Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе
Предмет и цель работы. Известно, что при изменении относительной диэлектрической проницаемости шара для некоторых его собственных частот и соответствующих собственных колебаний характерно аномальное поведение (отклонение от нормы в поведении собственных частот, трансформация собственных колебаний)....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Радіофізика та електроніка |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167813 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе / Ю.В. Свищёв // Радіофізика та електроніка. — 2019. — Т. 24, № 4. — С. 11-19. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860185747393347584 |
|---|---|
| author | Свищёв, Ю.В. |
| author_facet | Свищёв, Ю.В. |
| citation_txt | Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе / Ю.В. Свищёв // Радіофізика та електроніка. — 2019. — Т. 24, № 4. — С. 11-19. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радіофізика та електроніка |
| description | Предмет и цель работы. Известно, что при изменении относительной диэлектрической проницаемости шара для некоторых его собственных частот и соответствующих собственных колебаний характерно аномальное поведение (отклонение от нормы в поведении собственных частот, трансформация собственных колебаний). Целью настоящей работы является изучение закономерностей аномального поведения спектральных характеристик диэлектрического шара.
Предмет і мета роботи. Відомо, що у випадку зміни відносної діелектричної проникності кулі для деяких її власних частот та відповідних їм власних коливань має місце аномальна поведінка (відхилення від норми в поведінці власних частот, трансформація власних коливань). Метою цієї роботи є вивчення закономірностей аномального поведінки спектральних характеристик діелектричної кулі.
Subject and purpose. It is known that with a change in the relative dielectric constant of a ball, for some of its eigenfrequencies and the corresponding eigenoscillations, anomalous behavior is characteristic (deviation from the norm in the behavior of eigenfrequencies, the transformation of eigenoscillations). The purpose of this work is to study the laws of anomalous behavior of the spectral characteristics of a dielectric ball.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:04:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028-821X. Радіофіз. та електрон. 2019. Т. 24, № 4 11
Уравнения для собственных частот сфериче-
ских диэлектрических резонаторов впервые
были получены Г. Ми и П. Дебаем в 1908–
1909 гг. [1, 2]. Численный расчет комплексных
собственных частот для широкого интервала
изменения диэлектрической проницаемости
впервые был выполнен в [3]. Несмотря на то,
что свойства сферических диэлектрических ре-
зонаторов исследуются более ста лет и им по-
священо обширнейшее множество публикаций
(см., например, [4, 5] и имеющиеся там ссыл-
ки), некоторые их свойства и на сегодня требу-
ют дальнейшего изучения.
В частности, в работе [5] было отмечено,
что существует взаимное влияние (взаимодей-
ствие, взаимосвязь) внутренних и внешних
E-мод диэлектрического шара в случае, когда
почти равны (или даже равны) действительные
части их собственных частот. Это явление не
означает реальное вырождение участвующих
мод, так как действительные или мнимые части
собственных частот на самом деле не равны (в
[5] речь идет о квазивырождении внутренних и
внешних мод). Явление не было обнаружено в
случае H-мод. В [5] отмечено также, что, изме-
няя значение диэлектрических потерь в резона-
торе и тем самым влияя на мнимую часть соб-
ственных частот, можно получить разные эф-
фекты вырождения. При этом делается предпо-
ложение, что описанное явление определяется
ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 4: 11–19
DOI: https://10.15407/rej2019.04.011
УДК 537.86:519.6
PACS: 41.20.-q
Ю.В. Свищёв
Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова НАН Украины
12, ул. Акад. Проскуры, Харьков, 61085, Украина
E-mail: YuSvishchov@gmail.com
Взаимодействие собственных колебаний
в сферическом диэлектрическом резонаторе
Предмет и цель работы. Известно, что при изменении относительной диэлектрической проницаемости шара для неко-
торых его собственных частот и соответствующих собственных колебаний характерно аномальное поведение (откло-
нение от нормы в поведении собственных частот, трансформация собственных колебаний). Целью настоящей работы
является изучение закономерностей аномального поведения спектральных характеристик диэлектрического шара.
Методы и методология работы. Для достижения поставленной цели приведено решение соответствующей спек-
тральной задачи. Метод решения основан на представлении электромагнитного поля в виде разложения по векторным
сферическим волновым функциям.
Результаты работы. Выполнен расчет зависимостей первых собственных частот сферического диэлектрического
резонатора от относительной диэлектрической проницаемости шара. Предложен способ классификации собствен-
ных колебаний. Он основан на структуре собственных колебаний. Показано, что аномальное поведение спектральных
характеристик диэлектрического шара соответствует хорошо известному явлению междутиповой связи колебаний.
