Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров
Предмет и цель работы: Рассматривается поведение спектральных характеристик (собственных частот, собственных колебаний, добротностей собственных колебаний) сферической частицы, диэлектрическая и магнитная проницаемости которой одновременно принимают отрицательные значения (a “left-handed” sphere). И...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Радіофізика і радіоастрономія |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167761 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров / Ю.В. Свищёв // Радіофізика і радіоастрономія. — 2019. — Т. 24, № 3. — С. 206-217. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860175279424536576 |
|---|---|
| author | Свищёв, Ю.В. |
| author_facet | Свищёв, Ю.В. |
| citation_txt | Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров / Ю.В. Свищёв // Радіофізика і радіоастрономія. — 2019. — Т. 24, № 3. — С. 206-217. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радіофізика і радіоастрономія |
| description | Предмет и цель работы: Рассматривается поведение спектральных характеристик (собственных частот, собственных колебаний, добротностей собственных колебаний) сферической частицы, диэлектрическая и магнитная проницаемости которой одновременно принимают отрицательные значения (a “left-handed” sphere). Известно, что в окрестности некоторых значений материальных параметров наблюдается трансформация собственных колебаний в такой частице. Целью настоящей работы является изучение закономерностей поведения спектральных характеристик частицы в условиях трансформации собственных колебаний.
Предмет і мета роботи: Розглядається поведінка спектральних характеристик (власних частот, власних коливань, добротностей власних коливань) сферичної частинки, діелектрична і магнітна проникності якої одночасно набувають негативних значень (а “left-handed” sphere). Відомо, що в околиці деяких значень матеріальних параметрів спостерігається трансформація власних коливань у такій частинці. Метою цієї роботи є вивчення закономірностей поведінки спектральних характеристик частинки в умовах трансформації власних коливань.
Purpose: The behavior of spectral characteristics (eigenfrequencies, natural oscillations, Q-factors) of a spherical particle whose permittivity and permeability simultaneously take on negative values (a “left-handed” sphere) is considered. It is known that in the vicinity of some values of the material parameters a transformation of natural oscillations in such a particle is observed. The purpose of this work is to study the patterns of the behavior of spectral characteristics of a particle under the conditions of transformation of natural oscillations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:59:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019206
Радіофізика і радіоастрономія. 2019, Т. 24, № 3, c. 206–217
ÏÎØÈÐÅÍÍß, ÄÈÔÐÀÊÖ²ß
² ÐÎÇѲßÍÍß
ÅËÅÊÒÐÎÌÀÃͲÒÍÈÕ ÕÂÈËÜ
Ю. В. СВИЩЁВ
Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины,
ул. Ак. Проскуры, 12, Харьков, 61085, Украина
E-mail: YuSvishchov@gmail.com
ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ
ÊÎËÅÁÀÍÈÉ Â ÑÔÅÐÈ×ÅÑÊÎÉ ×ÀÑÒÈÖÅ Ñ ÎÒÐÈÖÀÒÅËÜÍÛÌÈ
ÇÍÀ×ÅÍÈßÌÈ ÌÀÒÅÐÈÀËÜÍÛÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ
Предмет и цель работы: Рассматривается поведение спектральных характеристик (собственных частот, собственных
колебаний, добротностей собственных колебаний) сферической частицы, диэлектрическая и магнитная проницаемос-
ти которой одновременно принимают отрицательные значения (a “left-handed” sphere). Известно, что в окрестности
некоторых значений материальных параметров наблюдается трансформация собственных колебаний в такой частице.
Целью настоящей работы является изучение закономерностей поведения спектральных характеристик частицы
в условиях трансформации собственных колебаний.
Методы и методология: Для достижения поставленной цели приведено решение соответствующей спектральной задачи.
Метод решения основан на представлении электромагнитного поля в виде разложения по векторным сферическим
волновым функциям.
Результаты: Проведен расчет зависимостей собственных частот сферической частицы от относительной диэлект-
рической и относительной магнитной проницаемостей, которые могут одновременно принимать отрицательные
значения. Предложен способ классификации собственных колебаний. Он основан на структуре собственных колебаний.
Показано, что при некоторых значениях материальных параметров поведение спектральных характеристик сфери-
ческой частицы соответствует ранее известному и хорошо описанному в научной литературе явлению междутиповой
связи колебаний. В качестве управляющего параметра этого явления может использоваться как относительная диэ-
лектрическая проницаемость, так и относительная магнитная проницаемость частицы. Установлено, что взаимо-
действуют собственные колебания сферической частицы, которые распределены в окрестности поверхности частицы
или вне ее. Как следствие, при изменении материальных параметров частицы наблюдается либо гибридизация, либо
обмен типами колебаний.
Заключение: Результаты проведенных исследований позволили установить новые закономерности поведения спектраль-
ных характеристик сферической частицы с одновременно отрицательными значениями ее диэлектрической и магнит-
ной проницаемостей.
Ключевые слова: метаматериал, сферическая частица, собственная частота, взаимодействие собственных колебаний
DOI: https://doi.org/10.15407/rpra24.03.206
УДК 537.86:519.6
PACS number: 41.20.-q
1. Ââåäåíèå
Электродинамические свойства сферической час-
тицы из метаматериала с отрицательным показа-
телем преломления (a “left-handed” sphere) впер-
вые были рассмотрены в работе [1]. Было пока-
зано, что в такой частице существуют три типа
резонансных мод: моды “шепчущей галереи”,
плазмонные колебания и новые поверхностные
моды, для которых характерно аномальное (т. е.
качественно отличающееся от нормального или
обычного) поведение спектральных кривых. При
этом исследование резонансных свойств части-
цы проводилось на основе анализа резонансов ко-
эффициентов отражения при вещественном зна-
чении волнового числа. Спектральные кривые,
приведенные в работе [1], можно отнести к клас-
су спектральных кривых для электродинами-
ческих структур в условиях междутиповой связи
колебаний [2]. Это обстоятельство послужило по-
буждающим фактором для более глубокого изу-
чения резонансных свойств сферической части-
ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019 207
Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями...
