Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков
Предмет и цель работы. Задача конструирования различных радиотехнических устройств, таких как фильтры, линии задержки, антенны с заданной диаграммой направленности, требует разработки методов генерации случайных последовательностей (значений параметров этих систем), обладающих заданными корреляционн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Радіофізика та електроніка |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167791 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков / В.Е. Векслерчик, С.С. Мельник, Г.М. Притула, О.В. Усатенко // Радіофізика та електроніка. — 2019. — Т. 24, № 1. — С. 47-57. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-167791 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Векслерчик, В.Е. Мельник, С.С. Притула, Г.М. Усатенко, О.В. 2020-04-09T14:24:42Z 2020-04-09T14:24:42Z 2019 Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков / В.Е. Векслерчик, С.С. Мельник, Г.М. Притула, О.В. Усатенко // Радіофізика та електроніка. — 2019. — Т. 24, № 1. — С. 47-57. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1028-821X PACS: 05.40.-a, 02.50.Ga, 87.10.+e DOI: https://doi.org/10.15407/rej2019.01.047 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167791 519.217.2; 537.312.62 Предмет и цель работы. Задача конструирования различных радиотехнических устройств, таких как фильтры, линии задержки, антенны с заданной диаграммой направленности, требует разработки методов генерации случайных последовательностей (значений параметров этих систем), обладающих заданными корреляционными свойствами, поскольку спектральные характеристики перечисленных и аналогичных им систем выражаются через фурье-компоненты корреляторов. Целью данной работы является представление функции переходной вероятности случайных последовательностей с дальними корреляциями в виде, удобном для численной генерации последовательностей, и изучение статистических свойств последних. Предмет i мета роботи. Завдання конструювання різних радіотехнічних пристроїв, таких як фільтри, лінії затримки, антени із заданою діаграмою направленості, вимагає розроблення методів генерації випадкових послідовностей (значень параметрів цих систем), що мають задані кореляційні властивості, оскільки спектральні характеристики зазначених і аналогічних їм систем виражаються через фур’є-компоненти кореляторів. Метою цієї роботи є зображення функції перехідної імовірності випадкових послідовностей з далекими кореляціями у вигляді, зручному для чисельної генерації послідовностей, і вивчення статистичних властивостей останніх. Subject and purpose. The task of designing various radio engineering devices, such as filters, delay lines, antennas with a given radiation pattern, requires the development of methods for generating random sequences (the values of the system parameters) with given correlation properties, since the spectral characteristics of the listed and similar to them systems are expressed in terms of the Fourier transforms of correlators. The purpose of this paper is to represent the function of the transition probability of random sequences with long-range correlations in a form convenient for numerical generation of sequences, and to study the statistical properties of the latter. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Статистична радіофізика Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков Кореляційні функції лінійних адитивних марковських ланцюгів вищих порядків Correlation functions for linear additive Markov chains of higher orders Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков |
| spellingShingle |
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков Векслерчик, В.Е. Мельник, С.С. Притула, Г.М. Усатенко, О.В. Статистична радіофізика |
| title_short |
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков |
| title_full |
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков |
| title_fullStr |
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков |
| title_full_unstemmed |
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков |
| title_sort |
корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков |
| author |
Векслерчик, В.Е. Мельник, С.С. Притула, Г.М. Усатенко, О.В. |
| author_facet |
Векслерчик, В.Е. Мельник, С.С. Притула, Г.М. Усатенко, О.В. |
| topic |
Статистична радіофізика |
| topic_facet |
Статистична радіофізика |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Радіофізика та електроніка |
| publisher |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Кореляційні функції лінійних адитивних марковських ланцюгів вищих порядків Correlation functions for linear additive Markov chains of higher orders |
| description |
Предмет и цель работы. Задача конструирования различных радиотехнических устройств, таких как фильтры, линии задержки, антенны с заданной диаграммой направленности, требует разработки методов генерации случайных последовательностей (значений параметров этих систем), обладающих заданными корреляционными свойствами, поскольку спектральные характеристики перечисленных и аналогичных им систем выражаются через фурье-компоненты корреляторов. Целью данной работы является представление функции переходной вероятности случайных последовательностей с дальними корреляциями в виде, удобном для численной генерации последовательностей, и изучение статистических свойств последних.
Предмет i мета роботи. Завдання конструювання різних радіотехнічних пристроїв, таких як фільтри, лінії затримки, антени із заданою діаграмою направленості, вимагає розроблення методів генерації випадкових послідовностей (значень параметрів цих систем), що мають задані кореляційні властивості, оскільки спектральні характеристики зазначених і аналогічних їм систем виражаються через фур’є-компоненти кореляторів. Метою цієї роботи є зображення функції перехідної імовірності випадкових послідовностей з далекими кореляціями у вигляді, зручному для чисельної генерації послідовностей, і вивчення статистичних властивостей останніх.
Subject and purpose. The task of designing various radio engineering devices, such as filters, delay lines, antennas with a given radiation pattern, requires the development of methods for generating random sequences (the values of the system parameters) with given correlation properties, since the spectral characteristics of the listed and similar to them systems are expressed in terms of the Fourier transforms of correlators. The purpose of this paper is to represent the function of the transition probability of random sequences with long-range correlations in a form convenient for numerical generation of sequences, and to study the statistical properties of the latter.
