Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето
Для векторной задачи оптимизации с неограниченным множеством допустимых решений исследованы условия разрешимости, в том числе устойчивой и неустойчивой разрешимости, на основе использования свойств рецессивного конуса допустимого множества и конуса, частично упорядочивающего допустимое множество отн...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168378 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето / Т.И. Сергиенко // Компьютерная математика. — 2015. — № 2. — С. 31-39. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168378 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Сергиенко, Т.И. 2020-05-01T07:43:42Z 2020-05-01T07:43:42Z 2015 Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето / Т.И. Сергиенко // Компьютерная математика. — 2015. — № 2. — С. 31-39. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 2616-938Х https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168378 519.6 Для векторной задачи оптимизации с неограниченным множеством допустимых решений исследованы условия разрешимости, в том числе устойчивой и неустойчивой разрешимости, на основе использования свойств рецессивного конуса допустимого множества и конуса, частично упорядочивающего допустимое множество относительно векторного критерия оптимизации. Для векторної задачі оптимізації з необмеженою множиною допустимих розв’язків досліджено умови розв’язуваності, у тому числі стійкої та нестійкої розв’язуваності, на основі використання властивостей рецесивного конуса допустимої множини і конуса, що частково впорядковує цю множину щодо векторного критерія оптимізації. In the paper, we investigate the existence conditions of Pareto-optimal solutions to vector optimization problem with unbounded polyhedral set of feasible solutions. The study is based on the use of properties of recessive cone of feasible set and the use of the cone, which partially order a feasible set with respect to the linear objective function. The conditions of stable and unstable solvability of a vector problem with polyhedral feasible set in the case of input data changes are considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Системный анализ Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето Умови розв’язуваності векторних задач пошуку розв’язків, оптимальних за Парето Conditions of Pareto-optimal vector problem solvability Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето |
| spellingShingle |
Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето Сергиенко, Т.И. Системный анализ |
| title_short |
Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето |
| title_full |
Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето |
| title_fullStr |
Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето |
| title_full_unstemmed |
Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето |
| title_sort |
условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по парето |
| author |
Сергиенко, Т.И. |
| author_facet |
Сергиенко, Т.И. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Умови розв’язуваності векторних задач пошуку розв’язків, оптимальних за Парето Conditions of Pareto-optimal vector problem solvability |
| description |
Для векторной задачи оптимизации с неограниченным множеством допустимых решений исследованы условия разрешимости, в том числе устойчивой и неустойчивой разрешимости, на основе использования свойств рецессивного конуса допустимого множества и конуса, частично упорядочивающего допустимое множество относительно векторного критерия оптимизации.
Для векторної задачі оптимізації з необмеженою множиною допустимих розв’язків досліджено умови розв’язуваності, у тому числі стійкої та нестійкої розв’язуваності, на основі використання властивостей рецесивного конуса допустимої множини і конуса, що частково впорядковує цю множину щодо векторного критерія оптимізації.
In the paper, we investigate the existence conditions of Pareto-optimal solutions to vector optimization problem with unbounded polyhedral set of feasible solutions. The study is based on the use of properties of recessive cone of feasible set and the use of the cone, which partially order a feasible set with respect to the linear objective function. The conditions of stable and unstable solvability of a vector problem with polyhedral feasible set in the case of input data changes are considered.
|
| issn |
2616-938Х |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168378 |
| citation_txt |
Условия разрешимости векторных задач поиска решений, оптимальных по Парето / Т.И. Сергиенко // Компьютерная математика. — 2015. — № 2. — С. 31-39. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT sergienkoti usloviârazrešimostivektornyhzadačpoiskarešeniioptimalʹnyhpopareto AT sergienkoti umovirozvâzuvanostívektornihzadačpošukurozvâzkívoptimalʹnihzapareto AT sergienkoti conditionsofparetooptimalvectorproblemsolvability |
| first_indexed |
2025-11-25T21:29:31Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:29:31Z |
| _version_ |
1850557938765135872 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2015, № 2 31
Для векторной задачи оптимиза-
ции с неограниченным множест-
вом допустимых решений иссле-
дованы условия разрешимости,
в том числе устойчивой и не-
устойчивой разрешимости, на
основе использования свойств
рецессивного конуса допустимого
множества и конуса, частич-
но упорядочивающего допустимое
множество относительно век-
торного критерия оптимизации.
