Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції
Розглянуто задачу найкращого рівномірного наближення функцій поліноміальними сплайнами з фіксованими вузлами. Для її розв’язання запропоновано підхід на основі еволюційних алгоритмів — потужного класу стохастичних пошукових методів оптимізації. Для знаходження сплайна найкращого рівномірного наближе...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168565 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції / Л.П. Вакал, Є.С. Вакал // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 19. — С. 17-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860016310304374784 |
|---|---|
| author | Вакал, Л.П. Вакал, Є.С. |
| author_facet | Вакал, Л.П. Вакал, Є.С. |
| citation_txt | Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції / Л.П. Вакал, Є.С. Вакал // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 19. — С. 17-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| description | Розглянуто задачу найкращого рівномірного наближення функцій поліноміальними сплайнами з фіксованими вузлами. Для її розв’язання запропоновано підхід на основі еволюційних алгоритмів — потужного класу стохастичних пошукових методів оптимізації. Для знаходження сплайна найкращого рівномірного наближення адаптовано алгоритм диференціальної еволюції.
It is considered a problem of the best uniform approximation of functions by polynomial splines with fixed knots. It is proposed an approach based on evolutionary algorithms — a powerful class of stochastic search optimization methods — for its solution. To find a spline of the best uniform approximation, a differential evolution algorithm is adapted.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:45:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 19
17
задачі параметричної ідентифікації для кожної з цих сіток. Реконструйо-
ване зображення розподілу тензора провідності у внутрішності досліджу-
ваного об’єкта, отримане в результаті числових розрахунків, проведених
на основі розробленого алгоритму, з достатньою точністю відповідає ета-
лонному. Метод характеризується порівняно швидкою комп’ютерною
збіжністю (оскільки, на відміну від багатьох використовуваних методів,
не потребує знаходження похідних функції розподілу тензора провідності
у визначених точках та уточнення граничних вузлів на кожному ітерацій-
ному кроці). Суттєвою його особливістю є можливість порівняно легкого
його розпаралелення та зупинки процедури обчислення за умови вико-
нання лише деяких із умов закінчення процесу з автоматичним визначен-
ням тих ділянок фізичної області, де мають місце великі похибки обчис-
лень, що дає змогу економніше використовувати машинний час. Розроб-
лений алгоритм реконструкції зображення може бути поширений не тіль-
ки на середовища з відомою сумою власних значень тензора провідності,
але й на випадки досить широких інших залежностей між ними. Зокрема
підхід забезпечує можливість представлення його деякою комплексно
значною функцією як це вимагає біомедична практика.
Ключові слова: томографія прикладених квазіпотенціалів, квазі-
конформні відображення, анізотропія, ідентифікація, нелінійні задачі.
Data received 30.01.2019
УДК 519.6:004.02
DOI: 10.32626/2308-5916.2019-19.17-24
Л. П. Вакал*, канд. техн. наук,
Є. С. Вакал**, канд. фіз.-мат. наук
*Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, м. Київ,
**Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ
НАЙКРАЩЕ РІВНОМІРНЕ НАБЛИЖЕННЯ СПЛАЙНАМИ
З ВИКОРИСТАННЯМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ЕВОЛЮЦІЇ
Розглянуто задачу найкращого рівномірного наближення
функцій поліноміальними сплайнами з фіксованими вузлами.
