До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною

Досліджується задача побудови кривої лінії в натуральній параметризації, яка проходить через дві задані точки з заданими кутами нахилу дотичних в них та забезпечує заданий кут нахилу дотичної в точці з відомою абсцисою. Наведена система нелінійних інтегральних рівнянь для квадратичної кривини, дослі...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Кібернетика та комп’ютерні технології
Дата:	2020
Автори:	Стецюк, П.І., Ткаченко, О.В., Грицай, О.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Теми:	Методи оптимізації та екстремальні задачі
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168592
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною / П.І. Стецюк, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 1. — С. 23-31— Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168592
record_format	dspace
spelling	Стецюк, П.І. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. 2020-05-05T13:57:15Z 2020-05-05T13:57:15Z 2020 До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною / П.І. Стецюк, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 1. — С. 23-31— Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2707-4501 DOI:10.34229/2707-451X.20.1.3 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168592 519.85 Досліджується задача побудови кривої лінії в натуральній параметризації, яка проходить через дві задані точки з заданими кутами нахилу дотичних в них та забезпечує заданий кут нахилу дотичної в точці з відомою абсцисою. Наведена система нелінійних інтегральних рівнянь для квадратичної кривини, досліджено її властивості щодо масштабування, описано відповідну задачу мінімізації негладкої функції та алгоритм її розв'язання. Для проектування фрагменту надзвукової частини зовнішнього контуру сопла типу Франкля проведено обчислювальні експерименти, які показали ефективність розробленого методу та алгоритму. Целью статьи является разработка метода, алгоритма и его программной реализации для построения внешнего контура сопла Франкля в сверхзвуковой части с помощью S-образных кривых. В основу метода положено задачу построения кривой в натуральной параметризации, которая проходит через две заданные точки с заданными углами наклона касательных в них и обеспечивает заданный угол наклона касательной в точке с заданной абсциссой [4]. Для управления точкой перегиба S-образной кривой используется угол наклона касательной в точке с известной абсциссой. The aim of the article is to develop a method, an algorithm, and appropriate software for constructing the external contour of the Frankl nozzle in the supersonic part using S-shape curves. The method is based on the problem of constructing a curve with the natural parameterization. The curve passes through two given points with the given inclination angles of the tangents and provides the given inclination angle of the tangent at the point with the given abscissa [4]. To control the inflection point of the S-shaped curve, the inclination angle of the tangent at a point with the known abscissa is used. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та комп’ютерні технології Методи оптимізації та екстремальні задачі До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною К построению внешнего контура сопла Франкля с использованием квадратичной кривизны On construction of the external Frankl nozzle contour using quadratic curvature Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною
spellingShingle	До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною Стецюк, П.І. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. Методи оптимізації та екстремальні задачі
title_short	До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною
title_full	До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною
title_fullStr	До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною
title_full_unstemmed	До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною
title_sort	до побудови зовнішнього контуру сопла франкля за квадратичною кривиною
author	Стецюк, П.І. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л.
author_facet	Стецюк, П.І. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л.
topic	Методи оптимізації та екстремальні задачі
topic_facet	Методи оптимізації та екстремальні задачі
publishDate	2020
language	Ukrainian
container_title	Кібернетика та комп’ютерні технології
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	К построению внешнего контура сопла Франкля с использованием квадратичной кривизны On construction of the external Frankl nozzle contour using quadratic curvature
description	Досліджується задача побудови кривої лінії в натуральній параметризації, яка проходить через дві задані точки з заданими кутами нахилу дотичних в них та забезпечує заданий кут нахилу дотичної в точці з відомою абсцисою. Наведена система нелінійних інтегральних рівнянь для квадратичної кривини, досліджено її властивості щодо масштабування, описано відповідну задачу мінімізації негладкої функції та алгоритм її розв'язання. Для проектування фрагменту надзвукової частини зовнішнього контуру сопла типу Франкля проведено обчислювальні експерименти, які показали ефективність розробленого методу та алгоритму. Целью статьи является разработка метода, алгоритма и его программной реализации для построения внешнего контура сопла Франкля в сверхзвуковой части с помощью S-образных кривых. В основу метода положено задачу построения кривой в натуральной параметризации, которая проходит через две заданные точки с заданными углами наклона касательных в них и обеспечивает заданный угол наклона касательной в точке с заданной абсциссой [4]. Для управления точкой перегиба S-образной кривой используется угол наклона касательной в точке с известной абсциссой. The aim of the article is to develop a method, an algorithm, and appropriate software for constructing the external contour of the Frankl nozzle in the supersonic part using S-shape curves. The method is based on the problem of constructing a curve with the natural parameterization. The curve passes through two given points with the given inclination angles of the tangents and provides the given inclination angle of the tangent at the point with the given abscissa [4]. To control the inflection point of the S-shaped curve, the inclination angle of the tangent at a point with the known abscissa is used.
