Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала
Для точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала, которая сводится к задаче нахождения максимального независимого множества вершин графа, предложен алгоритм ветвей и границ. Предложенный способ ветвления с использованием специфики рассматриваемых графов...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168447 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала / В.П. Шило, В.А. Рощин, Д.А. Боярчук, П.В. Шило // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 158-164. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168447 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шило, В.П. Рощин, В.А. Боярчук, Д.А. Шило, П.В. 2020-05-02T15:23:03Z 2020-05-02T15:23:03Z 2017 Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала / В.П. Шило, В.А. Рощин, Д.А. Боярчук, П.В. Шило // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 158-164. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 2616-938Х https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168447 519.854 Для точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала, которая сводится к задаче нахождения максимального независимого множества вершин графа, предложен алгоритм ветвей и границ. Предложенный способ ветвления с использованием специфики рассматриваемых графов дает возможность резко сократить объем вычислений в разработанном алгоритме. Для точного розв’язання задачі побудови завадозахищеного коду максимального об’єму для Z-каналу, яка зводиться до задачі знаходження максимальної незалежної множини вершин графу, запропоновано алгоритм гілок і меж. Запропонований спосіб розгалуження з використанням специфіки розглянутих графів дає можливість суттєво зменшити об’єм обчислень у розробленому алгоритмі. Branch and bound algorithm for exact solving the problem of construction of error-correcting codes for Z-channel, which can be transformed into maximum independent set problem, is proposed. The proposed branching technique using the specificity of the graphs being considered provides a significant reduction of calculations in the developed algorithm. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Теория и методы оптимизации Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала Алгоритм точного розв’язання задачі побудови завадозахищеного коду максимального об’єму для Z-каналу Exact algorithm for finding the largest correcting codes problem for Z-channel Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала |
| spellingShingle |
Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала Шило, В.П. Рощин, В.А. Боярчук, Д.А. Шило, П.В. Теория и методы оптимизации |
| title_short |
Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала |
| title_full |
Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала |
| title_fullStr |
Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала |
| title_full_unstemmed |
Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала |
| title_sort |
алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для z-канала |
| author |
Шило, В.П. Рощин, В.А. Боярчук, Д.А. Шило, П.В. |
| author_facet |
Шило, В.П. Рощин, В.А. Боярчук, Д.А. Шило, П.В. |
| topic |
Теория и методы оптимизации |
| topic_facet |
Теория и методы оптимизации |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Алгоритм точного розв’язання задачі побудови завадозахищеного коду максимального об’єму для Z-каналу Exact algorithm for finding the largest correcting codes problem for Z-channel |
| description |
Для точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала, которая сводится к задаче нахождения максимального независимого множества вершин графа, предложен алгоритм ветвей и границ. Предложенный способ ветвления с использованием специфики рассматриваемых графов дает возможность резко сократить объем вычислений в разработанном алгоритме.
Для точного розв’язання задачі побудови завадозахищеного коду максимального об’єму для Z-каналу, яка зводиться до задачі знаходження максимальної незалежної множини вершин графу, запропоновано алгоритм гілок і меж. Запропонований спосіб розгалуження з використанням специфіки розглянутих графів дає можливість суттєво зменшити об’єм обчислень у розробленому алгоритмі.
Branch and bound algorithm for exact solving the problem of construction of error-correcting codes for Z-channel, which can be transformed into maximum independent set problem, is proposed. The proposed branching technique using the specificity of the graphs being considered provides a significant reduction of calculations in the developed algorithm.