|
| issn |
1028-821X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167791 |
| citation_txt |
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков / В.Е. Векслерчик, С.С. Мельник, Г.М. Притула, О.В. Усатенко // Радіофізика та електроніка. — 2019. — Т. 24, № 1. — С. 47-57. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT vekslerčikve korrelâcionnyefunkciilineinyhadditivnyhmarkovskihcepeivysšihporâdkov AT melʹnikss korrelâcionnyefunkciilineinyhadditivnyhmarkovskihcepeivysšihporâdkov AT pritulagm korrelâcionnyefunkciilineinyhadditivnyhmarkovskihcepeivysšihporâdkov AT usatenkoov korrelâcionnyefunkciilineinyhadditivnyhmarkovskihcepeivysšihporâdkov AT vekslerčikve korelâcíinífunkcíílíníinihaditivnihmarkovsʹkihlancûgívviŝihporâdkív AT melʹnikss korelâcíinífunkcíílíníinihaditivnihmarkovsʹkihlancûgívviŝihporâdkív AT pritulagm korelâcíinífunkcíílíníinihaditivnihmarkovsʹkihlancûgívviŝihporâdkív AT usatenkoov korelâcíinífunkcíílíníinihaditivnihmarkovsʹkihlancûgívviŝihporâdkív AT vekslerčikve correlationfunctionsforlinearadditivemarkovchainsofhigherorders AT melʹnikss correlationfunctionsforlinearadditivemarkovchainsofhigherorders AT pritulagm correlationfunctionsforlinearadditivemarkovchainsofhigherorders AT usatenkoov correlationfunctionsforlinearadditivemarkovchainsofhigherorders |
| first_indexed |
2025-11-26T11:55:29Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:55:29Z |
| _version_ |
1850620490609065984 |
| fulltext |
ISSN 1028-821X. Радіофізика та електроніка. 2019. Том 24, № 1 47
СТАТИСТИЧНА
РАДІОФІЗИКА
РРФФЕЕ
ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 1: 47–57
DOI: https://10.15407/rej2019.01.047
УДК 519.217.2; 537.312.62
РАCS: 05.40.-a, 02.50.Ga, 87.10.+e
В. Е. Векслерчик, С. С. Мельник, Г. М. Притула, О. В. Усатенко
Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины
12, ул. Акад. Проскуры, Харьков, 61085, Украина
E-mail: usatenko@ire.kharkov.ua
Корреляционные функции линейных
аддитивных марковских цепей высших порядков
Предмет и цель работы. Задача конструирования различных радиотехнических устройств, таких как фильтры, ли-
нии задержки, антенны с заданной диаграммой направленности, требует разработки методов генерации случайных
последовательностей (значений параметров этих систем), обладающих заданными корреляционными свойствами,
поскольку спектральные характеристики перечисленных и аналогичных им систем выражаются через фурье-ком-
поненты корреляторов. Целью данной работы является представление функции переходной вероятности случайных
последовательностей с дальними корреляциями в виде, удобном для численной генерации последовательностей, и изу-
чение статистических свойств последних.
Методы и методология работы. Адекватным математическим аппаратом для решения такого рода задач явля-
ются цепи Маркова высших порядков. Статистические характеристики этих объектов определяются их функцией
переходной вероятности, которая в общем случае может иметь весьма сложный вид. В настоящей работе функция
переходной вероятности полагается аддитивной и линейной относительно значений случайной величины. Предполага-
ется, что пространство состояний последовательности принадлежит множеству вещественных чисел.
Результаты работы. Выведены и аналитически решены уравнения, связывающие корреляционные функции случай-
ной последовательности с весовыми коэффициентами функции памяти, определяемыми, в свою очередь, функцией пе-
реходной вероятности.
Заключение. Показано, что корреляционные функции аддитивной марковской цепи полностью определяются дис-
персией случайной величины и весовыми коэффициентами функции памяти. Продемонстрировано совпадение получен-
ных аналитических результатов с результатами численной реализации аддитивной марковской последовательности.
Приведены примеры возможных корреляционных сценариев в аддитивных линейных цепях высших порядков. Ил. 10.
Библиогр.: 21 назв.
Ключевые слова: марковские последовательности, линейные аддитивные марковские цепи высших порядков, функция.
Cтатистические методы давно и успешно во-
шли в радиофизику и радиотехнику. Сейчас они
используются не только как основа для генера-
ции, анализа и обработки сигналов, но и как
средство для проектирования, моделирования
и оптимизации радиоэлектронных устройств
и систем [1]. Среди примеров такого рода си-
стем можно упомянуть радиочастотные филь-
тры, линии задержки, дифракционные излуча-
тели, фазированные антенные решетки (антен-
ны с заданной диаграммой направленности)
[2, 3]. Использование статистических методов
при проектировании устройств возможно, ког-
да в основе их структуры имеются случайные
компоненты, например, неэквидистантно рас-
положенные излучающие элементы антенны,
которые могут быть случайными как статиче-
ски, так и динамически. При конструировании
стохастических систем с заданными спектраль-
ными свойствами может использоваться метод
подгонки, когда случайно выбирается один из
элементов системы и посредством изменения
48 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 1
В. Е. Векслерчик, С. С. Мельник, Г. М. Притула, О. В. Усатенко
его характеристик подбираются те их значе-
ния, которые наилучшим образом удовлетво-
ряют критерию построения системы. Такой ме-
тод является чрезвычайно трудоемким с точки
зрения компьютерных вычислений для систем
с числом случайных элементов, измеряемым
сотнями, и становится вовсе неприменимым,
если число элементов существенно превышает
несколько сотен. Как раз в этом случае начи-
нают хорошо работать статистические методы.
В арсенале статистических методов радио-
физики модель марковского процесса являет-
ся одной из наиболее широко используемых.
В классе марковских процессов выделяют про-
цессы с дискретным временем, которые в за-
висимости от непрерывности или дискретно-
сти множества значений случайной функции
называют соответственно марковскими после-
довательностями или марковскими цепями. В
последние годы марковские цепи и последова-
тельности, в результате значительного увели-
чения вычислительных мощностей и в связи с
проблемами анализа больших данных и разви-
тием методов машинного обучения, пережива-
ют буквально всплеск популярности в самых
разнообразных областях науки и приложениях:
в информатике и лингвистике, физике и химии,
биологии и медицине, в экономике и финансах,
в социальных науках и многих других сферах
человеческой деятельности [4–8].
В связи с усложнением возникающих задач
очень часто уже недостаточно простого свой-
ства марковости, когда условное распределе-
ние последующего состояния цепи зависит
только от текущего состояния, и следует учи-
тывать зависимость последующего состояния
от N предыдущих состояний цепи. В этом слу-
чае говорят о модели марковской цепи высше-
го, N-го порядка. Для цепей высшего порядка
получение точных аналитических результатов
и проведение экономных численных расчетов
становится практически невозможным и при-
ходится прибегать к построению специальных
моделей, таких как, например, модель распре-
деленных смешанных переходов [9, 10] и близ-
кая к ней модель линейного аддитивного мар-
ковского процесса [11], модель аддитивной
марковской цепи [12].
