Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором
Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера. Рассмотрены вопросы построения и исследования устойчивости явной трехслойной разностной схемы с...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168432 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860105534151065600 |
|---|---|
| author | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. |
| author_facet | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. |
| citation_txt | Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера. Рассмотрены вопросы построения и исследования устойчивости явной трехслойной разностной схемы с комплекснозначным несамосопряженным оператором. Установлелено энергетическое тождество, а также получено условие устойчивости.
Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів на основі хвильового параболічного рівняння типу Шредінгера. Запропонована явна тришарова різницева схема з комплексним несамоспряженим оператором, досліджена її стійкість та отримана умова стійкості.
The problem of acoustic field numerical modeling on the basis of Schrödinger-type parabolic wave equation is considered. The three-layer explicit difference scheme with a complex non-selfconjugate operator is proposed. Its stability is investigated and stability condition is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:31:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2017, № 1 21
Предлагается подход к численно-
му моделированию акустических
полей в подводных неоднородных
волноводах, использующий явные
разностные схемы для решения
волнового параболического урав-
нения типа Шредингера. Рассмо-
трены вопросы построения и ис-
следования устойчивости явной
трехслойной разностной схемы с
комплекснозначным несамосопря-
женным оператором. Установле-
лено энергетическое тождество,
а также получено условие устой-
чивости.
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая,
2017
УДК 517.9:519.6
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
ОБ ОДНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ
С НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМ
ОПЕРАТОРОМ
Введение. В настоящее время при исследо-
вании акустических полей в океанических и
атмосферных волноводах важную роль иг-
рают методы математического моделирова-
ния [1 – 6].
Акустические процессы гармонических
источников описываются краевыми задачами
для эллиптического волнового уравнения
Гельмгольца в ограниченных или неограни-
ченных неоднородных областях. Один из
подходов к расчету акустических полей в
неограниченных областях состоит в исполь-
зовании параболических уравнений, что по-
зволяет свести решение краевых задач к ре-
шению задачи Коши для уравнений парабо-
лического типа с несамосопряженным ком-
плекснозначным оператором.
Известно, что явные двухслойные разнос-
тные схемы решения начально-краевых задач
для уравнений типа Шредингера безусловно
неустойчивы.
В данной работе для численного решения
волнового уравнения типа Шредингера пред-
лагается подход к построению и исследова-
нию устойчивости явных трехслойных раз-
ностных схем с комплекснозначным несамо-
сопряженным оператором.
Постановка задачи. В рамках парабо-
лического приближения акустическое поле
в осесимметрическом волноводе
0 0, 0 , 0 ,G r r z L r
где ),( zr – цилиндрические кординаты и ось
z направлена вертикально вниз, будем
описывать начально-краевой задачей для
волнового уравнения типа Шредингера с
комплексным несамосопряженным опера-
тором [2, 3]:
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
22 Компьютерная математика. 2017, № 1
0),(),(1),(2
),(
12 2
00
pzrzrizrnk
z
p
zrnzr
pik . (1)
Здесь ),( zrp – комплекснозначное решение, 1i – мнимая единица,
00 ck / – волновое число, – частота, ),(/),( 0 zrcczrn , 0),( zr – непре-
рывные достаточно гладкие функции ( коэффициенты преломления и поглоще-
ния соответственно)
,/,)//(
4
1),( 232
2
0
znnnnnn
k
zr zzzz 22 / znn zz .
Дифференциальное уравнение (1) является базовым для определения дальнего
комплекснозначного акустического давления ),( zrP , создаваемого гармониче-
скими источниками. Это давление удовлетворяет уравнению Гельмгольца и при
10 rk представляется в виде ),()(),( 0
)1(
0 zrprkHzrP , где )()1(
0 H – функ-
ция Ханкеля первого рода нулевого порядка. Для волн, распространяющихся в
направлениях, близких к горизонтальному, комплекснозначная амплитуда ),( zrp
удовлетворяет псевдодифференциальному уравнению [2 – 5]
,0))(( 2/1
0
pQEEik
r
p (2)
где Е – единичный оператор, а оператор Q определяется по формуле
p
zk
EzrnQp )1)1),((( 2
2
2
0
2
.
Подставляя в уравнение (2) приближенное выражение оператора корня
квадратного в виде
,)(
2
1)1(
2
1),()( 23
2
2
0
2/1
n
n
n
n
znzk
zrnQE zzz
получаем параболическое волновое уравнение (1), которое используется для
исследования одночастотного распространения звука в волноводах с произ-
вольной зависимостью показателя преломления от глубины.