Для її розв’язання запропоновано підхід на основі еволюційних
алгоритмів — потужного класу стохастичних пошукових мето-
дів оптимізації. Для знаходження сплайна найкращого рівномі-
рного наближення адаптовано алгоритм диференціальної ево-
люції. Це один із кращих еволюційних алгоритмів, який стабі-
льно знаходить глобальний оптимум цільової функції (критерію
оптимізації) за мінімальний час. Еволюційний процес в алгори-
тмі починається з генерації популяції випадкових векторів, ко-
ординати яких представляють собою можливі значення коефіці-
єнтів сплайна. Далі вектори постійно модифікуються за допомо-
гою операцій мутації, схрещування та селекції з метою змен-
© Л. П. Вакал, Є. С. Вакал, 2019
Математичне та комп’ютерне моделювання
18
шення значення цільової функції (похибки наближення сплай-
ном). Алгоритм завершується, якщо вичерпано задане максима-
льне число популяцій або відбувається стагнація еволюційного
процесу. Алгоритм диференціальної еволюції простий у про-
грамній реалізації й використанні (містить мало параметрів, що
потребують підбору), легко розпаралелюється. Розроблені ре-
комендації щодо вибору оптимальних значень основних пара-
метрів алгоритму: розміру популяції, коефіцієнта мутації, ймо-
вірності схрещування. Для низки тестових функцій виконано
порівняння похибок наближення, отриманих за стохастичним
алгоритмом диференціальної еволюції та за іншими (детермініс-
тичними) алгоритмами. Результати порівняння показали, що то-
чність наближення функцій сплайнами з використанням алгори-
тму диференціальної еволюції не гірше, ніж при застосуванні
значно складніших детерміністичних алгоритмів рівномірного
наближення. Це свідчить про ефективність алгоритму диферен-
ціальної еволюції. Він може використовуватись як альтернатива
відомим детерміністичним алгоритмам наближення сплайнами.
Ключові слова: сплайн, фіксовані вузли, найкраще рівномірне
наближення, диференціальна еволюція, стохастичний метод.
Вступ. Останнім часом для наближення функціональних залежнос-
тей складної структури, які виникають при розв’язанні різноманітних
прикладних задач, широко використовуються поліноміальні сплайни.
Найбільш популярними є інтерполяційні сплайни степеня не вище
трьох, параметри яких легко обчислюються. На практиці також застосо-
вують сплайни найкращого наближення. При тому ж числі параметрів
сплайн найкращого наближення апроксимує функцію не гірше, ніж інте-
рполяційний. Крім того, для побудови інтерполяційного сплайна зви-
чайно потрібно задавати ще деякі граничні умови [1, с. 24]. Тому в бага-
тьох випадках доцільнішим є використання сплайнів найкращого на-
ближення, зокрема, у рівномірній (чебишовській) нормі [2, 3].
Алгоритми найкращого рівномірного наближення функцій полі-
номіальними сплайнами з фіксованими вузлами поділяються на дві
основні групи. До першої належать алгоритми [4–6], в яких викорис-
товується зведення задачі найкращого наближення до задачі лінійно-
го програмування (ЛП). Алгоритми другої групи є узагальненням на
випадок сплайнів методу послідовних чебишовських інтерполяцій
Ремеза [7, 8]. Складність і громіздкість вказаних алгоритмів, а також
їхня недостатня реалізація у загальнодоступних математичних паке-
тах [9, 10] перешкоджають більш широкому застосуванню сплайнів
найкращого рівномірного наближення на практиці.
Мета роботи — розробка нескладного в реалізації й водночас
ефективного алгоритму для найкращого рівномірного наближення
функцій поліноміальними сплайнами з фіксованими вуздами.
Серія: Технічні науки. Випуск 19
19
Постановка задачі. Нехай на відрізку [ , ] задані дві сітки:
1 2:m mx x x ,
1:k kx x
і множина ,n kS сплайнів ( )s x степеня n ( 1n ) дефекту 1 з вузлами
k . Надалі будемо вважати, що m n k і на кожному з проміжків
1[ , ]i ix x ( 1, 2, , 1i k , 0x , 1kx ) є щонайменше дві точки
сітки m . Будь-який сплайн ,( ) n ks x S можна записати у вигляді [1]
1
1
1
1 1
( ) ( ) ( )
n k
i n
i n i i
i i
s x a x a x x
, (1)
де ia — дійсні числа і
( ) ,
( )
0,
n
n i i
i
i
x x x x
x x
x x
.
Задача найкращого рівномірного наближення функції ( )f x на
сітці m сплайном вигляду (1) з фіксованими вузлами k полягає у
знаходженні сплайна *
,( ) n ks x S , що задовольняє умову
,
*
( )1 1
max ( ) ( ) min max ( ) ( )
n k
i i i i
s x Si m i m
f x s x f x s x
. (2)
Величина називається похибкою найкращого наближення.