В работе [12] для описания корреляцион-
ных свойств сложных динамических систем с
дальними корреляциями была предложена мо-
дель линейной аддитивной дихотомической
марковской цепи N-го порядка, в которой вво-
дится аналитическая связь между так называ-
емой функцией памяти последовательности и
ее корреляционными функциями. Позже эта
модель была расширена также на символь-
ные последовательности (см., например, [13–
17]). Настоящая работа предлагает обобщение
этой модели линейной аддитивной марковской
цепи N-го порядка на числовые марковские
последовательности.
Работа имеет следующую структуру. В разд. 1
мы приводим основные определения, в разд. 2
выводим уравнение, связывающее бинарный
коррелятор с функцией памяти числовой мар-
ковской последовательности N-го порядка. В
разд. 3 получаем решения уравнения для корре-
лятора цепи в случае, когда расстояние между
узлами меньше глубины памяти цепи. Эти ре-
шения играют роль своего рода начальных ус-
ловий при решении уравнения для корреляци-
онной функции на расстояниях, больших глу-
бины памяти (см. разд. 4). Раздел 5 посвящен
решению уравнений для последовательностей
первого и второго порядков. В разд. 6 приведе-
ны результаты численного построения после-
довательности второго порядка и их сравнение
с аналитическими решениями. Раздел 7 посвя-
щен примерам возможных корреляционных
сценариев в линейных аддитивных цепях выс-
ших порядков.
1. Аддитивная марковская цепь: основ-
ные определения. Рассмотрим последова-
тельность случайных величин ,nX ,n Z про-
странство состояний которых (область зна-
чений, принимаемых случайной величиной)
представляет собой некоторое конечное мно-
жество вещественных чисел W. Для однород-
ной последовательности N-го порядка веро-
ятность того, что n-й член последовательно-
сти nX принимает значение n , зависит от
конкретной реализации предыдущих N чле-
нов, что выражается функцией условной (ча-
сто называемой переходной) вероятности
1 1( | ;...; )n n n n n N n NP X X X и не
зависит от номера узла n [18]. В модели ли-
нейной аддитивной марковской цепи [12–17]
функция условной вероятности (ФУВ) пред-
полагается линейной относительно значений
ISSN 1028-821X. Радіофізика та електроніка. 2019. Том 24, № 1 49
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков
переменной величины:
1 1
0
1
( | ;...; )
( ) ( ) .
n n n n n N n N
N
n m n n m
m
P X X X
f f
(1)
Условия, которым подчиняется ФУВ, приво-
дят к ограничениям на значения весовых коэф-
фициентов ( ), 0,..., .mf m N Во-первых, зна-
чение ФУВ должно принадлежать интервалу
(0, 1) для любой реализации предыдущих N
членов цепи. Достаточным, но не необходи-
мым, условием для этого является, например,
выполнение неравенств
00 1 / ( 1),
0 1 / max ( 1),m
f N
f N
(2)
где max – максимальное значение, прини-
маемое случайной величиной X. Несмотря на
определяемую такими ограничениями малость
корреляций, длина корреляций может быть
большой. Последний факт может быть реша-
ющим в понимании физических процессов и
конструировании систем.
Во-вторых, поскольку вероятность того, что
случайная величина nX примет любое значе-
ние из пространства состояний , равна 1,
то для ФУВ при 1...n n N справедливо ра-
венство
1 1( | ;...; ) 1
n
n n n n n N n NP X X X
(3)
и, следовательно, функции ( )nf должны
подчиняться следующим условиям:
0 ( ) 1, ( ) 0 ( 1,..., ).
n n
n m nf f m N
(4)
Одноточечная функция вероятности
( )n nP X может быть выражена через ФУВ:
1
1 1
,...,
1 1
( )
( ;...; )
( | ;...; ),
n n N
n n
n n n N n N
n n n n n N n N
P X
P X X
P X X X
(5)
где 1 1( ;...; )n n n N n NP X X – совмест-
ная вероятность, т. е. вероятность совместной
реализации случайных величин в соответству-
ющих узлах; суммирование производится по
всем возможным значениям из множества W.
Подставив сюда выражение (1), получим
0
1
( ) ( ) ( ),
N
n n n m n
m
P X f X f
(6)
где среднее значение случайной величины
определено как
( ) .
n
n n nX P X
(7)
Выражение (6) вместе с условиями (4) по-
зволяет заключить, что функция 0 ( )nf пред-
ставляет собой вероятность ( )np появления
значения n в цепи в отсутствие корреляций,
а второй член в правой части формулы (6) опи-
сывает вклад предыдущих N членов последо-
вательности. Заметим, что с помощью выраже-
ний (6) и (7) ФУВ (1) можно также представить
в виде
1 1
1
( | ;...; )
( ) ( )( ).
n n n n n N n N
N
n n m n n m
m
P X X X
P X f X
(8)
Очевидно, что при 0X выражения (1) и
(8) совпадают, а ( ) ( ).n n nP X p
2. Вывод уравнения для коррелятора.
Объектом нашего интереса являются корреля-
торы второго порядка:
2( ) ( ) ,C r Q r X (9)
где
,...,
( )
( ;...; ) .
n n r
n n r
n n n n r n r n r
Q r X X
P X X
(10)
Тот факт, что коррелятор зависит не от но-
меров узлов, а только от расстояния между
ними, является следствием однородности цепи.
Отметим также, что ввиду симметрии про-
странства корреляционная функция ( )C r явля-
ется четной: ( ) ( )C r C r .