В качестве управляющего параметра этого явления используется относительная диэлектрическая проницаемость
шара. Установлено, что взаимодействуют внутренняя и внешняя моды. При изменении диэлектрической проницаемос-
ти возможно многократное преобразование мод.
Заключение. Результаты проведенных исследований позволяют объяснить природу аномального поведения спек-
тральных характеристик сферического диэлектрического резонатора. Ил. 5. Библиогр.: 11 назв.
Ключевые слова: сферический диэлектрический резонатор, собственная частота, взаимодействие собственных колебаний.
12 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 4
Ю.В. Свищёв
в значительной степени именно наличием по-
терь в диэлектрическом шаре.
Целью настоящей работы является изучение
природы такого аномального поведения спек-
тральных характеристик сферического диэлек-
трического резонатора.
1. Задача дифракции. Пусть в однородной
изотропной среде (область D0 ) имеется одно-
родный изотропный диэлектрический шар ра-
диусом a (область D1; см. рис. 1). Область Ds
(s 0,1) характеризуется относительной ди-
электрической s и относительной магнитной s
проницаемостями (0 > 0, 0 > 0). Волновое чис-
ло в области Ds определяется как ,s s sk k
где k / c – волновое число в вакууме.
Падающее на шар поле (комплексные ампли-
туды) обозначим как ( , ).inc incE H
Введем сфе-
рическую систему координат (r, , ), связан-
ную с центром диэлектрического шара ( ,re ,e
e
– орты сферической системы координат).
Полное поле будем искать в виде
0 0
1 1
( , ) ( , ), ,
( , )
( , ), .
inc incE H E H r a
E H
E H r a
(1)
Здесь и далее предполагается, что зависи-
мость полей от времени имеет вид exp (–i t);
неравенство r > a определяет область D0 , а не-
равенство r < a – область D1.
Краевая задача дифракции формулирует-
ся следующим образом. Требуется определить
векторные поля 0 0( , )E H
и 1 1( , ) ,E H
удовлет-
воряющие уравнениям Максвелла
,s s
sE ik H
s s
sH ik E
(2)
в областях Ds (s 0,1), граничным условиям
0 1
0 1
,inc
r r r
inc
r r r
e E e E e E
e H e H e H
(3)
на поверхности шара и условию излучения
Сильвера–Мюллера
0 0 1
0 0 ( )re H E o r
(4)
при r равномерно по всем направлениям
.re При определенных условиях гладкости за-
дача (1)–(4) имеет единственное решение [6].
Из уравнений Максвелла (2) (учитывая, что
0,sE
0)sH
может быть получено
векторное уравнение Гельмгольца для электри-
ческого поля:
2 0.s s
sE k E
(5)
Магнитное поле определяется при таком
подходе из первого уравнения Максвелла:
1 .s s
s
H E
ik
Линейно независимыми решениями уравне-
ния (5) в сферической системе координат яв-
ляются [7] векторные сферические волновые
функции (VSWF, англ. vector spherical wave
functions) [7, 8]:
( )
( )
2
( )
( )
( )
( )( , ) ( 1) ( , )
( )
( ) ( , ),
( )( , ) ( , ) ,
l
l n s
mn s mn
s
l
n s
mn
s
l
l n s
mn s mn
s
k r
N r k n n P
k r
k r
B
k r
k r
M r k C
k r
(6)
где (1)
1 2( ) ( ) ( ) ,
2n n n
zz z J z (3) ( )n z
(1)
1 2( ) ( )
2n n
zz H z – функции Риккати–
Бесселя первого и третьего рода; 1 2 ( ) ,nJ z
(1)
1 2 ( )nH z – функции Бесселя и Ханкеля полу-
целого индекса. Векторные сферические гар-
моники, входящие в (6), имеют вид
( , ) (cos ) ,
( , ) ( ) ( ) ,
m im
mn n r
m m im
mn n n
P P e e
B e im e e
Рис. 1. Диэлектрический шар
x
y
z
0 , 0
1 , 1
ISSN 1028-821X. Радіофіз. та електрон. 2019. Т. 24, № 4 13
Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе
( , ) ( ) ( ) ,m m im
mn n nC im e e e
где
(cos )( ) ,
m
n
mn
dP
d
(cos )( ) ,
sin
m
n
mn
P
(cos )m
nP – ортонормированные присоеди-
ненные функции Лежандра [9]. Поскольку
( ) ( )( , ) ( , ) ,l l
mn s s mn sM r k k N r k
( ) ( , )l
mn sM r k
( ) ( , ) ,l
s mn sk N r k
поле ( , )s sE H
представимо в
виде
( )
( )
1
( )
( )
1
( , )
( ) ,
( , )
( , )
( ) ,
( , )
s ln
mn mn ss
s l
n m n mn mn s
s ln
mn mn ss s
s l
s n m n mn mn s
A N r k
E r
B M r k
A M r kk
H r
ik B N r k
(7)
где s
mnA и s
mnB – произвольные константы.
