Еволюція ергодичної теорії

В статті розглянуто передісторію ергодичної теорії, шляхи розвитку комплексу понять та ідей, які привели до формування і розвитку цієї теорії. Проаналізовано відкриття з ергодичної теорії динамічних систем А.М. Колмогорова, його учнів та послідовників. Показано роль українських вчених М.М. Боголюбов...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2019
Main Author:	Кілочицька Т.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки ім. Г.М. Доброва НАН України 2019
Series:	Наука та наукознавство
Subjects:	Історія науки і техніки
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168623
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Еволюція ергодичної теорії / Т.В. Кілочицька // Наука та наукознавство. — 2019. — № 7 (106). — С. 102-115. — Бібліогр.: 35 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-168623
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1686232025-02-23T18:17:26Z Еволюція ергодичної теорії Эволюция эргодической теории Evolution of the Ergodic Theory Кілочицька Т.В. Історія науки і техніки В статті розглянуто передісторію ергодичної теорії, шляхи розвитку комплексу понять та ідей, які привели до формування і розвитку цієї теорії. Проаналізовано відкриття з ергодичної теорії динамічних систем А.М. Колмогорова, його учнів та послідовників. Показано роль українських вчених М.М. Боголюбова та М.М. Крилова у формуванні цієї теорії. Розглянуто праці харківської школи з ергодичної теорії. Проаналізовано основні напрями досліджень та праці видатних вчених, пов’язані з розвитком ергодичної теорії. В статье рассмотрена предыстория эргодической теории, пути развития комплекса понятий и идей, которые привели к формированию и развитию этой теории. Проанализировано открытие из эргодической теории динамических систем А.М. Колмогорова, его учеников и последователей. Показана роль украинских ученых М.М. Боголюбова и М.М. Крылова в формировании этой теории. Рассмотрены труды харьковской школы по эргодической теории. The article provides a historical reconstruction of the origin, formation and development of the ergodic theory in the global context. In 30s of the past century the applied tasks assisted formulation of the theory of nonlinear fluctuations, forming of bases of ergodic theory. G. Birkhoff laid the beginning to the concept of the dynamic system. In 1930s ideas of H. Poincaré laid the beginning of the ergodic theory (G. Birkhoff, John von Neumann, M. Krylov, M. Bogolubov). The article describes the historical sequence of becoming and development of the ergodic theory in Ukraine (world context). In 1950–1970, the theory of the dynamical systems was rapidly developing. 2019 Article Еволюція ергодичної теорії / Т.В. Кілочицька // Наука та наукознавство. — 2019. — № 7 (106). — С. 102-115. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. 0374-3896 DOI: 10.15407/sofs2019.04.102 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168623 531.3 (091): 001.89 uk Наука та наукознавство application/pdf Центр досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки ім. Г.М. Доброва НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Історія науки і техніки Історія науки і техніки
spellingShingle	Історія науки і техніки Історія науки і техніки Кілочицька Т.В. Еволюція ергодичної теорії Наука та наукознавство
description	В статті розглянуто передісторію ергодичної теорії, шляхи розвитку комплексу понять та ідей, які привели до формування і розвитку цієї теорії. Проаналізовано відкриття з ергодичної теорії динамічних систем А.М. Колмогорова, його учнів та послідовників. Показано роль українських вчених М.М. Боголюбова та М.М. Крилова у формуванні цієї теорії. Розглянуто праці харківської школи з ергодичної теорії. Проаналізовано основні напрями досліджень та праці видатних вчених, пов’язані з розвитком ергодичної теорії.
format	Article
author	Кілочицька Т.В.
author_facet	Кілочицька Т.В.
author_sort	Кілочицька Т.В.
title	Еволюція ергодичної теорії
title_short	Еволюція ергодичної теорії
title_full	Еволюція ергодичної теорії
title_fullStr	Еволюція ергодичної теорії
title_full_unstemmed	Еволюція ергодичної теорії
title_sort	еволюція ергодичної теорії
publisher	Центр досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки ім. Г.М. Доброва НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Історія науки і техніки
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/168623
citation_txt	Еволюція ергодичної теорії / Т.В. Кілочицька // Наука та наукознавство. — 2019. — № 7 (106). — С. 102-115. — Бібліогр.: 35 назв. — укр.
