#��+�$5�
�&�!����
����#�$&
��$09����
�-�
�����������!
����
���������
���#������
��!� �#�+-�
�
���#��1
2��������#������
�
�&�!��!����
�����
���!�$
��
"���!���������
���
�4��/����
���/�+��� �-�����!�#�$
&$��0��#��+�$�
��
�����!�
�& ������
� �
���/�+����+����-0��!�+����-
�4����#�
���##�������2��
���!
�
�&�>4��
�$����#���!����������-
����������
�&�#������
��!��+$&�!�#�$1
�
�&� ���
���
���� �-���� +����0�&� �������$0
�� !����5
���� #���$�5�
�&� $�
�4
��������#��+#�$���������#�!�+�
�,�$�-�4������/��
�!�����
�!$�!�������!����
1
����#�$&�
��
����������
����� � �� �������������� ������ ����!�:���
���/�#���$�+1
�/���+�-�/�!�5
����
�-�
�������������-���!����
����#�$&�+$&���-�-
��������-1
����!���$�!�&/�
��+
���+
�4���+�$�����+���_-�!�+
� �!�>�����$�-������
��!�$1
������ �������+�$ ������
������
,+��
&' ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
�� �$����� �� �����-����4� ������� _+
���� #��#&���!���� �� ��#�$0��!�
�,� #����1
��
��!�
�4������-����4�������&!$&���&��� �-���
����6���!������!
����
����#�1
�����&�������#����!�$0
���-��$���#��!�$0
�/��
������$0
���!�
_�
�����$0
����!
����
���������
�����������5
��+����-0 ���$�����#��+�$��0
��$����������!
����
��#�������-��������&������+�
�� ����$,-�&���$���0�!���51
+�
�& �#������,6�,���$�
���#�$,��!��d�����+����0�&��������$0
����!
����
�1
���������
�&�������!�!������$0
�4 ��$����4���#�
����!����5+�
�&���$���
�4���1
$���� �$�
�,�#�$,��!�
���/�+�������#�$�5��0�
��#�!��/
������:��!&�����>����
�1
��/�+�����������0�&����$�+�,6�4�������������+�
��?
sin cos ,x r= θ ϕ ���
2 2 2 ,r x y z= + + ��� cos ,y r= θ ��� arc tg ,z
x
ϕ =
sin sin ,z r= θ ϕ ��
2 2
arc tg ,
x z
y
⎛ ⎞+⎜ ⎟θ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
�� ,c cθ ≤ θ ≤ π − θ �� 0 ,≤ ϕ ≤ π �� max0 ,r r≤ ≤ ` a
�+�� cθ �^��
�-�
���θ �����
�-�!�,6������
���
�,�������!�$����#�$,��!�
���!
�
���>4��
�$��`�a�!������-����4���������` a�������!�+
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 .
sin
t t t
r r r V
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂ϕθ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
`%a
:�#��+#�$�5�
�� �-���#�
���!����5+�
�&����#�$�5�
�!�2�
����������������1
+�
�� �!�#�$
���������
���#�$�#������
��!����9������Δr �Δϕ �Δθ�#����&������+�1
�� r �ϕ �θ������-
�&���$���0 �������!�
�&�!�����$0�������������H�����
�& �#��+1
���!$�
��
�������'�
M�����������##�������2�,����!
�
�&�`%a�
��+��&����-�-
���+!��$�4
���9��1
$�
��`�����
a ��+������-
�������+�
����i �j �k�����!����!�,�������-����������+�1
���� r �ϕ �θ�!������+������!�/�����+�
���x �y �z���$&�>�����#��+���!���!�!�+���&+�
M���� '�� )��/���
�&� ������ #��+�$5�
�&
!����
���� #�$&� ��-�-
���� ����-
����
M����
�����&����-�-
�4�+!��$�4
�4�9��$�
����/1
���
�4� ������ #��+�$5�
�&� !����
���� #�$&�
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) &*
�
�-�
���!����
��!���$��i �j �k�+�(?
2 2
1 3
,, 2
( ) .
2
k k
i ji j
t r tt t r O r
r r
+ ∂ Δ ∂= + Δ + + Δ
∂ ∂
`(�a
���!
�
��� `(�a�#��+���!$&�������4��!�+����-
���#��+���!$�
����
�-�
�&�!��1
��
��!�#����!�$0
�����$��������
M��
���
���!���5�
���+$&� t r∂ ∂ �#�$�-���������!
�
�&�`%a?
1 22 2
2 2 2 2
, ,
1 ,
sin
r
ji j k k k
L L
L
V r r
ϕ θ
⎛ ⎞′ ′⎜ ⎟′ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟θ⎝ ⎠
`((a
�+�� ( )k k
i j i jL t tϕ + −′ = −
Δϕ ( (
(
'
� ( )k k
i j i jL t tθ + −′′ = −
Δθ ( (
(
'
� kr �̂ ���+���������-����4
#�!��/
��������!
&�k�� jθ ������ �
����
�
��������������i �j �k�
M��
���
���!���5�
���+$&��#�������� t r∂ ∂' ' �#�����#�$0��!�
���+!��$�4
���
9��$�
��
�#����+��!�
��#�$�-��0�
�!����5
���"�>�����#��+!�����$0
��
���/�1
+����!�#�$
��0�+������
2���!�
������!
�
�&�`%a?
2
2
t
r
∂ =
∂
1 2 22 2
3 2 3 2 3 2 2
1 1 1 1 1 ,
sin sin
t t t t t Vt t
r r r rr r r r V
− ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥= − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂θ ∂ ∂θ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂⎢ ⎥θ θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
1 22 2 2
2 2 2 2 2 2 3
1 1 1 1 ,
tg sin sin
t t t t Vt t t
r r rr r r V
− ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥= − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂ ∂θ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂θ ∂⎢ ⎥∂θ θ θ θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
12 2 2
2 2 2 2 3
1 1 1 .
sin
t t t Vt t t
r r rr r V
− ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ϕ ∂ ∂θ ∂θ ∂ϕ ∂ϕ ∂θ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
`('a
��#�$0��&�`('a������$,-�&�!�$�-�
��#��&+��� ( )O rΔ
�#�$�-����&!
�,����
�1
��
�,��/����+$&�#����-����!����
����#�$&�
�������-����4����������!�+����-
�4
��-
���0,���
�����$0
������-
�/�9���!?
( )
2
11 2 2
3 2,,
1 1 1 1
2 tgsin
k k
i j r ri j
k j rj
Lr
t t r L L L L
r Lr
−+ θ
ϕθ
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞′Δ ⎪ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′= + Δ + − − +⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟′θ⎢ ⎥θ⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
( ) 1 2
4 2 2 3 24
, ,
1 2 1 1 1
sin sin
r
j rjk i j k k
L L L L L L
r V r LL L
−
θθ θ ϕ θϕθ
ϕ ϕϕ
⎛ ⎞ ⎡
⎜ ⎟ ⎢′ ′ ′′ ′ ′ ′′+ + + + ×
⎜ ⎟ ⎢ ′θ ′ ′′θ ⎣⎝ ⎠
������ �������+�$ ������
������
,+��
&% ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
2
1 ,
sin j
V V V
L L
rθ ϕ
⎫⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎪⎥⎜ ⎟′ ′× − − ⎬⎥⎜ ⎟∂θ ∂ϕ ∂θ ⎪⎝ ⎠ ⎦ ⎭
`(
a
�+�
k k k
i j i j i jt t t
L
+ −
θθ
− +
′′ =
Δθ
( (
'
'
k k k
i j i j i jt t t
L
+ −
ϕϕ
− +
′′ =
Δϕ
( (
'
'
k k k k
i j i j i j i jt t t t
L
+ + + − − −
θϕ
− − +
′′ =
Δθ Δϕ
( ( ( ( ( (
�
�
M��#�$���&��
�-�
�&�����������������#����!�+
����!�+������!�4�������������1
+�
�� �
����+
��#�$�-��0�
���/�+������
�-�
�&�#����!�+
�/����������!������1
-����4�������������-
�/�����+�
���i �j �k?
sin cos cos sin sin ,j i j j i
V V V V
r x y z
∂ ∂ ∂ ∂
= θ ϕ + θ + θ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂
sin sin sin cos ,k j i k j i
V V V
r r
x z
∂ ∂ ∂
= − θ ϕ + θ ϕ
∂ϕ ∂ ∂
cos cos sin cos sin .k j i k j k j i
V V V V
r r r
x y z
∂ ∂ ∂ ∂
= θ ϕ − θ + θ ϕ
∂θ ∂ ∂ ∂
`(�a
)������������ ���#�$0��&����!
