Арифметика нечітких чисел
Запропонована модель подання підмножини нечітких чисел типу L-P, яка суттєво спрощує виконання арифметичних операцій над такими числами. Предложена модель представления подмножества нечетких чисел типа L-P, которая существенно упрощает выполнение арифметических операций над такими числами. A model f...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Datum: | 2017 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168457 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Арифметика нечітких чисел / О.О. Провотар // Компьютерная математика. — 2017. — № 2. — С. 72-77. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168457 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Провотар, О.О. 2020-05-02T18:46:28Z 2020-05-02T18:46:28Z 2017 Арифметика нечітких чисел / О.О. Провотар // Компьютерная математика. — 2017. — № 2. — С. 72-77. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 2616-938Х https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168457 681.3 Запропонована модель подання підмножини нечітких чисел типу L-P, яка суттєво спрощує виконання арифметичних операцій над такими числами. Предложена модель представления подмножества нечетких чисел типа L-P, которая существенно упрощает выполнение арифметических операций над такими числами. A model for subset of fuzzy numbers of L-P type presentation that significantly simplifies the arithmetic operations on such numbers is proposed. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Оптимизация вычислений Арифметика нечітких чисел Арифметика нечетких чисел Arithmetics of fuzzy numbers Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Арифметика нечітких чисел |
| spellingShingle |
Арифметика нечітких чисел Провотар, О.О. Оптимизация вычислений |
| title_short |
Арифметика нечітких чисел |
| title_full |
Арифметика нечітких чисел |
| title_fullStr |
Арифметика нечітких чисел |
| title_full_unstemmed |
Арифметика нечітких чисел |
| title_sort |
арифметика нечітких чисел |
| author |
Провотар, О.О. |
| author_facet |
Провотар, О.О. |
| topic |
Оптимизация вычислений |
| topic_facet |
Оптимизация вычислений |
| publishDate |
2017 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Арифметика нечетких чисел Arithmetics of fuzzy numbers |
| description |
Запропонована модель подання підмножини нечітких чисел типу L-P, яка суттєво спрощує виконання арифметичних операцій над такими числами.
Предложена модель представления подмножества нечетких чисел типа L-P, которая существенно упрощает выполнение арифметических операций над такими числами.
A model for subset of fuzzy numbers of L-P type presentation that significantly simplifies the arithmetic operations on such numbers is proposed.
|
| issn |
2616-938Х |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168457 |
| citation_txt |
Арифметика нечітких чисел / О.О. Провотар // Компьютерная математика. — 2017. — № 2. — С. 72-77. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT provotaroo arifmetikanečítkihčisel AT provotaroo arifmetikanečetkihčisel AT provotaroo arithmeticsoffuzzynumbers |
| first_indexed |
2025-11-25T19:23:24Z |
| last_indexed |
2025-11-25T19:23:24Z |
| _version_ |
1850521936001499136 |
| fulltext |
72 Компьютерная математика. 2017, № 2
Запропонована модель подання
підмножини нечітких чисел типу
L-P, яка суттєво спрощує вико-
нання арифметичних операцій над
такими числами.
О.О. Провотар, 2017
УДК 681.3
О.О. ПРОВОТАР
АРИФМЕТИКА НЕЧІТКИХ ЧИСЕЛ
Вступ. Теоретико-ймовірнісні методи широ-
ко й успішно використовуються в наукових
дослідженнях для моделювання у термінах
випадковості багатьох аспектів невизначено-
сті. Разом з тим, теоретико-ймовірнісні мето-
ди виявилися не досить ефективними при
моделюванні складних фізичних, соціальних
і економічних систем. Цим пояснюється під-
вищений інтерес до неймовірнісних (або гіб-
ридних) моделей невизначеності та їх засто-
суванні до розв’язання практичних задач.
В даній роботі пропонується та обгрунто-
вується підхід до подання нечітких чисел
у формі, яка значно спрощує нечітку ариф-
метику, що використовується для змістовної
інтерпретації поняттю «можливості» як верх-
ньої межі ймовірності [1].
Для цього ймовірності визначаються не-
чіткими трикутними числами (які можуть
задовольняти тим або іншим умовам). На-
приклад, ймовірність випадіння числа 1 при
підкиданні кубика може бути визначена
нечітким числом з діаграмою Заде вигляду
(рис. 1).