Т.И. Сергиенко, 2015
УДК 519.6
Т.И. СЕРГИЕНКО
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ
ПОИСКА РЕШЕНИЙ,
ОПТИМАЛЬНЫХ ПО ПАРЕТО
Введение. Среди вопросов о корректности
постановок многокритериальных оптимиза-
ционных задач вопрос об их разрешимости
является важным как в теоретическом, так и
в прикладном отношении. Цель данной рабо-
ты – это определение условий существования
Парето-оптимальных решений векторных
задач с неограниченным множеством допус-
тимых решений на основе использования
свойств рецессивного конуса допустимого
множества и конуса, который частично упо-
рядочивает это множество относительно ли-
нейных критериев, из которых состоит век-
торный критерий оптимизации. Рассматрива-
ется также вопрос об устойчивости свойств
разрешимости и неразрешимости для ука-
занных задач в случае возможных возмуще-
ний входных данных.
Продолжая исследования, касающиеся во-
просов корректности постановок векторных
оптимизационных задач и представленные, в
частности, в публикациях 1 – 12, рассмот-
рим следующую задачу поиска элементов
множества Парето ( , ) :P C X
( ( , )) : max{ }Z P C X Cx x X .
Здесь X неограниченное выпуклое множе-
ство в n -мерном действительном векторном
пространстве ;nR C линейное отображение
nR R и соответствующая ему матрица
,n
ijC c R
у которой строки ic
1( ,..., ),i inc c {1,..., },i представляют собой
наборы коэффициентов линейных целевых
Т.И. СЕРГИЕНКО
32 Компьютерная математика. 2015, № 2
функций ,ic x , составляющих векторный критерий 1, ,..., ,Cx c x c x зада-
чи ( ( , ));Z P C X множество Парето ( , )P C X состоит из всех тех точек x допу-
стимого множества ,X для которых выполняется условие:
: ,y X Cy Cx Cy Cx .
Согласно [13] неограниченность множества X допустимых решений задачи
( ( , ))Z P C X означает, что рецессивний конус этого множества
0 | , 0nX y R x y X x X
обязательно содержит точку, отличную от начала координат: 0 \ 0X .
Введем в рассмотрение также линейное подмножество множества :X
( 0 ) 0 .XL X X
Отметим, что в том случае, когда допустимое множество X является мно-
гогранным и имеет следующий вид:
( , ) { }nX A b x R Ax b , (1)
где ,m n
ijA a R 1( ,..., ) ,m
mb b b R рецессивный конус и линейное под-
множество множества X могут быть записаны с помощью формул
0 { 0}nX x R Ax и { 0}n
XL x R Ax .
Изучение условий разрешимости задачи ( ( , )),Z P C X т. е. условий суще-
ствования ее Парето-оптимальных решений, проведем с учетом свойств как
рецессивного конуса 0 ,X так и многогранного конуса
( ) | 0 ,nK K C x R Cx
который частично упорядочивает множество допустимых решений задачи отно-
сительно векторного критерия оптимизации, а именно: переход из любой точки
x X в некоторую точку ( ) ,x y X где ,y K приводит к неравенствам
( ) .C x y Cx Очевидно, для произвольной точки x X истинно высказывание
0( , ) ( ) ,x P C X x K X K
где 0 0( ) | 0nK K C x R Cx ядро линейного отображения C : nR R
[14], представляющее собой совокупность всех тех векторов ,x K образы ко-
торых в R совпадают с нулевым вектором.
В следующей теореме сформулировано необходимое условие разрешимости
задачи ( ( , ))Z P C X 2, 3.