Для розв’язання задачі (2) пропонується застосувати підхід, що
ґрунтується на використанні еволюційних алгоритмів (ЕА) — потуж-
ного класу стохастичних пошукових методів оптимізації. Для знахо-
дження оптимуму функції ЕА використовують випадково породжену
популяцію розв’язків, яка покращується шляхом еволюційного про-
цесу з використанням операцій схрещування, мутації та селекції, по-
ки не виконається умова завершення еволюції (наприклад, досягнуто
задане граничне число популяцій). ЕА включають генетичний алго-
ритм, диференціальну еволюцію, алгоритм рою часток, алгоритм оп-
тимізації мурашиної колонії та ін.
Алгоритм знаходження сплайна найкращого рівномірного на-
ближення. Для розв’язання задачі (2) пропонується адаптувати дифере-
нціальну еволюцію (ДЕ) [11]. Алгоритм ДЕ успішно використовувався
авторами для розв’язання низки задач наближення [12–15]. Це один з
кращих ЕА, який стабільно знаходить глобальний оптимум функції за
мінімальний час. Крім того, він простий у реалізації та використанні (мі-
стить мало варійованих параметрів), легко розпаралелюється.
На кожній ітерації еволюційного процесу операції мутації,
схрещування та селекції в алгоритмі ДЕ застосовуються до популяції
Математичне та комп’ютерне моделювання
20
1, ,{ , , }G G NP GP B B , що складається з D-мірних векторів
, ,1, , ,( , , )i G i G i D GB b b , 1, .i NP , де NP — розмір популяції, G —
номер популяції, max0,1, ,G G . У випадку задачі (2) 1D n k , а
координати ,1, , 1,, ,i G i n k Gb b векторів ,i GB представляють собою
можливі значення коефіцієнтів 1 1, , n ka a сплайна
*
( )s x .
Далі наведено покроковий опис алгоритму.
1. Покладається лічильник числа популяції 0G , і створюється
початкова популяція 1, ,{ , , }G G NP GP B B , в якій координати векто-
рів , ,1, , 1,( , , )i G i G i n k GB b b , 1, .i NP , генеруються за допомогою
датчика випадкових чисел із заданого діапазону ID .
Далі на кроках 2–4 формується нова популяція.
2. Мутація. Для кожного вектора ,i GB із старої популяції (цей
вектор називається базовим) за допомогою трьох інших випадкових
векторів
1
,r GB ,
2
,r GB ,
3
,r GB ( 1 2 3r r r i ) створюється мутантний
вектор ,i GV за формулою
1 2 3
, , , )(i,G r G r G r GV B FM B B ,
де коефіцієнт FM — задана додатна дійсна стала з проміжку (0, 2] .
3. Над векторами ,i GB і ,i GV виконується операція схрещування,
результатом якої є вектор ,i GU з координатами
, ,
, ,
, ,
, якщо rand(0,1) або ,
в іншому випадку,
i j G rand
i j G
i j G
v CR j j
u
b
1, , 1j n k ,
де (0,1)rand — випадкове дійсне число з інтервалу (0,1) , CR — за-
дана ймовірність схрещування, randj — випадкове ціле число в діа-
пазоні [1, 1]n k .
4. Селекція. До нової популяції з номером 1G переходить той
з векторів ,i GB і ,i GU , значення цільової функції F якого менше
, , ,
, 1
,
, якщо ( ) ( ),
в іншому випадку.
i G i G i G
i G
i G
U F U F B
B
B
Цільова функція F (критерій оптимізації) обчислюється за фор-
мулою:
1
1
, , , , 1 ,
1
1 1
F ( ) max ( ) ( )
n k
j n
i G i j G l i n j G l j
l m
j j
B b x b x x
.
Серія: Технічні науки. Випуск 19
21
5. Якщо вичерпано задане максимальне число популяцій
maxG або відносний розкид значень цільової функції найгіршого і
найкращого векторів популяції менше деякого заданого (умова
стагнації), то еволюційний процес завершується, інакше — пере-
хід до п. 2.
