Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы

Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы

Предмет и цель работы: В настоящее время наблюдается тенденция к “фрактализации” науки. Не является исключением и радиофизика. Предметом работы является обзор основных идей “фрактализации”, математических основ современных фрактальных методов описания и исследования окружающего мира. Цель работы – и...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2020
Hauptverfasser: Лазоренко, О.В., Чорногор, Л.Ф.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Радіоастрономічний інститут НАН України 2020
Schriftenreihe:Радіофізика і радіоастрономія
Schlagworte:
Статистична радіофізика
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167777
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы / О.В. Лазоренко, Л.Ф. Чорногор // Радіофізика і радіоастрономія. — 2020. — Т. 25, № 1. — С. 3-77. — Бібліогр.: 306 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-167777
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1677772025-02-23T18:24:21Z Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Фрактальна радіофізика. 1. Теоретичні основи Fractal radiophysics. 1. Theoretical bases Лазоренко, О.В. Чорногор, Л.Ф. Статистична радіофізика Предмет и цель работы: В настоящее время наблюдается тенденция к “фрактализации” науки. Не является исключением и радиофизика. Предметом работы является обзор основных идей “фрактализации”, математических основ современных фрактальных методов описания и исследования окружающего мира. Цель работы – изложение основных понятий, определений и соотношений современной теории фракталов, а также классификация и анализ существующих числовых характеристик фракталов. Предмет і мета роботи: Нині спостерігається тенденція до “фракталізації” науки. Не є виключенням і радіофізика. Предметом роботи є огляд основних ідей “фракталізації”, математичних основ сучасних фрактальних методів опису та дослідження навколишнього світу. Мета роботи – викладення основних понять, визначень і співвідношень сучасної теорії фракталів, а також класифікація й аналіз існуючих числових характеристик фракталів. Purpose: Currently, there is a tendency to “fractalize” the science. Radiophysics is no exception. The subject of this work is a review of the basic ideas of “fractalization”, the mathematical foundations of modern fractal methods for describing and exploring the world. The purpose of the work is to present the basic concepts, definitions and relationships of the modern theory of fractals, as well as the classification and analysis of existing numerical characteristics of fractals. 2020 Article Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы / О.В. Лазоренко, Л.Ф. Чорногор // Радіофізика і радіоастрономія. — 2020. — Т. 25, № 1. — С. 3-77. — Бібліогр.: 306 назв. — рос. 1027-9636 PACS numbers: 05.45.Df ,05.45.Tp DOI: https://doi.org/10.15407/rpra25.01.003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167777 621.372(075.8) ru Радіофізика і радіоастрономія application/pdf Радіоастрономічний інститут НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статистична радіофізика
Статистична радіофізика
spellingShingle Статистична радіофізика
Статистична радіофізика
Лазоренко, О.В.
Чорногор, Л.Ф.
Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы
Радіофізика і радіоастрономія
description Предмет и цель работы: В настоящее время наблюдается тенденция к “фрактализации” науки. Не является исключением и радиофизика. Предметом работы является обзор основных идей “фрактализации”, математических основ современных фрактальных методов описания и исследования окружающего мира. Цель работы – изложение основных понятий, определений и соотношений современной теории фракталов, а также классификация и анализ существующих числовых характеристик фракталов.
format Article
author Лазоренко, О.В.
Чорногор, Л.Ф.
author_facet Лазоренко, О.В.
Чорногор, Л.Ф.
author_sort Лазоренко, О.В.
title Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы
title_short Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы
title_full Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы
title_fullStr Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы
title_full_unstemmed Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы
title_sort фрактальная радиофизика. 1. теоретические основы
publisher Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate 2020
topic_facet Статистична радіофізика
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167777
citation_txt Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы / О.В. Лазоренко, Л.Ф. Чорногор // Радіофізика і радіоастрономія. — 2020. — Т. 25, № 1. — С. 3-77. — Бібліогр.: 306 назв. — рос.
series Радіофізика і радіоастрономія
work_keys_str_mv AT lazorenkoov fraktalʹnaâradiofizika1teoretičeskieosnovy
AT čornogorlf fraktalʹnaâradiofizika1teoretičeskieosnovy
AT lazorenkoov fraktalʹnaradíofízika1teoretičníosnovi
AT čornogorlf fraktalʹnaradíofízika1teoretičníosnovi
AT lazorenkoov fractalradiophysics1theoreticalbases
AT čornogorlf fractalradiophysics1theoreticalbases
first_indexed 2025-11-24T09:22:20Z
last_indexed 2025-11-24T09:22:20Z
_version_ 1849663045368807424
fulltext ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 3 Радіофізика і радіоастрономія. 2020, Т. 25, № 1, c. 3–77 ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÍÀ ÐÀIJÎÔ²ÇÈÊÀ О. В. ЛАЗОРЕНКО, Л. Ф. ЧЕРНОГОР Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61022, Украина E-mail: Oleg.V.Lazorenko@karazin.ua; Leonid.F.Chernogor@univer.kharkov.ua ÔÐÀÊÒÀËÜÍÀß ÐÀÄÈÎÔÈÇÈÊÀ. 1. ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÑÍÎÂÛ Предмет и цель работы: В настоящее время наблюдается тенденция к “фрактализации” науки. Не является исключе- нием и радиофизика. Предметом представленной работы является обзор основных идей “фрактализации”, матема- тических основ современных фрактальных методов описания и исследования окружающего мира. Цель работы – изложение основных понятий, определений и соотношений современной теории фракталов, а также классификация и анализ существующих числовых характеристик фракталов. Методы и методология: Рассмотрены методы построения геометрических монофракталов и мультифракталов. Дается сравнительная характеристика методов оценки размерности физических фракталов. Приводятся примеры физических фракталов. Результаты: В развитии “фрактализации” науки выделено 4 этапа: эпоха “монстров”, подготовительный этап, этап становления и развития, современный этап. Для корректного описания фракталов используется размерность Хаус- дорфа–Безиковича, которая может принимать и нецелочисленные значения. Рассмотрены следующие классификации фракталов: математические и физические, геометрические и алгебраические, моно- и мультифракталы, регулярные и стохастические, однородные и неоднородные. Продемонстрировано, что фрактальная размерность объектов может быть как дробной, так и целочисленной, важно, чтобы фрактальная размерность была больше их тополо- гической размерности. Из равенства фрактальных размерностей двух объектов не следует подобия их структуры. При описании толстых фракталов как регулярных монофракталов вместо размерности Хаусдорфа–Безиковича при- меняются показатели скейлинга. Заключение: Изложены математические основы теории фракталов, используемой в современной теоретической ра- диофизике. Ключевые слова: фрактал, фрактальная размерность, классификация фракталов, монофрактал, мультифрактал, мультифрактальный формализм, виды размерности, скейлинг DOI: https://doi.org/10.15407/rpra25.01.003 УДК 621.372(075.8) PACS numbers: 05.45.Df, 05.45.Tp Ñîäåðæàíèå Введение 1. Основные понятия и определения 1.1. Краткая историческая справка 1.2. Этапы становления фрактального подхода 1.3. Определение фрактала 1.4. Евклидова, топологическая и хаусдорфова размерности 1.4.1. Размерность Евклида 1.4.2. Топологическая размерность 1.4.3. Размерность Хаусдорфа–Безиковича 1.5. Математические и физические фракталы 2. Монофракталы 2.1. Фрактальная размерность математичес- кого фрактала 2.1.1. Алгоритм определения фрактальной размерности 2.1.2. Фрактальная размерность нефрак- тальных множеств 2.1.3. Фрактальная размерность классичес- ких монофракталов 2.2. Методы построения геометрических мо- нофракталов 2.2.1. Метод генератора 2.2.2. Метод систем итерируемых функций 2.2.3. Метод случайных итераций, или игра в хаос 2.2.4. Метод игры в хаос с поворотами 2.2.5. Метод сжимающих аффинных преоб- разований 2.2.6. Метод нелинейных комплексных ото- бражений 2.2.7. Методы построения стохастических фракталов 4 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 2.3. Толстые фракталы 2.4.  Фрактальная  размерность  физического фрактала 2.4.1. Кластерная размерность 2.4.2. Емкостная размерность 2.4.3. Поточечная размерность 2.4.4. Корреляционная размерность 2.4.5. Информационная размерность 2.4.6. Обобщенные размерности Реньи 2.4.7.  Гомотетическая  размерность 2.4.8. Глобальная размерность 2.4.9. Внутренняя размерность 2.4.10. Массовая размерность 2.4.11. Размерность, основанная на показа- теле Липшица–Гельдера 2.4.12. Размерность, основанная на показа- теле  Херста 2.4.13. Размерность Фурье 2.4.14. Размерность вложения 2.4.15.  Площадно-периметровые  размер- ности 2.4.16. Размерность вложения 2.4.17. Другие размерности 2.4.18. Коразмерность 2.5. Примеры физических фракталов 2.5.1. Береговая линия 2.5.2. Траектория броуновской частицы 2.5.3.  Другие  примеры  физических  фрак- талов 3. Мультифракталы 3.1. Определение мультифрактала 3.2.  Примеры  математических  мультифрак- талов 3.2.1. Неоднородное канторово множество 3.2.2. Неоднородная салфетка Серпинского 3.2.3. Мультифрактал, построенный по ре- нормализационной схеме 3.2.4. Стохастические математические муль- тифракталы 3.3. Традиционный мультифрактальный форма- лизм  (Р-модель) 3.3.1. Основные понятия 3.3.2. Обобщенная  статистическая  сумма 3.3.3. Спектр обобщенных фрактальных раз- мерностей. Скейлинговая экспонента 3.3.4. Информационная размерность 3.3.5. Корреляционная размерность 3.3.6. Функция мультифрактального спектра. Показатель сингулярности 3.3.7. Связь функции мультифрактального спектра со скейлинговой экспонентой 3.3.8. Преобразование Лежандра 3.3.9. Свойства функции мультифрактально- го спектра 3.4.  Мультифрактальный  формализм  Чабры и Дженсена 3.5. Информационная интерпретация мульти- фрактального формализма 3.6. L-модель мультифрактального формализма 3.7. Подход Мандельброта 3.8. Мультифрактальный анализ математичес- ких мультифракталов 3.8.1. Неоднородное канторово множество (Р-модель) 3.8.2. Неоднородное канторово множество (L-модель) 3.9.  Мультифрактальный  анализ  физических мультифракталов Выводы Список литературы Ââåäåíèå Начало нового ХХI столетия ознаменовалось про- никновением революционных идей “фрактализа- ции” в современную радиофизику. Полезным и перспективным оказалось исполь- зование  фрактальных  временных  и  простран- ственно-временных сигналов, имеющих ряд уни- кальнейших свойств и преимуществ, в задачах радиолокации, радионавигации, телекоммуника- ции и дистанционного зондирования различных сред и объектов. Это, в свою очередь, привело к необходимости решать задачи генерации, из- лучения, распространения, приема и обработки фрактальных сигналов, а также создавать соот- ветствующие  технические  средства.  “Фракта- лизация” коснулась и традиционных для радио- физики сред распространения электромагнитных волн:  создание  в  них  фрактальной  структуры существенно изменило их свойства, что, в свою очередь,  породило  соответствующий  новый класс  задач. Между  тем  источником  “фрактализации”  яв- ляется  не  только  деятельность  человека.  Мно- гие традиционные объекты исследования радио- физики  сами  по  себе  обладают  фрактальными ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 5 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы свойствами. Так, например, фрактальную струк- туру может иметь пучок лазерного излучения при распространении  в  неоднородной  среде.  Более того, оказалось, что и многие природные процес- сы  в  радиофизике  также  носят  принципиально фрактальный  характер.  Так,  радиофизические исследования геокосмоса позволили обнаружить фрактальные  свойства  у  многих  процессов,  со- провождающих явление генерации крупномасш- табных и глобальных возмущений, возникающих под действием мощных, нестационарных источ- ников  энерговыделения,  как  например:  в  воз- мущениях  в  геокосмосе,  вызванных  падением Челябинского метеороида, в вариациях электро- магнитного поля Земли, сопровождающих мощ- ные  геокосмические бури, и даже в  таком уни- кальном процессе, как впервые зарегистрирован- ные в 2015 г. гравитационные волны. Появление новых идей в естествознании в це- лом и в радиофизике в частности обычно встре- чается научным сообществом с изрядной долей здорового скептицизма. Особенно активно ока- зывается  сопротивление  в  ситуации,  когда  ста- вятся под сомнение какие-либо основы матема- тического  фундамента,  на  котором  построено подавляющее большинство всех существующих классических и современных теорий. В представ- ленной работе авторы попытаются предоставить читателю  достаточное  количество  разумных оснований, доказательств и доводов поясняющих возможность, а главное, необходимость исполь- зовать на практике геометрические представле- ния, отличные от классических. Хотя для боль- шинства исследователей последние давно стали чем-то само собой разумеющимся, о чем просто не  принято  задумываться. Необходимость  сделанной  авторами  попыт- ки  подтверждается  цитатой  из  статьи  Р.  Пинна в журнале “Нейче” (Nature), опубликованной еще в 1996 г. и посвященной распространению фрак- тальной концепции среди специалистов в самых разных отраслях знания: “Если это мнение будет и дальше распространяться, то нам не придется долго ждать того времени, когда фракталы ста- нут обязательной частью университетской про- граммы”  [1]. По  традиции,  восходящей  еще  ко  временам Евклида, основой интуитивного понимания гео- метрии природы всегда служили евклидовы пря- мые, окружности, сферы, тетраэдры и т. п. С их помощью удавалось строить непротиворечивые и эффективные модели окружающих нас реаль- ных  явлений,  процессов  и  объектов.  Однако модель всегда отражает лишь наиболее важные (по мнению ее создателя) свойства реального яв- ления,  процесса  или  объекта.  Следовательно, “за  кадром”  остается  большое  количество  “не- важных” свойств, которых в модели просто нет. Аппарат евклидовой геометрии много столе- тий  являлся  (а  по  мнению  многих  уважаемых специалистов – остается и сегодня!) фундамен- том  всего  естествознания.  Между  тем  сущест- вует принципиальная проблема, которая заклю- чается в том, что на самом деле в окружающем мире идеальных объектов из геометрии Евклида просто не  существует. Следовательно, чтобы познать законы приро- ды глубже и точнее, в естествознании необходим переход  от  использования  геометрии  Евклида к применению иной геометрии – фрактальной гео- метрии. Эта идея была высказана еще в 1975 г. выдающимся  американским  естествоиспыта- телем  Бенуа  Мандельбротом  (1924–2010)  [2]. За более чем сорок лет, прошедших с того вре- мени, мировым научным сообществом пройден огромный путь от появления смелой и неорди- нарной  идеи  до  построения  стройных  научных теорий, разработки новых эффективных методов и  технологий  и  их  внедрения  в  повседневную жизнь.  К  сожалению,  в  силу  ряда  объективных причин эти интереснейшие результаты остаются малоизвестными среди большинства отечествен- ных ученых, в том числе и радиофизиков. Именно необходимостью, по мнению авторов, много лет занимающихся фрактальной радиофизикой, карди- нально изменить создавшуюся ситуацию и объяс- няется актуальность настоящей обзорной работы. Общей целью работы, состоящей из трех час- тей, является привлечение внимания специалис- тов,  работающих  в  различных  областях  науки и  техники,  в  том  числе  в  радиофизике,  радио- технике,  радиолокации  и  телекоммуникациях, к  идеям  “фрактализации”  современной  науки, а также информирование о возможностях совре- менных фрактальных методов описания и иссле- дования окружающего мира. Для достижения поставленной цели рассмат- риваются основные три задачи, решению каждой из которых посвящена отдельная часть работы, а именно: 6 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 1) знакомство с основными понятиями, опреде- лениями  и  соотношениями  современной  теории фракталов, а также с классификацией фракталов, анализ существующих числовых характеристик фракталов; 2)  изучение  современных  методов  фракталь- ного и мультифрактального анализа сигналов и процессов; 3) ознакомление с основными практическими результатами, полученными в современной фрак- тальной радиофизике. Каждая  из  этих  задач  представляет  интерес для специалистов как сама по себе, так и в соче- тании с остальными. По нашему мнению, именно объединение  этих  трех  частей  и  представляет собой теоретические основы и практический ин- струментарий современной фрактальной теории, которая “фрактализирует” всю современную ци- вилизацию. За пределами представленной работы, к сожа- лению,  остается  интереснейшая  тематика,  свя- занная с дробным исчислением (fractional calculus) (см.,  например,  [3–15]),  которое  иногда  назы- вается также фрактальным исчислением (fractal calculus)  (см., например,  [16, 17]), и его приме- нением в радиофизике (см., например, [18, 19]), в частности, со сравнительно недавно созданной фрактальной электродинамикой [4]. Отметим, что представленная работа ни в коей мере не призвана конкурировать с фундаменталь- ными монографиями [20, 21], в первой из которых в 2002 г., судя по всему, впервые появились тер- мины “фрактальная радиофизика” и “фракталь- ная радиолокация”. Авторы рассматривают свой труд в качестве дополнения к  этим замечатель- ным  книгам,  в  котором  отражена  точка  зрения самих  авторов  на  ряд  аспектов  современной фрактальной радиофизики. 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ 1.1 Êðàòêàÿ èñòîðè÷åñêàÿ ñïðàâêà На  сегодня  можно  считать  доказанным  фак- том, что фракталы, которые в первых русскоязыч- ных работах иногда именовались “фракталями” (см, например, [22, 23]) – это объективная реаль- ность,  они  существуют  вне  зависимости  от  на- ших знаний о них. Однако до последнего времени места  для  них  в  научной  картине  мира  просто не было. Эта картина восходит еще к великому Галилео Галилею, который в 1623 г. так сформу- лировал свое научное кредо (см, например, [24]): “Вся  наука  записана  в  этой  великой  книге  –  я имею  в  виду  Вселенную,  –  которая  всегда  от- крыта  для  нас,  но  которую  нельзя  понять,  не научившись понимать язык, на котором она на- писана.  А  написана  она  на  языке  математики, и ее буквами являются треугольники, окружнос- ти  и  другие  геометрические  фигуры,  без  кото- рых человеку невозможно разобрать ни одного ее  слова;  без  них  он  подобен  блуждающему во  тьме”.  Понадобилось  почти  350  лет,  чтобы выйти за рамки галилеевского представления, – в 1975 г. Б. Мандельброт ввел понятие “фрактал” в  книге  [25].  Заметим,  что  именно  в  этой  ра- боте,  изданной  на  французском  языке,  а  не  в ставших  широко  известными  англоязычных книгах [26] и особенно [27], как полагают мно- гие, впервые появилось это новое понятие, хотя четкое определение фрактала в [25] действительно отсутствует. Термин  “фрактал”  происходит  от  латинского fractus – фрагментированный, неправильный по форме, дробленый, сломанный, разбитый [25–29]. Сам  Б.  Мандельброт  писал  о  необходимости введения этого понятия так: “Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной за- дачи изучения тех форм, которые Евклид отбро- сил  как  бесформенные,  –  задачи  исследования морфологии  аморфного.  Математики,  однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все боль- ше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать” [27]. В  этих  словах  Б.  Мандельброт  фактически объясняет, почему появление фракталов в мате- матической  литературе  около  ста  лет  назад (конечно,  тогда  еще  не  с  этим  именем)  было встречено  с  прискорбной  неприязнью,  как  это бывало в истории развития многих других мате- матических  идей.  Так,  знаменитый  математик Шарль Эрмит в 1893 г. даже окрестил их “монст- рами”  (см.,  например,  [30]).  По  крайней  мере, общее  мнение  признало  их  патологией,  пред- ставляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих  математическими  причуда- ми, а не для настоящих ученых (см., например, [26, 28, 29, 31, 32]). К сожалению, подобные выс- казывания относительно фракталов иногда мож- но услышать и в наше время, хотя еще в середи- ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 7 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы не ХХ века Ф. Дайсон отметил, что в этом слу- чае природа сыграла с математиками злую шут- ку, вернув выброшенные в ХІХ веке идеи в виде обычных объектов вокруг нас [30, 33]. Тем не менее через сто лет мнение подавляю- щего  большинства  научного  сообщества  кар- динально  изменилось.  Фрактальная  геометрия усилиями  Б.  Мандельброта  постепенно  стала уважаемой прикладной наукой примерно с конца 1970-х гг., точнее после 1977 г., когда вышла его основополагающая  книга  [26],  которую  он  сам рассматривал  как  научное  эссе  [26–29]. Разумеется,  Б.  Мандельброт  начал  проводить исследования появления “монстров” и других пато- логий в природе задолго до издания книг [25–27]. Более того, за упомянутое столетие многие вы- дающиеся  ученые  внесли  существенный  вклад в теорию, которую впоследствии назовут фрак- тальной геометрией. К ним относятся К. Вейер- штрасс  (1815–1897),  Г.  Кантор  (1845–1918), Дж.  Пеано  (1858–1932),  А.  Лебег  (1875–1941), Ф.  Хаусдорф  (1868–1942),  А.  С.  Безикович (1891–1970), Б. Больцано (1781–1848), Э. Чезаро (1859–1906), Х. фон Кох (1870–1924), В. Ф. Ост- гуд (1864–1943), В. Ф. Серпинский (1882–1969), К. Менгер (1903–1985), П. С. Урысон (1898–1924), А. Пуанкаре (1854–1912), Г. Риман (1826–1866), Ж. Дарбу (1842–1917), Л. Башелье (1870–1946), Ф.  д’Альб  (1868–1933),  П.  Леви  (1886–1971), Л. Ричардсон (1881–1953), Дж. Ципф (1902–1950), Г.  Херст  (1880–1978),  Г.  Жюлиа  (1893–1978), П. Фату (1878–1929) и др. Так, само введенное Б. Мандельбротом опре- деление  фрактала,  которое  рассматривается ниже,  основано  на  теории  фрактальной  хаус- дорфовой размерности, предложенной Ф. Хаус- дорфом  в  1919  г.  [34]  и  впоследствии  приве- денной в окончательный вид А. С. Безиковичем (см.,  например,  [27–29]).  Между  тем  первые два  шага  в  направлении  создания  этой  теории были сделаны еще в 1877 г. Г. Кантором и в 1890 г. Дж. Пеано [26–29]. Важным  шагом,  определившим  в  будущем развитие самой идеи фракталов, явилось созда- ние математиками класса непрерывных, нигде не дифференцируемых функций [35–37]. Считается, что официально история этих функций началась в  1875  г.,  когда  в  работе  [38]  было  сообщено о том, что К. Вейерштрассом впервые построе- на  непрерывная,  нигде  не  дифференцируемая функция.  Однако  исследована  она  была  еще  в 1861 г., а полученные результаты доложены в Бер- линской академии наук в 1872 г. [39]. Непрерыв- ные недифференцируемые функции были пост- роены также Ш. Селлерье еще до 1860 г. (работа была опубликована только в 1890 г. после смерти автора)  [40],  Г.  Риманом  в  1861  г.  и  Ж.  Дар- бу  в  1873–1874  гг.  [39].  Более  того,  имеется  ин- формация  [37,  41]  о  том,  что  Б.  Больцано  пост- роил  функцию  с  аналогичными  свойствами,  ве- роятно, ранее 1830 г., хотя известно об этом стало только в 1930 г. Около 1890 г. французский математик А. Пуан- каре  инициировал  исследования  в  области  не- линейной  динамики,  что  привело  к  появлению современной  теории  хаоса  (см.,  например, [31, 32, 42–66]). Интерес к предмету заметно уве- личился, когда метеоролог Э. Лоренц,  занимав- шийся  нелинейным  моделированием  погоды,  в 1963  г.  обнаружил  принципиальную  невозмож- ность долгосрочных прогнозов погоды. Он заме- тил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных усло- вий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям  о  состоянии  погоды  в  будущем. Эта  существенная  зависимость  от  начальных условий лежит в основе математической теории хаоса (см., например, [42]). Траектории  броуновского  движения  частиц, которыми  занимались  шотландский  ботаник Р. Броун еще в 1827 г. и А. Эйнштейн в 1905 г. [32,  67,  68],  представляют  собой  пример  фрак- тальных кривых, хотя их математическое описа- ние было дано только в 1923 г. Н. Винером (см., например, [24, 26, 27, 32, 67, 68]). В 1890 г. Д. Пеано сконструировал свою знаме- нитую кривую – непрерывное отображение, пере- водящее  отрезок  в  квадрат  и,  следовательно, повышающее его размерность с единицы до двой- ки [69]. В 1904 г. была открыта снежинка Коха – еще одна кривая, повышающая размерность [70]. Фрактал, никоим образом не похожий на кри- вую,  который  Б.  Мандельброт  назвал  “пылью” [26, 28, 29], – это классическое множество Кантора. Множество Кантора было открыто также незави- симо  друг  от  друга  Г.  Дж.  Смитом  (1826–1883) в 1874 г.  [71], П. Дюбуа-Реймоном (1831–1889) в 1880 г. [72], В. Вольтерра (1860–1940) в 1881 г. [73] и самим Г. Кантором в 1883 г. [74]. Б. Ман- дельброт  использовал  такую  “пыль”  для  моде- 8 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор лирования шума в телефонии. Впоследствии ока- залось, что она является универсальным фракта- лом  в  том  смысле,  что  любой  фрактал,  пред- ставляет собой либо “фрактальную пыль”, либо ее проекцию на пространство с более низкой раз- мерностью (см., например, [26, 28, 29, 31, 32]). Следует  также  упомянуть  работы  французс- кого физика лаурета Нобелевской премии 1926 г. Ж. Б. Перрена (1870–1942), вышедшие в 1909 г. [75] и 1913 г. [76], в которых, по словам Б. Ман- дельброта  [26–29],  была  сделана  попытка  при- влечь внимание физиков к “монстрам”, получен- ным  математиками. Кроме этого, различные древовидные фракта- лы  применялись  не  только  для  моделирования деревьев – растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные  ветви  в  легких),  работы  почек, кровеносной системы и др. Интересно предполо- жение Леонардо да Винчи о том, что общая тол- щина всех веток дерева на данной высоте, сло- женных вместе, равна толщине ствола (ниже их уровня).  Отсюда  следует  фрактальная  модель кроны дерева в виде поверхности – фрактала (см., например, [26, 27]). Более  того,  некоторые  специалисты  склонны утверждать  [77],  что  в  известной  мере  пред- шественником  фрактала  был  так  называемый гномон. Согласно определению, данному еще Ге- роном Александрийским (около I века н. э.), гно- мон – это фигура (под фигурой здесь понимается геометрическая фигура или просто число), кото- рая,  будучи  добавленной  к  какой-либо  другой фигуре,  образует  новую  фигуру,  подобную  ис- ходной.  Чтобы  избежать  недоразумений,  заме- тим, что такое определение гораздо ближе “чис- тым” математикам. Для физика же гномон – это L-образный объект, помещенный в центр диска солнечных часов, изобретение которых приписы- вают  древнегреческому  астроному  Анаксиман- дру Милетскому (приблизительно в 575 г. до н. э.) Между  тем  имеются  археологические  доказа- тельства  того,  что  такие  солнечные  часы  уже использовались в Древнем Египте примерно на девятьсот  лет  ранее,  в  эпоху  царствования  фа- раона Тутмоса ІІІ  [77]. Многие  замечательные  свойства  фракталов и  хаоса  открываются  при  изучении  итериро- ванных  отображений  (см.,  например,  [27,  78]). При этом начинают с некоторой функции  ( )y f x и  рассматривают  поведение  последовательнос- ти  ( ),f x    ( ) ,f f x     ( ) , ...f f f x   в  комплекс-с- ной плоскости. Работы такого рода восходят, по всей видимости, к трудам английского математи- ка А. Кэли (1821–1895), который исследовал ме- тод  Ньютона  нахождения  корня  в  приложении к комплексным, а не только вещественным функ- циям (1879 г.). Замечательного прогресса в изуче- нии итерированных функций еще в 1919 г. доби- лись французские математики Г. Жюлиа и П. Фату (см.,  например,  [24,  27]). Естественно,  это было сделано без помощи компьютерной графики. Таким образом, на сегодня подавляющее боль- шинство  специалистов  осознало,  что  окружаю- щий  нас  мир  наиболее  адекватно  описывается лишь фрактальной геометрией. Евклидова, а так- же сферическая геометрии являются лишь гру- быми  идеализациями  или  “карикатурами”  на фрактальную геометрию. Поэтому современное естествознание  просто  вынуждено  стать  фрак- тальным.  При  этом  не  отбрасываются  все  дос- тижения,  полученные  ранее,  –  классическое естествознание, основанное на евклидовой и сфе- рической геометриях, остается частным (предель- ным)  случаем  фрактального  естествознания. Более того, процесс “фрактализации” нашей ци- вилизации идет полным ходом не только в есте- ствознании,  где фракталы находят на всех про- странственных  масштабах  (от  наноструктур  до Вселенной) и во всех направлениях (от биологии и медицины до физики атомного ядра и элемен- тарных частиц), но и в лингвистике, музыке, изоб- разительном искусстве (см., например, [1, 24, 67, 68, 79]), экономике, демографии, финансах (см., например, [33, 80]) и др. В рамках сформировав- шейся  фрактальной  парадигмы  (см.,  например, [81–83])  установлено,  что  фрактальность  яв- ляется  одним  из  фундаментальных  свойств  ок- ружающего мира. 1.2. Ýòàïû ñòàíîâëåíèÿ ôðàêòàëüíîãî ïîäõîäà Подводя  итог  сказанному  выше,  выделим  не- сколько  этапов  в  формировании  и  становлении фрактального подхода. 1.  Эпоха  «монстров»  (середина  XIX  века –  начало 1960-х гг.). В трудах отдельных энтузи- астов появляются математические объекты и их характеристики,  которые  в  будущем  станут  ос- новой  теории  фракталов  (множество  Кантора, ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 9 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы итерированные отображения (Кэли, Жюлиа, Фату и др.), кривая Пеано, снежинка Коха, ковер Сер- пинского, траектории броуновских частиц, функ- ции Вейерштрасса, Римана, исследования Пуан- каре, размерность Хаусдорфа–Безиковича и т. д.). Некоторые ученые уже тогда оценили потенциал этих  новых  объектов.  Например,  выдающийся австрийский физик Л. Больцман в 1898 г. отме- чал, что недифференцируемые функции вполне могли бы быть изобретены физиками, поскольку в  статистической  механике  есть  проблемы,  для которых они “абсолютно необходимы” [67, 68]. Однако в целом отношение научной обществен- ности к этим исследованиям оставалось крайне негативным. Кстати,  сам  Б.  Мандельброт  фрактальные объекты эпохи “монстров” называл протофрак- талами  [84]. 2. Подготовительный этап (начало 1960-х гг. – 1975  г).  Б.  Мандельброт,  по  его  собственным словам [27, 85], приступил к исследованиям, при- ведшим  к  созданию  фрактальной  геометрии  и введению понятия “фрактал” в 1975 г., примерно в 1962–1964 гг. Отделить  этот  этап  от  предыдущего  позво- ляет  следующее  высказывание  Б.  Мандельбро- та  [27,  85]:  «Не  считаю  ли  я,  что  фрактальная геометрия была “открыта” сто лет назад? Вовсе нет. Я цитирую этих авторов [Пуанкаре, Кантора, Пеано,  Хаусдорфа,  Серпинского]  потому,  что у меня имеются и серьезные похвалы, и не менее серьезные  упреки  к  ним.  Я  отдаю  им  должное за то, что они изобрели ряд конструкций, которые мне в конце концов удалось объединить и кото- рые  оказались  бесценными.  А  упреки  связаны с тем, что им не удалось увидеть и развить род- ство своих построений, что они видели в каждой из своих конструкций “монстра”, “исключитель- ное  множество”,  из-за  чего  их  действительное значение  было  полностью  упущено».  Вместе с  тем  Б.  Мандельброт  отмечает,  что  одним  из его  идейных  вдохновителей  оказался  именно Г. Жюлиа, у которого он в молодости учился в Политехнической школе в Париже. Справедливости ради, заметим, что приведен- ное  высказывание  Б.  Мандельброта  во  многом субъективно,  поскольку  математики  в  подавля- ющем  большинстве  случаев  просто  “играли”  в свои “умозрительные игры”, не ставя перед со- бой задач применять полученные результаты на практике.  Сам  же  Б.  Мандельброт,  хотя  и  фор- мально  числился  математиком,  но  являлся  ско- рее  естествоиспытателям,  о  чем  свидетельст- вует  полученная  им  в  1993  г.  премия  Вольфа по физике [48, 86] за “изменение нашего взгляда на мир посредством концепции фрактальной гео- метрии”  [87]. 3.  Этап  становления  и  развития  (1975  г. –  начало  2000-х  гг.).  После  публикации  Б. Ман- дельбротом  работ  [25]  в  1975  г.,  [26]  в  1977  г. и [27] в 1982 г. “фрактальные” идеи заинтересо- вали  не  только  “чистых”  математиков  (см.,  на- пример, [77, 88–128]), но и постепенно начали про- никать во все отрасли науки и техники, овладевая умами все большего количества ученых. Имен- но в это время формировался язык фрактального подхода, создавались и совершенствовались его методы.  Фрактальные  структуры  обнаружива- лись в самых разных областях: не только в физи- ке (см., например, [129–140]), но и в астрономии (см., например, [132, 136, 141, 142]), электронике, материаловедении  [143],  обработке  сигналов  и изображений, компьютерных сетях  (см., напри- мер, [96, 97, 142, 144, 145]), химии (см., например, [97, 132, 134, 146–148]), физической химии (см., например, [149, 150]), биологии, физиологии, пси- хиатрии (см., например, [83, 96, 132, 151–163]), биофизике (см., например, [148, 164–167]), биохи- мии (см., например, [168]), медицине (см., напри- мер, [83, 147, 155, 158, 161, 162, 169, 170]), геоло- гии (см., например, [33, 46, 96, 171–176]), геогра- фии (см., например, [177]), геофизике (см., напри- мер, [132, 173, 176, 178–184]), геохимии (см., на- пример,  [148]),  климатологии  (см.,  например, [172]), метеорологии (см., например, [172]), поч- воведении (см., например, [185]), экологии (см., например,  [177]),  компьютерных  науках  (см., например, [186, 187]), финансах (см., например, [80, 84, 142, 188–190]), археологии (см., напри- мер,  [155])  архитектуре  и  дизайне  (см.,  напри- мер,  [191–193]), материаловедении (см., напри- мер, [194]) и даже в музыке и литературных про- изведениях  (см.,  например,  [1,  79,  195–197]), а  также  в  живописи  (например,  в  картинах М.  Эшера  и  С.  Дали,  в  полотнах  К.  Хокусая, А. Дюрера и Леонардо да Винчи [30, 55, 87, 142, 197, 198]), городской культуре [199], психологии [200], менеджменте [201, 202] и других гумани- тарных и социальных науках [203, 204]. На этом этапе определяющий или, по крайней мере, суще- 10 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор ственный  вклад  в  “фрактализацию”  внесли  С. Александер, К. Бандт, М. Барнсли, Ю. Барышев, А. Бунде, Т. Вичек, А. К. Гильмутдинов, Ж.-Ф. Гойе,  П.  Грассбергер,  Р.  Девэйни,  С.  Демко, Д. Заупе, М. Зееле, Й. Каандорп, Б. Кайе, Р. Кро- новер, Л. Лейбович, А. Ле Мехот, Н. Лесмо-Гор- дон,  А.  Линденмайер,  Л.  Лэм,  М.  Макгуайер, П. Микин, Р. Ш. Нигматулин, Р. Орбах, Х.-О. Пайт- ген, Дж. Паризи, А. А. Потапов, И. Прокаччиа, П. Рихтер, А. Слоан, Б. М. Смирнов, Я. Стюарт, Х. Такаяцу, Г. Уорнелл, К. Фалконер, Й. Федер, Ю. Фишер, Р. Фосс, У. Фриш, К. Фрэйзер, А. Хек, С. Хэвлин, Б. Шаповал, М. Шредер, Д. Штауф- фер, Д. Эвнир, Х. Юргенс и многие другие уче- ные.  Некоторые  авторы  (см.,  например,  [33]) характеризуют этот этап как “фрактальную ли- хорадку”. 4.  Современный  этап  (начало  2000-х  гг.  – сегодняшний  день).  В  результате  массового применения  методов  фрактальной  геометрии, фрактального  анализа,  дробного  исчисления в различных областях науки и техники формиру- ются  и  выделяются  отдельные  “фрактальные” направления, например, фрактальная электроди- намика, фрактальная радиофизика, фрактальная радиолокация,  фрактальная  физика  и  т.  п.  (см., например, [20, 21, 81, 205]). Создаются и внед- ряются на практике реальные технологии, осно- ванные на использовании фрактального подхода, которые окончательно превращают фракталы из абстрактной  математической  идеи,  понятной лишь  узкому  кругу  специалистов,  в  значитель- ную силу, способную изменять окружающий мир. В  качестве  примера  можно  привести  ори- гинальную  идею,  которую  высказал  в  2014  г. А.  Яджик,  об  объединении  двух,  по-видимому, самых знаковых теорий ХХ века – фрактальной геометрии и квантовой механики. Он предпринял попытку  соединить  их  с  помощью  построения особых систем итерированных функций (что это такое – узнаем далее), использующих преобразо- вания Мебиуса единичного круга на плоскости. В результате автор создал целый новый класс фрак- талов – квантовые фракталы. Более того, он пред- ложил их использовать при построении квантового компьютера  –  еще  одного  наисовременнейшего направления научных исследований [206]. И, наконец, несколько слов о роли Б. Мандельб- рота – замечательного исследователя и энтузиас- та,  чьи идеи и целеустремленность оказали  су- щественное влияние на нашу цивилизацию [31, 32]. Этот  вопрос  неоднократно  поднимался  в  конце 1980-х – начале 1990-х гг. разными авторами (см., например, [55]). Полагаем, что заслуги Б. Ман- дельброта  в  становлении  фрактальной  геомет- рии, а впоследствии и фрактальной физики срод- ни заслугам Дж. Максвелла в электродинамике. Хорошо известно, что последний не придумывал самих уравнений электродинамики, но догадался собрать  их  вместе,  обобщить  и  впервые  запи- сать  в  виде  одной  системы.  Так  и  Б.  Мандель- брот  собрал  воедино  и  обобщил  уже  сущест- вовавшие  до  него  подходы,  обогатив  их  собст- венными  оригинальными  идеями.  Согласитесь, увидеть общие закономерности там, где осталь- ные  видят  лишь  разрозненные  факты,  само  по себе  является  выдающимся  достижением. 1.3. Îïðåäåëåíèå ôðàêòàëà Как ни странно, дать универсальное определение фрактала оказалось не так просто. Как уже было сказано выше, понятие “фрактал” введено Б. Ман- дельбротом в 1975 г. [25], но первое определение фрактала было дано в 1982 г. [27]. Определение  1  (Б.  