Представляя на основании теоремы умноже-
ния вероятностей совместную вероятность в
формуле (10) в виде произведения
1 1
1 1
( ;...; )
( ;...; )
( | ;...; ),
n n n r n r
n n n r n r
n r n r n n n r n r
P X X
P X X
P X X X
50 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 1
В. Е. Векслерчик, С. С. Мельник, Г. М. Притула, О. В. Усатенко
и подставляя сюда аддитивную ФУВ (1), по-
лучим
1
1
1 1
,...,
0
1
1 1
,...,
0
1
( )
( ;...; )
( ) ( )
( ;...; )
,
n n r
n r
n n r
n n n n r n r
M
n r n r m n r n r m
m
n n n n r n r
N
m n r m
m
Q r
P X X
f f
P X X
F F
(11)
где
( ) ( 0, 1,..., ).
i
i iF f N
(12)
С учетом определений (7) и (10) выражение
для ( )Q r имеет вид
0
1
( ) ( ).
N
m
m
Q r F X F Q r m
(13)
Поскольку из равенств (6) и (7) следует, что
0
1
,
N
m
m
X F X F
(14)
в (13) можем исключить 0 ,F что приводит к вы-
ражению для ( )Q r в терминах ( 1,..., ),mF m N
2
1 1
( ) 1 ( ).
N N
m m
m m
Q r X F F Q r m
(15)
Из выражения (9) следует, что для корреля-
тора ( )C r получается следующее уравнение,
совпадающее с полученным в [12] для дихото-
мической цепи:
1
( ) ( ), ,
N
m
m
C r F C r m r N
(16)
где mF – компоненты функции памяти, введен-
ной в [12].
Уравнение (16) при расстояниях r между
узлами цепи, превышающих глубину памяти
N, ,r N является однородным разностным
уравнением с постоянными коэффициентами,
и его решения могут быть найдены стандарт-
ными методами. Описание получения этих ре-
шений мы приведем ниже в разд. 4, а сейчас
обратимся к рассмотрению уравнения, описы-
вающего корреляции на расстояниях, меньших
глубины памяти цепи.
3. Решение уравнения для коррелято-
ра при 1 1 r N (начальные условия).
В случае, когда расстояние между элемен-
тами цепи r меньше, чем глубина памяти N,
1 1,r N уравнение (16) в силу свойства
четности корреляционной функции приобрета-
ет следующий вид:
1
( ) (| |), 1 1.
N
m
m
C r F C r m r N
(17)
Несмотря на внешнее сходство уравнений
(16) и (17), их структура отличается существен-
ным образом. Дело в том, что величина (0)C
может быть явным образом выражена через па-
раметры ( 0, 1,..., )f N модели (1). Повто-
ряя выкладки, аналогичные тем, которые при-
водят к формуле (14), можем получить следую-
щее выражение для (0)C :
2
0
1
(0)
( ) ( ) .
i
N
i m i i
m
C
f X f X
(18)
Уравнения (17) представляют собой замк-
нутую систему 1N неоднородных раз-
ностных уравнений с постоянными коэффи-
циентами, которая определяет корреляторы
(1),..., ( 1)C C N как функции (0)C и 1,..., NF F :
1
1
(1)
(0)
( 1)
NC F
C
C N F
H , (19)
где матрица H может быть представлена в
виде суммы матрицы Ганкеля ( )1F и матрицы
Тёплица ( )2F ,
( ) ( ) 1 2H F F , (20)
элементы которых соответственно равны
(1)
, ,
1, ,
0, ,
N i j
ij
F i j N
F i j N
i j N
(20а)
ISSN 1028-821X. Радіофізика та електроніка. 2019. Том 24, № 1 51
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков
и
(2) , ,
0, .
N i j
ij
F i j
F
i j
(20б)
В общем случае при произвольных N реше-
ния системы уравнений (17) будут иметь вид
1( ) ( ,..., ) (0), 1,..., 1,s NC s F F C s N (21)
с однозначно определенными константами
1( ,..., )s NF F .
В случае 2N система уравнений (17) сво-
дится к одному уравнению
1 2(1) (0) (1)C F C F C (22)
и, соответственно,
1
1 1 2
2
( , )
1
FF F
F
. (23)
При глубине памяти 3N будем иметь сле-
дующую систему уравнений:
1 3 2
2 3 1
1 (1)
(0)
1 (2)
F F FC
C
F F FC
, (24)
однозначными решениями которой являют-
ся корреляторы (1), (2)C C , см. формулы (19)
и (21), в которых соответствующие константы
равны
1 2 3
1 1 2 3
2 2
1 1 3 2 2
2 1 2 3
( , , ) ,
( , , ) ,
F F F
F F F
F F F F F
F F F
(25)
где 2 1 3 31 ( ) .F F F F
Таким образом, задача об определении кор-
релятора аддитивной марковской цепи порядка
N при заданной функции памяти свелась к зада-
че Коши для разностного уравнения (16) N-го
порядка с начальными условиями (21).
4. Решение уравнения для коррелятора
при r N . Уравнение (16) является линейным
разностным уравнением с постоянными коэф-
фициентами. Его частное решение имеет вид
( ) ,r
partC r (26)
где представляет собой корень характеристи-
ческого полинома
1
.
N
N N m
m
m
F
(27)
Полином степени N имеет N корней ,j
1,..., ;j N линейная комбинация соответству-
ющих им частных решений будет общим реше-
нием уравнения (16):
1
( ) .
N
r
j j
j
C r
(28)
Входящие в решение (28) константы опреде-
ляются из начальных условий (21), что дает
1
1 0
1 1 11
1 1
(0)
N NN NN
C
, (29)
где 1( ,..., )s s NF F для 1,..., 1s N и
0 1 . Таким образом, корреляционные функ-
ции аддитивной марковской цепи полностью
определяются дисперсией случайной величи-
ны 2(0)C и коэффициентами функции па-
мяти mF .
Естественное условие исчезновения корре-
ляций при r приводит к ограничениям,
которым должны подчиняться коэффициенты
mF . Из решения (28) видно, что для выполне-
ния условия исчезновения корреляций все кор-
ни j характеристического полинома должны
находиться на комплексной плоскости внутри
окружности | | 1 .
Задача о распределении корней полинома от-
носительно единичной окружности часто воз-
никает при решении многих прикладных про-
блем, например, автоматического управления,
цифровой обработки сигналов, идентификации
систем.
Для решения этой задачи имеются различ-
ные методы и алгоритмы, наиболее известны-
ми из которых являются тесты Шура–Кона,
Джури, Быстрица и их разнообразные модифи-
кации [19, 20].
