Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D

Рассмотрена организация программного кода конечно-элементного решателя, позволяющая использовать различные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений без модификации модулей построения матриц и векторов СЛАУ МКЭ. Розглянута організація програмного коду скінченно-елементного розв’язув...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Компьютерная математика
Date:	2017
Main Author:	Белоус, М.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Subjects:	Вычислительный эксперимент
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168441
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D / М.В. Белоус // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 110-121. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168441
record_format	dspace
spelling	Белоус, М.В. 2020-05-02T15:06:43Z 2020-05-02T15:06:43Z 2017 Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D / М.В. Белоус // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 110-121. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 2616-938Х https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168441 519.6 Рассмотрена организация программного кода конечно-элементного решателя, позволяющая использовать различные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений без модификации модулей построения матриц и векторов СЛАУ МКЭ. Розглянута організація програмного коду скінченно-елементного розв’язувача, яка дозволяє використовувати різні алгоритми знаходження розв’язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь без модифікації модулів побудови матриць та векторів. A technology of integration of different algorithms for solving the systems of linear equations in the finite-element framework is discussed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Вычислительный эксперимент Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D Робота з системами лінійних алгебраїчних рівнянь у програмному каркасі Nadra-3D An operation with the systems of linear equations in the software framework Nadra-3D Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D
spellingShingle	Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D Белоус, М.В. Вычислительный эксперимент
title_short	Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D
title_full	Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D
title_fullStr	Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D
title_full_unstemmed	Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D
title_sort	работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе nadra-3d
author	Белоус, М.В.
author_facet	Белоус, М.В.
topic	Вычислительный эксперимент
topic_facet	Вычислительный эксперимент
publishDate	2017
language	Russian
container_title	Компьютерная математика
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Робота з системами лінійних алгебраїчних рівнянь у програмному каркасі Nadra-3D An operation with the systems of linear equations in the software framework Nadra-3D
description	Рассмотрена организация программного кода конечно-элементного решателя, позволяющая использовать различные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений без модификации модулей построения матриц и векторов СЛАУ МКЭ. Розглянута організація програмного коду скінченно-елементного розв’язувача, яка дозволяє використовувати різні алгоритми знаходження розв’язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь без модифікації модулів побудови матриць та векторів. A technology of integration of different algorithms for solving the systems of linear equations in the finite-element framework is discussed.
issn	2616-938Х
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168441
citation_txt	Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D / М.В. Белоус // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 110-121. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT belousmv rabotassistemamilineinyhalgebraičeskihuravneniivprogrammnomkarkasenadra3d AT belousmv robotazsistemamilíníinihalgebraíčnihrívnânʹuprogramnomukarkasínadra3d AT belousmv anoperationwiththesystemsoflinearequationsinthesoftwareframeworknadra3d