Мандельброт,  1982  г.). Фрактал – это множество, размерность Хаусдор- фа–Безиковича  которого  строго  больше  его  то- пологической размерности. Справедливости ради отметим, что сам Б. Ман- дельброт рассматривал это определение как “проб- ный шар” и ни в коей мере не настаивал на его окончательности и универсальности [27, 85]. Некоторые уважаемые авторы [206] указывают на то, что это определение не конкретизирует при- роды самого множества, т. е. фрактальные свой- ства могут иметь не только геометрические объек- ты – множества точек, но и множества произволь- ного происхождения. Однако совсем не понятно, что в этом плохого. Впоследствии выяснится, что фрактальность  –  универсальное  свойство  окру- жающего мира, а значит, оно присуще не только геометрическим объектам. Другой вопрос, что дан- ное определение исключает из рассмотрения не- которые структуры, имеющие фрактальное пове- дение.  Когда  это  стало  ясно,  определение  было несколько скорректировано [206]. Определение  2  (Б.  Мандельброт,  примерно середина 1980-х гг.). Фрактал – это множество, размерность  Хаусдорфа–Безиковича  которого не равна его топологической размерности. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 11 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Видно,  что  это  определение  несколько  шире первого, поскольку позволяет размерности Хаус- дорфа–Безиковича  оказаться  меньше  топологи- ческой размерности. В 1987 г. Б. Мандельброт в личной переписке с еще одним известным специалистом в области фракталов Е. Федером предложил использовать такое определение [207, 208], опубликованное им в  работе  [209]. Определение  3  (Б.  Мандельброт,  1987  г.). Фрактал – это определенная структура, которая состоит из подобных себе подструктур. Здесь впервые в определении появляется важ- ное свойство фрактала – самоподобие. Самопо- добие  подразумевает  подобие  объекта  самому себе  на  разных  масштабах. В  1989  г.  Б.  Мандельброт  на  просьбу  ввести четкое и однозначное определение фрактала от- ветил, что любое определение фрактала все рав- но будет ограниченным. Однако затем он пред- ложил следующий вариант [3, 206]. Определение  4  (Б.  Мандельброт,  1989  г.). Фрактал  –  это  набор  способов  и  методов  для изучения нерегулярных, ломаных и самоподоб- ных  геометрических  объектов. Делались попытки ввести определение фракта- ла и другими авторами. Так, примерно в 1990 г. Х. Лаверье предложил свое определение [3, 192, 210]. Определение  5  (Х.  Лаверье,  1990  г.).  Фрак- тал – это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом из- менении  масштаба. В 1990 г. К. Фалконер по поводу определения 4 заметил [206, 211], что «к многозначности опре- деления фрактала нужно относиться, как биолог относится  к  определению  “что  такое  жизнь”». Иными словами, не существует лаконичного об- щепринятого  определения  “что  такое  жизнь”, а есть перечень свойств, которые характеризуют все  живые  существа.  Так  же  и  с  определением фрактала. Поэтому К. Фалконер предложил сле- дующее определение [206, 208, 211, 212]. Определение  6  (К.  Фалконер,  1990  г.).  Мно- жество     называется  фракталом,  если,  среди его  свойств  имеются  такие: – множество    имеет тонкую структуру, т. е. оно детализировано на наименьших масштабах; – множество     является достаточно нерегу- лярной  структурой,  чтобы  ее  можно  было  бы описать  традиционными  геометрическими  спо- собами  (геометрии  Евклида  или  Лобачевского и т. п.) как на локальном уровне, так и на уровне всей  структуры; – множеству    свойственно самоподобие как в  приблизительном  виде,  так  и  в  статисти- ческом; – обычно фрактальная размерность множества    (определенная  каким-либо  образом)  оказы- вается больше его топологической размерности; – в большинстве случаев множество    опре- деляется  очень  простым  образом,  возможно, рекурсивно. В 1996 г. он добавил еще одно свойство: час- то множество    имеет природное происхожде- ние [213]. Особо  следует отметить  третье  свойство,  ко- торое расширяет и обобщает самоподобие фрак- тала,  в  частности,  до  его  самоаффинности,  а также говорит о возможности существования не- детерминированного самоподобия (или самоаф- финности) [206, 213]. Определение фрактала по К. Фалконеру, кото- рое на сегодня, по-видимому, является наиболее удачным,  дает  также  возможность  охарактери- зовать  объект  как  фрактал  более  чем  одним значением фрактальной размерности (см., напри- мер,  [214]).  Впоследствии  мы  увидим,  что  это очень  важно,  потому  что  существуют  интерес- ные  объекты,  которые  нельзя  описать  только одной размерностью – мультифракталы. Косвенно признал удачным определение, дан- ное К. Фалконером, и сам Б. Мандельброт, когда в  1999  г.  в  работе  [215]  отказался  от  попыток создать  строгую  математическую  формулиров- ку понятия “фрактал”. Однако  строгого  математического  определе- ния фрактала на сегодня не существует, что оче- редной раз сравнительно недавно (в 2013 г.) было подтверждено на конференции с участием боль- шинства “звезд первой величины” в современной теории фракталов [37]. 1.4. Åâêëèäîâà, òîïîëîãè÷åñêàÿ è õàóñäîðôîâà ðàçìåðíîñòè Далее необходимо разобраться с евклидовой, то- пологической и хаусдорфовой размерностями, по- скольку они непосредственно связаны с опреде- лением  фрактала и  используются  для описания фрактальных  и  нефрактальных  множеств.  Это 12 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор важно, так как во многих работах (особенно спе- циалистов-прикладников), к сожалению, данные понятия смешиваются, что приводит к преврат- ной трактовке читателем опубликованных резуль- татов. 1.4.1. Ðàçìåðíîñòü Åâêëèäà В  1875  г.  математики  осознали,  что  невозмож- но  достичь  понимания неправильности  и  фраг- ментации  объектов,  по-прежнему  определяя размерность как число пространственных коор- динат  (размерность  Евклида  или  евклидова размерность) (см., например, [19, 27–29, 96, 132, 208, 216, 217]). Для примера вычислим евклидову размерность обычного дерева. Согласно представлениям Ев- клида одно- и двумерные образования являются частями  пространства,  два  или  один  характер- ных размера которых достаточно малы.  По Ев- клиду линия имеет длину, но не имеет ширины; поверхность имеет длину и ширину, но не имеет высоты. Размерность точки равна нулю (см., на- пример,  [27–29,  96,  132,  216,  217]).  Евклидо- ву  размерность  множества  обозначим  через  E. Теперь  представим  себе  дерево.  Мысленно  ог- раничим его замкнутой поверхностью (например, накроем  куском  брезента),  для  которой  2.E  Замкнутый объем, который оказался внутри этой поверхности, имеет размерность  3.E   А каковаа же евклидова размерность самого дерева? Ясно, что  не  два  –  оно  же  не  плоское,  но  и  не  три, потому что внутри брезента кроме самого дере- ва  есть  еще  просто  воздух,  который  к  дереву никакого  отношения  не  имеет.  Следовательно, размерность  Евклида  не  способна  адекватно охарактеризовать  дерево. Более  того,  в  том  же  1875  г.  стало  ясно,  что евклидова  размерность  не  может  характеризо- вать и гораздо более простые, далекие от реаль- ных,  объекты  [147].  Выход  из  создавшейся  си- туации был найден математиками примерно меж- ду  1875  и  1925  гг.  [218,  219].  Он  был  связан с  появлением  так  называемой  топологической размерности. 1.4.2. Òîïîëîãè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü Задолго до введения понятия топологической раз- мерности  в  физике  существовала  ее  трактовка как  количества  степеней  свободы  [17,  96,  132, 218,  219].  В  частности,  под  размерностью  ли- нейного  векторного  пространства  понимают максимальное возможное число линейно незави- симых векторов в этом пространстве (см., напри- мер, [33, 96]). И мы снова приходим к евклидовой размерности  E.  Оказывается,  что  использовать евклидову размерность в качестве топологичес- кой не  следует. Причину поясняет  так называе- мая кривая Пеано. Кривая Пеано – это траектория, которая про- ходит  через  каждую  точку  квадрата.  Для  полу- чения этой траектории построим в квадрате ла- биринты с помощью такого алгоритма: на n-ом шаге разделим исходный квадрат на  2n  квадра- тов и удалим некоторые из их сторон. Перегород- ки, которые останутся на n-ом шаге построения, сохраняются на последующих шагах. При n   средняя  линия  полученного  лабиринта  будет траекторией, которая полностью заполнит исход- ный квадрат, – это и есть кривая Пеано. Первые четыре шага построения кривой Пеано показаны на рис. 1 (см., например, [32]). Парадокс  состоит  в  том,  что  принципиально невозможно  вычислить  евклидову  размерность E  кривой Пеано. С одной стороны,  это кривая, а потому  1.E   Но, с другой стороны, она запол- няет  весь  квадрат  и,  стало  быть,  является  этим квадратом.  Тогда  2.E    Формально  оба  ответаа верны и равноправны, а потому нет возможности выбрать один из них. Именно поэтому и отказались от  использования  евклидовой  размерности  в  ка- честве топологической (см., например, [218–220]). Рис. 1. Алгоритм построения кривой Пеано [3] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 13 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Существенный  вклад  в  разработку  определе- ния топологической размерности внесли А. Пуан- каре, Л. Брауэр, А. Лебег, К. Менгер и П. Урысон. Мы рассмотрим два определения (см., например, [3, 21, 218–220]). Определение  1  (П. Урысон).  Для  множества   произвольной природы топологическая размер- ность  dimTD     строится  методом  математи- ческой индукции. 1) Уравнение  dim 1    выполняется тогда и только тогда, когда      – пустое множество. 2) Множество   имеет размерность нуль, если любая его  точка имеет сколь угодно малую ок- рестность, граница которой не имеет общих то- чек  с  множеством  . 3) Множество    имеет размерность, равную единице,  если  оно  не  является  пустым  множе- ством  и  не  является  нульмерным  множеством, но для каждой точки которого существует сколь угодно  малая  окрестность,  граница  которой в пересечении с     является пустым или  нуль- мерным  множеством. Далее по индукции вводятся множества с раз- мерностями 2, 3 и т. д. Определение  2  (К. Менгер).  Пустое  мно- жество имеет топологическую размерность, рав- ную –1. Размерность множества     –  это  такоее наименьшее  целое  число  n,  что  каждая  точка, принадлежащая  ,  имеет достаточно малую ок- рестность, граница которой имеет размерность, меньшую  чем  n. Важно также отметить, что множество может оказаться  неоднородным  в  топологическом  по- нимании. Иными словами, в окрестности разных элементов этого множества топологическая раз- мерность  может  оказаться  разной.  Поэтому  в таком случае под топологической размерностью всего множества понимают наибольшее из зна- чений топологической размерности в окрестнос- ти каждой точки множества. Рассмотренные нами определения топологичес- кой  размерности  являются  индуктивными,  т. е. используют  метод  математической  индукции. Их  достаточно  сложно  применять  на  практике. Чаще  используется  метрическое  определение топологической размерности, связанной с поня- тием меры (см, например, [220, 221]). Если для множества    ввести вещественную неотрицательную функцию  ( , ),x y  где  , ,x y  которая удовлетворяет таким условиям: ( , ) 0x y x y      (аксиома  тождествен- ности), ( , ) ( , )x y y x     (аксиома симметрии), ( , ) ( , ) ( , ),x z x y y z       , ,x y z    (аксио- ма треугольника), – то  такую  функцию  называют  метрикой,  а  мно- жество   вместе с метрикой – метрическим про- странством. Под  диаметром  множества  понимают  макси- мальное  возможное расстояние  (метрику)  меж- ду  двумя  точками,  принадлежащими  данному множеству. Допущение  о  том,  что  общее  понятие  меры (например, длина, площадь, объем и т. д.) необ- ходимо  для  исследования  размерностей  непре- рывных множеств, было высказано Г. Кантором и  развито  А. Лебегом.  Именно  А. Лебег  ввел метрическое определение топологической размер- ности (см, например, [3, 21, 218–220]). Определение  3  (А. Лебег).  Множество   имеет  топологическую размерность n,  если n  – такое  наименьшее  целое  число,  что  для  произ- вольного  положительного     существует  конеч- ная  система  замкнутых  множеств  с  диаметра- ми, которые не превосходят   и покрывают мно- жество  ,  ни одни  2n   из которых не имеютт общей точки. Следовательно, если множество  можно  покрыть  сколь  угодно  малыми  замкну- тыми множествами так, что ни одна точка из   не  принадлежит  2n    произвольным  частям, но при любом достаточно малом покрытии най- дутся точки, которые принадлежат  1n   произ- вольной части. Отметим,  что  ни  евклидова  размерность  E, ни  топологическая  размерность  TD   при  своем появлении никак не были связаны с фракталами. 1.4.3. Ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà–Áåçèêîâè÷à Итак,  топологическая  размерность  всегда  яв- ляется целым числом. Между тем на существо- вание в природе дробных размерностей наводят такие размышления  (см., например,  [3, 25–27]). С одномерными объектами связано понятие дли- ны, с двумерными – площади, с трехмерными – объема. Эти объекты характеризуются конструк- цией, которая называется размерностью физичес- кой  величины.  Но  известно,  что  размерности физических величин могут быть и дробными, что ни в коей мере не противоречит теории размерно- стей физических величин. Можно предположить, 14 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор что физической величине с дробной размернос- тью отвечает некоторый геометрический объект, который имеет дробную размерность. Развитием  идеи  А. Лебега  и  ее  обобщением стал  подход  Ф. Хаусдорфа  к  определению  раз- мерности множества метрического пространства (см., например, [3, 17, 34, 217, 220, 221]). Один из возможных методов измерения мно- жества (см., например, [3, 26, 28, 29, 32, 78, 165, 206, 207, 211, 212, 222, 223]) состоит в том, чтобы покрыть  рассматриваемое  множество  другими множествами с размером  ,  например, отрезка- ми, квадратами (или кругами), кубами (или шара- ми) с длиной ребра (или диаметром), равным  . С  помощью  таких  разбиений  исходному  мно- жеству можно поставить в соответствие некото- рую меру. Так, кривую можно покрыть отрезка- ми длиной    и подсчитать число таких отрезков ( ).N   Тогда длина кривой L окажется равной lim ( ) .L N     Очевидно,  что  для  обычной  кривой  ( )N   0 ,L   а потому  0,L L  причем  00 .L    Сле- довательно, единственной содержательной мерой для  нее  есть  длина.  Для  обычной  поверхнос- ти такой мерой является площадь, для обычного тела  –  объем. А  теперь  обобщим  понятие  меры  множест- ва  .   Для  этого  выберем  некоторую  пробную функцию ( ) ( ) .dh d    При  1d   она соответствует отрезку, при  2d   – квадрату (или кругу), при  3d   – кубу (или шару). Теперь  покроем  множество     этими  элемен- тами, образуя меру этого множества ( ).dM h  В последнем выражении суммирование ведет- ся на частях покрытий, которые не пересекаются. Коэффициент  ( )d   зависит  от  геометрических свойств элементов, которыми покрывается мно- жество  .   Для  отрезка  ( ) 1,d    для  круга ( ) 4,d     для  шара  ( ) 6.d     Величину  d называют  размерностью  меры.  В  зависимости от этой d  величина  dM  при  0   может рав- няться нулю, бесконечности или принимать неко- торое конечное значение. Определение.  Размерность  Хаусдорфа  HD множества  точек     –  это  критическая  размер- ность d меры  ,dM  при которой мера принимает конечное значение: 0 0 0, ; lim lim ( ) const, ; , . H d d d H H d D H M d d D d D              Величину  dH  называют мерой Хаусдорфа мно- жества  точек  .   Если  такого  числа  Hd D   не существует,  то  тогда  используют  число 0inf[ : ],HB dD d H  (минимальное значение d, которое обращает меру Хаусдорфа  dH   в нуль),  называемое размернос- тью Хаусдорфа–Безиковича. Таким образом, при HBd D   величина  dH   изменяет  свое  значение скачком от нуля до бесконечности. Важно также, что нижний предел размерностей Хаусдорфа–Бе- зиковича для всех метрик, которые можно ввести на множестве  ,  равен его топологической раз- мерности:  ( ) ( ).T HBD D   Именно теперь становится ясным первое оп- ределение  фрактала,  данное  Б. Мандельбротом в 1975 г. Важно отметить, что между размерно- стями Хаусдорфа  HD  и Хаусдорфа–Безиковича HBD  существует некоторое отличие, почему и не следует  их  смешивать. Таким  образом,  топологическая  размерность ,TD  размерности Хаусдорфа  HD  и Хаусдорфа– Безиковича  HBD  относятся к самому рассматри- ваемому  объекту,  а  евклидова  размерность  E  – к пространству, в которое погружен этот объект. Добавим, что Б. Мандельброт был недоволен [29,  224],  когда  в  1981  г.  в  развитие  его  идей К. Трико [225] рассмотрел целых двенадцать оп- ределений фрактальных размерностей для мате- матических  фракталов,  названных  размерностя- ми упаковки (packing dimensions) [211, 212, 223, 226]. По мнению Б. Мандельброта, для описания ма- тематических  фракталов  следует  использовать исключительно размерность Хаусдорфа–Безико- вича  .HBD  Между тем он сам отмечал: «…Сила понятия фрактальной размерности по Хаусдорфу в  том,  что  она  позволяет  различать  категории “гладкий” и “хаотичный”. Слабость же ее в том, что не удается различать категории “нерегуляр- ный,  но  самоподобный” и  “геометрически  хао- ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 15 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы тичный”. Это происходит из-за того, что опреде- ление  является  весьма  общим  и  требуется  для математики» [85]. Как показал дальнейший ход истории, размерности упаковки действительно не прижились среди исследователей-практиков, хотя математики-теоретики продолжают ими интере- соваться (см., например, [112, 212, 221]). 1.5. Ìàòåìàòè÷åñêèå è ôèçè÷åñêèå ôðàêòàëû Все фракталы по их происхождению можно раз- делить на математические и физические (или при- родные, или естественные) [26, 28, 29, 31, 32, 227]. Математический  фрактал  –  это  некоторый абстрактный  объект,  созданный  математиками и существующий лишь в их воображении. При- мерами  математических  фракталов  могут  слу- жить  множество  Кантора  (рис. 2,  а),  триадная кривая Коха (рис. 2, б), снежинка Коха (рис. 2, в), треугольный невод (рис. 2, г), ковер Серпинского (рис. 2, д), салфетка Серпинского (рис. 2, е), губ- ка Менгера (рис. 2, ж), множество Мандельбро- та (рис. 2, з) и т. п. Физический  фрактал  –  это  объект  реального мира, который существует в природе независимо от человека и его знаний о нем. Примеры разно- образных физических фракталов, созданных при- родой, приведены на рис. 3. Физические  фракталы  могут  быть  как  есте- ственного  (природного),  так  и  искусственного (техногенного) происхождения (пример показан на рис. 4). Последние иногда называют синтети- ческими фракталами  [55]. Как математические, так и физические фрак- талы принято делить на детерминированные (или регулярные) и стохастические (или нерегулярные случайные). Регулярным называется фрактал, для которо- го  существует  полностью  детерминированный алгоритм его создания. Регулярный фрактал обладает свойством точ- ного самоподобия (или в более общем случае – самоаффинности), т. е. при его рассмотрении на меньшем масштабе мы получаем просто умень- шенную  точную  копию  исходного  фракта- ла  (с  учетом  возможности  использования  опе- раций  поворота  и  масштабирования  с  разными коэффициентами подобия вдоль ортогональных осей), или свойством приблизительного самопо- добия  (или  самоаффинности),  когда  указанное свойство выполняется лишь приблизительно (см., например, [213]). Отметим,  что  наряду  с  понятием  самоподо- бия (self-similarity) в литературе используется его синоним – инвариантность к масштабированию (scale-invariance) [37]. Регулярные  фракталы  делятся  на  геометри- ческие  и  алгебраические.  У  геометрических фракталов  самоподобие  (или  самоаффинность) проявляется  в  самой  геометрической  структу- ре, у  алгебраических – в  самоподобии  (или са- моаффинности) тех или иных их числовых харак- теристик. В отличие от регулярных фракталов, при со- здании и описании которых используются толь- ко детерминированные параметры и алгоритмы, у  стохастических  фракталов  всегда  существует хотя бы один случайный параметр. Стохастичес- кий фрактал является статистически самоподоб- ным (или самоаффинным). Последнее означает, что точно самоподобным или самоаффинным он формально  не  является.  Математические  фрак- талы,  показанные  на  рис.  2,  являются  геомет- рическими  фракталами.  Физические  фракталы, приведенные на рис. 3, в большинстве своем яв- ляются  стохастическими,  хотя,  по  нашему  мне- нию, например, снежинка (рис. 3, и) вполне может быть  отнесена  к  геометрическим  фракталам. Главное  отличие  физических  фракталов  от математических  заключается в  том, что первые формально определению фрактала не удовлетво- ряют  [211].  Проблема  состоит  в  том,  что  у  ма- тематического  фрактала  есть  конечный  мак- симальный  масштаб,  но  минимальный  масштаб по определению стремится к нулю! При этом ко- личество  итераций  при  построении  самого  ма- тематического  фрактала  стремится  к  бесконеч- ности.  Для  физического  же  фрактала  есть  как конечный максимальный масштаб, так и конеч- ный минимальный. Следовательно, и количест- во  итераций  оказывается  тоже  ограниченным. Б. Мандельброт называет эти масштабы порого- выми: внешним и внутренним порогами соответ- ственно [26–28]. К понятию физического фрактала примыкает понятие  предфрактала.  По  определению  (см., например, [28, 152, 207, 228]), фрактальный объект n-го  поколения,  который  строится  с  помощью итерационного процесса, при любом конечном n называется  предфракталом.  Получается,  что 16 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор Рис. 2. Математические фракталы: а – множество Кантора [3], б – триадная кривая Коха [3], в – снежинка Коха [3], г – треугольный невод [3], д – ковер Серпинского [3], е – салфетка Серпинского [3], ж – губка Менгера [305], з – множество Мандельброта [3] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 17 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Рис. 3. Физические фракталы: а – растение, б – дерево, в – птица павлин, г – животное ягуар, д – облако, е – русло реки, ж – береговая линия, з – поверхность пустыни, и – снежинка, к – горный хребет 18 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор формально физический фрактал относится к пред- фракталам. Важно отметить, что, хотя и существует неко- торое различие между реальным объектом (фи- зическим фракталом) и его моделью (математи- ческим  фракталом),  это  различие  оказывается гораздо  меньшим,  чем  для  моделей,  построен- ных на основе геометрии Евклида. Отметим также, что все реальные природные и  техногенные  объекты,  явления  и  процессы, имеющие фрактальные свойства, являются имен- но  физическими  фракталами.  А  знания  о  мате- матических фракталах расставляют лишь некие ориентиры,  которые  являются  связующим  зве- ном между умозрительным миром фрактальной геометрии,  созданным  воображением  великих математиков прошлого, и окружающей нас реаль- ной действительностью. Что касается классификации фракталов,  то  в литературе  (см.,  например,  [96])  встречается также деление фракталов на статические (напри- мер, ковер Серпинского) и динамические (напри- мер, броуновское движение). 2. Ìîíîôðàêòàëû Монофракталом называется фрактал, для описа- ния которого достаточно одного значения фрак- тальной размерности (см, например, [96, 229]). Заметим, что традиционно под словом “фрак- тал”  понимают  именно  монофрактал.  Это  и  не удивительно, поскольку из всех рассмотренных нами ранее определений фракталов только пос- леднее  позволяет  существовать  иным  видам фракталов,  кроме  собственно  монофракталов. Поэтому и в нашей работе мы будем поступать аналогичным образом. Основными  числовыми  характеристиками математических  фракталов  считаются  тополо- гическая  TD  и фрактальная D размерности [227]. Кроме них, иногда рассматриваются также дру- гие  характеристики,  например,  степень  ветвле- ния и лакунарность [26, 28, 29, 154]. 2.1 Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî ôðàêòàëà 2.1.1. Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè Основной числовой характеристикой любого фрак- тала является фрактальная размерность  [26,  28, 29, 96]. Ее принято обозначать D. Б. Мандельб- рот,  который  является  автором  этого  термина, фрактальной  размерностью  математического фрактала  в подавляющем большинстве  случаев считал размерность Хаусдорфа–Безиковича  HBD [26, 28, 29], подробно рассмотренную нами выше, т. е.  .HBD D Однако со временем выяснилось, что исполь- зовать  строгое  определение  размерности  Хаус- дорфа–Безиковича  ,HBD   данное  в  пункте  1.4.3, в  практических  целях  оказывается  весьма  зат- руднительным.  Поэтому  на  практике  использу- ется следующий алгоритм [229]. Пусть интересующий нас объект находится в обычном евклидовом пространстве с известной нам евклидовой размерностью E. Покроем этот объект E-мерными “шарами” радиуса l. Под “ша- ром” в зависимости от задачи и величины  будем понимать также и куб, и квадрат, и просто отре- зок  прямой.  Предположим,  что  для  этого  нам потребовалось не менее чем  ( )N l  шаров. Тогда, если  при  достаточно  малых  l  величина  ( )N l меняется с  l по степенному закону 1 ( ) ~ , D N l l (1) Рис. 4. Фрактальные антенны <https://otvet.mail.ru/question/203197873> (а), <https://vashtehnik.ru/wp-content/uploads/3724.jpg> (б) ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 19 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы то  D  и  есть  фрактальная  размерность  данно- го  объекта,  причем  она  равна  его  размерности Хаусдорфа–Безиковича,  .HBD D Формулу (1) можно переписать в виде [229]: 0 ln ( ) lim . lnl N l D l   (2) Именно формула (2) обычно служит на прак- тике определением фрактальной размерности D, которую иногда называют объемной размернос- тью множества [230]. Это соотношение показы- вает, что величина D является локальной харак- теристикой данного объекта [229]. Последнее оз- начает, что объект может быть как однородным (во  всех  точках  значения  D  одинаковы),  так  и неоднородным (значения D в разных точках мо- гут  быть  разными). В параграфе 2.4 мы увидим, что это далеко не единственный разумный алгоритм определения фрактальной размерности. 2.1.2. Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü íåôðàêòàëüíûõ ìíîæåñòâ Теперь  убедимся,  что  определение  фракталь- ной размерности в  виде  (2) действительно дает привычные  нам  целочисленные  значения  раз- мерностей  для  классических  нефрактальных объектов [229]. Пример  1.  Множество,  состоящее  из  ко- нечного  числа  изолированных  точек.  Для  тако- го множества минимальное число E-мерных “ша- ров”,  с  помощью  которых  мы  можем  покрыть это  множество,  при  достаточно  малом  размере “шаров”  совпадает,  очевидно,  с  количеством самих точек N, т. е.  ( ) ,N l N  и никак не зависит от диаметра этих шаров l. Следовательно, фрак- тальная  размерность  этого  объекта  равна 0 0 ln ( ) 1 lim ln lim 0. ln lnl l N l D N l l       Евклидова размерность пространства и топо- логическая размерность этого множества также равны:  0.TE D  Пример  2.  Отрезок  гладкой  кривой  линии длиной  L.  Он  состоит  из  бесконечного  количе- ства  точек,  при  этом  минимальное  число  ( )N l одномерных отрезков размера  l, с помощью ко- торых можно покрыть данный отрезок целиком, равно, очевидно,  ( ) .N l L l  В этом случае фрак- тальная  размерность  равна 0 0 ln ( ) ln( ) lim lim ln lnl l N l L l D l l       0 0 ln ln 1 lim 1 ln lim 1. ln lnl l L l L l l        Евклидова размерность пространства и топо- логическая размерность этого множества также равны:  1.TE D  Пример  3.  Область  гладкой  двумерной  по- верхности площадью S. Число необходимых для ее покрытия квадратиков при достаточно малых l  составляет  2( ) ,N l S l   поэтому  фрактальная размерность гладкой кривой составляет 2 0 0 ln ( ) ln( ) lim lim ln lnl l N l S l D l l       0 0 ln 2ln 1 lim 2 ln lim 2. ln lnl l S l S l l        Евклидова размерность пространства и топо- логическая размерность этого множества также равны:  2.TE D  Пример  4.  Ограниченная  область  трехмер- ного  пространства  объемом  V.  Для  ее  покры- тия необходимо  3( )N l V l  кубиков с ребром l. Тогда 3 0 0 ln ( ) ln( ) lim lim ln lnl l N l V l D l l       0 0 ln 3ln 1 lim 3 ln lim 3, ln lnl l V l V l l        при этом  3.TE D  Таким образом, исходя из оценки фрактальной размерности,  все  рассмотренные  объекты  дей- ствительно  не  являются  фракталами.  Для  них наблюдается ситуация, когда фрактальная и то- пологическая  размерности  множеств,  а  также евклидова размерность пространства, в которое погружено данное множество, равны между со- бой:  .TD D E    Последнее  подтверждает мысль, высказанную в параграфе 1.4, о том, что для описания объектов классической евклидовой геометрии вполне достаточно одной-единствен- ной размерности. 20 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 2.1.3. Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü êëàññè÷åñêèõ ìîíîôðàêòàëîâ Разберемся,  как  оценивается  фрактальная  раз- мерность регулярных геометрических монофрак- талов на примере ряда объектов, которые на се- годня уже признаются классикой фрактальной гео- метрии.  Следует  обратить  внимание  на  то,  что для  каждого  геометрического  монофрактала существует свой полностью детерминированный алгоритм его создания, который представляет со- бой некий итерационный процесс с количеством шагов, стремящимся к бесконечности. Пример  1.  Множество  Кантора  [26,  28,  29, 32, 206, 229]. Классический алгоритм построения канторового множества, известного также как “кан- торова  пыль”,  состоит  в  следующем  (рис.  1,  а). Первоначально берется отрезок прямой единич- ной длины. Затем его делят на три равные части и выбрасывают среднюю. Это первый шаг ите- рационной процедуры. На втором шаге процеду- ра  применяется  к  оставшимся  двум  отрезкам. Так  продолжается  до  бесконечности.  Нетрудно увидеть,  что  суммарная  длина  всех  выброшен- ных частей равна единице: 1 2 4 1 2 4 1 1 ... 1 ... 1. 23 9 27 3 3 9 31 3                Тогда длина оставшегося в пределе объекта рав- на нулю,  0.L   Следовательно, возникшее мно- жество  представляет  собой  бесконечное  число изолированных точек, которое и получило назва- ние канторового множества. Вычислим фрактальную размерность D этого множества [229]. На n-ом шаге построения дли- на  отрезка  составляет  1 3 ,nl    а  число  самих отрезков равно  ( ) 2 .nN l   Предел  0l   соответ- ствует условию  .n    Тогда с использованием формулы (2) получаем 0 ln ( ) ln 2 ln 2 lim lim 0.6309. ln ln 3ln 3 n nl n N l D l       Фрактальная размерность канторового множе- ства оказалась меньше евклидовой размерности пространства,  куда  помещено  это  множество, 1,D E   но больше топологической размер- ности самого множества,  0.TD D  Пример  2.  Снежинка  Коха  [24,  26,  28,  29, 206, 229, 231]. Фрактал, называемый снежинкой (или озером) Коха (рис. 2, в), строится из равно- стороннего треугольника с использованием для каждой из его сторон алгоритма построения три- адной кривой Коха (рис. 2, б), предложенной Х. фон Кохом в 1904 г. [67, 68, 207]. Заметим, что во многих русскоязычных книгах часто встречает- ся “кривая Кох” (см., например, [33]). Эта ошиб- ка, по всей видимости, впервые возникла в пере- воде на русский язык [207] книги [232]. Суть  итерационного  процесса  состоит  в  сле- дующем. Берется единичный отрезок и делится на три равные части. Средняя часть выбрасыва- ется и заменяется на два отрезка такой же дли- ны, которые с выброшенной частью составляют равносторонний треугольник. Такой итерационный процесс  продолжается  до  бесконечности.  В  ре- зультате  возникает  симметричная,  похожая  на снежинку, бесконечно изломанная кривая, кото- рая  представляет  собой  самоподобное  мно- жество.  Отличительной  ее  особенностью  яв- ляется  то,  что  она,  будучи  замкнутой,  тем  не менее нигде себя не пересекает, поскольку дос- траиваемые треугольники каждый раз достаточ- но  малы  и  никогда  “не  сталкиваются”  друг  с другом. Посчитаем  фрактальную  размерность  D  для снежинки  Коха.  Длина  исходного  треугольника 0 0 1 1 3 ,l l    следовательно число отрезков та- кой длины, которые покрывают снежинку Коха на этом  (нулевом,  0)n    шаге  равно  0( ) 3.N l N  При  1n    имеем  1 1 1 3 ,l l    1 1( ) 3 4 .N l N   Тогда  на  шаге  с  номером  n  имеем  1 3 ,n nl l  ( ) 3 4 .n nN l N    Исходя из формулы (2), получим 0 ln ( ) ln(3 4 ) ln 4 lim lim 1.2618. ln ln 3ln 3 n nl n N l D l        Следовательно, фрактальная размерность сне- жинки Коха меньше евклидовой размерности про- странства, где она находится,  2,D E   но боль- ше топологической размерности самой снежинки, 1.TD D  Таким образом, снежинка Коха предд- ставляет собой линию бесконечной длины, огра- ничивающую  конечную  площадь,  поскольку  на n-ом  шаге  ее  длина  составляет  3 (4 3)nL     и стремится к бесконечности при  .n   Пример  3.  Салфетка  Серпинского  [26,  28, 29, 206, 229]. Регулярный фрактал, называемый салфеткой  Серпинского,  получается  последова- тельным вырезанием центральных равносторон- ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 21 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы них треугольников так, как показано на рис. 2, е. В  результате получается  “дырявая” фигура,  со- стоящая  из  бесконечного  числа  изолированных точек. Фрактальная  размерность  D  салфетки  Сер- пинского подсчитывается так. На нулевом шаге имеется  один  равносторонний  треугольник 0( ) 1N l N   со стороной   0 1,l l   а на первом шаге  –  три  равносторонних  треугольника 1( ) 3N l N    со  стороной  1 1 2.l l    Тогда  на n-ом  шаге  имеем  ( ) 3 ,n nN l N    1 2 .n nl l  Следовательно, фрактальная размерность салфет- ки Серпинского равна 0 ln ( ) ln 3 ln 3 lim lim 1.5849. ln ln 2ln 2 n nl n N l D l       Фрактальная размерность салфетки Серпинс- кого  оказывается  меньше  евклидовой  размер- ности  плоскости,  на  которой  она  находится, 2,D E   но больше топологической размерно- сти самой салфетки,  0.TD D   Здесь обратим внимание  на  топологическую  размерность  сал- фетки Серпинского. Никакой ошибки здесь нет. Она действительно равна нулю, поскольку сал- фетка  представляет  собой  бесконечное  множе- ство изолированных точек, а их топологическая размерность,  как  уже  обсуждалось  ранее,  дей- ствительно  равна  нулю.  К  тому  же  салфетка имеет  нулевую  площадь,  что  легко  показать по аналогии с предыдущими примерами. Пример  4.  Ковер  Серпинского  [26,  28,  29]. Еще один интересный фрактал, именуемый ков- ром Серпинского, показан на рис. 2, д. Принцип его построения аналогичен тому, что существует для салфетки Серпинского. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна  ln8 ln 3 1.8928,D    егоо топологическая размерность составляет  1,TD  евклидова размерность пространства, в которое он  помещен,  равна  2.E    Ковер  Серпинскогоо также имеет нулевую площадь. Легко заметить, что фрактальная размерность ковра Серпинского оказалась больше, чем у салфетки Серпинского. И  хотя  оба  объекта  представляют  собой  беско- нечное  множество  изолированных  точек,  плот- ность  их  упаковки  в  объекте  разная.  Отсюда следует важный практический вывод: фракталь- ная размерность D отражает плотность заполне- ния  фрактальным  объектом  области  простран- ства, в которое он помещен: чем ближе величина D к E, тем выше плотность. Неравенство  D E отражает факт некомпактности фрактала, причем чем  больше  различаются  величины  E  и  D,  тем более  рыхлым  является  фрактал. Пример  5.  Губка  Менгера  [26,  28,  29].  Алго- ритм создания пространственного аналога ковра Серпинского,  называемого  губкой  Менгера,  со- стоит  в  следующем  (рис.  2,  ж).  Каждая  грань куба,  имеющая  единичную  длину,  делится  на 9 равных квадратиков так же, как при построении ковра  Серпинского.  В  результате  исходный  куб разбивается на 27 одинаковых кубиков с длиной ребра, равной 1 3.  Затем, после удаления 7 куби- ков (1 центрального и 6 из центра каждой из гра- ней),  противоположные  грани  исходного  куба соединяются  сквозным  центральным  отверс- тием квадратной формы. В результате из 27 ос- тается 20 маленьких кубиков. В результате бес- конечного  итерационного  процесса  получается “дырявая”  фигура,  состоящая  из  бесконечного числа изолированных точек. Вычислим ее фрактальную размерность D. На нулевом шаге имеется один кубик  0( ) 1N l N  со стороной  0 1,l l   а на первом шаге остается 1 1( ) 20N l N    кубиков со стороной  1 1 3.l l  Тогда  на  n-ом  шаге  имеем  ( ) 20 ,n nN l N  1 3 .n nl l   Следовательно, фрактальная размер- ность губки Менгера равна 0 ln ( ) ln 20 ln 20 lim lim 2.7268. ln ln 3ln3 n nl n N l D l       Топологическая  размерность  губки  Менгера составляет  1,TD    евклидова  размерность  про- странства, в которое она помещена, равна  3.E  Заметим,  что  иногда  губку  Менгера  называют также губкой Серпинского [33, 233]. Интересно, что существует и трехмерный ана- лог снежинки Коха [234]. Пример  6.  Троичная  фрактальная  пена  [26, 28,  29].  Алгоритм  его  построения  отличается от  алгоритма  создания  губки  Менгера  тем,  что на  каждом  шаге  итерационного  процесса  из 27 кубиков выбрасывается не 7, а только один – тот,  который  находится  в  середине  исходного куба.  Для  троичной  фрактальной  пены  имеем ln 26 ln 3 2.9656,D     2,TD    3.E    Понятно, что точки в троичной фрактальной пене упакова- ны более плотно, чем в губке Менгера. Интерес- 22 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор но, что пустоты, называемые тремами, в губках сливаются в одну,  а в пенах и коврах остаются изолированными друг от друга [26, 28, 29]. Итак, из всего, сказанного выше, легко заме- тить,  что  для  фигур,  обладающих  свойством идеального  самоподобия,  можно  сделать  такой общий  вывод  (см.,  например,  [235]):  если  мно- жество,  состоящее  из  одинаковых  элементов, строится  с  помощью  самоподобного  процесса, причем  на  любом  шаге  каждый  из  элементов с  линейными  размерами  l  заменяется  на  p  по- добных же элементов размерами  l q   ( 1)q   каж- дый, то фрактальная размерность такого объек- та равна  ln ln .D p q Пример 7. Пирамида Серпинского [26, 28, 29]. По  аналогии  с  салфеткой  Серпинского  можно построить пирамиду (рис. 5), каждая грань кото- рой  будет  представлять  собой  салфетку  Сер- пинского (рис. 2, е). Этот фрактал известен так- же как “фрактальная паутина”. На каждом шаге тетраэдр  делится  на  пять  одинаковых  тетраэд- ров, у которых длина стороны оказывается в два раза  меньше,  чем  у  исходного.  