issn	2707-4501
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168592
citation_txt	До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною / П.І. Стецюк, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 1. — С. 23-31— Бібліогр.: 6 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT stecûkpí dopobudovizovníšnʹogokonturusoplafranklâzakvadratičnoûkrivinoû AT tkačenkoov dopobudovizovníšnʹogokonturusoplafranklâzakvadratičnoûkrivinoû AT gricaiol dopobudovizovníšnʹogokonturusoplafranklâzakvadratičnoûkrivinoû AT stecûkpí kpostroeniûvnešnegokonturasoplafranklâsispolʹzovaniemkvadratičnoikrivizny AT tkačenkoov kpostroeniûvnešnegokonturasoplafranklâsispolʹzovaniemkvadratičnoikrivizny AT gricaiol kpostroeniûvnešnegokonturasoplafranklâsispolʹzovaniemkvadratičnoikrivizny AT stecûkpí onconstructionoftheexternalfranklnozzlecontourusingquadraticcurvature AT tkačenkoov onconstructionoftheexternalfranklnozzlecontourusingquadraticcurvature AT gricaiol onconstructionoftheexternalfranklnozzlecontourusingquadraticcurvature
first_indexed	2025-11-25T20:37:26Z
last_indexed	2025-11-25T20:37:26Z
_version_	1850524424538685440
fulltext	МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА ЕКСТРЕМАЛЬНІ ЗАДАЧІ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 23 КІБЕРНЕТИКА та КОМП'ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ Досліджується задача побудови кривої лінії у натуральній параметризації, яка проходить через дві задані точки з заданими кутами нахилу дотичних у них та забезпечує заданий кут нахилу дотичної у точці з відомою абс- цисою. Наведена система нелінійних інтег- ральних рівнянь для квадратичної кривини, досліджено її властивості щодо масштабу- вання, описано відповідну задачу мінімізації негладкої функції та алгоритм її розв'язання. Для проектування фрагменту надзвукової частини зовнішнього контура сопла типу Франкля проведено обчислювальні експери- менти, які показали ефективність розробле- ного методу та алгоритму. Ключові слова: контур сопла, натуральна параметризація, кривина, негладка оптимі- зація, r-алгоритм.  П.І. Стецюк, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай, 2020 УДК 519.85 DOI:10.34229/2707-451X.20.1.3 П.І. СТЕЦЮК, О.В. ТКАЧЕНКО, О.Л. ГРИЦАЙ ДО ПОБУДОВИ ЗОВНІШНЬОГО КОНТУРА СОПЛА ФРАНКЛЯ ЗА КВАДРАТИЧНОЮ КРИВИНОЮ Вступ. Проектування сопел – важливий елемент при проектуванні авіаційних двигунів [1]. Сопла (Ла- валя, Стентона, Франкля) відрізняються, зокрема, фо- рмою зовнішнього контура, вигляд яких показано на рис. 1. РИС. 1. Форма зовнішнього контура сопла авіаційних двигунів Мета роботи – розробка методу та алгоритму для побудови зовнішнього контура сопла типу Франкля у надзвуковій частині за допомогою S -подібних кривих з використанням натуральної параметризації [2, 3]. Відомими є точки 1 1( , )x y , 2 2( , )x y та кути нахилу дотичних у них, а також кут нахилу дотичної у точці ( , )p px y та її абсциса px для керування точкою пере- гину S -подібної кривої. Кути нахилу дотичних визначаються за формулою: 0 ( ) (0) ( ) s s k s ds     , (1) а координати точок контура – за формулами: 0 ( ) (0) cos ( ) s x s x s ds   , 0 ( ) (0) sin ( ) s y s y s ds   , (2) де ( )k s – задана функція кривини, яка залежить від s – довжини кривої. https://doi.org/10.34229/2707-451X.20.1.3 П.І. СТЕЦЮК, О.В. ТКАЧЕНКО, О.