series	Наука та наукознавство
work_keys_str_mv	AT kíločicʹkatv evolûcíâergodičnoíteoríí AT kíločicʹkatv évolûciâérgodičeskojteorii AT kíločicʹkatv evolutionoftheergodictheory
first_indexed	2025-11-24T06:41:59Z
last_indexed	2025-11-24T06:41:59Z
_version_	1849652957066297344
fulltext	102 ISSN 1560-4926. Science and Science of Science 2019. № 4 (106) © КІЛОЧИЦЬКА Т.В. 2019 УДК 531.3 (091): 001.89 Т.В. КІЛОЧИЦЬКА, кандидат історичних наук, доцент, доцент кафедри вищої та прикладної математики, доцент кафедри загальнотехнічних дисциплін та креслення, Національний університет «Чернігівський колегіум» імені Т.Г. Шевченка, вул. Гетьмана Полуботка 53, м. Чернігів, Україна, https://orcid.org/0000-0003-4471-0904, e-mail: kilocht@gmail.com ЕВОЛЮЦІЯ ЕРГОДИЧНОЇ ТЕОРІЇ В статті розглянуто передісторію ергодичної теорії, шляхи розвит- ку комплексу понять та ідей, які привели до формування і розвитку цієї теорії. Проаналізовано відкриття з ергодичної теорії динамічних систем А.М. Колмогорова, його учнів та послідовників. Показано роль українських вчених М.М. Боголюбова та М.М. Крилова у формуванні цієї теорії. Розглянуто праці харківської школи з ергодичної теорії. Проаналізовано основні напрями досліджень та праці видатних вче- них, пов’язані з розвитком ергодичної теорії. Продемонстровано, що ергодична теорія виникла при спробі отримати макроскопічний опис фізичних систем виходячи з мікроскопічного опису за допомогою рів- нянь руху; застосування ергодичної теорії до обґрунтування статис- тичної фізики звелось до задачі встановлення метричної тран зи- тивності; ергодичні теореми дають можливість розглядати граничні часові середні або часові середні на нескінченному проміжку часу, тоб- то має місце регулярність поведінки динамічних систем, яка пов’яза- на з усередненням. Ключові слова: ергодичність, ергодична теорія, ергодична гіпотеза, динамічна систе- ма, інваріантна міра. На початку ХХ ст. у різних галузях науки і техніки виникла необхідність створення методів, придатних для побудови вищих наближень; методів для якісного та кількісного ви- вчення процесів, що не є суто періодичними (так званих квазіперіодичних і майже періодичних), які дозволяють досліджувати нестаціонарні процеси, процеси становлен- ня, перехідні процеси. Прикладні задачі 1930-х рр. сприя- ли формуванню теорії нелінійних коливань, становленню основ ергодичної теорії. https://doi.org/10.15407/sofs2019.04.102 ISSN 1560-4926. Наука та наукознавство 2019. № 4 (106) 103 Еволюція ергодичної теорії Зараз ергодична теорія розвивається як суто математична теорія в межах загальної теорії динамічних систем і вивчає перетворення з інваріант ною мі- рою. Дослідження умов, за яких системи з невеликою кількістю степенів сво- боди, які мають статистичні властивості, є ергодичними, класифікація різних типів потоків у фазовому просторі та вивчення їх властивостей є тією части- ною ергодичної теорії, що увійшла в математичну основу нелінійної динаміки. Результати, отримані з ергодичної теорії, знайшли широке застосуван- ня в різних галузях науки і техніки, зокрема в динаміці рідин, теорії ймо- вірностей, теорії випадкових процесів, якісній теорії диференціальних рів- нянь, теорії кодування, комплексній динаміці тощо. Розглянемо шляхи розвитку комплексу понять та ідей, які привели до становлення та розвитку ергодичної теорії. Французький вчений А.Пуанкаре у творах «Про криві, які визначаються диференціальними рівняннями» (1881—1885) та «Нові методи небесної меха- ніки» (1892—1899) провів дослідження характеристик на поверхні тора, от ри- мавши перші топологічні теореми: про індекс циклу і кількість особливих точок, про співвідношення між кількістю особливих точок і родом поверхні. У третьому томі праці «Нові методи небесної механіки», розділі «Стій- кість за Пуасоном» А. Пуанкаре виклав ідею про вивчення поведінки дина- мічних систем «у цілому» та сформулював першу ергодичну теорему — тео- рему про повернення. Доведення цієї теореми було вдосконалено німець- ким математиком К. Каратеодорі у 1919 р. Узагальнювали теорему Пуанкаре Х. Хопф, М.Г. Четаев у 1930—1933 рр. У 1932 р. дослідження А. Пуанкаре доповнив французький математик Л. Данжуа стосовно відображення тора на себе. Він довів існування і роз- глянув властивості квазіперіодичних розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Результати Л. Данжуа у 1930-х рр. використав український вчений М.