Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин

Розглядається задача ідентифікації параметрів моделі у випадку математичного моделювання дробово-диференціальної динаміки аномального процесу конвективної дифузії розчинних речовин при профільній усталеній фільтрації ґрунтових вод з вільною поверхнею. При цьому, процес масопереносу описується моделл...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Date:	2019
Main Authors:	Богаєнко, В.А., Булавацький, В.М., Гладкий, А.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168563
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин / В.А. Богаєнко, В.М. Булавацький, А.В. Гладкий // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 19. — С. 5-10. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168563
record_format	dspace
spelling	Богаєнко, В.А. Булавацький, В.М. Гладкий, А.В. 2020-05-04T16:12:27Z 2020-05-04T16:12:27Z 2019 Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин / В.А. Богаєнко, В.М. Булавацький, А.В. Гладкий // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 19. — С. 5-10. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 2308-5916 DOI: 10.32626/2308-5916.2019-19.5-10 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168563 517.9:519.6 Розглядається задача ідентифікації параметрів моделі у випадку математичного моделювання дробово-диференціальної динаміки аномального процесу конвективної дифузії розчинних речовин при профільній усталеній фільтрації ґрунтових вод з вільною поверхнею. При цьому, процес масопереносу описується моделлю, що містить узагальнену похідну дробового порядку Капуто–Герасимова за часовою змінною, а процес фільтрації розглядається у потенціальному полі швидкостей. The paper deals with the problem of identification of model parameters in the case of mathematical modeling of fractional-differential dynamics of anomalous process of convective diffusion of soluble substances under steady-state profile groundwater filtration with a free surface. We describe the process of mass transfer using a model containing a generalized fractional derivative of Caputo-Gerasimov with respect to the time variable while the filtration process is considered in the potential velocity field. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин Identification of parameters of one fractional model of soluble substances migration Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин
spellingShingle	Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин Богаєнко, В.А. Булавацький, В.М. Гладкий, А.В.
title_short	Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин
title_full	Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин
title_fullStr	Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин
title_full_unstemmed	Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин
title_sort	ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин
author	Богаєнко, В.А. Булавацький, В.М. Гладкий, А.В.
author_facet	Богаєнко, В.А. Булавацький, В.М. Гладкий, А.В.
publishDate	2019
language	Ukrainian
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Identification of parameters of one fractional model of soluble substances migration
description	Розглядається задача ідентифікації параметрів моделі у випадку математичного моделювання дробово-диференціальної динаміки аномального процесу конвективної дифузії розчинних речовин при профільній усталеній фільтрації ґрунтових вод з вільною поверхнею. При цьому, процес масопереносу описується моделлю, що містить узагальнену похідну дробового порядку Капуто–Герасимова за часовою змінною, а процес фільтрації розглядається у потенціальному полі швидкостей. The paper deals with the problem of identification of model parameters in the case of mathematical modeling of fractional-differential dynamics of anomalous process of convective diffusion of soluble substances under steady-state profile groundwater filtration with a free surface. We describe the process of mass transfer using a model containing a generalized fractional derivative of Caputo-Gerasimov with respect to the time variable while the filtration process is considered in the potential velocity field.
issn	2308-5916
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168563
citation_txt	Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин / В.А. Богаєнко, В.М. Булавацький, А.В. Гладкий // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 19. — С. 5-10. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT bogaênkova ídentifíkacíâparametrívodníêídrobovodiferencíalʹnoímodelímígracíírozčinnihrečovin AT bulavacʹkiivm ídentifíkacíâparametrívodníêídrobovodiferencíalʹnoímodelímígracíírozčinnihrečovin AT gladkiiav ídentifíkacíâparametrívodníêídrobovodiferencíalʹnoímodelímígracíírozčinnihrečovin AT bogaênkova identificationofparametersofonefractionalmodelofsolublesubstancesmigration AT bulavacʹkiivm identificationofparametersofonefractionalmodelofsolublesubstancesmigration AT gladkiiav identificationofparametersofonefractionalmodelofsolublesubstancesmigration