Наряду с VSWF (6), применение находят
VSWF ( ) ,e l
mnN
( )o l
mnN
и ( ) ,e l
mnM
( )o l
mnM
:
( ) ( )
( )
2
( )( , ) ( 1)
( )
cos
(cos )
sin
e l l
o l n s
mn s
s
m
n r
k r
N r k n n
k r
m
P i
m
( )
cos
( )
sin( ) ,
sin
( )
cos
mnl
n s
s
mn
m
i
mk r
k r m
m i
m
( ) ( )
( ) ( )( , )
sin
( )
cos
,
cos
( )
sin
e l l
o l n s
mn s
s
mn
mn
k r
M r k
k r
m
m i
m
m
i
m
( )
( ) ( )
( )
2
( 1) ,
2
e l
mn l m l
mn mno l
mn
N
N N
iN
( )
( ) ( )
( )
2
( 1) .
2
e l
mn l m l
mn mno l
mn
M
M M
iM
В терминах этих VSWF представления для
полей вида (9) переписываются следующим
образом:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 ( ,1)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ,1)
( )
,
)
( )
s
s e l s o l
mn mn mn mn
s e l s o l
m n m mn mn mn mn
s s
s
s e l s o l
mn mn mn mn
s e l s o l
m n m mn mn mn mn
E r
A N i A N
B M iB M
k
H r
i k
A M i A M
B N iB N
0
,
(8)
где знаки «+» и «–» в верхних индексах коэффи-
циентов ( )s
mnA и ( )s
mnB обозначают преобразо-
вания вида 1( )
01 1
def m
mn mn mn mh h h
и ( ,1) max( ,1).
def
m m
Будем предполагать, что падающее поле
( , )inc incE H
может быть представлено в виде
(1)
0
(1)
1 0
( , )
( ) ,
( , )
n
mn mninc
n m n mn mn
N r k
E r
M r k
(1)
00
(1)0 1 0
( , )
( ) ,
( , )
n
mn mninc
n m n mn mn
M r kk
H r
ik N r k
где mn и mn – известные коэффициенты.
Полное поле будем искать в виде (1), где
0 (3)
00
0 (3)
1 0
( , )
( ) ,
( , )
n
mn mn
n m n mn mn
C N r k
E r
D M r k
0 (3)
00 0
0 (3)0 1 0
( , )
( ) ,
( , )
n
mn mn
n m n mn mn
C M r kk
H r
ik D N r k
1 (1)
11
1 (1)
1 1
( , )
( ) ,
( , )
n
mn mn
n m n mn mn
C N r k
E r
D M r k
1 (1)
11 1
1 (1)1 1 1
( , )
( ) ,
( , )
n
mn mn
n m n mn mn
C M r kkH r
ik D N r k
где 0 ,mnC 0 ,mnD 1 ,mnC 1
mnD – неизвестные коэф-
фициенты.
14 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 4
Ю.В. Свищёв
Удовлетворим граничным условиям (3) на
поверхности шара, воспользовавшись пред-
ставлениями
( )
( )
( )
( )
( )( , ) ( , ),
( )( , ) ( , )
l
l n s
r mn s mn
s
l
l n s
r mn s mn
s
k r
e N r k B
k r
k r
e M r k C
k r
(9)
и ортогональностью векторных сферических
гармоник ( m – символ Кронекера)
2 *
0 0
2 *
0 0
2 *
0 0
2 *
0 0
sin
sin 0,
sin
2 ( 1) ( 1) ,
sin
2 ( 1) ( 1) .
mn
mn
mn
m
m n
mn
m
m n
B C d d
C B d d
B B d d
n n
C C d d
n n
(10)
Умножая условия (3) на * ( , )mnB
и
* ( , )mnC
и учитывая (9), (10), получаем две
независимые системы линейных алгебраиче-
ских уравнений:
0
0 0
10
1
1
0
0 0
10
1
1
( ) ( )
( ),
( ) ( )
( );
mn n mn n
mn n
mn n mn n
mn n
k a C k a
C k a
k a C k a
k
C k a
k
(11)
0
0 0
10
1
1
0
0 0
10
1
1
( ) ( )
( ) ,
( ) ( )
( ).