5. Решение уравнения для коррелятора
аддитивных марковских цепей первого и
второго порядков. Для цепей первого и второ-
го порядков уравнения (27) и (29) имеют прос-
тые решения, и общее решение (28) можно лег-
ко получить в явном виде.
Для цепи первого порядка уравнение (16)
приобретает вид 1( ) ( 1)C r F C r . Оно реша-
ется элементарно, и его решением, удовлетво-
ряющим условию четности для коррелятора,
52 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 1
В. Е. Векслерчик, С. С. Мельник, Г. М. Притула, О. В. Усатенко
является функция
1( ) (0) ,rC r C F (30)
затухающая при 1| | 1.F
В случае цепи второго порядка, 2,N мож-
но показать, что необходимым и достаточным
условием того, что корни характеристического
полинома второго порядка 2
2 1 2 ,p F F
см. выражение (27) при 2,N находятся
внутри единичной окружности на комплекс-
ной плоскости, является выполнение условия
1 2| | 1 2,F F т. е. коэффициенты полинома
принимают значения из области, очерченной
треугольником, изображенным на рис. 1. При
значениях 2
2 1( / 4)F F корни веществен-
ны, в противном случае они комплексные и
сопряженные.
Решение (28) для цепи второго порядка при
2r имеет вид
1 1 2 2( ) ,r rC r (31)
где
2
1 1
1,2 2 ,
2 4
F F F (32)
и константы 1 и 2 равны
2 1 1 1
1 2
2 1 2 1
(0) , (0) .C C
(33)
Величина 1 определена полученным выше
выражением (23).
При 2
2 1( / 4)F F (рис. 1) подкорен-
ное выражение в (32) отрицательно и кор-
ни 1,2 являются комплексно сопряженными:
1,2 exp( ).i В этом случае выражение
для коррелятора после простых преобразова-
ний приобретает следующий вид:
1
1
( ) (0) csc
[ sin sin ( 1)].
rC r C
r r
(34)
Корреляционные функции ( )C r для функ-
ций памяти из разных областей значений ко-
эффициентов памяти 1F и 2F представлены на
рис. 2 и 3.
В случае линейной аддитивной марковской
цепи третьего порядка, 3,N для того, чтобы
корни кубического характеристического поли-
нома 3 2
3 1 2 3,p F F F см. выражение
(27), находились внутри единичной окружно-
сти на комплексной плоскости, необходимо и
достаточно выполнение следующих условий
[21]:
1 3 2 1 3 2
2
3 2 1 3
| | 1 , | 3 | 3 ,
1.
F F F F F F
F F F F
(35)
Рис. 1. Область значений коэффициентов функции памя-
ти, для которых выполняется условие C(r) 0 при r
(когда нули характеристического полинома p2 находятся
на комплексной плоскости внутри окружности | | 1)
C (r )
0,5
0,0
–0,5
–1,0
10 20 30 40 50 r
C (r )
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0 10 20 30 40 50 r
a
б
Рис. 2. Корреляционная функция C(r) последователь-
ности второго порядка с коэффициентами функции памя-
ти, соответствующими вещественным 1,2: a – F1 1,1;
F2 –0,18; 1 0,9; 2 0,2; б – F1 –0,7; F2 0,18;
1 –0,9; 2 0,2 (в этом случае есть персистентные и
антиперсистентные корреляции)
ISSN 1028-821X. Радіофізика та електроніка. 2019. Том 24, № 1 53
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков
Соответствующая область допустимых зна-
чений функции памяти изображена на рис. 4.
Характеристическое уравнение третьей сте-
пени может иметь либо три вещественных кор-
ня, либо один вещественный и два комплекс-
но сопряженных. Решения для этого случая
здесь не приводятся в виду их громоздкости.
Графики зависимости корреляционной функ-
ции от расстояния между узлами цепи подобны
представленным на рис. 2 и 3.
6. Численное построение последователь-
ности второго порядка. Продемонстрируем
результаты предыдущего раздела на примере
численной генерации последовательности с
глубиной памяти 2.N
Одноточечную функцию распределения выбе-
рем симметричной треугольной формы (рис. 5):
0
1 , 1,
( )
0, 1.
f
Такая плотность вероятности соответствует
нулевому среднему значению случайной вели-
чины 0X и дисперсии 2(0) 1 / 6.C
Значения двухшаговой функции памяти вы-
бираем равными
1 20,1; 0,1.F F
C (r )
1,0
0,5
0,0
–0,5
10 20 30 40 50 60 70 r
Рис. 3. Корреляционная функция C(r) с коэффициентами
функции памяти, соответствующими комплексным 1,2:
F1 1,84; F2 –0,9; 1,2 0,95 exp( i / 12)
F2
F3
F1
–3
–2
–2
–2
–1
0
0
0
1
2
2
Рис. 4. Область значений коэффициентов функции
памяти, для которых выполняется условие C(r) 0 при
r (когда нули характеристического полинома p3 на-
ходятся на комплексной плоскости внутри единичной
окружности)
–2 –1 0 1 2
ξ
f 0(ξ
)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Рис. 5. Одноточечная функция распределения f0( ) сим-
метричной треугольной формы
C (r )
0,015
0,010
0,005
0,000
–0,005
–0,010
–0,015
0 2 4 6 8 r
Рис. 6. Сравнение численных (точки) и аналитических (ли-
ния) результатов C(r) для аддитивной коррелированной
марковской последовательности второго порядка с сим-
метричным одноточечным распределением вероятности
54 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 1
В. Е. Векслерчик, С. С. Мельник, Г. М. Притула, О. В. Усатенко
Для генерации осталось задать функции
1( )f и 2 ( ),f входящие в функцию услов-
ной вероятности (1). Из выражения (12) следу-
ет, что имеется широкая свобода выбора этих
функций, обеспечивающих заданные значе-
ния 1F и 2.F Однако их форма должна быть
такой, чтобы выражение (1) давало положи-
тельный результат для любого ( 1;1) и лю-
бой комбинации двух предшествующих значе-
ний 1,2 ( 1;1). Отсюда следует, в частности,
что для таких значений , при которых 0 ( )f
близко к нулю (в нашем случае это значения ,