цы на основе анализа ее спектральных характе-
ристик в комплексной области частот.
Исследование сферических частиц с отрица-
тельным показателем преломления облегчается
тем фактом, что все формулы, полученные для
обычных веществ, могут быть применены и к
случаю, когда диэлектрическая и магнитная про-
ницаемости отрицательны. Уравнения для соб-
ственных частот сферических диэлектрических
резонаторов впервые были получены Ми и Де-
баем в 1908–1909 гг. [3, 4]. Численный расчет
комплексных собственных частот для широкого
интервала изменения диэлектрической проницае-
мости был впервые выполнен в [5]. Великолеп-
ный анализ собственных колебаний в изотропном
сферическом диэлектрическом резонаторе был
проведен в [6]. В частности, в работе [6] было
отмечено, что существует взаимное влияние (вза-
имодействие, взаимосвязь) внутренних E-мод и
внешних E-мод диэлектрического шара в случае,
когда почти равны или даже равны действитель-
ные части их собственных частот. Описанное
в [6] явление близко по своей природе к обсуж-
даемому ниже взаимодействию собственных ко-
лебаний в сферической частице с отрицательным
показателем преломления.
Целью настоящей работы является изучение
закономерностей аномального поведения спект-
ральных характеристик сферической частицы с
одновременно отрицательными значениями диэ-
лектрической и магнитной проницаемостей.
2. Çàäà÷à äèôðàêöèè
Пусть в однородной изотропной среде (область
0 )D имеется сферическая частица радиуса a (об-
ласть 1;D см. рис. 1). Область sD ( 0, 1)s ха-
рактеризуется относительной диэлектрической s
и относительной магнитной s проницаемостя-
ми 0( 0, 0 0). Волновое число в области
sD определяется как ,s s sk k где k c –
волновое число в вакууме. Падающее на шар
поле (комплексные амплитуды) обозначим как
( , ).p pE H
Введем сферическую систему коор-
динат ( , , ),r связанную с центром частицы
( , ,re e e
– орты сферической системы коор-
динат). Полное поле будем искать в виде:
0 0
1 1
( , ) ( , ), ;
( , )
( , ), .
p pE H E H r a
E H
E H r a
(1)
Здесь и далее предполагается, что зависимость
полей от времени имеет вид exp( );i t неравен-
ство r a определяет область 0,D а неравенство
r a – область 1.D
Краевая задача дифракции формулируется сле-
дующим образом. Требуется определить вектор-
ные поля 0 0( , )E H
и 1 1( , ),E H
удовлетворяющие
уравнениям Максвелла,
,s s
sE ik H
(2)
,s s
sH ik E
в областях sD ( 0, 1),s граничным условиям,
0 1,p
r r re E e E e E
(3)
0 1,p
r r re H e H e H
на поверхности шара и условию излучения Силь-
вера–Мюллера,
0 0 1
0 0 ( ),re H E o r
(4)
при r равномерно по всем направлениям .re
При определенных условиях гладкости задача
(1)–(4) имеет единственное решение [7].
Рис. 1. Сферическая частица
208 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019
Ю. В. Свищёв
Из уравнений Максвелла (2) (с учетом того,
что 0,sE
0)sH
может быть получено
векторное уравнение Гельмгольца для электри-
ческого поля:
2 0.s s
sE k E
(5)
Магнитное поле определяется при таком под-
ходе из первого уравнения Максвелла:
1
.s s
s
H E
ik
Линейно независимыми решениями уравнения
(5) в сферической системе координат [8] являют-
ся векторные сферические волновые функции
(VSWF) [8, 9]:
( )
( )
2
( )
( , ) ( 1) ( , )
( )
l
l n s
mn s mn
s
k r
N r k n n P
k r
( ) ( )
( , ),
l
n s
mn
s
k r
B
k r
(6)
( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ,
l
l n s
mn s mn
s
k r
M r k C
k r
где (1)
1 2( ) ( ) ( ),
2
n n n
z
z z J z
(3) ( ) ( )n nz z
(1)
1 2( )
2 n
z
H z
– функции Риккати–Бесселя пер-
вого и третьего рода; 1 2 ( ),nJ z (1)
1 2( )nH z – функ-
ции Бесселя и Ханкеля полуцелого индекса. Век-
торные сферические гармоники, входящие в (6),
имеют вид:
( , ) (cos ) ,m im
mn n rP P e e
( , ) ( ) ( ) ,m m im
mn n nB e im e e
( , ) ( ) ( ) ,m m im
mn n nC im e e e
где
d (cos )
( ) ,
d
m
n
mn
P
(cos )
( ) ,
sin
m
n
mn
P
(cos )m
nP – ортонормированные присоединенные
функции Лежандра [10]. Так как ( ) ( , )l
mn sM r k
( ) ( , ),l
s mn sk N r k
( ) ( )( , ) ( , ),l l
mn s s mn sM r k k N r k
поле
( , )s sE H
представим в виде:
( ) ( )
1
( ) ( , ) ( , ) ,
n
s s l s l
mn mn s mn mn s
n m n
E r A N r k B M r k
(7)
( )sH r
( ) ( )
1
( , ) ( , ) .
n
s l s ls
mn mn s mn mn s
n m ns
k
A M r k B N r k
ik
Наряду с VSWF (6), применение находят VSWF
( ) ,e l
mnN
( )o l
mnN
и ( ) ,e l
mnM
( ) :o l
mnM
( )
( )
( )
2
( )
( , ) ( 1)
( )
e l
l
o l n s
mn s
s
k r
N r k n n
k r
( )cos ( )
(cos )
sin
l
m n s
n r
s
m k r
P i
m k r
cos sin
( ) ( ) ,
sin cos
mn mn
m m
i m i
m m
( )
( )
( ) ( )
( , )
e l
l
o l n s
mn s
s
k r
M r k
k r
sin cos
( ) ( ) ,
cos sin
mn mn
m m
m i i
m m
( )
( ) ( )
( )
2
( 1) ,
2
e l
mn l m l
mn mno l
mn
N
N N
iN
( )
( ) ( )
( )
2
( 1) .