Через стохастичний характер алгоритму ДЕ для отримання
прийнятного результату потрібно зробити декілька його пусків.
Розмір популяції NP, коефіцієнт мутації FM та ймовірність схре-
щування CR є основними параметрами налаштування алгоритму.
За результатами проведеного дослідження рекомендовано такі
значення параметрів: 5( 1) 10( 1)n k NP n k , 0.4 0.6FM ,
0.8 1СR .
Результати обчислювальних експериментів. За допомогою
описаного вище алгоритму ДЕ виконано серію обчислювальних екс-
периментів з наближення низки тестових функцій. У табл. 1 і 2 наве-
дено результати наближення відповідно функції
1
1( ) (1 )f x x
на
відрізку [0,1] сплайнами з рівновіддаленими вузлами та функції
2 ( )f x x на відрізку [0, 2] сплайном 3-го степеня. Перше число в
комірках табл. 1 — похибка наближення за алгоритмом типу Ре-
меза [8], друге — за алгоритмом ЛП [6], третє — за алгоритмом ДЕ.
Зазначимо, що експерименти виконувались при таких налаштуваннях
алгоритму ДЕ: 10( 1)NP n k , 0.5FM , 1CR , max 250G ,
4
10
, 1001m , число пусків — 10, [ 1, 1]ID для функції
1( )f x та [ 100, 100]ID для функції 2 ( )f x .
Таблиця 1
Апроксимація сплайнами функції
1
1( ) (1 )f x x
на [0,1]
Степінь
сплайна n
Число вузлів сплайна k
1 2 3 4
3 3.85·10-4
3.249·10-4
3.249·10-4
8.9·10-5
8.635·10-5
8.635·10-5
3.3·10-5
3.328·10-5
3.328·10-5
1.5·10-5
1.505·10-5
1.505·10-5
4 5.1·10-5
5.115·10-5
5.115·10-5
10.0·10-6
9.898·10-6
9.898·10-6
3.6·10-6
3.611·10-6
3.616·10-6
1.7·10-6
1.696·10-6
1.698·10-6
5 8.2·10-6
8.281·10-6
8.282·10-6
1.3·10-6
1.462·10-6
1.464·10-6
6·10-7
6.108·10-7
6.194·10-7
3·10-7
2.509·10-7
2.564·10-7
Математичне та комп’ютерне моделювання
22
Таблиця 2
Апроксимація функції 2 ( )f x x на [0, 2] кубічним сплайном
Вузли сплайна
Число
коефіцієнтів
Похибка наближення
за алгоритмом
типу
Ремеза
ЛП ДЕ
0.04 5 0.02524 0.025216 0.025238
0.0065, 0.108 6 0.01380 0.013789 0.013790
0.002, 0.02, 0.15 7 0.01034 0.010337 0.010338
0.0015, 0.02, 0.1, 0.3 8 0.00448 0.004471 0.004474
0.001, 0.015, 0.06, 0.2, 0.35 9 0.00338 0.003372 0.003387
Як свідчать наведені в табл. 1 і 2 результати, точність набли-
ження функцій сплайнами з використанням стохастичного алгоритму
ДЕ не гірше, ніж при застосуванні значно складніших детерміністич-
них алгоритмів найкращого рівномірного наближення.
Висновки. Представлено алгоритм ДЕ, адаптований для знахо-
дження поліноміального сплайна найкращого рівномірного набли-
ження для функцій, заданих на сітці. Алгоритм простий у програмній
реалізації й використанні (містить мало параметрів, що потребують
налаштування) і водночас достатньо ефективний. Результати обчис-
лювальних експериментів показали, що точність наближення функцій
сплайнами з використанням алгоритму ДЕ не гірше, ніж при застосу-
ванні значно складніших алгоритмів рівномірного наближення. У
подальшому планується дослідити ефективність використання ДЕ
для найкращого наближення сплайнами з вільними вузлами, де пот-
рібно визначати як коефіцієнти сплайна, так і його вузли.
Список використаних джерел:
1. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике.
М. : Наука, 1976. 248 с.
2. Попов Б. А. Равномерное приближение сплайнами. Киев : Наук. думка,
1989. 272 с.