М. Боголюбов при дослідженні нормальних структур точних розв’язків рівнянь (топологічні методи). Він дійшов висновку, що майже пе- ріодичність є скоріше за все винятком, аніж правилом. При цьому виникла потреба вивчення різних середніх значень динамічних змінних, які розгля- даються як функції часу [1]. В 1930-х рр. ідеї А. Пуанкаре поклали початок ергодичній теорії (Дж. Біркгоф; Дж. фон Нейман; М.М. Крилов, М.М. Боголюбов). Вона ви- никла при спробі отримати макроскопічний опис фізичних систем виходя- чи з мікроскопічного опису за допомогою рівнянь руху. Основоположники статистичної фізики Д.У. Гіббс і Л. Больцман розглядали фазовий простір гамільтонових систем, утворених сукупністю великого числа мікрочастинок. За законом збереження енергії, полишена сама на себе система повин на за- лишатися весь час на деякій гіперповерхні в цьому просторі, що задається умовою сталості енергії. Система, в якій фазові середні збігаються з часови- ми, називається ергодичною. З’ясування умов, за яких система є ергодич- ною, є основною задачею ергодичної теорії. 104 ISSN 1560-4926. Science and Science of Science 2019. № 4 (106) Т.В. Кілочицька У 1871 р. Л.Больцман увів ергодичну гіпотезу — припущення про те, що є фактично тільки одна фазова траєкторія, яка проходить через всі точ- ки ер годичної поверхні (в ізольованій системі фазова траєкторія пройде че- рез кожну точку гіперповерхні постійної енергії). У 1911 р. П. Еренфест і Т. Ерен фест запропонували замінити ергодичну гіпотезу Больцмана квазі- ергодичною гіпотезою, згідно з якою траєкторії проходять через окіл кож- ної точки ергодичної поверхні, утворюючи всюди густу множину. В 1923 р. Е. Фермі в праці з ергодичної теорії намагався довести квазіер- годичну гіпотезу [2]. В своєму доведенні він використовував теорему Брун- са — Пуанкаре про неіснування у канонічної нормальної системи однознач- них, аналітичних, незалежних від часу інтегралів, крім інтеграла енергії. Доведення Фермі не було суворим. Він вказував, що будь-яка нелінійність у системах з великою кількістю степенів свободи приводить до повного руй- нування інтегралів руху і система стає неінтегровною. Ця гіпотеза Е. Фер- мі довгий час була єдиним механізмом, покладеним в основу статистичної механіки. В 1931 р. Дж. Біркгоф довів, що система є ергодичною тоді і тільки тоді, коли її фазовий простір не можна розбити на суму двох інваріантних (які скла даються з цілих траєкторій) множин, кожна з яких має додатний об’єм. У 1931 р. учень Дж. Біркгофа Б. Купман розглянув оператор заміни коор- динат у просторі L2 квадратично інтегрованих комплексних функцій, який відповідає перетворенню, що зберігає міру, і встановив, що група автомор- физмів у цьому просторі породжує групу унітарних операторів. Це дозволи- ло застосовувати теорію самоспряжених та унітарних операторів до вивчен- ня динамічних систем. У 1932 р. Дж. Біркгоф у загальному вигляді довів існування часових се- редніх уздовж окремої траєкторії. Дослідження Біркгофа узагальнені Дж. Нейманом, який займався ви- вченням математичних моделей квантової та класичної механіки (довів ста- тистичну ергодичну теорему), А.Я. Хинчиним (відкинув зайві припущення, надав їй сучасного вигляду), М.М. Криловим та М.М. Боголюбовим. При доведенні ергодичних теорем Дж. Біркгоф та Дж. Нейман припустили наяв- ність у динамічній системі інваріантної міри. Для гамільтонових систем та- кою мірою, згідно з теоремою Ліувілля, є звичайний об’єм фазового прос- тору. Чи існує інваріантна міра у довільної динамічної системи, тоді було невідомо. Загальна теорія міри в нелінійній механіці зумовила подальший розви- ток теорії динамічних систем і дозволила пояснити властивості стаціонар- них рухів, такі як рекурентність, тобто сильну стійкість за Пуасоном, спект- ральність тощо. Розвиток ергодичної теорії відбувався паралельно з розвит- ком теорії операторних алгебр. Результати досліджень з ергодичної теорії було використано в моног- рафії М.М. Крилова і М.М. Боголюбова «Застосування методів нелінійної ISSN 1560-4926. Наука та наукознавство 2019. № 4 (106) 105 Еволюція ергодичної теорії механіки до теорії стаціонарних коливань» (1934) при створенні методу ін- тегральних багатовидів у нелінійній механіці. У цій монографії М.М. Бого- любов і М.М. Крилов ввели поняття інтегрального багатовиду [3, с. 323— 337]. В теорії інтегральних багатовидів розглядаються не індивідуальні роз- в’язки, а інтегральні багато види — не криві, а гіперповерхні, досліджуються деякі функціональні рівняння, що визначають функції, які характеризують багатовиди. У вересні 1935 р. на І Міжнародній топологічній конференції у Москві М.