first_indexed	2025-11-26T11:55:34Z
last_indexed	2025-11-26T11:55:34Z
_version_	1850620499602702336
fulltext	110 Компьютерная математика. 2017, № 1 Вычислительный эксперимент Рассмотрена организация про- граммного кода конечно-элемент- ного решателя, позволяющая ис- пользовать различные алгоритмы решения систем линейных алгеб- раических уравнений без модифи- кации модулей пост-роения мат- риц и векторов СЛАУ МКЭ. М.В. Белоус, 2017 УДК 519.6 М.В. БЕЛОУС РАБОТА С СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ПРОГРАМMНОМ КАРКАСЕ NADRA-3D Введение. Вычислительные схемы решения систем дифференциальных уравнения мето- дом конечных элементов (МКЭ) сводят ис- ходную задачу к (многократному) построе- нию и численному решению систем линей- ных алгебраических уравнений (СЛАУ). При этом скорость работы программы решения СЛАУ имеет существенное влияние на ско- рость работы всего алгоритма. Механизмы ускорения вычислений в решателях СЛАУ включают максимальное использование струк- туры матрицы (ее разреженности, симмет- ричности), использование параллельных вычислений и реализацию алгоритмов для графических ускорителей. В свою очередь программа построения СЛАУ (программная реализация вычислительной схемы МКЭ) должна учитывать требования к структуре входных данных решателя СЛАУ. В Институте кибернетики имени В.М. Глуш- кова НАН Украины создан программный каркас Nadra-3D [1] – набор классов и под- программ для построения вычислительных схем МКЭ для задач моделирования про- странственных процессов изменения напря- женно-деформированного состояния, фильт- рации воды, теплопроводности. В статье рассматривается подход к органи- зации программного кода, примененный в этом программном каркасе и позволяющий использовать различные реализации алгорит- мов решения слау без модификации кода модулей построения матриц и векторов СЛАУ МКЭ. РАБОТА С СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ... Компьютерная математика. 2017, № 1 111 Базовые классы подсистемы работы с СЛАУ. Основой подсистемы работы с СЛАУ в программном каркасе Nadra-3D является следующий набор абстрактных классов: nSlaeMatrix – базовый класс для описания матриц; nSlaeVector – базовый класс для описания векторов; nSLAE – базовый класс для описания совокупности матрицы и вектора как СЛАУ; nSlaeGenerator – класс, порождающий объекты матриц, векторов и СЛАУ; nSlaeFactory – класс-фабрика, порождающий объекты-генераторы с интер- фейсом nSlaeGenerator; nSlaeSolver – базовый класс решателя СЛАУ; nSlaeSolverFactory – класс-фабрика, порождающий решатели СЛАУ. Схема работы модулей программного каркаса с матрицами и векторами показана на рис. 1 (символом * обозначены указатели на объекты). Как видно из схемы, программные модули имеют доступ только к методам, определенным интерфейсами указанных базовых классов, при этом конкретная схема исполь- зования объектами оперативной памяти и детали реализации остаются для них недоступными. РИС. 1. Схема работы программного каркаса с матрицами и векторами Все операции над матрицами и векторами, а также операции решения СЛАУ выполняются модулями программного каркаса исключительно методами М.В. БЕЛОУС 112 Компьютерная математика. 2017, № 1 базовых классов. Загрузив из файла пользовательских настроек код генератора СЛАУ или выбрав код по умолчанию в случае отсутствия настроек система передает его объекту-фабрике nSlaeFactory и получает указатель на конкретный генератор, зарегистрированный за переданным кодом, как указатель на объект класса nSlaeGenerator. Таким образом, пользователю предоставляется возможность вы- бора и настройки схемы размещения матриц и векторов в оперативной памяти посредством текстового файла (паспорта задачи). Объект-генератор поддерживает простой программный интерфейс, пред- ставленный в листинге 1, и по запросу программных модулей