3. Малачівський П. С., Скопецький В. В. Неперервне й гладке мінімаксне
сплайн-наближення. Київ : Наук. думка, 2013. 270 с.
4. Barrodale J., Young A. A note on numerical procedures for approximation by
spline functions. Comput. J. 1966. Vol. 9. P. 318–320.
5. Esch R. E., Eastman W. L. Computational methods for the best spline function
approximation. J. Approx. Theory. 1969. Vol. 2. P. 85–96.
6. Вакал Л. П. Побудова найкращих чебишовських наближень сплайнами.
Штучний інтелект. 2017. № 2 (76). С. 94–100.
7. Schumaker L. L. Some algorithms for the computation of interpolating and
approximating spline functions. Theory and applications of spline functions.
New York : Academic Press, 1969. P. 87–102.
Серія: Технічні науки. Випуск 19
23
8. Nürnberger G., Sommer M. A Remez type algorithm for spline functions. Nu-
mer. Math. 1983. Vol. 41, № 1. P. 117–146.
9. Каленчук-Порханова А. А., Вакал Л. П. Пакет программ аппроксимации
функций. Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2008. № 7. С. 32–38.
10. Каленчук-Порханова А. А., Вакал Л. П. Аппарат аппроксимации в составе
программного обеспечения суперкомпьютера с кластерной архитектурой.
Искусственный интеллект. 2009. № 1. С. 158–165.
11. Storn R., Price K. Differential evolution — a simple and efficient heuristic for
global optimization over continuous spaces. Journal of Global Optimization.
1997. Vol. 11. P. 341–359.
12. Vakal L. P. Seeking optimal knots for segment approximation. Journal of Auto-
mation and Information Sciences. 2016. Vol. 48, № 11. P. 68–75.
13. Вакал Л. П. Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням
алгоритму диференціальної еволюції. Математичні машини і системи.
2017. № 1. С. 90–96.
14. Vakal L. P., Kalenchuk-Porkhanova A. A., Vakal E. S. Increasing the efficien-
cy of Chebyshev segment fractional rational approximation. Cybernetics and
Systems Analysis. 2017. Vol. 53, № 5. P. 759–765.
15. Вакал Л. П., Вакал Є. С. Розв’язання перевизначеної системи трансцендент-
них рівнянь з використанням диференціальної еволюції. Математичне та
комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. пр. Кам’янець-
Подільський : Кам’янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. Вип. 15. С. 24–30.
BEST UNIFORM SPLINE APPROXIMATION
USING DIFFERENTIAL EVOLUTION
It is considered a problem of the best uniform approximation of functions
by polynomial splines with fixed knots. It is proposed an approach based on
evolutionary algorithms — a powerful class of stochastic search optimization
methods — for its solution. To find a spline of the best uniform approxima-
tion, a differential evolution algorithm is adapted. It is one of the best evolu-
tionary algorithms that consistently finds a global optimum of a target func-
tion (optimization criterion) in a minimal time. An evolutionary process in
the algorithm begins with a generation of random vectors, coordinates of
which are possible values of spline coefficients. Further, the vectors are con-
stantly modified by mutation, crossover and selection operations in order to
reduce a value of the target function (spline approximation error). The algo-
rithm is completed if a specified maximum number of populations is ex-
hausted or a stagnation of the evolutionary process takes place. The differen-
tial evolution algorithm is simple in program realization and using (it con-
tains few varied parameters that need to be selected). It is easily paralleled.
Recommendations for choosing optimal values of main parameters of the al-
gorithm such as a population size, a mutation factor, a crossover probability
are developed. A comparison of the approximation errors obtained by the
stochastic differential evolution algorithm and by other (deterministic) algo-
rithms is made for a series of test functions. Results of the comparison
showed that an accuracy of the functions approximation by splines using the
Математичне та комп’ютерне моделювання
24
differential evolution is not worse than using much more complicated deter-
ministic algorithms of the best uniform approximation. This testifies about
the effectiveness of the differential evolution algorithm. It can be used as an
alternative for known deterministic algorithms of spline approximation.