Затем  один  из пяти  тетраэдров  выбрасывается.  Следователь- но, получаем  ( ) 4 ,n nN l N    1 2 .n nl l   Тогдада фрактальная  размерность  составляет 0 ln ( ) ln 4 ln 4 lim lim 2. ln ln 2ln 2 n nl n N l D l       Получился  интересный  результат:  евклидова размерность пространства, в которое погружена пирамида Серпинского, равна  3,E   топологичес- кая размерность пирамиды  1,TD   но фракталь- ная  размерность  D  оказалась  целым  числом,  а не дробным. Этот пример хорошо иллюстрирует, почему  фрактальную  размерность  некорректно называть  дробной  размерностью  [26,  28,  29]. Оказывается,  что  некоторые  фракталы  вполне могут  иметь  целочисленную  фрактальную  раз- мерность  D. Пример  8.  Кривые  Пеано  [26,  28,  29,  32]. Выше мы рассмотрели некомпактные  (рыхлые) фракталы, для которых  .D E  Между тем суще- ствуют фракталы, которые плотно заполняют про- странство,  в  котором  они  находятся,  так  что .D E  Одним из примеров такого рода являют- ся  кривые  Пеано,  которые  уже  обсуждались в  пункте  1.4.2.  Первая  из  них  была  найдена Дж. Пеано в 1890 г. (рис. 1). Топологическая раз- мерность  этой  кривой  равна  1.TD    Она  пог- ружена  в  пространство  с  2.E    Вычислим ее  фрактальную  размерность  D.  Исходным объектом  построения  кривой  является  единич- ный  квадрат.  При  0n    имеем  0 0 0 4 1,N    0 0 1 1 2 .l     При  1n    получаем  1 1 3 4 1,N    1 1 1 2 .l      При  2n    имеем  2 2 15 4 1,N    2 2 1 2 .l   Итак,  4 1,n nN     1 2 .n nl   Тогдада ln(4 1) lim 2. ln 2 n nn D     Итак, фрактальная размерность кривой Пеано оказалась  равна  евклидовой  размерности  про- странства,  в  которое  она  помещена:  2.D E  Это означает, что кривая заполнила квадрат пол- ностью, никаких пустот внутри уже нет. Между тем,  фрактальная  размерность  кривой  Пеа- но  оказывается  большей,  чем  ее  топологичес- кая размерность:  1.TD D   Мы получили еще один фрактал с целочисленной фрактальной раз- мерностью. Пример  9.  Кривая  Госпера  [26,  28,  29]. Кривая (или остров) Госпера относится к классу кривых Пеано. Алгоритм ее построения показан на рис. 6. На каждом шаге итерационного про- цесса  отрезок  единичной  длины  заменяется  на 7  отрезков  длиной  1 7   каждый.  Размерность пространства, где находится кривая Госпера, со- ставляет  2.E    Топологическая  размерность кривой  1,TD   фрактальная размерностьРис. 5. Пирамида Серпинского [67, 68] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 23 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы   ln 7 lim 2. 1 ln 7 n n n D     Интересной отличительной особенностью кри- вой  Госпера  является  то,  что  граница  области, называемой островом Госпера, которую она за- полняет в пределе бесконечного количества ша- гов, сама является фрактальной с нецелочислен- ной размерностью ln 3 1.1291. ln 7 D   Такие острова можно использовать для непре- рывного покрытия плоскости, так как доказано, что они идеально стыкуются друг с другом. Более того,  семь  островов  Госпера,  состыкованных вместе  (один  в  центре  и  шесть  вокруг  него), образуют снова остров Госпера в три раза боль- шего  размера.  Из  правильных  многоугольни- ков  таким  свойством  обладает  только  квадрат. Б. Мандельброт называет  это  свойство  тайлин- гом [26, 28, 29]. Пример  10.  Дракон  Хартера–Хейтуэя  [26, 28, 29]. Это еще одна кривая Пеано, которая носит собственное  имя.  Этот  фрактал  отличается  от предыдущих  примеров  тем,  что  заполняет  на плоскости область весьма причудливой формы. Результаты первых четырех, двенадцатой и ше- стнадцатой  итераций  показаны  на  рис.  7.  Как следует из рисунка, каждый из отрезков прямой на следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого ис- ходный  отрезок  являлся  бы  гипотенузой.  В  ре- зультате  отрезок  как  бы  прогибается  под  пря- мым  углом.  Направления  прогиба  чередуются. Первый  отрезок  прогибается  вправо  (по  хо- ду движения слева направо), второй – влево, тре- тий – опять вправо и т. д. Для удобства восприятия на каждом рисунке пунктиром показана конфигура- ция предыдущего шага. Таким образом, после каж- дого шага число имеющихся отрезков удваивается, а длина каждого отрезка уменьшается в  2  раз. Следовательно,  2 ,n nN     1 2 , n nl    и  фрак- тальная размерность кривой после бесконечного числа шагов оказывается равной   ln 2 lim 2, 1 ln 2 n n n D     т. е.  кривая  занимает некоторую  конечную  пло- щадь. Этот  “дракон”  представляет  собой  пример так называемых L-систем, изобретенных А. Лин- денмайером в 1968 г. для моделирования биологи- ческого  роста  [231,  236].  Линденмайер  показал, что  предельная  геометрия  даже  очень  простых систем  может  быть  необычайно  фрактальной. Пример  11.  Вселенная  Фурнье  [26].  Вселен- ная Фурнье, названная так по имени американско- Рис. 6. Кривая Госпера [305] 24 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор го  журналиста  и  изобретателя,  который  пред- ложил  ее  в  1907  г.,  показана  на  рис.  8.  Каждая точка на этом рисунке представляет одну галак- тику. Они объединены в скопления радиуса  1R  по семь галактик в каждом скоплении. На рис. 8 видны только пять, поскольку две недостающих располо- жены симметрично над и под плоскостью рисун- ка на прямой, проходящей через центр скопления. В свою очередь, семь таких скоплений аналогич- Рис. 7. Дракон Хартера–Хейтуэя [305] ным  образом  объединены  в  одно  суперскопле- ние радиуса  2.R  По такому же принципу строит- ся  суперсуперскопление  радиуса  3,R   причем 3 2 2 1 ,R R R R  и т. д. В результате многократно- го повторения такого процесса возникает самопо- добная  фрактальная  структура.  Ее  фрактальную размерность  D  легко  определить,  заметив,  что, как следует из рис. 8, в сфере радиуса  2R  содер- жится  в  семь  раз  больше  галактик,  чем  в  сфере радиуса  1,R  т. е.  2 1( ) 7 ( ).N R N R  Решением это-о- го уравнения является степенная функция  .DN R Тогда легко получить, что 2 1 ln 7 . ln( ) D R R  У  Фурнье  2 17 ,R R   откуда  размерность  все- ленной оказывается равной  1.D   Как видно, все- ленная для  этого вовсе не обязана быть прямой или какой-нибудь другой плавной линией. Более того, она даже не должна быть связной областью. Меняя отношения  2 1 ,R R  легко построить фрак- тальные вселенные с другими размерностями D, близкими к единице. Здесь  необходимо  сделать  еще  один  важный вывод  [26]:  равенство  фрактальных  размернос- тей двух объектов вовсе не обещает одинаково- сти их структуры.Рис. 8. Вселенная Фурнье [305] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 25 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Итак, на рассмотренных примерах мы выяс- нили,  как  строятся  классические  регулярные геометрические фракталы и как оценивается их фрактальная  размерность. 2.2. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ìîíîôðàêòàëîâ К методам построения регулярных геометричес- ких фракталов относятся метод генератора, ме- тод систем итерируемых функций, метод случай- ных итераций (или игра в хаос), метод игры в хаос с поворотами, метод сжимающих аффинных пре- образований и метод нелинейных комплексных отображений. 2.2.1. Ìåòîä ãåíåðàòîðà Метод генератора является наиболее старым из всех существующих, и именно с его помощью были построены все регулярные геометрические фрак- талы в параграфе 2.1. Суть данного метода состо- ит в следующем [26]. Сначала выбирается некото- рый исходный объект (инициатор). Затем опреде- ляется некоторое правило преобразования инициа- тора (генератор), причем в результате обязательно должны получаться новые объекты, которые мож- но составить только из уменьшенных копий ини- циатора. В результате повторяющихся применений генератора создается итерационный процесс, кото- рый в пределе (когда количество итераций устрем- ляется в бесконечность) дает строго самоподоб- ный регулярный геометрический фрактал. В слу- чае построения, например, канторового множества (рис. 2, а) инициатор – это единичный отрезок, а генератор – правило деления отрезка на три рав- ных части и выбрасывание средней. Фракталы, которые получаются в результате простой  рекурсивной  процедуры  (комбинации линейных преобразований), называются конст- руктивными фракталами [210]. В противополож- ность им фракталы, возникающие в нелинейных динамических  системах  и  обладающие  лишь приблизительной масштабной инвариантностью, называют динамическими фракталами  [210]. 2.2.2. Ìåòîä ñèñòåì èòåðèðóåìûõ ôóíêöèé Метод систем итерируемых функций (СИФ) был предложен в 1985 г. американским математиком М. Барнсли [237]. Впоследствии этот метод полу- чил свое развитие в его работах [238] (рекуррент- ные СИФ) и [239] (суперСИФ). В 1990 г. М. Барнс- ли и А. Слоан запатентовали метод сжатия изобра- жений, базирующийся на методе СИФ, и тем са- мым основали новое направление в информацион- ных технологиях, получившее название фракталь- ного сжатия изображений (см., например, [240, 241]). Предложенная ими идея кратко обсуждается ниже. Суть метода СИФ (см., например,  [45, 67, 68, 78, 86, 206, 211, 237, 238, 242]) рассмотрим на при- мере салфетки Серпинского (рис. 2, е), с которой мы познакомились в пункте 2.1.3. Поместим равносторонний треугольник со сто- роной единичной длины на комплексную плоскость переменной  z  так,  как показано на рис. 9  слева. Функция комплексной переменной  1( ) 2f z z  кон- формно отображает (преобразование  1)t  этот тре- угольник на равносторонний треугольник в два раза меньшего размера  (рис. 9, а). Преобразование 2 2 1 1 1 1 : ( ) ( ) 2 2 2 t f z f z z    смещает полученный треугольник на 1 2  вправо (рис. 9, б), а преобразование 3 3 2 1 3 1 3 3 : ( ) ( ) 4 4 2 4 4 t f z f z i z i      Рис. 9. Преобразования системы из трех линейных отображе- ний [305] 26 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор транслирует последний треугольник на комплекс- ный вектор 1 4 3 4i  (рис. 9, в). В итоге три ли- нейные функции  1( ),f z   2 ( )f z  и  3( )f z  осуществ- ляют преобразование одного треугольника в три треугольника  со  стороной в  два раза меньшего размера. Если теперь каждый из этих трех треу- гольником в свою очередь подвергнуть этим трем преобразованиям, то возникнет 9 треугольников с размером стороны в четыре раза меньше исход- ного (рис. 10). В каждом треугольнике на рис. 10 показан так называемый генеалогический код – ре- зультирующее преобразование, при помощи кото- рого данный треугольник получен из исходного. Обратим внимание на некоммутативность преоб- разований,  так  как  преобразования,  например, 1 2( )t t  и  2 1( )t t  создают разные треугольники. В ре- зультате итерационного процесса в пределе полу- чаем салфетку Серпинского. Важно отметить  тот факт,  что  стартовать мы могли бы не только с треугольника, а, например, с  круга,  квадрата  или  вообще  любой  (даже  не- связной) фигуры, произвольным образом распо- ложенной на плоскости. Результат в пределе ока- зался  бы  тем  же  самым.  Причина  заключается в том, что салфетка Серпинского является свое- образным аттрактором для этой системы из трех линейных преобразований  1( ),f z   2 ( )f z  и  3( ),f z которую в литературе (см., например, [78]) назы- вают  СИФ. Разумеется,  разные  СИФ  имеют  разные  атт- ракторы, а потому возможно построения разных регулярных геометрических фракталов. С теорией СИФ тесно связано понятие фрак- тел (fractel). Термин “фрактел”, который являет- ся  сокращением  от  словосочетания  “фракталь- ный  элемент”  (fractal  element),  был  введен М. Барнсли, М. Хегландом и П. Массопустом в 2016 г. [243] для обозначения специальных струк- турных объектов, из которых как из кирпичиков можно построить СИФ [244]. На  сегодня  теория  СИФ  и  ее  практические приложения продолжают развиваться (см., напри- мер, [245]). 2.2.3. Ìåòîä ñëó÷àéíûõ èòåðàöèé, èëè èãðà â õàîñ Метод  случайных  итераций,  созданный  авто- ром метода СИФ М. Барнсли, известен также как игра в хаос [78]. Интересно, что некоторые авто- ры [67, 68] считают, что идея игры в хаос в чем- то схожа с появившейся ранее другой игрой, ав- торство которой приписывают некоему мифичес- кому “сэру Пинскому”. Суть  метода  случайных итераций такова [45, 52, 67, 68, 78, 246]. Возьмем  равносторонний  треугольник  с  вер- шинами в  точках A, B  и C. Внутри  этого  треу- гольника произвольным образом выберем началь- ную точку. Бросим теперь игральную кость, пред- ставляющую собой кубик, на 6 гранях которого проставлены буквы A, B и C. Пусть каждая буква присутствует на двух из них, тогда вероятность выпадения любой буквы одинакова и равна 1 3. Допустим, что в результате первого броска вы- пала буква A. Соединим мысленно нашу началь- ную  точку  с  вершиной  треугольника  A  отрез- ком  прямой  и  на  его  середине  поставим  точку (рис.  11,  а).  Пусть  теперь  она  играет  роль  на- чальной. После этого повторим всю процедуру с бросанием кубика и проставлением точки. Допу- стим, на втором шаге выпала буква C, потом B, затем опять C и т. д. На каждом шаге мы будем получать  все  новые  и  новые  точки.  Результаты игры из 5000, 10000 и 50000 бросков показаны со- ответственно на рис. 11, б–г. Итак, по мере увели- чения  числа  точек  все  явственнее  проступает структура салфетки Серпинского. Важно отметить, что, хотя каждый раз выбор осуществляется чи- сто случайным образом, возникающее на плоско- сти множество точек отнюдь не случайно и обла- дает  ярко  выраженной  фрактальной  структурой. Объяснение полученному результату достаточ- но простое. Существует сразу не бросающаяся в глаза  связь  этой  простой  игры  в  хаос  с  СИФ, рассмотренной в пункте 2.2.2. На самом деле, на каждом шагу итерационного процесса к текущей точке z применялось выбранное случайным об- разом одно из трех преобразований  1( ),f z   2 ( )f z или  3( ).f z  А поскольку треугольник Серпинскогоо является аттрактором для этой СИФ, он возни- кает и при чисто случайном выборе последова- тельности преобразований  ( ...).i j kt t t Рис. 10. Первые два поколения итераций системы из трех линейных отображений [305] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 27 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Более того, оказывается (см., например, [78]), что  как  правила  игры  в  хаос,  так  и  объект,  на котором ведется игра, можно изменять и строить в каждом случае свою СИФ. Это позволяет со- здавать  большое  количество  новых  регулярных геометрических  фракталов. 2.2.4. Ìåòîä èãðû â õàîñ ñ ïîâîðîòàìè Возможности игры в хаос можно расширить, если кроме операций сжатия и параллельного перено- са, описанных в предыдущем пункте, использо- вать еще операцию поворота на заданный угол [45, 78]. В этом случае СИФ для кривой Коха имеет вид [78]: 1 1 1 : ( ) , 3 t f z z 3 2 2 1 1 : ( ) , 3 3 it f z e z  3 3 3 1 3 3 : ( ) , 3 6 i i t f z e z    4 4 1 2 : ( ) . 3 3 t f z z  Результат,  полученный  для  разного  количества итераций, показан на рис. 12. Подобным образом можно получить и многие другие  фракталы,  например,  дракона  Хартера– Хейтуэя (рис. 7). 2.2.5. Ìåòîä ñæèìàþùèõ àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé Рассмотренные выше методы основаны на линей- ных преобразованиях на комплексной плоскости, которые являются частными случаями более об- щего аффинного преобразования плоскости [45, 78] 1 1 .n n n n x xa b e y yc d f                         В общем случае аффинное преобразование на плос- кости задается шестью независимыми действитель- ными числами. Числа e и  f описывают обычную трансляцию, а четыре числа a, b, c, d задают произ- вольное линейное преобразование при неизменном положении начала координат  (0,0).  Фактически аффинное преобразование описывает переход от прямоугольной  декартовой  системы  координат к произвольной косоугольной системе координат. Рис. 11. Игра в хаос: а – 5 точек, б – 5000 точек, в – 10000 точек, г – 50000 точек [229, 305] Рис. 12. Построение кривой Коха с помощью СИФ: а – после одной итерации, б – после двух итераций, в – после 150000 итераций [305] 28 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор Неподвижной точкой аффинного преобразова- ния  называют  точку,  которая  остается на месте под воздействием данного преобразования. Неподвижная  точка  называется  притягиваю- щей, если, начав с произвольной точки на плос- кости, мы в процессе итераций будем все время к ней приближаться. Если длина произвольного отрезка при аффин- ном преобразовании уменьшается, то преобразо- вание  называют  сжимающим. Сжимающие  аффинные  преобразования  иг- рают ключевую роль в методе СИФ. Установлено [78], что именно в этом случае СИФ имеют своим аттрактором фрактальное множество. Неподвиж- ные  точки  каждого  отображения,  входящего  в СИФ,  принадлежат  фрактальному  множеству. Например,  для  салфетки  Серпинского  (рис.  11) это вершины исходного треугольника. Таким образом, метод сжимающих аффинных преобразований  является  на  сегодня  одним  из самых эффективных методов создания регуляр- ных геометрических монофракталов. Одним из наиболее ярких примеров среди раз- личных  СИФ,  несомненно,  является  открытая М. Барнсли  система  из  четырех  сжимающих аффинных преобразований, аттрактором которой является  множество  точек,  поразительно  напо- минающее по форме изображение листа папорот- ника (рис. 13) [78]. Это множество точек бесконечно самоподобно. Однако главный удивительный результат состоит в том, что вся информация о таком сложнейшем рисунке содержится в СИФ, точнее, всего лишь в 28 значениях ее коэффициентов. Зная их, всегда можно точно восстановить координаты всех то- чек  рисунка.  Эта  идея  и  лежит  в  основе  фрак- тального  сжатия  изображений  [78].  Впервые она  была  успешно  осуществлена  М.  Барнсли и  А.  Слоаном  в  1988  г.  [240]  в  созданной  ими совместно компании по кодированию и сжатию графической  информации  с  помощью  соответ- ствующим образом подобранной СИФ. В 1985 г. ими была сформулирована так называемая тео- рема коллажа [52, 53, 78], согласно которой для любого изображения можно подобрать соответ- ствующую  ему  СИФ.  И  тогда  вместо  передачи информации об атрибутах всех пикселей изобра- жения достаточно сообщить получателю только набор коэффициентов этой СИФ, что на поряд- ки снижает нагрузку на канал передачи данных и  существенно  увеличивает  скорость.  Платой за  полученные  преимущества  является  необ- ходимость  наличия  высокопроизводительных компьютерных  систем,  осуществляющих  коди- рование/декодирование  изображений  в  масшта- бе реального времени. 2.2.6. Ìåòîä íåëèíåéíûõ êîìïëåêñíûõ îòîáðàæåíèé Еще одной полезной идеей создания фрактальных объектов является метод нелинейных комплекс- ных отображений [45, 247], сопоставляющих од- ному  комплексному  числу  другое  комплексное число по итерационному правилу 1 ( ),n nz f z  где  ( )f z  – некоторая нелинейная функция, n – но- мер итерации. Простейшим  нелинейным  отображением  яв- ляется  квадратичное: 2 1 ( ) ,n n nz f z z c    Рис. 13. Лист папоротника при 2000, 4000, 10000, 50000 и 200000 итераций [305] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 29 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы где c – комплексная константа. Кажущаяся про- стота  алгоритма  никак  не  сопоставима  с  пот- рясающей  красотой  и  разнообразием  тех  фрак- тальных структур, которые возникают в резуль- тате его использования. Примером может служить множество Мандельброта (рис. 2, з) (см., напри- мер, [45, 247]). Метод нелинейных комплексных отображений позволяет  создавать  комплексные,  гиперкомп- лексные, мультикомплексные и мультигиперкомп- лексные фрактальные объекты  [248]. 2.2.7. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ôðàêòàëîâ Рассмотренные выше алгоритмы, использованные для построения регулярных фракталов, могут быть мо- дифицированы для построения стохастических (или нерегулярных случайных) фракталов [17, 206, 212]. Для этого достаточно ввести в соответствующие алгоритмы один или несколько случайных пара- метров.  Б.  Мандельброт  такие  фракталы  назы- вает “унифракталами” [183, 215]. Идею поясним на примере салфетки Серпинс- кого (пункт 2.2.2) [17]. Давайте будем удалять на заданном этапе, например, не четко определен- ный (детерминированный подход) центральный треугольник, а один из четырех, выбранный слу- чайным образом. Тогда получится  стохастичес- кий вариант салфетки Серпинского. Процесс та- кого построения показан на рис. 14. Важно  отметить,  что  полученный  объект  не является  ни  строго  самоподобным,  ни  строго самоаффинным,  а  потому,  собственно  говоря, и  не  является  регулярным  фракталом.  Однако он является статистически самоподобным и от- носится  к  стохастическим  фракталам.  Именно возможность  существования  таких  фракталов и учитывается в определении К. Фалконера (см. параграф 1.3). Здесь  необходимо  упомянуть  еще  об  одном интересном результате, полученном автором кон- цепции  СИФ  М.  Барнсли,  –  суперфракталах. По определению [239], суперфракталы – это се- мейство  фрактальных  объектов,  которые  полу- чаются в результате использования метода игры в хаос для СИФ специального вида, называемых суперСИФ, и которые занимают промежуточное положение между полностью детерминированны- ми фракталами и полностью случайными фрак- талами. Суперфракталы были открыты М. Бар- нсли в 2002 г. в соавторстве с Дж. Хатчинсоном и О. Стенфло [239]. К  стохастическим  фракталам  относятся  так- же алеаторные фракталы. Алеаторнный фрактал можно построить, используя любой детермини- рованный алгоритм построения фрактала, в кото- ром  после  каждого  шага  происходит  некоторое случайное  возмущение.  Такое  возмущение  мо- жет создавать генератор случайных чисел с  за- даваемыми законом распределения и необходи- мыми  параметрами  этого  закона  [87]. 2.3. Òîëñòûå ôðàêòàëû Все  рассмотренные  нами  выше  математичес- кие фракталы обладают одной важной особенно- стью [67, 68], которую мы не отметили. Оказы- вается, что все они имеют меру Хаусдорфа dH (см. пункт 1.4.3), которая равна или нулю, или бес- конечности. Именно для описания таких объек- тов  и  вводилась  размерность  Хаусдорфа–Бези- ковича  ,HBD   которую  мы  использовали  в  виде фрактальной размерности D. Однако могут существовать и такие обладаю- щие  фрактальными  признаками  самоподобные множества,  для  которых  мера  Хаусдорфа  dH принимает конечное значение. Самоподобное множество, для которого мера Хаусдорфа  dH   принимает  конечное  значение, называется толстым (или “жирным”) фракталом [67, 68, 229, 249]. Толстые  фракталы  бесполезно  характеризо- вать размерностью Хаусдорфа–Безиковича  ,HBDРис. 14. Стохастический вариант салфетки Серпинского [229] 30 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор поскольку она всегда оказывается  равна  евкли- довой размерности E пространства, в которое этот фрактал  вложен.  Следовательно,  она  не  несет никакой дополнительной информации о фрактале. Поэтому толстые фракталы принято описывать с помощью показателей скейлинга [67, 68]. Скей- линг  –  синоним  масштабной  инвариантности, т. е.  независимости  структуры  объекта  от  выб- ранного  масштаба. Рассмотрим пример построения толстого фрак- тала [67, 68, 229]. Используем процедуру, похо- жую на процедуру построения канторового мно- жества (см. пункт 2.1.3, пример 1). На  первом  этапе  построения  из  единичного отрезка  0( 1)l   удаляется средняя часть длиной 1 3,  и длина одного оставшегося отрезка состав- ляет  1 1 3l   (как и было раньше), но на втором этапе  из  каждого  оставшегося отрезка удаляет- ся средняя часть, длина которой составляет 1 9 длины  оставшегося  отрезка,  т. е. 2 2 3 1 1 1 1 4 2 1 3 . 2 3 3 9 27 9 273 l             Для  канторового  интервала  длина  оставшего- ся отрезка была бы равна  1 9.  Иными словами, теперь  после  каждого  этапа  остается  бóльшая длина.  На  третьем  этапе  мы  выбрасываем  1 81 от длины оставшегося на предыдущем этапе от- резка, т. е. после этого длина одного отрезка равна 2 2 2 3 3 3 3 1 2 2 1 2 40 160 1 81 . 2 81 81 2187 27 21873 3 3 l              В общем, на каждом этапе мы удаляем цент- ральные  части,  относительная  длина  которых равна  2(1 3) k  (рис. 15). После n итераций полу- чаем  2n   отрезков,  общая  длина  которых  равна 1 2 0 (1 3 ). n k n k L      При  n  значение длины (мера множества) nL  стремится не к 0, как это было для канторо- вого интервала, а к некоторому ненулевому зна- чению  0.5851874... .L  Несколько более “тощий” фрактал можно по- лучить, если изымать при каждой итерации цен- тральные части относительной длины 3 .k  В этом случае  полная  длина  остающихся  отрезков  со- ставляет 1 (1 3 ) 0.560... .k k L        Для характеристики толстых фракталов исполь- зуется,  как  правило,  один  из  нескольких  пока- зателей скейлинга [67, 68, 229]. Самый популяр- ный  показатель  скейлинга  определяется  так: заполняются все пустоты, длина которых не пре- вышает  ,  и аппроксимируется мера  ( )   полу- чившегося  в  результате  множества  степенным законом ( ) (0) , 0,C        где  C  –  постоянная,  а     –  показатель  скейлин- га, причем  0 .     Тогда в последнем примере (с удалением средних частей относительной дли- ной 3 )k  положим  3 ,k   и, следовательно, 1 1 (0) ( ) (1 3 ) (1 3 ) n k n kk k n                   1(0) 1 3 3 ... .n n       При  n  имеем ( ) (0)(1 3 ) (0)(1 ),n         1( ) (0) (0) (0) ,         откуда  1.   Таким образом, для нашего толсто- го фрактала показатель скейлинга оказался рав- ным единице. Обозначив  меру  пустот,  меньших  ,   черезз ( ),F    можно  записать  показатель  скейлинга  в следующем  виде: 0 ln ( ) lim . ln F     Рис. 15. Построение толстого фрактала [229] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 31 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Показатель     определяется  скоростью  обра- щения в нуль меры малых пустот [67, 68, 229]. Нужно заметить, что для канторового множе- ства  относительная  длина  выбрасываемого  от- резка всегда равна  1 3  и не зависит от k и мера малых  пустот  в  нуль  не  обращается.  Поэтому для него показатель скейлинга построить нельзя. Напомним, что размерность Хаусдорфа–Бези- ковича  HBD  обоих рассмотренных толстых фрак- талов равна единице и, следовательно, не позво- ляет отличить их один от другого. 2.4. Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ôèçè÷åñêîãî ôðàêòàëà Как  мы  уже  убедились  выше,  для  большинст- ва  математических  фракталов  размерность Хаусдорфа–Безиковича  HBD   можно  посчитать. Именно ее обычно используют в качестве фрак- тальной  размерности  D  математических  фрак- талов. В крайнем случае вводятся дополнитель- ные  числовые  характеристики  (например,  по- казатели  скейлинга  для  толстых  фракталов). Для нужд математиков этого оказывается впол- не  достаточно. Однако в реальных задачах, с которыми стал- киваются специалисты в других областях науки и техники, фракталы оказываются не математи- ческими, а физическими. Различия между ними уже обсуждались в параграфе 1.5. Установлено [32], что для физических фракта- лов вычислять размерность Хаусдорфа–Безико- вича  HBD  оказывается либо затруднительно, либо просто  бессмысленно.  Последнее  объясняется тем, что для конечных множеств она оказывает- ся принципиально равной нулю, а значит, никакой полезной информации о множестве не несет. При использовании же численных методов и компь- ютера для проведения фрактального анализа ре- ального объекта любая величина, его описываю- щая,  представляется  принципиально  в  виде  ко- нечного множества. Именно поэтому размерность Хаусдорфа–Безиковича  HBD   в  качестве  фрак- тальной размерности D при описании физических фракталов не применяется. Б.  Мандельброт,  отмечая  этот  факт,  в  [26] говорит о некоторой эффективной размерности для физических фракталов. Однако он подчеркивает, что  ей не  следует давать  точного определения. Рассмотрим,  какие  именно  фрактальные  раз- мерности и как можно вычислять для физичес- ких  фракталов.  В  настоящей  статье  мы  делаем попытку собрать воедино все наиболее популяр- ные фрактальные размерности и систематизиро- вать их. Это представляется важным, поскольку на сегодня в литературе в данном вопросе суще- ствует  серьезная  путаница,  так  как  все  авторы, вычисляя абсолютно разные характеристики, для их наименования используют одно и то же слово- сочетание  “фрактальная  размерность”  (см.,  на- пример,  [31,  32,  250]).  Подтверждением  этому могут служить следующие слова К. Фалконера: «Когда я вижу словосочетание “фрактальная раз- мерность”,  то  в  моем  мозгу  зажигается  сигнал предупреждения» [211]. Важно отметить, что при анализе физических фракталов нужно указывать не только какой имен- но  фрактальной  размерности  соответствует  по- лученное число, но и в каком именно диапазоне масштабов  это  число  является  верным.  Целе- сообразно также указывать погрешность, с кото- рой выполнена оценка фрактальной размерности. 2.4.1. Êëàñòåðíàÿ ðàçìåðíîñòü При определении по формуле (2) фрактальной раз- мерности  D,  в  качестве  которой  для  математи- ческих фракталов используется размерность Ха- усдорфа–Безиковича  ,HBD   существенным  яв- ляется стремление к нулю диаметра ячейки по- крытия  l.  Однако  для  физических  фракталов этого  достичь  не  удается,  поскольку  составные части физической  системы обладают некоторы- ми  минимальными  размерами  0R   –  например, радиус  молекулы  или  атома  и  т. д.  Поэтому  на практике для характеристики физической систе- мы используют понятие размерности кластера, или кластерной размерности (см.,  например,  [216]). Оно  описывает  асимптотику  поведения  числа ячеек  ( )N   в покрытии кластера (системы взаи- модействующих частиц, которая обладает свой- ством масштабного самоподобия в ограниченном диапазоне масштабов [21, 82]) в зависимости от их характерного размера,  так же как и понятие размерности Хаусдорфа–Безиковича. Отличие со- стоит лишь в том, что зависимость  ( )N   имеет реальный смысл только при  0,R   а кластерная размерность характеризует лишь тенденцию ско- рости роста  ( )N   при уменьшении   [207, 222]. Формально  кластерная  размерность  KD   мо- жет  быть  получена  как  показатель  степени  в формуле [207, 222] 32 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор ( ) ~ , KD R N        где  const,    связывающей  число  ячеек  ( ),N  покрывающих  кластер,  с  размером  ячейки     и радиусом R наименьшей сферы, содержащей кла- стер. Строго  говоря,  физические  фракталы  и  есть фрактальные  кластеры  [251].  Итак,  кластерная размерность  KD  хорошо подходит для описания физических фракталов. К тому же следует отметить, что любая фрак- тальная размерность,  в  том числе и кластерная размерность  ,KD  количественно описывает сте- пень заполнения фракталом пространства, в ко- торое он помещен [207]. Отметим также, что кластерную размерность иногда называют размерностью подобия, а так- же фрактальной (дробной) размерностью [1, 31, 32, 52, 132, 165, 212, 217, 222, 252]. Разновидностью  кластерной  размерности  яв- ляется  щелевая  размерность  (gap  dimension), введенная  Б.  Мандельбротом  как  обобщение размерности подобия для самоаффинных струк- тур [252]. 2.4.2. Åìêîñòíàÿ ðàçìåðíîñòü Существует наглядное, или геометрическое, оп- ределение фрактальной размерности, называемой емкостной размерностью (capacity dimension) или емкостью [19, 31, 32, 42, 46, 47, 96, 132, 217, 253, 254]. Авторство емкостной размерности приписы- вают А. Н. Колмогорову [255], который ввел ее в 1959  г.  и  называл  энтропийной  размерностью. Иногда ее еще называют колмогоровской размер- ностью (Kolmogorov dimension) [217] или колмо- горовской энтропией (Kolmogorov entropy) [212]. Однако к  емкостной размерности  сводится  так- же размерность, введенная Г. Минковским [256] в 1901 г., обобщенная для фракталов Дж. Булига- ном [257] в 1928 г. и известная как размерность Минковского [32, 206], размерность Минковского– Булигана [1, 67, 68, 211, 223, 226] или размерность Кантора–Минковского–Булигана [78]. Емкостную размерность  связывают  также  [96,  211]  с  ра- ботой  Л.  С.  Понтрягина  и  Л.  Г.  Шнирельмана (1932 г.). Многие авторы емкостную размерность называют размерностью  покрытия  (covering di- mension) [78, 226], клеточной размерностью (box dimension или box-counting dimension) [52, 67, 68, 78, 147, 154, 165, 206, 207, 212, 213, 216, 217, 223, 246, 258–260], объемной размерностью [230], раз- мерностью Фростмана [26], метрической размер- ностью [212], логарифмической плотностью [212] или дробной размерностью (fractional dimension) [32,  206].  Дробной  размерностью  иногда  назы- вают также размерность Хаусдорфа–Безиковича. Вообще, такое название выглядит неудачным, что отмечал еще Б. Мандельброт [26], поскольку, на- пример, для фрактала в виде кривой Пеано  2CD  (см. пункт 2.1.3), и это явно не дробная размер- ность.  Мы  же для  определенности  далее  будем использовать  термин  “емкостная  размерность”. Достоинства и недостатки емкостной размернос- ти на уровне математической строгости хорошо разобраны в [211]. Емкостная размерность строится из таких со- ображений  [42,  253].  Пусть  имеется  некоторое множество  0N  точек, равномерно распределен- ных  в  некотором  n-мерном  пространстве.  Вы- числим  минимальное  количество  N  n-мерных кубов (или сфер), которыми можно покрыть все это  множество  точек  при  условии,  что  размер одного такого куба  (или сферы) равен  .  Ясно, что, во-первых,  ( ),N N   а во-вторых,  0.N N Если  0N   достаточно велико,  то для  точек,  рас- пределенных  вдоль  кривой,  количество  покры- вающих их отрезков  1 ;N    для точек, распре- деленных на плоскости, количество покрывающих их  квадратов  21 ;N     для  точек,  распределен- ных  в  пространстве,  количество  покрывающих их кубов  31N    и т. д. Поэтому в общем случае имеем  1 .dN    Отсюда емкостная размерность CD   записывается в  виде: 0 ln ( ) lim . ln(1 ) C N D     Здесь подразумевается, что число точек  0 .N  Емкостная  размерность  CD   во  многих  слу- чаях  совпадает  с  размерностью  Хаусдорфа–Бе- зиковича  ,HBD  в частности, для самоаффинных кривых.  Но  так  бывает  не  всегда.  Например, для конечных и даже бесконечных, но  счетных множеств  0,HBD    а  CD   имеет  иное  значение. И вообще, известно, что  C HBD D  [26, 217, 224]. Таким  образом,  отождествлять  емкостную  раз- мерность и размерность Хаусдорфа–Безиковича, ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 33 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы как  иногда  делается  в  литературе  (см.,  напри- мер,  [217, 228]), все же не рекомендуется. Строго  говоря,  емкостная  размерность  CD подходит для описания математических фракта- лов, но в силу требования  0   формально не может использоваться для работы с физически- ми фракталами. В определенном смысле емкос- тной размерности  CD  для физических фракталов является  рассмотренная  выше  кластерная  раз- мерность  KD   (подробнее об  этом рассказано в пункте 2.4.8). Поэтому очень часто многие спе- циалисты (см, например, [154, 217]) на самом деле для  физического  фрактала  вычисляют  размер- ность  ,KD  но говорят о  ,CD   HBD  или даже про- сто о фрактальной размерности .D Важно  отметить,  что  на  практике  рекомен- дуется вычислять несколько значений емкостной размерности при разных положениях покрываю- щей  фрактал  сетки,  после  чего  вычислять  ее среднее значение  [216]. Следует также отметить, что описанное выше понятие “емкость” (capacity) формально являет- ся лишь омонимом привычной для всех радио- физиков  физической  величины  “емкость”  (ca- pacitance). 2.4.3. Ïîòî÷å÷íàÿ ðàçìåðíîñòü Приступая к рассмотрению поточечной размер- ности [3, 42, 46, 47, 68, 147, 165, 210], необходимо заметить, что рассмотренные ранее размерность Хаусдорфа–Безиковича  ,HBD  кластерная размер- ность  KD   и  емкостная размерность  CD   имеютт нелокальный характер, поскольку при их построе- нии используется весь изучаемый объект. Здесь же наблюдается иная ситуация [42]. Пусть  у  нас  имеется  множество,  содержа- щее  0N  точек. Для вычисления поточечной раз- мерности,  которая  имеет  локальный  характер, поскольку  вычисляется  в  окрестности  некото- рой  выбранной  точки,  возьмем  эту  самую  точ- ку,  положение  которой  задается  вектором  .ix  Опишем  вокруг  нее  сферу  радиуса  r  (или  куб с ребром  r) и подсчитаем количество  точек ис- следуемого  множества  ( ),N r   попавших  внутрь сферы.  Поточечная  размерность  PD   задается соотношением [42]  0 0 ln ( ) lim . ln P r N r N D r  (3) Может так оказаться, что величина  PD  зави- сит от выбора  .ix   Такое вполне может произой- ти,  если  исследуется  неоднородный  фрактал, т. е.  мультифрактал.  Тогда  вычисляют  усред- ненную поточечную размерность. Для этого вы- бирают  случайным  образом  множество  точек 0M N  и в каждой его точке вычисляют  ( )P iD x  по  формуле  (3).  После  этого  усредненная  по- точечная  размерность  рассчитывается  по  фор- муле [42, 147] 1 1 ( ). M P P i i D D x M     (4) Поскольку при вычислении  PD  имеется тре- бование  ,r   строго говоря, для физических фракталов поточечную и усредненную поточеч- ную размерности вычислять нельзя. 2.4.4. Êîððåëÿöèîííàÿ ðàçìåðíîñòü Корреляционная  размерность  была  предложена П. Грассбергером и И. Прокаччиа в 1983 г. [264]. Рассмотрим  алгоритм  вычисления  корреля- ционной размерности [3, 42, 46, 47, 132, 147, 216, 217,  253,  261–263].  Берем  то  же  самое  множе- ство из  0N   точек, что и в предыдущем случае. Для  всех  существующих  пар  точек  вычисляем расстояния между ними  | | .ij i js x x     Для этого используют  или  обычную  евклидову  меру  рас- стояния  (квадратный  корень  из  суммы  квадра- тов компонент), или какую-либо эквивалентную меру  (например,  сумму  абсолютных  величин компонент вектора). Корреляционная функция (она же  корреляционная  сумма  или  корреляционный интеграл) традиционно определялась выражением 2 число пар ( , ),1 ( ) lim . для которыхN ij i j C r s rN        Корреляционная размерность определяется как 0 ln ( ) lim . ln G r C r D r  (5) Впоследствии выяснилось [42, 45, 262, 264], что корреляционную функцию  ( )C r  лучше вычислять, описав вокруг каждой точки  ix   сферу радиуса r (или куб с ребром r) и подсчитав число точек в каждой  сфере,  т. е. 34 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор   11 ( ) 1 ( ) lim , , ( 1) N N i j N ji i j C r H r x x i j N N           где функция Хэвисайда задается соотношением 1, 0; ( ) 0, 0. s H s s     Этот  алгоритм  получил  название  “алгоритм Грассбергера–Прокаччиа”.  