создает объекты, описывающие матрицы, вектора или СЛАУ, и возвращает указатели на них, как указатели на объекты классов nSlaeMatrix, nSlaeVector или nSLAE. ЛИСТИНГ 1. Интерфейс класса nSlaeGenerator class nSlaeGenerator { public: nSlaeGenerator(){} virtual ~nSlaeGenerator(){} virtual nSlaeMatrix* GetMatrix(int dim = 0, int lBhw = 0, int uBhw=0 ) = 0; virtual nSlaeVector* GetVector( int dim = 0 ) = 0; virtual nSLAE* GetSLAE( int dim = 0, int lBhw = 0, int uBhw = 0 ) = 0; virtual void SetParameters( map<string,string> &parameters ); virtual void GetParameters( map<string,string> &parameters ); virtual void SetParameters( nParametersSet &parameters ) = 0; virtual void GetParameters( nParametersSet &parameters ) = 0; int GetSlaeCode(){ return m_slaeCode; } protected: int m_slaeCode; }; На рис. 2 в качестве примера показана схема создания по запросу системы объекта, описывающего матрицу. РИС. 2. Схема создания объекта, описывающего матрицу Добавление в программный каркас новой схемы размещения матриц и век- торов в оперативной памяти выполняется путем реализации семейства потомков классов nSlaeMatrix, nSlaeVector, nSLAE, nSlaeGenerator и регистрации этого РАБОТА С СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ... Компьютерная математика. 2017, № 1 113 семейства в объекте-фабрике nSlaeFactory. Работа с матрицами и векторами. Интерфейс для работы с матрицами и векторами определен в базовых классах nSlaeMatrix и nSlaeVector. Рассмот- рим подробнее некоторые основные операции, выполняемые системой над эти- ми объектами. Операции заполнения элементов матриц и векторов. При обработке сет- ки конечных элементов на этапах построения СЛАУ, учета краевых условий второго и третьего рода объект вычислительной схемы рассчитывает поправки, которые добавляет к элементам матрицы и вектора. При этом для каждого конечного элемента вычисляется набор таких поправок (элементарная матрица либо элементарный вектор), а их количество определяется количеством узлов конечного элемента и типом решаемой задачи. Для работы с наборами этих поправок в интерфейсах базовых классов определены следующие методы: virtual void nSlaeVector::AllocateValues( int n, int N, double F ); virtual void nSlaeVector::AddValues( int n, int N, double F ); virtual void nSlaeVector::SubtractValues( int n, int N, double F ); virtual void nSlaeMatrix::AllocateFragment(int n, int N, double M ); virtual void nSlaeMatrix::AddFragment( int n, int N, double *M ); virtual void nSlaeMatrix::SubtractFragment(int n, int N, double *M ); virtual void nSlaeMatrix::AllocateValues(int n,int rowN,int colN, double M); virtual void nSlaeMatrix::AddValues(int n, int rowN, int colN, double M); virtual void nSlaeMatrix::SubtractValues(int n,int rowN,int colN, double M); Также определены операции заполнения некоторым значением отдельных строк, столбцов или диагоналей матрицы. virtual void nSlaeMatrix::FillColByValue( int N, double v ); virtual void nSlaeMatrix::FillRowByValue( int N, double v ); virtual void nSlaeMatrix::FillColAndRowByValue( int N, double v ); virtual void nSlaeMatrix::FillDiagonalByValue( int N, double v ); virtual void nSlaeMatrix::FillMatrixByValue( double v ); При использовании вышеуказанных операций следует помнить, что, напри- мер, операция FillColByValue(…) в симметричных матрицах может, кроме же- лаемого заполнение столбца, автоматически заполнять соответствующую строку для сохранения симметричности матрицы. Операции получения и замены строк и столбцов матрицы. Используют- ся при обработке условий первого рода, учета условий сопряжения. virtual bool nSlaeMatrix::GetCol( int N, nSlaeVector V ); virtual bool nSlaeMatrix::GetRow( int N, nSlaeVector V ); virtual bool nSlaeMatrix::ReplaceCol( int N, nSlaeVector V); virtual bool nSlaeMatrix::ReplaceRow( int N, nSlaeVector V ); Операции вычисления взвешенной суммы строк или столбцов матрицы. Используются, например, при учете условий первого рода. virtual bool nSlaeMatrix::AccumulateColsSum( int n, int N, double D, nSlaeVector V, bool replace_vector = false ); virtual bool nSlaeMatrix::AccumulateRowsSum( int n, int N, double D, nSlaeVector V, bool replace_vector = false ); Некоторые операции векторной и матрично-векторной алгебры. virtual bool nSlaeVector::AddVector( nSlaeVector V, double d = 1. ); virtual bool nSlaeVector::SubtractVector(nSlaeVector V, double d = 1. ); virtual bool nSlaeVector::CloneVector( nSlaeVector V, double d = 1. ); М.