М. Боголюбов виступив з доповіддю «Загальна теорія міри та її застосу- вання до вивчення динамічних систем нелінійної механіки», в якій вико- ристав важливі результати з теорії міри та функціонального аналізу. Профе- сор Вейль (Франція) свою доповідь «Про характеристики на торі і замкнені поверхні» присвятив застосуванню теорем М.М. Крилова та М.М. Боголю - бо ва в цій галузі. У 1937 р. М.М. Крилов та М.М. Боголюбов довели існування інваріант- них мір для широкого класу динамічних систем. Цей важливий результат ві- домий як теорема Крилова — Боголюбова: в компактному фазовому про- сторі динамічної системи існує інваріантна міра [4]. В праці «Інваріантні і транзитивні міри в нелінійній механіці» (1936) М.М. Крилов та М.М. Бого- любов ввели важливе поняття ергодичної множини і довели, що в компакт- ному просторі існує множина, яка може бути розбита на ергодичні множи- ни, які є інваріантними при перетвореннях групи, і на кожному з них можна визначити нормовану, інваріантну і транзитивну міри. Вони довели ряд тео- рем розбиття інваріантної міри на міри, локалізовані в ергодичних множинах. Результати цих досліджень викладено у їхній праці «Загальна теорія міри в нелінійній механіці» (1937) [5]. В ній М.М. Крилов і М.М. Боголюбов дали суворе обґрунтування методу усереднення виходячи з ергодичної теорії, у випадку, коли праві частини рівнянь, які усереднюють, є квазіперіодичними функціями часу. Ця праця є першим визначним результатом з функціональ- ного аналізу в Україні. М.М. Боголюбов та М.М. Крилов у праці «Про деякі проблеми ерго- дичної теорії стохастичних систем» (1939) виклали стохастичні теореми для марковських ланцюгів з довільною кількістю станів і мемуар про рівняння Фоккера — Планка. В цьому мемуарі ці рівняння були отримані як рівнян- ня першого наближення виходячи зі схеми теорії збурень, де не використа- на гіпотеза про існування ймовірностей переходів. Ці отримані наближені рівняння можна використовувати і в класичній, і в квантовій механіці. В одній з праць 1939 р. М.М. Боголюбов вивчив поведінку механічної системи під дією термостата, тобто системи з такої великої кількості час- тинок, які довільно рухаються, що загальні закономірності поведінки цієї системи можна виразити лише за допомогою поняття температури. На прик- ладі цієї задачі можна було переконатися в тому, що опис властивостей сис- теми визначається вибором шкали часу, в залежності від якої поведінка сис- 106 ISSN 1560-4926. Science and Science of Science 2019. № 4 (106) Т.В. Кілочицька теми може бути або детермінованою, або повністю випадковою. Таким чи- ном вперше було введено поняття про ієрархію часу, що стало одним із основних необоротних процесів у сучасній статистичній фізиці і задало на- прямок її розвитку. Дослідження умов, за яких такі системи з невеликою кількістю степенів свободи, які мають статистичні властивості, є ергодичними, класифікація різних типів потоків у фазовому просторі та вивчення їх властивостей є тією частиною ергодичної теорії, що увійшла в математичну основу теорії хаосу. Ще у 1938 р. А.М. Колмогоров навів простіше доведення теореми Бірк- гофа [6]. Під час проведення спецкурсу він довів теорему стосовно зсувів Бернуллі, в якій досліджував квазірегулярні системи (пізніше почали нази- ватися К-системами або системами Колмогорова). В працях А.М. Колмо- горова 1958—1959 рр. з ергодичної теорії введено два фундаментальних поняття — К-системи та динамічної ентропії [7, 8]. За допомогою нового метричного інваріанта динамічної системи — ентропії він довів існування неізоморфних автоморфізмів простору Лебега з парно-кратним лебегов- ським спектром. Цей числовий інваріант автоморфізмів легко описати і обчислити. Виникло питання поширення поняття ентропії на весь клас ди- намічних систем. Одним із важливих наслідків відкриття А.М. Колмого - рова став розподіл усіх динамічних систем на системи з додатною і нульо- вою ентропією. У визначення ентропії вагомий внесок зробив Я.Г. Синай [9]. Він одним із перших знайшов можливість обчислювати ентропію для широкого класу динамічних систем. А.М. Колмогоров запропонував йому обчислити ентро- пію автоморфізму тора. На той час вважалось, що ентропія може бути до- датною лише у динамічних систем ймовірнісного походження, а у класич- них динамічних систем вона повинна дорівнювати нулю. Я.