РИС. 1
Нечіткі числа. В теорії нечітких множин
[2 – 5] виділяються нечіткі множини, які
визначаються на осі дійсних чисел R і є нор-
мальними і випуклими та мають неперервні
функції належності.
АРИФМЕТИКА НЕЧІТКИХ ЧИСЕЛ
Компьютерная математика. 2017, № 2 73
Нечітким числом називається нечітка множина А, визначена на множині
дійсних чисел R, функція належності якої
[0, 1]: R
задовольняє умовам:
1. sup ( ) 1A
x R
x
, тобто нечітка множина нормалізована;
2. 1 2 1 2[ (1 ) ] min{ ( ), ( )}x + x х х , тобто множина А випукла;
3. ( )x – неперервна.
Основні арифметичні операції – сума, різниця, множення і ділення двох
нечітких чисел R21, AA задаються за допомогою принципу розширення [1].
Сума двох нечітких чисел 1A і 2A позначається 21 AA , причому функція
належності суми задається виразом
1 2
1 21 2sup( ) min( ( ), ( )).B A A
x x y
y x x
Різниця двох нечітких чисел 1A і 2A позначається 21 AA , причому функція
належності різниці задається виразом
1 2
1 21 2sup( ) min( ( ), ( )).B A A
x x y
y x x
Добуток двох нечітких чисел А1 і А2 позначається 21 AA , причому функція
належності добутку задається виразом
1 2
1 21 2sup( ) min( ( ), ( )).B A A
x x y
y x x
Ділення двох нечітких чисел А1 і А2 позначається 21 : AA , причому функція
належності частки задається виразом
1 2
1 2
/
1 2sup( ) min( ( ), ( )).B A A
x x y
y x x
Арифметичні операції над нечіткими числами вимагають досить складних
oбчислень. Але справедлива
Теорема (Дюбуа і Прейда). Якщо нечіткі числа 1A і 2A мають неперервні
функції належності, то результатами арифметичних операцій суми, різниці,
добутку і ділення будуть нечіткі числа.
Дюбуа і Прейд запропонували деяку форму подання нечітких чисел
за допомогою трьох параметрів, що значно спрощує нечітку арифметику.
Нехай L і P – функції, вигляду
( , ) [0,1],
що задовольняють умовам:
1. ( ) ( ), ( ) ( ),L x L x P x P x
2. (0) 1, (0) 1,L P
3. L і P – незростаючі на інтервалі [0, ).
О.О. ПРОВОТАР
Компьютерная математика. 2017, № 274
Визначення. Нечітке число RA буде нечітким числом типу L-P тоді
і тільки тоді, коли його функція належності має вигляд:
( ), якщо
( ) ,
( ), якщо
A
m xL x m
x x mP x m
де m – дійсне число, яке називається середнім значенням нечіткого числа A
( ( ) 1),m – додатне дійсне число, яке називається лівостороннім розподілом,
– додатне дійсне число, яке називається правостороннім розподілом.
Трикутні нечіткі числа. Розглянемо функції
0,1
0,1
)(
xx
xx
xL ,
0,1
0,1
)(
xx
xx
xP .
Ці функції задовольняють вище приведеним умовам. Тому, наприклад,
функцію належності нечіткого число A
1, 0
( )
1 , 0A
x x
x
x x
можна подати у вигляді
( ), 0 ( ), 0
( ) .
( ), 0 ( ), 0A
L x x L x x
x
P x x P x x
Таке нечітке число є нечітким числом типу L-P і скорочено може бути
записане у вигляді
(0, 1, 1) .LPA
В загальному випадку нечітке число А з функцією належності
( ), якщо
( )
( ), якщо
A
m xL x m
x x mP x m
скорочено може бути записане у вигляді
( , , )LPA m
і називається трикутним нечітким числом.
Деякі операції над нечіткими числами типу L – P зводяться до операцій над
трьома параметрами. Зокрема, сума нечітких чисел
( , , )A A A LPA m і ( , , )B B B LPB m
має вигляд
( , , ) .A B A B A B LPA B m m
АРИФМЕТИКА НЕЧІТКИХ ЧИСЕЛ
Компьютерная математика. 2017, № 2 75
Протилежне до нечіткого числа
( , , )A A A LPA m
має вигляд
( , , ) .A A A LPA m
Далі будемо використовувати дещо іншу форму подання нечітких трикут-
них чисел за допомогою трьох параметрів, так звану LP форму. Нечітке число
),,( 321 aaaA в цьому випадку визначається функцією належності
1
1
1 2
2 1
3
2 3
3 2
3
0,
,
μ ( )
,
0,
A
x a
x a a x a
a a
x
a x a x a
a a
x a
.