Key words: spline, fixed knots, best uniform approximation, differen-
tial evolution, stochastic method.
Одержано 27.01.2019
УДК 004.94
DOI: 10.32626/2308-5916.2019-19.24-30
А. Ф. Верлань*, д-р техн. наук, професор,
В. А. Федорчук**, д-р техн. наук, професор,
В. А. Іванюк**, канд. техн. наук, доцент
*Інститут проблем моделювання в енергетиці
імені Г.Є. Пухова НАН України, м. Київ,
**Кам’янець-Подільський національний університет
імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський
ІНТЕГРАЛЬНІ МОДЕЛІ НЕСТАЦІОНАРНИХ
ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ НА ОСНОВІ
МЕТОДУ ТЕПЛОВИХ ПОТЕНЦІАЛІВ
Розглядається підхід до побудови інтегральних моделей не-
стаціонарних задач теплопровідності на основі застосування ме-
тоду теплових потенціалів. Можливість побудови інтегральних
моделей розглядається на конкретних прикладах із використан-
ням різних теплових потенціалів: одновимірна задача теплопро-
відності із різною постановкою крайової задачі (умови першого
та другого роду), двовимірна задача теплообміну, задача тепло-
обміну із рухомою границею. Пропонується застосування ком-
бінації точних та чисельних методів, що дає змогу враховувати
переваги різних підходів. Застосування методу теплових потен-
ціалів до моделей у формі диференціальних рівнянь із частин-
ними похідними дозволило отримати загальний розв’язок у ви-
гляді оператора Вольтерри, який залежить від функцій, що ви-
значаються із крайових умов, тобто поставлена задача зводиться
до розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерри ІІ роду або їх
систем. Особливістю отриманих моделей є те, що ядра інтегра-
льних моделей є сингулярними у кінцевій точці інтегрування.
Розв’язування таких рівнянь пропонується здійснювати за до-
помогою обчислювальних методів, основаних на методі квадра-
тур. Для уникнення особливостей в ядрі застосовується метод
зсуву. Врахувавши властивості ядр, пропонується застосовувати
метод лівих прямокутників, що дозволить уникнути сингуляр-
© А. Ф. Верлань, В. А. Федорчук, В. А. Іванюк, 2019
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168565 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2308-5916 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:45:15Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вакал, Л.П. Вакал, Є.С. 2020-05-04T16:17:19Z 2020-05-04T16:17:19Z 2019 Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції / Л.П. Вакал, Є.С. Вакал // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 19. — С. 17-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 2308-5916 DOI: 10.32626/2308-5916.2019-19.17-24 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168565 519.6:004.02 Розглянуто задачу найкращого рівномірного наближення функцій поліноміальними сплайнами з фіксованими вузлами. Для її розв’язання запропоновано підхід на основі еволюційних алгоритмів — потужного класу стохастичних пошукових методів оптимізації. Для знаходження сплайна найкращого рівномірного наближення адаптовано алгоритм диференціальної еволюції. It is considered a problem of the best uniform approximation of functions by polynomial splines with fixed knots. It is proposed an approach based on evolutionary algorithms — a powerful class of stochastic search optimization methods — for its solution. To find a spline of the best uniform approximation, a differential evolution algorithm is adapted. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції Best uniform spline approximation using differential evolution Article published earlier |
| spellingShingle | Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції Вакал, Л.П. Вакал, Є.С. |
| title | Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції |
| title_alt | Best uniform spline approximation using differential evolution |
| title_full | Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції |
| title_fullStr | Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції |
| title_full_unstemmed | Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції |
| title_short | Найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції |
| title_sort | найкраще рівномірне наближення сплайнами з використанням диференціальної еволюції |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168565 |
| work_keys_str_mv | AT vakallp naikraŝerívnomírnenabližennâsplainamizvikoristannâmdiferencíalʹnoíevolûcíí AT vakalês naikraŝerívnomírnenabližennâsplainamizvikoristannâmdiferencíalʹnoíevolûcíí AT vakallp bestuniformsplineapproximationusingdifferentialevolution AT vakalês bestuniformsplineapproximationusingdifferentialevolution |