�
���`(
a �#��+���!$&���&�!����5
���#��$�+�1
!���$0
������-���!��0�!���&������-�-
��������-
������$���
�4�!�
�#��!$�
���!��1
�����
�&�����+�
����r�
_#��+�$�
��� !����
�4� ��
�2��� #�� +�
�4� ���
���
�4� �/���� #��!�$&��� �2�1
��0�!$�&
������$�-
�/��������
�/�
��+
���+
����4����+��
����4���-������!��1
��
���#�$���M���-���
���!���&����#������
�
�&����
���#�&��4�!�$
����-�-
�1
�������-
������5������0�
�#����+��!�
����#�$0��!�
��!�#��2�+���������2��
1
����#��������!�
�&���4���-����4��
�����2���������
�����-��������$�!���+$&
�#��+�$�
�&�����
���!�������������5�
�&�#��!�$
�!����#�$,�
��
����������
����� � �� ��������"����� ������ ����!�:���
���/�#��$�5�
�1
&/���4���$�������$���0����-�
�&����+� ���������$���0�
��$,+�
�4 �
�/�+���&�
�
�
�-���$0
�/�������&
�&/��������-
����!����5+�
�&���$���
�4��f���#����/�+��
����!��$�-���������!�
�/����$���&��
�4 �������!�#��2�������#�$0��!�
�&������1
��!�
�/� ����-
���!� !����5+�
�&� ��$���
�4� `�$���
��� ��4���-������ ��
+���1
!�
�� �����+�#��$��$�
�/�!�$
a��=���+���
���#����2���
��$,+�
�/�+�
�/�!
>�����$�-�����6���!�
����$�-�,��&��������+�! �#��!�-
����#�$0�����/�+$&�����1
�������������$�! �#�$�-�
�/�!���
� �
�#����+��!�
��#������,6�4�������-
�1
�����
�$���-
����#�+/�+������+�$���!�
�,�!����
����#�$&�!��$�-�����$09�/����1
���&
�4��������-
������$���
�4����,���!�,��#�2�������:�#��!�,��-���+0 �#��
!�������#���������-����!����
����#�$&�
���/�+�����-���!��0 �-����
�-���$0
�,
-���0�������&
�&��������-
����+��#�
������������2���!�$
��+!�5���&�!�
�#��!$�1
�� ��$��������������
��$0
����
_���
�!���&�
����
�-
�1���
���
�4����$���2�����+�-��!�����
�!$�
�&�!����
1
����#�$&�!����/���
�4�
��+
���+
�4����+��+$&���-�-
��������-
����
����
�-���$0
�/�������&
�&/��������-
����
��/�����������#������
�
�&�!�$1
�������!������6���!�
���!$�&
���!�������
�����4���-����4�������������$���1
�4 �#���������4����
��!�$
������������&��������-����,��������"���!���������1
���+$&���
�-
�1���
���
�4��##�������2������!
�
�&�>4��
�$����+�������!�+��1
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) &#
!�!��0�&�#�$�5�
�&���$�-�4������/��
�!����$0
�4����+���:��!&�����>����#��+$�1
�����&�#����
��0�!���-���!�����
���
�4�������!����
��������
�$0
�,�#��$�+�!�1
��$0
���0����/��
���$�-�4 ���������#����6��!����
����#�$,���-�-
��������-
�1
���!����+����$�
�4
�������
�
����������������$���
�4� ( )V V z= + β� ( ��+��V� �̂ ����1
����0�
�����
�4�#�!��/
�����#������-��������� �V β� �^����+��
������
�
�&����1
���������$���
�4��:�$�-�
��V β� �!�����,��&�����
�����������
�!������+
��
�
�-�
�&�+$&�+�
�4���+�$�����+�����!�&�������������+�
�� �������!�
�&�!����/1
���
���#������
��!��$�-���������/��
����+$&���
�!�������#��+�$�
�&���������
#��+���!$�
�� �$�+�,6���� !���5�
�&��?
( )
2 2
2 2 2
2
arc tg ,
2
x y
x y z z
+
γ =
β + + +
�
( )
( )
2 2 2 2
arch 1 ,
2 1
x y z
z
⎛ ⎞β + +
⎜ ⎟τ = +⎜ ⎟β +⎜ ⎟⎝ ⎠
� arc tg ,
y
x
ϕ = `(�a
�+�� V Tτ = β� �T�^�!���&����/��
����
�!����#�$& �γ�^���$�!�&�����+�
��� �ϕ�^����1
����$0
�&� ����+�
����
:�������������+�
���`(�a����!
�
���>4��
�$��`�a���#���!����&��$�+�,6����������?
( )
2 2 2
2 2 22 2
1 1 1 .
sh sin ch cos sh
t t t
V
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ τ ∂ γ ∂ϕτ γ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ β τ − γ τ⎝ ⎠
`(La
�$&��##�������2���+������
2��$0
�������!
�
�&�>4��
�$��̀ (La������0���!����/1
���
���#������
��!��������
�$0
�,�������#������+�
��
�����&��γ �ϕ �τ ���+�!9��0
����!����!�
������-
��������+�
������� �� ����:���&�!�#����!�$0
�������-
�����1
$����+�������
�-��0� ,
k
i jt �
M��������!����&�����+����#��+#�$������#��$�+�!���$0
���!�����
�!$�
����
�1
-�
�4�!����
��
�����!
��������k�+�(�#�������
�-�
�&��
�����!
��k �
�-�
�&������1
-�-
��������-
��� ��+��k�=����� i jt =�
� �
"����##�������2���+������
2��$0
�������!
�
�&�`(La�
�����+�
�4���������1
+����������0�&����!�+����-
����#���$�5�
�,����
���
�������!
�
�&���+����1
��
2��$0
�����:�����$0���������&��##�������2�&���+�������0��$�+�,6�4�!�+?
2 2
1
2,, .
2
k k
i ji j
t tt t+ ⎡ ⎤∂⎡ ⎤ Δτ ∂= + Δτ + ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ τ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂ τ⎣ ⎦
`(]a
��#�$0��&����!
�
���`(La ���+��������0����
���
���!���5�
�& ��##���������1
,6���+������
2��$0
���!���5�
�&�#��!�4�-��������!
�
�&�`(]a�
��+��&����-�-1
���9��$�
��`���������
a����!
&�k����!�+����-
�4���-
���0,�
M��
���
���#��+���!$�
��� [ ]t∂ ∂ τ �#����!�+
�4� t∂ ∂ τ ��$�+����
�#����+��!�
�
������!
�
�&�`(La?
( )
1 22 2
2 2 22 2
1 1 1 ,
sh sinch cos sh
t t t
V
⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎜ ⎟∂ τ ∂ γ ∂ϕτ γ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠β τ − γ τ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
`( a
�+�� t∂ ∂ γ ��� t∂ ∂ϕ �&!$&,��&����
���
����!���5�
�&���+$&�����!����!�,6�/
#����!�+
�/?
������ �������+�$ ������
������
,+��
&- ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
( )1 1, ,
1 ,
2
k k
i j i j
t
t t+ −
∂
= −
∂ γ Δγ
��� ( )1 1, ,
1 .
2
k k
i j i j
t
t t+ −
∂
= −
∂ϕ Δϕ
`(%a
�$&�#���������
���
����!���5�
�&�!����4�#����!�+
�4� t∂ ∂ τ' ' �!�!���5�
��
`(]a�!�#�$
���+������
2���!�
�����/�+
�������!
�
�&�`(La�#��τ?
( ) ( )
22
2 2 3 32 3 2 2
sh cos ch1 1
shch cos sh ch cos sh
V tt
t V V
⎧ ⎡ ⎛ ⎞− ∂ ∂ τ τ − γ τ ∂∂ ⎪ ⎢= − + +⎜ ⎟⎨ ∂ γ⎢∂ ∂ τ∂ τ τ ⎝ ⎠β τ − γ τ β τ − τ τ⎪ ⎣⎩
2 2 2
2 2 2
1 1 1 ,
sin sh sin
t t tt t ⎫⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎪⎥+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟∂ϕ ∂ γ ∂ γ ∂ τ ∂ϕ ∂ τ ∂ϕ⎥γ τ γ⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠⎦ ⎭
`'�a
�+��V V∂ ∂ τ �^��������0������#����!�+
�&�!���$��������i �j �k�
"����!�+
��� t∂ ∂ γ ∂τ' ��� t∂ ∂τ ∂ϕ' �
�����������0��##���������!�
��#��&!