2
e l
mn l m l
mn mno l
mn
M
M M
iM
Верхние индексы e и o используются для обо-
значения соответственно четных и нечетных
VSWF. В терминах этих VSWF представления
для полей вида (7) переписываются следующим
образом:
( ) ( ) ( ) ( )
0 ( ,1)
( )s s e l s o l
mn mn mn mn
m n m
E r A N iA N
( ) ( ) ( ) ( )) ,s e l s o l
mn mn mn mnB M iB M
(8)
( ) ( ) ( ) ( )
0 ( ,1)
( )s s e l s o ls
mn mn mn mn
m n ms
k
H r A M iA M
ik
ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019 209
Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями...
( ) ( ) ( ) ( ) ,s e l s o l
mn mn mn mnB N iB N
где ( ) 1
0( 1) [1 ]
def
m
mn mn mn mh h h
и ( ,1)
def
m
max( ,1).m
Будем предполагать, что падающее поле
( , )p pE H
может быть представлено в виде:
(1) (1)
0 0
1
( ) ( , ) ( , ) ,
n
p
mn mn mn mn
n m n
E r N r k M r k
( )pH r
(1) (1)0
0 0
10
( , ) ( , ) .
n
mn mn mn mn
n m n
k
M r k N r k
ik
Полное поле будем искать в виде (1), где
0 0 (3) 0 (3)
0 0
1
( ) ( , ) ( , ) ,
n
mn mn mn mn
n m n
E r C N r k D M r k
0 ( )H r
0 (3) 0 (3)0
0 0
10
( , ) ( , ) ;
n
mn mn mn mn
n m n
k
C M r k D N r k
ik
1 1 (1) 1 (1)
1 1
1
( ) ( , ) ( , ) ,
n
mn mn mn mn
n m n
E r C N r k D M r k
1( )H r
1 (1) 1 (1)1
1 1
11
( , ) ( , ) .
n
mn mn mn mn
n m n
k
C M r k D N r k
ik
Удовлетворим граничным условиям (3) на по-
верхности шара, воспользовавшись представле-
ниями
( )
( ) ( )
( , ) ( , ),
l
l n s
r mn s mn
s
k r
e N r k B
k r
(9)
( )
( ) ( )
( , ) ( , )
l
l n s
r mn s mn
s
k r
e M r k C
k r
и ортогональностью векторных сферических гар-
моник ( m – символ Кронекера)
2
*
0 0
sin d dmnB C
2
*
0 0
sin d d 0,mnC B
2
*
0 0
sin d d 2 ( 1) ( 1) ,m
mn m nB B n n
(10)
2
*
0 0
sin d d 2 ( 1) ( 1) .m
mn m nC C n n
Умножая условия (3) на * ( , )mnB
и * ( , )mnC
и
учитывая (9), (10), получаем две независимые
системы линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ):
0 10
0 0 1
1
0 10
0 0 1
1
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( );
mn n mn n mn n
mn n mn n mn n
k a C k a C k a
k
k a C k a C k a
k
(11)
0 10
0 0 1
1
0 10
0 0 1
1
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ).
mn n mn n mn n
mn n mn n mn n
k
k a D k a D k a
k
k a D k a D k a
(12)
СЛАУ (11) описывает поля электрического типа
(E-типа или TM-типа), а СЛАУ (12) – поля маг-
нитного типа (H-типа или TE-типа). СЛАУ (11),
(12) имеют следующие решения:
1
0 1 0 1 1 0( , ; , ),mn mn nC i k k k a k a
0 1
0 1 0 1 1 0( , ; , ) ;mn n mnC i k k k a k a C
1
0 1 0 1 1 0( , ; , ),mn mn nD i k k k a k a
0 1
0 1 0 1 1 0( , ; , ) ;mn n mnD i k k k a k a D
где
( , ; , ) ( ) ( ) ( ) ( ),
def
n n n n nx y v w x v w y v w
( , ; , ) ( ) ( ) ( ) ( ).
def
n n n n nx y v w x v w y v w
3. Çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ
Перейдем теперь к изучению собственных коле-
баний сферической частицы, т. е. электромагнит-
ных полей, которые могут иметь место в отсут-
ствии падающего поля. Естественной областью
210 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019
Ю. В. Свищёв
аналитического продолжения по волновому числу
k является комплексная плоскость, исключая зна-
чение 0k (функции Риккати–Бесселя являют-
ся аналитическими функциями в этой области).
Полагая коэффициенты ,mn mn падающего поляля
равными нулю, СЛАУ (11), (12) сведем к одно-
родным СЛАУ следующего вида:
0 10
0 1
1
0 10
0 1
1
( ) ( ),
( ) ( );
mn n mn n
mn n mn n
C k a C k a
k
C k a C k a
k
(13)
0 10
0 1
1
0 10
0 1
1
( ) ( ),
( ) ( ).
mn n mn n
mn n mn n
k
D k a D k a
k
D k a D k a
(14)
СЛАУ (13) описывает собственные колебания
электрического типа (E-моды или TM-моды), а
СЛАУ (14) – собственные колебания магнитного
типа (H-моды или TЕ-моды).
Из условия существования нетривиальных ре-
шений этих СЛАУ получаем уравнения для на-
хождения собственных частот диэлектрического
шара:
0 0
1 0 1 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n
k
k a k a k a k a
k
(15)
(E-моды),
0 0
1 0 1 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n
k
k a k a k a k a
k
(16)
(H-моды).
Полагая известными 1
mnC и 1 ,mnD находим:
0 10 1
1 0
( )
,
( )
n
mn mn
n
k a
C C
k a
0 10 1
1 0
( )
.