близкие к 1), значение ( )f также должно
быть (по модулю) близко к нулю. Простейший
вариант обеспечения этого условия – задать
( )f пропорциональными 0 ( ),f но нечетны-
ми, для обеспечения условий нормировки (4):
0
0
( ), 0,
( )
( ), 0,
f
f a
f
а коэффициент a тогда определяется из усло-
вия (12) обеспечения требуемой .F В рассма-
триваемом случае треугольной одноточечной
функции распределения это приводит к выра-
жению
3 .a F
Подставляя теперь требуемые значения 1F и
2 ,F получаем функцию условной вероятности
(1) и с ее помощью генерируем числовую по-
следовательность. После построения последо-
вательности численно рассчитываем корреля-
тор. На рис. 6 (см. стр. 53) точками показаны
полученные значения ( ).C r Сплошная линия
соответствует аналитическому расчету корре-
лятора по формулам (31)–(34). Очевидно, что
результаты численного моделирования корре-
Рис. 7. Линейная функции памяти:
0,07[1 /( 1)], 20,
0, 20r
r N rF
r
Рис. 8. Знакопеременная функция памяти с линейным
убыванием:
( 1)2( 1) [1 /( 1)], 20,
0, 20
r
r
r N rF
r
1,0
0,5
0,0
–0,5
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0 20 40 60 80 100
0,06
0,04
0,02
5 10 15 20
Рис. 9. Ступенчатая функции памяти (см. также [16]):
0,045, 20,
0, 20r
rF
r
0,4
0
0,– 4
1,0
0,5
0,0
0,– 5
Рис. 10. Ступенчатая знакопеременная функции памяти:
( 1)0,05( 1) , 20,
0, 20
r
r
rF
r
r
0,1
0,06
0,04
0,02
0 20 40 60 80 100
5 10 15 20
r
r
r
r
r
r
r
ISSN 1028-821X. Радіофізика та електроніка. 2019. Том 24, № 1 55
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков
лированной последовательности совпадают с
полученными аналитическим путем.
7. Примеры корреляций в линейных мар-
ковских цепях высших порядков. Ниже для
иллюстрации возможных сценариев корреля-
ций в линейных марковских цепях высших по-
рядков мы приводим графики корреляционных
функций, являющихся решениями (28), (29)
уравнения (16) для линейных марковских це-
пей порядка 20N при различных значениях
коэффициентов функции памяти. На рис. 7–10
представлены зависимости корреляционных
функций ( )C r от расстояния r между элемен-
тами цепи, соответствующие различным функ-
циям памяти. Вид функций памяти rF изобра-
жен на врезках.
В работе [16] подробно рассмотрен случай
ступенчатой функции памяти для аддитивной
дихотомической цепи, получены аналитичес-
кие решения уравнения для корреляционной
функции. В этом особом случае результаты для
рассматриваемой в настоящей работе числовой
цепи совпадают с полученными в работе [16].
Выводы. В работе изучен специальный класс
однородных линейных аддитивных марковских
цепей N-го порядка с пространством состояний,
принадлежащим конечному множеству вещест-
венных чисел. Получены уравнения, связыва-
ющие корреляционные функции с коэффици-
ентами функции памяти последовательности.
Последние являются проявлением независи-
мых аддитивных вкладов каждого из предыду-
щих N узлов последовательности в вероятность
появления в узле 1N значения случайной
величины 1 1N nX и определяются функ-
цией переходной вероятности. Найдено общее
решение уравнения для корреляционных функ-
ций такой аддитивной линейной последователь-
ности, и приведены возможные зависимости
корреляторов от расстояния между узлами.
Проведено сравнение полученных аналитичес-
ких результатов с результатами численной реа-
лизации аддитивной марковской последователь-
ности. Результаты работы могут использоваться
для моделирования случайных сред и систем с
требуемыми корреляционными свойствами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов B. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. Москва:
Радио и связь, 2004. 608 с.
2. Амитей Н., Галиндо В., Ву Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. Пер. с англ. под ред. А. Ф. Чаплина.
Москва: Мир, 1974. 455 с.
3. Лукин К. А., Могила А. А., Выплавин П. Л. Получение изображений с помощью неподвижной антенной решетки,
шумовых сигналов и метода синтезирования апертуры. Радиофизика и электрон.: сб. науч. тр. Ин-т радиофизики и
электрон. НАН Украины. Харьков, 2007. Т. 12, № 3. С. 526–531.
4. Anderson D. F., Kurtz T. G. Continuous Time Markov Chain Models for Chemical Reaction Networks. In: H. Koeppl, G. Setti,
M. di Bernardo, D. Densmore (eds). Design and Analysis of Biomolecular Circuits. New York, NY, Springer, 2011. 36 p.
5. Atayero A. A. A., Sheluhin O. Integrated Models for Information Communication Systems and Networks: Design and
Development. IGI Publishing Hershey, PA, 2013. 469 p.
6. Privault N. Understanding Markov Chains. Singapore: Springer, 2013. 354 p.
7. Tan W. Y. Stochastic Models with Applications to Genetics, Cancers, AIDS and Other Biomedical Systems. 2nd ed. World
Scientifi c, 2015. 600 p.
8. Andrieu C., de Freitas N., Doucet A., Jordan M. I. An Introduction to MCMC for Machine Learning. Machine Learning.
2003. Vol. 50, N 1–2. P. 5–43.
9. Berchtold A., Raftery A. E. The Mixture Transition Distribution Model for High-Order Markov Chains and Non-Gaussian
Time Series. Statistical Science. 2002. Vol. 17, N 3. P. 328–356.
10. Ching W., Ng M. K. Markov Chains: Models, Algorithms and Applications. Springer Science&Business Media, 2006. 205 p.
11. Kumar R. Raghu M., Sarlós T., Tomkins A. Linear Additive Markov Processes. Proc. of the 26th Int. Conf. World Wide Web.
(Perth, Australia, 03–07 April 2017). Perth, 2017. P. 411–419.