Операції додавання і різниці нечітких чисел ),,( 321 aaaA і ),,( 321 bbbB
визначаються як
),,,( 332211 bababaBA ).,,( 13223121 bababaAA
Протилежне до нечіткого числа ),,( 321 aaaA визначається як
3 2 1( , , )A a a a .
Наприклад, розглянемо нечіткі числа
)4,2,3(A і )6,0,1(B
з діаграмами Заде [2] (рис. 2) відповідно. Тоді сума BA задається діаграмою
Заде вигляду (рис. 3).
РИС. 2
РИС. 3
О.О. ПРОВОТАР
Компьютерная математика. 2017, № 276
Відповідно, різниця – діаграмою Заде вигляду (рис. 4).
РИС. 4
Теорема. ( , , )LPm = '( , , ) .LPm m m
Доведення. Треба показати, що значення функцій належності цих чисел
у довільній точці збігаються. Дійсно, значення функції належності ( )A x
нечіткого числа ( , , )LPm в точці x m дорівнює
( ) 1A
x mx
.
Значення функції належності ( )A x нечіткого числа ( , , )LPm в точці
x m дорівнює
( ) 1 .A
x mx
Значення функції належності ( )A x нечіткого числа '( , , )LPm m m
в точці x m знаходимо із співвідношення
.
1 ( ) 1A
m m x m
x
Після перетворень отримаємо
( ) 1.A
x mx
Аналогічно, значення функції належності ( )A x нечіткого числа
'( , , )LPm m m в точці x m знаходимо із співвідношення
.
1 ( ) 1A
m m x m
x
Після перетворень отримаємо
( ) 1 .A
x mx
Таким чином, функції належності нечітких чисел приймають однакові зна-
чення, отже, теорема доведена.
Наслідок 1. Протилежним до нечіткого числа ( , , )LPm типу LP є нечітке
число '( ( ), , ( ))LPm m m типу LP.
АРИФМЕТИКА НЕЧІТКИХ ЧИСЕЛ
Компьютерная математика. 2017, № 2 77
Наслідок 2. Для нечітких чисел
( , , )A A A LPA m і ( , , )B B B LPB m
справедливе співвідношення
( , , )A B A B A B LPm m =
= '( , , ) .A B A B A B A B A B LP
m m m m m m
Наслідок 3. Для нечітких чисел
( , , )A A A LPA m і ( , , )B B B LPB m
справедливе співвідношення
( , , )A B A B A B LPm m =
= '( , , ) .A A B B A B A A B B LP
m m m m m m
Висновки. Таким чином, запропонований підхід дозволяє досліджувати
поняття можливості нечіткими трикутними числами. Крім того, поняття можли-
вості інтерпретується як верхня межа ймовірності і може бути корисним для
обчислення (в тому числі за допомогою арифметики для нечітких чисел) верхніх
меж ймовірності подій у задачах, де це зробити досить складно.
А.А. Провотар
АРИФМЕТИКА НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ
Предложена модель представления подмножества нечетких чисел типа L-P, которая сущест-
венно упрощает выполнение арифметических операций над такими числами.
A.A. Provotar
ARITHMETICS OF FUZZY NUMBERS
A model for subset of fuzzy numbers of L-P type presentation that significantly simplifies the
arithmetic operations on such numbers is proposed.
1. Провотар О.І., Провотар О.О. До питання про інтерпретацію можливості. Кибернетика
и системный анализ. 2016. № 6. С. 3 – 10.
2. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы
и нечеткие системы. Москва: Телеком, 2006. 382 с.
3. Zadeh L.A. Fuzzy Sets Zadeh L.A. Information and Control. 1965. Vol. 8. Р. 338 – 353.
4. Провотар А.И., Лапко А.В. О некоторых подходах к вычислению неопределенностей.
Проблеми програмування. 2010. № 2-3. С. 22 – 27.
5. Zadeh L.A., Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy Sets ana Systems. 1978.
Vol. 1. Р. 3 – 28.
Одержано 05.10.2017
Про автора:
Провотар Олександр Олександрович,
аспірант факультету комп’ютерних наук і кібернетики
Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
E-mail: aprovata@gmail.com
|