Далее будем рассматривать начально-краевую задачу для уравнения (1),
ограничиваясь средой без потерь и мягкими границами волновода:
,),(,0),(1),(2
),(
12 2
00 Gzrpzrzrnk
z
p
zrnzr
pik
(3)
,,0,0 00 rrpp Hzz (4)
Lzzuzrp 0),(),( 0 . (5)
ОБ ОДНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ С НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ
Компьютерная математика. 2017, № 1 23
Разностная схема. На сетке
hhhhhh , ,
},...,2,1,0,{},/,,0,{ 0 mmrrrNLhNkkhzz mkh ,
}/,1,1,{},,...,2,1,{ 0 NLhNkkhzzmmrrr khm ,
дифференциальную задачу (3) – (5) аппроксимируем с точностью )( 22 hO
явной трехслойной разностной схемой
hzz
r
rzyrzdayyik ),(,0),()(2 0 , (6)
hzzyzy ),()0,( 0 , (7)
rrLyry ,0),(,0),0( . (8)
Здесь ),(),(12),( 2
0 zrzrnkzrd и приняты такие обозначения теории
разностных схем [7]:
1 1( , ) , ( ) / 2 ,m m m m
m k k k
r
y y r z y y y y y y
1 1( ) / , ( ) / ,z k k k kzy y y h y y y h
1 1 12
1/2
1 1( ) ( ) , ( ) .
( , )
m m m
z k k k k k k k kz
m k
ay a y a a y a y a a z
h n r z
Отметим, что при расчетах необходимо иметь значение решения ),,( zy
hz , которое можно получить каким-либо другим методом.
Перейдем к анализу устойчивости разностной схемы (6) – (8). Пусть
hH – пространство сеточных комплекснозначных функций, заданных на h
и равных нулю при Lzz ,0 . Сеточная функция )(ryy определена на
со значениями в hH )(,),,()(: m
m
h ryyzzryry .
Введем скалярные произведения и нормы в hH :
2/1),(,),(),( yyyvhyvyvy
hz
mm
, (9)
где черта означает комплексное сопряжение.
Введем далее гильбертово пространство hhh HHH 2 как прямую сумму,
т. е. элементами пространства 2
hH являются векторы вида 1( , )m m
my y y ,
1, mm yy hH с покоординатными операциями сложения и умножения.
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
24 Компьютерная математика. 2017, № 1
Устойчивость трехслойной схемы (6) – (8) будем изучать в энергетическом про-
странстве 2
DH с метрикой, порожденной некоторым (возможно зависящим от r)
самосопряженным положительным оператором ( ) :m mD D D r
vyyyyvDyvy DDD ,,),(),,(),( 2/1 2
hH .
Следуя [7], под устойчивостью по начальным данным будем понимать
выполнение оценки ,...,2,1,0),,(),( 2
111 myyDyyD mmmmmm где величина
m равномерно ограничена константой, не зависящей от параметров сетки.
Пусть самосопряженный и неотрицательный оператор ,mD действующий
в пространстве 2
hH , – квадратная операторная матрица второго порядка
EA
AE
Dm 2
2
2
1
2
1
,
где оператор A определяется выражением hzz HyyrzdayAy ,),()( .
Легко видеть, что действующий в пространстве 2
hH оператор mD порожден
квадратичной формой
mmmm
m yyAEAyyJ ,
4
1
2
1 22
2
1 .
Пользуясь разностными формулами Грина [7], легко установить, что опера-
тор A самосопряжен в смысле скалярного произведения (9), а разностный опе-
ратор ( ) ,z hzCy ay y H – положительно определенный. Учитывая
условия 1 20 ( , ) ,c a r z c получаем неравенства
2
2
22
2
1 4),(8 y
h
cyCyy
L
c
,
означающие положительную определенность оператора C при каждом фикси-
рованном .mr
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Для решения разностной схемы (6) – (8) имеет место энергетиче-
ское тождество
11,, mmmmmm yyDyyD , 1, mm yy 2
hH .
ОБ ОДНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ С НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ
Компьютерная математика. 2017, № 1 25
Для доказательства перепишем задачу (6) – (8) в операторной форме
1 1 0, ,m m m
ry y Ay r 0 / ,ik (10)
где 0 1,y y заданы, )( m
m ryy hH .
Запишем уравнение (10) в виде
1 11 1
( )
2 2
m m mmy Ay Ayy
и возведем скалярно обе части равенства в квадрат. Тогда, учитывая самосопря-
женность оператора A , свойства 11 ,),( mmmm yAyyAy 1, mm Ayy ,
получим тождество, которое можно переписать так:
2
1 2 2
2
1 2 2 1 1
1 1| | ,
2 4
1 1| | , .
2 4
m m m m
m m m m
y Ay E A y y
y Ay E A y y
Это означает, что квадратичная форма mJ неотрицательна при выполнении
неравенства
2 21 , 0, .