Достаточно  долгое время именно он считался одним из самых отно- сительно простых и эффективных алгоритмов при оценивании фрактальных размерностей [45, 262]. Вычисленная таким образом корреляционная размерность  GD  отличается от поточечной раз- мерности  PD  тем, что в первом случае сумми- рование проводится вокруг каждой точки. 2.4.5. Èíôîðìàöèîííàÿ ðàçìåðíîñòü Рассмотрим алгоритм вычисления информацион- ной  размерности  [3,  42,  46,  47,  132,  147,  216, 217, 253]. Как и в случае вычисления емкостной раз- мерности  ,CD  покроем множество исследуемых точек N кубами с ребром длиной  .  Подсчитаем количество  точек  iN   в  каждом  кубе  отдельно. Оценим вероятность найти точку в i-й ячейке: 10 , 1, , 1, N i i i i N P i N P N     где  0N  – общее количество точек во множестве. Подчеркнем, что  0 .N N Информационная  энтропия определяется вы- ражением 1 ( ) log . N i i i I P P     Как известно, если логарифм берется по осно- ванию 2,  то  ( )I   измеряется в битах. Информационная размерность имеет вид: 1 0 0 log ( ) lim lim . log(1 ) log N i i i I P P I D          Информационная  размерность  ID   связана с емкостной размерностью  CD  соотношением [42, 216, 253] .I CD D Более того, было установлено [42, 216, 217, 253], что .G I C HBD D D D   Другими словами, информационная и корреля- ционная размерности ограничивают снизу емко- стную  размерность,  а  она  сама  –  размерность Хаусдорфа–Безиковича. 2.4.6. Îáîáùåííûå ðàçìåðíîñòè Ðåíüè В 1983 г. П. Грассбергер, Х. Хэнтчел и И. Про- каччиа [45, 208, 217, 264–266] предложили исполь- зовать в нелинейной динамике семейство обоб- щенных размерностей Реньи, которые были вве- дены в 1961 г. венгерским математиком А. Реньи для иных целей в теории информации [254, 267]. В статистической механике и в теории инфор- мации вводится определение информации поряд- ка q [3, 42, 67, 68, 254]: 1 1 log , 1 N q q i i I P q     где  iP  – вероятность найти точки во множествее N покрывающих кубов. Если   – длина ребра по- крывающего куба, то можно определить размер- ности  порядка  q  или  обобщенные  размерности Реньи: 0 ( ) lim . log(1 ) q q I D     При  0q  0 0 1 1 log log , 1 0 N i i I P N      0 0 0 0 ( ) log ( ) lim lim , log(1 ) log(1 ) C I N D D          и мы получаем емкостную размерность  .CD  Для удобства обычно используется натуральный ло- гарифм. При  1q   (полагая, что  1 ,q    и устремляя 0) 1 1 0 1 1 1 lim log log , N N i i i i i I P P P           ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 35 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 11 1 0 0 log ( ) lim lim , log(1 ) log N i i i I P P I D D          и получаем информационную размерность  .ID При  2q    0 2 2 0 0 1 1 log lim log 2 ( ) , 1 2 N i N i I P N C          0 0 02 2 0 0 lim log 2 ( ) ( ) lim lim . log(1 ) log(1 ) N G N C I D D           Таким  образом,  емкостная  размерность  CD не  учитывает  распределения  точек  между  по- крывающими  множество  ячейками,  в  то  вре- мя  как  информационная  размерность  ID   изме- ряет вероятность найти точки в ячейке. Наконец, корреляционная размерность  GD  учитывает ве- роятность  найти  в  одной  и  той  же  ячейке  две точки [42]. Обратим особенное внимание на то, что пото- чечную  ,PD   корреляционную  GD   и  информа-а- ционную  ID  размерности можно и нужно вычис- лять для физических фракталов. Для этого сле- дует  строить  соответствующие  определениям логарифмические  зависимости  и  находить  раз- мерности  по  углу  наклона  соответствующей прямой.  Минимальный  размер  покрывающего куба не следует устремлять к нулю. Он должен быть таким, чтобы в него попадала хотя бы одна соседняя точка. Понятно, что в этом случае ем- костная  GD   размерность  превращается  в  клас- терную  ,KD  а поточечная  ,PD  информационная ID  и корреляционная  GD  – в свои аналоги, пост- роенные по такому же принципу. Следует также заметить [42], что для размер- ности  qD  при  q   в сумме, стоящей в числи- теле, единственным значимым числом становит- ся  наибольшая  вероятность  max .P   Отсюда max 0 ln lim . lnr P D r    И наоборот, при  q   значение суммы оп- ределяется наименьшей вероятностью  min ,P  от- куда  получаем min 0 ln lim . lnr P D r    Заметим,  что  .D D    И  вообще,  для  двух любых размерностей с различными q справедли- во неравенство при .q qD D q q   Таким  образом,  qD   –  монотонно  невозрас- тающая функция от q. Только в исключительных случаях  qD   не  зависит  от  q  и  принимает  одно и то же значение во всем диапазоне  .q   Примером  такого  фрактала  является  канторово множество (рис. 2, а) [42]. Отметим,  что  на  практике  иногда  отдельно изучаются размерности  1D  и  1 2D   [96]. 2.4.7. Ãîìîòåòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü Вернемся к понятиям самоподобия и самоаффин- ности. Определим эти понятия более строго с по- мощью теории множеств (см., например, [21, 31, 32, 207]). Преобразование называется преобразованием подобия,  если  каждая  точка  1( , ..., )Ex x x  E-мерного  пространства  преобразуется  в  точку 1( , ..., )Ex rx rx    с одинаковым для всех коорди- нат значением коэффициента подобия r. Говорят, что ограниченное фрактальное мно- жество   самоподобно с отношением подобия r, если   является объединением N непересекаю- щихся подмножеств  1, ..., ,N   каждое из кото- рых конгруэнтно множеству  ( ),r   получаемому из     с  помощью  преобразования  подобия  с 0 1.r  Свойство  конгруэнтности  означает,  что  мно- жество точек  i  совпадает с множеством точек ( )r   после переноса и/или поворота. Гомотетическая  размерность  множества   равна ln . ln(1 ) S N D r  Множество     называется  статистически  ав- томодельным, если оно является объединением N отдельных подмножеств, каждое из которых по- лучено из   преобразованием подобия с коэффи- циентом r  (0 1)r   и обладает в точности теми же статистическими свойствами, что и  ( ).r  36 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор Преобразование называется аффинным преоб- разованием, если переводит точку  1( , ..., )Ex x x  в точку с координатами  1 1( , ..., ),E Ex r x r x    где не все коэффициенты подобия  1, ..., Er r  одинаковы. Ограниченное множество   самоаффинно по отношению к вектору подобия  1( , ..., ),Er r r   если   является объединением N непересекающихся подмножеств  1, ..., ,N   каждое из которых кон- груэнтно множеству  ( ),r    получаемому из   с помощью аффинного преобразования, которое оп- ределяется  вектором  .r  Множество     называется  статистически  са- моаффинным, если оно является объединением N  отдельных  подмножеств,  каждое  из  которых получено из   с помощью  r   и обладает в точ- ности теми же статистическими свойствами, что и  ( ).r   Часто случайные множества, например бере- говая линия, являются самоподобными не только для некоторого определенного  значения r, но и для  целого  ряда  его  значений,  превышающих микромасштаб физического фрактала и меньших его  макромасштаба.  Для  самоподобных  мно- жеств  метод  покрытия  множества  кубами  (или сферами)  дает  эффективную  оценку  фракталь- ной  размерности  множества  –  кластерную  раз- мерность  ,KD  и эта оценка совпадает с  .SD Гомотетическую  размерность  называют  так- же размерностью подобия  [21, 26–29, 147, 155, 197, 206, 207, 246]. Кстати, нужно помнить, что иногда под размерностью подобия подразумева- ют кластерную размерность (см. пункт 2.4.1), что приводит к путанице. Однако  не  все фрактальные  множества  явля- ются строго самоподобными. А значит, гомоте- тическую размерность удается определить только в очень редких случаях. 2.4.8. Ãëîáàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü Фрактальная  размерность даже  простейших са- моаффинных фракталов не определяется однознач- но, что в свое время было установлено Б. Ман- дельбротом [1, 3, 207]. Проблема состоит в следующем [207]. Во-пер- вых, гомотетическую размерность  SD  для само- аффинных множеств принципиально невозможно вычислить,  поскольку  она  существует  только для  самоподобных  фракталов.  Во-вторых,  не совсем  ясно,  что  даст  метод  покрытия при  вы- числении фрактальной размерности самоаффин- ного  процесса.  Разумеется,  в  этом  случае  мы будем  вычислять  емкостную  размерность  CD для математического фрактала и кластерную раз- мерность  KD  для физического фрактала. В  качестве  модели  самоаффинного  фрак- тального процесса возьмем график фрактальной броуновской  функции  ( ),HB t   соответствующей модели  классического  броуновского  движения (рис. 16). Покроем этот график клетками с шириной  b вдоль оси абсцисс и длиной  ba  вдоль оси орди- нат  так,  что  самая  мелкая  клетка  имеет  разме- ры  .a  Тогда емкостная размерность  CD  опре- деляется из соотношения ( ; , ) ~ ,CDN b a b где  ( ; , )N b a   – число клеток, необходимое для по- крытия  кривой.  Численные  оценки  дают 1.51 0.02.KD     Обратим  внимание  на  то,  что здесь мы получили именно кластерную размер- ность  ,KD  а не искомую емкостную размерность ,CD  потому что на графике величина b отнюдь не стремится к нулю, а ограничена вполне конеч- ным значением. Если же положить  1,a   т. е. сде- лать минимальную длину клетки равной типичной длине шага  ,  то получим  1.03 0.02.KD   Итак,  обнаружено  весьма  существенное  раз- личие в оценках  .KD  Причина его состоит в сле- дующем. Пусть  длительность  рассматриваемого  пе- риода  времени  равна  T.  Тогда  для  того  чтобы покрыть ось времени, нужно взять T b  отрезков длиной  .b  Но исследуемая функция самоаффин- на, а потому в пределах каждого отрезка диапа- зон изменения функции имеет порядок величины ( ) ( ),HX b b X     Рис. 16. График броуновского сигнала [229] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 37 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы где H – показатель Херста.  (Последний вводит- ся для фрактальных сигналов и будет подробно рассмотрен  нами  во  второй  части  настоящей работы.)  Чтобы  покрыть  такой  размах  кривой, необходимо взять  ( )Hb X ba   рядов клеток вы- сотой  ba  каждая. Тогда для покрытия всей кри- вой нужно взять количество клеток порядка 2( ) ( ; , ) ~ ~ .K H DHb X T N b a b b ba b      Отсюда  для  самоаффинных  кривых  имеем 2 .K CD D H     Этот  результат  хорошо  извес- тен из модели обобщенного броуновского движе- ния (ОБД), которая еще будет рассмотрена нами ниже. Важно то, что указанное соотношение спра- ведливо, когда структура кривой, описывающей фрактальную функцию, исследуется с высоким разрешением, т. е. в локальном пределе. Посколь- ку для гауссовского (классического) броуновско- го движения с независимыми шагами показатель Херста  0.5,H   мы ожидаем получить для него 1.5,CD   что вполне согласуется с полученным выше  первым  результатом  1.51 0.02.KD   Однако  все  эти  рассуждения  оказываются неприменимыми, если для покрытия кривой ис- пользуются  клетки,  размер  которых  не  мал  по сравнению с размахом кривой. В частности, если выбрать величину a порядка характерной длины шага ( 1),a   то в каждом временном отрезке дли- тельностью  b   для  покрытия  кривой  размахомм ( )HB b   потребуется всего лишь один ряд кле- ток, и мы получаем 1( ; , ) ~ 1 ~ . T N b a b b    Тогда  1 .K CD D    Именно  этот  результат  и был  получен  во  втором  случае.  И  теперь  клас- терная размерность  KD  уже не является аппрок- симацией емкостной размерности  ,CD   которая, как  показано  выше,  имеет  значение  1.5.CD  Теперь  1,K C glD D   где  C glD  – глобальная ем- костная размерность самоаффинной кривой, час- то называемая просто глобальной размерностью, и она равна  1,C glD   т. е. самоаффинные кривые нефрактальны в глобальном смысле. Таким об- разом  мы  еще  раз  подтверждаем,  что  физичес- кие фракталы обладают фрактальными свойства- ми только в ограниченном диапазоне своих мас- штабов. Тогда емкостную размерность  ,CD  введенную в пункте 2.4.2, в этом смысле можно назвать ло- кальной емкостной размерностью. Итак, для самоаффинных кривых следует раз- личать локальную емкостную фрактальную раз- мерность  2CD H    и  глобальную  емкостную фрактальную размерность  1.C glD  2.4.9. Âíóòðåííÿÿ ðàçìåðíîñòü Еще один вид фрактальной размерности, который можно вычислить непосредственно, получил на- звание “внутренняя размерность” [3, 21, 207]. Внутреннюю размерность  DD  получают, ког- да для измерения длины кривой вдоль нее укла- дывается эталон или линейка длиной   [21, 207]. В  случае  самоаффинных  фрактальных  кривых вводится “странная” линейка, размерность кото- рой  совпадает  с  размерностями  времени,  когда она укладывается вдоль оси t, и длины, когда она ориентирована вдоль оси x. Выбрав линейку дли- ной  ,  расположенную так, чтобы она покрывала временной шаг  ,b  мы получим следующий вклад в общую длину кривой:   1 222 2 2 ( ) .H Hb b B a         (6) Если  выбрать  достаточно  сильное  увеличе- ние  вдоль  оси  x,  чему  соответствует  достаточ- но  малое  a,  то  второе  слагаемое  под  корнем станет  преобладающим  и  мы  получим  ~ .Hb Число  таких  отрезков  вдоль  оси  времени  сос- тавляет  1 1( ) ~ ~ ,HT b b     и  общая  длина 11 1~ ~ .DDHL   Итак, в локальном пределе мы получили, что внутренняя размерность равна  1 .DD H  Кста- ти,  обратим  внимание  на  то,  что  для  процесса, например, с  2 5H   имеем  5 2.DD  Если же растянуть ось времени, то в соотно- шении (6) уже первое слагаемое станет опреде- ляющим.  Тогда  ~ ,b   0~ ~ ,L T b b    откудада 1.D glD   Это глобальная внутренняя размерность самоаффинной кривой. Иногда  локальную  внутреннюю  размерность называют  также  скрытой  фрактальной  размер- ностью [21]. 2.4.10. Ìàññîâàÿ ðàçìåðíîñòü Для  многих  целей  емкостную  размерность  CD оказывается  вычислять  не  слишком  удобно. 38 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор Один из таких примеров – “фигура Лихтенберга” (рис. 17) – один из первых физических фракталов, созданных человеком [67, 68]. Этот узор, образованный электрическим раз- рядом  на  металлическом  острие,  помещенном на изолятор, впервые наблюдался в г. Геттингене (Германия)  в  1777  г.  физиком  Г.  К.  Лихтенбер- гом  (1742–1799  гг.).  Оказывается,  что  площадь светлой  области  фигуры  Лихтенберга  возрас- тает с увеличением характеристического радиу- са R согласно простому однородному степенно- му закону [67, 68] ~ .mDM R Однако  показатель  mD   здесь  не  равен  2,  как в случае сплошной однородной фигуры на плос- кости  (например,  диска  с  площадью  2).M R  Для фигуры Лихтенберга показатель  mD  заклю- чен в интервале от 1.7 до 1.9. Его называют мас- совой размерностью [21, 24, 67, 68, 132, 207, 216]. В [252] показано, что, как и в случае емкост- ной  размерности,  для  массовой  размерности можно  определить  глобальную  массовую  раз- мерность  и  локальную  массовую  размерность. Для самоаффинных фракталов  эти размерности, как правило, совпадают с соответствующими гло- бальной и локальной емкостными размерностями. Для  самоподобных  математических  фракта- лов массовая размерность  mD   совпадает  с раз- мерностью Хаусдорфа–Безиковича  .HBD  Однакоо для физических фракталов, хотя в основном она совпадает, например, с кластерной и емкостной размерностями [216, 252], но иногда может отли- чаться  от  других  фрактальных  размерностей. 2.4.11. Ðàçìåðíîñòü, îñíîâàííàÿ íà ýâðèñòèêå Ëèïøèöà–Ãåëüäåðà Рассмотрим фрактальный процесс  ( ).s t  Для него можно  оценить  локальный  и  глобальный  пока- затели Липшица–Гельдера [26]. Показатель Лип- шица–Гельдера  называют  также  показателем сингулярности, экспонентой сингулярности или экспонентой Гельдера [215]. Обратим  внимание  на  то,  что  в  литерату- ре  слово  “экспонента”  часто  рассматривается как  синоним  слова  “размерность”  (см.,  напри- мер, [37]). Локальный показатель Липшица–Гельдера   определяется из условия 0 0 0( ) ( ) ~ при 0 , 0.s t s t t t t t         Глобальный показатель Липшица–Гельдера  на интервале  [ , ]t t   имеет вид: [ , ] inf .t t tt t       Если  известен  показатель  ,   то  количествоо квадратов  со  стороной  r,  необходимых  для  по- крытия графика функции  ( )s t  между моментами времени  t  и  ,t r   приблизительно  равно  1.r Таким образом, можно покрыть график функции ( )s t  на участке  (0,1)t  с помощью N квадратов и приблизительно оценить размерность функции как  ln . ln(1 ) LG N D r   Этот способ оценки фракталь- ной размерности  ,LGD  основанной на локальном показателе Липшица–Гельдера  ,  называется эв- ристикой Липшица–Гельдера. Считается, что этот способ  является  устойчивым  и  весьма  эффек- тивным [26]. Б.  Мандельброт  полагал,  что  данная  размер- ность  LGD  эквивалентна поточечной размернос- ти  ,PD  рассмотренной в пункте 2.4.3 [215]. 2.4.12. Ðàçìåðíîñòü, îñíîâàííàÿ íà ïîêàçàòåëå Õåðñòà Размерность  ,HD  основанная на показателе Хер- ста H, сязана с моделью ОБД [26, 28, 29]. Считается,  что  гауссов  сигнал  ( )X t   со  стан- дартным  отклонением     подчиняется  модели ОБД, если приращениеРис. 17. Фигура Лихтенберга [67, 68] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 39 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 2 1 2 1( ) ( ), ,X X t X t t t    имеет гауссовское распределение, характеризуе- мое выражением 2 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) X H F x P X x t t         2 2 1 1 exp d . 2 ( ) x H u u t t                (7) Дельта-дисперсия в модели ОБД  равна   22 2 1 2 1( ) ( ) . H D X t X t t t    (8) Параметр H, входящий в выражения (7) и (8), называется  показателем  Херста.  Его  значения удовлетворяют  соотношению  0 1.H    При 1 2H    модель  ОБД  совпадает  с  классичес- кой  моделью  броуновского  движения.  Показа- тель  Херста  называют  также  коэффициентом Херста,  экспонентой  Херста  и  R/S-показателем [26, 28, 29]. Математическое ожидание приращения сигна- ла (структурная функция первого порядка) опре- деляется  выражением 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) .HE X t X t t t       (9) Формула  (9)  допускает  обобщение  на  струк- турные  функции  порядка  q  ( ).q   Используя соотношение (7), можно показать, что 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) . q qHE X t X t t t        Приращения обладают свойством статистичес- кого  самоподобия,  которое  математически  вы- ражается  следующим  образом:   1 ( ) ( ) ( ) ( ) , H X t t X t X t t X t r       для любого  0.r  В  рамках  модели  ОБД  показано,  что 2HD H   [26, 28, 29]. Видно,  что  при  1 2H    мы  получаем  фрак- тальную размерность классического броуновского сигнала  3 2HD   [26, 28, 29]. На  сегодня  существует  несколько  различных методов определения показателя Херста H. Они будут  подробно  рассмотрены  нами  во  второй части  настоящей  работы. 2.4.13. Ðàçìåðíîñòü Ôóðüå Пусть имеется некоторый фрактальный процесс ( ).s t  Установлено (см., например, [1, 42, 46, 47, 132,  189,  206,  212,  216]),  что  его  энергетичес- кий  спектр  Фурье  ( )W f   убывает  при  f  по  закону  .f    В  рамках  модели  ОБД  показа- тель     связан  с показателем Херста  соотноше- нием  2 1.H    Величину  2 (5 ) 2FD H    Б.  Мандельброт  назвал  размерностью  Фурье исходного процесса  ( )s t  [26]. Для фрактальных процессов величина   удовлетворяет неравенст- ву 1 3.    Такой фрактальный процесс является нестационарным. Кроме  того,  в  рамках  модели  дробного  гаус- совского шума величина   может удовлетворять неравенству  1 1.     При этом связь с показа- телем Херста задается соотношением  2 1,H   а размерность Фурье определяется выражением 2 (3 ) 2FD H     [216]. Такой фрактальный процесс оказывается стационарным. Поскольку  величина  FD   во  многих  случаях легко  определяется из  экспериментальных дан- ных, ее часто используют в качестве оценки фрак- тальной  размерности  D  физических  фракталов [206, 211]. Отметим также, что некоторые авто- ры  размерность  Фурье  называют  также  спект- ральной размерностью [3]. 2.4.14. Äåëèòåëüíàÿ ðàçìåðíîñòü Еще один вид фрактальной размерности  ,divD  на- зываемый  делительной  размерностью  (divider dimension), известный также как компасная раз- мерность (compass dimension) [216] или линееч- ная  размерность  (ruler  dimension)  [57],  вычис- ляется  для  кривых на  плоскости.  Для  этого ис- пользуется следующий алгоритм (см., например, [57, 147, 165, 211, 212, 216]). Выбирается направление обхода исследуемой кривой  и  ее  начальная  точка.  Начальная  точка используется  в  качестве  центра  окружности,  и проводится дуга радиусом  .  Находится ближай- шая точка пересечения дуги с кривой. Найден- ная  точка  используется  в  качестве  центра  ок- ружности, и снова проводится дуга того же ра- 40 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор диуса     и  т. д.  Процесс  продолжается  до  техх пор, пока не будет пройдена вся кривая. После этого  подсчитывается  количество  построенных дуг  N  и  вычисляется  длина  кривой  L N    на данном  этапе  итерационного  процесса.  Затем величина    уменьшается и весь процесс повто- ряется  сначала.  В  результате  получается  диск- ретная  зависимость  ( ),L f    которую  следует построить в двойных логарифмических коорди- натах,  т. е.  log L   от  log .   После  построения методом наименьших квадратов аппроксимиру- ющей  прямой  получается  так  называемый  гра- фик  Ричардсона.  Угловой  коэффициент  S  этой прямой связан с делительной размерностью  divD простым  соотношением  1 .divD S    Посколькуу 0,S   получаем  1.divD  Обратим  внимание,  что  в  приведенном  алго- ритме имеется следующая тонкость [216]. Полу- чаемый  результат  зависит  от  выбора  стартовой точки и от определения точки пересечения дуги с кривой. Дело в том, что точек пересечения мо- жет быть больше одной. Тогда можно поступить как минимум тремя разными способами: 1) выб- рать первую точку пересечения при обходе дуги по  часовой  стрелке,  2)  сделать  то  же  самое,  но при  обходе  дуги  в  противоположном  направле- нии, 3) поступить иным способом (если точек пе- ресечения  больше  двух).  В  последнем  случае можно выбирать, например, ближайшую точку пе- ресечения при обходе дуги по часовой стрелке или точку  пересечения,  лежащую  между  крайними. Целесообразно  одновременно  использовать  все имеющиеся варианты, а также выбрать несколько разных стартовых точек, после чего усреднить по- лученные значения фрактальной размерности. Следует также помнить, что исследуемая кри- вая  не  обязательно  является  монофракталом. Поэтому  может  потребоваться  больше  одной аппроксимирующей прямой для разных масш- табов  .   Такая  кривая  будет  уже  мультифрак- талом.  (Мультифракталы будут описаны ниже, в  главе  3.) Отметим,  что  алгоритм  оценки  делительной размерности уже успешно обобщен для кривой в трехмерном пространстве  [216]. 2.4.15. Ïëîùàäíî-ïåðèìåòðîâûå ðàçìåðíîñòè Площадно-периметровые  размерности  (area- perimeter dimensions) принято вычислять для фраг- ментированных  изображений.  К  этому  классу фрактальной размерности относятся периметро- вая размерность, площадная размерность и пей- зажная размерность [192, 216]. Периметровая  размерность  (perimeter  dimen- sion)  perD  определяется соотношением log 2 , log per P D A  где P – общий периметр фрагмента изображения, A – его общая площадь. Поскольку на практике разговор идет о цифровых изображениях, величи- ны P и A измеряются в пикселях. Площадная  размерность  (area  dimension)  aD была введена в 1988 г. Р. Фоссом для описания фрактальных  свойств  фрагментов  изображений путем модификации стандартного алгоритма вы- числения  емкостной  размерности  .CD   Она  за- дается  соотношением log , log a A D L  где A – общая площадь фрагмента изображения (в пикселях), L – максимальное из всех чисел пик- селей по вертикали и по горизонтали. Пейзажная  размерность  (landscape/seascape dimension)  ,scD  предложенная в 1993 г. Е. Ольсе- ном, является обобщением идей двух предыду- щих размерностей. Ее можно определить, поль- зуясь соотношением  log 2( 1) ( 1) 2 , log sc P A N N D A     где N – количество примыкающих других фраг- ментов изображений. 2.4.16. Ðàçìåðíîñòü âëîæåíèÿ До этого момента мы рассматривали случаи, когда оценка  той  или иной  фрактальной  размерности производилась непосредственно для самого иссле- дуемого  фрактального  объекта.  Это  кажется вполне логичным. Однако здесь опять свою роль играет история развития  фрактальных  представлений.  В  этой статье мы шли от фрактальной геометрии к фрак- тальной физике. Но это далеко не единственный возможный  путь.  Другой  не  менее  логичный  и обоснованный путь пролегает через область не- ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 41 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы линейной  физики,  а  точнее,  через  ее  раздел “Детерминированный  хаос  и  самоорганизация” (см.,  например,  [43,  44,  224,  268–270]).  В  этой области  представления  о  фрактальных  размер- ностях возникли совсем из других соображений [42, 46, 47, 68, 269]. При  изучении  системы,  в  которой  возникает детерминированный  хаос,  используется  метод фазового  пространства.  Траектории  такой  сис- темы  в  фазовом  пространстве  имеют  очень сложный вид и сложное поведение. Существует структура,  называемая  аттрактором  фазовых траекторий (от  to attract – притягивать), к кото- рой притягиваются фазовые траектории. Оказы- вается, что пока детерминированного хаоса нет, размерность  аттрактора  является  целым  чис- лом,  но  когда  возникает  хаос,  она  становится дробной.  В  последнем  случае  аттрактор  назы- вают странным (strange attractor), а в некоторых работах [96] – фрактальным. Он сам и его сече- ния  плоскостями  являются  фракталами.  Здесь следует  отметить,  что  размерность  фазового пространства, в которое погружен странный атт- рактор,  отнюдь  не  равна  2.  Поэтому  и  размер- ность странного аттрактора не лежит в диапазо- не  от  1  до  2,  а  зависит  от  размерности  этого фазового  пространства.  Специалисты  по  хаосу именно размерность этого странного аттрактора называют фрактальной размерностью. Важно, что это размерность странного аттрактора, а не ис- ходного сигнала. В рамках статьи авторы обыч- но не имеют возможности пояснять вещи, кото- рые  среди  специалистов  в  этой  области  и  так являются общепринятыми. Поэтому вкратце рас- смотрим, как именно из реализации физического процесса    получают  фрактальную  размерность аттрактора d [21, 42, 45–47, 68, 96, 222, 253, 262, 269, 271]. Следует также отметить, что специа- листами (см., например, [96]) были обнаружены нехаотические системы, аттракторы которых тем не менее оказались странными. Итак,  пусть  моделируется  динамика  некото- рой нелинейной диссипативной системы, для чего необходимо N дифференциальных уравнений пер- вого порядка. Хотя число N и неизвестно, но из- вестно,  что  фрактальная  размерность  d  аттрак- тора этой системы должна удовлетворять усло- вию  .d N  Следовательно, определив каким-то способом d, мы тем самым определим минимум для  N. Не  имея  значения  N,  мы  не  знаем,  сколько физических  переменных  подлежат  измерению. Имеется одна-единственная реализация некото- рого физического процесса  ( ),x t  относящаяся к моделируемой  системе. Мы строим псевдофазовое пространство, или пространство вложения, используя значения это- го процесса, взятые со сдвижкой во времени: ( ), ( ), ( 2 ), ... .x t x t x t    Например, векторы трехмерного псевдофазо- вого пространства мы вычисляем, используя три последовательные компоненты процесса  ( ) :x t     0 0 0( ); ( 1) ; ( 2) .nx x t n x t n x t n          Теперь  с  помощью  соотношений  (4)  или  (5) вычисляем усредненную поточечную или корре- ляционную размерность для оценки фрактальной размерности  d  нашего  аттрактора. Чтобы  определить  минимальное  значение  N, мы  строим  псевдофазовые  пространства  все более высокой размерности, используя для это- го  процесс  ( ),x t   до  тех  пор,  пока  фрактальная размерность  аттрактора  не  достигнет  своего асимптотического значения  ,d M    0 1.   Тогда  минимальную  размерность  фазового  про- странства для исследуемого хаотического аттрак- тора можно принять равной  1.N M   Если же асимптотическое  значение  не  появляется,  то  ис- следуемая реализация представляет собой просто случайный шум, а не детерминированный хаос. Определенные технические сложности, возни- кающие при использовании описанного подхода, хорошо разобраны, например, в [21, 45]. Заметим  также,  что  согласно  теореме  Такен- са [21,  42,  43,  45–47,  68,  262],  если  аттрактор существует внутри N-мерного пространства,  то для описания всех его топологических особенно- стей пространство вложения (которое мы строи- ли)  должно  иметь  размерность  2 1.N    Таким образом, размерность вложения определяется со- отношением 2[ ] 3,AD d  где [ ]  – операция вычисления целой части числа. Важно отметить, что, поскольку величина  AD описывает размерность пространства вложения, в  котором  находится  аттрактор  исходного  про- цесса, а не сам процесс, ее нельзя сравнивать с 42 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор фрактальными  размерностями,  которые  были рассмотрены  выше. 2.4.17. Äðóãèå ðàçìåðíîñòè Из  других  фрактальных  размерностей,  которые используются на практике, следует также отме- тить размерность ветвления (ramification dimen- sion),  используемую  при  описании  фракталь- ных  древовидных  структур,  и  поверхностные размерности  (surface  dimensions),  применяемые для  изучения  фрактальных  свойств  поверхнос- тей  в  пространстве.  К  поверхностным  размер- ностям  относятся  размерность  поперечного  се- чения (tran-sect dimension), контурная размерность (contour  dimension),  геостатистическая  размер- ность (geostatistical dimension) и высотная размер- ность (elevation dimension) [216]. К  тому  же  в  1996  г.  Д.  Сорне  предложил использовать  комплекснозначные  фрактальные размерности  [272],  однако  этот  вопрос,  судя, например, по работе [273], до сих пор остается открытым. В 1982 г. С. Александер и Р. Орбах ввели фрак- тонную  размерность  [274]  как  спектральную размерность,  которая  описывает  масштабные свойства плотности состояний, связанной с опе- ратором  Лапласа  во  фрактале.  Впоследствии особого распространения она не получила, хотя время от времени и встречается в публикациях (см., например, [272, 275]). Возможно, причиной явилось достаточно прохладное отношение к ней Б.  Мандельброта  [276].  Заметим,  что  иногда некоторые  авторы  (см.,  например,  [273])  фрак- тонную размерность называют просто “фракто- ном”, что явно неудачно, поскольку, как уже было сказано  выше,  так  называется  фонон  во  фрак- тальной  среде. 2.4.18. Êîðàçìåðíîñòü Для  того  чтобы  можно  было  сравнивать  меж- ду  собой  фрактальные  объекты  с  разными  то- пологическими  размерностями,  была  введена так называемая коразмерность (codimension)  Co (см.,  например,  [177]),  которая  вычисляется  по формуле 1 ,TCo D D   где  TD   –  топологическая  размерность  анали- зируемого фрактального объекта, D – его фрак- тальная  размерность.  Поскольку  TD D   и 0 ( ) 1,TD D    то  0 1.Co   Это означает, чтоо при  1Co   у объекта нерегулярность полностью отсутствует  и  он  не  является  фракталом.  И  на- оборот, чем ближе значение  Co  к нулю, тем бо- лее нерегулярным является объект. Отметим, что все приведенные выше размер- ности  преднамеренно  были  рассмотрены  нами на  физическом  уровне  строгости.  Более  строго материал  по  оценке  ряда  фрактальных  размер- ностей множеств изложен, например, в [253]. 2.5. Ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ ôðàêòàëîâ Поскольку рассмотрению фрактальных сигналов и процессов, а также их фрактальному и мульти- фрактальному анализам посвящена вторая часть нашей работы, здесь мы вкратце остановимся на иных примерах физических фракталов. 2.5.1. Áåðåãîâàÿ ëèíèÿ Первоначально тем, что потом станет известным как физический фрактал, ученые заинтересовались сразу после второй мировой войны в связи с зада- чей об определении длины береговой линии Вели- кобритании [25, 26]. При ее решении неожиданно возникла  проблема.  Оказалось,  что  результаты измерений, проведенных различными группами, отличались в разы. Попытка объяснить этот факт была предпринята английским физиком и матема- тиком Л. Ф. Ричадсоном (1881–1953). Он предпо- ложил, что при измерении длины береговой линии результат  зависит  от  длины  того  инструмента, с помощью которого проводятся измерения: чем короче инструмент, тем больше полученная дли- на.  Однако  опубликована  эта  идея  была  только в 1961 г. [277]. Более того, Ричардсон собрал экс- периментальные данные обнаруженных им зави- симостей для разных побережий, но, к сожалению, не дал никакой теоретической интерпретации этим результатам [1, 26, 28, 29]. В 1967 г. данной про- блемой  заинтересовался  Б.  Мандельброт  [278]. Современное  объяснение  этого  “парадокса  бе- реговой линии” заключается в следующем [1, 26, 28, 29, 279]. Пусть, например, расстояние по прямой меж- ду расположенными на береговой линии точка- ми A и B равно R (рис. 18). Тогда, чтобы измерить длину  береговой  линии  между  этими  точками, мы расставим на берегу жестко связанные меж- ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 43 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы ду  собой  вешки  так,  что  расстояние  между соседними  вешками  равнялось  бы,  например, 10l   км. Длину береговой линии в километрах между точками A и B мы примем тогда равной числу вешек минус одна, помноженному на 10. Следующее измерение этой длины мы произве- дем подобным же образом, но расстояние меж- ду  соседними  вешками  сделаем  1l    км. Оказывается,  что  результат  этих  измерений будет  различным.  При  уменьшении  масштаба  l мы будем получать все большие и большие зна- чения длины. В отличие от гладкой кривой, линия морского  побережья  оказывается  зачастую  на- столько изрезанной (вплоть до самых маленьких масштабов),  что  с  уменьшением  длины  звена  l величина  L – длина береговой линии – не стре- мится к конечному пределу, а увеличивается по степенному закону: , D R L l l        где  1D   – фрактальная размерность береговой линии. Чем больше величина D, тем более изре- занной является эта береговая линия. Происхож- дение данной зависимости интуитивно понятно: чем меньший масштаб мы используем, тем мень- шие детали побережья будут учтены и дадут вклад в измеряемую длину. Наоборот, увеличивая мас- штаб, мы “спрямляем” побережье, уменьшая дли- ну L. Если бы береговая линия была гладкой, то у таким образом измеряемой длины при  0l   су- ществовал бы конечный предел,  собственно го- воря, и равный длине кривой. Тогда L R  и  1.D  Таким образом, мы видим, что для определе- ния длины береговой линии L с помощью жест- кого масштаба l (например, с помощью циркуля с  фиксированным  раствором)  необходимо  сде- лать  N L l  шагов, причем величина L меняет- ся с  l так, что N зависит от l по закону . D R N l        Таким  образом,  с  уменьшением  масштаба длина  береговой  линии  неограниченно  возрас- тает.  Это  обстоятельство  резко  отличает  фрак- тальную  кривую  от  обычной  гладкой  кривой, для которой предел длины аппроксимирующей ло- маной L при  0l   является конечным. В резуль- тате для гладкой кривой ее фрактальная размер- ность,  1,D   совпадает с топологической. Это  хорошо  демонстрирует  модель  берего- вой линии как физического фрактала – матема- тический фрактал – кривая Коха (см. пункт 2.1.3, рис. 2, б). Впоследствии были оценены фрактальные раз- мерности D для различных береговых линий [26]. Например,  для  Британских  островов  1.3,D  а для Норвегии  1.5.D   Последний факт опосре- дованно  известен  из  курса  физической  геогра- фии, где рассказывается о глубоких норвежских фьордах.  В  то  же  время  фрактальная  размер- ность  побережья  Австралии  составляет  только 1.1.D   Близкими к единице оказываются и фрак- тальные размерности других побережий. Однако топологическая  размерность  любой  береговой линии  по-прежнему  остается  равной  1,TD    а евклидова  размерность  пространства,  куда  она помещена равна  2.E  Вместе  с  тем  напомним,  что  береговая  ли- ния – это физический фрактал, потому что у нее есть  ненулевой  нижний  предел  масштабов,  на которых  наблюдаются  фрактальные  свойства. Можно утверждать также, что для оценок фрак- тальной размерности береговой линии использо- валась локальная емкостная размерность  CD  (см. пункт 2.4.2), которая, в свою очередь, вычисля- лась с помощью кластерной размерности  KD  (см. пункт  2.4.1)  с  соответствующим  выбором  мак- симального размера клетки (см. пункт 2.4.8). 2.5.2. Òðàåêòîðèÿ áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû Классическим примером стохастического физи- ческого фрактала является траектория броуновс- кой частицы [26, 28, 29, 67, 68]. На рис. 19 пока- зано,  как  выглядит  под  микроскопом  типичная траектория частицы пыльцы, совершающей броу- новское движение [67, 68]. Рис. 18. Определение длины береговой линии между точка- ми A и B [67, 68] 44 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор Однако приведенная на рис. 19, а траектория является лишь грубым приближением. Если мы увеличим  разрешение  микроскопа  в  сто  раз, то  участок  траектории  между  точками  A  и  B, будучи  увеличенным  в  10  раз,  примет  вид,  по- казанный  на  рис.  19,  б.  Аналогичная  ситуация будет  наблюдаться  при  более  точной  регистра- ции движения частицы между точками C и D на рис. 19, б. Если увеличить разрешение еще в сто раз, а затем подвергнуть полученные траектории 10-кратному увеличению, то полученная картина будет статистически подобна той, которая видна на рис. 19, б. Именно поэтому и принято назы- вать броуновское движение статистически само- подобным. В  случае  броуновского  движения  диапазон масштабов,  в  пределах  которого  сохраняется статистическое  самоподобие,  очень  велик  –  от размеров сосуда с жидкостью (допустим, 0.1 м) до  длины  свободного  пробега  молекул  между столкновениями,  которая  для  малых  пробных частиц  может  достигать  910 м. Во многих случаях объекты исследования на- зываются самоподобными, если их можно мас- штабировать  с  коэффициентом  подобия  10  или даже меньше, скажем, за три дискретных шага. Броуновское  же  движение  выдерживает  преоб- разование подобия с коэффициентом до  810 . Важно,  что  след,  оставляемый  броуновской частицей, в конце концов заполняет всю плоскость. Это  означает,  что  топологическая  размерность траектории равна  ,TD  а фрактальная достигает значения евклидовой размерности пространства ( 2),E    в  котором  находится  данный  фрактал, т. е. оказывается равной  2D    [26, 28, 29]. 