mn n mn n
mn n
mn n mn n
mn n
k a D k a
k
D k a
k
k a D k a
D k a
(12)
Система линейных алгебраических уравне-
ний (11) описывает поля электрического типа
(E-типа или TM-типа), а система линейных ал-
гебраических уравнений (12) – поля магнитно-
го типа (H-типа или TE-типа). Системы линей-
ных алгебраических уравнений (11), (12) име-
ют следующее решение:
1
0 1 0 1 1 0
0 1
0 1 0 1 1 0
/ ( / , / ; , ),
( / , / ; , ) ,
mn mn n
mn n mn
C i k k k a k a
C i k k k a k a C
1
0 1 0 1 1 0
0 1
0 1 0 1 1 0
/ ( / , / ; , ),
( / , / ; , ) ,
mn mn n
mn n mn
D i k k k a k a
D i k k k a k a D
где
( , ; , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
( , ; , ) ( ) ( ) ( ) ( ).
def
n n n n n
def
n n n n n
x y v w x v w y v w
x y v w x v w y v w
2. Задача на собственные колебания. Пере-
йдем к изучению собственных колебаний ди-
электрического шара, т. е. электромагнитных
полей, которые могут иметь место в отсутствие
падающего поля. Полагая коэффициенты mn
,
mn падающего поля равными нулю, систему
линейных алгебраических уравнений (11), (12)
сведем к однородным системам линейных ал-
гебраических уравнений следующего вида:
0 10
0 1
1
0 10
0 1
1
( ) ( ) ,
( ) ( );
mn n mn n
mn n mn n
C k a C k a
k
C k a C k a
k
(13)
0 10
0 1
1
0 10
0 1
1
( ) ( ) ,
( ) ( ).
mn n mn n
mn n mn n
k
D k a D k a
k
D k a D k a
(14)
Система линейных алгебраических урав-
нений (13) описывает собственные колебания
электрического типа (E-моды или TM-моды), а
система линейных алгебраических уравнений
(14) – собственные колебания магнитного типа
(H-моды или TE-моды).
Из условия существования нетривиальных
решений этих СЛАУ получаем уравнения для
нахождения собственных частот диэлектриче-
ского шара:
0
1 0
1
0
1 0
1
( ) ( )
( ) ( ) 0
n n
n n
k a k a
k
k a k a
k
(E-моды); (15)
ISSN 1028-821X. Радіофіз. та електрон. 2019. Т. 24, № 4 15
Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе
0
1 0
1
0
1 0
1
( ) ( )
( ) ( ) 0
n n
n n
k
k a k a
k
k a k a
(H-моды). (16)
Полагая известными 1
mnC и 1 ,mnD находим
0 10 1
1 0
0 10 1
1 0
( ) ,
( )
( ) .
( )
n
mn mn
n
n
mn mn
n
k a
C C
k a
k k a
D D
k k a
3. Краткий анализ собственных колеба-
ний. Собственные колебания изотропного ди-
электрического шара делятся на два семейства:
1) колебания электрического типа (E-моды
или TM-моды); 2) колебания магнитного типа
(H-моды или TE-моды). Собственные частоты
этих колебаний находятся соответственно из
уравнений (15) и (16). Азимутальный индекс m
не входит в уравнения (15) и (16), т. е. имеет
место вырождение собственных частот по ин-
дексу m. Кратность вырождения равна 2n + 1 –
этот результат следует из представления (13).
Для E-мод нормированной собственной часто-
те ( / )nq nqk a c a (q – номер корня уравнения
(15)) соответствуют моды e
mnqE (m 0, …, n),
описываемые полями ( ) ( )( ) ,s s e l
mnq mn mnE r A N
( ) ( )( ) ( / ) ,s s e l
mnq s s mn mnH r k ik A M
и моды o
mnqE
(m 1, …, n), описываемые полями ( )s
mnqE r
( ) ( ) ,s o l
mn mni A N
( ) ( )( ) ( / ) .s s o l
mnq s s mn mnH r k ik i A M
Для H-мод нормированной собственной часто-
те ( / )nq nqk a c a (q – номер корня уравнения
(16)) соответствуют моды e
mnqH (m 0, …, n),
описываемые полями ( ) ( )( ) ),s s e l
mnq mn mnE r B M
( ) ( )( ) ( / ) ,s s e l
mnq s s mn mnH r k ik B N
и моды o
mnqH
(m 1, …, n), описываемые полями ( )s
mnqE r
( ) ( ) ,s o l
mn mniB M
( ) ( )( ) ( / ) .s s o l
mnq s s mn mnH r k ik iB N
В [3] было показано, что спектр собственных
колебаний сферического диэлектрического ре-
зонатора расщепляется на внутренние (поле
распределено внутри резонатора) и внешние
(поле распределено в окрестности поверхно-
сти резонатора или вне его) моды и оказыва-
ется более сложным, чем у полых объемных
резонаторов. Он состоит из двух серий, каж-
дой из которых свойственна различная зави-
симость от диэлектрической проницаемости
шара. Соответственно корни характеристиче-
ских уравнений внутренних и внешних мод
целесообразно нумеровать отдельно. Во избе-
жание путаницы для внутренних мод оставля-
ют запись TMmnq или TEmnq , а для внешних мод
добавляют штрих при индексе q: TMmnq ′ или
TEmnq ′ . В отличие от работ [3, 5], в настоящей ра-
боте колебания классифицируются не по воз-
растанию реальной части собственной часто-
ты. Колебания классифицируются по структу-
ре электромагнитного поля. Основанием для
такой классификации является описанное да-
лее взаимодействие собственных колебаний.