Теорема 1. Если множество Парето-оптимальных решений задачи
( ( , ))Z P C X не пусто, то
00K X K . (2)
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ ПОИСКА РЕШЕНИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ …
Компьютерная математика. 2015, № 2 33
При дополнительном предположении о замкнутости допустимого множест-
ва X докажем следующее достаточное условие разрешимости задачи
( ( , )).Z P C X
Теорема 2. Если совокупность всех общих точек упорядочивающего конуса
K и рецессивного конуса 0 X совпадает с пересечением двух их подмножеств:
ядра 0K K линейного отображения C и линейного подмножества XL выпук-
лого замкнутого допустимого множества ,X т. е.
00 XK X K L , (3)
то ( , ) .P C X
Доказательство проведем, опираясь на теорему 1 из [15, §3.2], в которой
утверждается, что из условия компактности всех множеств вида
( ) ,R y z Y z y
где ,y Y следует существование точек оптимального множества задачи
( ( , ))Z P C X . Здесь использовано обозначение Y для образа в R допустимого
множества nX R относительно отображения C : nR R , т. е.
Y CX z Cx R x X .
Очевидно, Y и, следовательно, ( ) .R y
Итак, покажем, что при выполнении условия (3) множество ( )R y – это ком-
пакт для любой точки ,y Y т. е. оно замкнуто и ограничено. Для этого
представим его в виде пересечения двух множеств:
( ) ( )R y Y R y , (4)
где ( )R y z R z y – многогранное множество (следовательно, выпуклое
и замкнутое).
К выводу относительно замкнутости множества Y приходим согласно теоре-
ме 3.7 из [16], так как выполняются оба ее условия: во-первых, допустимое мно-
жество X не пусто, выпукло и замкнуто, а во-вторых, имеет место включение
0 ,K O X O X
непосредственно вытекающее из условия (3). Кроме того, согласно теореме 3.4
из [13] выпуклость множества X в nR влечет за собой выпуклость и его образа
Y в .R
Опираясь на формулу (4) и учитывая замкнутость и выпуклость множеств
Y и R (y), делаем вывод о замкнутости и выпуклости их пересечения ( )R y .
Нам осталось убедиться в ограниченности множества ( )R y . В соответствии
с теоремой 8.4 из [13] непустое замкнутое выпуклое множество является огра-
ниченным тогда и только тогда, когда его рецессивний конус содержит лишь
нулевой вектор, т. е. в нашем случае, когда
0 ( ) 0 .R y
Т.И. СЕРГИЕНКО
34 Компьютерная математика. 2015, № 2
Покажем, что это соотношение действительно выполняется. Воспользуемся
следствием 8.3.3 из [13], позволяющим утверждать, что замкнутость и выпук-
лость множеств Y и R (y), а также непустота их пересечения приводят
к равенству
0 ( ) 0 ( ) 0 ,R y R y Y (5)
где 0 ( ) 0 .R y z R z Кроме того, примем во внимание, что согласно упо-
мянутой выше теореме 3.7 из [16] выполняется соотношение
0 (0 ).Y C X
Опираясь на равенство (5) и привлекая формулу (2), непосредственно вытекаю-
щую из условия (3) доказываемой теоремы, получаем цепочку соотношений
0 ( ) 0 (0 ) 0, 0R y z R z C X z Cx Cx x X
00 ( 0 ) ( ) 0z Cx x K X C K X C K ,
которая завершает доказательство.
Рассмотрим вопрос о разрешимости векторной задачи оптимизации в том
случае, когда ее входные данные могут подвергаться некоторым достаточно ма-
лым возмущениям. Учитывая это введем в рассмотрение понятия (не)устойчиво
(не)разрешимой задачи ( ( , ))Z P C X с многогранным допустимым множеством
( , )X X A b , определенным согласно формуле (1).
Для этого в пространстве ,qR где q – любое натуральное число, зададим
норму с помощью формулы
1
q
i
i
x x
, где 1( ,..., ) .q
qx x x R Под нормой не-
которой матрицы q k
ijB b R будем понимать норму вектора
11 12( , ,..., ).qkb b b Напомним [17], что в конечномерном пространстве qR любые
две нормы 1 и 2 эквивалентны, т. е. существуют такие числа 0 и 0,
что qx R выполняются неравенства
1 2 1
.x x x Учитывая это, отме-
тим, что изложенные далее результаты справедливы для любых норм.