( )
n
mn mn
n
k k a
D D
k k a
Отметим, что вид дисперсионных уравнений
(15) и (16) не зависит от выбора ветви 1 1 .
Точнее, левая часть этих уравнений (в силу
свойств функций Риккати–Бесселя) является чет-
ной функцией 1 1 .
4. Êðàòêèé àíàëèç
ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé
Собственные колебания сферической частицы де-
лятся на два семейства: 1) колебания электричес-
кого типа (E-моды или TM-моды); 2) колебания
магнитного типа (H-моды или TE-моды). Отличи-
тельной особенностью колебаний электрического
типа является наличие отличной от нуля радиаль-
ной компоненты электрического поля rE ( 0),rH
а отличительной особенностью колебаний магнит-
ного типа – наличие отличной от нуля радиальной
компоненты магнитного поля rH ( 0).rE Соот-т-
ветственно колебания электрического типа опи-
сываются векторами ( ) ( , )l
mn sN r k
(имеют радиаль-
ную компоненту) и ( ) ( , )l
mn sM r k
(см. (7)), а колеба-
ния магнитного типа – векторами ( ) ( , )l
mn sM r k
и
( ) ( , ).l
mn sN r k
Общее решение представляется в
виде комбинации этих полей. Собственные час-
тоты этих колебаний находятся соответственно из
уравнений (15) и (16). Азимутальный индекс m не
входит в уравнения (15) и (16), т. е. имеет место
вырождение собственных частот по индексу m.
Кратность вырождения равна 2 1n – этот резуль-
тат следует из представления (8). Для E-мод нор-
мированной собственной частоте nq
nqk a a
c
(q –
номер корня уравнения (15)) соответствуют моды
e
mnqE ( 0, ..., ),m n описываемые полями ( )s
mnqE r
( ) ( ) ,s e l
mn mnA N
( ) ( )( ) ,s s e ls
mnq mn mn
s
k
H r A M
ik
и моды o
mnqE
( 1, ..., ),m n описываемые полями ( )s
mnqE r
( ) ( ) ,s o l
mn mniA N
( ) ( )( ) .s s o ls
mnq mn mn
s
k
H r iA M
ik
Для H-мод
нормированной собственной частоте nq
nqk a a
c
(q – номер корня уравнения (16)) соответствуют
моды e
mnqH ( 0, ..., ),m n описываемые полями
( ) ( )( ) ),s s e l
mnq mn mnE r B M
( ) ( )( ) ,s s e ls
mnq mn mn
s
k
H r B N
ik
и
моды o
mnqH ( 1, ..., ),m n описываемые полями
( ) ( )( ) ,s s o l
mnq mn mnE r iB M
( ) ( )( ) .s s o ls
mnq mn mn
s
k
H r iB N
ik
В [5] было показано, что в случае 1 0, 1 0
спектр собственных колебаний сферического ди-
электрического резонатора расщепляется на внут-
ренние (поле распределено внутри частицы) и
внешние (поле распределено в окрестности по-
верхности частицы или вне ее) моды. Он состоит
из двух серий, каждой из которых свойственна
ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019 211
Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями...
различная зависимость от диэлектрической про-
ницаемости шара. Соответственно корни ха-
рактеристических уравнений внутренних и вне-
шних мод целесообразно нумеровать отдельно.
Во избежание путаницы для внутренних мод ос-
тавляют запись mnqTM или ,mnqTE а для внешних
мод добавляют штрих при индексе q: mnqTM или
.mnqTE Здесь не ставится задача изучения всегоо
спектра собственных колебаний, который имеет
место в случае 1 0, 1 0. В контексте на-
стоящей работы рассматриваются только коле-
бания электрического типа, которые по своей
структуре являются внешними модами, и поэто-
му для них оставляем обозначение .mnqTM Эти
колебания тесно связаны с колебаниями mnqTM
1( 0, 1 0), но этот вопрос здесь не обсуж-
дается. Для аксиально-симметричных колебаний
0nqTM индекс n обозначает число пучностей H
вдоль координаты сферической системы коор-
динат, а индекс q – номер корня уравнения (15).
Для внутренних колебаний 0nqTM индекс q обо-
значает число пучностей H
вдоль координаты
r сферической системы координат. В отличие от
работ [5, 6], в настоящей работе колебания клас-
сифицируются не по возрастанию реальной час-
ти собственной частоты (такая классификация
приемлема, когда зависимости реальных частей
собственных частот не пересекаются) – колеба-
ния классифицируются по структуре электромаг-
нитного поля. Основанием для такой классифи-
кации является описанное далее взаимодействие
собственных колебаний.
5. Âçàèìîäåéñòâèå
ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé
Остановимся сначала на случае, когда 1 0,
1 0. В работе [6] было отмечено, что поведе-
ние некоторых собственных частот как функций
диэлектрической проницаемости отличается от по-
ведения остальных. В частности, отмечалось, что
имеют место точки квазивырождения собствен-
ных частот, когда реальные части собственных
частот пересекаются, а мнимые части – нет. Мы
провели изучение свойств диэлектрического шара
в окрестности точек квазивырождения собствен-
ных частот. В нашем подходе спектральные ха-
рактеристики (собственные частоты, добротнос-
ти колебаний, структура колебаний) диэлектричес-
кого шара рассматриваются как функции двух
переменных: 1 и 1. Графически соответствую-
щие зависимости собственных частот имеют вид
поверхностей, которые будем называть спект-
ральными поверхностями (по аналогии со спект-
ральными кривыми, которые отображают зависи-
мости собственных частот от одного параметра).
Оказалось, что при некоторых значениях 1
реальные части Re( )ka собственных частот пе-
ресекаются, а при других значениях они обра-
зуют график Вина. Анализ структуры полей по-
казал, что имеет место либо гибридизация коле-
баний (Re( )ka пересекаются), либо происходит
обмен типами колебаний. Был сделан вывод, что
при некоторых значениях 1 и 1 в диэлектричес-с-
ком шаре наблюдается явление междутиповой
связи колебаний [2]. Характерно, что взаимодей-
ствуют внутреннее и внешнее колебания.