При фиксированном индексе n число внеш-
них мод конечно. Для внешних мод TMmnq ′
уравнение (15) при нечетном n имеет (n + 1) / 2
корней, а при четном n – 1 + n / 2 корня (один ко-
рень имеет нулевую реальную часть). Подобная
картина имеет место и для внешних TEmnq ′ -мод:
при нечетном n уравнение (16) имеет (n + 1) / 2
корней (один корень имеет нулевую реальную
часть), а при четном n – 1 + n / 2 корней.
Собственные частоты TMmnq- и TEmnq-мод
сферического диэлектрического резонатора яв-
ляются комплексными [3]. Комплексная соб-
ственная частота означает, что собственные
колебания являются затухающими: в любом
открытом резонаторе имеются потери на излу-
чение, которые принципиально неустранимы.
Спектр собственных частот диэлектрического
резонатора качественно меняется в зависимос-
ти от величины материальных констант.
4. Взаимодействие собственных колеба-
ний. На рис. 2 и 3 показаны зависимости реаль-
ных частей (нормированных) собственных час-
тот Re (ka) и логарифмов добротностей lg (Q)
(Q – 0,5 Re (ka) / Im (ka)) первых собственных
колебаний TM0nq и TM0nq ′ (n 2,4) от величины
диэлектрической проницаемости 1 (Im (1) 0,
1 0 0 1). Из рисунков видно (см. также
[3, 5]), что в окрестности некоторых значений
1 реальные части собственных частот сближа-
ются – образуют график Вина, а добротности
(как и мнимые части собственных частот) соб-
ственных колебаний пересекаются. На рис. 3
наблюдается второй вариант поведения спек-
тральных кривых: реальные части собственных
16 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 4
Ю.В. Свищёв
Рис. 2. Графики зависимостей Re(ka) (а) и lg(Q) (б) ко-
лебаний TM021 (кривая 1), TM021 (кривая 2), TM022 (кри-
вая 3), TM023 (кривая 4) от ( 1 1)
Re (ka)
12
10
8
6
4
2
0
2 4 6 8 10
4
lg (Q)
3
2
1
1,0
0,5
0,0
а
б
1
4
3
2
1
1
Рис. 5. Распределение H
( 1 1): а – 3, ka 2,256 –
– 0,731i; б – 9, ka 1,761 – 0,059i; в – 3, ka 3,321 –
– 0,596i; г – 9, ka 2,181 – 0,689i
а б
в г
Рис. 3. Графики зависимостей Re(ka) (а) и lg(Q) (б) ко-
лебаний TM041 (кривая 1), TM041 (кривая 2), TM042 (кри-
вая 3), TM043 (кривая 4) от ( 1 1)
2 4 6 8 10
а
б
14
12
10
8
6
4
2
0
Re (ka)
lg (Q)
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
4
3
2
11
1
4
3
2
1
Рис. 4. Графики зависимостей Re(ka) (а) и lg(Q) (б) коле-
баний TM021 (кривая 1) и TM021 (кривая 2) от при раз-
ных значениях 1: сплошная линия – 1 0,8; пунктирная
линия – 1 0,9; штрихпунктирная линия – 1 1,0
а
б
lg (Q)
Re (ka)
4 5 6 7 8
2,8
2,7
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2,0
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1 1
1
1 1 1
1 1 1
2
2
22
2
2
ISSN 1028-821X. Радіофіз. та електрон. 2019. Т. 24, № 4 17
Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе
частот пересекаются, а добротности (как и мни-
мые части собственных частот) собственных
колебаний сближаются. На рисунках эти облас-
ти обозначены кружками.