В. БЕЛОУС 114 Компьютерная математика. 2017, № 1 virtual void nSlaeVector::MultiplyByValue( double d ); virtual bool nSlaeVector::MultiplyByVector( nSlaeVector V, double &res ); virtual bool nSlaeMatrix::MultiplyByVector(nSlaeVector V, nSlaeVector res ); Все перечисленные операции имеют два вида сигнатур. Вышеприведенный вид с использованием интерфейсов nSlaeMatrix, nSlaeVector, а также вид с использованием для передачи и возвращения данных указателей на массив чисел с плавающей точкой. Например: virtual bool nSlaeVector::GetFullContent( int &dim, double &V ); virtual bool nSlaeVector::SetFullContent( int &dim, double &V ); virtual bool nSlaeMatrix::GetCol( int N, nSlaeVector V ); virtual bool nSlaeMatrix::GetCol( int N, int &dim, double &V ); Работа с системами линейных уравнений. В программном каркасе преду- смотрен класс nSLAE (листинг 2), описывающий совокупность матрицы и век- тора именно как систему линейных алгебраических уравнений. ЛИСТИНГ 2. Интерфейс класса nSLAE class nSLAE { public: nSLAE( int dim = 0, int lBhw = 0, int uBhw = 0 ); virtual ~nSLAE(){} virtual nSlaeMatrix GetMatrix() = 0; virtual nSlaeVector GetVector() = 0; int GetSlaeCode(){ return m_slaeCode; } protected: int m_slaeCode; }; Выделение отдельного класса для описания системы уравнений обусловле- но тем, что некоторые реализации алгоритмов решения СЛАУ могут использо- вать схемы размещения матриц и векторов в одном массиве данных. В таких случаях с точки зрения программного каркаса они представляют два различных объекта и работа с ними осуществляется через интерфейсы классов nSlaeMatrix и nSlaeVector, а с точки зрения алгоритма решения – это один объект и работа с ним осуществляется путем предоставления прямого доступа к внутренней структуре данных. На рис. 3 показаны возможные варианты различной реализации схем использования оперативной памяти, имеющие одинаковый интерфейс nSLAE. РАБОТА С СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ... Компьютерная математика. 2017, № 1 115 РИС. 3. Варианты реализации классов с интерфейсом nSLAE Экспорт матриц и векторов в файлы. Сохранение матриц и векторов в файлы осуществляется объектом класса nSlaeSaveLoad. Для каждого типа матрицы или вектора и каждого формата экспорта реализуются специализирован- ные функции сохранения данных с сигнатурами bool MatrixSaver(nSlaeMatrix, FILE, nMatrixFileFormat) и bool VectorSaver(nSlaeVector, FILE, nVectorFileFormat), которые регистрируются в этом объекте. При вызове метода bool nSlaeSaveLoad::SaveMatrixToFile(nSlaeMatrix, FILE, nMatr ixFileFormat) для сохранения матрицы или bool nSlaeSaveLoad::SaveVectorToFile(nSlaeVector, FILE, nVect orFileFormat) для сохранения вектора, объект nSlaeSaveLoad запрашивает у полученных объектов идентификатор m_slaeCode и ищет в реестре соответст- вующую функцию сохранения данных. Если она существует, выполняется сохранение данных, в противном случае – в подсистему вывода сообщений передается сообщение об ошибке. Решение СЛАУ. Базовым объектом для решателей СЛАУ является объект nSlaeSolver, интерфейс которого приведен в листинге 3. ЛИСТИНГ 3. Интерфейс класса nSlaeSolver class nSlaeSolver { public: nSlaeSolver(); virtual ~nSlaeSolver(); virtual bool Solve( nSlaeMatrix A, nSlaeVector B, nSlaeVector X ) = 0; virtual void SetParameters( map<string,string> &parameters ); virtual void GetParameters( map<string,string> &parameters ); virtual void SetParameters( nParametersSet &parametersSet ) = 0; virtual void GetParameters( nParametersSet &parametersSet ) = 0; nSlaeSolverCode GetSolverCode(){ return m_solverCode; } protected: nSlaeSolverCode m_solverCode; }; М.