�4
+!��$�4
�4��/������$&��/�#��������!�
�&�
���/�+����!�#�$
��0�+������
2���1
!�
������!
�
�&�`(La�#��γ���#��ϕ?
( ) ( )
2
2 3 22 3 2 2
sh sin1 1
shch cos sh ch cos sh
Vt
t V V
⎧ − ∂ ∂ γ γ γ∂ ⎪= − − ×⎨∂ γ ∂τ ∂ ∂ τ τβ τ − γ τ β τ − γ τ⎪⎩
22 2
2 3 2
cos 1 ,
sin sin
t t tt t ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞∂ γ ∂ ∂∂ ∂ ⎪⎜ ⎟× − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟∂ γ ∂ϕ ∂ϕ ∂ γ ∂ϕ∂ γ γ γ⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎭
`'(a
2 t∂ =
∂ϕ ∂τ
( )
2 2
2 2 2 22 3
1 1 1 ,
sh sinch cos sh
V t tt t
t V
⎧ ⎫⎛ ⎞− ∂ ∂ϕ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪⎜ ⎟= − +⎨ ⎬⎜ ⎟∂ γ ∂ γ ∂ϕ ∂ϕ∂ ∂ τ τ γ ∂ϕβ τ − γ τ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
`''a
�+�� V∂ ∂ γ ��� V∂ ∂ϕ �^�#����!�+
������������#������!����!�,6�����&������+�1
���!���$��i �j �kO
( )
2
1 12 2 ,, ,
1 2 ,k k k
i ji j i j
t t t t+ −
∂ = − +
∂ γ Δ γ
��� ( )
2
1 12 2 ,, ,
1 2 ,k k k
i ji j i j
t t t t+ −
∂ = − +
∂ ϕ Δϕ
( )
2
1 1 1 1 1 1 1 1, , , ,
1 .
4
k k k k
i j i j i j i j
t t t t t+ + − − + − − +
∂ = + − −
∂ γ ∂ϕ Δγ Δϕ
`'
a
"�+���!$&&�#�$�-�
���#��+���!$�
�&�+������
2��$0
�/��#�������!�`(%a^`'
a
!����!
�
���̀ ( a �#�$�-�������
-���$0
���&!
������
���
������!
�
�� ���������#��1
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) &.
!�$&���#����-���!��0�#��$�+�!���$0
��!���&�#������+�
��������!
&�k�
�����!�
0
k�+�(�����!
�
���`( a�#��+�������!�������-���!����
����#�$&�!�9�������+��#���1
��������&
�4����#�
����!����5+�
�& ����$,-�&���$���0 �
�#����+��!�
�����#�1
$�5�
�,� !�$���� ����-
����
:��$�-���#$�!
��������
�
�&�������������$���
�4�!����5
� �-���
���
�-���$0
��
�
���!�$����4���-����&�!�$
����+������#������
&�0�&�!�
�#��!$�
�� ��$�������
������
��$0
�����)��+��#�$��
��!��#�$0��!��0�&�+$&���+�$���!�
�&�!����
����#�1
$&����
���
�4������4 �������,6�4�&�
��2�$�
+��-����4�������������+�
����"�1
���$0�������+�����#��+�$�
�&����
���
�/��/���+$&��##�������2������!
�
�&�>41
��
�$��!����/���
���#������
��!�����!�+����-
�4���-
���0,���/��
&���& �#��!�1
+���$�90����
-���$0
���!���5�
�& ��#��+�$&,6���#����-���!����
��
��2�$�
+1
��-����4� ������
"�&����#��������!�
�������+�
���+$&�2�$�
+��-����4�������������!�+
2 2 ,r x y= + ��� cos ,x r= ϕ ��� arc tg ,x yϕ = ��� sin ,y r= ϕ ��� .z z=
���!
�
���>4��
�$��!�2�$�
+��-����4�������������+�
����#��+�$&���&�!���5�1
���
2 2 2
2 2
1 1 .
t t t
r zV V
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ϕ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�+��r�^���+�����$��������&
���#��������
��$�������-���!����5+�
�&���$���
�4�
��
�-
�1���
���
�&��/��� �����!����!�,6�&��!�+����-
�4���-
������##�����1
��2������!
�
�&�>4��
�$� �������!�+
2 2
1
2,, .
2
k k
i ji j
t r tt t r
r r
+ ∂ Δ ∂= + Δ +
∂ ∂
`'�a
�+��k�^�����-
�&�����+�
����#��� �i�^�#��ϕ � j ^�#��z�
����/�+���� !�#�$
��0� �$�+�,6��� #��$�+�!���$0
��� #�+���
�!��� ���
���
�/
!���5�
�4�!����!
�
���`'�a?
1 22 2
2 2
1 1 ,
t t t
r zV r
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ϕ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( )1 1, ,
1 ,
2
k k
i j i j
t
t t
z z + −
∂
= −
∂ Δ ��� ( )1 1, ,
1 ,
2
k k
i j i j
t
t t+ −
∂
= −
∂ϕ Δϕ
( )2 22 2
2 3
2
2
1 1 1
2
,
V t t tt t
r z z r rr rt
t rr
−⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪− − +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ϕ⎪ ⎪∂ ⎩ ⎭=
∂ ∂∂
( )2 2 2
2 2
2
1 1
2
,
V t tt t
z z zz rt
z r t r
−⎧ ⎫∂ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪− −⎨ ⎬∂ ∂ ∂φ ∂ϕ ∂∂⎪ ⎪∂ ⎩ ⎭=
∂ ∂ ∂ ∂
,
,
������ �������+�$ ������
������
,+��
&/ ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
( )2 2 2
2 2
2
1 1
2
,
V t tt t
z z rt
r t r
−⎧ ⎫∂ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪− −⎨ ⎬∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ⎪ ⎪∂ ⎩ ⎭=
∂ϕ ∂ ∂ ∂
( )
2
1 12 2 ,, ,
1 2 ,k k k
i ji j i j
t t t t
z z
+ −
∂ = − +
∂ Δ
( )
2
1 12 2 ,, ,
1 2 ,k k k
i ji j i j
t t t t+ −
∂ = − +
∂ ϕ Δϕ
( )
2
1 1 1 1 1 1 1 1, , , ,
1 .
4
k k k k
i j i j i j i j
t t t t t
z z + + − − + − − +
∂ = + − −
∂ ∂ϕ Δ Δϕ
`'�a
"��+#�$������& �-���
�-�$0
���+�
����#��+�$&,��&�
��
�-�$0
������!
�������
k � #������+�
����r���#���60,���
�-
�1���
���
�4��/����̀ (]a �������&�#��!�$&���!�1
#�$
&�0���+�$���!�
���!����
����#�$&�
�#����+��!�
�������-�-
��������-
����
M���$0�����+���$0
�������$�+�!�
�&�����4-�!�������9�
�&����!