4 hE A y y y H
(11)
Тогда на каждом шаге выполняется энергетическое тождество
11,, mmmmmm yyDyyD , my 2
hH ,
которое означает, что ошибка, допущенная на некотором шаге, не возрастает.
Если в (11) выполняется строгое неравенство, то выражение mmm yyD ,
определяет норму в пространстве 2
hH , что обеспечивает устойчивость разност-
ной схемы (6) – (8) в этой норме. Легко видеть, что условие неотрицательности
квадратичной формы (11) означает выполнение неравенства 2A . Учиты-
вая, что 2
2
2 /4 hcA , 0,0,),( 2121 zrd , 1 2 0, прихо-
дим к условию устойчивости
)4/(2 2
22
2
0 hchk .
Выводы. Предложенный для моделирования акустических полей в подвод-
ных неоднородных волноводах подход использует явные трехслойные разнос-
тные схемы для параболического уравнения типа Шредингера. Методика легко
обобщается на случай разрывной плотности, других краевых условий, позволяет
повысить эффективность вычислительных процессов, используя технологию
параллельных вычислений.
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
26 Компьютерная математика. 2017, № 1
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладка
ПРО ОДНУ РІЗНИЦЕВУ СХЕМУ З НЕСАМОСПРЯЖЕНИМ ОПЕРАТОРОМ
Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів на основі хвильового пара-
болічного рівняння типу Шредінгера. Запропонована явна тришарова різницева схема з ком-
плексним несамоспряженим оператором, досліджена її стійкість та отримана умова стійкості.
A.V. Gladky, J.A. Gladka
ABOUT A DIFFERENCE SCHEME WITH NON-SELF-CONJUGATE OPERATOR
The problem of acoustic field numerical modeling on the basis of Schrödinger-type parabolic wave
equation is considered. The three-layer explicit difference scheme with a complex non-self-
conjugate operator is proposed. Its stability is investigated and stability condition is obtained.
1. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидроме-
теоиздат, 1982. 264 с.
2. Распространение волн и подводная акустика // Под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. Пападаки-
са. М.: Мир, 1980. 230 с.
3. Lee D., McDaniel S.T. Ocean acoustic propagation by finite difference method. Comput. Math.
Appl. 1987. 14. P. 305 – 423.
4. Lee D., Pierse A.D., Shang E.C. Parabolic equation development in the twentieth century.
J. Comput. Acoust. 2000. 1, N 4. P. 527 – 637.
5. Гладкий А.В., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Численно-аналитические методы исследо-
вания волновых процессов. Киев: Наук. думка, 2001. 452 с.
6. Завадский В.Ю. Моделирование волновых процессов. М.: Наука, 1991. 248 с.
7. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.
Получено 09.04.2017
Об авторах:
Гладкий Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий лабораторией Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Е-mail: gladky@ukr.net
Гладкая Юлия Анатольевна,
доцент Киевского национального торгово-экономического университета.
Е-mail: yuliyagladkaya@hotmail.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168432 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2616-938Х |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:31:19Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. 2020-05-02T14:37:35Z 2020-05-02T14:37:35Z 2017 Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 21-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 2616-938Х https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168432 517.9:519.6 Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера. Рассмотрены вопросы построения и исследования устойчивости явной трехслойной разностной схемы с комплекснозначным несамосопряженным оператором. Установлелено энергетическое тождество, а также получено условие устойчивости. Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів на основі хвильового параболічного рівняння типу Шредінгера. Запропонована явна тришарова різницева схема з комплексним несамоспряженим оператором, досліджена її стійкість та отримана умова стійкості. The problem of acoustic field numerical modeling on the basis of Schrödinger-type parabolic wave equation is considered. The three-layer explicit difference scheme with a complex non-selfconjugate operator is proposed. Its stability is investigated and stability condition is obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором Про одну різницеву схему з несамоспряженим оператором About a difference scheme with non-self-conjugate operator Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Математическое моделирование |
| title | Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором |
| title_alt | Про одну різницеву схему з несамоспряженим оператором About a difference scheme with non-self-conjugate operator |
| title_full | Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором |
| title_fullStr | Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором |
| title_full_unstemmed | Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором |
| title_short | Об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором |
| title_sort | об одной разностной схеме с несамосопряженным оператором |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168432 |
| work_keys_str_mv | AT gladkiiav obodnoiraznostnoishemesnesamosoprâžennymoperatorom AT gladkaâûa obodnoiraznostnoishemesnesamosoprâžennymoperatorom AT gladkiiav proodnuríznicevushemuznesamosprâženimoperatorom AT gladkaâûa proodnuríznicevushemuznesamosprâženimoperatorom AT gladkiiav aboutadifferenceschemewithnonselfconjugateoperator AT gladkaâûa aboutadifferenceschemewithnonselfconjugateoperator |