Г. Синай нама- гався довести, що ентропія автоморфізму тора дорівнює нулю, однак у нього це не виходило. Він показав свої дослідження Колмогорову, який одразу сказав, що ентропія повинна бути додатною. Після цього Я.Г. Синай отримав правильний результат. Ентропія Колмогорова — Синая (КС-ент- ропія) є мірою експоненціального зближення або розбиття траєкторій ди- намічної системи. К-системи описують динамічні системи з найслабшими властивостями регулярності та мають додатну ентропію. Ентропія пов’язана з іншою кількісною характеристикою нестійкості траєкторій — з показни- ками Ляпунова (Я.Б. Песин та ін., 1975). В основі їх використання — резуль- тати В.І. Оселедця (1968) та В.М. Милліонщикова (1969) (мультиплікативна ергодична теорема). Подальші відкриття з ергодичної теорії динамічних систем під впливом досліджень А.М. Колмогорова були зроблені його учнями та послідовника- ми Д.В. Аносовим, І.В. Гирсановим, В.А. Рохліним, Я.Г. Синаем, С. Смей- лом. В.А. Рохлін ознайомився з працями Колмогорова з ентропії та запро- понував розв’язати задачі Л.М. Абрамову, А.М. Вершику. ISSN 1560-4926. Наука та наукознавство 2019. № 4 (106) 107 Еволюція ергодичної теорії З жовтня 1958 по травень 1959 р. на механіко-математичному факуль- теті Московського державного університету (МДУ) працював семінар з мет- ричної теорії динамічних систем під керівництвом В.А. Рохліна. Після пе- реїзду Рохліна семінар працював під керівництвом учнів Колмогорова В.М. Алексеева та Я.Г. Синая (60-ті рр.). Теорію міри на той час добре опа- нували А.М. Колмогоров та В.А. Рохлін. В.А. Рохлін умовив Колмогорова відвідувати щотижневий семінар МДУ з ергодичної теорії. У 1959 р. А.М. Колмогоров на семінарі з метричної тео- рії динамічних систем висунув програму дослідження з теорії динамічних систем (1954) та її застосувань до гідродинамічної нестійкості [10]. На се- мінар приїздили з доповідями В.І. Оселедець, Г.А. Маргуліс, А.Б. Каток, А.М. Степін, А.Г. Кушніренко, Б.М. Гуревич, В.М. Алексеев, Д.В. Аносов, Д.К. Фадеев, Ю.В. Линник. Крім того, у 1958 р. А.М. Вершик з аспіранта- ми (В.М. Судаков, Б.М. Макаров, А.М. Каган) організували домашній семі- нар з теорії міри, на якому вивчали лекції американського математика Пол Ричарда Халмоша з ергодичної теорії. На цьому семінарі був присутній і Л.М. Абрамов [11]. У жовтні 1968 р. В.А. Рохлін виступив з останньою допо- віддю на семінарі, почав займатися топологією та алгебраїчною геометрією. Крім ергодичного руху є більш складний вид руху — перемішування (Дж. Гібс, 1902, Е. Хопф, 1937). Властивість перемішування пов’язана з не- стійкістю фазових траєкторій системи стосовно малих збурень початкових умов. З наявності перемішування слідує ергодичність, а не навпаки. Понят- тя перемішування було введено Дж.У. Гібсом при аналізі основ статистич- ної механіки. М.С. Крилов займався дослідженнями перемішування при зіткненні пружних шарів. Він вказав на аналогію між розбіжністю з експоненціаль- ною швидкістю геодезичних ліній (траєкторій вільного руху матеріальної точки), що виходять з однієї точки, та експоненціальною нестійкістю рухів шарів з пружними зіткненнями. Ці дослідження продовжив Я.Г. Синай у за- дачі про геодезичні потоки в просторах від’ємної кривини. У 1963 р. він до- вів ергодичність системи твердих шарів з пружними відображеннями [12]. У 1966 р. Синай опублікував працю «Класичні динамічні системи з парно- кратним лебеговським спектром» [13]. У 1970 р. Синай публікує перше до- ведення теореми розсіюючих більярдів [14]. У цій статті він провів ґрунтов- ний аналіз впливу малих регулярних компонент шарів і показав, що вони зустрічаються досить рідко. За допомогою основної теореми ергодичні влас- тивості більярдів досліджуються значно простіше. Синай довів, що розсію- ючий більярд є К-системою і навіть системою Бернуллі, а отже має власти- вості ергодичності і перемішування, експоненціальну нестійкість траєкто- рій. Вже при N>2 більярдний шар з часом має хаотичний рух. Було доведено, що в простій механічній системі з декількома степенями свободи має місце хаотична динаміка без будь-яких зовнішніх впливів, а тільки завдяки влас- тивості самої системи — нестійкості руху. Цей результат є одним із основних 108 ISSN 1560-4926. Science and Science of Science 2019. № 4 (106) Т.