|
| issn |
2616-938Х |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168447 |
| citation_txt |
Алгоритм точного решения задачи построения помехозащищенного кода максимального объема для Z-канала / В.П. Шило, В.А. Рощин, Д.А. Боярчук, П.В. Шило // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 158-164. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šilovp algoritmtočnogorešeniâzadačipostroeniâpomehozaŝiŝennogokodamaksimalʹnogoobʺemadlâzkanala AT roŝinva algoritmtočnogorešeniâzadačipostroeniâpomehozaŝiŝennogokodamaksimalʹnogoobʺemadlâzkanala AT boârčukda algoritmtočnogorešeniâzadačipostroeniâpomehozaŝiŝennogokodamaksimalʹnogoobʺemadlâzkanala AT šilopv algoritmtočnogorešeniâzadačipostroeniâpomehozaŝiŝennogokodamaksimalʹnogoobʺemadlâzkanala AT šilovp algoritmtočnogorozvâzannâzadačípobudovizavadozahiŝenogokodumaksimalʹnogoobêmudlâzkanalu AT roŝinva algoritmtočnogorozvâzannâzadačípobudovizavadozahiŝenogokodumaksimalʹnogoobêmudlâzkanalu AT boârčukda algoritmtočnogorozvâzannâzadačípobudovizavadozahiŝenogokodumaksimalʹnogoobêmudlâzkanalu AT šilopv algoritmtočnogorozvâzannâzadačípobudovizavadozahiŝenogokodumaksimalʹnogoobêmudlâzkanalu AT šilovp exactalgorithmforfindingthelargestcorrectingcodesproblemforzchannel AT roŝinva exactalgorithmforfindingthelargestcorrectingcodesproblemforzchannel AT boârčukda exactalgorithmforfindingthelargestcorrectingcodesproblemforzchannel AT šilopv exactalgorithmforfindingthelargestcorrectingcodesproblemforzchannel |
| first_indexed |
2025-11-25T23:10:31Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:10:31Z |
| _version_ |
1850576536734793728 |
| fulltext |
158 Компьютерная математика. 2017, № 1
Для точного решения задачи по-
строения помехозащищенного ко-
да максимального объема для
Z-канала, которая сводится к за-
даче нахождения максимального
независимого множества вершин
графа, предложен алгоритм вет-
вей и границ. Предложенный спо-
соб ветвления с использованием
специфики рассматриваемых гра-
фов дает возможность резко со-
кратить объем вычислений в раз-
работанном алгоритме.
В.П. Шило, В.А. Рощин,
Д.А. Боярчук, П.В. Шило, 2017
УДК 519.854
В.П. ШИЛО, В.А. РОЩИН, Д.А. БОЯРЧУК, П.В. ШИЛО
АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ
ПОМЕХОЗАЩИЩЕННОГО КОДА
МАКСИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА
ДЛЯ Z-КАНАЛА
Введение. Интерес к задачам получения на-
дежных кодов, позволяющих корректировать
искажения информации при ее передаче, вы-
зван развитием современных средств связи,
Интернета, различных компьютерных техно-
логий. Нередко при исследовании проблем
теории кодирования возникают задачи, ма-
тематические модели которых описываются
в терминах дискретного программирования.
Такими являются, например, задачи построе-
ния помехозащищенных кодов, нахождения
оценок их объема.
Постановка задачи. Пусть nB множе-
ство n-мерных векторов x = ( 1x , …, nx ), ко-
ординаты которых принимают значения 0
или 1. Двоичным кодом С называется произ-
вольное подмножество множества nB , под
объемом |C| кода подразумевается мощность
этого подмножества. Число n будем называть
длиной кода.
Предположим, что вектор ix nB из-за
ошибок при передаче информации может пе-
реходить в один из элементов произвольного
множества R( ix ), i = 1, …, 2n .
Двоичный код nC B называется поме-
хозащищенным, если для любых x, y ,nB
x y, выполняется условие (R(x) {x})
(R(y) {y}) =.
АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННОГО КОДА …
Компьютерная математика. 2017, № 1 159
Задача построения помехозащищенного кода максимального объема сво-
дится к задаче нахождения максимального независимого множества вершин
графа [1]. Подмножество I V вершин графа ( , )G V E называется независимым,
если никакие две его вершины не связаны ребром. Независимое множество
maxI называется максимальным независимым, если для любого независимого
множества I выполняется соотношение maxI I .
Лексикографически упорядочим векторы nx B по возрастанию:
1 2(0,...,0) ... (1,...1), 2 .k nx x x k Тем самым определим взаимно-
однозначное преобразование подмножества 1,...,2n множества натуральных
чисел в векторы nx B : ( ) , 1,...,2 .i ni x i Определим граф ( , )G V E следую-
щим образом. Предположим, что множество V вершин графа состоит из
2n вершин и ребро ( iv , jv ) E тогда и только тогда, когда
( ( ( )) ( ) ) ( ( ( )) ( ) )i i j jR v v R v v . Если найдено независимое
множество I в ( , )G V E , то очевидно, что тем самым построен помехозащищен-
ный код С. Он состоит из двоичных векторов, соответствующих вершинам
независимого множества I : { ( ) : }C v v I .