Описанное аномальное поведение собствен-
ных частот побудило автора работы [5] выска-
зать предположение о возможном вырождении
внутренних и внешних мод диэлектрического
шара. Определяющее влияние на характер по-
ведения спектральных характеристик в услови-
ях квазивырождения, по мнению автора работы
[5], имеют потери (Im(1) 0) в диэлектриче-
ском шаре. Однако изменить поведение спек-
тральных кривых можно и другим способом.
На рис. 4 приведены зависимости собственных
частот от 1 колебаний TM021 и TM021 ′ при раз-
ных значениях 1 : сплошные кривые – 1 0,8;
пунктирные кривые – 1 0,9; штрихпунктир-
ные кривые – 1 1,0. При 1 0,8 кривые ре-
альных частей собственных частот пересека-
ются, а кривые добротностей собственных ко-
лебаний сближаются. При 1 1,0 кривые ре-
альных частей собственных частот сближают-
ся (образуют график Вина), а кривые доброт-
ностей собственных колебаний пересекаются.
При 1 0,9 можно говорить о вырождении
собственных частот с графической точностью.
Цифрами на рис. 4 обозначены соответствую-
щие типы колебаний. Заметим, что при 1 0,9
и 1 1,0 при изменении 1 наблюдается об-
мен типами колебаний. При 1 0,8 обмена
типа колебаний не происходит, наблюдается
только гибридизация типов колебаний в не-
которой окрестности точки (1) пересечения
кривых реальных частей собственных частот.
Гибридизация типов колебаний происходит и
при 1 0,9 и 1 1,0 в некоторой окрестно-
сти точки (1) максимального сближения ре-
альных частей собственных частот. На рис. 5
приведено распределение полей колебаний
TM021 и TM021′ в случае обмена типами колеба-
ний (1 1,0). Поля на рис. 5, a и б отвечают
штрихпунктирной спектральной кривой черно-
го цвета на рис. 4, а, в и г – штрихпунктирной
спектральной кривой серого цвета. Заметим,
что возможно многократное преобразование
мод (рис. 3).
Описанное поведение собственных частот,
добротностей собственных колебаний, струк-
туры собственных колебаний при изменении
значений материальных параметров (в частнос-
ти, диэлектрической проницаемости или ди-
электрических потерь) достаточно хорошо из-
вестно в литературе (см., например, [10, 11]) и
определяется как явление междутиповой свя-
зи колебаний. В работе [11] рассмотрено вза-
имодействие собственных колебаний диэлек-
трического шара с собственными колебания-
ми открытого резонатора, но закономерности
этого явления те же, что описаны выше. Таким
образом, аномальное поведение спектральных
характеристик сферического диэлектрического
резонатора является следствием междутиповой
связи колебаний, которая имеет место в рассмат-
риваемом резонаторе.
Выводы. Приведены решения задачи диф-
ракции и спектральной задачи для сферическо-
го диэлектрического резонатора. Решения ос-
нованы на представлении электромагнитного
поля в виде разложения по векторным сфери-
ческим волновым функциям.
Проведен расчет зависимостей первых соб-
ственных частот сферического диэлектриче-
ского резонатора от относительной диэлектри-
ческой проницаемости шара. Предложен спо-
соб классификации собственных колебаний. Он
основан на структуре собственных колебаний.
Обнаружено и исследовано явление между-
типовой связи колебаний в диэлектрическом
шаре. В качестве управляющего параметра это-
го явления используется относительная диэлек-
трическая проницаемость шара. Установлено,
что взаимодействуют внутренняя и внешняя
моды. Показано, что при изменении диэлектри-
ческой проницаемости возможно многократ-
ное преобразование мод.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Mie G. Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen. Ann. Phys. 1908. Bd. 25, F. 4. S. 377–445.
DOI: https://doi.org/10.1002/andp.19083300302.
2. Debye P. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material. Ann. Phys. 1909. Bd. 30, F. 1. S. 57–136. DOI: https://doi.
org/10.1002/andp.19093351103.
3. Gastine M., Courtois L., Dorman J. Electromagnetic resonances of free dielectric spheres. IEEE Trans. Microwave Theory
Tech. 1967. Vol. 15, Iss. 12. P. 694–700. DOI: https://doi.org/10.1109/TMTT.1967.1126568.
18 ISSN 1028-821X. Radiofi z. Electron. 2019. Vol. 24, No. 4
Ю.В. Свищёв
4. Wolff I. Electromagnetic fi elds in spherical microwave resonators – fundamental mathematics. Research Gate. 2017. June.
43 p.