Перейдем теперь к случаю, когда 1 0, 1 0.
Сначала для TM-мод был проведен расчет соб-
ственных частот в 3-м квадранте (т. е. для от-
рицательных значений 1 и 1). Впоследствии ока-а-
залось, что для полноты картины следует прово-
дить расчет сразу в двух квадрантах: в 3-м и 4-м.
При таком подходе хорошо виден переход коле-
баний металлического шара 1( 0, 1 0) к ко-о-
лебаниям шара, изготовленного из метаматериа-
ла 1( 0, 1 0). Для определенности деталь-
но рассмотрим колебания 0nqTM ( 1n и 3).n
Напомним, что индекс q подчеркивает, что эти
колебания относятся к классу внешних колеба-
ний (эти колебания сосредоточены как на поверх-
ности шара, так и вне шара).
На рис. 2, 3 и 4 показаны зависимости реаль-
ных частей (нормированных) собственных час-
тот Re( )ka и логарифмов добротностей lg( )Q
0.5Re( ) Im( )Q ka ka собственных колебаний
011TM (рис. 2) и 031 ,TM 032TM (рис. 3, рис. 4) от
относительной магнитной проницаемости 1 и от-
носительной диэлектрической проницаемости 1
1(Im( ) 0, 1Im( ) 0, 0 0 1).
Случай 1n можно было бы назвать идеаль-
ным (рис. 2). Собственная частота колебания
011TM плавно переходит из 4-го в 3-й квадрант,,
сохраняя свойства плазмонного колебания 4-го
квадранта. В частности, при фиксированном зна-
чении 1 реальная часть Re( )ka собственной
частоты может быть сколь угодно малой в окре-
стности значения 1 2.
212 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019
Ю. В. Свищёв
Зависимость 1 от 0ka несложно найти
из дисперсионного уравнения (15). Используя асим-
птотику функций Риккати–Бесселя при 0,ka
имеем
1 1( , , )ka n
21 1
2 2
( 1) 3 2 (1 )1
( ) .
(4 4 3)
n nn
ka
n n n n
(17)
Это соотношение для заданных 1 и n дает зна-
чение 1, при котором собственная частота ста-
новится равной .ka Дисперсионное уравнение (15)
для собственных колебаний сферической части-
цы может быть записано в формальном виде,
1 1( , , , ) 0.H ka n Вычислив производную по ka
( 0)ka функции 1 1( , , , ),H ka n можно показать,
что производная этой функции равна нулю в точ-
ке (критическая точка)
Рис 2. Графики зависимостей Re( )ka (а), Im( )ka (б) и lg( )Q (в) колебания 011TM от т 1 и 1 и распределение H
(г)
колебания 011TM при 1 5, 1 3
ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019 213
Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями...
1
1 1
1 1
2 31 ( 2)
( , ) ,
2 1 (3 )
n n n
n
n n n
где 1 вычисляется по формуле (17). Заметим, чтоо
в приближении 0ka функция 1 1( , )n не зави-
сит от .ka
Для колебания 011TM имеется критическая
точка 1 1( , ), где 1 1 1(0, ,1) 2 и 1
1 1( ,1) 5, в окрестности которой наблюдаетсся
аномальное поведение спектральных характе-
ристик. Эта окрестность достаточно мала и за-
кономерности, описанные ниже для колебаний
03 ,qTM для колебания 011TM проявляются не такак
явно (в масштабе рис. 2). Однако они имеют место.
В случае 3n внимания заслуживают собствен-
ные частоты, приведенные на рис. 3 и рис. 4.
Рис 3. Графики зависимостей Re( )ka (а) и lg( )Q (б) собственных колебаний 031TM и 032TM от т 1 и 1
Рис 4. Графики зависимостей Re( )ka (а) и lg( )Q (б) собственных колебаний 031TM и 032TM от т 1 и 1 в окрестностисти
критической точки (фрагмент рис. 3)
214 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019
Ю. В. Свищёв
В 4-м квадранте собственная частота, соответ-
ствующая более добротному колебанию (по-
ведение Re( )ka подобно поведению Re( )ka
для колебания 011 ),TM отвечает колебанию
031TM (плазмонное колебание, рис. 5). Для этогоо
колебания при увеличении 1 от –10 до 0 при
фиксированном 1 0 значения Re( ) 0ka и
Im( ) 0ka (как и в случае 1).n Если в 4-м квад-
ранте мы видим плавное изменение собственных
частот, то в 3-м квадранте имеется критическая
точка 1 1, 1.8, 1.35 ,cr cr где 1 1 1(0, ,3)cr
и 1 1 1( ,3),cr cr в окрестности которой наблю-
дается аномальное поведение собственных частот.
Наличие критической точки приводит фактичес-
ки к тем же результатам, что мы видели в случае
1 0, 1 0. В частности, в малой окрестности
точки 1 1, ,cr cr 1 1 ,cr наблюдается обмен
типами колебаний. То есть частота плазмонного
колебания в этой ситуации может находиться на
другой спектральной поверхности.
Рассмотрим поведение спектральных ха-
рактеристик в окрестности критической точки
подробнее. Следует выделить две области: 1)
1 1 0,cr 2) 1 1 .cr Соответственно на рис. 6
приведены зависимости собственных частот от
1 при 1 1.0 и 1 1.5.
В первой области (рис. 6) реальная часть од-
ной из частот (штрихпунктирная кривая с двумя
точками) равна нулю, а ее мнимая часть увели-
чивается по абсолютной величине при переходе
из 4-го в 3-й квадрант. Реальная часть второй
собственной частоты (сплошные кривые) имеет
локальный минимум при переходе из 4-го в 3-й
квадрант (этот минимум уменьшается с умень-
шением 1 от нуля до 1 ,cr одновременно прибли-
жаясь к точке 1
cr в области 1 1 ,cr см. рис. 4),
а мнимая часть имеет локальный минимум
Im( )ka в 3-м квадранте (этот минимум умень-
шается с уменьшением 1 от нуля до 1 ,cr одно-
временно приближаясь к точке 1
cr в области
1 1 ).cr Соответственно добротность этого ко-
лебания имеет локальный максимум в 3-м квад-
ранте (этот максимум увеличивается с умень-
шением 1 от нуля до 1 ,cr одновременно прибли-
жаясь к точке 1
cr в области 1 1 ,cr см. рис. 4).