12. Usatenko O. V., Yampol’skii V. A. Binary N-Step Markov Chains and Long-Range Correlated Systems. Phys. Rev. Lett.
2003. Vol. 90, Iss. 11. P. 110601 (4 p.). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.90.110601.
13. Usatenko O. V., Yampol’skii V. A., Kechedzhy K. E., Mel’nyk S. S. Symbolic stochastic dynamical systems viewed as binary
N-step Markov chains. Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68, Iss. 6. P. 061107 (12p.). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.68.061107.
14. Melnyk S. S., Usatenko O. V., Yampol’skii V. A., Golick V. A. Competition between two kinds of correlations in literary
texts. Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72, Iss. 2. P. 026140 (7 p.). DOI: https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.72.026140.
15. Melnyk S. S. Usatenko O. V., Yampol’skii V. A. Memory functions of the additive Markov chains: applications to complex
dynamic systems. Physica A. 2006. Vol. 361, Iss. 2. P. 405–415. DOI: https://doi.org/ 10.1016/ j.physa.2005.06.083.
56 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 1
В. Е. Векслерчик, С. С. Мельник, Г. М. Притула, О. В. Усатенко
16. Melnyk S. S., Usatenko O. V., Yampol’skii V. A., Apostolov S. S., Maiselis Z. A. Memory functions and correlations in additive
binary Markov chains. J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 39, N 46. P. 14289–14306. DOI: https://doi.org/10.1088/0305-
4470/39/46/004.
17. Usatenko O. V., Apostolov S. S., Mayzelis Z. A., Melnik S. S. Random fi nite-valued dynamical systems: additive Markov
chain approach. Cambridge: Cambridge Scientifi c Publ., 2010. 166 p. URL: http://www.ire.kharkov.ua/~usatenko/papers/
!UsatenkoBook-CAMBRIDGE.pdf.
18. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. Москва: Советское радио, 1977. 224 с.
19. Stoica P., Moses R. L. On the unit circle problem: The Schur-Cohn procedure revisited. Signal Process. 1992, Vol. 26, Iss. 1.
P. 95–118. DOI:https://doi.org/10.1016/ 0165-1684(92)90057-4.
20. Bistritz Y. Refl ections on Schur-Cohn Matrices and Jury-Marden Tables and classifi cation of related unit-circle zero location
criteria. Circ. Syst. Signal Pr. 1996. Vol. 15, Iss. 1. P. 111–136. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01187696.
21. Grove E. A., Ladas G. Periodicities in Nonlinear Diff erence Equations. In: Advances in Discrete Mathematic and Applications.
Vol. 4. Chapman & Hall/CRC. 2005. 377 p.
Стаття надійшла 04.04.2018
REFERENCES
1. Tichonov, V. I., Harisov, V. N., 2004. Statistical analysis and synthesis of radio engineering devices and systems. Moscow:
Radio i svyaz’ Publ. (in Russian).
2. Amity, N., Galindo, V. W. Ch., 1974. Theory and analysis of phased antenna arrays. Translated from English and ed. by
A. F. Chaplin. Moscow: Mir Publ. (in Russian).
3. Lukin, K. A., Mogila, A. A., Vyplavin, P. L., 2007. Reception of images using a fi xed antenna array, noise signals and aperture
synthesizing method. In: V. M. Yakovenko, ed. 2007. Radiofi zika i elektronika. Kharkov: IRE NAS of Ukraine Publ. 12(3),
pp. 526–531 (in Russian).
4. Anderson, D. F., Kurtz, T. G., 2011. Continuous time Markov chain models for chemical reaction networks. In: Koeppl, H.,
Densmore, D., Setti, G., di Bernardo, M., eds. 2011. Design and analysis of biomolecular circuits: engineering approaches
to systems and synthetic biology. New York, NY: Springer, pp. 3–42.
5. Atayero, A. A. A., Sheluhin, O., 2013. Integrated Models for Information Communication Systems and Networks: Design
and Development. IGI Publishing Hershey, PA.
6. Privault, N., 2013. Understanding Markov Chains. Singapore: Springer.
7. Tan, W. Y., 2015. Stochastic Models with Applications to Genetics, Cancers, AIDS and Other Biomedical Systems. 2nd ed.
World Scientifi c.
8. Andrieu, C., de Freitas, N., Doucet, A., Jordan M. I., 2003. An Introduction to MCMC for Machine Learning. Machine
Learning, 50(1–2), pp. 5–43.
9. Berchtold, A., Raftery, A. E., 2002. The Mixture Transition Distribution Model for High-Order Markov Chains and Non-
Gaussian Time Series. Statistical Science, 17(3), pp. 328–356.
10. Ching, W., Ng, M. K., 2006. Markov Chains: Models, Algorithms and Applications. Springer Science&Business Media.
11. Kumar, R., Raghu, M., Sarlós, T., Tomkins, A., 2017. Linear Additive Markov Processes. Proc. of the 26th Int. Conf. World
Wide Web. Perth, Australia, 03–07 April 2017, pp. 411–419.
12. Usatenko, O. V., Yampol’skii, V. A., 2003. Binary N-Step Markov Chains and Long-Range Correlated Systems. Phys. Rev.
Lett., 90(11), pp. 110601(4 p.). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.90.110601.
13. Usatenko, O. V., Yampol’skii, V. A., Kechedzhy, K. E., Mel’nyk, S. S., 2003. Symbolic stochastic dynamical systems
viewed as binary N-step Markov chains. Physical Review E, 68(6), pp. 061107(12 p.). DOI: https://doi.org/10.1103/
PhysRevE.68.061107.
14. Melnyk, S. S., Usatenko, O. V., Yampol’skii, V. A., Golick, V. A., 2005. Competition between two kinds of correlations in
literary texts. Phys. Rev. E, 72(2), pp. 026140(7 p.) DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE. 72.026140.
15. Melnyk, S. S., Usatenko, O. V., Yampol’skii, V. A., 2006. Memory functions of the additive Markov chains: applications to
complex dynamic systems. Physica A, 361(2), pp. 405–415. DOI: https://doi.org/ 10.1016/ j.physa.2005.06.083.