Обозначим (G) число элементов в максимальном независимом множест-
ве maxI ( (G) = maxI ). Задачу нахождения максимального независимого
множества вершин графа можно сформулировать как задачу целочисленного
программирования с булевыми переменными. Поставим в соответствие каж-
дой вершине jv V заданного графа ( , )G V E переменную {0,1}jx , j = 1,…, k,
а произвольному вектору х = 1( ,..., )kx x множество ( ) { : 1,j jI x v V x
1,..., }.j k Тогда математическая модель задачи нахождения максимального
независимого множества вершин графа описывается таким образом: найти
1 :( , )
max ( ) (1 ) :
i j
k
k
i j
i j v v E
f x x x x B
. (1)
Если множество I (x) независимое, то значение целевой функции f (x) рав-
но количеству его элементов.
Использование специфики графов. Предположим, что P множество всех
перестановок 1( ,..., )np p p целых чисел от 1 до n. Для произвольной переста-
новки p P рассмотрим следующие преобразования n nB B :
11( ,..., ) ( ,..., )
nn p px x x y x x , (2)
11( ,..., ) ( ,..., )
nn p px x x y x x . (3)
Множество всех таких преобразований обозначим Ψ, |Ψ| = 2n!.
В.П. ШИЛО, В.А. РОЩИН, Д.А. БОЯРЧУК, П.В. ШИЛО
Компьютерная математика. 2017, № 1160
Определение. Преобразование ψΨ будем называть правильным, если
из условия ( iv , jv )E следует, что ( 1 (ψ (( iv ))), 1 (ψ (( jv ))))E.
В дальнейшем для простоты изложения вместо 1 v будем ис-
пользовать запись v . Обозначим Q – множество всех правильных преобра-
зований. Пусть I(v) – независимое множество, в которое входит вершина vV.
Обозначим (G,v) – число элементов в максимальном независимом множестве
maxI (v) ((G,v) =| maxI (v)|).
Справедлива теорема [2].
Теорема 1. Пусть ψ Q. Тогда имеет место неравенство (G, v)
(G, v ).
Предположим, что ψ C. Тогда справедливо неравенство (G, v)
,G v .
Для произвольной вершины vV рассмотрим множество вершин графа
M (v) = {uV : u = v , C }. Из теоремы 1 следует, что если (G, v) k,
то тем самым установлено, что (G, u) k, u M (v).
Для произвольного двоичного вектора x определим величину
1
( )
n
j
j
w x x
– его вес. Вес вершины v определим как вес вектора ( )v : ( )w v w y ,
y nB .
Имеет место
Лемма 1. Для любой пары вершин iv , jv V выполняется соотношение
( ) – ( )i jw v w v = ( ( )) – ( ( ))i jw v w v .
Доказательство. В случае, если преобразование ψ относится к типу (2),
то очевидно, что ( ( )) ( ( ( )))w x w x для любого xV, а если к типу (3),
то ( ( ))w x = ( ( ( )))n w x для любого xV. Это и доказывает справедливость
леммы.
Для практики особый интерес представляют помехозащищенные коды для
Z-канала, схема которого показана на рисунке. Z-канал – это асимметрический
двоичный канал. При передаче информации в нем вероятность ошибки пере-
хода 1 в 0 равна p, а вероятность ошибки перехода 0 в 1 равна 0.
В работе [3] введено асимметрическое расстояние ( , )Ad x y = max ( N(x, y),
N(y, x) ) между векторами x, y nB , где i( , ) : 0 1iN x y i x y .
АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННОГО КОДА …
Компьютерная математика. 2017, № 1 161
Оно связано с расстоянием по Хеммингу ( , )Hd x y =
1
n
i i
i
x y
=
= N (x, y) + N (y, x) следующим соотношением:
2 ( , )Ad x y = ( , )Hd x y + w(x)w(y) . (4)
1
p
1 p
РИСУНОК. Cхема Z-канала
Для кода С nB определим минимальное асимметрическое расстояние
min ( , ) : , ,Ad x y x y C x y .
Доказано [3], что код C с минимальным асимметрическим расстоянием может
корректировать не более ( – 1) асимметрических ошибок (переходов 1 в 0).
Далее будем рассматривать коды с минимальным асимметрическим расстоя-
нием = 2.
Пусть в графе G (V, E) ребро ( iv , jv )E, i, j=1,...n, тогда и только тогда,
когда ( ( ), ( ))A i jd v v .
Справедливы следующие утверждения [2]
Лемма 2. Если любая пара вершин iv , jv V, то для нее имеет место соот-
ношение ( ( ), ( )) ( ( ( )), ( ( )))A i j A i jd v v d v v .