В. Кілочицька при побудові теорії хаосу. Дослідженнями з ергодичної теорії займався аме- риканський математик Д. Орнстейн. Він довів, що ентропія є єдиним інва- ріантом у класі зсувів Бернуллі (Я. Синай довів слабкий ізоморфізм бернул- лівських систем). Д. Орнстейн знайшов інваріантний опис автоморфізмів, ізоморфних зсувам Бернуллі, з використанням ентропії та деяких метрик, в термінах яких визначалась властивість перемішування відповідного випад- кового процесу [15]. Кількісна характеристика нестійкості траєкторій відома як характерис- тичний показник Ляпунова — величина, введена О.М. Ляпуновим (1857— 1918). У 1968 р. радянський математик В.І. Оселедець опублікував найваж- ливіший результат — так звану мультиплікативну ергодичну теорему, яка доз воляє говорити про показники Ляпунова, визначені не для однієї фазо- вої траєкторії, а для безлічі траєкторій. Крім динамічної ентропії, відомої як ентропія Колмогорова — Синая (1959), у 1965 р. трьома американськими математиками введено поняття топологічної ентропії [16]. Загальні властивості цих двох ентропій дослід- жував Ріечан. У 1974 р. він увів загальну схему, частинним випадком якої є ці ентропії [17]. В 70-х рр. існували поняття ентропії (ентропія автоморфіз- мів фон неймановських алгебр), які були аналогами ентропії Колмогоро- ва — Синая [18]. У роботі О. Браттелі 1972 р., присвяченій класифікації операторних ал- гебр, вперше з’явились нескінченні графи (пізніше їх було названо діагра- мами Браттелі) [19]. У 80-х роках ХХ ст. А. Вершик увів перетворення на цих графах, яке пізніше було названо перетворенням Вершика [20]. Будь-який мінімальний і навіть аперіодичний гомеоморфізм канторівської множи- ни можна реалізувати як перетворення Вершика на діаграмі Браттелі. Для мі німальних систем цей результат було отримано у роботі Р. Хермана, Є. Патнама та К. Скау в 1992 р. [21], тоді як для немінімальних аперіодич- них систем відповідну реалізацію було отримано лише у 2006 р. у роботі К. Мединця [22]. Реалізація гомеоморфізму як перетворення Вершика на діаграмі Брат- телі дає змогу ефективно розраховувати значення мір на різноманітних мно- жинах, що відіграє основну роль при класифікації мір. Проблема класифі- кації борелівських мір на топологічних просторах сама по собі є важливою та актуальною. Вперше вона міститься в статтях відомих математиків Дж. Окс- тобі та С. Улама у 1941 р. [23]. Їх результати були поширені на випадки різ- них зв’язних багатовидів [24]. З 1979 р. в численних роботах розглядалася проблема класифікації мір на канторівських множинах, але вивчалися лише ймовірнісні міри, до того ж переважна більшість результатів стосувалася випадку мір Бернуллі [25—27]. Для класифікації канторівських динамічних систем основним є класифіка- ція відповідних інваріантних мір з точністю до гомеоморфізму (топологіч- ної еквівалентності). У 1995 р. Т. Жордано, Є. Патнама і К. Скау, викорис- ISSN 1560-4926. Наука та наукознавство 2019. № 4 (106) 109 Еволюція ергодичної теорії тавши гомеоморфність інваріантних мір, отримали критерій орбітальної еквівалентності для мінімальних динамічних систем [28]. Вивчено випадок мір, інваріантних для підстановочних динамічних систем. Ф. Дюран, Б. Хост та К. Скау довели зв’язок для мінімальних систем [29], а для немінімаль- них аперіодичних систем зв’язок доведено у роботі С. Безуглого, Я. Квят- ковського та К. Мединця [30]. У 1999 р. І. Ейкін розпочав систематичне вив- чення гомеоморфних мір на канторівських множинах [31]. У Фізико-технічному інституті низьких температур НАН України акти- візувалася харківська математична школа, в якій дослідження динамічних систем і споріднених із ними ергодичних систем велися не тільки традицій- ними методами, а і з використанням теорії операторних алгебр, зокрема ал- гебр фон Неймана. Харківська школа відома розробкою топологічних і алгебраїчних ме- тодів в ергодичній теорії. Ергодичною теорією займаються С.І. Безуглий, О.І. Даниленко. Ними розроблено методи траєкторної теорії та абстрактні алгоритми «розрізання та стиковки» для розв’язання актуальних проблем ергодичної теорії. Розроблено нові методи дослідження якісних властивос- тей динамічних систем на нескінченновимірних просторах, які застосовано для вивчення нелінійних (детермінованих та стохастичних) рівнянь з час- тинними похідними та різницевих рівнянь з неперервним часом. С.І. Бе зуг- лий та О.І. Даниленко зробили класифікацію дії груп автоморфізмів на про- сторі з мірою, застосували ідею класичної ергодичної теорії для вивчення перетворень на борелівських та канторівських просторах. У 1985 р. А. Конн та Е.