5. Wolff I. Electromagnetic Fields in Spherical Microwave Resonators H-Modes and E-Modes in Lossless Open Dielectric
Spheres. Research Gate. 2018. May. 38 p.
6. Müller C. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1969.
356 p.
7. Stratton J. Electromagnetic Theory New York: McGraw-Hill Book Company, 1941. 615 p.
8. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Пер. с англ. под ред. С.П. Аллилуева. Том 2. Москва: Иностр.
лит., 1960. 896 с.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Пер. с англ. И.Г. Арамановича.
М.: Наука, 1977. 832 c.
10. Мележик П.Н., Поединчук А.Е., Тучкин Ю.А., Шестопалов В.П. Об аналитической природе явления междутиповой
связи собственных колебаний. Докл. АН CCCP. 1988. Т. 300, № 6. С. 1356–1359.
11. Свищев Ю.В. Резонансное повышение добротности собственных колебаний электрического типа в открытом резо-
наторе с диэлектрическим шаровым включением. Радіофізика та електроніка. 2011. Т. 2(16), № 4. С. 20–26.
Стаття надійшла 30.05.2019
REFERENCES
1. Mie, G., 1908. Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen. Ann. Phys., 25(4), ss. 377–445. DOI:
https://doi.org/10.1002/andp.19083300302.
2. Debye, P., 1909. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material. Ann. Phys., 30(1), ss. 57–136. DOI: https://doi.
org/10.1002/andp.19093351103.
3. Gastine, M., Courtois, L., Dorman, J., 1967. Electromagnetic resonances of free dielectric spheres. IEEE Trans. Microwave
Theory Tech., 15(12), pp. 694–700. DOI: https://doi.org/10.1109/TMTT.1967.1126568.
4. Wolff, I., 2017. Electromagnetic fi elds in spherical microwave resonators – fundamental mathematics. Research Gate, June,
43 p.
5. Wolff, I., 2018. Electromagnetic Fields in Spherical Microwave Resonators H-Modes and E-Modes in Lossless Open Dielec-
tric Spheres. Research Gate, May, 38 p.
6. Müller, C., 1969. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
7. Stratton, J., 1941. Electromagnetic Theory. New York: McGraw-Hill Book Company.
8. Morse, F.M., Feshbach, G., 1960. Methods of Theoretical Physics. Translated from English and ed. by S.P. Alliluev. Moscow:
Inostrannaya literatura Publ. Vol. 2 (in Russian).
9. Korn, G., Korn, T., 2000. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Translated from English by I.G. Aramanovich.
Moscow: Nauka Publ. (in Russian).
10. Melezhik, P.N., Poedinchuk, A.E., Tuchkin, Yu.A., Shestopalov, V.P., 1988. On the Analytical Nature of the Phenomenon of
Intertype Relationship of Natural Oscillations. Dok. Akad. Nauk SSSR, 300(6), pp. 1356–1359 (in Russian).
11. Svishchov, Yu., 2011. Resonant increase of electrical-type eigenmode quality of an open resonator with a spherical dielectric
insert. Radiof. Elektron., 2(16)(4), pp. 20–26 (in Russian).
Received 30.05.2019
Yu.V. Svishchov
O.Ya. Usikov IRE of NASU
12, Acad. Proskura St., Kharkiv, 61085, Ukraine
THE EIGENMODE INTERACTION IN A SPHERICAL DIELECTRIC RESONATOR
Subject and Purpose. It is known that varying the relative dielectric constant of a dielectric spherical ball causes disturbances
in the normal behavior of some of its eigenfrequencies and corresponding eigenoscillations, going with the transformation of
the latters. The purpose of the work is studying the laws of this anomalous behavior of spectral characteristics of a spherical
dielectric resonator.
Methods and Methodology. To achieve the goal, the corresponding spectral problem is solved. The solution method is based
on the electromagnetic fi eld expansion in vector spherical wave functions.
Results. For a spherical dielectric resonator, numerical curves of the fi rst eigenfrequencies were obtained depending on the
relative dielectric constant of the sphere. A method is suggested for identifying eigenoscillations based on their structure. It is
found that the anomalous behavior of spectral characteristics of a dielectric sphere corresponds to the well-known phenomenon
of intertype mode coupling of the oscillations. Also, as shown, it is the relative dielectric constant of the sphere that is a control
parameter of the considered phenomenon. It is established that the interaction holds between internal and external modes. And
as the dielectric constant varies, multiple mode conversion is possible.
Conclusions. The results of the conducted studies allow us to explain the nature of the anomalous behavior of the spectral
characteristics of a spherical dielectric resonator.
Key words: spherical dielectric resonator, eigenfrequency, eigenmode interaction.