В. БЕЛОУС 116 Компьютерная математика. 2017, № 1 Каждый наследник этого класса реализует некоторый алгоритм решения СЛАУ и предназначен для работы с матрицами и векторами, хранящимися в оперативной памяти в некотором специализированном формате. То есть объект- решатель СЛАУ может работать не со всеми переданными ему объектами nSlaeMatrix и nSlaeVector, а только с поддерживающими требуемый алгоритмом формат размещения в оперативной памяти. Объект nSlaeSolver определяет свою совместимость с полученными матрицей и вектором сравнением их идентифи- каторов m_slaeCode и собственного идентификатора m_solverCode. В случае совместимости данных и алгоритма запускается процедура реше- ния, при этом алгоритму предоставляется прямой доступ к внутренней структу- ре данных матрицы и вектора (рис. 4), необходимый для эффективной реализа- ции параллельных вычислений. РИС. 4. Схема взаимодействия алгоритма решения и схемы хранения СЛАУ в оперативной памяти Для одной схемы размещения СЛАУ в оперативной памяти возможна реа- лизация нескольких алгоритмов решения или реализация несколько версий одного алгоритма. Пользователю предоставляется возможность выбора и кон- фигурации используемого решателя СЛАУ в файле настроек. Создание системой объекта-решателя, реализующего указанный пользова- телем алгоритм, выполняется объектом-фабрикой класса nSlaeSolverFactory по запросу с выбранным кодом решателя. Программному каркасу возвращается указатель на созданный решатель как указатель на объект класса nSlaeSolver. На рис. 5 показана схема взаимодействия модулей программного каркаса и подсистемы решения СЛАУ. РАБОТА С СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ... Компьютерная математика. 2017, № 1 117 РИС. 5. Схема взаимодействия модулей программного каркаса и подсистемы решения СЛАУ Добавление в программный каркас нового решателя СЛАУ выполняется пу- тем реализации соответствующего потомка класса nSlaeSolver и регистрации его в объекте класса nSlaeSolverFactory. С использованием описанного подхода в программный каркас Nadra-3D интегрированы несколько решателей СЛАУ. Далее приведены их краткие ха- рактеристики. Программа решения СЛАУ с симметричной положительно определен- ной матрицей ленточной структуры. В программный каркас интегрирована созданная в Институте кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины про- грамма решения СЛАУ с симметричной положительно определенной матрицей ленточной структуры методом LDLT разложения [2]. Эта программа использует столбцово-слоистую схему размещения СЛАУ в оперативной памяти вычисли- тельного комплекса, причем используемая структура данных является общей для хранения матрицы, вектора правой части и промежуточных результатов ра- боты алгоритма. В структуре хранится нижняя половина симметричной матри- цы по столбцам. В процессоре с номером p хранятся столбцы матрицы с номе- рами s·(p + j)…s·(p + j + 1), где s – размер блока, определенный пользователем, j = 0…J, J = N / (s·P), N – размерность матрицы, P – количество процессоров. Работа с этой структурой реализована в наборе классов nSlaeSbrb, nSlaeVectorSbrb, nSlaeVectorSbrbShared, nSlaeMatrixSbrb, nSlaeMatrixSbrbShared, предоставляющих интерфейсы nSlae, nSlaeVector, nSlaeMatrix. Поскольку структура данных является общей для хранения матри- цы и вектора правой части, понадобилась реализация двух семейств классов nSlaeSbrb и nSlaeSbrbShared – соответственно для матрицы и вектора, храня- щихся в разных массивах данных и в одном массиве данных. Решение СЛАУ выполняется в два этапа – LDLT факторизация матрицы и нахождение решения полученной треугольной системы. При этом основное время работы алгоритма занимает факторизация матрицы. Если систему необходимо решать многократ- М.В. БЕЛОУС 118 Компьютерная математика. 