Л. ГРИЦАЙ 24 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 1. Задача та її властивості. Задача полягає у наступному. Потрібно так з'єднати точки 1 1( , )x y та 2 2( , )x y кривою лінією у натуральній параметризації, де кривина 2( )k s as bs c   має квадратичну залежність від довжини дуги, щоб забезпечити в точках 1 1( , )x y та 2 2( , )x y задані значення кутів нахилу дотичних 1 та 2 , а в точці з абсцисою px , де 1 2px x x  , забезпечити кут рівний p . Кути вимірюються в радіанах. Нехай S – довжина кривої від точки 1 1( , )x y до точки 2 2( , )x y , а ps – довжина кривої від точки 1 1( , )x y до точки ( , )p px y . Знаходженню параметрів кривини a , b , c та довжин S , ps відповідає система із п'яти нелінійних рівнянь: 3 2 2 1 1 0 cos 3 2 S as bs x x cs ds              , (3) 3 2 2 1 1 0 sin 3 2 S as bs y y cs ds              , (4) 3 2 2 1 3 2 aS bS cS      , (5) 3 2 1 1 0 cos 3 2 ps p as bs x x cs ds              , (6) 3 2 1 3 2 p p p p as bs cs      . (7) Тут рівняння (3) та (4) зв'язують між собою точки 1 1( , )x y та 2 2( , )x y за формулами (2). Рівняння (5) за формулою (1) забезпечує потрібний кут 2 в точці 2 2( , )x y , який визначається за заданим кутом 1 у точці 1 1( , )x y . Рівняння (6) та (7) забезпечують кут рівний p у точці з абсцисою px . Зазначимо, що ордината py не використовується як невідома змінна. Її значен- ня можна обчислити за формулою 3 2 1 1 0 sin 3 2 ps p as bs y y cs ds              для отриманого значення ps . Лема (про масштабування). Якщо a , b , c , S та * ps є розв'язком системи (3) – (7), то ** * 3/a a  , ** * 2/b b  , ** * /c c  , ** S S  та * * p ps s  – розв'язок наступної системи рівнянь: 3 2 2 1 1 0 cos 3 2 S as bs x x cs ds                , (8) 3 2 2 1 1 0 sin 3 2 S as bs y y cs ds                , (9) 3 2 2 1 3 2 aS bS cS      , (10) ДО ПОБУДОВИ ЗОВНІШНЬОГО КОНТУРА СОПЛА … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 25 3 2 1 1 0 cos 3 2 ps p as bs x x cs ds                , (11) 3 2 1 3 2 p p p p as bs cs      . (12) Доведення. Рівняння (8), (9) та (11) можна записати у такому вигляді: 3 2 2 1 1 0 cos 3 2 S as bs s x x cs d                   , (13) 3 2 2 1 1 0 sin 3 2 S as bs s y y cs d                   , (14) 3 2 1 1 0 cos 3 2 ps p as bs s x x cs d                   . (15) Зробивши заміну 's s  , 3'a a  , 2'b b  та 'c c  , отримаємо: 3 2 3 2'( ') '( ') ' ' 3 2 3 2 as bs a s b s cs c s     . (16) Підставивши (16) у рівняння (13) – (15) та замінивши верхні границі в інтегралах, враховуючи що 'S S  та ' p ps s  , отримуємо рівняння: ' 3 2 2 1 1 0 '( ') '( ') cos ' ' ' 3 2 S a s b s x x c s ds              , (17) ' 3 2 2 1 1 0 '( ') '( ') sin ' ' ' 3 2 S a s b s y y c s ds              , (18) ' 3 2 1 1 0 '( ') '( ') cos ' ' ' 3 2 ps p a s b s x x c s ds              , (19) які повністю еквівалентні рівнянням (3), (4) та (6). Враховуючи (16), отримаємо, що рівняння (10) та (12) еквівалентні рівнянням: 3 2 2 1 '( ') '( ') ' 3 2 a S b S cS      , (20) ' 3 ' 2 ' 1 '( ) '( ) ' 3 2 p p p p a s b s c s      , (21) які співпадають з рівняннями (5) та (7). Лема доведена. Лема дає можливість досить точно знаходити розв'язки системи (3) – (7) для погано масштабованих задач. Так, наприклад, якщо значення координат точки 2 2( , )x y є великими (порядка 1000), то система буде сингулярною, тобто її розв'язок буде включати різного порядку величини, так a буде порядку 910 , а S буде порядку 310 . Тому далеко не кожен метод розв'язання системи нелінійних рівнянь здатен знайти ці параметри з необхідною точністю. П.І. СТЕЦЮК, О.В. ТКАЧЕНКО, О.Л. ГРИЦАЙ 26 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 Водночас нескладна процедура масштабування, де 310  , призводить до того, що усі компоненти розв'язку нової системи мають один порядок. Це дає змогу для компонент розв'язку знайти точними більше значащих цифр, ніж це можна зробити, якщо розв'язувати немасштабовану систему (3) – (7). Для цього достатньо знайти розв'язок масштабованої задачі та перерахувати розв'язок для немасштабованої задачі за формулами леми. 2. Про методи розв'язання задачі. Один із методів знаходження розв'язку системи (3) – (7) наведено у роботі [4]. Тут невідома довжина ps замінена на невідому частку p , таку що 0 1p  , яка визначає долю довжини ps у повній довжині S , тобто