first_indexed	2025-11-25T20:37:26Z
last_indexed	2025-11-25T20:37:26Z
_version_	1850526929534320640
fulltext	Серія: Технічні науки. Випуск 19 5 УДК 517.9:519.6 DOI: 10.32626/2308-5916.2019-19.5-10 В. А. Богаєнко, канд. техн. наук, В. М. Булавацький, д-р техн. наук, А. В. Гладкий, д-р фіз.-мат. наук Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, м. Київ ІДЕНТИФІКАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ ОДНІЄЇ ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ МОДЕЛІ МІГРАЦІЇ РОЗЧИННИХ РЕЧОВИН Розглядається задача ідентифікації параметрів моделі у випадку математичного моделювання дробово-диференціаль- ної динаміки аномального процесу конвективної дифузії роз- чинних речовин при профільній усталеній фільтрації ґрунто- вих вод з вільною поверхнею. При цьому, процес масоперено- су описується моделлю, що містить узагальнену похідну дро- бового порядку Капуто–Герасимова за часовою змінною, а процес фільтрації розглядається у потенціальному полі швид- костей. Оскільки область фільтрації є областю з частково неві- домою межею, розв’язання поставленої задачі виконується шляхом попереднього переходу до області комплексного по- тенціалу при відомій характеристичній функції течії. Ставить- ся задача ідентифікації значень параметрів узагальненої дро- бової похідної, виходячи з вимірів концентрації речовини. Та- кий підхід дозволяє більш адекватно описувати процеси масо- переносу в середовищах із складною просторово-часовою структурою, у тому числі в ґрунтах у ситуації істотної затрат- ності їх точного геофізичного аналізу. З огляду на складність вирішення обернених задач для диференціальних рівнянь з дробовими похідними, фіксовану кількість і неперервність па- раметрів, що визначаються, пропонується використовувати для їх ідентифікації метаевристичний алгоритм рою частинок. В роботі стисло викладена скінченно-різницева методика наб- лиженого розв'язання прямої задачі, наведена постановка зада- чі ідентифікації параметрів, описана використовувана варіація алгоритму рою частинок. Наведено результати комп'ютерних експериментів, які показують ефективність алгоритму рою час- тинок для визначення параметрів похідної дробового порядку, а також те, що в залежності від вигляду функціонального па- раметра узагальненої дробової похідної, модель дозволяє опи- сувати як «надповільні», так й «надшвидкі» дифузійні режими. Ключові слова: динаміка аномальних конвективно- дифузійних процесів, усталена профільна фільтрація ґрунто- вих вод, дробово-диференціальні математичні моделі перене- © В. А. Богаєнко, В. М. Булавацький, А. В. Гладкий, 2019 Математичне та комп’ютерне моделювання 6 сення, узагальнена похідна Капуто–Герасимова, ідентифіка- ція параметрів моделі, метод рою частинок. Вступ. Відомо, що ефективні методи визначення параметрів те- хнологічних процесів промивання ґрунтів і очищення засолених ґру- нтових вод, а також вод, забруднених промисловими або побутовими стоками, базуються на використанні методів математичного моделю- вання [1–3]. У випадку складної просторово-часової структури сере- довища мають місце нелокальні процеси перенесення, що досить адекватно описуються дробово-диференціальними математичними моделями [4–7]. При цьому особливої актуальності набуває розробка комп'ютерних методів ідентифікації параметрів моделі. У роботі з цією метою пропонується використання метаевристи- чного алгоритму рою частинок [8]. Математична модель і чисельний метод розв’язання крайової задачі. Розглянемо задачу моделювання динаміки аномального процесу конвективної дифузії домішок у випадку плоско-вертикальної усталеної фільтрації з вільною поверхнею з річок, каналів чи накопичувачів про- мислових стоків [7]. Математична модель процесу поширення забруд- нень описується наступною крайовою задачею: ( ) ,t g x y C C C C D C D D x x y y x y                            , (1) 0 , 0\| , \| 0, \| 0,AC AB CB t C C C C n       (2) де ( , , )C x y t — концентрація речовини,  — пористість середовища, ( , )x y   — швидкість фільтрації,  ,D x y — коефіцієнт конвек- тивної дифузії, ( ) ,t gD C  — похідна Капуто–Герасимова по змінній t порядку  0 1   від функції C за функцією g [9], 0C — кон- центрація на вході фільтраційного потоку ,AC n — зовнішня нор- маль, AB — вісь симетрії потоку, CB — крива депресії [5]. Оскільки область фільтрації zG є областю з частково невідомою межею, розв’язок задачі (1), (2) будемо шукати в області комплексно- го потенціалу течії  ( , ) : 0 , 0G Q          [5]. Тоді, крайова задача (1), (2) приймає