Для набора ( , , )u C A b входных данных задачи ( ( , ( , )))Z P C X A b , подвер-
гающихся возмущениям, и любого числа 0 определим множество ( )O u
возмущенных входных данных как окрестность ( ) ( ) ( ) ( )O u O C O A O b
точки u в пространстве входных данных .n m n mR R R Здесь
( ) ( ) ( ) ( ) ,n
ijO C C c R C C
( ) ( ) ( ) ( ) ,m n
ijO A A a R A A
1( ) ( ) ( ( ),..., ( )) ( ) .m
mO b b b b R b b
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ ПОИСКА РЕШЕНИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ …
Компьютерная математика. 2015, № 2 35
Обозначим ( ) ( ( ), ( ), ( ))u C A b , ( ) ( ( ), ( ))).X X A b
Определение. Задача ( ( , ( , )))Z P C X A b называется устойчиво разрешимой,
если 0 , такое, что ( ) ( )u O u : ( ( ), ( )) .P C X
Определение. Задача ( ( , ( , )))Z P C X A b называется устойчиво неразреши-
мой, если 0 , такое, что ( ) ( )u O u : ( ( ), ( )) .P C X
Определение. Задача ( ( , ( , )))Z P C X A b называется неустойчиво разреши-
мой, если она разрешима, т. е. ( , ( , ))P C X A b , однако 0 ( ) ( )u O u :
( ( ), ( )) .P C X
Определение. Задача ( ( , ( , )))Z P C X A b называется неустойчиво неразреши-
мой, если она неразрешима, т. е. ( , ( , ))P C X A b , но 0 ( ) ( )u O u :
( ( ), ( )) .P C X
Справедливы следующие достаточные условия устойчивой (неустойчивой)
разрешимости (неразрешимости) задачи ( ( , ( , ))).Z P C X A b
Теорема 3. Пусть ( , )X X A b . Если выполняется условие
0K O X ,
то задача ( ( , ))Z P C X – устойчиво разрешима.
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что двойственный конус
( ) , 0nK O X y R x y x K O X совпадает со всем пространством
nR . Отсюда с учетом леммы 8.7 из [18] следует, что > 0 , такое,
что ( ) ( ), ( ) ( )C O C A O A также выполняется равенство
( ( ( )) ( )) nK C O X R . Тогда ( ( )) ( ) 0K C O X и, следовательно,
0 ( )( ( )) ( ) ( ( )) XK C O X K C L , что согласно теореме 2 позволяет сде-
лать вывод о разрешимости задачи ( ( ( ), ( )))Z P C X и тем самым завершить
доказательство.
Теорема 4. Пусть ( , )X X A b . Если справедливы соотношения (3) и
0( ) 0XK C L , (6)
то задача ( ( , ))Z P C X – неустойчиво разрешима.
Доказательство. Согласно теореме 2 соотношение (3) влечет за собой раз-
решимость задачи ( ( , )).Z P C X Учитывая также неравенство (6), заключаем, что
в множестве ( , )K O X A b найдется точка 1( ,..., ) 0,nz z z для которой выпо-
лняются условия: 0Cz и 0.Az Выбрав произвольно число 0, возмутим
набор ( , , )u C A b входных данных следующим образом.
Т.И. СЕРГИЕНКО
36 Компьютерная математика. 2015, № 2
Элементы возмущенной матрицы коэффициентов векторного критерия
опишем формулами ( ) ( ),ij ij jc c sign z
n
где 1, , 1, , (0, ).i j n Тогда
1 1
( ) ( )
n
j
i j
C C sign z
n
и, следовательно, ( ) ( ).C O C Относи-
тельно возмущений входных данных, определяющих допустимое множество
решений задачи, положим, что ( ) ( ), ( ) ( ).A A O A b b O b
Покажем, что 0( ( )) \ ( ( )).z K C K C Действительно, 1,...,i справед-
ливы соотношения
1 1
( ), ( ( )) > 0,
n n
i ij j j j
j j
c z c sign z z z
n n
которые
означают, что ( ) > 0.C z
Таким образом, при выполнении условий теоремы найдется точка
,z K O X такая, что для любого числа 0 существует возмущенный набор
входных данных ( ) ( ),u O u при котором точка z принадлежит множеству
00 ( ) ( ( )) \ ( ( )).X K C K C Опираясь на теорему 1, сделанный нами вывод по-
зволяет прийти к заключению о неразрешимости задачи ( ( ( ), ( )),Z P C X вход-
ные данные которой возмущены описанным выше способом. Доказательство
завершено.