�
�&�>4��
�$�
��#������
��!�
�/������/���$�5�
��!�������/�N"�$�#�
�����+�� �'��%O�:��#�/�!1
���& �'�(�O�:��#�/�!���& �"�$�#�
�� �'�( S������/���
�!����5
��������$���!��0
�+�
���+$&�����/���#�$0�����/��/�����$�!�� ���������������-����,�����-����,
#����+���_
���!�+���&��������!�
�, �-�����#����!�$0
�4���4���-����4�$�-�!��1
��
����#�$& �#��/�+&6�4�!����-��
�4����$������ �
��!�/�+�$����#��+�$��9��$�1
� �������!�
������$�������
���
�4��/����`���������
a�
#������� ����������� ��
�����
����
��������� ���� �� ����
� ������������
�������� ������� ���
����� $�������
�� ��"���
���� ���
����
��� ���
�!��
��#�$0��!�
�����������-����/��������������$������!$�
��$��������#��+�$�
�&�!��1
��
����#�$&�!���$�/����/���
��������-
����#�&�����$0
����#���$$�$�#�#�+��+$&
��+
���+
�4���+�$�����+� �!������!����������!�9$���$�+�,6���>��#�?�!!�+���1
/�+
�/�+�
�/ �#�+����!���������$�-�4������/��
��#��+�$�
����������
�/�#���1
�����!�!���$�/�������$�-�4������/��
����-���!����
����#�$&�!���$�/�������$�-�4
�����/��
�#�+����!���2�$�
+��-����4�������+$&����-����!�+�$0
�4���
������-
�1
�� ��#��+�$�
����������
�/�#��������!�!���$�/�2�$�
+��-����4������ ����-���!��1
��
����#�$&�!���$�/�2�$�
+��-����4������ ��#��+�$�
���!����
����#�$&�!�����-1
�/� ��$�/� #���$$�$�#�#�+��
:���-���!��!/�+
�4��
�����2������������!�,��&�����+�
������-�������-
���
��$���
�4 ������5������+�
����#���$$�$�#�#�+� ��#��+�$&,6����#�$�5�
������/1
���
��������-
����#������
��!� �!�#��+�$�/������������+���#�$�-�
������$0����!1
����
�-�
�&�!����
����#�$&��M��
���
�4��-���+�$5�
����6���!$&�0�&�#��$�+�1
!���$0
���#����-���� �#��+�$5�
����!����
����#�$&�
�������������-���!����51
+�
�&�+��#��+�$0
������$��#������
��!�
�4�������!����-��
�4���$���� ��+��#��+1
#�$������&�#�$�-��0�����$0�����)�������+$&�#��+�$5�
�&�!����
����#�$&�!�$���
����-
����#��
&�����#�$0��!��0�������$�-�4������/��
�����!����!�,6�/�$�
�4
�1
�������
�
�,�������������$���
�4 ���!�+�$0
�4���
������-
�������-���!����
�4
��
�2������6���!$&���&�
��2�$�
+��-����4������ ����!��!/�+
���+�
���!�$,-�1
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) &)
���
�-�
�&�����-
�/�9���!�+$&�+!�/���#�!������ ������5���
�-�
�&���+�����
�1
-�$��2�$�
+��-����4��������M����������-
�/�9���!����
�-�
���
�-�$0
������+��1
����#��+�$&,��&������!�
�&�������-
��������-����!����
��!���
����
�/���4���1
-����/���+�-�/��:/�+
�&��
�����2�&�����!���&�!�!�+��#��������-����/���4$�!�
"����$0���+$&�#���$�5�
�&�
�$�
�4
����+������
2��$0
�������!
�
�&�>4��1
�$����#�$0�����&�&!
�&��/������
�-
�1���
���
�4��##�������2�� �������������1
�����$�!
�&�����4-�!���0��-�������$�!�������4-�!������#��+�$&���&�����
�9�
�1
���9���!�#������
��!�
�4������ �������-����,�����-����,�#����+�����!�+���&
�������!�
�, �-�����#����!�$0
�4���4���-����4�$�-�!����
����#�$& �#��/�+&1
6�4�!����-��
�4����$������ �
��!�/�+�$����#��+�$��9��$�
� �������!�
������$�1
������
���
�4��/����`���������
a�
�$&��������$0
�����+�!$��!���
�&���$�!�&�����4-�!�����#������
���
����-���
��$��������$���!�
����
2�#2�& �������&����$,-����&�!���� �-���#�����
�������1
!�
�������-
����������
�&�#������
��!��
���/�+�����������0�&���#���$�5�
�,
$�
�4�#������
��!�
�4��������������������$�-�4������/��
������-��
����!����
1
����#�$&��:�#$�6�
����>��4���
2�#2���!�+�
����$��������&!�$��0�#����
�
��
��
�-�$0
�4����+����-����!���-���!��$�
�4�#������
��!�
�4�������!����
������1
��
�$0
�/�#��$�+�!���$0
����4����/��
���$�-�4 ���������#����6��!�$
�!����#�$,
��-�-
��������-
����#���$�
�4
�������
�
���������������$���
�4� (1 )V V z= + β�
�+��V� �^��������0�
��+
�!
�4�#�!��/
�����#������-��������� �V β� �̂ ����+��
����1
��
�
�&�������������$���
�4��)�������!���$09�
��!���$�-��!��������������!�$�-�1
���������������$���
�4 ����#������$���!�
���#��������!�V β� �������+
�
�����/
�
�-�
�&���+$&����$0
�4��������
�4���
�2����
�5����&�!���&�
���0���+���$0
�1
������/�5+�
�&�$�
�4���������$�-�!�/����������4 �-�� �!��!�,��-���+0 �����#�-�1
!��������4-�!���0����
���
�����-����
�$&�����
���2������
���
�����-����#���
��+
���+
�4���+�$�����+��
���/�+�1
����
�-�
�&���������������#������
��!�
�/�#����!�+
�/�!���5+�����$�����/���1
�4�������
�������
�&���+�$0 �+$&�������4�#����
&���&���
�-
�1���
���
�4�����+���9�1
�& ���5������0��#���
��#����!�$0
������>��#���#����!�
�&�#��
2�#��$0
�/�!��1
��5
����4�+�
�����$����������$����#�$0��!�
���#���
����������
�4���+�$��!�!�1
+����+�
�&���+�$0
�/�#�!��/
����4 ����������#��+�$&$��#$����������$�-
�����
�1
-�
�&�����������������!������$0
�������+��
����)������������ �!�
��+
���+
�,
�������
�,���+�$0����+����$��!�$,-�
�������!������
�#����+��!�
��������1
�� ����������#����!�+
�/�
:���5�
���`(]a��#��+�$&���&!
�,��/�������-����!����
����#�$&�!�
�#��!$�
��
��+��$0
�4�����-
�4�����+�
����k�`��0�τa �#��
&��,�+$&����-����!����
��!���$��i
j �k�+�(���+��$0
�������!
&�k�+�(�#��+�!&����
�-�
�&��!����
��
��#��+�+�6������!1
��k�`���������
a��"��+�$5�
���!����
����#�$&�#��>��4��/����!�#�$
&���&�!���1
+��$0
���
�#��!$�
��������-�-
��������-
����+��
�-�$0
������+��$0
�������!
&
2�$�
+��-����4� ������
"��
&��&������$���2������
���
�&��/����`(]a�����#�-�!�����!�+����-
�,����1
#�
0�#���$�5�
�&�����-
������9�
�&�����-�-
����+������
2��$0
������9�
�,
#���#��+�$�
�,�!����
����#�$&��f�����
�-��� �-���#�������
�
�������-
�/�9���!
����#�-�!����&��+��!��
����!�$�-�
�����-
��������-���!�!����
����#�$&�
:�+�$0
�4���
������-
�������
��!�$
��#�����6���!�
�����#������
&���&�!
�$��������������
��$0
����
�#��!$�
�,��:��!&�����>����2�$��������
��!��#�$01
��!��0�&�2�$�
+��-����4��������4�����+�
���+$&�������
�&�#������
��!�
�4����1
-��
�4������ �����+�
����������4�r �z �ϕ ��+��r�^���+��� �z�^��$���
� �ϕ�^������1
������ �������+�$ ������
������
,+��
'( ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
��$0
�4����$��"��+�$0
����
�-�
�&�����+�
���2�$�
+��-����4�����������#�-�!�1
,��#�$
���#���������,���$�����#���$$�$�#�#�+� ��+��#��+#�$������&�#�$�-��0���1
��$0����!
���!����
���#�$���3
�-�
�������-
�/�9���!�2�$�
+��-����4�������Δr
Δz �Δϕ�!��������& �������!��$�-���������$�-�41���/��
������$�!�&�
���/�+���4���-1
��������-��
����!����
����#�$&����+�!$��!���
�&���$�!�4�����4-�!������-����
������!����
�-�
�&�!����
��
��
�-�$0
������!
��2�$�
+��-����4��������#��1
+�$&,��&�#������
���#�$&2���#���
�-�
�&��!����
��!���$�/�������$�-�41���/��
�
M��-��� !����
���� #�$&�
�� 2�$�
+��-����4� ������ #��+#�$������ #��+!�����$0
��
�#��+�$�
������������V ������5�����#����!�+
�/�∂VD∂r �∂VD∂z���∂�D∂ϕ�!��!��/���1
$�/����-��
�4���$�����
����/�+�����0�#��!$�-�
�&�����
�-
�1���
���
�����-����#����!�+
�/�������1
��� ��Y&�
&���&� �����!�
���� #��� �-���� �!�+����-
�4� ���#�
�� �/�+������� ���
�1
��
������9�
�&�����9�
�,�+������
2��$0
�����"���>����#���
�$���������
�-
�1
���
���
�4��/���4�
��������$�-�41���/��
���#�$0�����&�&!
�&���
�-
�1���
���
�&
�/����+$&�2�$�
+��-����4�������`'�a��)����������!