Во второй области поведение собственных
частот выглядит иначе. Первое, на что стоит
обратить внимание: при уменьшении 1 (при пе-
реходе из первой области во вторую область) в
окрестности точки 1 1,cr cr происходит транс-
формация спектральных характеристик. Соб-
ственная частота из первой области с ненулевой
реальной частью (сплошные кривые) при 1 1
cr
(пунктирные кривые) и изменении 1 от –10 до
10 в окрестности значения 1 1
cr непрерывным
образом переходит в собственную частоту ко-
лебания из первой области с нулевой реальной
Рис. 5. Распределение H
1( 1.5) : а – 031 ,TM 1 3.5, 0.304 1.370 ;ka i б – 032 ,TM 1 6.0, 1.793 1.284ka i
ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019 215
Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями...
частью, но при 1 1
cr эта собственная частота
уже имеет ненулевую реальную часть и заметно
малую мнимую часть (при 1 1
cr и уменьше-
нии 1 в окрестности значения 1 1
cr собствен-
ная частота приобретает ненулевую реальную
часть). Наличие малой мнимой части приводит
к высокой добротности колебания при 1 1
cr
и 1 1
cr (при фиксированном значении
1 1
cr
и с увеличением значения 1 1
cr добротность
колебания растет, см. рис. 4). Одновременно соб-
ственная частота из первой области колебания
032TM с ненулевой реальной частью (сплошные
кривые) при 1 1
cr (штрихпунктирные кривые)
и изменении 1 от 10 до –10 в окрестности зна-
чения 1 1
cr непрерывным образом перехо-
дит сначала в собственную частоту колебания
031 ,TM а затем происходит расщепление этой
собственной частоты на две собственные часто-
ты с нулевой реальной частью, которым отве-
чают колебания 031TM и 032 .TM Добротность ко-о-
лебания 031TM растет при 1 1 1 1( , ) ( , ).cr cr
Рис 6. Графики зависимостей Re( )ka (верхняя панель)
и Im( )ka (нижняя панель) колебаний 031TM (1), 032TM (2)
от 1 1( 1.0 – сплошные и штрихпунктирная кривая
с двумя точками; 1 1.5 – пунктирные и штрихпунктир-
ные кривые). Символами 01 и 02 обозначены колебания
031TM и 032TM с Re( ) 0ka
Таким образом, при 1 1
cr поведение спектраль-
ных характеристик отвечает хорошо известному
явлению междутиповой связи колебаний (см., на-
пример, [2]). При фиксированном значении 1 и
изменении 1 от –10 до 10 реальные и мнимые
части собственных частот пересекаются (пунк-
тирные и штрихпунктирные кривые) и происходит
обмен типами колебаний 031TM и 032TM (рис. 6).
Это, в частности, приводит к тому, что частота
плазмонного колебания переходит с одной спек-
тральной кривой на другую: пунктирные кривые
(рис. 6) в 4-м квадранте отвечают плазмонному
колебанию 031TM металлического шара, но при
переходе в 3-й квадрант эти кривые, начиная
с некоторого значения 1, уже соответствуют ко-
лебанию 032 ,TM а частоте плазмонного колеба-
ния отвечают штрихпунктирные кривые.
Описанное поведение собственных частот,
добротностей собственных колебаний, структу-
ры собственных колебаний при изменении значе-
ний материальных параметров достаточно хоро-
шо известно в литературе (см., например, [2])
и определяется как явление междутиповой связи
колебаний. Таким образом, аномальное поведе-
ние спектральных характеристик сферической
частицы является следствием междутиповой
связи колебаний, которая имеет место в сфери-
ческой частице с отрицательным показателем
преломления. Приведенные закономерности по-
ведения спектральных характеристик сферичес-
кой частицы в окрестности критических точек
никоим образом не противоречат результатам
работы [1]. А наоборот, обобщают и уточняют
отдельные выводы этой работы.
6. Âûâîäû
Приведены решения задачи дифракции и спект-
ральной задачи для сферической частицы. Реше-
ния основаны на представлении электромагнит-
ного поля в виде разложения по векторным сфе-
рическим волновым функциям.
Проведен расчет зависимостей первых соб-
ственных частот сферической частицы от отно-
сительной диэлектрической и относительной маг-
нитной проницаемостей, которые одновременно
могут принимать отрицательные значения. Пред-
ложен способ классификации собственных коле-
баний. Он основан на структуре собственных
колебаний.
216 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019
Ю. В. Свищёв
Показано, что аномальное поведение спектраль-
ных характеристик сферической частицы соот-
ветствует известному ранее и хорошо описанному
в научной литературе явлению междутиповой свя-
зи колебаний. В качестве управляющего пара-
метра этого явления может использоваться как
относительная диэлектрическая проницаемость,
так и относительная магнитная проницаемость
частицы. Установлено, что в окрестности кри-
тических точек взаимодействуют внешние ко-
лебания сферической частицы. Как следствие, в
некоторой окрестности критических точек соб-
ственные частоты плазмонных колебаний могут
находиться на разных спектральных поверхностях
(наблюдается обмен типами колебаний).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
01. Klimov V. V. Spontaneous emission of an excited atom
placed near a “left-handed” sphere. Optics Communi-
cations. 2002. Vol. 211, Iss. 1-6. P. 183–196. DOI: 10.1016/
S0030-4018(02)01802-3
02. Мележик П. Н., Поединчук А. Е., Тучкин Ю. А., Шес-
топалов В. П. Об аналитической природе явления меж-
дутиповой связи собственных колебаний. Доклады АН
CCCP. 1988. Т. 300, № 6. С. 1356–1359.