2.5.3. Äðóãèå ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ ôðàêòàëîâ Физические  фракталы  существуют  повсюду  – от масштабов наноструктур до масштабов Все- ленной [30]. Так, например, структура колец Са- турна представляет собой концентрические коль- ца, щели между которыми имеют закон распре- деления,  связанный  с  канторовой  пылью  [280]. Такому же закону подчиняются спектры некото- рых органических молекул [281]. Более того, фрак- тальность  успешно  обнаружена  в  оптике  [282], физике элементарных частиц [283], в квантовой механике [134, 284, 285], в физике полимеров [130], механике сплошных сред [286], физике твердого тела [134]. Начиная примерно с 1983 г., фракталы успеш- но обнаруживаются в области астрономии [141]. Фрактальным  является  распределение  галактик во  Вселенной  (так  называемые  мегафракта- лы [30]). Одной из попыток отразить этот факт является  рассмотренная  в  пункте  2.1.3  модель Фурнье.  Существуют  и  другие  модели  Вселен- ной,  например,  модель  Шарнье,  модель  Хой- ла,  модели  Мандельброта  и  др.  [1,  26,  28,  29]. Экспериментальное  значение  фрактальной  раз- мерности  распределения  галактик  составляет 1.2 2.5D    [26, 28–30]. Фрактальные свойства имеют поверхности планет и многих их спутни- ков, кольца Сатурна, Юпитера и Урана, подструк- туры комет, распределения звезд и межзвездно- го  вещества,  изменения  светимости  звезд,  рас- пределения вещества после взрывов сверхновых звезд, структура галактик, распределение крате- ров на поверхностях планет, структура межпла- нетного магнитного поля и др. [132, 136, 141]. Рис. 19. Траектория броуновской частицы: а – уменьшен- ный масштаб, б – увеличенный масштаб [67, 68] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 45 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Фрактальную структуру имеет сеть Интернет и многие процессы в ней (см., например, [142]). Фрактальными свойствами обладают различ- ные  объекты  и  характеристики,  относящиеся  к турбулентности.  Ее  фрактальная  размерность находится в в пределах  2.5 2.7D    [1, 26, 28, 29, 132, 216, 251]. Фрактальным является распреде- ление по размерам вихрей в турбулентности [26, 28, 29, 132, 287]. Фрактальную структуру имеет область  рассеяния,  т. е.  пространственное  мно- жество, на котором концентрируется турбулент- ное рассеяние [26, 28, 29]. Фракталами являются также [1, 24, 26, 28, 29, 165,  206,  207,  252]  облака  (как  водяные,  так  и образуемые вулканическими извержениями или ядерными взрывами, а также аэрозоли возника- ющие при горении различных веществ; например, для грозовых облаков  1.36D   [249]), кильватер- ные следы, реактивные струи, Красное пятно в атмосфере Юпитера, пейзажи кратеров на Луне и других небесных телах [272], течение Гольфст- рим,  кроны  деревьев,  кора  деревьев  ( 3,D  2),TD   рельеф горных массивов, разломы кам- ней и металлов [131, 132, 205, 288], поверхности микроскопических  пор  различных  материалов, взлетно-посадочные полосы в аэропортах, края коррозионных отверстий в трубах [287], простран- ственные распределения нефти и многих других полезных  ископаемых  (например,  алмазных  за- лежей) в земной коре, многие процессы, связан- ные с землетрясениями [180, 217, 288], пожара- ми,  наводнениями,  оползнями  и  камнепадами [288],  канал  разряда  линейной  молнии,  многие картины  художников-абстракционистов  (напри- мер, М. Эшера)  [142]. Фрактальную структуру имеют транспортные, коммуникационные и социальные сети, распре- деление населения разных стран, а также грани- цы различных административно-территориальных образований [177]. Физическими фракталами являются русла рек со всеми их притоками (например, для реки Мис- сури  фрактальная  размерность  составляет 1.2)D    [26,  28,  29,  207],  мозговые  извилины млекопитающих  ( 2.73 2.79)D     [249],  альвео- лярные и клеточные мембраны  ( 2.17),D   бер- нуллиевы кластеры, возникающие при перколя- ции  ( 1.89)D    [1],  полимерные  и  мембранные структуры  [1],  контуры  кипарисовых  рощ ( 1.6),D   Эйфелева башня [67, 68, 87], дыхатель- ная  ( 2.9)D   и кровеносная  ( 3,D    2)TD   си- стемы человека и животных, возникающие при агрегации веществ структуры [1, 132], системы фрактальных нитей (фрактальные клубки) [289], аэрогели и даже шаровая молния [251], фононы в фрактальных средах, называемые фрактонами [1, 67, 68], и многое другое. Фракталы встречаются также в теориях фазо- вых переходов, неупорядоченных систем, в про- цессах образования кластеров, роста дендритов и  т. п.  [33,  132].  Фрактальность  широко  встре- чается в физике конденсированного состояния [19]. Фрактальные свойства проявляются в геомет- рии  и  законах  развития  городов  (см.,  напри- мер, [192]). Установлено,  что  распределение  по  поверх- ности выпавших в результате аварии на Черно- быльской АЭС загрязнений после  переноса ра- диоактивных  элементов  в  турбулентной  атмос- фере оказалось фрактальным [82, 306]. Пространственные и временные фрактальные структуры возникают вблизи катода при работе вакуумных приборов [290]. Созданы и успешно применяются на практи- ке  фрактальные  метаматериалы  (см.,  напри- мер, [197]). Фрактальными  свойствами  обладают  всевоз- можные сигналы и процессы в различных обла- стях науки и техники (см., например, [291, 292]), о  чем  более  подробно  пойдет  речь  во  второй части нашей работы. В частности, заметим, что фрактальные  структуры,  относящиеся  к  физи- ческим  фракталам,  были  успешно  обнаруже- ны повсюду: например, в музыке [1, 79, 87, 189, 195, 197], голосе [293], физиологии мозга [154] и в процессах на Солнце [294]. Значительную по- пулярность приобрели исследования фрактальных свойств трафика в телекоммуникационных сетях (см., например, [295, 296]). К числу фракталов относятся также простран- ственные  флуктуации  различных  параметров, например, флуктуации температуры, плотности и т. п.  [33]. Более того, французский астроном Л. Нотал- ле  в  целом  цикле  работ  отстаивает  гипотезу  о том,  что  пространство-время  должно  быть  не- прерывным,  но  нигде  не  дифференцируемым, а следовательно, и фрактальным [30, 285, 297]. Такой подход имеет своих сторонников (см., на- пример, [197, 298]). 46 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор Не менее удивительна гипотеза Д. Пфенниге- ра  о  том,  что  темная  материя  прячется  в  виде фракталов  [30]. Здесь же хочется отметить оригинальную типи- зацию фракталов, приведенную в  [144],  согласно которой фракталы делятся на фрактальную пыль (0 1),D    фрактальные  сигналы  (1 2),D  фрактальные  поверхности  или  изображения (2 3),D    фрактальные  объемы  (3 4)D  и  фрактальное  время  (fractal  time)  (4 5).D  Последнее  оставляем  без  комментариев. 3. Ìóëüòèôðàêòàëû 3.1. Îïðåäåëåíèå ìóëüòèôðàêòàëà Считается (см., например, [30]), что термин “муль- тифрактал” был введен У. Фришем и Дж. Паризи в работе [299] в 1985 г., хотя турбулентные струк- туры  с  подобными  свойствами  исследовались Б. Мандельбротом еще в 1969 г. [30, 215] (по дру- гим данным – в 1974 г. [1, 183]). Более того, уже в работах [26, 28, 29] он рассматривал неоднород- ные  фракталы,  понимая  под  ними  сумму  (или разность) множеств  с  различными фрактальны- ми и топологическими размерностями. В 1989 г. Б. Мандельброт в работе [183] выступил с крити- кой подхода Фриша и Паризи, доказывая, что он является менее общим, чем тот, что был опубли- кован им в 1974 г., и сообщил, что на самом деле указанные исследования были начаты им еще в 1962 г. Между  тем,  как  утверждается  в  [300],  годом рождения концепции мультифрактала следует счи- тать 1983 г., поскольку именно тогда состоялась тематическая летняя школа, материалы которой в виде  [299]  были  изданы  двумя  годами  позже. Первая же статья [301], в которой впервые встре- тился термин “мультифрактал”, была опубликова- на участниками упомянутой школы в 1984 г. Кроме  указанных  выше  специалистов,  суще- ственный  вклад  в  становление  и  развитие  кон- цепции мультифракталов внесли также П. Грас- сбергер,  Х.  Хентшель,  И.  Прокаччиа,  Р.  Бенци, Р.  Бадии,  А.  Полити,  М.  Енсен,  Д.  Бенсимон, Т. Хэлси, Л. Каданофф, Дж. Глазье, М. Фейген- баум и многие другие (см., например, [207, 215]). Мультифракталы  –  это  неоднородные  фрак- тальные  объекты,  для  полного  описания  кото- рых, в отличие от монофракталов, недостаточно введения всего лишь одной фрактальной размер- ности  D,  а  необходим  целый  спектр  фракталь- ных размерностей, число которых, вообще гово- ря, бесконечно [1, 45, 67, 68, 96]. Причина этого заключается  в  том,  что  наряду  с  чисто  геомет- рическими  характеристиками,  определяемыми величиной  D,  такие  фракталы  обладают  еще  и некоторыми статистическими свойствами. Муль- тифракталы являются неоднородными фрактала- ми, а монофракталы – однородными. Мультифрак- тал  можно  рассматривать,  как  объект,  образо- ванный как взаимосвязь нескольких фрактальных подмножеств с разными фрактальными размер- ностями. Как и в случае монофракталов, мультифракта- лами могут быть и математические, и физичес- кие  фракталы. Б.  Мандельброт,  как  и  в  случае  с  определе- нием  фрактала,  в  1999  г.  отказался  от  попыток дать строгую математическую формулировку по- нятия  “мультифрактал”  [215]. Эту  его позицию поддержали и другие исследователи (см, напри- мер,  [211]), хотя отдельные попытки дать стро- гое определение делаются до сих пор (см, напри- мер, [229]). Некоторые авторы (см., например, [177]) иног- да рассматривают так называемые полуфракталы (semifractals), которые, по нашему мнению, логич- нее было бы называть, например, бимонофрактала- ми (bimonofractals). Под полуфракталом понимают фрактал,  который  в  каждом  из  двух  диапазонов масштабов  проявляет  чисто  монофрактальные свойства,  а  потому  может  быть  описан  только двумя фрактальными размерностями. Между тем формально полуфрактал относится к мультифрак- талам, поскольку для его описания нужно более одного значения фрактальной размерности. Здесь следует также отметить, что иногда (см., например, [156, 166, 167]) фрактальный анализ, проводимый в предположении, что исследуемый объект является монофракталом, называют оди- ночным  фрактальным  анализом  (single-fractal analysis),  в  случае  полуфракталов  его  именуют двойным  фрактальным  анализом  (dual-fractal analysis),  а  если  искомых  исследуемых  диапа- зонов  монофрактального  поведения  предпола- гается  три  –  то  тройны1м  фрактальным  анали- зом (triple-fractal analysis). Однако, судя по после- дним публикациям, эти названия особого распро- странения и поддержки среди специалистов пока не получили. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 47 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Говоря о мультифракталах, следует также упо- мянуть о так называемых параболических и ло- гопериодических фракталах. Модель  параболического  фрактала  (parabo- lic fractal) была предложена в 1996 г. Ж. Лахер- рер [302]. Ее основная идея состоит в том, чтобы в процессе поиска фрактальной размерности (на- пример, кластерной или емкостной) при аппрок- симации экспериментальных данных в двойных логарифмических  координатах  вместо  прямой использовать более сложную кривую – параболу. Оказывается, что многие фрактальные объекты и процессы хорошо описываются именно такой моделью (см., например, [177]). Их и называют параболическими фракталами. Развитием идеи модели параболического фрак- тала является модель логопериодического фракта- ла (log-periodic fractal), которую создали в 2007 г. М. Форриз и П. Мартин [303]. Вместо параболы в  ней  используется  периодическая  функция,  а соответствующие фракталы называют логопери- одическими. Удивительно, но и таких природных фрактальных  объектов  существует  достаточно (см., например, [177]). 3.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ ìóëüòèôðàêòàëîâ Разобраться в сути понятия “мультифрактал” по- пытаемся на примере неоднородного канторового множества и неоднородной салфетки Серпинско- го, сравнивая их с соответствующими монофрак- тальными аналогами. 3.2.1. Íåîäíîðîäíîå êàíòîðîâî ìíîæåñòâî Изменим ставшую уже классической процедуру построения канторового множества, которая была детально рассмотрена в пункте 2.1.3 [45, 67, 68]. В  классическом  случае  на  первом  шаге  ите- рационного процесса заселенность обоих отрез- ков является абсолютно одинаковой. Поэтому ве- роятность для отдельной точки оказаться в пра- вом  2( )p   или  в  левом  1( )p   отрезке  одинакова:а: 1 1 2,p    2 11 1 2.p p    Значит, из N имеющих- ся  точек  в  обоих  отрезках  находятся  по  2N точек. Теперь  пусть  1 2.p p   Тогда  в  левом  отрезкее оказывается  1p N  точек, а правом, соответствен- но,  2p N  точек. Вот в этом и будет состоять кор- рекция нашего алгоритма (рис. 20). У него появи- лась  статистическая  зависимость.  Уже  на  вто- ром  шаге  этого  алгоритма  мы  имеем  4  отрезка длиной 1 9,  заселенных с вероятностями (слева направо)  2 1 ,p   1 2 ,p p   2 1,p p   2 2p  (рис. 20). На n-ом шаге  итерационного  процесса  наше  множество состоит из 2n  отрезков длиной 1 3 ,n  заселенных с вероятностями  1 2 2 1 1 2 1 2 2, , , ...,n n n np p p p p p    (не в порядке их расположения!). При этом число от- резков, характеризуемых вероятностью  1 2 n m mp p оказывается  равным  числу  сочетаний  m nC   из  n элементов  по  m.  В  результате  при  n     и 1 1 2p   мы в конце концов приходим к неодно- родному фрактальному множеству. Интересно, что биномиальные коэффициенты появились здесь не случайно. Процесс построе- ния множеств подобного рода называется бино- миальным  мультипликативным  процессом  или процессом  Безиковича [3,  45].  Получающийся мультифрактал Б. Мандельброт назвал биноми- альным  [183]. Важно, что если к этому множеству (мульти- фракталу) применить стандартную процедуру оп- ределения размерности Хаусдорфа–Безиковича, то  выяснится,  что  она  ничем  не  отличается  от размерности однородного канторового множества (монофрактала), равной  ln 2 ln 3 0.6309.HBD   Это и неудивительно, поскольку алгоритм опре- деления  размерности  Хаусдорфа–Безиковича никак  не  учитывает  статистические  свойства данного мультифрактала. Поэтому необходима иная характеристика, которая позволила бы от- личать  мультифрактал  от  монофрактала. 3.2.2. Íåîäíîðîäíàÿ ñàëôåòêà Ñåðïèíñêîãî Неоднородное канторово  множество  не удается наглядно отобразить на рисунке, чтобы продемон- стрировать  неоднородность  фрактала.  Поэтому Рис. 20. Неоднородное множество Кантора [229] 48 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор рассмотрим еще один пример – неоднородную сал- фетку Серпинского [45]. Вернемся к рассмотренной в пункте 2.2.3 игре в хаос и несколько изменим ее правила. Допус- тим, что в методе случайных итераций мы стали отдавать  предпочтение  одной  из  вершин  треу- гольника (рис. 11, а), например, вершине A, и стали выбирать  ее  по  отношению  к  вершинам  B  и  C с вероятностью 90 %. Две остальные вершины, B  и  C,  остались  по-прежнему  равноценными. Результат использования такого алгоритма с не- равными возможностями приведен на рис. 21, а. Здесь  четко  видно,  что  точки  внутри  треуголь- ника ABC распределены теперь крайне неравно- мерно. Большая их часть группируется у верши- ны A и ее прообразов. В то же время у вершин B и C  (и их прообразов) их имеется крайне мало. Тем  не  менее  в  обычной  терминологии  данное множество  точек  при  стремлении  числа  итера- ций к бесконечности непременно является фрак- талом, поскольку сохранилось главное свойство фрактала  –  самоподобие.  Действительно,  треу- гольник DFE, хотя в нем в 20 раз меньше точек, по своим статистическим и геометрическим свой- ствам полностью подобен треугольнику ABC. Так же, как и в большом треугольнике, точки в нем концентрируются  вблизи вершины D  –  аналоге вершины  A.  Распределение  точек  по  салфетке Серпинского поясняют также рис. 21, б, в. Важно  отметить,  что,  несмотря  на  неравно- мерность распределения точек по фракталу, его размерность Хаусдорфа–Безиковича осталась при этом прежней,  ln 3 ln 2.HBD   Итак, формально для мультифрактала можно посчитать фракталь- ную размерность, которая используется для мо- нофрактала, но она никак не  учет  статистичес- ких свойств мультифрактала. 3.2.3. Ìóëüòèôðàêòàë, ïîñòðîåííûé ïî ðåíîðìàëèçàöèîííîé ñõåìå Рассмотрим  еще  один  более  сложный  пример мультифрактала (рис. 22) [45]. Единичный квад- рат (рис. 22, а) на нулевом этапе полностью по- крывает собой некоторое множество M. На пер- вом этапе (рис. 22, б) показано, как то же самое множество можно покрыть тремя меньшими квад- ратами со сторонами  1 1 2,l    2 3 5 16,l l   в ко-о- торых  соответственно  находится  доля  1 1 2,p  2 1 3,p   и  3 1 6p   всех точек. Следующий этап покрытия (рис. 22, в) содержит уже 9 квадрати- ков со сторонами  2 1 1 4,l    1 2 1 3 5 32l l l l   (в ниж- нем правом углу) и  2 1 5 32,l l    2 2 2 3 25 256l l l  (вверху  справа  и  слева).  Относительная  засе- ленность  этих  квадратиков  точками  множества показана  на  рисунке.  Она  соответствует  произ- ведению факторов  заселенности  (вероятностей): 2 1 1 4,p    1 2 1 6,p p    1 3 1 12p p   – для нижней пра- вой группы;  2 1 1 6,p p    2 2 1 9,p    2 3 1 18p p   – для верхней  левой  и  3 1 1 12,p p    3 2 1 18,p p  2 3 1 36p   – для верхней правой группы. Отметим, что  имеется  строгое  соответствие  между  за- селенностью  квадратика  j ip p   и  его  размера- ми  .j il l  Дальнейший процесс разбиения и покры- тия множества M осуществляется в соответствии с этой ренормализационной схемой. Каждый квад- ратик,  имеющий  на  n-ом  шаге  размер  l  и  засе- ленность p, заменяется на  1n   шаге на три квад- ратика  с  размерами  1,ll   2ll   и  3ll   с  заселеннос- тями  1,pp   2pp   и  3pp   соответственно,  распо- Рис. 21. Неоднородная салфетка Серпинского: внешний вид (а) [229], относительные заселенности на первой (б) и второй (в) итерациях [305]. Цифры в треугольниках показывают их относительную заселенность ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 49 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы ложенных относительно друг друга, как показано на рис. 22, в. Кстати, ренормализационная схема может ус- пешно использоваться и при построении неодно- родной салфетки Серпинского. В этом случае мы могли бы использовать  1 2 3 0.5l l l    и  1 0.9,p  2 3 0.05p p   [45]. Итак,  рассмотренные  выше  три  примера  яв- ляются примерами неоднородных фракталов, на- зываемых мультифракталами. Причина неодно- родности во всех случаях – разные вероятности заполнения  геометрически  одинаковых  элемен- тов фрактала, или в общем случае – несоответ- ствие вероятностей заполнения геометрическим размерам  соответствующих  областей 3.2.4. Ñòîõàñòè÷åñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìóëüòèôðàêòàëû В пункте 2.2.7 мы рассмотрели, как из регуляр- ных математических монофракталов при введе- нии в алгоритм их построения какого-либо случай- ного фактора получаются стохастические моно- фракталы. Аналогичным способом из регулярных математических мультифракталов (алгоритм ко- торых четко детерминирован) могут быть полу- чены  стохастические  математические  мульти- фракталы [183]. Важно отметить, что вероятности в биномиаль- ном мультипликативном процессе и ренормализа- ционной схеме никакого отношения к указанному случайному фактору не имеют. Они описывают статистическими  методами  неоднородность  за- селенности разных областей мультифрактала, но сами они – чисто детерминированные величины. А  случайный  фактор  можно  ввести  в  алгоритм, если от итерации к итерации случайным образом менять, например, величины  ip  или  .jl  Разумеет- ся, полученная структура стохастического муль- тифрактала будет еще более сложной, чем у ре- гулярного мультифрактала. 3.3. Òðàäèöèîííûé ìóëüòèôðàêòàëüíûé ôîðìàëèçì (Ð-ìîäåëü) Поскольку мультифрактал по своей структуре зна- чительно  сложнее  монофрактала,  числовые  ха- рактеристики,  описывающие  мультифрактал, оказываются  гораздо  сложнее,  многочисленнее и  многообразнее  числовых  харектистик  моно- фрактала. Существует несколько общепринятых различ- ных подходов к определению этих числовых ха- рактеристик: традиционный мультифрактальный формализм (или Р-модель), мультифрактальный формализм Чабри и Дженсена, информационная интерпретация мультифрактального формализма и  L-модель  мультифрактального  формализма. На  сегодня  существуют и  другие  модели  муль- тифрактального формализма, например, стохас- тическое описание мультифракталов [21, 226]. Рассмотрим  на  уровне  физической  строгости традиционный мультифрактальный формализм (или Р-модель) [229, 262, 304], который известен также как  стандартная  процедура  мультифрактального анализа или термодинамический формализм [45]. Более  строгое  изложение  мультифрактального формализма можно найти, например, в [305]. Отдельно обратим внимание на оригинальный подход,  разработанный  Б.  Мандельбротом. 3.3.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ Имеется  фрактальный  объект,  занимающий  не- которую ограниченную область    в евклидовомм пространстве с размерностью E. Пусть на каком- Рис. 22. Мультифрактал, построенный по ренормализационной схеме [305]. Цифры в квадратах показывают их относитель- ную заселенность 50 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор то этапе  его построения он представляет собой множество из  1N   точек, как-то распределен- ных  в  этой  области.  Будем  предполагать,  что  в конце концов  .N     Разобьем всю область   на кубические ячейки со стороной  L  и объе- мом  .E   Далее  нас  будут  интересовать  толькоо занятые  ячейки,  в  которых содержится  хотя  бы одна  точка.  Пусть  номер  занятых ячеек  i  изме- няется  в  пределах  1, 2, ..., ( ),i N    где  ( )N    – суммарное количество занятых ячеек, которое, ра- зумеется, зависит от размера ячейки  . Пусть  ( )in    представляет  собой  количествоо точек  в  ячейке  с  номером  i.  Тогда  величина ( ) ( ) lim i i N n p N    представляет собой вероятность того, что наугад взятая  точка  из  нашего  множества  находится в ячейке с номером i. Другими словами, вероят- ности  ip  характеризуют относительную заселен- ность ячеек. Из условия нормировки вероятности следует,  что ( ) 1 ( ) 1. N i i p     (10) Заметим, что определение заселенностей ячеек мы уже рассматривали в пункте 2.4.5, когда го- ворили об информационной размерности моно- фрактала. Далее увидим, что это было совсем не случайно. 3.3.2. Îáîáùåííàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà Стандартный метод мультифрактального анали- за основан на рассмотрении обобщенной статис- тической суммы  ( , ),Z q  ( ) 1 ( , ) ( ), N q i i Z q p      (11) в которой показатель степени q может принимать любые значения в интервале  .q    3.3.3. Ñïåêòð îáîáùåííûõ ôðàêòàëüíûõ ðàçìåðíîñòåé. Ñêåéëèíãîâàÿ ýêñïîíåíòà Спектр обобщенных размерностей  ,qD  называе- мых также размерностями Реньи, характеризую- щих  данное  распределение  точек  в  области  , определяется с помощью соотношения ( ) , 1 q q D q    (12) где нелинейная функция  ( ),q  именуемая скей- линговой  экспонентой  или  показателем  массы, имеет вид     0 ln , lim . ln Z q q      (13) Заметим, что несколько в иных обозначениях мы получили соотношения, ранее рассмотренные в пункте 2.4.6. Считается  (см.,  например,  [45,  67,  68]),  что размерности  Реньи  не  являются  фрактальными размерностями в общепринятом понимании это- го  слова.  Именно  потому  их  и  называют  обоб- щенными размерностями. Итак,  мультифрактал  в  общем  случае  харак- теризуется скейлинговой экспонентой  ( ),q  оп- ределяющей  поведение  статистической  суммы ( , )Z q   при  0 :  ( ) ( ) 1 ( , ) ( ) . N q q i i Z q p         (14) Для однородного фрактала, который характе- ризуется только одной фрактальной размернос- тью D,  относительные заселенности всех ячеек будут одинаковы и равны 1 ( ) ( ) . ( ) ip p N      Тогда обобщенная статистическая сумма при- мет вид: ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( ). ( ) ( ) N N q q i q q i i N Z q p N N N                  С другой стороны, мы знаем, что из определе- ния емкостной размерности  CD  (а именно с ней мы  и  ассоциируем  здесь  фрактальную  размер- ность  D)  следует,  что 0 ln ( ) lim , ln(1 ) C N D D      Откуда ( ) DN       и ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 51 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы ( ) 1 ( , ) ( ) N q i i Z q p       ( ) 1 (1 ) 1 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) N q D q q q i N N N N                В таком случае скейлинговая экспонента (13) запишется в виде: (1 ) 0 0 ln ( , ) ln ( ) lim lim ( 1). ln ln D qZ q q D q              Таким образам, для монофрактала скейлинго- вая экспонента является линейной функцией q: ( ) ( 1).q D q   Но в этом случае все размерности Реньи ока- зываются одинаковыми и вообще не зависят от q: ( ) ( 1) . 1 1 q q D q D D q q        Теперь становится понятным, почему однородный фрактал называют именно  монофракталом:  для его  описания  действительно  достаточно  всего лишь одной размерности D. В случае мультифрактала распределение точек по  ячейкам  оказывается  неодинаковым.  Тогда скейлинговая экспонента становится нелинейной функцией, и для характеристики мультифрактала нужен  целый  спектр  обобщенных  фрактальных размерностей  ,qD  число которых в общем случае бесконечно. Так, например, при  q    основной вклад в обобщенную статистическую сумму (11) вносят ячейки,  содержащие  наибольшее  число  частиц ,in   и,  следовательно,  характеризующиеся  наи- большей вероятностью заполнения  .ip  И наобо- рот,  при  q     основной  вклад  в  сумму  (11) дают самые разреженные ячейки с малыми зна- чениями заселенностей  .ip  Таким образом, функ- ция  qD   показывает,  насколько  неоднородным является  множество  точек  . 3.3.4. Èíôîðìàöèîííàÿ ðàçìåðíîñòü Выясним теперь, какой физический смысл имеют обобщенные фрактальные размерности  qD   при некоторых  конкретных  значениях  q.  Так,  при 0q  ( ) 0 1 (0, ) ( ) ( ). N i i Z p N        С другой стороны, 0(0) 0 (0) (0), (0, ) . 0 1 DD Z           Отсюда  следует,  что 0( ) .DN    Это  означает,  что  величина  0D   представляет собой обычную размерность Хаусдорфа–Безико- вича  HBD   множества  .   Она  соответствует  мо- нофракталу, который называют носителем (sup- port) исходного мультифрактального множества (см., например, [45, 67, 68]). По этой же причине величину  0D  часто называют размерностью но- сителя  мультифрактала.  Она  является  наиболее грубой характеристикой мультифрактала, и имен- но ее мы получим, если к мультифракталу приме- ним  монофрактальный  анализ.  Кстати,  здесь можно сделать важный для нас вывод: монофрак- тальный анализ к мультифрактальному объекту применять можно, если понимать, что получает- ся  в  результате. Теперь  выясним  смысл  1.D   Поскольку  при 1q   в силу условия нормировки вероятности (10) имеем  (1, ) 1,Z     то  (1) 0.    Следовательно,  в выражении ( ) 1 q q D q    при  1q   имеем неопределенность. Раскрывают эту неопределенность следующим образом:   ( ) ( ) 1 1 ( , ) exp ( 1)ln . N N q i i i i i Z q p p q p          Теперь при  1,q   разлагая экспоненту и учи- тывая условие нормировки (10), получаем: ( 1, )Z q      ( ) ( ) 1 1 1 ( 1)ln 1 ( 1) ln , N N i i i i i i p q p q p p            0 ln ( 1, ) ( 1) lim ln Z q q         52 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор ( ) 1 0 ln 1 ( 1) ln lim , ln N i i i q p p             1 1 ( ) lim 1q q D q     ( ) 1 0 1 ln 1 ( 1) ln 1 limlim 1 ln N i i i q q p p q                ( ) 1 0 ln lim . ln N i i i p p       В числителе с точностью до знака стоит зна- комая нам из пункта 2.4.5 информационная энт- ропия фрактального множества ( ) 1 ( ) ln . N i i i I p p       Поскольку  энтропия  является  мерой  количе- ства информации, необходимой для определения системы в некотором состоянии, можно сказать, что  величина  1D   характеризует  информацию, необходимую для определения местоположения точки  в  некоторой  ячейке.  Именно  благодаря этому свойству величину  1D  назвали информа- ционной размерностью. 3.3.5. Êîððåëÿöèîííàÿ ðàçìåðíîñòü Теперь рассмотрим обобщенную фрактальную раз- мерность  2.D  Для нее справедливо выражение ( ) 2 1 2 0 ln lim . ln N i i p D       Оказывается,  величина  2D   тесно  связана  с поведением  корреляционного  интеграла  ( ),C  введенного  нами  в  пункте  2.4.4.  Обобщенная размерность  2D  определяет зависимость корре- ляционного интеграла  ( )C   от    в пределе при 0.    По  этой  причине  ее  называют  корреля- ционной размерностью. В  пункте  2.4.6  мы  указали,  что  qD   является монотонно невозрастающей функцией своего ар- гумента q, ее максимальное значение  max ,D D а минимальное значение  min .D D 3.3.6. Ôóíêöèÿ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà. Ïîêàçàòåëü ñèíãóëÿðíîñòè Часто наряду с обобщенными фрактальными раз- мерностями  qD  для характеристики мультифрак- тального  множества  используют  так  называе- мую функцию мультифрактального спектра  ( )f  (хаусдорфов мультифрактальный спектр, спектр сингулярностей,  скейлинг-спектр  или  просто ( )-спектр)f   [45, 226]. Как  уже  отмечалось  ранее,  одной  из  основ- ных характеристик мультифрактала является за- висимость  вероятности  (меры)  ip   от  размера ячейки  .  Эта зависимость имеет степенной ха- рактер, ( ) ,i ip    (15) где  i   представляет  собой  некоторый  показа- тель степени, вообще говоря, разный для разных ячеек  i.  Этот показатель называют показателем сингулярности, индексом сигнулярности, экспонен- той сингулярности, показателем Липшица–Гель- дера или экспонентой Гельдера. Чем меньше зна- чение  ,i  тем более сингулярной является мера. Известно,  что  для  монофрактала  все  показа- тели  степени  i   одинаковы  и  равны  его  фрак- тальной размерности D: 1 . ( ) D ip N     Для мультифрактала из-за его неоднородности вероятности заполнения ячеек  ip  в общем слу- чае  неодинаковы,  и  потому  показатель  степени i   принимает  различные  значения  для  разных ячеек. Как мы увидим позже, достаточно типич- ной является ситуация, когда эти значения непре- рывно заполняют некоторый интервал  min max( , ),  причем max min min max, .p p     Несложно показать, что min max d d , , d d q q D D q q             т. е.  интервал  возможных  значений  i   опреде- ляется  предельными  значениями  обобщенных фрактальных размерностей  .qD ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 53 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы Перейдем теперь к вопросу о распределении вероятностей  различных  значений  .i   Пусть ( )dn    есть вероятность того, что  i  находит- ся  в  интервале  ( , d ).      Другими  словами, ( )dn    представляет собой число ячеек i, обла- дающих одной и  той же мерой  ip   с  ,i   лежа- щими  в  этом  интервале.  В  случае  монофрак- тала,  для  которого  все  i   одинаковы  и  равны фрактальной размерности D, это число, очевид- но, пропорционально полному количеству ячеек ( ) ,DN     которое зависит от размера ячейки   по степенному закону. Для  мультифрактала,  однако,  это  нет  так,  и разные  значения  i   встречаются  с  вероятнос- тью, характеризуемой не одной и той же величи- ной D,  а разными  (в  зависимости от  )   значе- ниями показателя степени  ( ),f  ( )( ) .fn     (16) Таким  образом,  физический  смысл  функции ( )f    заключается  в  том,  что  она  представляет собой хаусдорфову размерность некоего однород- ного фрактального подмножества    из исходно- го  множества  ,   характеризуемого  одинаковы- ми  вероятностями  заполнения  ячеек  .ip   Поскольку фрактальная размерность подмноже- ства всегда меньше или равна фрактальной раз- мерности исходного множества  0,D  имеет мес- то важное неравенство для функции  ( ) :f  0( ) .f D  В результате мы приходим к выводу, что набор различных  значений  функции  ( )f    (при  раз- ных  )  представляет собой спектр фрактальных размерностей однородных подмножеств  ,  на которые можно разбить исходное множество  . Отсюда  становится  понятным  термин  “мульти- фрактал”. Его можно понимать как объединение различных однородных фрактальных подмножеств ,   каждое  из  которых  имеет  свое  собственноее значение фрактальной размерности  ( ).f  Поскольку  любому  подмножеству  принадле- жит лишь часть от общего числа ячеек  ( ),N   на которое разбито исходное множество  ,  условие нормировки вероятностей (10) не выполняется при суммировании  только  по  этому  подмножеству. Сумма  этих  вероятностей  оказывается  меньше единицы. Поэтому и сами вероятности  ip  с од- ним  и  тем  же  значением  i   очевидно  меньше (или в крайнем случае одного порядка), чем ве- личина  ( ) ,if   которая обратно пропорциональна числу имеющихся ячеек, покрывающих данное множество  (напомним, что в случае монофрак- тала  1 ( )).ip N   В результате приходим к сле- дующему  важному  неравенству  для  функции ( ),f   а именно, при всех значениях   ( ) .f    Знак  равенства  имеет  место,  например,  для монофрактала,  ( ) .f D    3.3.7. Ñâÿçü ôóíêöèè ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà ñî ñêåéëèíãîâîé ýêñïîíåíòîé Установим  связь  функции  мультифрактального спектра  ( )f    с  введенной  ранее  скейлинговой экспонентой  ( ).q  Вычислим для этого обобщен- ную статистическую сумму  ( , ).Z q   Подставляя в  выражение  (11)  формулу  (15)  и  переходя  от суммирования по   i  к  интегрированию  по     с плотностью вероятности (16), получаем ( ) ( ) 1 ( , ) ( ) d d . N q q q f i i Z q p n                 (17) Для интеграла (17) с учетом малости величи- ны    справедлива оценка  ( ) ( ) ( , ) q q f q Z q       (18) при выполнении соотношения d ( ) . d f q    (19) Сравнивая выражения (18) и (14), приходим к выводу, что  ( ) ( ) ( ) .q q q f q     (20) Это  и  есть  связь  функции  мультифракталь- ного спектра  ( )f   со скейлинговой экспонентой ( )q  [45]. 3.3.8. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà Ранее мы записали соотношение (12), которое опи- сывает связь между обобщенными размерностя- ми  qD  и скейлинговой экспонентой  ( ).q  С ис- пользованием соотношения (20) можно получить, что [45] 54 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор  ( ) ( )( ) . 1 1 q q q f qq D q q        (21) Таким образом, если известна функция муль- тифрактального  спектра  ( ),f    то  с  помощью соотношений  (19)  и  (21)  можно  получить  .qD И наоборот, зная  ,qD  можно найти зависимость ( )q  с помощью уравнения d ( ) ( 1) , d qq q D q      (22) после чего из соотношения (21) найти зависимость  ( ) .f q  Эти два уравнения в параметрическомм виде определяют функцию  ( ).f  Формально переход от переменных  , ( )q q  к переменным   , ( ) ,f    задаваемый  соотноше- ниями  (21),  (22),  может  быть  осуществлен  при помощи следующих преобразований Лежандра, хорошо известных в термодинамике: d , d d ( ) . d q f q q            (23) Уравнения  (23)  определяют  в  параметричес- ком  виде  зависимость   ( ) .f q Обратное  преобразование  Лежандра,  осуще- ствляющее  обратный  переход  от   , ( )f    к  , ( ) ,q q   определяется формулами d , d d ( ) . d f q f q f           (24) 3.3.9. Ñâîéñòâà ôóíêöèè ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà Рассмотри свойства функции мультифрактально- го  спектра  [45].  Для  однородного  фрактала const.qD D   Поэтому d , d D q     ( ) ( ) ( 1) .f q q qD D q D         В этом случае график функции  ( )f   вырож- дается  в  одну  точку  с  координатами  ( , ).D D Обратимся  теперь  к  более  интересным  слу- чаям,  когда  график  функции  ( )f    на  плоскос- ти   , ( )f    состоит  не  из  дискретных  точек, а  представляет  собой  некоторую  непрерывную линию. Проанализируем поведение функции  ( )f   для различных значений  . В точке  0 (0)    функция  ( ),f   являясь всю- ду  выпуклой,  имеет  максимум.  Значение  функ- ции в максимуме легко определить, если восполь- зоваться выражением (21). Положив в нем  0,q  получаем,  что  0 0( ) ,f D    т. е.  максимальноее значение  ( )f   равно хаусдорфовой размерности мультифрактала  0.D   Качественно  эта  ситуация отражена на рис. 23, где показаны границы ин- тервала  min max( , ),   на котором задана функция ( ).f    Заметим,  что  обращение  функции  ( )f  в  нуль  на  этих  границах  вовсе  не  обязательно, и  в  ряде  случаев  ( )f    в  одной  из  этих  точек (или даже в обеих) может быть отлична от нуля. Обязательным условием, однако, является обра- щение в бесконечность производной  ( )f    в этих двух  точках. Несложно  показать,  что   1 (1) (1) ,D f    т. е. информационная размерность  1D  лежит на кривой  ( )f   в точке, где  ( )f    и  ( ) 1.f    Этот факт позволяет определять информацион- ную размерность  1D   графическим методом не- посредственно из графика  ( ).f  В  свою  очередь   2 2 (2) (2) ,D f      или   2(2) 2 (2) .f D    Следовательно, и корреляционную размерность можно определять графически непосредственно из графика  ( ).f  Рис. 23. Типичный график функции  ( )f   [229] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 55 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы При проведении мультифрактального анализа в дополнение к описанным выше характеристи- кам  и  параметрам  иногда  выделяют  и  другие информационные характеристики. Так, величина max minK D D       служит  количественной  мерой  стохастичности исследуемой  системы. Величину  ( )f q f    или ее оценку  ,Qf  гдеде Q – некоторое положительное достаточно боль- шое значение q, задаваемое в конкретных расче- тах,  часто  используют  как  меру  однородности системы. 3.4. Ìóëüòèôðàêòàëüíûé ôîðìàëèçì ×àáðû è Äæåíñåíà Среди иных версий мультифрактального форма- лизма получила распространение версия, предло- женная А. Б. Чаброй и Р. В. Дженсеном (см., на- пример, [216, 229]). Подход Чабры и Дженсена не требует  применения  преобразований  Лежандра (23) или (24) и основан на использовании для по- строения мультифрактального спектра следующих выражений: 1 1 0 ( ) ln d ( ) lim , d ln N i i i q p q q          (25) где 1 1 ( ) , ( ) , ( ) q N qi i i i p q q p q        ( ) ( ) ( )f q q q q     1 1 0 ( ) ln ln ( ) lim . ln N i i i q q p q         (26) Авторы  утверждают,  что  рассчитанные  с  по- мощью соотношений (25) и (26) мультифракталь- ные спектры  ( ),f    заданные фактически в па- раметрической  форме,  где  параметром  являет- ся  q,  с  высокой  точностью  совпадают  с  ана- логичными спектрами, полученными на основе стандартной  процедуры.  