pS ps . Метод розв'язання задачі ви- глядає наступним чином. Спочатку з рівнянь (5) та (7) виражаємо невідомі коефіцієнти a і c че- рез невідомий коефіцієнт b та невідомі довжини ps , S . Підставляючи їх у рівняння (3), (4) та (6) отримуємо три інтегральні рівняння, де кількість невідомих зменшилася до трьох ( b , S , ps ), але це відбулося за рахунок ускладнення підінтегральних виразів. Отримана система трьох інтеграль- них рівнянь розв'язується за допомогою метода Хука – Дживса. Складні вирази для підінтегральних функцій затрудняють контроль стартових точок для мето- да Хука – Дживса, що також буде мати місце і при використанні інших методів (наприклад, нью- тонівських та квазиньютонівських). Далі розглянемо метод, який у значній мірі звільнений від вка- заних недоліків. У його основу покладемо модифікацію r-алгоритму [5] для розв'язання спеціаль- ної задачі мінімізації негладкої функції (сума модулів нев 'язок системи (3) – (7)) при контролі обмежень на довжини ps , S , щоб гарантувати їх додатні значення із допустимих діапазонів. Функції нев'язок для рівнянь (3) – (7) мають такий вигляд: 3 2 1 2 1 1 0 ( , , , ) cos 3 2 S as bs f a b c S x x cs ds               , (22) 3 2 2 2 1 1 0 ( , , , ) sin 3 2 S as bs f a b c S y y cs ds               , (23) 3 2 3 2 1( , , , ) 3 2 aS bS f a b c S cS      , (24) 3 2 4 1 1 0 ( , , , ) cos 3 2 ps p p as bs f a b c s x x cs ds               , (25) 3 2 5 1( , , , ) 3 2 p p p p p as bs f a b c s cs      . (26) Спеціальна задача мінімізації суми модулів функцій (22) – (26) має вигляд: знайти 3 5 * * * * * , , , , 1 4 * ( , , , , ) min ( , , , , ) ( , , , ) ( , , , ) p p p i i p a b c S s i i f f a b c S s f a b c S s f a b c S f a b c s                (27) при обмеженнях 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )x x y y S q x x y y        , (28) 1p px x s S   , (29) ДО ПОБУДОВИ ЗОВНІШНЬОГО КОНТУРА СОПЛА … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 27 де 1q  – параметр для управління верхнею межею на загальну довжину кривої. Чим ближчим до одиниці є значення параметра q , тим легше уникнути "циклічних" розв'язків системи (3) – (7). Алгоритм розв'язання задачі (27) – (29) реалізований за допомогою методу мультистарту й octave-функції ralgb5a [6] та знаходить найкращий локальний мінімум негладкої функції за допомогою запуску модифікації r-алгоритму із заданої кількості стартових точок. Алгоритм використовує аналітичний спосіб обчислення узагальнених градієнтів цільової функції (27) та метод трапецій для обчислення інтегралів у формулах (22), (23) та (25). Якщо в результаті пошуку локального мінімуму для задачі (27) – (29) отримуємо * 0f  , то знайдена точка локального мінімуму * * * * , , , , pa b c S s є розв'язком системи (3) – (7). Якщо отримуємо 0f  , то знайдена точка * * * * , , , , pa b c S s не є розв'язком системи (3) – (7). Це може бути як у випадку відсутності розв'язку в системі (3) – (7), так і у випадку, якщо алгоритм застряне в "неоптимальній" точці, враховуючи, що для великих значень параметра q задача (27) – (29) – багатоекстремальна та має багато розв'язків. Обидва ці випадки проаналізуємо далі. 3. Обчислювальний експеримент. Проводився для проектування фрагмента надзвукової час- тини зовнішнього контуру сопла типу Франкля при наступних вихідних даних: 1 1 1 2 2 20, 246, 0 ; 100, 275, 0 ; 70, 12 ,p px y x y x           (30) які при масштабуванні, де ,100 приводилися до таких даних: 1 1 1 2 2 20, 2.46, 0; 1, 2.75, 0; 0.7, 0.209440.p px y x y x           (31) Для даних (30) кути нахилу дотичних задані в градусах, а для даних (31) – в радіанах. Результатом роботи алгоритму для масштабованих даних (31) є фрагмент контуру, який показано на рис. 2 (вверху, зліва). РИС. 2. Розв'язок системи (3) – (7) для даних (31), одна точка перегину П.