2017, № 1 но и при этом матрица не меняется, то факторизацию необходимо выполнить только один раз. Поскольку после этого этапа на месте исходной матрицы хра- нится факторизированная матрица, то перед запуском алгоритма необходимо сохранить в кэш столбцы исходной матрицы, которые понадобятся для учета краевых условий первого рода. Алгоритм предназначен для работы с матрицами ленточной структуры, ориентирован на системы с распределенной памятью и имеет довольно сложную внутреннюю структуру хранения СЛАУ. Рекомендуе- мое соотношение полуширины ленты матрицы, количества процессоров и раз- мера блока выражается формулой [2] s·Р2  m, где m – полуширина ленты матрицы. При использовании алгоритма для систем с матрицами, не удовлетворяю- щими этому соотношению, время расчетов значительно увеличивается за счет роста количества операций пересылки данных между процессорами и простоя части процессоров в ожидании данных. Кроме того, значительно увеличиваются требования к объему оперативной памяти. В табл. 1 представлены оценки необ- ходимой оперативной памяти при использовании симметричной ленточной схемы хранения матрицы для расчетной сетки тетраэдральных конечных элементов с линейными (в таблице обозначены как сетки класса L) и квадратич- ными (сетки класса Q) функциями формы при моделировании фильтрации воды. ТАБЛИЦА 1 Класс сетки Количество узлов Максимальная разница номеров узлов Количество конечных элементов Оценка объема оперативной памяти L4 9 282 459 48 120 32 Mb Q4 9 009 970 5 820 66.7 Mb L4.5 69 044 1 704 384 720 898 Mb Q4.5 69 085 4 345 48 120 2.2 Gb L5.5 416 683 5 898 2 390 880 18.5 Gb Q5.5 532 413 15 110 384 720 60 Gb L6 1 026 463 10 228 5 977 200 78.3 Gb Q6 1 012 121 20 400 736 500 154 Gb Решатель DSS (Direct Sparse Solver) для разреженных матриц из биб- лиотеки Intel MKL. Предоставляет простой программный интерфейс для нахождения решения СЛАУ [3]. Схема решения, как в вышеописанной про- грамме для СЛАУ с ленточными матрицами, состоит из шагов, типичная последовательность выполнения которых показана на рис. 6. РАБОТА С СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ... Компьютерная математика. 2017, № 1 119 РИС. 6. Этапы решения СЛАУ Решатель DSS предполагает использование формата CSR (Compressed Sparse Row) для хранения матрицы СЛАУ в оперативной памяти. В формате CSR хранятся только ненулевые элементы матрицы, для чего используются три массива данных: values – массив чисел с плавающей точкой для хранения элементов матрицы по строкам; columns – целочисленный массив для хранения номеров столбцов, i-й элемент массива содержит номер столбца для i-го элемента values; rowIndex – целочисленный массив для хранения индек- сов начала строк, j-й элемент этого массива содержит номер элемента в массиве values, который является первым ненулевым элементом в j-й строке матрицы. Этот формат неудобен на этапе порождения СЛАУ МКЭ, поскольку струк- тура ненулевых элементов матрицы тогда еще неизвестна. Поэтому вместо на- бора классов для схемы CSR в программном каркасе Nadra-3D реализованы классы nSlaeVectorSparse, nSlaeMatrixSparse, nSlaeSparse для работы с разре- женными матрицами в координатном формате, позволяющие выполнять конвертацию внутренних данных в формат CSR перед вызовом решателя DSS. На разных этапах порождения СЛАУ оптимальными для уменьшения вычис- лительных затрат являются различные схемы внутреннего хранения элементов матрицы в объектах семейства nSlaeSparse – по строкам или по столбцам, поэтому предусмотрена возможность динамической перестройки внутренней структуры в соответствии с «подсказками», передаваемыми вычислительной схемой. Как и семейство nSlaeSbrb, семейство nSlaeSparse является потомками nSlae. Решатели СЛАУ в виде отдельных исполняемых файлов. Для работы с решателями СЛАУ, представленными в виде отдельных исполняемых файлов, в программном каркасе Nadra-3D реализован класс nSlaeSolverExternal. Получив матрицу и вектор СЛАУ как указатели на объекты nSlaeMatrix А и nSlaeVector В, этот класс использует методы класса nSlaeSaveLoad для экспор- та матрицы и вектора в файлы, после чего генерирует загруженный из файла на- строек системный вызов для командной строки с параметрами внешней програм- мы решателя и ждет завершения работы этой программы. После завершения рабо- ты внешнего решателя СЛАУ выполняется загрузка найденных решений из файла в вектор nSlaeVector X с помощью методов класса nSlaeSaveLoad. Поскольку операции экспорта данных в файлы должны быть реализованы для всех потомков базовых классов матриц и векторов, использовать внешние решатели возможно со всеми поддерживаемыми системой схемами размещения СЛАУ в оперативной памяти. К внешней программе-решателю СЛАУ предъяв- М.