Заметим  также,  что здесь функция  ( )q  полностью совпадает со ста- тистической суммой  ( , ),Z q   которую мы вводи- ли ранее. Более того, по умолчанию считается, что  ( ),N N    ( )i ip p   и  ( ).    3.5. Èíôîðìàöèîííàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ôîðìàëèçìà В литературе встречается также так называемая информационная интерпретация мультифракталь- ного  формализма  (см.,  например,  [229]).  Здесь вместо  статистической  суммы  (11)  вводится  в рассмотрение  информация  мультифрактального преобразования: 1 1 ( ) ln . ( ) N i i i i p I q p q    Существует  простая  связь  между  информа- цией мультифрактального преобразования и спек- тром обобщенных размерностей Реньи: 1 0 ( ) lim . ( 1) ln q I q D D q     Преобразование  Лежандра  экспоненты  муль- тифрактальной информации 1 0 ( ) lim ( 1)( ) ln I q I q q D D        дает для мультифрактального спектра  ( )f   сле- дующее представление: 1 d ( ) ( ) , d I I q q D q       1( ) ( ) ( ) ,I I If q q q f q D      где  ( )q  и  ( )f q  определяются формулами (25) и (26). Таким образом, используя информационную интерпретацию мультифрактального формализма, следует учитывать, что получающаяся в резуль- тате формальных преобразований структура спек- тра сингулярностей будет смещена на величину 1D   относительно  структуры  соответствующегоо спектра, рассчитанного с помощью стандартной процедуры или метода Чабры и Дженсена. 3.6. L-ìîäåëü ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ôîðìàëèçìà Рассмотрим  еще  один  важный  вариант  мульти- фрактального  формализма,  который  позволяет осуществлять  анализ  неоднородных  структур, 56 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор характеризующихся несколькими пространствен- ными масштабами. В основе этого варианта ле- жит  так  называемая  L-модель  мультифракталь- ных представлений (см, например, [229]). Для общей характеристики L-модели рассмот- рим  фрактальное  множество,  расположенное  в ограниченной  области  E-мерного  евклидового пространства.  Предположим.  что  на  некотором этапе его разбиения мы разделили его на некото- рое  количество  M  достаточно  малых  непересе- кающихся  кусочков  1 2, , ..., MS S S   так,  что  каж- дый  из  этих  кусочком  имеет  меру  ip   и  лежит внутри сферы радиуса  .iI  При этом все  iI  огра- ничены сверху условием  .iI I  Определим обоб- щенную статистическую сумму следующим об- разом:   1 , ,{ }, . qM i i i i p q S I        Справедливо утверждение, согласно которому при  достаточно  большом  M  величина     будет порядка единицы, только если выполнено условие ( ) ( 1) .qq q D     Обратим  внимание,  что  выражение  (12)  яв- ляется частным вариантом данного подхода, ког- да все  iI  одинаковы и равны  . Рассмотрим  случай,  когда  к  нашему  множе- ству  применима  так  называемая  рекурсионная процедура  разбиения.  Она  заключается  в  сле- дующем. Пусть вначале мы имеем множество с мерой  1  и  размером  1  (например,  отрезок  еди- ничной длины). Разделим это множество на под- множества  ,iS   1, ,i m  с мерами  ip  и размерами 1.iI   На этом первом шаге запишем функцию   в виде 1 1 ( , ) . qm i i i p q        На втором шаге каждое из этих m подмножеств, в  свою  очередь,  делится  на  m  частей  с  мерами, уменьшенными на множители  ,jp  и размерами, уменьшенными на множители  ,jI   1, .j m  В ре- зультате мы получим уже  2m  частей. Функция   на этом шаге, очевидно, равна  2 2 1( , ) ( , ) .q q     На n-ом шаге по индукции получаем  nm  час- тей и  1( , ) ( , ) . n n q q     В  пределе  при  достаточно  большом  числе  n таких последовательных разбиений наша стати- стическая сумма будет стремиться либо к нулю, либо  к  бесконечности.  И  лишь  в  одном  случае она будет порядка единицы. Это произойдет, если 1( , ) 1.q   Это и есть уравнение для функции  ( ).q  Ис- пользуемая  для  определения  зависимости  ( )q функция  1( , )q    называется  генератором  для такого мультипликативного процесса разбиения множества. 3.7. Ïîäõîä Ìàíäåëüáðîòà По нашему мнению, было бы несправедливым не описать кратко, что именно критиковал в 1989 г. Б. Мандельброт [136, 183] в признанной на сегод- ня концепции Фриша и Паризи. Излагая собственный подход к мультифракта- лам и сравнивая его с термодинамическим под- ходом Фриша и Паризи,  он утверждал следую- щее. 1. Мультифрактал принципиально является не множеством,  а  мерой,  а  потому  наиболее  вер- ным  является  именно  вероятностный  подход  к его описанию. 2. Функция  ( ),q  называемая в термодинами- ческом  подходе  скейлинговой  экспонентой  или показателем массы, на самом деле имеет смысл кумулянтной генерирующей функции (cumulant generating function). 3. Величину  ,  называемую экспонентой Гель- дера, не следует называть размерностью, как это делали  Хентшел  и  Прокаччиа  [266],  поскольку если мультифрактал – это мера, а не множество, то к нему понятие размерности неприменимо. 4. Функция мультифрактального спектра  ( )f  не  является  принципиально  новой  концепцией, созданной  Фришем  и  Паризи.  Если  носитель мультифрактала имеет размерность, равную еди- нице,  то  функция  ( )f    просто  равна  ( )f   ( ) 1,    где  ( )   – предельная функция распре- деления вероятностей, построенная в двойных ло- гарифмических координатах. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 57 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 5. Подход Фриша и Паризи плох тем, что они формально использовали известные в термоди- намике  преобразования  Лежандра,  не  поясняя сущности функции  ( ).f   В то же время, интуи- тивно ни один специалист не может себе пред- ставить, какой именно вид может (или не может) иметь эта функция. 6.  Функцию  ( )f    не  следует  трактовать  в качестве размерности, поскольку не ясно, что же тогда  делать  с  отрицательными  значениями ( ),f    а  тем  более  . 7.  Мультифракталы  являются  сингулярной мерой, третьим путем описания случайной вели- чины (СВ), в отличие от функции распределения, плотности вероятности (для непрерывной СВ) с одной стороны и ряда распределения (для диск- ретной СВ) с другой стороны. Для  немультифрактальной  СВ  мера,  опреде- ленная на интервале от 0 до  t и обозначаемая как   [0, ] ,t  является непрерывной и дифферен- цируемой функцией t, а ее производная дает плот- ность вероятности  ( )t   этой СВ, т. е.   0 [ ] ( ) lim , t t t t       где       [ ] [0, ] [0, ] .t t t t        Разумеется,  по  известной  плотности  вероят- ности  ( )t  можно построить функцию распреде- ления: ( ) ( )d . t t t t       Однако возможна ситуация, когда мера   [0, ]t оказывается непрерывной, но не дифференцируе- мой функцией переменной t. Тогда ее производ- ная по t принципиально не существует, а потому не существуют плотность вероятности и функция распределения.  При  этом  одновременно  СВ  не является и дискретной. Такая мера   [0, ]t  на- зывается сингулярной. (Б. Мандельброт настаи- вает, что мультифрактал и есть такой мерой.) 8. Для количественного описания сингулярных мер  следует  поступать  следующим  образом. Строится  последовательность  kt   уменьшаю- щихся величин  .t  Для каждого  kt  производит- ся замена его меры   [ ]kt   на величину  k   log [ ] log ,k kt t     называемую  экспонентой Гельдера. Для величин  k  формируется плотность вероятности  и  сразу  же  заменяется  величиной ( ) log(плотность вероятности ) log .k k kt      Установлено, что при  t    величина  ( )k   не обращается ни в 0, ни в  . Предел  ( )k    при  k     обозначим  черезз ( ).   Именно свойство  ( ) ( )k      и должно использоваться  для  введения  понятия  мульти- фрактала. Установлено,  что  ( ) 0     для  любых  ,   за исключением случая, когда  ( )   достигает сво- его максимума. Фактически Фриш и Паризи ог- раничились случаем, когда  ( ) 1,     а потому и ( ) ( ) 1 0.f        Именно поэтому они тракто- вали  ( )f    как  размерность  соответствующегоо множества.  Замена  ( )    на  ( )f    может  быть полезна в ряде случаев, но в целом она скрывает природу мультифракталов. 9.  Значения  ,   для  которых  ( ) 0,f     назы- ваются  явными  (manifest),  а  те,  для  которых ( ) 0,f     –  латентными  (latent).  Последнее  оз- начает, что они, хотя и скрыты, но существуют. Латентные  значения     негативно  влияют  на оценивание  ( )q  и  qD  по  ( )f   при больших зна- чениях  ,q  приводя к их искажению. Как  уже  говорилось  выше,  в  1999  г.  Б.  Ман- дельброт отказался от попытки дать точное оп- ределение  мультифрактала  [215],  а  несколько позднее (в 2004 г.) назвал свой подход к мульти- фракталам  “анализом  Гельдера”  [86]. Отметим,  что  трактовка  мультифрактала  как фрактальной  меры  нашла  поддержку  у  многих ведущих специалистов (см., например, [37]). 3.8. Ìóëüòèôðàêòàëüíûé àíàëèç ìàòåìàòè÷åñêèõ ìóëüòèôðàêòàëîâ 3.8.1. Íåîäíîðîäíîå êàíòîðîâî ìíîæåñòâî (Ð-ìîäåëü) В  качестве  примера  расчета  спектра  обобщен- ных фрактальных размерностей прoведем его для неоднородного канторового множества, которое мы рассматривали в пункте 3.2.1 [82, 229]. Можно показать, что на n-ом шаге процедуры построения этого множества обобщенная сумма (11) имеет вид обычного бинома Ньютона:    1 2 1 2 0 ( , ) . n q nm n m m q q n m Z q C p p p p      Поскольку  на  этом  шаге  размер  ячейки 3 ,n   то 58 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор   ( ) ( ) 1 2 1 ( , ) . 3 n q nq q qZ q p p               Устремляя  ,n     получаем  1 2ln . ( 1) ln3 q q q p p D q     (27) Проанализируем полученный результат. Если 1 2 1 2,p p   то неоднородное канторово множе- ство превращается в однородное и все обобщен- ные  размерности  Реньи  оказываются  одинако- выми и равными размерности носителя мульти- фрактала  0 :D  1 2 1 ln 2 ln 2 ( 1)ln3 ( 1)ln3 q q q q p p D q q                 1 0 ln(2 ) ln 2 . ( 1) ln3 ln3 q D q       Если  же  1 1 2,p    то  канторово  множество является неоднородным. На рис. 24 изображена зависимость  qD  (27) для значений вероятностей 1 0.25,p    2 0.75.p  Корреляционная размерность данного мульти- фрактала  равна 1 1 2 2 1 ln ln 0.5118. ln3 p p p p D     Она,  как  и  следовало  ожидать,  меньше  раз- мерности  0,D   а  корреляционная  размерность 2 0.4278,D    в  свою очередь, меньше,  чем  1.D Предельных значений функция  qD  достигает при  .q    Они равны соответственно 2 1ln ln 0.2618, 1.2618. ln3 ln3 p p D D       Напомним,  что  minD D   соответствует  са- мым  густозаселенным  ячейкам,  а  maxD D   – самым  разреженным. Интересно также отметить, что носитель муль- тифрактала может сам и не являться фракталом. Например, если мы исходный единичный отрезок будем делить не на три равные части, а на две, и припишем первой части меру  1,p  а второй  2,p то спектр обобщенных фрактальных размернос- тей  будет  иметь  вид  1 2ln . ( 1) ln 2 q q q p p D q     Тогда  0 1,D   так как теперь носителем наше- го  мультифрактала  является  весь  единичный отрезок  целиком,  т. е.  объект  с  топологической размерностью  1.TD   Это не фрактал, посколь- ку  0 .TD D  Между тем все остальные обобщен- ные фрактальные размерности заключены в ин- тервале  между 2 1 1 2 ln ln и , . ln 2 ln 2 p p D D p p      Теперь изучим поведение функции мультифрак- тального спектра  ( ).f   Скейлинговая экспонен- та  имеет  вид: ( ) ( 1) qq q D       1 2 1 2( 1) ln ln ( 1) . ( 1) ln3 ln3 q q q qp p p p q q         Тогда  1 2lnd d ( ) d d ln 3 q qp p q q q              1 1 2 2 1 2 1 1 ln ln . ln3 q q q q p p p p p p     (28) С  учетом  этого  имеем Рис. 24. Спектр обобщенных размерностей для неоднород- ного канторового множества с  1 0.25,p    2 0.75p   [229] ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 59 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы   d ( ) d f q q q        1 21 1 2 2 1 2 lnln ln . ln 3 ln 3 q qq q q q p pq p p p p p p      (29) Итак,  пара  соотношений  (28)  и  (29)  в  па- раметрической  форме  задает  функцию  муль- тифрактального  спектра  ( ).f    Для  случая 1 0.25,p    2 0.75p    она  изображена  на  рис.  25 (кривая a). Положение ее максимума  0   опре- деляется  выражением  0 0 0 1 1 2 20 0 1 20 d 1 1 ln ln d ln3 q p p p p q p p          1 2ln ln 0.7618. 2ln3 p p    Если несколько сблизить значения вероятнос- тей  1p   и  2 ,p   сделав  их  равными  1 0.45,p  2 0.55,p    то спектр сингулярностей станет бо- лее узким (рис. 25, кривая b). 3.8.2. Íåîäíîðîäíîå êàíòîðîâî ìíîæåñòâî (L-ìîäåëü) В качестве иллюстрации возможностей рассмот- ренной L-модели мультифрактального формализ- ма применим ее для анализа мультифрактальной структуры неоднородного канторового множества, неоднородность  которого  в  отличие  от  ранее рассмотренных случаев проявляется не в разли- чии вероятностных мер  ip  (теперь они считают- ся одинаковыми), а в различии длин элементов, образующихся на каждом шаге построения (см, например, [229]). На  нулевом  шаге  построения  такого  множе- ства возьмем отрезок единичной длины. На пер- вом  шаге  заменим  его  двумя  отрезками  с  дли- нами  1 0.25l   и  2 0.5,l   примыкающими соот- ветственно к левому и правому концам. Обоим отрезкам  припишем  одинаковую  меру  1 2.p  Затем  повторим  ту  же  процедуру  с  каждым  из этих двух отрезков. В результате получится уже четыре  отрезка  с  длинами  2 1 ,l   1 2,l l   2 1l l   и  2 2l   и одинаковыми мерами, равными 1 4.  Продолжая этот  процесс  до  бесконечности,  мы  получим  в конце концов неоднородное канторово множество с двумя характерными масштабами длины, т. е. мультифрактал. Первые шаги процесса его пост- роения изображены на рис. 26. В этом конкретном примере канторового мно- жества  2,m   и генератор равен 1 2 1 1 2 ( , ) . q qp p q l l      Подставляя  сюда  имеющиеся  у  нас  значения 1,p   1,l   2p  и  2 ,l  получим уравнение для  ( ) :q 2 4 2 ,q   откуда  2ln 1 2 1 ( ) 1. ln 2 q q      Весь спектр обобщенных фрактальных размер- ностей  в  этом  случае  заключен  в  интервале 1 2 1.qD   Это легко показать, учитывая то, чтоо Рис. 25. Зависимость  ( )f   для неоднородного канторового множества: кривая a –  1 0.25,p    2 0.75;p   кривая b – 1 0.45,p    2 0.55p   [229] Рис. 26.  Неоднородное  канторово  множество  с  двумя характерными  масштабами  длины  1 1 4,l    2 1 2l    и 1 2 1 2p p   [229] 60 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор  2ln 1 2 1 ln 2( ) . 1 ( 1)ln 2 q q q D q q        Тогда maxD D   2ln 1 2 1 ln 2 ln 2 lim lim 1, ( 1)ln 2 ( 1)ln 2 q q q qq q            minD D   2ln 1 2 1 ( 2)ln 2 1 lim lim . ( 1)ln 2 2( 1)ln 2 2 q q q q q q            График функции  qD  приведен на рис. 27. Раз- мерность  носителя  такого  мультифрактала  со- ставляет    2 0 ln 1 2 1 ln 2 ln 5 1 1 0.6942. (0 1)ln 2 ln 2 D          3.9. Ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ ìóëüòèôðàêòàëîâ Согласно  фрактальной  парадигме  (см.,  напри- мер, [82, 83]) фрактальность наряду с нелинейно- стью [270] является одним из фундаментальных свойств окружающего мира. Поэтому физические фракталы,  созданные  природой,  по  количеству и разнообразию существенно превосходят мате- матические фракталы, придуманные человеком. Большинство физических фракталов оказывают- ся мультифракталами, а потому их мультифрак- тальный  анализ  является  актуальным  и  един- ственно адекватным. В этих целях используются все  рассмотренные  выше  методы  мультифрак- тального анализа, но с учетом особенности физи- ческих фракталов – наличия конечного минималь- ного  масштаба. Мультифрактальными  свойствами  обладают, например, процессы на переходе Андерсона (пе- реход металл–диэлектрик) [45], многие среды и процессы в геофизике [136, 169, 172, 178, 180, 181, 207,  288],  процессы  разрушения  геологических структур  (например,  в  [33]  землетрясение  рас- сматривается  как  явление  фрактального  разру- шения). Много мультифрактальных структур об- наружено при изучении турбулентности (см., на- пример,  [136,  197]),  в  финансовой  сфере  (см., например, [80, 197]), в климатологии (см., напри- мер, [197]) и т. п. В радиофизике часто объектами изучения яв- ляются сигналы и процессы, у которых подозре- вают наличие монофрактальных или мультифрак- тальных свойств. Особенности соответствующих методов  фрактального  и  мультифрактального анализа будут рассмотрены во второй части этой работы. Âûâîäû 1. Хотя первое определение фрактала появилось только в 1975 г. (Б. Мандельброт), но подготовка к этому началась примерно на сто лет ранее в ра- ботах великих математиков прошлого (К. Вейер- штрасс, Г. Риман, А. Лебег, К. Менгер, Г. Кантор, В. Ф. Серпинский, Ф. Хаусдорф, А. С. Безикович, Г. Жюлиа, П. Фату и др.). В  развитии  фрактальной  геометрии  можно выделить четыре этапа: эпоху “монстров”, под- готовительный этап, этап становления и развития и современный этап. 2.  Евклидова  и  топологическая  размерности, принимающие  только  целочисленные  значения, принципиально не способны описывать фракталы. Поэтому  для  корректного  описания  фракталов было  предложено  использовать  размерность Хаусдорфа–Безиковича,  которая  может  прини- мать и нецелочисленные значения. Рис. 27. Спектр обобщенных размерностей для неодно- родного  канторового  множества  [229],  изображенного на рис. 26 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 61 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 3.  Фракталы  делятся  на  математические  и физические. Первые придуманы людьми и суще- ствуют лишь в их воображении, вторые – в боль- шинстве своем созданы природой и находятся в окружающем нас мире. В последнее время люди научились создавать некоторые физические фрак- талы и использовать их на практике. Основное  отличие  физических  фракталов  от математических состоит в том, что физические фракталы принципиально ограничены в диапазо- не своих масштабов (пространственных, времен- ных и т. п.) как сверху, так и снизу. 4. Монофрактал – это фрактал, для описания которого достаточно одной фрактальной размер- ности. Монофракталы делятся на регулярные и стохастические (или нерегулярные, случайные). Алгоритм построения регулярного фрактала стро- го  детерминирован,  а  стохастического  –  содер- жит  в  себе  по  крайней  мере  один  случайный фактор. Регулярные  фракталы  делятся  на  геометри- ческие  и  алгебраические.  У  геометрических фракталов  самоподобие  (или  самоаффинность) проявляется в самой геометрической структуре, у алгебраических – в самоподобии (или самоаф- финности)  тех  или  иных  их  числовых  характе- ристик. У  стохастических  фракталов  самоподобие  и самоаффинность  проявляются  не  в  буквальном смысле,  а  в  статистическом. 5.  Для  математических  монофракталов  в  ка- честве  фрактальной  размерности  используется размерность  Хаусдорфа–Безиковича.  Для  не- фрактальных  объектов  топологическая  и  фрак- тальная размерности равны и  совпадают с  евк- лидовой размерностью пространства, в которое погружен такой объект. Фрактальная размерность фрактальных объек- тов может быть как дробной, так и целой, глав- ное, чтобы она была больше их топологической размерности. Из равенства фрактальных размерностей двух объектов абсолютно не следует подобие их струк- туры. 6. При описании толстых фракталов как регу- лярных монофракталов вместо размерности Хаус- дорфа–Безиковича применяются показатели скей- линга. 7.  Кроме  однородных  фракталов,  монофрак- талов,  существуют  также  неоднородные  фрак- талы, мультифракталы,  требующие использова- ния не одной, а целого набора фрактальных раз- мерностей. Мультифракталы  принципиально  обладают определенными  статистическими  свойствами, учет которых и делает их неоднородными фрак- талами. 8.  Введение  случайного  фактора  в  алгоритм построения регулярного мультифрактала позво- ляет создавать стохастические мультифракталы. 9. В заключение приведем слова Б. Мандель- брота: “Фракталы – не панацея. Я вовсе не реко- мендую фрактальные методы всем подряд и уж тем более никогда не пытался навязывать их кому бы то ни было” [84]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 01.  Gouyet  J.-F.  Physics and Fractal Structures.  New York: Springer-Verlag, 1996. 234 p. 02.  Mandelbrot  B.  Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Paris: Flammarion, 1975.  190 p. 03.  Горобець  Ю.  І.,  Кучко  А.  М.,  Вавилова  І.  Б.  Фрак- тальна геометрія у природознавстві: Навчальний посібник. Київ: Наукова думка, 2008. 232 с. 04. Tarasov V. E. Fractional dynamics. Applications of fractal Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York: Springer, 2011. 522 p. 05.  Oldham  K.  B.  and  Spanier  J.  The  Fractional Calculus. Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. San Diego: Academic Press, 1974. 234 p. 06. Ross B., ed. Fractional Calculus and Its Applications. Ber- lin: Springer-Verlag, 1975. 381 p. 07. Miller K.  and Ross B. An Introduction to the Fractional calculus and Fractional Differential Equations. New Jer- sey: Wiley-Interscience, 1993. 366 p. 08. Hilfer R., ed. Applications of Fractional Calculus in Phy- sics. Singapore, New Jersey, et al.: World Scientific Publ., 2000.  85  p. 09. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва:  ФИЗМАТЛИТ,  2003.  272  с. 10. Bayin S. Mathematical Methods in Science and Enginee- ring. New Jersey: Wiley-Interscience, 2006. 679 p. 11. Hibschweiler R. and MacGregor T. H. Fractional Cauchy Transforms.  Boca  Raton:  Chapman  &  Hall/CRC,  2006. 235  p. 12. Kilbas A. A., Srivastava H. M.,  and Trujillo  J.  J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. New York: Elsevier, 2006. 523 p. 13.  Sabatier  J., Agrawal  O.  P.,  and  Tenreiro  Machado  J. A., eds.  Advances in Fractional Calculus. Theoretical Deve- lopments and Applications in Physics and Engineering. New York: Springer, 2007. 552 p. 14. Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и ап- проксимационные методы в моделировании динамичес- ких систем. Киев: НАН Украины, 2008. 256 с. 62 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 15. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Из-во  “Артишок”,  2008.  512  с. 16. Saichev A.  I. and Woyczynski W. A. Distributions in the Physical and Engineering Sciences: Distributional and Frac- tal Calculus, Integral Transforms and Wavelets.  Boston: Birkhäuser, 1997. 336 p. 17.  Gil’mutdinov  A.  K.,  Ushakov  P.  A.,  and  El-Kharazi  R. Fractal Elements and their Applications. Cham, Switzer- land: Springer Int. Publ., 2017. 252 p. 18. Фракталы и дробные операторы. Под ред. А. Х. Гиль- мутдинова.  Казань:  Изд-во  “Фэн”  Академии  наук  РТ, 2010. 488 с. 19.  Nakayama  T.  and  Yakubo  K.  Fractal Concepts in Con- densed Matter Physics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2010.  203  p. 20.  Потапов  А.  А.  Фракталы в радиофизике и радиоло- кации. Москва: Логос, 2002. 664 с. 21.  Потапов  А.  А.  Фракталы в радиофизике и радиоло- кации: Топология выборки.  Москва:  Университетская книга, 2005. 848 с. 22.  Турбин  А.  Ф.,  Працевитый  Н.  В.  Фрактальные мно- жества, функции, распределения. Киев: Наукова думка, 1992. 205 с. 23.  Зельдович  Я.  Б.,  Соколов  Д.  Д.  Фрактали,  подобие, промежуточная асимптотика. Успехи физических наук. 1985. Т. 146, Вып. 3. С. 493–506. 24. Peintgen H.-O. and Saupe D., eds. The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. 312 p. 25.  Mandelbrot  B.  Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Paris: Flammarion, 1989. 196 p. 26. Mandelbrot B. B. Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1977. 468 p. 27. Mandelbrot B. B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Company, 1982. 468 p. 28.  Mandelbrot  B.  Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Paris: Flammarion, 2010. 216 p. 29.  Мандельброт  Б.  Фрактальная геометрия природы. Москва: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с. 30. Baryshev Y. and Teerikorpi P. Discovery of Cosmic Frac- tals. New Jersey: World Scientific Publ., 2002. 373 p. 31.  Crownover  R.  M.  Introduction to Fractals and Chaos. Boston:  Jones  and Bartlett Publ.,  1995. 299 p. 32. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических сис- темах. Основы теории.  Москва:  Постмаркет,  2000. 352 с. 33.  Булат  А.  Ф.,  Дырда  В.  И.  Фракталы в геомеханике. Киев: Наукова думка, 2005. 357 с. 34.  Hausdorff  F. Dimension  und  äußeres.  Maß.  Math. Ann.  1918.  Vol.  79,  Is.  1-2.  P.  157–179.  DOI:  10.1007/ BF01457179 35.  Thim  J.  Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master’s Thesis.  Lulea:  Lulea  University  of  Technology, 2003.  94  p. 36. Massopust P. R. Fractal Functions, Fractal Surfaces and Wavelets.  San  Diego,  New  York  et  al.: Academic  Press, 1994.  383  p. 37. Bandt C., Barnsley M., Devaney R., Falconer K. J., Kan- nan  V.,  and  Vinod  Kumar  P.  B.,  eds.  Fractals, Wavelets, and their Applications: Contributions from the Internation al Conference and Workshop on Fractals and Wavelets (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). Swit- zerland: Springer Int. Publ., 2014. 508 p. 38. Du Bois-Reimond P. Versuch einer Classification der willkür- lichen  Functionen  reeller  Argumente  nach  ihren  Aende- rungen  in den kleinsten  Intervallen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1875. Vol. 79. P. 21–37. 39.  Потапов  А.  А.,  Гуляев  Ю.  В.,  Никитов  С.  А.,  Пахо- мов  А.  А.,  Герман  В.  А.  Новейшие методы обработ- ки изображений.  Под  ред.  А.  А.  Потапова.  Москва: ФИЗМАТЛИТ,  2008.  496  с. 40.  Cellérier  M.  C.  Note  sur  les  principes  fondamentaux de l’analyse. Darboux Bull. 1890. Vol. 14. P. 142–160. 41.  Бржечка  В.  Ф.  О  функции  Больцано  (к  столетию  со дня смерти чешского математика Бернарда Больцано). Успехи математических наук.  1949.  Т.  4,  Вып.  2(30). С. 15–21. 42.  Мун  Ф.  Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. Москва: Мир, 1990. 312 с. 43. McCauley J. L. Chaos, Dynamics and Fractals. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. 323 p. 44. Lasota A. and Mackey M. C. Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics. New York: Springer-Ver- lag, 1994. 474 p. 45. Кузнецов С. П. Динамический хаос. Саратов: Саратовс- кий государственный университет, 2001. 295 с. 46. Moon F. C. Chaotic and Fractal Dynamics. An Introduction for Applied Scientists and Engineers.  Weinheim:  Wiley- VCH Verlag, 2004. 508 p. 47. Moon F. C. Chaotic Vibrations. An Introduction for Applied Scientists and Engineers. New Jersey: Wiley-Interscience, 2004.  309  p. 48.  Mandelbrot  B.  B.  Fractals and Chaos. The Mandel- brot Sets and Beyond.  New York:  Springer-Verlag,  2004. 308  p. 49.  Peitgen  H.-O.,  Jurgens  H.,  and  Saupe  D. Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2004. 864 p. 50. Szemplinska-Stupnicka W. Chaos. Bifurcations and Frac- tals Around Us. A Brief Introduction. New Jersey: World Scientific Publ., 2004. 107 p. 51.  Гринченко  В.  В.,  Мацыпура  В.  Т.,  Снарский  А.  А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. Москва: Издательство ЛКИ, 2010. 280 с. 52. Feldman D. P. Chaos and Fractals. An Elementary Intro- duction.  Oxford:  Oxford  University  Press,  2012.  408  p. 53.  Pickover  C.  A.,  ed.  Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey. Ten Year Compilation of Advanced Research.  Amsterdam,  Lausanne  et  al.:  Elsevier,  1998. 452  p. 54.  Gulick  D.  Encounters with Chaos and Fractals.  College Park:  University  of  Maryland,  2012.  371  p. 55. Crilly A. J., Earnshaw R. A., and Jones H., eds. Fractals and Chaos. New York: Springer-Verlag, 1991. 277 p. 56.  Peitgen  H.-O.,  Jürgens  H.,  Saupe  D.,  Maletsky  E.,  Per- ciante T., and Yunker L. Fractals for the Classroom: Stra- tegic Activities  Volume Two.  New York:  Springer-Verlag, 1992.  187  p. 57. Peitgen H.-O., Jürgens H., and Saupe D. Fractals for the Classroom. Part One Introduction to Fractals and Chaos. New York: Springer-Verlag, 1992. 450 p. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 63 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 58. Scheinerman E. R. Invitation to Dynamical Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995. 373 p. 59.  Lesne  A.  Méthodes de renormalisation: Phénomènes critiques – Chaos – Structures fractales.  Paris:  Eyrolles Sciences, 1995. 388 p. 60.  Klages  R.  Microscopic Chaos, Fractals and Transport in Nonequilibrium Statistical Mechanics.  New  Jersey, London et al.: World Scientific Publ., 2007. 441 p. 61. Melin P. and Castillo O. Modelling, Simulation and Cont- rol of Non-Linear Dynamical Systems: An Intelligent Ap- proach Using Soft Computing and Fractal Theory.  Boca Raton,  London  et  al.:  Taylor  and  Francis  Publ.,  2002. 246  p. 62. Kivotides  D.  The  Impact  of  Kinematic  Simulations on Quantum Turbulence Theory. In: F. C. G. A. Nicolleau, C.  Cambon,  J.-M.  Redondo,  J.  C.  Vassilicos,  M.  Reeks, and A. F. Nowakowski, eds. New Approaches in Modeling Multiphase Flows and Dispersion in Turbulence, Fractal Methods and Synthetic Turbulence. Dordrecht, Heidelberg et al.: Springer, 2012. 152 p. 63. Gaponov-Grekhov A. V. and Rabinovich M.  I. Nonlinea- rities in Action: Oscillations, Chaos, Order, Fractals. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. 191 p. 64. Lesne A. Renormalization Methods: Critical Phenomena, Chaos, Fractal Structures. Chichester: John Wiley & Sons, 1998.  374  p. 65.  Castillo  O.  and  Melin  P.  Soft Computing and Fractal Theory for Intelligent Manufacturing. Heidelberg: Physica- Verlag, 2003. 283 p. 66. Flake G. W. The Computational Beauty of Nature: Com- puter Explorations of Fractals, Chaos, Complex Systems, and Adaptation.  Cambridge,  MA:  MIT  Press,  1998. 493  p. 67. Schroeder M. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite. New York: W. H. Freeman and Company, 1991. 429  p. 68.  Шредер  М.  Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая.  Ижевск:  НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. 528 с. 69. Peano G. Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane. Math. Ann. 1890. Vol. 36, No. 1. P. 157–160. DOI: 10.1007/ BF01199438 70. Von Koch H. Sur une  courbe  continue  sans  tangente ob- tenue  par  une  construction  géométrique  élémentaire. Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysic.  1904.  Vol.  1. P.  681–702. 71.  Smith  H.  J.  S.  On  the  integration of  discontinuous  func- tions.  Proc. London Math. Soc.  1874.  Vol.  s1-6,  Is.  1. P.  140–153.  DOI:  10.1112/plms/s1-6.1.140 72.  Du  Bois-Reymond  P.  Der  Beweis  des  Fundamentalsat- zes der Integralrechnung. Math. Ann. 1880. Vol. 16, Is. 1. P. 115–128. DOI: 10.1007/BF01459233 73. Volterra V. Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue.  [Some  observations  on  point-wise  disconti- nuous function]. Giornale di Matematiche. 1881. Vol. 19. P.  76–86. 74. Cantor G. Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkei- ten V.  [On  infinite,  linear  point-manifolds  (sets),  Part  5]. Math. Ann. 1883. Vol. 21, Is. 4. P. 545–591. DOI: 10.1007/ BF01446819 75.  Perrin  J.  Movement  brownien  et  réalité  moléculaires. Annales de chimie et de physique.  1909.  Vol.  18,  No.  8. P.  5–114. 76. Perrin J. Les Atomies. Paris: Librairie Feléx Alcan, 1913. 296  p. 77.  Газале  М.  Гномон. От фараонов до фракталов. Москва-Ижевск:  Институт  компьютерных  исследо- ваний, 2002. 272 с. 78.  Barnsley  M.  F.  Fractals Everywhere.  Boston: Academic Press,  1988.  394  p. 79. Fauvel J., Flood R. and Wilson R., eds. Music and Mathe- matics: From Pythagoras to Fractals. Oxford: Oxford Uni- versity  Press,  2006.  189  p. 80. Mandelbrot  B. B.  Fractals and Scaling in Finance: Dis- continuity, Concentration, Risk. Selecta Volume E. New York: Springer-Verlag, 1997. 541 p. 81.  Яновский  В.  В.  Фракталы.  Возникновение  новой  па- радигмы в физике. Universitates.  2003. № 3. С. 32–47. 82. Яновский В. В. Лекции о нелинейных явлениях. Том 1. Харьков: Институт монокристаллов, 2006. 456 с. 83.  Losa  G. A.,  Merlini  D.,  Nonnenmacher  T.  F.,  and  Wei- bel  E.  R., eds.  Fractals in Biology and Medicine. Volu- me IV. Basel: Birkhäuser Verlag, 2005. 314 p. 84. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. Моск- ва–Ижевск:  НИЦ  “Регулярная  и  хаотическая  дина- мика”, 2004. 256 с. 85.  Пайтген  Х.-О.,  Рихтер  П.  Х.  Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем.  Москва: Мир,  1993.  176  с. 86.  Мандельброт  Б.  Фракталы и хаос. Множество Ман- дельброта и другие чудеса. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2009. 392 с. 87.  Деменок  С.  Л.  Просто фрактал.  Санкт-Петербург: ООО “Страта”, 2012. 168 с. 88.  Wicks  K.  R.  Fractals and Hyperspaces.  Berlin,  Heidel- berg: Springer-Verlag, 1991. 168 p. 89.  Bandt  C.,  Graf  S.,  and  Zähle  M.,  eds.  Fractal Geometry and Stochastics. Basel: Birkhäuser Verlag, 1995. 245 p. 90.  Bandt  C.,  Falconer  K.,  and  Zähle  M.,  eds.  Fractal Geo- metry and Stochastics V. Basel: Birkhäuser Verlag,  2015. 339  p. 91.  Bandt  C.,  Graf  S.,  and  Zähle  M.,  eds. Fractal Geomet- ry and Stochastics II.  Basel:  Birkhäuser  Verlag,  2000. 286  p. 92.  Bandt  C.,  Mosko  U.,  and  Zähle  M.,  eds. Fractal Geo- metry and Stochastics III. Basel: Birkhäuser Verlag, 2004. 264  p. 93.  Przytycki  F.  and  Urbański M.  Conformal Fractals:  Er-- godic Theory Methods. Cambridge: Cambridge University Press,  2010.  362  p. 94.  Blei  R.  Analysis in Integer and Fractional Dimensions. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 556 p. 95.  Kigami  J.  Analysis on Fractals.  Cambridge:  Cambridge University  Press,  2001.  226  p. 96.  Lowen  S.  B.  and  Teich  M.  C.  Fractal-Based Point Pro- cesses. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, 2005. 626  p. 97. Lévy-Véhel J. and Lutton E., eds. Fractals in Engineering: New Trends in Theory and Applications.  London:  Sprin- ger-Verlag, 2005. 290 p. 64 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 98. Afraimovich V.,  Ugalde  E.,  and  Urias  J.  Fractal Dimen- sions for Poincare Recurrences, Volume 2.  Amsterdam: Elsevier, 2006. 258 p. 99.  Jorgensen  P.  E.  T.  Analysis and Probability: Wavelets, Signals, Fractals.  New  York:  Springer-Verlag,  2006. 280  p. 100. Lapidus M. L. and van Frankenhuijsen M. Fractal Geo- metry, Complex Dimensions and Zeta Functions: Geomet- ry and Spectra of Fractal Strings.  New  York:  Springer- Verlag, 2013. 570 p. 101. Lipscomb S. L. Fractals and Universal Spaces in Dimen- sion Theory. New York: Springer-Verlag, 2009. 242 p. 102.  Barral  J.  and  Seuret  S.,  eds.  Recent Developmentsin Fractals and Related Fields.  Boston:  Birkhäuser,  2010. 419  p. 103.  Rosenberg  E.  A Survey of Fractal Dimensions of Net- works.  Cham,  Switzerland:  Springer  Int.  Publ.,  2018. 84  p. 104. Kirillov A. A. A Tale of Two Fractals. Basel: Birkhäuser, 2013.  138  p. 105. Lindstrøm T. Brownian Motion on Nested Fractals. Mem. Am. Math. Soc.  1990.  Vol.  83,  No.  420.  P.  1–128.  DOI: 10.1090/memo/0420 106. Chen G. and Huang Y. Chaotic Maps. Dynamics, Frac- tals, and Rapid Fluctuations.  San  Rafael,  USA:  Morgan and Claypool Publ.,  2011. 227 p. 107. Edgar G. A., ed. Classics on Fractals. Boulder: Westview Press,  2004.  366  p. 108. Mazzola G., Milmeister G.,  and Weissmann  J. Compre- hensive Mathematics for Computer Scientists 2.  Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. 355 p. 109. Weinberger S. Computers, Rigidity, and Moduli. The Large- Scale Fractal Geometry of Riemannian Moduli Space. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2005. 174  p. 110. Strichartz R. S. Differential Equations on Fractals. A Tu- torial.  Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2006.  192  p. 111.  Mayer  V.,  Skorulski  B.,  and  Urbański M.  Distance Ex- panding Random Mappings, Thermodynamical Formalism, Gibbs Measures and Fractal Geometry. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. 112 p. 112. Lapidus M. L. and van Frankenhuijsen M., eds. Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoit Mandel- brot. Part 1: Analysis, Number Theory, and Dynamical Systems. Providence, RL: American Mathematical Society Publ.,  2004.  518  p. 113.  Carfi D.,  Lapidus  M.  L.,  Pearse  E. P.  J.,  and  van  Fran- kenhuijsen M., eds. Fractal Geometry and Dynamical Sys- tems in Pure and Applied Mathematics II: Fractals in Ap- plied Mathematics. Providence, RL: American Mathemati- cal Society Publ., 2013. 373 p. 114. Lapidus M. L. and van Frankenhuijsen M. Fractal Geo- metry and Number Theory: Complex Dimensions of Frac- tal Strings and Zeros of Zeta Functions. Basel: Birkhäuser, 2000.  268  p. 115.  Lapidus  M.,  Radunović G.,  Žubrinić   D.  Fractal Zeta Functions and Fractal Drums: Higher-Dimensional Theo- ry of Complex Dimensions. New York: Springer Int. Publ., 2017. 655 p. 116.  Triebel  H.  Fractals and Spectra: Related to Fourier Analysis and Function Spaces.  Basel:  Birkhäuser,  1997. 272  p. 117.  Grabner  P.  and Woess W.,  eds.  Fractals in Graz 2001: Analysis – Dynamics – Geometry – Stochastics.  Basel: Birkhäuser, 2003. – 284 p. 118.  Bishop  C.  J.  and  Peres  Y.  Fractals in Probability and Analysis.  Cambridge:  Cambridge  University  Press,  2016. 402  p. 119. David G and Semmes S. Fractured Fractals and Broken Dreams: Self-Similar Geometry through Metric and Mea- sure. Oxford: Clarendon Press, 1997. 212 p. 120. Barral J. and Seuret S., eds. Further developments in frac- tals and related fields: mathematical foundations and con- nections. Basel: Birkhäuser, 2013. 288 p. 121. De-Jun Feng and Ka-Sing Lau, eds. Geometry and Ana- lysis of Fractals: Hong Kong, December 2012.  Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2014. 358 p. 122. Mattila P. Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability. Cambridge: Cambridge University  Press,  1995.  343  p. 123.  Su  W.  Harmonic Analysis and Fractal Analysis over Local fields and Applications. Singapore: World Scientific Publ.,  2018.  318  p. 124. Pesin Y. and Climenhaga V. Lectures on Fractal Geometry and Dynamical Systems. New York: American Mathema- tical Society Publ., 2009. 314 p. 125. Yamaguti M., Hata M., Kigami J., and Hudson K. Mathe- matics of Fractals. Providence, RL: American Mathemati- cal Society Publ., 1997. 