І. СТЕЦЮК, О.В. ТКАЧЕНКО, О.Л. ГРИЦАЙ 28 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 На даному рисунку показано наступні характеристики контура – графік кутів нахилу дотичних (вверху, праворуч), графіки кривини (знизу, ліворуч) та її похідної (знизу, праворуч). Із графіка кривини бачимо, що профіль адекватно представляється S -подібною кривою, так як точка перегину єдина, їй відповідає рівне нулю значення кривини (позначена "" на графіку). Профіль, що показано на рис. 2, дозволяє моделювати вигляд зовнішнього контура сопла типу Франкля. Йому відповідає наступний розв'язок системи (3) – (7) з масштабованими даними (31): * * * * pa b c S s = 7.92822e+000 –1.14065e+001 3.07557e+000 1.05562e+000 7.53992e – 001 , (32) який для немасштабованих даних є таким: ** pa b c S s = 7.92822e – 006 –1.14065e – 003 3.07557e – 002 1.05562e+002 7.53992e+001 , (33) що легко перераховується за допомогою формул вищенаведеної леми. Алгоритм виявився стійким при пошуку контура (32). Це пояснюється тим, що дані (31) – добре масштабовані і відношення максимальної по модулю компоненти розв'язку до мінімальної є невеликим та рівним 11.4065/0.753992 . Тому при параметрі 1.2q  з усіх п'ятдесяти стартових то- чок, які вибирались випадковими із інтервалу [0, 1], алгоритм збігається до одного і того ж розв'яз- ку системи (3) – (7). Це також справедливо, якщо стартові точки вибирати випадковими з інтерва- лу [0, 10]. Однак, при виборі стартових точок з інтервалу [0, 50] алгоритм у дев'ятнадцяти випадках знайшов розв'язок, а в тридцять першому випадку не зміг знайти розв'язку та зупинився в точках, де значення цільової функції (27) є більшим нуля. Це зумовлено тим, що при 1.2q  розв'язок єдиний і йому відповідає довжина * 1.05562S  , а стартова точка градієнтний процес направляє в ті області, де є інший розв'язок, якому відповідає суттєво більша довжина кривої. Такі розв'язки можна знайти, якщо вибрати значення параметра q більшим, але вони не мають змісту для моделювання зовнішнього контуру сопла типу Франкля. Так, наприклад, на рис. 3 показано розв'язок, який складається із двох ділянок, кожна із яких є S-кривою. РИС. 3. Розв'язок системи (3) – (7) для даних (31), дві точки перегину ДО ПОБУДОВИ ЗОВНІШНЬОГО КОНТУРА СОПЛА … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 29 Цей розв'язок має дві точки перегину (позначені "" на графіку кривини) та не задовольняє вигляду зовнішнього контура сопла Франкля. Йому відповідають такі значення компонент: * * * * * pa b c S s = – 7.03716e+000 1.64890e+001 – 6.19900e+000 2.42487e+000 1.15072e+000 , (34) звідки легко бачити, що профіль (34) характеризується довжиною * 2.42487,S  яка є значно біль- шою за довжину * 1.05562S  профілю (32). Висновки. Запропонований метод і алгоритм побудови зовнішнього контура сопла за допомо- гою S -подібних кривих з використанням натуральної параметризації дозволяє управляти фор- мою контура за допомогою мінімальної кількості параметрів (кут нахилу дотичної у точці з відо- мою абсцисою). При цьому кривина контура змінюється плавно, забезпечуючи тим самим, зокре- ма, його необхідні геометричні та газодинамічні властивості. Обчислювальні експерименти підтверджують стійку роботу алгоритму для добре масштабова- них даних контура, який проектується. Використовуючи отриманий розв’язок легко знаходити досить точні розв’язки для погано масштабованих даних простим їх перерахунком за формулами доведеної леми. У подальшому планується розробити незалежні від масштабу даних методи та алгоритми зна- ходження розв'язку системи (3) – (7), використовуючи модифікації r-алгоритмів, ньютонівські та квазиньютонівські методи. Запропонований підхід до побудови контуру за допомогою S -подібних кривих передбачається використати для розробки геометричної моделі побудови зовнішнього та внутрішнього контурів сопла з центральним тілом. Це одна з актуальних задач для підвищення експлуатаційних якостей сучасних авіаційних двигунів. Список літератури 1. Алемасов В.