В. БЕЛОУС 120 Компьютерная математика. 2017, № 1 ляется требование уметь импортировать данные из указанного формата. С использованием интерфейса вызова внешних решателей СЛАУ в каркасе Nadra-3D организована работа с созданными в Институте кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины программами решения СЛАУ с ленточными [4] и разреженными [5] положительно определенными матрицами на компьютерах гибридной архитектуры (на основе многоядерных CPU и GPU). При решении трехмерных задач методом конечных элементов целесообраз- ней использовать разреженную схему хранения и алгоритмы решения СЛАУ, ориентированные на ее использование. В табл. 2 приведено сравнение времени работы алгоритмов [2, 5] на вычислительном комплексе Inparcom. ТАБЛИЦА 2 Параметры СЛАУ dim x bhw Время работы алгоритма [2] Время работы алгоритма [5] 69 044 x 1 704 17 сек 4.75 сек. 69 085 x 4 345 1 мин. 39 сек. 7.82 сек. 416 683 x 5 898 19 мин. 43 сек. 1 мин. 29 сек. 532 413 x 15 110 3 мин. 21 сек. 1 026 463 x 10 228 9 мин. 10 сек. 1 012 121 x 20 400 16 мин. Выводы. Рассмотренный подход к работе с системами линейных алгебраи- ческих уравнений обеспечивает гибкую настройку решателя СЛАУ в составе пакета конечно-элементного моделирования в зависимости от имеющихся биб- лиотек и технических характеристик вычислительного комплекса. Использова- ние четко определенных программных интерфейсов для классов, описывающих элементы СЛАУ, позволяет разделить программную реализацию вычислитель- ных схем метода конечных элементов и программную реализацию алгоритмов решения СЛАУ (с учетом различных специализированных схем использования оперативной памяти). Это предоставляет возможность независимого развития указанных подсистем. М.В. Білоус РОБОТА З СИСТЕМАМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ У ПРОГРАМНОМУ КАРКАСІ NADRA-3D Розглянута організація програмного коду скінченно-елементного розв’язувача, яка дозволяє використовувати різні алгоритми знаходження розв’язків систем лінійних алгебраїчних рів- нянь без модифікації модулів побудови матриць та векторів. M.V. Bilous AN OPERATION WITH THE SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS IN THE SOFTWARE FRAMEWORK NADRA-3D A technology of integration of different algorithms for solving the systems of linear equations in the finite-element framework is discussed. РАБОТА С СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ... Компьютерная математика. 2017, № 1 121 1. Белоус М.В. Конечно-элементный решатель Надра-3D. Материалы II Международной конференции Кластерные вычисления. Львов, 3 – 5 июня 2013. C. 40 – 47. 2. Попов А.В., Химич А.Н. Параллельный алгоритм решения системы линейных алгебраиче- ских уравнений с ленточной симметричной матрицей. Компьютерная математика. 2005. № 2. С. 52 – 59. 3. https://software.intel.com/en-us/node/521696 4. Баранов А.Ю., Белоус М.В., Сергиенко И.В., Химич А.Н. Гибридные алгоритмы решения линейных систем для конечно-элементного моделирования процессов фильтрации. Ки- бернетика и системный анализ. 2015. Том 51, № 4. С. 112 – 120. 5. Хіміч О.М., Сидорук В.А. Плитковий гібридний алгоритм факторизації розріджених блочно-діагональних матриць з обрамленням. Компьютерная математика. 2016. № 1. С. 72 – 79. Получено 28.04.2017 Об авторе: Белоус Максим Викторович, кандидат физико-математических наук Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.

Работа с системами линейных алгебраических уравнений в программном каркасе Nadra-3D

Institution

Similar Items