Из леммы 2 следует, что для графа 1zc все преобразования ψΨ правиль-
ные. Вершины x, yV назовем эквивалентными, если (G, x) = (G, y).
Теорема 2. Пусть произвольные вершины iv , jv V, такие, что
w ( iv ) = w ( jv ) или w ( iv ) + w( jv ) = n. Тогда они эквивалентны в графе 1 2nzc .
Изучим структуру графа 1 2nzc . Из равенства (4) следует, что вершины
iv , jv V связаны ребром, если выполняется неравенство
( ( ), ( )) ( ( )) ( ( )) 2H i j i jd v v w v w v . (5)
Из соотношения (5) следует лемма.
1
0
1
0
В.П. ШИЛО, В.А. РОЩИН, Д.А. БОЯРЧУК, П.В. ШИЛО
Компьютерная математика. 2017, № 1162
Лемма 3. В графе 1 2nzc могут быть связаны ребром только те вершины,
абсолютная величина разности весов которых не превосходит 1.
Для каждой вершины iv V определим вершину iv : ( ),i ix v v
1( ), : 1 , , 1,...,j jy y y x i j n . Легко видеть, что справедлива
Лемма 4. В любом графе 1 2nzc не существует ребер ( iv , iv ), .iv V
Доказательство леммы следует из соотношения (5) и способа определения
вершины iv .
Покажем, что имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Пусть , , , 1,...,i jv v V i j n . Тогда:
1) если ребро , /i jv v E , то и ребро , /i jv v E ;
2) если ребро ,i jv v E , то ребро ,i jv v E .
Доказательство. Первая часть утверждения следствие леммы 2. Если
,i jv v E , то ( ( ), ( ))H i jd v v =1 и, следовательно, ( ( ), ( )) 1H i jd v v n ,
( , ) / 2Ad x y n .
Правильное преобразование ψΨ называется совершенным, если выполня-
ются условия:
1) ( )i iv v , ( )i iv v ;
2) ребро , ( ) ,i i iv v E v V ;
3) если ребро , /i jv v E , то и ребро ( ), ( ) /i jv v E ;
4) если ребро ,i jv v E , то ребро , ( )i jv v E .
Очевидно, что множество совершенных преобразований не пусто, так как
в него входят преобразования, переводящие вершины iv V графа в iv .
Пусть ψΨ совершенное преобразование.
Рассмотрим следующий алгоритм преобразования множества.
Шаг 1. Предположим, что S некоторое подмножество множества V
вершин графа. Полагаем r = 0.
Шаг 2. Из множества S выбираем произвольную вершину
riv и вершину
( )
riv . Если это невозможно, алгоритм заканчивает работу.
Шаг 3. Удаляем из множества S вершины
riv , ( )
riv и все вершины, связан-
ные с ними ребром.
Шаг 4. Если множество S не пусто, полагаем r = r + 1 и переходим на
шаг 2. В противном случае алгоритм заканчивает работу.
Назовем множество S разложимым, если алгоритм заканчивает его рассмот-
рение на шаге 4. Легко показать, что имеет место следующая теорема.
АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННОГО КОДА …
Компьютерная математика. 2017, № 1 163
Теорема 4. Множество S, состоящее из всех вершин графа 1 2 ,nzc разло-
жимо. Пары (
riv , ( )
riv ), r = 1,…,R, полученные в результате работы алгоритма,
образуют независимое множество.
Вышеприведенные утверждения дают основания для существенного
уменьшения числа узлов (кандидатов) для ветвления в предлагаемом точном
алгоритме ветвей и границ, базирующийся на использовании неявного перебора
пар вершин , ( )i iv v графа. Если выбрана какая-то пара , ( )v v , то все вер-
шины, соединенные с ней ребром, удаляются из рассматриваемого графа.
Алгоритм
Шаг 1. Инициализация. l = 0, lV = V, lE = E, lmis = 0. По некоторому прави-
лу выбираем совершенное преобразование ψΨ и набор пар , ( ) ,
r rl i iP v v
, ( ) , 1,...,
r r l li iv v V r q , обладающий свойством ( \ ) _l l lEst V P l mis mis (Est()
– функция оценки) lp = 0.