Е. Теория ракетных двигателей: Учебник для студентов высших технических учебных заведений / В.Е. Алемасов, А.Ф. Дрегалин, А.П. Тишин; Под ред. В.П. Глушко. М.: Машиностроение. 1989. 464 с. 2. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. 4-е изд. М.: Гостехиздат. 1956. 420 с. 3. Борисенко В., Агарков О., Палько К., Палько М. Моделювання плоских кривих у натуральній параметриза- ції. Геометричне моделювання та інформаційні технології. 2016. № 1. С. 21–27. http://nbuv.gov.ua/UJRN/gmtit_2016_1_6 4. Борисенко В.Д., Устенко С.А., Устенко И.В. Геометрическое моделирование s-образных скелетных линий профилей лопаток осевых компрессоров. Вестник двигателестроения. 2018. № 1. С. 45 – 52. https://doi.org/10.15588/1727-0219-2018-1-7 5. Шор Н.З., Стецюк П.И. Использование модификации r-алгоритма для нахождения глобального минимума полиномиальных функций. Кибернетика и системный анализ. 1997. № 4. C. 28 – 49. https://doi.org/10.1007/BF02733104 6. Стецюк П.І. Комп'ютерна програма "Octave-програма ralgb5a: r(α)-алгоритм з адаптивним кроком". Свідоцтво про реєстрацію авторського права на твір № 85010. Україна. Міністерство економічного розвитку і торгівлі. Державний департамент інтелектуальної власності. Дата реєстрації 29.01.2019. Одержано 09.02.2020 Стецюк Петро Іванович, доктор фізико-математичних наук, завідувач відділу Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, stetsyukp@gmail.com http://www.irbis-nbuv.gov.ua/cgi-bin/irbis_nbuv/cgiirbis_64.exe?Z21ID=&I21DBN=UJRN&P21DBN=UJRN&S21STN=1&S21REF=10&S21FMT=JUU_all&C21COM=S&S21CNR=20&S21P01=0&S21P02=0&S21P03=IJ=&S21COLORTERMS=1&S21STR=%D0%96101390 http://nbuv.gov.ua/UJRN/gmtit_2016_1_6 https://doi.org/10.15588/1727-0219-2018-1-7 https://doi.org/10.1007/BF02733104 mailto:kvn_ukr@yahoo.com П.І. СТЕЦЮК, О.В. ТКАЧЕНКО, О.Л. ГРИЦАЙ 30 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 Ткаченко Олександр Володимирович, кандидат фізико-математичних наук, начальник відділу ДП "Івченко-Прогрес", Запоріжжя, avt2007@outlook.com Грицай Ольга Лук'янівна, інженер-програміст ДП "Івченко-Прогрес", Запоріжжя. grlelya@gmail.com УДК 519.85 П.И. Стецюк 1, А.В. Ткаченко 2, О.Л. Грицай 2 К ПОСТРОЕНИЮ ВНЕШНЕГО КОНТУРА СОПЛА ФРАНКЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАДРАТИЧНОЙ КРИВИЗНЫ 1 Институт кибернетики имени В.М. Глушкова, Киев, Украина 2 ГП "Ивченко-Прогресс", Запорожье, Украина 1 Переписка: stetsyukp@gmail.com Цель работы. Разработка метода, алгоритма и его программной реализации для построения внешнего контура сопла Франкля в сверхзвуковой части с помощью S -образных кривых. В основу ме- тода положенo задачу построения кривой в натуральной параметризации, которая проходит через две заданные точки с заданными углами наклона касательных в них и обеспечивает заданный угол наклона касательной в точке с заданной абсциссой [4]. Для управления точкой перегиба S -образной кривой ис- пользуется угол наклона касательной в точке с известной абсциссой. Для задачи, где кривизна задается квадратичной функцией, сформулированa системa пяти нелинейных уравнений, среди которых три уравнения являются интегральными. Система имеет пять неизвестных – три коэффициента квадратич- ной функции, общая длина кривой и длина участка кривой к точке с известной абсциссой. Доказана лемма о связи решений исходной системы и масштабируемой системы, в которой коор- динаты точек домножaются на одинаковую величину. С помощью леммы можно, используя полученнoе решение для хорошо масштабируемой системы, легко находить соответствующее ему решение для пло- хо масштабируемой (сингулярной) системы. Для нахождения решения системы