Дж. Вудс при дослідженні проблеми класифікації факторів увели поняття апроксимативної транзитивності. Апроксиматив- но скінченні фактори розпадаються у такий нескінченний добуток, якщо і тільки якщо його потік задовольняє умові, яку вони назвали апроксиматив- ною транзитивністю. Розв’язано проблему зовнішнього спряження для дій зліченних груп автоморфізмів вимірного відношення еквівалентності, яка сформульована видатним математиком А. Коном. Ця проблема споріднена проблемі ізоморфізму дій груп і у деяких випадках вирішується за допомо- гою тотожності числових інваріантів. Визначено та вивчено відношення еквівалентності на множині всіх дій аменабельних груп на просторі з мірою, яке є більш тонким, ніж загальновідома орбітальна еквівалентність. Це до- зволило запропонувати детальнішу класифікацію груп автоморфізмів (С.І. Бе- зуглий). Вперше розглянуто класифікацію нескінченних борелівських мір на канторівських просторах відносно гомеоморфізмів, уведено і досліджено поняття нескінченної недефектної міри, для класу нескінченних недефект- них мір знайдено необхідні й достатні умови для гомеоморфності, узагаль- нено класифікацію мір на випадок некомпактного локально компактного канторівського простору, проведено класифікацію як скінченних, так і не- скінченних мір на некомпактних канторівських множинах. Докладно вив- чено клас орбітальної еквівалентності для підстановочних динамічних сис- 110 ISSN 1560-4926. Science and Science of Science 2019. № 4 (106) Т.В. Кілочицька тем. Зокрема, побудовано нескінченний клас орбітальної еквівалентності серед класу мінімальних підстановочних динамічних систем. Для побудови такого класу використано апарат діаграм Браттелі, а також методи симво- лічної динаміки. Зокрема, знайдено оцінки для функції складності сим- вольних послідовностей, що виникають у підстановочних динамічних сис- темах [32, 33, 34]. Разом із польськими та українськими вченими досліджено структуру інваріантних мір на просторі шляхів довільних діаграм Браттелі. Зокрема, знайдено опис піддіаграм, які є носіями скінченних ергодичних інваріант- них мір, наведено деякі оцінки на кількість ергодичних інваріантних мір для широкого класу діаграм Браттелі. Ергодичні міри є крайніми точками у симплексі інваріантних мір, їх дослідження є вирішальним для вивчення довільних інваріантних мір. Ці результати мають важливе значення для кла- сифікації мір, інваріантних відносно аперіодичних гомеоморфізмів канто- рівських просторів [35]. Отже, розширення напрямів досліджень, дослідження динамічних сис- тем, які діють на просторах різноманітної природи, є сучасною тенденцією. В харківській школі було започатковано дослідження аперіодичних систем на борелівських та канторівських просторах. С.І. Безуглий визначив топо- логії на групі всіх перетворень цих просторів та розв’язав проблеми щодо щільності, типовості та замкнутості підгруп або деяких класів перетворень, використовуючи ідеї класичної ергодичної теорії. В докторській дисертації С.І. Безуглого знайдено повний опис структури коциклів гіперфінітної групи автоморфізмів простору з мірою, які приймають значення або в ло- кально компактній абелевій групі, або в лічильній групі; визначено і повніс- тю вивчено поняття слабкої еквівалентності гіперфінітних груп автомор- фізмів; доведено, що асоційовані з ними дії утворюють повну систему ін- варіантів для слабкої еквівалентності; розв’язано задачу продовження та класифікації ергодичних дій локально компактних абелевих груп на групові розширення, які отримані за допомогою аменабельних груп. Для розв’язання низки відомих проблем ергодичної теорії розроблено абстрактну апроксимативну схему групових дій, що зберігають міру. Ця схе- ма залежить від зліченної множини параметрів, контроль над якими дозво- лив змоделювати низку нетривіальних властивостей відповідних групових дій. Серед них є властивості як асимптотичного характеру (ранг, перемішу- вання, ентропія тощо), так і неасимптотичного (централізатор, самоприєд- нання, спектральні інваріанти і т. п.). Важливим застосуванням цього під- ходу стала побудова у явному вигляді ергодичних перетворень з однорідним спектром довільної кратності, що продовжило дослідження Рохліна. Ці ре- зультати сприяли подальшим дослідженням загальної проблеми реалізації спектральних кратностей, яка в цілому поки що залишається відкритою (О.І. Даниленко). У 2010 р. О.