�
���>4��
�$��&!$&���&�
�$�1
�4
�� ������6���!����!���&�
���0 �-���+$&�
��+
���+
�4���+�$�����+����5�����1
6���!�!��0���$���0�#������
��!� ��+��������9�
�����+���
��#��+�$�
���"�����1
�-
�1���
���
���#��+�$5�
���>�����5�������0������ ���$��!�
�����������$�����1
���#�+����
���!���5�
�&�!������$�/�#��
���,������2���$0
����
�-�
�&��:���1
�����$�-����
�-�
�&�!����
��!�>������$��
����5������0�����-���
���:����$0
�/���1
$�!�&/�+�4��!�,��!�$
�!�������
� �#���������/������������
�
�&����
���!�$
�
!�����!����!�����#��
2�#���+�����2���g���&��!�,��&h�!�#��2������������#������1
�
�&�N���!2�! �_�$�! �(% �S��:����������
����$�����������
���
�����-������$�
����� ��+��
���!����5
�����!�#�$
��0����
���
�4��-�� ��#����,��&��"��$����!��1
9�
�&��-����
������6�����+��$0
������!
��������!���&�!�#��#�6�
�/���$�/�+�1
�#��+�$&���&��
���#�$&2��4�#���
�-�
�&��!����
�4������ ��+������-
�4��-�����$
��#�9
�����$���!�
��i$���+��&�>��4�#��2�+������5
����!����0�����#��+�$�
��
!�$
�!���/�����������9�
�&���
�����-����4���+�-��#��+�$5�
�&�!����
����#�$&
-���#��!�$&������9����0�#����
�
���+�
�����$��������
����+�$�����+������$�51
��� ���#��+�$�
���� ���������
"���&!
������-����!����
����#�$&�
����������#����
�
����9��$�
��`��� ����
a
��� !����5
������#��+�$&�0�!���&�!����4
�/�$�
�&/�������#�����
���$0
�/��
�������$0
�/��
�-�
�&/�����-
�/�����+�
���i � j��"�>�����!����������!�������$1
������������!����
�-�
�&�!����
� �#�+��
������!��$�-�����#��#�6�
������$���
+��#��+�$&,��&���#���60,�>�����#�$&2����
�-�
�4�#�$&�!�����+
�/ ���
�����$01
������!�/ ���$�/�
��� ���$,-���$0
�4� ���+��� ���-���� !����
���� #�$&� ���6���!$&���&� #����-��
!����
�4���
�2�����2�$�
+��-����4�������
��#�&�����$0
�,�!���$�����#����1
��
��!� �#��+���!$&,6��������4�#���$$�$�#�#�+��:����
���#�$��
��#�&�����$01
�4��������+��
��+$&���#�$0��!�
�&�!�+�$0
�49�/�#�����-����/�#��$�5�
�&/�
M��-������/���
����!����
����#�$&���5������0�#�$��
���!�#��2�����
��$,1
+�
�4���4���-����/�&!$�
�4�
����+�$0
���#������
��!�
���#�$���
���:�>�����$�1
-�����+�$0
��+$&���5+�4����!�+�6�/�
��$,+�
�����4���-����/����
2�4���5������0
����-���
������#�$0��!�
����#��+#�$�5���$0
�4��������
�4���+�$�����+�����/1
���
���!����
���#�$� ����������#���!����!���&�#��/�+��!�$
�����!��/���#�����1
-����/�����-
���!���$���
�4 ����#�$�5�
�/�
����
���$��������#�$���
��
M��#�$���&�+���$0
�4����/���
�4������4��
�-�
�4�!����
��#��/�+��!�$
����#�1
$���
� �
����+
��#������
���#�$&2����#��+�$��0����
���0����$0
���������-��
���
!����
�+$&����������!�
����
�����
2���&!$�
�& �-�����5����$�5��0�����+$&����1
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) '&
���2���#��
&��4��������
�4���+�$�����+� �������+$&���
���$&������-
�
�&�#����1
��
��!�
����#�$�5�
�&�#�����9�+9����&!$�
�&�
�����
�!�����������
�����$�����������-����!����
����#�$&�!����/���
�4�
�1
�+
���+
�4����+����$������!$�
����#$����#������� ���5+�&����������/�!�#�$
&1
����+�
����>��#�!��$���������_#����!�
���+�
�������#$�����
�����$�-
�/������1
!�/�#������/�#�+�!��+�$���+�$�
�����
���!�!�+������-
�����������4-�!�������1
�-
�1���
���
�����#��+�$�
�&�!����
����#�$&�
:���-���!��#���������������������-������/���
����!����
����#�$&�+$&������1
��
�4���+�$� ���+�
�4�!�#���$$�$�#�#�+�����������((�������
�����#����&��x �y �z
����!����!�
����������
�&���+�$0��#��+�$&���&���+�
�������-�������
��������1
�
�&����������#���$���
��`���
����+��L�����D�a�
��#$����4�
��$�
�4����
�2� ��
���5��$���$0
�����$�����#�!�9�
�4��������0,�!�!�+��>$$�#��-����������-�
�1
�����
��� ����!$&�������������#�$������&�
���$���
��('����
������� ��#��+���!$�
��������#�!��/
��������
�2����$���$0
���!����#�� �
����1
����4�#����/�+������-����������� ���
������ ��#��!�+�
��!������$0
�����-�
������1
����
�4���+�$��#��$�
�� ����+�
&,6�4���-���!����5+�
�&���2�
���$���$0
����!�1
���#� ����#�$�5�
�4�
��������&
���L����������-���!����5+�
�&�����-���������1
���
�����
�2��������#�����
�4�/����������+����������������$0
�����
�-�
�&�!
(�����D��
��#�!��/
�����$���$0
����!����#��
M��������������$0�����#��+�$�
�&�!����
����#�$&�!��
���!�$��������&
�4���^
((��������#�
����!����5+�
�&�!�!�+��!��/
����������`#�!��/
���
������+������a
���/���
���������!��+�
�/��M��-��
�4������!�+�
�/�����!����!������Y�������1
+������((���
������i�$�!�#�$
�
����-���!����
����#�$&�
��#�!��/
�����+�
���
#���$$�$�#�#�+��!�#�������!������������!���$���$0
��� ��
���$0
����#����������
��$��������6�����
��#�!�+�
�&�!����
����#�$&�
��#�!��/
��������+
��!�+�$��0
�
���$0
�4�>���������
�$�-�&�!����#� ��+
����#����#��+�$�
������
�����+!�/�#�1
!��/
���
�/���+������!�>����>�������-�
0��6�����4 �-���+���
���������&�
������ L�
3+��0���-��$�!������������&�����2���$0
�&��
���$�&�!��!����
���#�$� �!��!�
1
�&�#�������!����!���+�$��!������������
����!�$,-�
�&�
���>������
�������/�+����/�#������/���$�����$�+�!�
���������
���0��������1
��
�����$��������#������2�
���!$�&
�&�����
�
�4�����-
�/�#��������!�
������$01
M���� ��� :������$0
�4� ����� ���/���
�4� �������
�4� ��+�$�� �� $���$0
��� !����#���
������ �������+�$ ������
������
,+��
'' ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
����!
���!����
���#�$&������#�����$�����-��� �+�5��#���+!�����
�������
�
��
9���!��������
�-�
�&�!����
����#�$&�
������
&,��&���$���-���
��+�$��#��2�
���
�
�
�!���
����������4���-����/�!�$
�!��
���,6�/�#������$���&��
��������1
#������
&,6�/�&�!�
��+
���+
�4�3��$� ���5
��!�����+��0���#���60,����/���
�1
�����+�$���!�
�&�!����
����#�$& ���������#��!�$&����#��+�$��0�!���&�#��/�+�
!�$
��!���5+�,���-���#������
��!���)��/���
�����+�$���!�
���!����
����#�$&
#��!�$&�����9��0�#�&��,���+�-����4���$�����^�#����!���
�������#��+�$�
�,����1
������!�3��$������-���!��0�$�-�!������������� ������5��!���&�������+�
����!�1
/�+��$�-��
�����#�!��/
���0����
���#���������&!$&,��&�
���/�+������#������1
-�
���#��������!��-�������$���&��
�&���!
����
���������
�&�3��$��#����4���1
$���-������ +�
���
M��������
��+!��#�+/�+������+�$���!�
�,�!����
����#�$&�!����/���
������1
��-������#������
��!����#���60,�$�-�!������+�$���!�
�& ���
�!�
����
����9�1
M���� ��� e�����
��$0
��� ��-�
��� ���/���
�4� �������
�4� ��+�$�� �� $���$0
��� !����#���
M���� L�� �
���$�&� !����
���� #�$& � !��!�
�&� #�������!���� !� �������
�4� ��+�$�
$���$0
���� !����#��
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) '*
��������������!