предложено использо- вать модификацию r-алгоритма [5] для решения специальной задачи минимизации негладкой функции (сумма модулей невязок системы) при контроле ограничений на неизвестные длины, чтобы гаранти- ровать их допустимые значения. Алгоритм реализован с помощью метода мультистартa и octave-функции ralgb5a [6]. Он находит наилучший локальный минимум негладкой функции с помощью запуска модификации r- алгоритма с заданного количества стартовых точек. Алгоритм использует аналитическое вычисление обобщенных градиентов целевой функции и метод трапеций для вычисления интегралов. Проведен вычислительный эксперимент для проектирования фрагмента сверхзвуковой части внешнего контура сопла типа Франкля. Он показал эффективность разработанного алгоритма для по- строения S -образных кривых. Ключевые слова: контур сопла, натуральная параметризация, кривизна, негладкая оптимизация, r-алгоритм. mailto:grlelya@gmail.com mailto:stetsyukp@gmail.com ДО ПОБУДОВИ ЗОВНІШНЬОГО КОНТУРА СОПЛА … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 31 UDC 519.85 P. Stetsyuk 1, O. Tkachenko 2, O. Gritsay 2 ON CONSTRUCTION OF THE EXTERNAL FRANKL NOZZLE CONTOUR USING QUADRATIC CURVATURE 1 V.M. Glushkov Institute of Cybernetics, Kyiv, Ukraine 2 SE "Ivchenko-Progress", Zaporozhye, Ukraine 1 Correspondence: stetsyukp@gmail.com The aim of the article is to develop a method, an algorithm, and appropriate software for constructing the external contour of the Frankl nozzle in the supersonic part using S -shape curves. The method is based on the problem of constructing a curve with the natural parameterization. The curve passes through two given points with the given inclination angles of the tangents and provides the given inclination angle of the tangent at the point with the given abscissa [4]. To control the inflection point of the S -shaped curve, the inclination angle of the tangent at a point with the known abscissa is used. In the case, when the curvature is given by a quadratic function, the system of five nonlinear equations is formulated, among which three equations are integral. The system has five unknown variables – three coeffi- cients of the quadratic function, the total length of the curve and the length of the curve to the point with a known abscissa. The lemma on the relation between solutions of the original and the scalable systems, in which the coor- dinates of the points are multiplied by the same value, is proved. Due to this lemma, it becomes possible, using the obtained solution of the well-scalable system, to find easily the corresponding solution of a bad-scalable (singular) system. To find a solution to the system, we suggest to use the modification of the r-algorithm [5] solving special problem on minimization of the nonsmooth function (the sum of the modules of the residuals of the system), under controlling of the constraints on unknown lengths, in order to guarantee their feasible val- ues. The algorithm is implemented using the multistart method and the ralgb5a octave function [6]. It finds the best local minimum of nonsmooth function by starting the modification of the r-algorithm from a given number of starting points. The algorithm uses an analytical computation of generalized gradients of the objec- tive function and the trapezoid rule to calculate the integrals. The computational experiment was carried out to design the fragment of supersonic part in the exter- nal contour of a Frankl-type nozzle. The efficiency of the algorithm, developed for constructing S -shape curves, is shown. Keywords: nozzle contour, natural parameterization, curvature, nonsmooth optimization, r-algorithm. mailto:stetsyukp@gmail.com

До побудови зовнішнього контуру сопла Франкля за квадратичною кривиною

Репозитарії

Схожі ресурси