78 p. 126. Changpin Li, Yujiang Wu, and Ruisong Ye., eds. Recent Advances in Applied Nonlinear Dynamics with Numerical Analysis: Fractional Dynamics, Network Dynamics, Clas- sical Dynamics and Fractal Dynamics with their Nume- rical Simulations. Singapore: World Scientific Publ., 2013. 416  p. 127.  Dobrushin  R.  L.  and  Kusuoka  S.  Statistical Mechanics and Fractals.  Berlin,  Heidelberg:  Springer-Verlag,  1993. 102  p. 128. Falconer K. J. The geometry of fractal sets. Cambridge: Cambridge University Press, 1986. 162 p. 129. Kalmykov Y. P., Coffee W. T., and Rice S. A., eds. Frac- tals, Diffusion, and Relaxation in Disordered Complex Sys- tems: Advances in Chemical Physics, Part A, Volume 133. New Jersey: Wiley-Interscience, 2006. 570 p. 130. Kozlov G. V. and Yanovskii Yu. G. Fractal mechanics of polymers: chemistry and physics of complex polymeric ma- terials. Toronto: Apple Academic Press, 2015. 370 p. 131.  Burde  A.  and  Havlin  S.,  eds.  Fractals and Disor- dered Systems.  Berlin,  Heidelberg:  Springer-Verlag, 1996.  408  p. 132.  Takayasu  H.  Fractals in the physical sciences.  Man- chester,  New  York:  Manchester  University  Press,  1990. 170  p. 133.  Pietronero  L.  and  Tosatti  E.,  eds.  Fractals in Physics. Amsterdam, Oxford et al.: North-Holland, 1986. 476 p. 134.  Amann  A.,  Cederbaum  L.,  and  Gans  W.,  eds.  Frac- tals, Quasicrystals, Chaos, Knots and Algebraic Quan- tum Mechanics.  Dordrecht:  Kluwer  Academic  Press, 1988. 331 p. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 65 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 135. Meakin P. Fractals, Scaling and Growth Far from Equi- librium. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. 674 p. 136. Pietronero L., ed. Fractals’ Physical Origin and Proper- ties. New York: Springer Science, 1989. 370 p. 137. Stauffer D. and Stanley H. E. From Newton to Mandel- brot: A Primer in Theoretical Physics with Fractals for the Macintosh (R). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1996. 211  p. 138.  Stanley  H.  E.  and  Ostrowsky  N.,  eds.  On Growth and Form: Fractal and Non-fractal Patterns in Physics. Dor- drecht: Martinus  Nijhoff Publishers,  1986.  308 p. 139. Pickover C. A., ed. The Pattern Book: Fractals, Art and Nature. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ., 1995.  427  p. 140.  Novak  M.  M.,  ed.  Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. New Jersey, London et al.: World Scientific Publ., 2004. 323 p. 141.  Heck  A.  and  Perdang  J.  M.,  eds  Applying Fractals in Astronomy.  Berlin,  Heidelberg:  Springer-Verlag,  1991. 210  p. 142. Lesmoir-Gordon N., ed. The Colours of Infinity: The Beau- ty and Power of Fractals. London: Springer-Verlag, 2010. 207  p. 143. Lung C. W. and March N. H. Mechanical Properties of Metals: Atomistic and Fractal Continuum Approaches. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ., 1999. 415  p. 144. AI-Akaidi  M.  Fractal Speech Processing.  Cambridge: Cambridge University Press, 2004. 224 p. 145. Barnsley M. F., Saupe D., and Vrscay E. R., eds. Frac- tals in Multimedia. New York, Berlin, Heidelberg: Sprin- ger-Verlag, 2002. 259 p. 146. Bunde A. and Havlin S., eds. Fractals in Science. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1994. 300 p. 147. Addison P. S. Fractals and Chaos. An Illustrated Course. Bristol, Philadelphia: IOP Publishing Ltd., 1997. 256 p. 148. Birdi K. S. Fractals in Chemistry, Geochemistry, and Bio- physics: An Introduction. New York: Springer Science, 1993. 264  p. 149. Kozlov G. V., Doblin I. V., and Zaikov G. E. The Fractal Physical Chemistry of Polymer Solutions and Melts.  To- ronto,  New  Jersey: Apple Academic  Press,  2013.  307  p. 150.  Kozlov  G.  V.,  Mikitaev  A.  K.,  and  Zaikov  G.  E.  The Fractal Physics of Polymer Synthesis. Toronto,  New  Jer- sey: Apple Academic Press,  2013. 345 p. 151.  Kaandorp  J.  A.  Fractal Modelling, Growth and Form in Biology.  Berlin,  Heidelberg:  Springer-Verlag,  1994. 209  p. 152. Liebovitch L. S. Fractals and Chaos: Simplified for the Life Sciences.  Oxford:  Oxford  University  Press,  1998. 249  p. 153. Исаева В. В., Каретин Ю. А., Чернышев А. В., Шкура- тов  Д.  Ю.  Фракталы и хаос в биологическом морфо- генезе.  Владивосток:  Институт  биологии  моря  ДВО РАН, 2004. 128 с. 154. Di Ieva A., ed. The Fractal Geometry of the Brain. New York: Springer-Verlag, 2016. 585 p. 155. Brambila F., ed. Fractal Analysis. Applications in Health Sciences and Social Sciences.  Rijeka,  Croatia:  InTech, 2017.  216  p. 156.  Sadana  A.  Fractal Binding and Dissociation Kinetics for Different Biosensor Applications. Amsterdam, Boston et al.: Elsevier, 2005. 650 p. 157. Bassingthwaighte J. B., Liebovich L. S., and West B.  J. Fractal Physiology. Oxford, New York et al.: Oxford Uni- versity  Press,  1994.  354  p. 158.  West  B.  J.  Fractal Physiology and Chaos in Medicine. Singapore: World Scientific Publ., 2013. 344 p. 159. West B. Fractal Physiology and the Fractional Calculus: A Perspective.  Front. Physiol.  2010. Vol.  1.  id.  12.  DOI: 10.3389/fphys.2010.00012 160. Kumar D., Arjunan S. P., and Aliahmad B. Fractals: Ap- plication in Biological Signalling and Image Processing. Boca Raton: CRC Press, 2017. 174 p. 161. Nonnenmacher T. F., Losa G. A., and Weibel E. R., eds. Fractals in Biology and Medicine. Basel: Birkhäuser, 1994. 397  p. 162.  Losa  G. A.,  Merlini  D.,  Nonnenmacher T.  F.,  and Wei- bel E. R., eds. Fractals in Biology and Medicine: Volume 3. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 2002. 362 p. 163. Takahashi T. Microcirculation in Fractal Branching Net- works.  Japan: Springer,  2014.  138 p. 164. Dewey T. G. Fractals in Molecular Biophysics. Oxford, New York: Oxford University Press, 1997. 276 p. 165. Senesi N. and Wilkinson K. J., eds. Biophysical Chemist- ry of Fractal Structures and Processes in Environmen- tal Systems.  New  York:  John  Wiley  &  Sons  Inc.,  2008. 340  p. 166. Sadana A. Biosensors: Kinetic of Binding and Dissocia- tion Using Fractal. Amsterdam: Elsever, 2003. 418 p. 167. Sadana A. and Sadana N. Fractal Analysis of the Binding and Dissociation Kinetics for Different Analytes on Biosen- sor Surfaces. Amsterdam: Elsevier, 2008. 372 p. 168. Banerji A. Fractal Symmetry of Protein Exterior. Basel: Springer, 2013. 55 p. 169. Addison P.  S.  The Illustrated Wavelet Transform Hand- book: Introductory Theory and Applications in Science, Engineering, Medicine and Finance. Bristol, Philadelphia: IOP Publishing Ltd., 2002. 359 p. 170. Ionescu C. M. The Human Respiratory System: An Ana- lysis of the Interplay between Anatomy, Structure, Brea- thing and Fractal Dynamics.  London:  Springer-Verlag, 2013.  217  p. 171. Barabási A.-L. and Stanley H. E. Fractal Concept in Sur- face Growth.  Cambridge:  Cambridge  University  Press, 1995.  366  p. 172. Quadfeul S.-A., ed. Fractal Analysis and Chaos in Geo- sciences. Rijeka, Croatia: InTech Press, 2012. 174 p. 173. Turcotte D. L. Fractals and Chaos in Geology and Geo- physics.  Cambridge:  Cambridge  University  Press,  1997. 398  p. 174.  Kruhl  J.  Y.,  ed.  Fractals and Dynamic Systems in Geoscience.  Berlin,  Heidelberg:  Springer-Verlag,  1994. 421  p. 175. Barton C. C. and La Pointe P. R., eds. Fractals in Petro- leum Geology and Earth Processes. Bosnon, MA: Sprin- ger, 1995. 317 p. 176.  Barton  C.  C.  and  La  Pointe  P.  R.,  eds.  Fractals in the Earth Sciences. New York: Springer, 1995. 265 p. 177. Dauphiné A. Fractal Geography. London, Hoboken: John Wiley & Sons, 2012. 241 p. 66 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 178.  Chandrasekhar  E.,  Dimri  V.  P.,  and  Garde  V.  M.,  eds. Wavelets and Fractals in Earth System Sciences.  Boca Raton, London, New York: CRC Press, 2014. 286 p. 179. Dimri V. P. Fractal Solutions for Understanding Complex Systems in Earth Sciences. Cham, Heidelberg, at al.: Springer Int. Publ.,  2016.  152 p. 180.  Dimri  V.  P.,  ed.  Fractal Behavior of the Earth System. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. 208 p. 181.  Dimri  V.  P.,  Srivastava  R.  P.,  and  Vedanti  N.  Fractal Models in Exploration Geophysics: Applications to Hyd- rocarbon Reservoirs. Oxford, UK: Elsevier Science & Tech- nology, 2012. 184 p. 182. Ghanbarian B. and Hunt A. G., eds. Fractals: Concepts and Applications in Geosciences.  Boca  Raton,  London, New York: CRC Press, 2017. 351 p. 183. Scholz C. H. and Mandelbrot B. B., eds. Fractals in Geo- physics. Basel: Birkhäuser, 1989. 314 p. 184. Лукк А. А., Дещеревский А. В., Сидорин А. Я., Сидо- рин  И.  А.  Вариации геофизических полей как прояв- ление детерминированного хаоса в фрактальной среде. Москва: ОИФЗ РАН, 1996. 200 с. 185. Baveye P., Parlange J.-Y., and Stewart B. A., eds. Frac- tals in Soil Science. Boca Raton: CRC Press, 1998. 377 p. 186. McNutt B. The Fractal Structure of Data Reference: Ap- plications to the Memory Hierarchy. Boston, Dorbreht, Lon- don: Kluver Academic Publ., 2000. 132 p. 187. Farmer M. E. Application of Chaos and Fractals to Com- puter Vision.  Sharjah:  Bentham  Sci.  Publ.  Ltd.,  2014. 323  p. 188. Мандельброт Б., Хадсон Р. Л. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах.  Москва:  Изда- тельский дом “Вильямс”, 2006. 400 с. 189. Crilly A. J., Earnshow R., and Jones H., eds. Applications of Fractals and Chaos: The Shape of Things. Berlin, Heidel- berg: Springer-Verlag, 1993. 277 p. 190. Mandelbrot B. B. and Hudson R. L. The Misbehavior of Markets: A fractal View of Risk, Ruin and Reward.  New York: Basic Books, 2006. 300 p. 191. Eglash R. African Fractals: Modern Computing and In- digenous Design.  New  Brunswick,  NJ:  Rutgers  Univer- sity  Press,  1999.  258  p. 192. Batty M. and Longley P. Fractal Cities: A Geometry of Form and Function. London, San Diego et al.: Academic Press,  1994.  394  p. 193. Bovill C. Fractal Geometry in Architechture and Design. Basel: Birkhäuser, 1996. 195 p. 194. Кулак М. И. Фрактальная механика материалов. Минск: Вышэйшая школа, 2002. 304 с. 195.  Gardner  M.  Fractal Music, Hypercards and more...: Mathematical Recreations from Scientific American Maga- zine. New York: W. H. Freeman and Company, 1992. 327 p. 196. Encarnacao J. L., Peitgen H.-O., Sakas G., and Englert G., eds.  Fractal Geometry and Computer Graphics.  Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. 257 p. 197. Frame M. and Urry A. Fractal Worlds: Grown, Built, and Imagined.  New  Haven,  London:  Yale  University  Press, 2016.  515  p. 198. Frantz M. and Crannell A. Viewpoints: Mathematical Per- spective and Fractal Geometry in Art. Princeton, Oxford: Princeton University  Press,  2011.  232  p. 199.  Николаева  Е.  В.  Фракталы городской культуры. Санкт-Петербург: Страта, 2014. 264 с. 200. Marks-Tarlow T. Psyche’s Veil: Psychotherapy, Fractals and Complexity. London, New York: Routledge, Taylor and Francis Group,  2008. 343 p. 201. Warnecke  H.-J.  The Fractal Company: A Revolution in Corporate Culture.  Berlin,  Heidelberg:  Springer-Verlag, 1993.  228  p. 202.  Hoverstadt  P.  The Fractal Organization:  Creating sus- tainable organizations with the Viable System Model. Chi- chester, UK: John Wiley & Sons, Ltd., 2008. 320 p. 203.  Robbins  B.  Microscope: A Fractal Role-playing Game of Epic Histories.  New  York:  Lame  Mage  Productions, 2011.  80  p. 204. Král F. Social Invisibility and Diasporas in Anglophone Literature and Culture: The Fractal Gaze.  Basingstoke, UK: Palgrave Macmillan, 2014. 230 p. 205. Ghosh B., Sinha S., and Kartikeyan M. V. Fractal Aper- tures in Waveguides, Conducting Screens and Cavities: Analysis and Design. Switzerland: Springer Int. Publ., 2014. 201  p. 206.  Jadczyk A.  Quantum Fractals: From Heisenberg’s Un- certainty to Barnsley’s Fractality. Hackensack, NJ; London, UK: World Scientific Publ., 2014. 345 p. 207. Федер Е. Фракталы. Москва: Мир, 1991. 254 с. 208. Li.  J. M., Lu L., Lai M. O., and Ralph B.  Image-Based Fractal Description of Microstructures. New York: Springer, 2003.  272  p. 209. Mandelbrot B. B. Self-affiine fractal sets. In: L. Pietronero and E. Tosatti, eds. Fractals in Physics. Amsterdam, Oxford et al.: North-Holland, 1986. P. 3–28. 210. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Моск- ва-Ижевск:  Институт  компьютерных  исследований, 2002. 160 с. 211. Falconer K. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. Second Edition.  Chichester,  UK:  John Wiley & Sons, Ltd., 2003. 337 p. 212. Falconer K. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. Third Edition. Chichester,  UK:  John Wiley & Sons, Ltd., 2014. 398 p. 213. Falconer K. Techniques in Fractal Geometry. Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd., 1997. 274 p. 214. Fisher Y. Fractal Image Compression: Theory and Appli- cation. New York: Springer-Verlag, 1995. 342 p. 215. Mandelbrot B. B. Multifractals and 1/f Noise: Wild Self- Affinity in Physics (1963–1976).  New  York:  Springer- Verlag, 1999. 442 p. 216.  Seuront  L.  Fractals and Multifractals in Ecology and Aquatic Science.  Boca  Raton,  London,  New  York:  CRC Press,  2010.  344  p. 217. Goltz C. Fractal and Chaotic Properties of Earthquakes. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1997. 182 p. 218. Пасынков Б. А., Федорчук В. В. Топология и теория размерности. Москва: Знание, 1984. 64 с. 219. Ефремович В. А. Основные топологические понятия. Энциклопедия элементарной математики: Том 5. Гео- метрия. Под ред. П. С. Александрова. Москва: Наука, 1966. С. 476–556. 220. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. Москва: Гос. из-во иностранной литературы, 1948. 231 с. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 67 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 221. Edgar G. Measure, Topology, and Fractal Geometry. New York: Springer-Verlag, 2008. 272 p. 222.  Чуличков  А.  И.  Математические методы нелиней- ной динамики.  Москва:  ФИЗМАТЛИТ,  2003.  296  с. 223.  Le  Méhauté  A.  Fractal geometries: theory and appli- cations. Boca Raton: CRC Press, 1991. 200 p. 224.  Devaney  R.  L.  and  Keen  L.,  eds.  Chaos and Fractals: The Mathematics Behind the Computer Graphics.  Pro- vidence,  RI:  American  Mathematical  Society,  1989. 148  p. 225.  Tricot  C.  Douze  definitions  de  la  densité  logarith- mique. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 1981. Vol. 293. P.  549–552. 226. Abry P., Gonçalves P.,  and Lévy Véhel  J.,  eds. Scaling, Fractals and Wavelets.  New  York:  John  Wiley  &  Sons, 2009.  504  p. 227. Franceschetti G. and Riccio D. Scattering, Natural Sur- faces and Fractals. New York: Elsevier, 2007. 289 p. 228.  Пащенко  Р.  Э.  Основы теории формирования фрак тальных сигналов. Харьков: ХООО “НЭО Экоперспек- тива”, 2005. 296 с. 229.  Короленко  П.  В.,  Маганова  М.  С.,  Меснянкин  А.  В. Новационные методы анализа стохастических процес- сов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрак- тальные методы, вейвлет-преобразования: Учебное по- собие.  Москва:  НИИЯФ  МГУ,  2004.  82  с. 230.  Малла  С.  Вэйвлеты в обработке сигналов.  Москва: Мир,  2005.  671  с. 231. Prusinkiewicz P. and Hanan J. Lindenmayer systems, Frac- tals, and Plants. New York: Springer-Verlag, 1989. 122 p. 232. Feder J. Fractals. New York and London: Springer, 1988. 284  p. 233. Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике: Эле- ментарное введение.  Москва:  КомКнига,  2006.  208  с. 234. Gulick D. and Scott J., eds. The Beauty of Fractals: Six Different Views. New York: The Mathematical Association of America Publ., 2010. 95 p. 235. Лазоренко О. В.,  Черногор  Л.  Ф. Нелинейная радио- физика: Сборник задач. Харьков: ХНУ имени В. Н. Ка- разина, 2019. 168 с. 236. Mishra  J.  and  Mishra  S.  N.,  eds.  L-System Fractals. Amsterdam, Boston et al.: Elsevier, 2007. 258 p. 237. Barnsley M. F. and Demko S. Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals. Proc. R. Soc. Lond. A. 1985.  Vol.  399,  Is.  1817.  P.  243–275.  DOI:  10.1098/ rspa.1985.0057 238. Barnsley M. F., Elton J. H., and Hardin D. P. Recurrent Iterated Function Systems Fractal Approximation. Constr. Approx. 1989. Vol. 5, Is. 1. P. 3–31. 239.  Barnsley  M.  F.  Superfractals.  New  York:  Cambridge University  Press,  2006.  453  p. 240.  Barnsley  M.  and  Sloan A.  A  Better  Way  to  Compress Images. Byte. 1988. Vol. 13, Is. 1. P. 215–223. 241. Welstead S. Fractal and Wavelet Image Compression Tech- niques. Belligham, WA: SPIE Optical Engineering Press, 1999.  232  p. 242. Barnsley M. F. The Desktop Fractal Design Handbook. Boston, San Diego et al.: Academic Press, 1989. 38 p. 243.  Barnsley  M.,  Hegland  M.,  and  Massopust  P. Self-refe- rential functions. arXiv:1610.01369v1 [math.CA]. 2016. 244. Massopust P. R. Fractal Functions, Fractal Surfaces and Wavelets. Amsterdam, Boston et al.: Academic Press, 2016. 405  p. 245. Levy Vehel J., Lutton E., and Tricot C., eds. Fractals in Engineering: From Theory to Industrial Applications. Lon- don: Springer-Verlag, 1997. 402 p. 246. Peitgen H.-O.,  Jürgens H.,  Saupe D.,  Maletsky E.,  Per- ciante T., and Yunker L. Fractals for the Classroom: Stra- tegic Activities. Volume One. New York: Springer-Verlag, 1991.  129  p. 247. Peitgen H.-O., Jürgens H., and Saupe D. Fractals for the Classroom: Part Two. Complex Systems and Mandelbrot Set. New York: Springer-Verlag, 1992. 500 p. 248. Katunin A. A Concise Introduction to Hypercomplex Frac- tals.  Boca  Raton,  London,  New York:  CRC  Press,  2017. 93  p. 249.  Осташков  В.  Н.  Диалоги о фракталах.  Тюмень: ТюмГНГУ, 2011. 292  с. 250. Stoyan D. and Stoyan H. Fractals, Random Shapes and Point Fields: Methods of Geometrical Statistics. Chiches- ter: John Wiley & Sons, 1994. 406 p. 251.  Смирнов  Б.  М.  Физика фрактальных кластеров. Москва: Наука, 1991. 136 с. 252. Family F. and Vicsek T., eds. Dynamics of Fractal Sur- faces. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ., 1991.  480  p. 253. Tong H., ed. Dimension Estimation and Models. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ., 1993. 223 p. 254.  Holschneider  M.  Wavelets: An Analysis Tool.  Oxford: Calderon Press, 1995. 423 p. 255. Kolmogorov A. N. and Tikhomirov V. M. -entropy and -capacity of sets in function spaces. Uspekhi Mat. Nauk. 1959. Vol. 14, Is. 2(86). P. 3–86. 256. Minkowski H. Über die Begriffe Länge, Oberfläche und Volumen.  Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Ve- reinigung. 1901. Vol. 9, Is. 1. P. 115–121. 257.  Bouligand  G.  Ensembles  impropres  et  nombre  dimen- sionnel. Bull. Sci. Math. 1928. Vol. 52, Is. 2. P. 320–344, 361–376. 258. Lam L. Nonlinear Physics for Beginners: Fractals, Chaos, Solitons, Pattern Formation, Cellular Automata and Com- plex Systems. Singapore, New Jersey et al.: World Scien- tific Publ., 1998. 338 p. 259.  Helmberg  G.  Getting Acquainted with Fractals.  Berlin: Walter  de Gruyter,  2007.  177  p. 260. Falconer K. Fractals: A Very Short Introduction. Oxford: Oxford University Press,  2013.  153 p. 261.  Kantz  H.  and  Schreiber  T.  Nonlinear Time Series Ana- lysis. New York: Cambridge University Press, 2003. 369 p. 262. Hilborn R. C. Chaos and Nonlinear Dynamics: An Intro- duction for Scientists and Engineers.  New  York:  Oxford University  Press,  2000.  650  p. 263.  Павлов  А.  Н.  Методы анализа сложных сигналов: Учебное пособие. Саратов: Научная книга, 2008. 120 с. 264.  Grassberger  P.  and  Procaccia  I.  Measuring  the  strange- ness of strange attractors. Physica D. 1983. Vol. 9, Is. 1-2. P. 189–208. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90298-1 265.  Grassberger  P.  Generalized  dimensions  of  strange  at- tractors.  Phys. Lett. A.  1983.  Vol.  97,  Is.  6.  P.  227–230. DOI: 10.1016/0375-9601(83)90753-3 68 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 266.  Hentschel  H.  G.  E.  and  Procaccia  I.  The  infinite  num- ber  of  generalized  dimensions  of  fractals  and  strange  at- tractors. Physica D. 1983. Vol. 8, Is. 3. P. 435–444. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90235-X 267. Rényi A. On measures of entropy and information. Pro- ceedings of the Fourth Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob. Vol. 1. Univ. of Calif. Press, 1961. P. 547–561. 268.  Becker  K.-H.  and  Dörfler  M.  Dynamical systems and fractals: Computer graphics experiments in Pascal. New York: Cambridge University Press, 1989. 397 p. 269. Болотин Ю. Л., Тур А. В., Яновский В. В. Конструк- тивный хаос.  Харьков:  Институт  монокристаллов, 2005. 420 с. 270.  Черногор  Л.  Ф.  Нелинейная радиофизика. Учебник. Харьков: ХНУ имени В. Н. Каразина, 2010. 173 с. 271.  Ильяшенко  Ю.  С.  Аттракторы и их фрактальная размерность.  Москва:  МЦНМО,  2005.  16  с. 272.  Sornette  D.  Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Selforganization and Disorder: Concepts and Tools. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. 528 p. 273. Ben-Avraham D. and Havlin S. Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems. Cambridge: Cambridge University  Press,  2004.  316  p. 274. Alexander S. and Orbach R. Density of states on fractals: “fractons”.  J. Phys. (Paris) Lett.  1982.  Vol.  43,  Is.  17. P.  625–631. 275.  Roy  A.  and  Sood  A.  K.  Fracton  dimension  of  porous silicon as determined by low-frequency Raman scattering. Solid State Commun.  1995.  Vol.  93,  Is.  12.  P.  995–998. DOI: 0.1016/0038-1098(94)00919-8 276. Mandelbrot B. Self-Affine Fractals and Fractal Dimension. Phys. Scr. 1985. Vol. 32, Is. 4. P. 257–260. DOI: 10.1088/ 0031-8949/32/4/001 277. Richardson L. F. The Problem of Contiguity: An Appendix to Statistics  of Deadly  Quarrels. Gen. Syst. 1961. Vol.  6. P.  139–187. 278. Mandelbrot B. How Long Is the Coast of Britain? Statis- tical  Self-Similarity  and  Fractional  Dimension.  Science. 1967.  Vol.  156,  Is.  3775.  P.  636–638.  DOI:  10.1126/ science.156.3775.636 279.  Kaye  B.  H.  A Random Walk Through Fractal Dimen- sions. Weinheim, New York et al.: VCH, 1994. 427 p. 280. Stone E. C.  and Miner E. D. Voyager  I Encounter with the  Saturnian  system.  Science.  1981.  Vol.  212,  Is.  4491. P. 159–163. DOI: 10.1126/science.212.4491.159 281.  Harter  W.  G.  and  Patterson  C.  W.  Theory  of  hyperfine and  superfine  levels  in  symmetric  polyatomic  molecules. Trigonal  and  tetrahedral  molecules:  Elementary  spin-1/2 cases in vibronic ground states. Phys. Rev. A. 1979. Vol. 19, Is.  6. P. 2277–2303. DOI: 10.1103/PhysRevA.19.2277 282. Yu  F.  T.  S.  and  Jutamulia  S.,  eds.  Optical Storage and Retrieval: Memory, Neural Networks, and Fractals. New York,  Basel,  Hong  Kong:  Marsel  Dekker,  Ink.,  1996. 325  p. 283.  Окороков  В.  А.,  Сандракова  Е.  В.  Фракталы в фун- даментальной физике. Фрактальные свойства мно- жественного образования частиц и топология вы- борки.  Москва: МИФИ,  2009.  460  с. 284. Kroeger H. Fractal geometry in quantum mechanics, field theory and spin systems. Phys. Rep. 2000. Vol. 323, Is. 2. P. 81–181. DOI: 10.1016/S0370-1573(99)00051-4 285. Nottale L. Fractal Space-Time and Microphysics: Towards a Theory of Scale Relativity. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ., 1993. 333 p. 286. Carpinteri A. and Mainardi F., eds. Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Wien: Springer-Verlag, 1997.  348  p. 287.  Sakai  Y.  and  Vassilicos  C.,  eds.  Fractal Flow Design: How to Design Bespoke Turbulence and Why. New York: Springer Int. Publ., 2016. 177 p. 288.  Cello  G.  and  Malamud  B.  D.,  eds.  Fractal Analysis for Natural Hazards. Geological Society Special Publi- cation No. 261. London: Geological Society Publ., 2006. 172  p. 289. Смирнов Б. М. Фрактальный клубок – новое состоя- ние  вещества.  Успехи физических наук.  1991.  Т.  161, № 8. С. 141–153. 290. Anders A. Cathodic Arcs: From Fractal Spots to Energe- tic Condensation. New York: Springer-Verlag, 2008. 544 p. 291. Wornell G. Signal Processing with Fractals: A Wavelet- Based Approach. Englwood Cliffs, NJ: Prentice Hall PTR, 1996.  177  p. 292.  Громов  Ю.  Ю.,  Земской  Н.  А.,  Иванова  О.  Г.,  Лагу- тин  А.  В.,  Тютюнник  В.  М. Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях: Учебное пособие. Тамбов: Из-во ТГТУ: 2007. 107 с. 293.  Maragos P. and Potamianos A.  Fractal  dimensions  of speech sounds: Computation and application to automatic speech  recognition.  J. Acoust. Soc. Am.  1999.  Vol.  105, Is. 3. P. 1925–1932. DOI: 10.1121/1.426738 294.  Могилевский  Э.  И.  Фракталы на Солнце.  Москва: ФИЗМАТЛИТ,  2001.  152  с. 295.  Фрактальный анализ процессов, структур и сиг- налов. Коллективная монография.  Под.  ред.  Р.  Э.  Па- щенко.  Харьков:  ХООО  «НЭО  “ЭкоПерспектива”», 2006. 348 с. 296.  Шелухин  О.  И.,  Тенякшев  А.  В.,  Осин  А.  В.  Фрак- тальные процессы в телекоммуникациях: Монография. Под ред. О. И. Шелухина. Москва: Радиотехника, 2003. 480 с. 297.  Nottale  L.  Scale Relativity and Fractal Space-Time: A New Approach to Unifying Relativity and Quantum Me- chanics. London: Imperial College Press, 2011. 742 p. 298. Vrobel S. Fractal Time: Why a Watched Kettle Never Boils. Singapore: World Scientific Publ., 2011. 297 p. 299.  Parisi  G  and  Frisch  U.  On  the  singularity  structure  of fully  developed  turbulence.  In:  M.  Ghil,  R.  Benzi,  and G. Parisi, eds. Turbulence and Predictability in Geophysi- cal Fluid Dynamics and Climate Dynamics. Amsterdam, New York: North-Holland Publ. Co., 1985. P. 84–87. 300.  Boffetta  G.,  Mazzino  A.,  and  Vulpiani A.  Twenty-five years of multifractals in fully developed turbulence: a tri- bute to Giovanni Paladin. J. Phys. A. 2008. Vol. 41, Is. 36. id. 363001. DOI: 10.1088/1751-8113/41/36/363001 301. Benzi R., Paladin G., Parisi G., and Vulpiani A. On  the multifractal nature of fully developed turbulence and chao- tic systems. J. Phys. A. 1984. Vol. 17, Is. 18. P. 3521–3531. DOI: 10.1088/0305-4470/17/18/021 302.  Laherrére  J.  Distributions  de  type  “fractal  parabolique” dans  la  Nature.  [“Parabolic  fractal”  distributions  in Nature]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1996. Vol. 322, Series II a. P.  535–542. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 69 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 303.  Forriez  M.  and  Marthin  P.  Structures  hierarchiques  en geographie: des modeles lineaires aux modeles non lineaires (lois de puissance et corrections log-periodiques). Huitièmes Rencontres de ThéoQuant des 10–12 janvier 2007 à Be- sançon, France. Besancon, France, 2007. P. 192–195. 304.  Божокин  С.  В.,  Паршин  Д.  А.  Фракталы и мульти- фракталы.  Ижевск:  НИЦ  “Регулярная  и  хаотическая динамика”, 2001. 128 с. 305.  Harte  D.  Multifractals. Theory and Applications.  Boca Raton, London et al.: Chapman & Hall/CRC Press, 2001. 248  p. 306. Барьяхтар В. Г., Гончар В. Ю., Яновский В. В. Приро- да  сложной  структуры  пятна  загрязнений  радионук- лидами  в  результате  аварии  на  ЧАЭС.  Украинский физический журнал. 1993. Т. 38, № 15. С. 967–975. REFERENCES 01. GOUYET, J.-F., 1996. Physics and Fractal Structures. New York, USA: Springer-Verlag. 02.  MANDELBROT,  B.,  1975.  Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Paris, France: Flammarion. 03. GOROBETS, YU. I., KUCHKO, A. M. and VAVILOVA, I. B., 2008. Fractal Geometry in Natural Science. Textbook. Kyiv, Ukraine: Naukova Dumka Publ. (in Ukrainian). 04.  TARASOV,  V.  E.,  2011.  Fractional Dynamics. Applica- tions of Fractal Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York, USA: Springer. 05. OLDHAM, K. B. and SPANIER, J., 1974. The Fractional Calculus. Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. San Diego, USA: Academic Press. 06. ROSS, B., ed, 1975. Fractional Calculus and Its Applica- tions. Berlin, Germany: Springer-Verlag. 07. MILLER, K. and ROSS, B., 1993. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New Jersey: Wiley-Interscience. 08. HILFER, R., ed., 2000. Applications of Fractional Calculus in Physics.  Singapore,  New  Jersey,  et  al.:  World  Scien- tific Publ. 09.  NAKHUSHEV,  A.  M.,  2003.  Fractional calculus and its applications. Мoscow, Russia: Fizmatlit Publ. (in Rus- sian). 10. BAYIN, S., 2006. Mathematical Methods in Science and Engineering. New Jersey: Wiley-Interscience. 11.  HIBSCHWEILER,  R.  and  MACGREGOR,  T.  H.,  2006. Fractional Cauchy Transforms. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. 12. KILBAS, A. A., SRIVASTAVA, H. M. and TRUJILLO, J. J., 2006. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. New York: Elsevier. 13.  SABATIER,  J.,  AGRAWAL,  O.  P.  and  TENREIRO MACHADO,  J.  A.,  eds.,  2007.  Advances in Fractional Calculus. Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. New York: Springer. 14. VASILIYEV, V. V. and SIMAK, L. A., 2008. Fractal Calcu- lus and Approximative Methods in Dynamical Systems Modelling. Kyiv, Ukraine: NAS of Ukraine Publ. (in Rus- sian). 15. UCHAYKIN, V. V., 2008. The Method of Fractional De- rivatives. Ul’yanovsk, Russia: Artishok Publ. (in Russian). 16. SAICHEV, A. I. and WOYCZYNSKI, W. A., 1997. Distri- butions in the Physical and Engineering Sciences: Distri- butional and Fractal Calculus, Integral Transforms and Wavelets. Boston: Birkhäuser. 17.  GIL’MUTDINOV,  A.  K.,  USHAKOV,  P.  A.  and  EL- KHARAZI, R., 2017. Fractal Elements and their Applica- tions. Cham, Switzerland: Springer Int. Publ. 18.  GIL’MUTDINOV, A.  K.,  ed.,  2010.  Fractals and Frac- tional Operators. Kazan’, Russia:  Fan Publ.  of Academy of Sciences of RT. (in Russian). 19. NAKAYAMA, T. and YAKUBO, K., 2010. Fractal Con- cepts in Condensed Matter Physics.  Berlin,  Heidelberg: Springer-Verlag. 20.  POTAPOV, A. A.,  2002.  Fractals in Radio Physics and Radar. Moscow, Russia: Logos Publ. (in Russian). 21.  POTAPOV, A. A.,  2005.  Fractals in Radio Physics and Radar. Sample Topology. Moscow, Russia: Universitetskaya Kniga Publ. (in Russian). 22. TURBIN, A. F. and PRATSEVITYI, N. V., 1992. Fractal Sets, Functions, Distributions.  Kyiv,  Ukraine:  Naukova Dumka Publ. (in Russian). 23. ZEL’DOVICH, YA. B. and SOKOLOV, D. D., 1985. Frac- tals,  Self-Similarity,  Intermediate  Asymptotic.  Uspekhi fizicheskikh nauk.  vol.  146,  is.  3,  pp.  493–506.  (in  Rus- sian). 24. PEINTGEN, H.-O. and SAUPE, D., eds., 1988. The Scien- ce of Fractal Images. New York: Springer-Verlag. 25.  MANDELBROT,  B.,  1989.  Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Parise: Flammarion. 26.  MANDELBROT,  B.  B.,  1977.  Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco: W. H. Freeman and Com- pany. 27.  MANDELBROT,  B.  B.,  1982.  The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Company. 28.  MANDELBROT,  B.,  2010.  Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Paris: Flammarion. 29.  MANDELBROT,  B.  B.,  2002.  The Fractal Geometry of Nature.  Moscow,  Russia:  Institut  komp’yuternykh  issle- dovaniy Publ. (in Russian). 30. BARYSHEV, Y. and TEERIKORPI, P., 2002. Discovery of Cosmic Fractals. New Jersey: World Scientific Publ. 31. CROWNOVER, R. M., 1995. Introduction to Fractals and Chaos. Boston:  Jones and Bartlett Publ. 32. CROWNOVER, R. M.,  2000. Fractals and chaos in dy- namic systems. Fundamentals of theory. Moscow, Russia: Postmarket Publ.  (in Russian). 33. BULAT, A. F. and DYRDA, V. I., 2005. Frcatals in Geo- mechanics. Kyiv, Ukraine: Naukova Dumka Publ. (in Rus- sian). 34.  HAUSDORFF,  F.,  1918. Dimension  und  äußeres  Maß. Math. Ann.  vol.  79,  is.  1-2,  pp.  157–179.  DOI:  10.1007/ BF01457179 35. THIM, J., 2003. Continuous Nowhere Differentiable Func- tions. Master’s Thesis. Lulea, Sweden: Lulea University of Technology Publ. 36. MASSOPUST, P. R., 1994. Fractal Functions, Fractal Sur- faces and Wavelets. San Diego, New York et al.: Academic Press. 37.  BANDT,  C.,  BARNSLEY, M.,  DEVANEY,  R.,  FALCO- NER,  K. J.,  KANNAN,  V.  and  VINOD  KUMAR,  P.  B., eds., 2014. Fractals, Wavelets and their Applications: Con- 70 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор tributions from the International Conference and Work- shop on Fractals and Wavelets (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). Switzerland: Springer Int. Publ. 38.  DU  BOIS-REIMOND,  P.  1875.  Versuch  einer  Classifi- cation der willkürlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. vol. 79, pp. 21–37. 39.  POTAPOV, A. A.,  GULYAEV,  Yu.  V.,  NIKITOV,  S. A., PAKHOMOV, A. A. and GERMAN, V. A., 2008. The Ne- west Methods of Image Processing. Moscow, Russia: FIZ- MATLIT  Publ.  (in  Russian). 40. CELLÉRIER, M. C., 1890. Note sur  les principes fonda- mentaux de l’analyse. Darboux Bull. vol. 14. pp. 142–160. 41. BRZHECHKA, V. F., 1949. About Bolzano (On the cente- nary  of  the  death  of  the  Czech  mathematician  Bernard Bolzano). Uspekhi matematicheskikh nauk. vol. 4, is. 2(30), pp.  15–21.  (in  Russian). 42.  MOON,  F.,  1990.  Chaotic Oscillations: An Introductory Course for Scientists and Engineers. Moscow, Russia: Mir Publ. (in Russian). 43. MCCAULEY, J. L., 1993. Chaos, Dynamics and Fractals. Cambridge: Cambridge University Press. 44. LASOTA, A.  and MACKEY, M. C.,  1994. Chaos, Frac- tals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics.  New York: Springer-Verlag. 45.  KUZNETSOV,  S.  P.,  2001.  Dynamical Chaos.  Saratov, Russia: Saratov State University Publ. (in Russian). 46.  MOON,  F.  C.,  2004.  Chaotic and Fractal Dynamics. An Introduction for Applied Scientists and Engineers. Wein- heim: Wiley-VCH Verlag. 47. MOON, F. C., 2004. Chaotic Vibrations. An Introduction for Applied Scientists and Engineers. New Jersey: Wiley- Interscience. 48.  MANDELBROT,  B.  B.,  2004.  Fractals and Chaos. The Mandelbrot Sets and Beyond. New York: Springer-Verlag. 49. PEITGEN,  H.-O.,  JURGENS,  H.  and SAUPE, D.,  2004. Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. Second Edition. New York: Springer-Verlag. 50.  SZEMPLINSKA-STUPNICKA,  W.,  2004.  Chaos. Bifur- cations and Fractals Around Us. A Brief Introduction. New Jersey: World Scientific Publ. 51. GRINCHENKO, V. V., MATSYPURA, V. T. and SNARS- KYI,  A.  A.,  2010.  Introduction to Nonlinear Dynamics. Chaos and Fractals. Moscow, Russia: LKI Publ. (in Rus- sian). 52. FELDMAN, D. P., 2012. Chaos and Fractals. An Elemen- tary Introduction. Oxford: Oxford University Press. 53. PICKOVER, C. A., ed., 1998. Chaos and Fractals: A Com- puter Graphical Journey. Ten Year Compilation of Advanced Research. Amsterdam, Lausanne et al.: Elsevier. 54. GULICK, D., 2012. Encounters with Chaos and Fractals. College Park, USA: University of Maryland Publ. 55. CRILLY, A. J., EARNSHAW, R. A. and JONES, H., eds., 1991. Fractals and Chaos. New York: Springer-Verlag. 56.  PEITGEN,  H.-O.,  JÜRGENS,  H.,  SAUPE,  D.,  MALET- SKY, E., PERCIANTE, T. and YUNKER, L., 1992. Frac- tals for the Classroom: Strategic Activities. Volume Two. New York: Springer-Verlag. 57. PEITGEN,  H.-O.,  JÜRGENS, H.  and SAUPE, D.,  1992. Fractals for the Classroom. Part One. Introduction to Frac- tals and Chaos. New York: Springer-Verlag. 58.  SCHEINERMAN,  E.  R.,  1995.  Invitation to Dynamical Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 59.  LESNE,  A.,  1995.  Méthodes de renormalisation: Phé- nomènes critiques – Chaos – Structures fractales.  Paris: Eyrolles Sciences. 60.  KLAGES,  R.,  2007.  Microscopic Chaos, Fractals and Transport in Nonequilibrium Statistical Mechanics.  New Jersey, London et al.: World Scientific Publ. 61. MELIN, P. and CASTILLO, O., 2002 Modelling, Simula- tion and Control of Non-linear Dynamical Systems: An In- telligent Approach Using Soft Computing and Fractal Theory. Boca Raton, London et al.: Taylor and Francis Publ. 62. KIVOTIDES, D., 2012. The Impact of Kinematic Simula- tions on Quantum Turbulence Theory. In: F. C. G. A. NI- COLLEAU, C. CAMBON, J.-M. REDONDO, J. C. VAS- SILICOS,  M.  REEKS  and  A.  F.  NOWAKOWSKI,  eds. New Approaches in Modeling Multiphase Flows and Dis- persion in Turbulence, Fractal Methods and Synthetic Tur- bulence.  Dordrecht,  Heidelberg  et  al.:  Springer,  pp.  1–8. 63. GAPONOV-GREKHOV, A. V. and RABINOVICH, M. I., 1992. Nonlinearities in Action: Oscillations, Chaos, Order, Fractals. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 64. LESNE, A., 1998. Renormalization Methods: Critical Phe- nomena, Chaos, Fractal Structures. Chichester: John Wiley & Sons.   65.  CASTILLO,  O.  and  MELIN,  P.,  2003.  Soft Computing and Fractal Theory for Intelligent Manufacturing. Heidel- berg: Physica-Verlag. 66. FLAKE, G. W., 1998. The Computational Beauty of Na- ture: Computer Explorations of Fractals, Chaos, Complex Systems, and Adaptation. Cambridge, MA: MIT Press. 67. SCHROEDER, M., 1991. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite. New York: W. H. Freeman and Company. 68.  SCHROEDER, M.,  2001. Fractals, Chaos, Power Laws. Endless Paradise Miniatures. Izhevsk, Russia: NITS “Regu- lyarnaya i haoticheskaya dinamika” Publ. (in Russian). 69. PEANO, G., 1890. Sur une courbe, qui remplit  toute une aire  plane.  Math. Ann.  vol.  36,  no.  1,  pp.  157–160.  (in French). DOI: 10.1007/BF01199438 70.  VON  KOCH,  H.,  1904.  Sur  une  courbe  continue  sans tangente obtenue par une construction géométrique élémen- taire.  Arkiv för Matematik Astronomy, och Fisyc.  vol.  1, pp.  681–702. 71.  SMITH,  H.  J.  S.,  1874.  On  the  integration  of  disconti- nuous functions. Proc. London Math. Soc., vol. s1-6, is. 1, pp.  140–153.  DOI:  10.1112/plms/s1-6.1.140 72. DU BOIS-REYMOND, P., 1880. Der Beweis des Funda- mentalsatzes  der  Integralrechnung.  Math. Ann.  vol.  16, is.  1,  pp.  115–128.  DOI:  10.1007/BF01459233 73. VOLTERRA, V., 1881. Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue [Some observations on point-wise discontinuous function]. Giornale di Matematiche. vol. 19, pp. 76–86.  (in  Italian). 74. CANTOR, G., 1883. Über unendliche, lineare Punktman- nigfaltigkeiten V. [On infinite, linear point-manifolds (sets), Part 5]. Math. Ann.,  vol.  21,  is. 4, pp. 545–591.  (in Ger- man). DOI: 10.1007/BF01446819 75.  PERRIN,  J.,  1909.  Movement  brownien  et  réalité  molé- culaires. Annales de chimie et de physique. vol. 18, no. 8, pp.  5–114. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 71 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 76.  PERRIN,  J.,  1913.  Les Atomies.  Paris:  Librairie  Feléx Alcan. 77.  GAZALE,  M.,  2002.  Gnomon. From Pharaohs to Frac- tals.  