03. Mie G. Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloi-
daler Metallösungen. Annalen der Physik. 1908. Vol. 330,
Is. 3. P. 377–445. DOI: 10.1002/andp.19083300302
04. Debye P. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Ma-
terial. Annalen der Physik. 1909. Vol. 335, Is. 11, pp. 57–136.
DOI: 10.1002/andp.19093351103
05. Gastine M., Courtois L., and Dorman J. L. Electromag-
netic resonances of free dielectric spheres. IEEE Trans.
Microw. Theory Tech. 1967. Vol. 15, Is. 12. P. 694–700.
DOI: 10.1109/TMTT.1967.1126568
06. Wolff I. Electromagnetic Fields in Spherical Microwave Re-
sonators H-Modes and E-Modes in Lossless Open Dielec-
tric Spheres. Version 05.2018. Research Gate. 2018. URL:
https://www.researchgate.net/publication/325335243 (дата
обращения: 05.06.2019).
07. Müller C. Foundations of the Mathematical Theory of Elec-
tromagnetic Waves. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag,
1969. 356 p. DOI: 10.1007/978-3-662-11773-6
08. Stratton J. Electromagnetic Theory. New York, London:
McGraw-Hill Book Company, Inc., 1941. 615 p.
09. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики.
Том 2. Москва: Иностранная литература, 1960. 896 с.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для науч-
ных работников и инженеров. Москва: Наука, 1973.
832 c.
REFERENCES
01. KLIMOV, V. V., 2002. Spontaneous emission of an excited
atom placed near a “left-handed” sphere. Optics Commu-
nications. vol. 211, is. 1-6, pp. 183–196. DOI: 10.1016/
S0030-4018(02)01802-3
02. MELEZHIK, P. N., POEDINCHUK, A. E., TUCH-
KIN, YU. A. and SHESTOPALOV, V. P., 1988. On the
Analytical Nature of the Phenomenon of Intertype Rela-
tionship of Natural Oscillations. Dok. Akad. Nauk SSSR.
vol. 300, no. 6, pp. 1356–1359. (in Russian).
03. MIE, G., 1908. Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell
kolloidaler Metallösungen. Annalen der Physik. vol. 330,
is. 3, pp. 377–445. DOI: 10.1002/andp.19083300302
04. DEBYE, P., 1909. Der Lichtdruck auf Kugeln von be-
liebigem Material. Annalen der Physik. vol. 335, Is. 11,
pp. 57–136. DOI: 10.1002/andp.19093351103
05. GASTINE, M., COURTOIS, L. and DORMAN, J. L.,
1967. Electromagnetic resonances of free dielectric spheres.
IEEE Trans. Microw. Theory Tech. vol. 15, is. 12,
pp. 694–700. DOI: 10.1109/TMTT.1967.1126568
06. WOLFF, I., 2018. Electromagnetic Fields in Spherical Mi-
crowave Resonators H-Modes and E-Modes in Lossless
Open Dielectric Spheres, Version 05.2018. [online preprint].
Research Gate, May 2018. [viewed 5 June 2019]. Avai-
lable from: https://www.researchgate.net/publication/
325335243
07. MÜLLER, C., 1969. Foundations of the Mathematical
Theory of Electromagnetic Waves. Berlin, Heidelberg:
Springer-Verlag. DOI: 10.1007/978-3-662-11773-6
08. STRATTON, J., 1941. Electromagnetic Theory. New York,
London: McGraw-Hill Book Company, Inc.
09. MORSE, P. M. and FESHBACH, H., 1960. Methods of
Theoretical Physics. Vol. 2. Moscow, Russia: Inostrannaya
Literatura Publ. (in Russian).
10. KORN, G. A. and KORN, T. M., 2000. Mathematical
Handbook for Scientists and Engineers. 2th ed. New York:
Dover Publ.
Yu. V. Svishchov
O. Ya. Usikov Institute for Radiophysics and Electronics,
National Academy of Sciences of Ukraine,
12, Acad. Proskura St., Kharkiv, 61085, Ukraine
INTERACTION OF EIGENMODES IN A SPHERICAL
PARTICLE WITH NEGATIVE VALUES OF ITS
MATERIAL PARAMETERS
Purpose: The behavior of spectral characteristics (eigenfrequen-
cies, natural oscillations, Q-factors) of a spherical particle whose
permittivity and permeability simultaneously take on negative
values (a “left-handed” sphere) is considered. It is known that
in the vicinity of some values of the material parameters a trans-
formation of natural oscillations in such a particle is observed.
The purpose of this work is to study the patterns of the beha-
vior of spectral characteristics of a particle under the conditions
of transformation of natural oscillations.
Design/Methodology/Approach: To achieve this goal, the solu-
tion of the corresponding spectral problem is given. The solu-
tion method is based on the electromagnetic field representation
in the form of expansion in vector spherical wave functions.
Findings: The dependences of the eigenfrequencies of a spheri-
cal particle on the permittivity and permeability, which can si-
multaneously take on negative values, are calculated. A method
for classification of natural oscillations is proposed. It is based
on the structure of natural oscillations. It is shown that the
ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 24, № 3, 2019 217
Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями...
anomalous behavior of the spectral characteristics of a spherical
particle corresponds to the previously known and well-described
phenomenon of inter-type coupling of oscillations in the scien-
tific literature. For the control parameter of this phenomenon,
both the relative permittivity and the relative permeability
of the particle can be used. It is established that the natural
oscillations of a spherical particle being distributed in the vici-
nity of the particle surface or outside it interact. As a result,
when changing the material parameters of a particle, either hy-
bridization or exchange of oscillation types is observed.
Conclusions: The results of the research allowed us to establish
new laws of the anomalous behavior of the spectral characteris-
tics of a spherical particle with simultaneously negative values
of its permittivity and permeability.