16. Melnyk, S. S., Usatenko, O. V., Yampol’skii, V. A., Apostolov, S. S., Maiselis, Z. A., 2006. Memory functions and correlations
in additive binary Markov chains. J. Phys. A: Math. Gen., 39(46), pp. 14289–14306.
17. Usatenko, O. V., Apostolov, S. S., Mayzelis, Z. A., Melnik, S. S., 2010. Random fi nite-valued dynamical systems: additive
Markov chain approach. [pdf] Cambridge: Cambridge Scientifi c Publ., 2010. 166 p. Available at: http://www.ire.kharkov.
ua/~usatenko/papers/!UsatenkoBook-CAMBRIDGE.pdf.
18. Tikhonov, V. I., Mironov, M. A., 1977. Markov processes. Moscow: Sovetskoe radio Publ. (in Russian).
19. Stoica, P., Moses, R. L. 1992. On the unit circle problem: The Schur-Cohn procedure revisited. Signal Process., 26(1),
pp. 95–118. DOI: https://doi.org/10.1016/ 0165-1684(92)90057-4.
20. Bistritz, Y., 1996. Refl ections on Schur-Cohn Matrices and Jury-Marden Tables and classifi cation of related unit-circle zero
location criteria. Circ. Syst. Signal Pr., 15(1), pp. 111–136. DOI: https://doi.org/ 10.1007/BF01187696.
21. Grove, E. A., Ladas, G., 2005. Periodicities in Nonlinear Diff erence Equations. In: Advances in Discrete Mathematic and
Applications. Vol. 4. Chapman & Hall/CRC.
Received 04.04.2018
ISSN 1028-821X. Радіофізика та електроніка. 2019. Том 24, № 1 57
Корреляционные функции линейных аддитивных марковских цепей высших порядков
V. E. Vekslerchik, S. S. Melnik, G. M. Pritula, O. V. Usatenko
O. Ya. Usikov Institute for Radiophysics and Electronics NAS of Ukraine
12, Acad. Proskura st., Kharkov, 61085, Ukraine
CORRELATION FUNCTIONS FOR LINEAR
ADDITIVE MARKOV CHAINS OF HIGHER ORDERS
Subject and purpose. The task of designing various radio engineering devices, such as fi lters, delay lines, antennas with a given
radiation pattern, requires the development of methods for generating random sequences (the values of the system parameters)
with given correlation properties, since the spectral characteristics of the listed and similar to them systems are expressed in
terms of the Fourier transforms of correlators. The purpose of this paper is to represent the function of the transition probability
of random sequences with long-range correlations in a form convenient for numerical generation of sequences, and to study the
statistical properties of the latter.
Method and methodology. An adequate mathematical tool for solving such problems is the higher order Markov chains. The
statistical characteristics of these objects are determined by their transition probability function, which in the general case can
have a very complex form. In this paper, the transition probability function is assumed to be additive and linear with respect to
the values of the random variable. It is assumed that the state space of the sequence belongs to the set of real numbers.
Results. The equations that relate the correlation functions of the sequence to the weight coeffi cients of the memory function,
determined in their turn by the transition probability function, are derived and analytically solved.
Conclusion. It is shown that the correlation functions of the additive Markov chain are completely determined by the variance
of the random variable and the weight coeffi cients of the memory function. The agreement of the obtained analytical results with
the results of numerical realization of the additive Markov sequence is demonstrated. Examples of possible correlation scenarios
in higher order additive linear chains are given.
Key words: Markov sequences, higher order linear additive Markov chains, memory function, correlation functions.
В. Є. Векслерчик, С. С. Мельник, Г. М. Притула, О. В. Усатенко
Інститут радіофізики та електроніки ім. О. Я. Усикова НАН України
12, вул. Акад. Проскури, Харків, 61085, Україна
КОРЕЛЯЦІЙНІ ФУНКЦІЇ ЛІНІЙНИХ
АДИТИВНИХ МАРКОВСЬКИХ ЛАНЦЮГІВ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
Предмет i мета роботи. Завдання конструювання різних радіотехнічних пристроїв, таких як фільтри, лінії затримки,
антени із заданою діаграмою направленості, вимагає розроблення методів генерації випадкових послідовностей (значень
параметрів цих систем), що мають задані кореляційні властивості, оскільки спектральні характеристики зазначених
і аналогічних їм систем виражаються через фур’є-компоненти кореляторів. Метою цієї роботи є зображення функції
перехідної імовірності випадкових послідовностей з далекими кореляціями у вигляді, зручному для чисельної генерації
послідовностей, і вивчення статистичних властивостей останніх.
Методи i методологія роботи. Адекватним математичним апаратом для вирішення такого роду завдань є ланцюги
Маркова вищих порядків. Статистичні характеристики цих об’єктів визначаються їхньою функцією перехідної
імовірності, яка в загальному випадку може мати вельми складний вигляд. У цій роботі функція перехідної імовірності
покладається адитивною і лінійною щодо значень випадкової величини. Передбачається, що простір станів послідовності
належить множині дійсних чисел.
Результати роботи. Виведені та аналітично розв’язані рівняння, що зв’язують кореляційні функції послідовності з
ваговими коефіцієнтами функції пам’яті, які, у свою чергу, визначаються функцією перехідної імовірності.
Висновок. Показано, що кореляційні функції адитивного марковського ланцюга повністю визначаються дисперсією
випадкової величини і ваговими коефіцієнтами функції пам’яті. Продемонстровано збіг отриманих аналітичних
результатів з результатами чисельної реалізації адитивної марковської послідовності. Наведено приклади можливих
кореляційних сценаріїв у адитивних лінійних ланцюгах вищих порядків.
Ключові слова: марковські послідовності, лінійні адитивні марковські ланцюги вищих порядків, функція пам’яті,
кореляційні функції.
Radiophys. and Electron 47
Radiophys. and Electron 48
Radiophys. and Electron 49
Radiophys. and Electron 50
Radiophys. and Electron 51
Radiophys. and Electron 52
Radiophys. and Electron 53
Radiophys. and Electron 54
Radiophys. and Electron 55
Radiophys. and Electron 56
Radiophys. and Electron 57
|