�
�4�$�-�4�!������-����/�����+�
���/���#�����-��$�
�������1
-�������#��+�$�
�&�!����
��#��/�+��!�$
����#����
�
������
�-
�1���
���
���
��9�
�&����!
�
�&�>4��
�$�����-������#����
�4��
�����2������������
�/�/�1
������������/����+���"���>�������
���
�&��##�������2�&����!
�
�&�>4��
�$��!�1
#�$
&���&�
�������-����4���������+��&����-�-
���+!��$�4
���9��$�
����"��+$�1
5�
�&�&!
�&��/����#��!�$&���+����-0��!�+����-
�4���-
���������$�!��� �-���#��1
��!�$0
�4���4���-����4�$�- �#��/�+&6�4�!����-��
�4����$������ �
��!�/�+�����
#��+�$��9��$�
� �������!�
������$������+�
�4�������
�����
�!���������-����/��������������$�����+�
���$����������#������������/1
���
������+�$���!�
�&�!����
����#�$&�����$�-�!�� ���������
�-
�1���
���
��
����+���� !� �����-����4�
��+
���+
�4� 3��$��� "��������� ��$�� #���������!�
�
���&+��#������!���#�$�-�
�������$0�����#�+�!��5+�,����-
���0����������
���0
�����������
)������������ ���5
����!��5+��0 �-���#��+$�5�
���!����
������/���
������1
+�$���!�
�&�!����
����#�$&�����$�-�!�� ���������
�-
�1���
���
�������+����#��1
!�$&,��>������!
����9��0����
�����+�-��������4���$���� �������#�����!�4���4�1
�����!�+���+�5��!���6���!�
��
��+
���+
�/����+�/�
,����� ����������
'(��)� ���������*��) �����������$���+�# � &�$��,� ��$���#�� ����,�����- �(��"�-��
./0��//����
�����! ��(�$�'��1��'(���������
������( ���� 2��
� ��� +�#�&������� �$����� #���2
��!�� ����
��
�����������
��3��00��4�5�����.5^
�/��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����02
0
���B00=5���
�
5C.5�
�����! ��(�$�'��1��)���#������(�$�#�&����$�� �$����� #�����!�� �������D �#�� ��2
�����
���E���$�������� ������#�F�G��
��
�����������
@��,��05��4�5�����
H0^
5@�
67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����020
���B05=5���
@�
�H@�
�����! ��(�$�'��1� �*������( ����I��)���#������(�$�#�&����$���$� ���������$��( � 2
��� +�# �����������������%��������(�����(�!�
�������+�# ��
���(���
��
��������
��
/��3��@���4�5�����H�^5C��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����020
���B@�=5���
/�
H
��C�
�����! ��(�$�'��1� �*������( ����I� �J��(��������J��0D�( ���� 2��
� ����$�#�&����$�� 2
�$����� #�����!�� ����
��
�����������
H��,��0C��4�0�����H�^5H��67789"::;<=�<>?:
���@��/:
?A6����020
���B0C=0���
H�
���
�����! ��(�$�'��1� �*������( ����I� �*������( �K�����L �#�� �������
���E���$�&��2
���� & �&� � &����( & ���� ���$�� ������#�# ��( +���+�# ��
���(��-1����-*���
��
�
�����������
C��3��0.��4�5�����
�5^
�
��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����020
���B0.=5���
C�
5
0CH�
F ��� �����)� ��$����(�+���������
� �������!�#���- �(��"�I��(� �
.CC��@@����
)���� ��M��'� �1�� ��M�����F� #�������(�$� ���(���� �� � ���!�������- �(��"�I��(�
./���0�5���
*������( ����I� ������! ��(�$�'��1� �J��(��������J� �*������( �K�����L �#�� ���������!2
#��� & ��
���E���$�������� ���##��1F,���$��
�����$�&� � &����( & ���� ���$�%�!�2
������ �������+�$ ������
������
,+��
'% ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
��!�� ��+��
��
�����������
H��3��0C��4�@�����
�@^
0��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����02
0
���B0C=@���
H�
�.�
*������( �K���� ������! ��(�$�'��1� �)�(�!�N��'��������������$������!�0D���+�# ��
2
���(�������#������#�( ���� 2��
� ��� +�(���#������( +�#�&�������
��
��������
���.��,��0
��4�
�����
5^�C�
*������( ����-� ������! ���(��1��1� �)�(�!�N��'��0D��(O���� 2�O
�������(O��#�������#O&2
���O$���O����������OP�����!���+�# �
�O�(�"�,�
��#OE��� �� P����( � 2��!�O�� P�( �2
D�����OP�Q*��(������&� � &O�������(���� & ��O"�
� ���(������� ���#�R��)�P� ����C�
���/C^//�
��������(�+�K��L� �)��� ��N��*��S��#�������+�# � &�������+�# #�������- �(��"�F ��
�
�2� ���!��( 2�� �������( +����������� �
.HH��H@0���
��+�#����(�$�� # &��D�$������� E���$#����&� ����� +���+�# � &�������
��� �� +�&� 2
D�
�(���* �������,��I ������- �(��"�-�� �
..���@
H���
�#��� ��������)�������%�+�#���#���(���3��@��- �(��"�F ����
�2� ���!��( 2�� �������2
( +����������� �
.H0�
T<UV> �W��X��Y
./@Z��W[8=;�9V=9U=\�>[]�7>[\=^?�=^�[�986V>=\[_�9]UUV7>=\�`[>76�B=[�=^7V>8<_[7=<^
<a�>[]9���������������������� ���!�"#����"���$����% �&�"#'�() Y�Z �@C.^@.��
�V>BV^] �b� �c<_<7d<B �e��f��g�X�V^�=d �e��Y
.CCZ��*#$�+����,�������� ���!$��X>[6["�h^=BV>9=7[
i[>_<B[ ��
@�8�
jV_9<^ �k��l� �g�b=;[_V �m��`��Y
..�Z��`[>76no[dV�_<\[7=<^9�p]�02D�a=^=7V2;=aaV>V^\V�7>[BV_�7=UV9�
�������������������� ���!�"#����"���$����% �&�"#'�-. Y�Z �0.H^@
��
X[B_V^d<B[ �j��e� �X=_=8V^d< �b��j� �bV>8[d6<B9d[q[ �f��r� �X[B_V^d<B[ �k��f� �g�s=_<^V^d< �b��X�
Y���.Z��T>o97[_�97>o\7o>V�=^�T6=_V�[^;�rd6<79d�tV[�>V?=<^9��/�"����0�$��"�'�)(1 Y
2@Z ��/^0/�
;<="�
��
�
5:q�7V\7<����/��/��
/�
X=_=8V^d< �b��j� �bV>8[d6<B9d[][ �f��r� �t7[><97V^d< �b��e� �g�X[B_V^d<B[ �j��e��Y��
�Z��s=^=7V2;=a2
aV>V^\V�U=?>[7=<^�<a�76V�a=V_;�<a�>Va>[\7V;�u[BV9�=^�97o;=V9�<a�76V�;VV8�97>o\7o>V�<a�76V�̀ [>76v9
\>o97�[^;�76V�o88V>�U[^7_V�p[9V;�<^�76V�ltt�Y<^�76V�Vw[U8_V�<a�76V�lrxW`�8><a=_VZ��234���
��$#'�5�$��"�������������,�6#&��'�)7 Y
Z �.@0^.H@��;<="�
��
0@:t
�5.0H
0
�
��@��
X]_]8V^d< �b��j� �bV>8[d6<B9d[ �1��r� �t7[><97V^d< �b��e� �g�X[B_V^d<B[ �j��e��Y��
Z��y[BV�=U[2
?V9�<a�76V�\>o97[_�97>o\7o>V�a><U�>Va>[\7=<^�[^;�u=;V2[^?_V�>Va_V\7=<^�U=?>[7=<^9�[_<^?�76V�DOBRE
8><a=_V�Yl^=V8V>2l<^V79�8[_V<>=a7Z��/�"����0�$��"�'�8.- Y
2@Z �.5
̂�H��;<="�
��
�
5:q�7V\7<���
��
�
��.�
bV>8[d6<B9d[ �r� �X]_]8V^d< �b� �X]_]8V^d< �r� �g�t];<>V^d< �z��Y��
HZ��0D�a=^=7V2;=aaV>V^\V
U=?>[7=<^�u=76�8[>[__V_=^?�<a�8><\V99�<a�\<U8o7=^?"�69���,�,�#:��&#"�'�;)���6%<6�2���&�#����
�#��=����&��"�����<������& #��"��/���&���"#��#�,�%00���,�%�0�"��'�<������& #��"��1.;8�Y88�
{@Z��;<="�
��0..C:��
@2@5�.���
@
�@�5�
bV>8[d6<B9d[ �f� �X]_]8V^d< �b� �|V?<><B[ �3� �g�co><B9d[][ �f��Y��
/Z��tV=9U=\�=U[?V�<a�76V
\>o97�<^�76V�PANCAKE�8><a=_V�[\><99�76V�hd>[=^=[^�T[>8[76=[^9�a><U�76V�U=?>[7=<^�UV76<;�
>��&�#�����<��,$�# �"�'�;1; �C5^/C��;<="�
��
�
5:q�q<?���
/��C���5�
b=;[_V �m��`��Y
..�Z��s=^=7V2;=aaV>V^\V�\[_\o_[7=<^�<a�7>[BV_7=UV9�=^�76>VV�;=UV^9=<^9��<��0�$��"�'
88 YHZ �H�
^H�5��67789"::;<=�<>?:
��
.�:
�
@@�/50�
���������� ��
�����
����
��������� ���� ���
������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&) '#
-./00�12304526478 36108249 6: ;03<6/78 :2081 => /71278
741 :242;0�12::0/04;278 30;.615 :6/ 568?249 ;.0 </6=8035
6: 502536869>
��
��#$%$&'()*
�������+',&-).*/0)-1-
�����
j@HRR1EGQRXCGFXUV�QFERVGXI�Fk�ARQBFHUV�kGRVE UVVFlC�HRmFXCAHnmAGXI�A@R�[GXUQUAGmC
Fk�lUKR�BHFmRCCRC�FoCRHKRE�GX�A@R�pUHA@�EnHGXI�CRGCQGm�CAnEGRC�UXE�ERARHQGXR�GX�Cnm@
U�lU\�CBUAGUV�BFCGAGFX�GXAF�GA�Fk�A@R�CAnEGRE�FoqRmAC��rFERVGXI�GC�UVCF�UX�GQBFHAUXA�AFFV
kFH�GXCBRmAGFX�Fk�mFHHRmAXRCC�Fk�QRA@FEC�kFH�CFVKGXI�A@R�GXKRHCR�BHFoVRQ�EnHGXI�A@R�BHF1
mRCC�Fk�GXARHBHRAUAGFX�oFA@�CRGCQFVFIGmUV�UXE�CRGCQGm�RsBVFHUAGFX�EUAU��tRGCQGm�HU\C�l@Gm@
ERARHQGXR�A@R�EGHRmAGFX�Fk�A@R�kVFl�Fk�@GI@1kHRunRXm\�BUHA�Fk�CRGCQGm�lUKR�kGRVE�RXRHI\
UHR�KRH\�GQBFHAUXA�GX�CRGCQFVFI\��jHUm[GXI�A@R�HU\C�UXE�A@RGH�mUVmnVUAGFX�UVVFlC�CFVK1
GXI�EGkkRHRXA�BHFoVRQC�Fk�CRGCQFVFI\�UC�lRVV�UC�m@Rm[GXI�A@R�UmmnHUm\�Fk�HRCnVAC�FoAUG1
XRE�l@GVR�EGkkRHRXA�QRA@FEC�Fk�BHFmRCCGXI�UXE�GXARHBHRAUAGFX�Fk�EUAU�FoCRHKRE�FX�A@R�pUHA@
CnHkUmR�UHR�nCRE��v�KRHCGFX�Fk�kGXGAR1EGkkRHRXAGUV�QFERVGXI�Fk�ARQBFHUV�kGRVE�GX�A@HRR1EG1
QRXCGFXUV�CB@RHGmUV�pUHA@�GC�oUCRE�FX�EGHRmA�XRA�UBBHFsGQUAGFX�Fk�A@R�RG[FXUV�RunUAGFX
UXE�GA�GC�A@GC�UBBHFUm@�AF�HRmFXCAHnmAGFX�Fk�KUVnRC�Fk�CRGCQGm�lUKRC�UHHGKUVC�AF�UX\�BFGXA
Fk�pUHA@�ERBA@C�GC�A@R�QFCA�CAUoGVR�UXE�UC�U�HRCnVA�mUX�InUHUXARR�mFHHRmAXRCC�Fk�CFVKGXI
VFAC�Fk�UBBVGRE�BHFoVRQC�Fk�CRGCQFVFI\��vA�A@R�CUQR�AGQR�mFXAGXnUAGFX�Fk�ARQBFHUV�kGRVE
GC�U�BUHA�Fk�mUVmnVUAGKR�BHFmRCC�Fk�kGXGAR1EGkkRHRXAGUV�QGIHUAGFX�ERCGIXRE�UA�A@R�wXCAGAnAR
Fk�xRFB@\CGmC�XUQRE�UkARH�t��e��tnooFAGX�Fk�Wvt�Fk�y[HUGXR�UXE�GC�nCRE�l@GVR�BHFmRCC1
GXI�CRGCQGm�RsBVFHUAGFX�EUAU��zRKRVFBQRXA�Fk�mFQBnARH�ARm@XFVFIGRC�EnHGXI�HRmRXA�ER1
mUERC�oHFnI@A�A@R�UBBRUHUXmR�Fk�A@RFHGRC �UVIFHGA@QC �UXE�CFkAlUHR1oUCRE�mFQBVRsRC�HR1
UVGJGXI�A@R�CFVKGXI�Fk�A@HRR1EGQRXCGFXUV�IRFB@\CGmUV�GX�BUHAGmnVUH�CRGCQFVFIGmUV�BHFo1
VRQC��j@R�BUBRH�IGKRC�A@RFHRAGmUV�kFnXEUAGFXC �UVIFHGA@QC �UXE�HRCnVAC�Fk�UBBVGmUAGFX�Fk
A@HRR1EGQRXCGFXUV�ARQBFHUV�kGRVEC�QFERVGXI�ERKRVFBRE�kFH�oFA@�HUEGUV�UXE�kGXGAR1EGkkR1
HRXAGUV�QRA@FEC�o\�BHUmAGmUV�RsUQBVRC�
@0> A6/15��CRGCQFVFI\ �A@HRR1EGQRXCGFXUV�QFERVGXI �ARQBFHUV�kGRVE �kGXGAR1EGkkRHRX1
AGUV�mFXAGXnUAGFX �RG[FXUV�RunUAGFX�
B0:0/04C05
fd= �i� �g�W=\6[>;9 �X��Y
./0Z��?�#����#��4������ ���!$��/���&$�#�,� ����,���b<_�����c<9\<u"
c=> �//��8��Y=^�Wo99=[^Z�
bV>8[d6<B9d[][ �f��r��Y��
Z��f\7o[_�8><p_VU9�<a�a=^=7V2;=aaV>V^\V�U=?>[7=<^�<a�76V�<a�>Va>[\72
V;2u[BV�a=V_;��<����3�"���@�$�3��&�#�'�AAY5Z �.5^
�/��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����020
���B
00=5���
�
5C.5�Y=^�Wo99=[^Z�
bV>8[d6<B9d[][ �f��r��Y��
@Z��i=^VU[7=\�U=?>[7=<^�<a�76V�a=V_;�<a�>Va>[\7V;�u[BV9�u6=_V�76V�=U[2
?V�<a�V^B=><^UV^7�=9�pV=^?�a<>UV;�[\\<>;=^?�7<�ltt�;[7[��<����3�"���@�$�3��&�#�'�A7 Y5Z �
H0^
5@��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����020
���B05=5���
@�
�H@�Y=^�Wo99=[^Z�
bV>8[d6<B9d[][ �f��r� �g�X=_=8V^d< �b��j��Y��
/Z��i=^VU[7=\�U=?>[7=<^�a<>�;V7V>U=^[7=<^�<a�BV2
_<\=7]�U<;V_�<a�76V�UV;=oU�u6=_V�9<_B=^?�8>[\7=\[_�8><p_VU9�<a�9V=9U=\�Vw8_<>[7=<^��<����3��
"���@�$�3��&�#�'�). Y5Z �H�^5C��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����020
���B@�=5���
/�
H
��C�Y=^
Wo99=[^Z�
bV>8[d6<B9d[][ �f��r� �X=_=8V^d< �b��j� �g�xo;dVB=\6 �b��x��Y��
HZ��0D�a=^=7V2;=aaV>V^\V�U=?>[7=2
<^�<a�76V�a=V_;�<a�>Va>[\7V;�u[BV9��<����3�"���@�$�3��&�#�'�A( Y0Z �H�^5H��67789"::;<=�<>?:
��
�@��/:?A6����020
���B0C=0���
H�
���Y=^�Wo99=[^Z�
bV>8[d6<B9d[][ �f��r� �X=_=8V^d< �b��j� �g�X=_=8V^d< �̀ ��b��Y��
CZ��s<>U[7=<^�?V<_<?=\[_�;V8769
=U[?V�[\\<>;=^?�7<�>Va>[\7=<^�[^;�>Va_V\7=<^�U[>=^V�9V=9U=\�;[7[��<����3�"���@�$�3��&�#�'
AB Y5Z �
�5^
�
��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6����020
���B0.=5���
C�
50CH�Y=^�Wo99=[^Z�
������ �������+�$ ������
������
,+��
'- ������������� ���� ! " #$ �� %&$ '(&)
k<;o^<B �t��i� �g�W][pV^d=] �b��t��Y
.CCZ��C����&��"���"�� ����c<9\<u"�j[od[�Y=^�Wo99=[^Z�
i>[B79<B �|o��f� �g�r>_<B �|o��e��Y
./�Z��<�� ��&�"��0��"��������� �!������� �,�#��c<9\<u"�j[2
od[�Y=^�Wo99=[^Z�
X=_=8V^d< �b��j� �bV>8[d6<B9d[][ �f��r� �xo;dVB=\6 �b��x� �g�X=_=8V^d< �`��b��Y��
HZ��s<>U[7=<^
<a�76>VV2;=UV^9=<^[_�=U[?V�<a�76V�UV;=oU�p]�76V�9oU�<a�TlX�a<>�76V�97o;=V9�<a�?V<_<?=\[_
97>o\7o>V�<a�U=^V�a=V_;9��<����3�"���@�$�3��&�#�'�A(Y@Z �
�@^
0��67789"::;<=�<>?:
���@��/:?A6�
���020
���B0C=@���
H�
�.�Y=^�Wo99=[^Z�
X=_=8V^d< �̀ ��b� �bV>8[d6<B9d[][ �f��r� �g�iVdod6 �l��f��Y���.Z��e^7V>8>V7[7=<^�<a�0D�9V=9U=\�Vw2
8_<>[7=<^�;[7[�[88_]=^?�a=^=7V2;=aaV>V^\V�d=^VU[7=\�U=?>[7=<^��<����3�"���@�$�3��&�#�'�A; Y
Z
5^�C�Y=^�Wo99=[^Z�
X]_]8V^d< �b��c� �bV>8[d6<B9d[ �r��r� �g�iVdod6 �l��f��Y���CZ��0D�a=^=7V2;=aaV>V^\V�d=^VU[7=\
U=?>[7=<^�=^�76V�=^7V>8>V7[7=<^�<a�9V=9U=\�;[7["�%:��&#"��������������&�#����#���"�������"�#�,
��"���"#��"����&��"��D%00���,�<����!�"#���"���"��/�,#$E�%"���4� �����#�,�5&�:�� �F�Y88�
/C^//Z��i]=B�
t[B[>V^9d] �`��s� �g�i=>^<9 �l��X�� Y
.HHZ��6�� ������������ ���!$�#�,����� � ��&$��c<9\<u"
t7[7V�Xop_=96=^?�z<o9V�<a�3V\6^=\[_�[^;�36V<>V7=\[_�}=7V>[7o>V �H@0�8��Y=^�Wo99=[^Z�
j<_V7 �3��Y`;�Z��Y
..�Z������ �"��� �!��$�G����#00��"#���������!��:#������ ���!$�#�,��90��&#�
��&$�!��0�$��"���c<9\<u"�c=> �@
H�8��Y=^�Wo99=[^Z�
tU=>^<B �b��e��Y
.H0Z��=��&��������!��&� #��� #��"���b<_��@��c<9\<u"�t7[7V�Xop_=96=^?�z<o9V�<a
3V\6^=\[_�[^;�36V<>V7=\[_�}=7V>[7o>V�Y=^�Wo99=[^Z�
T<UV> �W��X��Y
./@Z��W[8=;�9V=9U=\�>[]�7>[\=^?�=^�[�986V>=\[_�9]UUV7>=\�`[>76�B=[�=^7V>8<_[7=<^
<a�>[]9���������������������� ���!�"#����"���$����% �&�"#'�() Y�Z �@C.^@.��
�V>BV^] �b� �c<_<7d<B �e��f��g�X�V^�=d �e��Y
.CCZ��*#$�+����,�������� ���!$��X>[6["�h^=BV>9=7[
i[>_<B[ ��
@�8�
jV_9<^ �k��l� �g�b=;[_V �m��`��Y
..�Z��`[>76no[dV�_<\[7=<^9�p]�02D�a=^=7V2;=aaV>V^\V�7>[BV_�7=UV9�
�������������������� ���!�"#����"���$����% �&�"#'�-. Y�Z �0.H^@
��
X[B_V^d<B[ �j��e� �X=_=8V^d< �b��j� �bV>8[d6<B9d[q[ �f��r� �X[B_V^d<B[ �k��f� �g�s=_<^V^d< �b��X�
Y���.Z��T>o97[_�97>o\7o>V�=^�T6=_V�[^;�rd6<79d�tV[�>V?=<^9��/�"����0�$��"�'�)(1 Y
2@Z ��/^0/�
;<="�
��
�
5:q�7V\7<����/��/��
/�
X=_=8V^d< �b��j� �bV>8[d6<B9d[][ �f��r� �t7[><97V^d< �b��e� �g�X[B_V^d<B[ �j��e��Y��
�Z��s=^=7V2;=a2
aV>V^\V�U=?>[7=<^�<a�76V�a=V_;�<a�>Va>[\7V;�u[BV9�=^�97o;=V9�<a�76V�;VV8�97>o\7o>V�<a�76V�̀ [>76v9
\>o97�[^;�76V�o88V>�U[^7_V�p[9V;�<^�76V�ltt�Y<^�76V�Vw[U8_V�<a�76V�lrxW`�8><a=_VZ��234���
��$#'�5�$��"�������������,�6#&��'�)7 Y
Z �.@0^.H@��;<="�
��
0@:t
�5.0H
0
�
��@��
X]_]8V^d< �b��j� �bV>8[d6<B9d[ �1��r� �t7[><97V^d< �b��e� �g�X[B_V^d<B[ �j��e��Y��
Z��y[BV�=U[2
?V9�<a�76V�\>o97[_�97>o\7o>V�a><U�>Va>[\7=<^�[^;�u=;V2[^?_V�>Va_V\7=<^�U=?>[7=<^9�[_<^?�76V�DOBRE
8><a=_V�Yl^=V8V>2l<^V79�8[_V<>=a7Z��/�"����0�$��"�'�8.- Y
2@Z �.5
̂�H��;<="�
��
�
5:q�7V\7<���
��
�
��.�
bV>8[d6<B9d[ �r� �X]_]8V^d< �b� �X]_]8V^d< �r� �g�t];<>V^d< �z��Y��
HZ��0D�a=^=7V2;=aaV>V^\V
U=?>[7=<^�u=76�8[>[__V_=^?�<a�8><\V99�<a�\<U8o7=^?"�69���,�,�#:��&#"�'�;)���6%<6�2���&�#����
�#��=����&��"�����<������& #��"��/���&���"#��#�,�%00���,�%�0�"��'�<������& #��"��1.;8�Y88�
{@Z��;<="�
��0..C:��
@2@5�.���
@
�@�5�
bV>8[d6<B9d[ �f� �X]_]8V^d< �b� �|V?<><B[ �3� �g�co><B9d[][ �f��Y��
/Z��tV=9U=\�=U[?V�<a�76V
\>o97�<^�76V�PANCAKE�8><a=_V�[\><99�76V�hd>[=^=[^�T[>8[76=[^9�a><U�76V�U=?>[7=<^�UV76<;�
>��&�#�����<��,$�# �"�'�;1; �C5^/C��;<="�
��
�
5:q�q<?���
/��C���5�
b=;[_V �m��`��Y
..�Z��s=^=7V2;=aaV>V^\V�\[_\o_[7=<^�<a�7>[BV_7=UV9�=^�76>VV�;=UV^9=<^9��<��0�$��"�'
88 YHZ �H�
^H�5��67789"::;<=�<>?:
��
.�:
�
@@�/50�
|