Moscow-Izhevsk,  Russia:  Institut  komp’yuternykh issledovaniy Publ. (in Russian). 78. BARNSLEY,  M. F., 1988. Fractals Everywhere.  Boston: Academic Press Publ. 79.  FAUVEL,  J.,  FLOOD,  R.  and  WILSON,  R.,  eds.,  2006. Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals. Oxford: Oxford University Press. 80.  MANDELBROT,  B.  B.,  1997.  Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk. Selecta Vo- lume E. New York: Springer-Verlag. 81. YANOVSKY, V. V., 2003. The Emergence of  a New Pa- radigm  in  Physics.  Universitates.  no.  3,  pp.  32–47.  (in Russian). 82. YANOVSKY, V. V., 2006. Lectures on Nonlinear Pheno- mena. Volume 1. Kharkiv, Ukraine: Institut monokristallov Publ. (in Russian). 83.  LOSA,  G. A.,  MERLINI,  D.,  NONNENMACHER, T.  F. and WEIBEL, E. R.,  eds., 2005. Fractals in Biology and Medicine. Volume IV. Basel: Birkhäuser Verlag. 84.  MANDELBROT,  B.,  2004.  Fractals, Case and Finance. Moscow-Izhevsk,  Russia:  NITS  “Regulyarnaya  i  hao- ticheskaya dinamika” Publ. (in Russian). 85. PEINTGEN, H.-O. and RICHTER, P. H., 1993. The Beau- ty of Fractals. Images of Complex Dynamic Systems. Mos- cow, Russia: Mir Publ. (in Russian). 86. MANDELBROT, B., 2009. Fractals and Chaos. Mandel- brot Sets and Other Wonders. Moscow-Izhevsk,  Russia: Institut  komp’yuternykh  issledovaniy  Publ.  (in  Russian). 87.  DEMENOK,  S.  L.,  2012.  Just Fractal.  St.  Petersburg, Russia: Strata Publ. (in Russian). 88. WICKS, K. R.,  1991. Fractals and Hyperspaces. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 89. BANDT, C., GRAF, S. and ZÄHLE, M., eds., 1995. Frac- tal Geometry and Stochastics. Basel: Birkhäuser Verlag. 90. BANDT, C., FALCONER, K. and ZÄHLE, M., eds., 2015. Fractal Geometry and Stochastics V.  Basel:  Birkhäuser Verlag. 91. BANDT, C., GRAF, S. and ZÄHLE, M., eds., 2000. Frac- tal Geometry and Stochastics II. Basel: Birkhaäser Verlag. 92.  BANDT,  C.,  MOSKO,  U.  and  ZÄHLE,  M.,  eds.,  2004. Fractal Geometry and Stochastics III.  Basel:  Birkhäuser Verlag. 93. PRZYTYCKI, F.  and  URBAŃSKI, M.,  2010. Conformal Fractals: Ergodic Theory Methods. Cambridge: Cambridge University  Press. 94. BLEI, R., 2001. Analysis in Integer and Fractional Dimen- sions. Cambridge: Cambridge University Press. 95. KIGAMI, J., 2001. Analysis on Fractals. Cambridge: Cam- bridge University Press. 96.  LOWEN,  S.  B.  and  TEICH,  M.  C.,  2005.  Fractal-Ba- sed Point Processes. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons. 97. LÉVY-VÉHEL, J. and LUTTON, E., eds., 2005. Fractals in Engineering. New Trends in Theory and Applications. London: Springer-Verlag. 98. AFRAIMOVICH, V., UGALDE, E. and URIAS, J., 2006. Fractal Dimensions for Poincare Recurrences, Volume 2. Amsterdam: Elsevier. 99.  JORGENSEN,  P.  E.  T.,  2006.  Analysis and Probability: Wavelets, Signals, Fractals.  New  York:  Springer-Verlag. 100.  LAPIDUS,  M.  L.  and  VAN  FRANKENHUIJSEN,  M., 2013.  Fractal Geometry, Complex Dimensions and Zeta Functions: Geometry and Spectra of Fractal Strings. New York: Springer-Verlag. 101. LIPSCOMB, S. L., 2009. Fractals and Universal Spaces in Dimension Theory. New York: Springer-Verlag. 102. BARRAL, J. and SEURET, S., eds., 2010. Recent Deve- lopmentsin Fractals and Related Fields.  Boston:  Birk- häuser. 103. ROSENBERG, E., 2018. A Survey of Fractal Dimensions of Networks. Cham, Switzerland: Springer Int. Publ. 104. KIRILLOV, A. A., 2013. A Tale of Two Fractals. Basel: Birkhäuser. 105.  LINDSTRØM,  T.,  1990.  Brownian  Motion  on  Nes- ted  Fractals.  Mem. Am. Math. Soc.  vol.  83,  no.  420, pp. 1–128. DOI: 10.1090/memo/0420 106.  CHEN,  G.  and  HUANG,  Y.,  2011.  Chaotic Maps. Dy- namics, Fractals, and Rapid Fluctuations. San Rafael, USA: Morgan and Claypool Publ. 107. EDGAR, G. A., ed., 2004. Classics on Fractals. Boulder: Westview Press. 108.  MAZZOLA,  G.,  MILMEISTER,  G.  and  WEISS- MANN,  J.,  2005.  Comprehensive Mathematics for Com- puter Scientists 2. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 109. WEINBERGER, S., 2005. Computers, Rigidity, and Mo- duli. The Large-Scale Fractal Geometry of Riemannian Moduli Space.  Princeton,  New  Jersey:  Princeton  Univer- sity  Press. 110.  STRICHARTZ,  R.  S .,  2006.  Differential Equations on Fractals. A Tutorial. Princeton and Oxford: Princeton Uni- versity  Press. 111.  MAYER,  V.,  SKORULSKI,  B.  and URBAŃSKI, M., 2011.  Distance Expanding Random Mappings, Thermody- namical Formalism, Gibbs Measures and Fractal Geo- metry. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 112.  LAPIDUS,  M.  L.  and  VAN  FRANKENHUIJSEN,  M., eds., 2004. Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoit Mandelbrot. Part 1.: Analysis, Number Theory, and Dynamical Systems.  Providence,  RL: American  Ma- thematical Society Publ. 113.  CARFI,  D.,  LAPIDUS,  M.  L.,  PEARSE,  E.  P.  J.  and VAN FRANKENHUIJSEN, M., eds., 2013. Fractal Geo- metry and Dynamical Systems in Pure and Applied Mathe- matics II: Fractals in Applied Mathematics.  Providence, RL: American Mathematical Society Publ. 114.  LAPIDUS,  M.  L.  and  VAN  FRANKENHUIJSEN,  M., 2000.  Fractal Geometry and Number Theory: Complex Dimensions of Fractal Strings and Zeros of Zeta Functions. Basel: Birkhäuser. 115.  LAPIDUS,  M.,  RADUNOVIĆ, G.  and  ŽUBRINIĆ, D., 2017. Fractal Zeta Functions and Fractal Drums: Higher- Dimensional Theory of Complex Dimensions.  New York: Springer Int. Publ. 116.  TRIEBEL,  H.,  1997.  Fractals and Spectra: Related to Fourier Analysis and Function Spaces. Basel: Birkhäuser 117. GRABNER, P. and WOESS, W., eds., 2003. Fractals in Graz 2001: Analysis – Dynamics – Geometry – Stochas- tics. Basel: Birkhäuser 72 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 118. BISHOP, C. J. and PERES, Y., 2016. Fractals in Proba- bility and Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. 119. DAVID, G. and SEMMES, S., 1997. Fractured Fractals and Broken Dreams: Self-Similar Geometry through Met- ric and Measure. Oxford: Clarendon Press. 120. BARRAL, J. and SEURET, S., eds., 2013. Further deve- lopments in fractals and related fields: mathematical foun- dations and connections. Basel: Birkhäuser. 121. FENG, D.-J. and LAU, K.-S., eds., 2014. Geometry and Analysis of Fractals: Hong Kong, December 2012. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 122.  MATTILA,  P.,  1995.  Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability. Cambridge: Cambridge University Press. 123. SU, W., 2018. Harmonic Analysis and Fractal Analysis over Local fields and Applications. Singapore: World Scie- ntific Publ. 124.  PESIN,  Y.  and  CLIMENHAGA,  V.,  2009.  Lectures on Fractal Geometry and Dynamical Systems.  New  York: American Mathematical Society Publ. 125.  YAMAGUTI,  M.,  HATA,  M.,  KIGAMI,  J.  and  HUD- SON, K., 1997. Mathematics of Fractals. Providence, RL: American Mathematical Society Publ. 126. LI, C., WU, Y. and YE, R., eds., 2013. Recent Advances in Applied Nonlinear Dynamics with Numerical Analysis: Frac- tional Dynamics, Network Dynamics, Classical Dynamics and Fractal Dynamics with their Numerical Simulations. Singapore: World Scientific Publ. 127. DOBRUSHIN, R. L. and KUSUOKA, S., 1993. Statisti- cal Mechanics and Fractals. Berlin, Heidelberg: Springer- Verlag, 128. FALCONER, K.  J.,  1986. The geometry of fractal sets. Cambridge: Cambridge University Press. 129  KALMYKOV,  Y.  P.,  COFFEE,  W.  T.  and  RICE,  S. A., eds.,  2006.  Fractals, Diffusion, and Relaxation in Disor- dered Complex Systems: Advances in Chemical Physics, Part A, Volume 133. New Jersey: Wiley-Interscience. 130. KOZLOV, G. V. and YANOVSKII, YU. G., 2015. Frac- tal mechanics of polymers: chemistry and physics of com- plex polymeric materials. Toronto: Apple Academic Press. 131. BURDE, A.  and  HAVLIN,  S.,  eds.,  1996.  Fractals and Disordered Systems.  Berlin,  Heidelberg:  Springer-Verlag. 132. TAKAYASU, H., 1990. Fractals in the physical sciences. Manchester,  New  York:  Manchester  University  Press. 133. PIETRONERO, L. and TOSATTI, E.,  eds., 1986. Frac- tals in Physics. Amsterdam, Oxford et al.: North-Holland. 134.  AMANN, A.,  CEDERBAUM,  L.  and  GANS,  W.,  eds., 1988.  Fractals, Quasicrystals, Chaos, Knots and Algeb- raic Quantum Mechanics.  Dordrecht:  Kluwer  Acade- mic Press. 135.  MEAKIN,  P.,  1998.  Fractals, Scaling and Growth Far from Equilibrium. Cambridge: Cambridge University Press. 136. PIETRONERO, L., ed., 1989. Fractals’ Physical Origin and Properties. New York: Springer Science. 137. STAUFFER, D. and STANLEY, H. E., 1996. From New- ton to Mandelbrot: A Primer in Theoretical Physics with Fractals for the Macintosh (R). Berlin, Heidelberg: Sprin- ger-Verlag. 138. STANLEY, H. E. and OSTROWSKY, N., eds. 1986. On Growth and Form: Fractal and Non-fractal Patterns in Physics. Dordrecht: Martinus Nijhoff Publishers. 139. PICKOVER, C. A., ed., 1995. The Pattern Book: Frac- tals, Art and Nature. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ. 140. NOVAK, M. M., ed., 2004. Thinking in Patterns. Frac- tals and Related Phenomena in Nature. New Jersey, Lon- don et al.: World Scientific Publ. 141. HECK, A.  and PERDANG,  J. M.,  eds.,  1991. Applying Fractals in Astronomy. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 142. LESMOIR-GORDON, N., ed., 2010. The Colours of In- finity: The Beauty and Power of Fractals. London: Sprin- ger-Verlag. 143.  LUNG,  C.  W.  and  MARCH,  N.  H.,  1999.  Mechanical Properties of Metals: Atomistic and Fractal Continuum Ap- proaches.  Singapore,  New  Jersey  et  al.: World  Scientific Publ. 144. AI-AKAIDI, M., 2004. Fractal Speech Processing. Cam- bridge: Cambridge University Press. 145.  BARNSLEY,  M.  F.,  SAUPE,  D.  and  VRSCAY,  E.  R., eds.,  2002.  Fractals in Multimedia.  New  York,  Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 146.  BUNDE,  A.  and  HAVLIN,  S.,  eds.,  1994.  Fractals in Science. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 147. ADDISON, P. S., 1997. Fractals and Chaos. An Illustra- ted Course. Bristol, Philadelphia: IOP Publishing Ltd. 148. BIRDI, K. S., 1993. Fractals in Chemistry, Geochemist- ry, and Biophysics: An Introduction. New York: Springer Science. 149.  KOZLOV,  G.  V.,  DOBLIN,  I.  V.  and  ZAIKOV,  G.  E., 2013.  The Fractal Physical Chemistry of Polymer Solu- tions and Melts.  Toronto,  New  Jersey:  Apple  Academic Press. 150. KOZLOV, G. V., MIKITAEV, A. K. and ZAIKOV, G. E., 2013. The Fractal Physics of Polymer Synthesis. Toronto, New Jersey: Apple Academic Press. 151.  KAANDORP,  J.  A.,  1994.  Fractal Modelling, Growth and Form in Biology. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 152. LIEBOVITCH, L. S., 1998. Fractals and Chaos: Simpli- fied for the Life Sciences. Oxford: Oxford University Press. 153. ISAYEVA, V. V., KARETIN, YU. A., CHERNYSHOV, A. V. and SHKURATOV, D. YU., 2004. Fractals and Chaos in Biological Morphogenesis.  Vladivostok,  Russia:  Institut biologii morya DVO RAN Publ. (in Russian). 154.  DI  IEVA, A.,  ed.,  2016.  The Fractal Geometry of the Brain. New York: Springer-Verlag. 155.  BRAMBILA,  F.,  ed.,  2017.  Fractal Analysis. Applica- tions in Health Sciences and Social Sciences.  Rijeka, Croatia: InTech. 156.  SADANA, A.,  2005.  Fractal Binding and Dissociation Kinetics for Different Biosensor Applications. Amsterdam, Boston et al.: Elsevier. 157. BASSINGTHWAIGHTE, J. B., LIEBOVICH, L. S. and WEST, B. J., 1994. Fractal Physiology. Oxford, New York et al.: Oxford University Press. 158.  WEST,  B.  J.,  2013.  Fractal Physiology and Chaos in Medicine. Singapore: World Scientific Publ. 159.  WEST,  B.,  2010.  Fractal  Physiology  and  the  Fractional Calculus: A Perspective. Front. Physiol. vol. 1, id. 12. DOI: 10.3389/fphys.2010.00012 160.  KUMAR,  D.,  ARJUNAN,  S.  P.  and  ALIAHMAD,  B., 2017.  Fractals: Application in Biological Signalling and Image Processing. Boca Raton: CRC Press. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 73 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 161.  NONNENMACHER,  T.  F.,  LOSA,  G.  A.  and  WEI- BEL, E. R., eds., 1994. Fractals in Biology and Medicine. Basel: Birkhäuser. 162. LOSA, G. A., MERLINI, D., NONNENMACHER, T. F. and WEIBEL, E. R.,  eds., 2002. Fractals in Biology and Medicine. Volume 3. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser. 163.  TAKAHASHI,  T.,  2014.  Microcirculation in Fractal Branching Networks. Japan: Springer. 164. DEWEY, T. G., 1997. Fractals in Molecular Biophysics. Oxford, New York: Oxford University Press. 165.  SENESI,  N.  and  WILKINSON,  K.  J.,  eds.,  2008.  Bio- physical Chemistry of Fractal Structures and Processes in Environmental Systems.  New  York:  John  Wiley  & Sons Inc. 166. SADANA, A., 2003. Biosensors: Kinetic of Binding and Dissociation Using Fractal Amsterdam: Elsever. 167. SADANA, A. and SADANA, N., 2008. Fractal Analysis of the Binding and Dissociation Kinetics for Different Ana- lytes on biosensor Surfaces. Amsterdam: Elsevier. 168. BANERJI, A., 2013. Fractal Symmetry of Protein Exte- rior. Basel: Springer. 169.  ADDISON,  P.  S.,  2002.  The Illustrated Wavelet Trans- form Handbook. Introductory Theory and Applications in Science, Engineering, Medicine and Finance. Bristol, Phi- ladelphia: IOP Publishing Ltd. 170.  IONESCU,  C.  M.,  2013.  The Human Respiratory Sys- tem: An Analysis of the Interplay between Anatomy, Struc- ture, Breathing and Fractal Dynamics. London: Springer- Verlag. 171. BARABÁSI, A.-L. and STANLEY, H. E., 1995. Fractal Concept in Surface Growth. Cambridge: Cambridge Uni- versity  Press. 172. QUADFEUL, S.-A., ed., 2012. Fractal Analysis and Chaos in Geosciences. Rijeka, Croatia: InTech Press. 173. TURCOTTE, D. L., 1997. Fractals and Chaos in Geolo- gy and Geophysics.  Cambridge:  Cambridge  University Press. 174. KRUHL, J. Y., ed., 1994. Fractals and Dynamic Systems in Geoscience. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 175.  BARTON,  C.  C.  and  LA  POINTE,  P.  R.,  eds.,  1995. Fractals in Petroleum Geology and Earth Processes. Bos- non, MA: Springer. 176.  BARTON,  C.  C.  and  LA  POINTE,  P.  R.,  eds.,  1995. Fractals in the Earth Sciences. New York: Springer. 177.  DAUPHINÉ,  A.,  2012.  Fractal Geography.  London, Hoboken: John Wiley & Sons. 178.  CHANDRASEKHAR,  E.,  DIMRI,  V.  P.  and  GAR- DE,  V.  M.,  eds.,  2014. Wavelets and Fractals in Earth System Sciences.  Boca  Raton,  London,  New  York:  CRC Press. 179. DIMRI, V. P., 2016. Fractal Solutions for Understanding Complex Systems in Earth Sciences.  Cham,  Heidelberg, at al.: Springer Int. Publ. 180. DIMRI, V. P.,  ed.,  2005.  Fractal Behavior of the Earth System. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 181. DIMRI, V. P., SRIVASTAVA, R. P.  and VEDANTI, N., 2012. Fractal Models in Exploration Geophysics: Applica- tions to Hydrocarbon Reservoirs.  Oxford,  UK:  Elsevier Science & Technology. 182. GHANBARIAN, B. and HUNT, A. G., eds., 2017. Frac- tals: Concepts and Applications in Geosciences. Boca Ra- ton, London, New York: CRC Press. 183. SCHOLZ, C. H. and MANDELBROT, B. B., eds., 1989. Fractals in Geophysics. Basel: Birkhäuser. 184.  LUKK,  A.  A.,  DESHCHEREVSKIY,  A. V.,  SIDO- RIN,  A.  YA.  and  SIDORIN,  I.  A.,  1996.  Variations of Geophysical Fields as a Manifestation of Deterministic Chaos in a Fractal Medium. Moscow, Russia: OIFZ RAN Publ. (in Russian). 185. BAVEYE, P., PARLANGE, J.-Y. and STEWART, B. A., eds.,  1998.  Fractals in Soil Science.  Boca  Raton:  CRC Press. 186. MCNUTT, B., 2000. The Fractal Structure of Data Re- ference: Applications to the Memory Hierarchy.  Boston, Dorbreht, London: Kluver Academic Publ. 187. FARMER, M. E., 2014. Application of Chaos and Frac- tals to Computer Vision. Sharjah: Bentham Sci. Publ. Ltd. 188.  MANDELBROT,  B.  and  HUDSON,  R.  L.,  2006. (Un)obedient Markets: a Fractal Revolution in Finance. Moscow, Russia: Vil’yams Publ. (in Russian). 189.  CRILLY, A.  J.,  EARNSHOW,  R.  and  JONES,  H.,  eds., 1993. Applications of Fractals and Chaos: The Shape of Things. Heidelberg: Springer-Verlag. 190. MANDELBROT, B. B. and HUDSON, R. L., 2006. The Misbehavior of Markets. A fractal View of Risk, Ruin and Reward. New York: Basic Books. 191.  EGLASH,  R.,  1999.  African Fractals. Modern Compu- ting and Indigenous Design. New Brunswick, NJ: Rutgers University  Press. 192.  BATTY,  M.  and  LONGLEY,  P., 1994.  Fractal Cities: A Geometry of Form and Function.  London,  San  Diego et al.: Academic Press. 193.  BOVILL,  C.,  1996.  Fractal Geometry in Architechture and Design. Basel: Birkhäuser. 194.  KULAK,  M.  I.,  2002. Fractal Mechanics of Materials. Minsk,  Belarus:  Vysheyshaya  shkola  Publ.  (in  Russian). 195.  GARDNER,  M.,  1992.  Fractal Music, Hypercards and more...: Mathematical Recreations from Scientific Ameri- can Magazine. New York: W. H. Freeman and Company. 196.  ENCARNACAO,  J.  L.,  PEITGEN,  H.-O.,  SAKAS,  G. and  ENGLERT,  G.,  eds.,  1992.  Fractal Geometry and Computer Graphics.  Berlin,  Heidelberg:  Springer- Verlag. 197. FRAME, M. and URRY, A., 2016. Fractal Worlds: Grown, Built, and Imagined. New Haven, London: Yale University Press. 198.  FRANTZ,  M.  and  CRANNELL, A.,  2011.  Viewpoints: Mathematical Perspective and Fractal Geometry in Art. Princeton, Oxford: Princeton University Press. 199. NIKOLAYEVA, E. V., 2014. Fractals of Urban Culture. St. Petersburg, Russia: Strata Publ. 200. MARKS-TARLOW, T., 2008. Psyche’s Veil. Psychothe- rapy, Fractals and Complexity. London, New York: Rout- ledge, Taylor and Francis Group. 201. WARNECKE, H.-J., 1993. The Fractal Company: A Re- volution in Corporate Culture. Berlin, Heidelberg: Sprin- ger-Verlag. 202.  HOVERSTADT,  P.,  2008.  The Fractal Organization: Creating sustainable organizations with the Viable System Model. Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd. 203. ROBBINS, B., 2011. Microscope: A Fractal Role-playing Game of Epic Histories.  New  York:  Lame  Mage  Pro- ductions. 74 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 204. KRÁL, F., 2014. Social Invisibility and Diasporas in An- glophone Literature and Culture: The Fractal Gaze.  Ba- singstoke, UK: Palgrave Macmillan. 205. GHOSH, B., SINHA, S. and KARTIKEYAN, M. V., 2014. Fractal Apertures in Waveguides, Conducting Screens and Cavities: Analysis and Design.  Switzerland:  Springer Int.  Publ. 206. JADCZYK, A., 2014. Quantum Fractals: From Heisen- berg’s Uncertainty to Barnsley’s Fractality. Hackensack, NJ; London, UK: World Scientific Publ. 207. FEDER,  J.,  1991.  Fractals. Moscow,  Russia:  Mir Publ. (in Russian). 208.  LI,  J.  M.,  LU,  L.,  LAI,  M.  O.  and  RALPH,  B.,  2003. Image-Based Fractal Description of Microstructures. New York: Springer. 209.  MANDELBROT,  B.  B.,  1986.  Self-affiine  fractal  sets. In:  L.  PIETRONERO  and  E.  TOSATTI,  eds.  Fractals in Physics. Amsterdam, Oxford et al.: North-Holland, pp. 3–28. 210. MOROZOV, A. D., 2002. Introduction in Fractal Theory. Moscow–Izhevsk,  Russia:  Institut  komp’yuternikh  issle- dovaniy Publ. (in Russian). 211. FALCONER, K., 2003. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. Second Edition. Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd. 212. FALCONER, K., 2014. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. Third Edition. Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd. 213. FALCONER, K., 1997. Techniques in Fractal Geometry. Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd. 214. FISHER, Y., 1995. Fractal Image Compression. Theory and Application. New York: Springer-Verlag. 215. MANDELBROT, B. B., 1999. Multifractals and 1/f Noise. wild self-Affinity in Physics (1963–1976). New York: Sprin- ger-Verlag. 216. SEURONT, L., 2010. Fractals and Multifractals in Eco- logy and Aquatic Science. Boca Raton, London, New York: CRC  Press. 217.  GOLTZ,  C.,  1997.  Fractal and Chaotic Properties of Earthquakes. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 218.  PASYNKOV,  B.  A.  and  FEDORCHUK,  V.  V.,  1984. Topology and Dimension Theory. Moscow, Russia: Znaniye Publ. (in Russian). 219.  EFREMOVICH,  V.  A.,  1966.  Basic Topological Con- cepts. In: P. S. ALEKSANDROV, ed. Encyclopedia of Ele- mentary Mathematics. Vol. 5. Geometry. Moscow, Russia: Nauka Publ., pp. 476–556.  (in Russian). 220. GUREVICH, V.  and WALLMAN, G.,  1948. Dimension Theory.  Moscow,  Russia:  Inostrannaya  Literatura  Publ. (in Russian). 221.  EDGAR,  G.,  2008.  Measure, Topology, and Fractal Geometry. New York: Springer-Verlag. 222.  CHULICHKOV, A.  I.,  2003.  Mathematical Methods of Nonlinear Dynamics. Moscow, Russia: FIZMATLIT Publ. 223. LE MÉHAUTÉ, A., 1991. Fractal geometries, theory and applications. Boca Raton: CRC Press. 224. DEVANEY, R. L. and KEEN, L., eds., 1989. Chaos and Fractals. The Mathematics Behind the Computer Gra- phics. Providence, RI: American Mathematical Society Publ. 225. TRICOT, C., 1981. Douze definitions de la densité loga- rithmique.  C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.  vol.  293, pp.  549–552. 226. ABRY, P., GONÇALVES, P. and LÉVY VÉHEL, J., eds., 2009.  Scaling, Fractals and Wavelets.  New  York:  John Wiley & Sons. 227.  FRANCESCHETTI,  G.  and  RICCIO,  D.,  2007  Scat- tering, Natural Surfaces and Fractals. New York: Elsevier. 228. PASHCHENKO, R. E., 2005. Fundamentals of the Theo- ry of Fractal Signal Formation.  Kharkiv,  Ukraine:  NEO EkoPerspectiva Publ. (in Russian). 229.  KOROLENKO,  P.  V.,  MAGANOVA,  M.  S.  and  MES- NYANKIN,  A.  V.,  2004.  Innovative Methods for the Analysis of Stochastic Processes and Structures in Op- tics. Fractal and Multifractal Methods, Wavelet Transforms. Tutorial.  Moscow,  Russia:  NIIYaF  MGU  Publ.  (in  Rus- sian). 230. MALLAT, S., 2005. Wavelets in Signal Processing. Mos- cow, Russia: Mir Publ. (in Russian). 231.  PRUSINKIEWICZ,  P.  and  HANAN,  J.,  1989.  Linden- mayer systems, Fractals, and Plants. New York: Springer- Verlag. 232. FEDER, J., 1988. Fractals. New York and London: Springer. 233.  DANILOV,  YU.  A.,  2006.  Lectures on Nonlinear Dy- namics: Elementary Introduction. Moscow,  Russia: KomKniga Publ. (in Russian). 234. GULICK, D. and SCOTT, J.,  eds., 2010. The Beauty of Fractals: Six Different Views.  New York:  The  Mathema- tical Association of America Publ. 235.  LAZORENKO,  O.  V.  and  CHERNOGOR,  L.  F.,  2019. Nonlinear Radiophysics: A Collection of Tasks.  Kharkiv, Ukraine: V. N. Karazin KhNU Publ. (in Russian). 236. MISHRA,  J.  and  MISHRA,  S.  N.,  eds.  2007.  L-System Fractals. Amsterdam, Boston et al.: Elsevier. 237. BARNSLEY, M. F. and DEMKO, S., 1985. Iterated Func- tion Systems and the Global Construction of Fractals. Proc. R. Soc. Lond. A.  vol.  399,  is.  1817,  pp.  243–275.  DOI: 10.1098/rspa.1985.0057 238. BARNSLEY, M. F., ELTON, J. H. and HARDIN, D. P., 1989.  Recurrent  Iterated  Function  Systems  Fractal  Ap- proximation. Constr. Approx. vol. 5,  is. 1, pp. 3–31. 239. BARNSLEY, M. F., 2006. Superfractals. New York: Cam- bridge University Press. 240. BARNSLEY, M. and SLOAN, A., 1988. A Better Way to Compress Images. Byte. vol. 13,  is. 1, pp. 215–223. 241. WELSTEAD, S., 1999. Fractal and wavelet Image Com- pression Techniques. Belligham, WA: SPIE Optical Engi- neering Press. 242.  BARNSLEY, M. F.,  1989.  The Desktop Fractal Design Handbook. Bosnon, San Diego et al.: Academic Press. 243. BARNSLEY, M., HEGLAND, M. and MASSOPUST, P., 2016. Self-referential  functions.  arXiv:1610.01369v1 [math.CA]. 244.  MASSOPUST,  P.  R.,  2016.  Fractal Functions, Fractal Surfaces and Wavelets.  Amsterdam,  Boston  et  al.:  Aca- demic Press. 245. LEVY VEHEL, J., LUTTON, E. and TRICOT, C., eds., 1997. Fractals in Engineering: From Theory to Industrial Applications. London: Springer-Verlag. 246.  PEITGEN,  H.-O.,  JÜRGENS,  H.,  SAUPE,  D.,  MA- LETSKY,  E.,  PERCIANTE,  T.  and YUNKER,  L.,  1991. Fractals for the Classroom: Strategic Activities. Volume One. New York: Springer-Verlag. ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 75 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы 247. PEITGEN, H.-O., JÜRGENS, H. and SAUPE, D., 1992. Fractals for the Classroom. Part Two. Complex Systems and Mandelbrot Set. New York: Springer-Verlag. 248. KATUNIN, A., 2017. A Concise Introduction to Hyper- complex Fractals. Boca Raton, London, New York: CRC Press. 249.  OSTASHKOV,  V.  N.,  2011.  Fractal Dialogs.  Tyumen’, Russia: TyumGNGU  Publ.  (in  Russian). 250. STOYAN, D. and STOYAN, H., 1994. Fractals, Random Shapes and Point Fields: Methods of Geometrical Sta- tistics. Chichester: John Wiley & Sons. 251.  SMIRNOV,  B.  M.,  1991.  Physics of Fractal Clusters. Moscow, Russia: Nauka Publ.  (in Russian). 252.  FAMILY,  F.  and  VICSEK,  T.,  eds.,  1991.  Dynamics of Fractal Surfaces.  Singapore,  New  Jersey  et  al.:  World Scientific Publ. 253. TONG, H., ed., 1993. Dimension Estimation and Models. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ. 254. HOLSCHNEIDER, M., 1995. Wavelets: An Analysis Tool. Oxford: Calderon Press. 255. KOLMOGOROV, A. N. and TIKHOMIROV, V. M., 1959. -entropy  and  -capacity  of  sets  in  function  spaces. Uspekhi Mat. Nauk.  vol.  14,  is.  2(86),  pp.  3–86. 256. MINKOWSKI, H., 1901. Über die Begriffe Länge, Ober- fläche und Volumen. Jahresbericht der Deutschen Mathe- matiker-Vereinigung.  vol. 9,  is.  1,  pp.  115–121. 257.  BOULIGAND,  G.,  1928.  Ensembles  impropres  et nombre  dimensionnel.  Bull. Sci. Math.  vol.  52,  is.  2, pp.  320–344,  361–376. 258. LAM, L., 1998. Nonlinear Physics for Beginners. Frac- tals, Chaos, Solitons, Pattern Formation, Cellular Auto- mata and Complex Systems. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ. 259. HELMBERG, G.,  2007. Getting Acquainted with Frac- tals. Berlin: Walter de Gruyter. 260.  FALCONER,  K.,  2013.  Fractals: A Very Short Intro- duction. Oxford: Oxford University Press. 261. KANTZ, H. and SCHREIBER, T., 2003. Nonlinear Time Series Analysis.  New York:  Cambridge  University  Press. 262.  HILBORN,  R.  C.,  2000.  Chaos and Nonlinear Dyna- mics. An Introduction for Scientists and Engineers.  New York: Oxford University Press. 263. PAVLOV, A. N., 2008. Complex Signal Analysis Methods: Study Guide.  Saratov,  Russia:  Nauchnaya  kniga  Publ. (in Russian). 264.  GRASSBERGER,  P.  and  PROCACCIA,  I.,  1983.  Mea- suring  the  strangeness  of  strange  attractors.  Physica D. vol.  9,  is.  1-2,  pp.  189–208.  DOI:  10.1016/0167- 2789(83)90298-1 265.  GRASSBERGER,  P.,  1983.  Generalized  dimensions  of strange attractors. Phys. Lett. A. vol. 97, is. 6, pp. 227–230. DOI: 10.1016/0375-9601(83)90753-3 266.  HENTSCHEL,  H.  G.  E.  and  PROCACCIA,  I.,  1983. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physica D. vol. 8, is. 3, pp. 435–444. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90235-X 267.  RÉNYI,  A.,  1961.  On  measures  of  entropy  and  infor- mation. In: Proceedings of the Fourth Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob.  Vol. 1.  Univ.  of  Calif.  Press. pp.  547–561. 268.  BECKER,  K.-H.  and  DÖRFLER,  M.,  1989.  Dynamical Systems and Fractals. Computer Graphics Experiments in Pascal. New York: Cambridge University Press. 269. BOLOTIN, YU. L., TUR, A. V. and YANOVSKY, V. V., 2005.  Constructive Chaos.  Kharkiv,  Ukraine:  Institut monokristallov Publ. (in Russian). 270.  CHERNOGOR,  L.  F.,  2010.  Nonlinear Radiophysics. Textbook.  Kharkiv,  Ukraine:  V.  N.  Karazin  KhNU  Publ. (in Russian). 271. IL’YASHENKO, YU. S., 2005. Attractors and their Frac- tal Dimension.  Moscow,  Russia:  MTsNMO  Publ. 272.  SORNETTE,  D.,  2006.  Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Selforganization and Disorder: Concepts and Tools.  Berlin,  Heidelberg:  Springer-Verlag. 273. BEN-AVRAHAM, D. and HAVLIN, S., 2004. Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems. Cam- bridge: Cambridge University Press. 274.  ALEXANDER,  S.  and ORBACH,  R.,  1982. Density  of states  on  fractals:  “fractons”.  J. Phys. (Paris) Lett. vol.  43,  is.  17,  pp.  625–631. 275.  ROY,  A.  and  SOOD,  A.  K.,  1995.  Fracton  dimension of  porous  silicon  as  determined  by  low-frequency  Ra- man  scattering.  Solid State Commun.  vol.  93,  is.  12, pp.  995–998.  DOI:  0.1016/0038-1098(94)00919-8 276. MANDELBROT, B., 1985. Self-Affine Fractals and Frac- tal Dimension. Phys. Scr. vol. 32, is. 4, pp. 257–260. DOI: 10.1088/0031-8949/32/4/001 277. RICHARDSON, L. F., 1961. The Problem of Contiguity: An Appendix  to Statistics of Deadly Quarrels. Gen. Syst. vol.  6,  pp.  139–187. 278.  MANDELBROT,  B.,  1967.  How  Long  Is  the  Coast  of Britain?  Statistical  Self-Similarity  and  Fractional  Dimen- sion.  Science.  vol.  156,  is.  3775,  pp.  636–638.  DOI: 10.1126/science.156.3775.636 279.  KAYE,  B.  H.,  1994.  A Random Walk Through Fractal Dimensions. Weinheim, New York et al.: VCH. 280. STONE, E. C. and MINER, E. D., 1981. Voyager I En- counter  with  the  Saturnian  system.  Science.  vol.  212, is. 4491, pp. 159–163. DOI: 10.1126/science.212.4491.159 281. HARTER, W. G and PATTERSON, C. W., 1979. Theory of hyperfine and superfine levels in symmetric polyatomic molecules. Trigonal and tetrahedral molecules: Elementary spin-1/2  cases  in  vibronic  ground  states.  Phys. Rev. A. vol.  19,  is.  6,  pp.  2277–2303.  DOI:  10.1103/Phys RevA.19.2277 282.  YU,  F.  T.  S.  and  JUTAMULIA,  S.,  eds.,  1996.  Optical Storage and Retrieval: Memory: Neural Networks, and Fractals.  New  York,  Basel,  Hong  Kong:  Marsel  Dek- ker, Ink. 283.  OKOROKOV,  V. A.  and  SANDRAKOVA,  E.  V.,  2009. Fractals in Fundamental Physics. Fractal Properties of Mul- tiple Particle Formation and Sample Topology.  Moscow, Russia: MIFI Publ.  (in Russian). 284.  KROEGER,  H.,  2000.  Fractal  geometry  in  quantum mechanics,  field  theory  and  spin  systems.  Phys. Rep. vol.  323,  is.  2,  pp.  81–181.  DOI:  10.1016/S0370- 1573(99)00051-4 285.  NOTTALE,  L.,  1993.  Fractal Space-Time and Micro- physics: Towards a Theory of Scale Relativity. Singapore, New Jersey et al.: World Scientific Publ. 76 ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 286. CARPINTERI, A. and MAINARDI, F., eds., 1997. Frac- tals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Wien: Springer-Verlag. 287.  SAKAI,  Y.  and  VASSILICOS,  C.,  eds.,  2016.  Fractal Flow Design: How to Design Bespoke Turbulence and Why. New York: Springer Int. Publ. 288. CELLO, G. and MALAMUD, B. D., eds., 2006. Fractal Analysis for Natural Hazards. Geological Society Special Publication No. 261. London: Geological Society Publ. 289. SMIRNOV, B. M., 1991. Fractal Tangle  is  a New State of  Matter.  Uspekhi fizicheskih nauk.  vol.  161,  is.  8, pp.  141–153.  (in  Russian). 290. ANDERS, A., 2008. Cathodic Arcs: From Fractal Spots to Energetic Condensation.  New  York:  Springer-Verlag. 291. WORNELL, G., 1996. Signal Processing with Fractals: A Wavelet-Based Approach. Englwood Cliffs, NJ: Prentice Hall  PTR. 292. GROMOV, YU. YU., ZEMSKOY, N. A., IVANOVA, O. G., LAGUTIN, A. V. and TYUTYUNIK, V. M., 2007. Fractal Analysis and Processes in Computer Networks:  Tutorial. Tambov, Russia: TGTU Publ.  (in Russian). 293.  MARAGOS,  P.  and  POTAMIANOS,  A.,  1999.  Frac- tal  dimensions  of  speech  sounds:  Computation  and  app- lication  to  automatic  speech  recognition.  J. Acoust. Soc. Am.  vol.  105,  is.  3,  pp.  1925–1932.  DOI:  10.1121/ 1.426738 294. MOGILEVSKY, E.  I., 2001. Fractals on the Sun. Mos- cow,  Russia:  FIZMATLIT  Publ.  (in  Russian). 295.  PASHCHENKO,  R.  E.,  ed.,  2006.  Fractal Analysis of Processes, Structures and Signals. Collective Monog- raph.  Kharkiv,  Ukraine:  NEO  EkoPerspektiva  Publ.  (in Russian). 296. SHELUKHIN, O. I., TENYAKSHEV, A. V. and OSIN, A. V., 2003.  Fractal Processes in Telecommunications. Mono- graph. Moscow, Russia: Radiotekhnika Publ. (in Russian). 297. NOTTALE, L., 2011. Scale Relativity and Fractal Space- Time: A New Approach to Unifying Relativity and Quan- tum Mechanics. London: Imperial College Press. 298. VROBEL, S., 2011. Fractal Time: Why a Watched Kettle Never Boils. Singapore: World Scientific Publ. 299.  PARISI,  G.  and  FRISCH,  U.,  1985.  On  the  singula- rity structure of fully developed turbulence. In: M. GHIL, R.  BENZI  and  G.  PARISI,  eds.  Turbulence and Pre- dictability in Geophysical Fluid Dynamics and Clima- te Dynamics.  Amsterdam,  New  York:  North-Holland Publ. Co. 300.  BOFFETTA,  G.,  MAZZINO,  A.  and  VULPIANI,  A., 2008.  Twenty-five  years  of  multifractals  in  fully  deve- loped turbulence: a tribute to Giovanni Paladin. J. Phys. A. vol.  41,  is.  36,  id.  363001.  DOI:  10.1088/1751-8113/41/ 36/363001 301.  BENZI,  R.,  PALADIN,  G.,  PARISI,  G.  and  VULPIA- NI,  A.,  1984.  On  the  multifractal  nature  of  fully  de- veloped  turbulence  and  chaotic  systems.  J. Phys. A. vol. 17,  is. 18, pp. 3521–3531. DOI: 10.1088/0305-4470/ 17/18/021 302.  LAHERRÉRE,  J.,  1996.  Distributions  de  type  “fractal parabolique”  dans  la  Nature.  [“Parabolic  fractal”  distri- butions  in  Nature].  C. R. Acad. Sci. Paris.  vol.  322,  se- ries II a, pp. 535–542. (in French). 303.  FORRIEZ,  M.  and  MARTHIN,  P.,  2007.  Structures hierarchiques en geographie: des modeles lineaires aux mo- deles  non  lineaires  (lois  de  puissance  et  corrections log-periodiques). In: Huitièmes Rencontres de ThéoQuant des 10–12 janvier 2007 à Besançon, France.  Besancon, France,  2007.  pp.  192–195. 304. BOZHOKIN, S. V. and PARSHIN, D. A., 2001. Fractals ans Multifractals.  Izhevsk,  Russia:  NITs  Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika Publ. (in Russian). 305.  HARTE,  D.,  2001.  Multifractals. Theory and Appli- cations. Boca Raton, London et al.: Chapman & Hall/CRC Press. 306.  BARYAKHTAR,  V.  G.,  GONCHAR,  V.  YU.  and  YA- NOVSKY, V. V., 1993. Origin of complex structure of ra- dionuclide  contamination  spot  resulted  from  the  accident at  Chernobyl  nuclear  power  plant.  Ukr. J. Phys. vol.  38, is. 15, рр. 967–975.  (in Russian). О. V. Lazorenko and L. F. Chernogor V. N. Karazin Kharkiv National University, 4, Svoboda Sq., Kharkiv, 61022, Ukraine FRACTAL RADIOPHYSICS. 1. THEORETICAL BASES Purpose:  Currently,  there  is  a  tendency  to  “fractalize”  the science. Radiophysics is no exception. The subject of this work is a review of the basic ideas of “fractalization”, the mathema- tical  foundations  of  modern  fractal  methods  for  describing and exploring the world. The purpose of the work is to present the basic concepts, definitions and relationships of the modern theory of  fractals, as well as  the classification and analysis of existing numerical characteristics of fractals. Design/methodology/approach: The methods of constructing geo- metric monofractals and multifractals are considered. A compa- rative characteristic of the methods for assessing the dimension of  physical  fractals  is  given.  Examples of  physical  fractals are given. Findings:  In  the  development  of  the  “fractalization”  of science, 4 stages are distinguished: the era of “monsters”, the preparatory stage, the stage of formation and development, the modern stage. For the correct description of fractals, the Haus- dorff–Besicovitch dimension, which can also take noninteger values, is used. The following fractal classifications are consi- dered: mathematical and physical, geometric and algebraic, mono- and multifractals, regular and stochastic, homogeneous and heterogeneous. It has been demonstrated that the fractal dimension of objects can be both fractional and integer, it is important that the fractal dimension should be greater than their topological dimension. The equality of the fractal dimen- sions of  two objects does not  imply the similarity of  their structure. When describing thick fractals as regular monofrac- tals, instead of the Hausdorff–Besicovitch dimension, the sca- ling exponents are used. Conclusions: The mathematical foundations of the theory of fractals, used in the modern theoretical radiophysics, are pre- sented. Key words: fractal, fractal dimension, fractal classification, monof- ractal, multifractal, multifractal formalism, types of dimension, scaling ISSN 1027-9636. Радіофізика і радіоастрономія. Т. 25, № 1, 2020 77 Фрактальная радиофизика. 1. Теоретические основы О. В. Лазоренко, Л. Ф. Чорногор Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, м. Свободи, 4, м. Харків, 61022, Україна ФРАКТАЛЬНА РАДІОФІЗИКА. 1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ Предмет і мета роботи: Нині спостерігається тенденція до “фракталізації” науки. Не є виключенням і радіофізика. Предметом цієї роботи є огляд основних ідей “фракталізації”, математичних основ сучасних фрактальних методів опису та дослідження навколишнього світу. Мета роботи – викла- дення основних понять, визначень і співвідношень сучасної теорії фракталів, а також класифікація й аналіз існуючих чис- лових характеристик фракталів. Методи та методологія: Розглянуто методи побудови гео- метричних монофракталів і мультифракталів. Дається по- рівняльна характеристика методів оцінки розмірності фізич- них фракталів. Наводяться приклади фізичних фракталів. Результаты: У розвитку “фракталізації” науки виділено 4 етапи: епоха “монстрів”, підготовчий етап, етап становлен- ня та розвитку, сучасний етап. Для коректного опису фрак- талів використовується розмірність Хаусдорфа–Безикови- ча, яка може набувати й нецілочислових значень. Розглянуто наступні класифікації фракталів: математичні та фізичні, гео- метричні й алгебраїчні, моно- та мультифрактали, регулярні та стохастичні, однорідні та неоднорідні. Продемонстрова- но, що фрактальна розмірність об’єктів може бути як дро- бовою,  так  і  цілочисловою,  важливо,  щоб  фрактальна розмірність  була  більше  їх  топологічної  розмірності. З рівності фрактальної розмірності двох об’єктів не випли- ває подібності їх структури. При описі товстих фракталів як регулярних монофракталів замість розмірності Хаусдор- фа–Безиковича застосовуються показники скейлінгу. Висновок: Викладено математичні основи теорії фракталів, використовуваної в сучасній теоретичній радіофізиці. Ключові слова: фрактал, фрактальна розмірність, класифі- кація фракталів, монофрактал, мультифрактал, мультифрак- тальний формалізм, види розмірності, скейлінг Статья поступила в редакцию 26.09.2019

Ähnliche Einträge