вигляд ( ) 2 , ( , , ) ( , )t g C C C D C t D D                                      , (3) (( ) (0 ))ω,ψ,t G ,+    , Серія: Технічні науки. Випуск 19 7 0 0 0, 0\| , \| 0, \| 0Q t C C C C             , (4) де 2 ( , )   — відома функція, що визначається згідно [5, 10]. Ефективний чисельний метод розв’язання крайової задачі (3), (4) базується на використанні локально-одновимірної різницевої схе- ми [11] із відповідними граничними умовами: 0 1/2 1/2( ) 1/2 2 ( ) 2 j jj t C aC C                 ,  1( ) 1 2 2 jj t C aC         , де C — сіткова функція і використовуються загальноприйняті позна- чення теорії різницевих схем [11], ( ) t C   — різницевий аналог похі- дної (β) t,gD C [7]. Після отримання розв’язку задачі в області комплексного потен- ціалу, перехід у фізичну область здійснюється згідно [10]. Задача ідентифікації параметрів і метод її розв’язання. По- даючи пробну функцію ( )g t у визначенні дробової похідної Капуто– Герасимова в степеневому вигляді ( ) γ g t = t , задачу ідентифікації па- раметрів ,β γ сформулюємо так. Нехай відомі значення концентрації , 1,...,iC i N в моменти ча- су iT в точках ( , )i ix y . Необхідно знайти значення параметрів ,  , які мінімізують   2 1 ( ) ( , , ) N i i i i i F C C x y T C    , де ( , )C x, y t — розв’язок крайової задачі (1), (2). Враховуючи складність задачі, фіксовану кількість і непере- рвність параметрів, що визначаються, пропонується розв’язувати її метаевристичним алгоритмом рою частинок [8], який коротко може бути описаним наступним чином:  позначимо як S кількість частинок в рої; , 1,...,k k S  — коор- динати частинки k, значення яких відповідають значенням пара- метрів, що визначаються; kv — швидкість частинки k ; kp — коор- динати частинки k, для яких отримано мінімальне значення цільо- вої функції ( )F C ;  — координати, для яких отримано мінімаль- не значення цільової функції серед усіх частинок рою; , ,p g   — параметри алгоритму; Математичне та комп’ютерне моделювання 8  на стадії ініціалізації початкові координати частинок генеруються випадковим чином, беручи до уваги обмеження щодо значень пара- метрів, що визначаються. Швидкості приймаються рівними нулю;  поки не досягнуто заданого максимального числа ітерацій mN , виконується умова 1  , де 1 — задана константа, а різниця між найбільшим і найменшим значеннями цільової функції для частинок рою перевищує задане число 2 , на ітерації j алгорит- му для кожної частинки k  генеруються випадкові значення , [0,1]P gr r  ;  модифікується швидкість: ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) j j j j jj p p g gk k k k k v v r p r             ;  модифікуються координати частинки: ( 1) ( ) ( )j j j k k k= +v   ;  обчислюється значення цільової функції й оновлюється kp та  . Обчислювальний експеримент з ідентифікації параметрів мо- делі (1), (2) здійснювався наступним чином. Значення концентрації iC , які використовувались для ідентифікації параметрів ,β γ дробової похідної при ( )g t t   , були отримані з розв’язку [7] прямої задачі (1), (2) для 0.4t  при 0.84, 0.9   і 1.0  в точках (6.026, 3.151), (6.126, 5.502), (6.024, 7.940), що відповідають вузлам сітки (10, 28), (11, 21) і (12, 16). Параметри методу рою частинок приймалися насту- пними: 20S  , 0.2p g     , 25mN  , 14 1 10 ,   12 2 10   , [0.8,1]  , [0.1,1.9]  . Отримані результати ідентифікації парамет- рів для випадків, коли здійснювався пошук як обох параметрів ,  , так і тільки порядку похідної  , наведені в таблиці. Таблиця Результати ідентифікації параметрів моделі x y i C отримані при 0.84,  0.9  i C отримані при 0.84,  1.0  i C Пошук  при 1.0  : 0.96  Пошук ,  : 0.835  0.904  i C Пошук  при 1.0  : 0.96  Пошук ,  : 0.86  0.96  6.026 3.151 7.98e-2 8.00e-2 7.97e-2 5.70e-2 5.69e-2 5.69e-2 6.126 5.502 7.77e-4 5.14e-4 6.30e-4 4.60e-4 4.79e-4 4.42e-4 6.024 7.940 6.71e-5 3.96e-5 5.13e-5 3.79e-5 4.00e-5 3.61e-5 Серія: Технічні науки. Випуск 19 9 Продовження таблиці Значення цільової фун- кції ( )F C – 9.90e-8 3.18e-8 – 4.13e-10 6.44e-10 Середня від- носна похиб- ка – 24.9 % 14.1 % – 3.2 % 2.8 % Отримані результати ідентифікації параметрів розглядуваної моделі демонструють адекватність запропонованої методики. У випадку, коли методом рою частинок відбувається пошук β при фіксованому 1.0  , що не відповідає значенню 0.9γ = , при якому були отримані значення iC , знайдене значення β істотно відрізняється від вихідного. Мінімаль- не знайдене значення цільової функції і середня відносна похибка в цьо- му випадку в ~ 2 рази вище, ніж при пошуку обох параметрів розгляду- ваної дробової похідної. Це показує некоректність опису за допомогою класичної похідної Капуто–Герасимова динаміки процесу, аналогічного представленому крайовою задачею (1), (2). При збільшенні кількості параметрів, що ідентифікуються, як- ість отриманого розв’язку погіршується при незмінних значеннях параметрів алгоритму рою частинок. Висновки. Таким чином, для адаптації моделі до реальних умов, значення її параметрів можуть бути ідентифіковані на основі вимірів концентрації речовини методом рою частинок. Проведені обчислю- вальні експерименти підтверджують на прикладі модельної задачі ефективність даного алгоритму для визначення параметрів похідних дробового порядку в дробово-диференціальних моделях перенесення. Список використаних джерел: 1. Гладкий А. В., Ляшко И. И., Мистецкий Г. Е. Алгоритмизация и числен- ный расчёт фильтрационных схем. Киев : Вища школа, 1981. 