Обозначим int B внутренность некоторого множества nB R .
Теорема 5 [8]. Пусть ( , )X X A b . Если int intK O X , то задача
( ( , ))Z P C X – устойчиво неразрешима.
Теорема 6. Пусть ( , )X X A b . Если справедливы соотношения
0( \ (K int ))K K O X , (7)
int K O X , (8)
0 XK O X L , (9)
то задача ( ( , ))Z P C X – неустойчиво неразрешима.
Доказательство. Неразрешимость задачи ( ( , ))Z P C X следует из неравенст-
ва (7), так как оно означает, что включение (2), являющееся согласно теореме 1
необходимым условием разрешимости задачи ( ( , ))Z P C X , не выполняется.
Далее, в соответствии с определением понятия неустойчивой неразрешимости
задачи, следует убедиться, что 0 ( ) ( )u O u : ( ( ), ( )) .P C X
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ ПОИСКА РЕШЕНИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ …
Компьютерная математика. 2015, № 2 37
Возмутим матрицу C коэффициентов векторного критерия следующим
образом: ,n
ijC c R где ij ij jc c u ( 1,...,i , 1,...,j n ), 1R –
параметр возмущений, 1
1
( ,..., ) 0,n i i
i
u u u c
1
1,i
i
i ( 1,..., .i ).
Удостоверимся, что 0 возмущенная матрица ( )C C принадлежит мно-
жеству ( )O C , а задача ( ( ), ( ))Z C X с возмущенным набором входных данных
( ) ( ( ), , )u C A b разрешима при условии, что значение параметра возмущений
выбрано из интервала 0,min 1, .
u
Действительно, в этом случае ( ) ( )C O C , так как ( )C C
1 1 1 1
<
n n
ij ij j
i j i j
C C c c u u
. Для доказательства разрешимо-
сти задачи ( , ( , ))Z C X A b убедимся, опираясь на теорему 2, в справедливости
включения
0 ( , )( ) 0 ( , ) ( ) .X A bK C X A b K C L (10)
Принимая во внимание, что 0 < < 1, и воспользовавшись теоремой 7
из [12], получаем включение 0( ) \ ( ) int ,K C K C K откуда с учетом условия (8)
вытекает соотношение 0( ( ) \ ( )) 0 ( , ) ,K C K C X A b означающее, что
0( ) 0 ( , ) ( ).K C X A b K C А так как согласно утверждению 3 из [2] при 1
верно равенство 0 0( ),K K C то последнее включение совместно с условием (9)
теоремы приводит к соотношению (10), что и завершает доказательство.
Выводы. В работе доказаны теоремы, в которых сформулированы условия
существования Парето-оптимальных решений для многокритериальных задач с
неограниченным допустимым множеством на основе использования свойств
рецессивного конуса этого множества и конуса, который частично
упорядочивает допустимое множество относительно линейных критериев,
составлющих векторный критерий оптимизации. Исследованы вопросы
устойчивости свойств разрешимости и неразрешимости задач оптимизации на
многогранном множестве в случае возможных возмущений входных данных
задач.
Т.И. СЕРГИЕНКО
38 Компьютерная математика. 2015, № 2
Т.І. Сергієнко
УМОВИ РОЗВ’ЯЗУВАНОСТІ ВЕКТОРНИХ ЗАДАЧ ПОШУКУ РОЗВ’ЯЗКІВ,
ОПТИМАЛЬНИХ ЗА ПАРЕТО
Для векторної задачі оптимізації з необмеженою множиною допустимих розв’язків
досліджено умови розв’язуваності, у тому числі стійкої та нестійкої розв’язуваності, на
основі використання властивостей рецесивного конуса допустимої множини і конуса, що
частково впорядковує цю множину щодо векторного критерія оптимізації.