Шаг 2. Ветвление l-го уровня. 1l lV V , 1l lE E . Из графа G( 1lV , 1lE )
удаляем вершины , ( )
r ri iv v , r = 1,..., lp . Полагаем lp = lp + 1 и выбираем пару
, ( )
p pl li iv v . Из графа G( 1lV , 1lE ) удаляем вершины, связанные ребром
с вершинами пары , ( )
p pl li iv v , и вершины этой пары (если 1lv V
и 1( , )
pli lv v E или 1( , ( ))
pl liv v E , вершина v удаляется).
Шаг 3. Оценка l-го уровня. 1 2l lmis mis . Если 1_ ll mis mis , полагаем
1_ ll mis mis . Если 1 1( ) _ ,l lEst V l mis mis переходим на шаг 4. Иначе пола-
гаем l = l + 1 и переходим на шаг 2.
Шаг 4. Если ,l lp q переходим на шаг 2. Иначе полагаем l = l 1 и при l 0
переходим на шаг 2. Иначе останов.
Интересным является свойство графов 1 2nzc . В них переменные, соответст-
вующие вершинам с весом n/2 (при четном n) или переменные, соответствую-
щие вершинам с весом (n 1)/2 и 1 + (n 1)/2 (при нечетном n), связывающие
в задаче (1). То есть, если задать им какие-то значения, то задача (1) распадается
на две независимые симметрические подзадачи вида (1) с переменными, со-
ответствующими вершинам с весом, меньшим n/2((n 1)/2) и переменными,
соответствующими вершинам с весом, большим n/2(1 + (n 1)/2).
Имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Алгоритм ветвей и границ, основанный на использовании неяв-
ного перебора пар вершин, успешно заканчивает работу и находит в графе 1 2nzc
замкнутое к включению независимое множество вершин с мощностью, равной
четному числу.
Справедливость теоремы следует из вышеприведенных утверждений.
В.П. ШИЛО, В.А. РОЩИН, Д.А. БОЯРЧУК, П.В. ШИЛО
Компьютерная математика. 2017, № 1164
Выводы. Предложенный в данной работе способ неявного перебора пар
вершин использует специфику рассматриваемых графов и позволяет намного
уменьшить объем вычислений в разработанном алгоритме ветвей и границ.
С помощью программной реализации этого алгоритма на PC Intel CoreTM
i7-3770 CPU 3.40 GHz и 8.0GB RAM за 1757 минут улучшена верхняя оценка
для графа 1zc1024 c 117 до 113 (при известном решении 112).
В.П. Шило, В.О. Рощин, Д.О. Боярчук, П.В. Шило
АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ ПОБУДОВИ ЗАВАДОЗАХИЩЕНОГО КОДУ
МАКСИМАЛЬНОГО ОБ’ЄМУ ДЛЯ Z-КАНАЛУ
Для точного розв’язання задачі побудови завадозахищеного коду максимального об’єму для
Z-каналу, яка зводиться до задачі знаходження максимальної незалежної множини вершин
графу, запропоновано алгоритм гілок і меж. Запропонований спосіб розгалуження
з використанням специфіки розглянутих графів дає можливість суттєво зменшити об’єм
обчислень у розробленому алгоритмі.
V.P. Shylo, V.A. Roshchyn, D.A. Boyarchuk, P.V. Shylo
EXACT ALGORITHM FOR FINDING THE LARGEST CORRECTING CODES PROBLEM
FOR Z-CHANNEL
Branch and bound algorithm for exact solving the problem of construction of error-correcting codes
for Z-channel, which can be transformed into maximum independent set problem, is proposed.
The proposed branching technique using the specificity of the graphs being considered provides a
significant reduction of calculations in the developed algorithm.
1. Сергиенко И.В., Шило В.П. Задачи дискретной оптимизации: проблемы, методы реше-
ния, исследования. Киев: Наук. думка, 2003. 264 с.
2. Шило В.П. Точное решение задачи построения помехозащищенного кода максимально-
го объема. Компьютерная математика. Киев: Ин-т кибернетики имени В.М. Глушкова
НАН Украины, 2005. № 2. C. 147 – 156.
3. Rao T.R.N., Chawla A.S. Asymmetric error codes for some LSI semiconductor memories.
Southeastern Symp. System Theory. 1975. P. 170 – 171.
Получено 03.05.2017
Об авторах:
Шило Владимир Петрович,
доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Е-mail: v.shylo@gmail.com
Рощин Валентина Алексеевна,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Е-mail: v.roshin@gmail.com
Боярчук Дмитрий Алексеевич,
научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Е-mail: dopt135@gmail.com
Шило Петр Владимирович,
младший научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
Е-mail: petershylo@gmail.com
|