288 с. 2. Ляшко И. И., Демченко Л. И., Мистецкий Г. Е. Численное решение задач теп- ло- и массопереноса в пористых средах. Киев : Наукова думка, 1991. 264 с. 3. Мистецкий Г. Е. Гидростроительство. Автоматизация расчета массопере- носа в почвогрунтах. Киев : Будівельник, 1985. 136 с. 4. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of frac- tional differential equations. Amsterdam : Elsevier, 2006. 523 p. 5. Bulavatsky V. M. Mathematical modeling of dynamics of the process of filtra- tion convection diffusion under the condition of time nonlocality. Journal of Automation and Information Science. 2012. 44, N 2. P. 13–22. 6. Булавацкий В. М., Кривонос Ю. Г. Математические модели с функцией контроля для исследования дробно-дифференциальной динамики геоми- грационных процессов. Проблемы управления и информатики. 2014. № 3. С. 138–147. Математичне та комп’ютерне моделювання 10 7. Богаенко В. А., Булавацкий В. М. Компьютерное моделирование динами- ки процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода. Доповіді НАНУ. 2018. № 12. С. 21–29. 8. Zhang Y. A. Comprehensive Survey on Particle Swarm Optimization Algorithm and Its Applications. Mathematical Problems in Engineering. 2015. 931256. 9. Almeida R. A. Caputo fractional derivative of a function with respect to anoth- er function. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. № 44. P. 460–481. 10. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М. : Наука, 1977. 664 с. 11. Самарський А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М. : Едиториал УРСС. 2003. 784 с. IDENTIFICATION OF PARAMETERS OF ONE FRACTIONAL MODEL OF SOLUBLE SUBSTANCES MIGRATION The paper deals with the problem of identification of model parameters in the case of mathematical modeling of fractional-differential dynamics of anom- alous process of convective diffusion of soluble substances under steady-state profile groundwater filtration with a free surface. We describe the process of mass transfer using a model containing a generalized fractional derivative of Caputo-Gerasimov with respect to the time variable while the filtration process is considered in the potential velocity field. Since the filtration domain is a do- main with a partially unknown boundary, the solution of the problem is per- formed using an anticipatory transition to a completely determined complex potential domain with a known characteristic flow function. We pose the prob- lem of identification of the values of the parameters of a generalized fractional derivative based on the measurements of substance concentration. Such an ap- proach allows us to more adequately describe the processes of mass transfer in environments with a complex spatial and temporal structure, including soils, in the situation of significant costs needed for their exact geophysical analysis. Taking into account the complexity of the solution of inverse problems for dif- ferential equations with fractional derivatives, the fixed quantity and continuity of optimized parameters, it is proposed to use a meta-heuristic particle swarm optimization algorithm for their identification. The paper briefly describes the finite-difference method of the approximate solution of the direct problem, poses the problem of parameters identification, and describes the modification of the used particle swarm optimization algorithm. We present the results of computer experiments that show the efficiency of the particle swarm optimiza- tion algorithm for determining the parameters of the fractional derivative, as well as the fact that, depending on the type of functional parameter of the gen- eralized fractional derivative, the model allows describing both «ultra-slow» and «ultra-fast» diffusion modes. Key words: anomalous convective-diffusion processes dynamics, steady-state profile groundwater filtration, fractional differential mathe- matical models, generalized Caputo-Gerasimov derivative, identification of parameters, particle swarm optimization. Одержано 04.02.2019

Ідентифікація параметрів однієї дробово-диференціальної моделі міграції розчинних речовин

Institution

Similar Items