T.I. Sergienko
CONDITIONS OF PARETO-OPTIMAL VECTOR PROBLEM SOLVABILITY
In the paper, we investigate the existence conditions of Pareto-optimal solutions to vector optimiza-
tion problem with unbounded polyhedral set of feasible solutions. The study is based on the use of
properties of recessive cone of feasible set and the use of the cone, which partially order a feasible
set with respect to the linear objective function. The conditions of stable and unstable solvability of
a vector problem with polyhedral feasible set in the case of input data changes are considered.
1. Козерацкая Л.Н., Лебедева Т.Т., Сергиенко Т.И. Задача частично целочисленной вектор-
ной оптимизации: вопросы устойчивости // Кибернетика. – 1991. – № 1. – С. 58 – 61.
2. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Кононова А.А. Устойчивость и неограниченность задач
векторной оптимизации // Кибернетика и системный анализ.– 1997. – № 1. – C. 3 – 10.
3. Сергиенко И.В., Лебедева Т.Т., Семенова Н.В. О существовании решений в задачах век-
торной оптимизации // Там же. – 2000. – № 6. – C. 39 – 46.
4. Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. До питання про розв’язуваність задач век-
торної оптимізації з необмеженою допустимою областю // Компьютерная математика. –
2001. № 2. – С. 221 – 227.
5. Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. Деякі умови оптимальності та роз-
в’язуваності в задачах векторної оптимізації з опуклою допустимою множиною // Теорія
оптимальних рішень. – 2002. – № 1. – С. 142 – 148.
6. Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. Умови оптимальності та розв’язуваності в
задачах лінійної векторної оптимізації з опуклою допустимою множиною // Доповіді
НАН України. – 2003. – № 10. – С. 80 – 85.
7. Lebedeva T.T., Semenova N.V., Sergienko T.I. Stability of vector integer optimization problems
with quadratic criterion functions // Theory of stochastic processes. – K.: In-te of Math. of
NASU. – 2004. – 10(24), N 3-4. – P. 95 – 101.
8. Kozeratska L.N., Forbes J.F., Goebel R.J., Kresta J.V. Pertubed cones for analysis of uncertain
multi-criteria optimization problems // Linear algebra and its applications. – 2004. – N 378. –
P. 203 – 229.
9. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Устойчивость векторных задач цело-
численной оптимизации: взаимосвязь с устойчивостью множеств оптимальных и неоп-
тимальних решений // Кибернетика и системный анализ. – 2005. № 4. – С. 90 – 100.
10. Сергиенко Т.И. Устойчивость по векторному критерию и ограничениям целочисленных
задач поиска решений, оптимальных по Слейтеру и Смейлу // Компьютерная математи-
ка. – 2008. № 1. – С. 145 – 151.
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ ПОИСКА РЕШЕНИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ …
Компьютерная математика. 2015, № 2 39
11. Лебедева Т.Т., Сергиенко Т.И. Разные типы устойчивости векторной задачи целочислен-
ной оптимизации: общий подход // Кибернетика и системный анализ. – 2008. – № 3. –
С. 142 – 148.
12. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Свойства специальным образом возмущен-
ных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизаци-
онной задачи относительно векторного критерия // Там же. – 2014. – 50, № 5. – С. 71 – 77.
13. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 470 с.
14. Чарин В.С. Линейные преобразования и выпуклые множества. Киев: Вища школа,
1978. 191 с.
15. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.
М.: Наука, 1982. 256 с.
16. Ржевский С.В. Монотонные методы выпуклого программирования. Киев: Наукова
думка, 1993. 319 с.
17. Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. – К.: Вища школа, 1992.
– Ч. 1. – 495 с.
18. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981. 340 с.
Получено 25.09.2015
Об авторе:
Сергиенко Татьяна Ивановна,
старший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
|