ISSN 1028-821X. Радіофіз. та електрон. 2019. Т. 24, № 4 19
Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе
Ю.В. Свіщов
ІРЕ ім. О.Я. Усикова НАН України
12, вул. Акад. Проскури, Харків, 61085, Україна
ВЗАЄМОДІЯ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ У СФЕРИЧНОМУ ДІЕЛЕКТРИЧНОМУ РЕЗОНАТОРІ
Предмет і мета роботи. Відомо, що у випадку зміни відносної діелектричної проникності кулі для деяких її власних
частот та відповідних їм власних коливань має місце аномальна поведінка (відхилення від норми в поведінці власних
частот, трансформація власних коливань). Метою цієї роботи є вивчення закономірностей аномальної поведінки спек-
тральних характеристик діелектричної кулі.
Методи і методологія роботи. Для досягнення поставленої мети наведено розв’язок відповідної спектральної задачі.
Основою методу розв’язання задачі було подання електромагнітного поля у вигляді розкладання за векторними сферич-
ними хвильовими функціями.
Результати роботи. Виконано розрахунок залежностей перших власних частот сферичного діелектричного резона-
тора від відносної діелектричної проникності кулі. Запропоновано спосіб класифікації власних коливань. Основою цьо-
го способу є структура власних коливань. Показано, що аномальна поведінка спектральних характеристик діелектричної
кулі відповідає добре відомому явищу міжтипового зв’язку коливань. У якості керуючого параметра стосовно цього
явища було використано відносну діелектричну проникність кулі. Встановлено, що взаємодіють внутрішня та зовнішня
моди. При зміні діелектричної проникності можливе багаторазове перетворення мод.
Висновок. Результати проведених досліджень дають можливість пояснити природу аномальної поведінки спектраль-
них характеристик сферичного діелектричного резонатора.
Ключові слова: сферичний діелектричний резонатор, власна частота, взаємодія власних коливань.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-167813 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| isbn | DOI: https://doi.org/10.15407/rej2019.04.011 |
| issn | 1028-821X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:04:09Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Свищёв, Ю.В. 2020-04-10T14:06:10Z 2020-04-10T14:06:10Z 2019 Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе / Ю.В. Свищёв // Радіофізика та електроніка. — 2019. — Т. 24, № 4. — С. 11-19. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. DOI: https://doi.org/10.15407/rej2019.04.011 1028-821X PACS: 41.20.-q https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167813 537.86:519.6 Предмет и цель работы. Известно, что при изменении относительной диэлектрической проницаемости шара для некоторых его собственных частот и соответствующих собственных колебаний характерно аномальное поведение (отклонение от нормы в поведении собственных частот, трансформация собственных колебаний). Целью настоящей работы является изучение закономерностей аномального поведения спектральных характеристик диэлектрического шара. Предмет і мета роботи. Відомо, що у випадку зміни відносної діелектричної проникності кулі для деяких її власних частот та відповідних їм власних коливань має місце аномальна поведінка (відхилення від норми в поведінці власних частот, трансформація власних коливань). Метою цієї роботи є вивчення закономірностей аномального поведінки спектральних характеристик діелектричної кулі. Subject and purpose. It is known that with a change in the relative dielectric constant of a ball, for some of its eigenfrequencies and the corresponding eigenoscillations, anomalous behavior is characteristic (deviation from the norm in the behavior of eigenfrequencies, the transformation of eigenoscillations). The purpose of this work is to study the laws of anomalous behavior of the spectral characteristics of a dielectric ball. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Мікрохвильова електродинаміка Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе Взаємодія власних коливань у сферичному діелектричному резонаторі The eigenmode interaction in a spherical dielectric resonator Article published earlier |
| spellingShingle | Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе Свищёв, Ю.В. Мікрохвильова електродинаміка |
| title | Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе |
| title_alt | Взаємодія власних коливань у сферичному діелектричному резонаторі The eigenmode interaction in a spherical dielectric resonator |
| title_full | Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе |
| title_fullStr | Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе |
| title_full_unstemmed | Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе |
| title_short | Взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе |
| title_sort | взаимодействие собственных колебаний в сферическом диэлектрическом резонаторе |
| topic | Мікрохвильова електродинаміка |
| topic_facet | Мікрохвильова електродинаміка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/167813 |
| work_keys_str_mv | AT sviŝevûv vzaimodeistviesobstvennyhkolebaniivsferičeskomdiélektričeskomrezonatore AT sviŝevûv vzaêmodíâvlasnihkolivanʹusferičnomudíelektričnomurezonatorí AT sviŝevûv theeigenmodeinteractioninasphericaldielectricresonator |