Key words: metamaterial, spherical particle, eigenfrequency, in-
teraction of eigenmodes
Ю. В. Свіщов
Інститут радіофізики та електроніки
ім. О. Я. Усикова НАН України,
вул. Ак. Проскури, 12, м. Харків, 61085, Україна
ВЗАЄМОДІЯ ВЛАСНИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ
КОЛИВАНЬ У СФЕРИЧНІЙ ЧАСТИНЦІ
З НЕГАТИВНИМИ ЗНАЧЕННЯМИ
МАТЕРІАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ
Предмет і мета роботи: Розглядається поведінка спект-
ральних характеристик (власних частот, власних коливань,
добротностей власних коливань) сферичної частинки, діелек-
трична і магнітна проникності якої одночасно набувають
негативних значень (а “left-handed” sphere). Відомо, що
в околиці деяких значень матеріальних параметрів спостері-
гається трансформація власних коливань у такій частинці.
Метою цієї роботи є вивчення закономірностей поведінки
спектральних характеристик частинки в умовах трансфор-
мації власних коливань.
Методи і методологія: Для досягнення поставленої мети
наведено розв’язок відповідної спектральної задачі. Метод
розв’язку грунтується на представленні електромагнітного
поля у вигляді розкладання за векторними сферичними хви-
льовими функціями.
Результати: Виконано розрахунок залежностей власних
частот сферичної частинки щодо відносної діелектричної
і відносної магнітної проникностей, які одночасно можуть
набувати негативних значень. Запропоновано спосіб класи-
фікації власних коливань. Він грунтується на структурі влас-
них коливань. Показано, що за деяких значень матеріальних
параметрів поведінка спектральних характеристик сферич-
ної частинки відповідає раніше відомому і добре описаному
в науковій літературі явищу міжтипового зв’язку коливань.
Як управляючий параметр цього явища може використову-
ватися як відносна діелектрична проникність, так і відносна
магнітна проникність частинки. Встановлено, що взаємо-
діють власні коливання сферичної частинки, що розподілені
в околиці поверхні частинки або поза нею. Як наслідок,
зі зміною матеріальних параметрів частинки спостерігається
або гібридизація, або обмін типами коливань.
Висновок: Результати виконаних досліджень дозволили вста-
новити нові закономірності аномальної поведінки спектраль-
них характеристик сферичної частинки з одночасно негатив-
ними значеннями її діелектричної і магнітної проникностей.
Ключові слова: метаматеріал, сферична частинка, власна час-
тота, взаємодія власних коливань
Статья поступила в редакцию 30.05.2019
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-167761 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:59:58Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Свищёв, Ю.В. 2020-04-08T15:08:09Z 2020-04-08T15:08:09Z 2019 Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров / Ю.В. Свищёв // Радіофізика і радіоастрономія. — 2019. — Т. 24, № 3. — С. 206-217. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-9636 PACS number: 41.20.-q DOI: https://doi.org/10.15407/rpra24.03.206 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167761 537.86:519.6 Предмет и цель работы: Рассматривается поведение спектральных характеристик (собственных частот, собственных колебаний, добротностей собственных колебаний) сферической частицы, диэлектрическая и магнитная проницаемости которой одновременно принимают отрицательные значения (a “left-handed” sphere). Известно, что в окрестности некоторых значений материальных параметров наблюдается трансформация собственных колебаний в такой частице. Целью настоящей работы является изучение закономерностей поведения спектральных характеристик частицы в условиях трансформации собственных колебаний. Предмет і мета роботи: Розглядається поведінка спектральних характеристик (власних частот, власних коливань, добротностей власних коливань) сферичної частинки, діелектрична і магнітна проникності якої одночасно набувають негативних значень (а “left-handed” sphere). Відомо, що в околиці деяких значень матеріальних параметрів спостерігається трансформація власних коливань у такій частинці. Метою цієї роботи є вивчення закономірностей поведінки спектральних характеристик частинки в умовах трансформації власних коливань. Purpose: The behavior of spectral characteristics (eigenfrequencies, natural oscillations, Q-factors) of a spherical particle whose permittivity and permeability simultaneously take on negative values (a “left-handed” sphere) is considered. It is known that in the vicinity of some values of the material parameters a transformation of natural oscillations in such a particle is observed. The purpose of this work is to study the patterns of the behavior of spectral characteristics of a particle under the conditions of transformation of natural oscillations. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радіофізика і радіоастрономія Поширення, дифракція і розсіяння електромагнітних хвиль Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров Взаємодія власних електромагнітних коливань у сферичній частинці з негативними значеннями матеріальних параметрів Interaction of Eigenmodes in a Spherical Particle with Negative Values of its Material Parameters Article published earlier |
| spellingShingle | Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров Свищёв, Ю.В. Поширення, дифракція і розсіяння електромагнітних хвиль |
| title | Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров |
| title_alt | Взаємодія власних електромагнітних коливань у сферичній частинці з негативними значеннями матеріальних параметрів Interaction of Eigenmodes in a Spherical Particle with Negative Values of its Material Parameters |
| title_full | Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров |
| title_fullStr | Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров |
| title_full_unstemmed | Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров |
| title_short | Взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров |
| title_sort | взаимодействие собственных электромагнитных колебаний в сферической частице с отрицательными значениями материальных параметров |
| topic | Поширення, дифракція і розсіяння електромагнітних хвиль |
| topic_facet | Поширення, дифракція і розсіяння електромагнітних хвиль |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167761 |
| work_keys_str_mv | AT sviŝevûv vzaimodeistviesobstvennyhélektromagnitnyhkolebaniivsferičeskoičasticesotricatelʹnymiznačeniâmimaterialʹnyhparametrov AT sviŝevûv vzaêmodíâvlasnihelektromagnítnihkolivanʹusferičníičastincíznegativnimiznačennâmimateríalʹnihparametrív AT sviŝevûv interactionofeigenmodesinasphericalparticlewithnegativevaluesofitsmaterialparameters |