І. Даниленко (разом із С.І. Безуглим, С.Ф. Ко- лядою, В.І. Коробовим, Ю.Л. Майстренком, О.Ю. Романенком, О.Ю. Теп - ISSN 1560-4926. Наука та наукознавство 2019. № 4 (106) 111 Еволюція ергодичної теорії лінським, В.В. Федоренком, І.Д. Чуєшовим, О.М. Шарковським) нагоро- джено Державною премією України в галузі науки і техніки за цикл науко- вих праць «Теорія динамічних систем: сучасні методи та їх застосування». Отже, ергодична теорія виникла при спробі отримати макроскопічний опис фізичних систем виходячи з мікроскопічного опису за допомогою рів- нянь руху. Застосування ергодичної теорії до обґрунтування статистичної фізики звелось до задачі встановлення метричної транзитивності. Ергодич- ні теореми дають можливість розглядати граничні часові середні або часові середні на нескінченному проміжку часу. Тобто має місце регулярність по- ведінки динамічних систем, яка пов’язана з усередненням. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Bogoliouboff N. Sur l’approximation trigonometriques des fonctions dans l’intervalle infini. Известия АН СССР. 1931. № 1/2. С. 23—54. 2. Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist. Phys. Zs. 1923. B. 24. S. 261—265. 3. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. К.: Изд-во ВУАН, 1934. 108 с. 4. Kryloff N., Bogoliouboff N. La théorie génèrale de la mesure dans son applications a l’étude des système dynamiques de la mécanique non linéaire. Ann. Math. 1937. Vol. 38. P. 65—113. 5. Крилов М.М., Боголюбов М.М. Загальна теорія міри в нелінійній механіці. Збірник праць з нелінійної механіки. К.: Вид-во АН УРСР, 1937. С. 55—112. 6. Колмогоров А.Н. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа — Хин чина. Успехи математических наук. 1938. № 5. С. 52—56. 7. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических сис- тем и автоморфизмов пространства Лебега. ДАН СССР. 1958. Т. 119. Вып. 5. С. 861—864. 8. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте ав- томорфизмов. ДАН СССР. 1959. Т. 124. Вып. 4. С. 754—755. 9. Синай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы. ДАН СССР. 1959. Т. 124. Вып. 4. С. 768—771. 10. Абрамов Л.М., Синай Я.Г. О семинаре по метрической теории динамических систем в МГУ под руководством В.А. Рохлина. Успехи математических наук. 1959. Т. 14. Вып. 6(90). С. 223—225. 11. Рохлин В.А. Избранные работы. Воспоминания о Рохлине. Материалы к биографии. МЦНМО, 2010. 572 c. 12. Синай Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики. ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 6. С. 1261—1264. 13. Синай Я.Г. Классические динамические системы со счетнократным лебеговским спектром. II. Известия АН СССР. Серия математическая. 1966. Т. 30. № 1. С. 1568. 14. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями. Успехи математичес- ких наук. 1970. Т. 25. Вып. 4. С. 141—192. 15. Орнстейн Д. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. М.: Мир, 1978. 168 с. 16. Adler R.L., Konheim A.G., Andrew Мс. Topological entropy. Мс. Andrew — Trans. AMS., 1965. 114-309-319. 17. Riecan В. Abstract entropy. Acta F.R.N. Univ. Comen. — Mat. 1974. P. 55—67. 18. Отокар Грошек. Энтропия на алгебраических структурах. Mathematica Slovaca. 1979. Vol. 29. No 4. P. 411—424. 112 ISSN 1560-4926. Science and Science of Science 2019. № 4 (106) Т.В. Кілочицька 19. Bratteli O. Inductive limits of finite-dimensional C-algebras. Trans. Am. Math. Soc. 1972. № 171. P. 195—234. 20. Вершик А. М. Теорема о марковской периодической аппроксимации в эргодической теории. Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1982. Т. 115. С. 72—82. 21. Herman R.H., Putnam I., Skau C. Ordered Bratteli diagrams, dimension groups, and topological dynamics. Int. J. Math. 1992. Vol. 3. P. 827—864. 22. Medynets K. Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams. Comptes Rendus Mathematique. 2006. Vol. 342. Issue 1. P. 43—46. 23. Oxtoby J.C., Ulam S.M. Measure preserving homeomorphisms and metrical transitivity. Ann. Math. (2). 1941. Vol. 42. P. 874—920. 24. Alpern S., Prasad V.S. Typical Dynamics of Volume Preserving Homeomorphisms. Camb- ridge: Cambridge University Press, 2000. 240 p. 25. Navarro-Bermudez F.J. Topologically equivalent measures in the Cantor space. Proc. Am. Math. Soc. 1979. Vol. 77. P. 229—236. 26. Akin E., Dougherty R., Mauldin R.D., Yingst A. Which Bernoulli measures are good measures? Colloq. Math. 2008. Vol. 110. P. 243—291. 27. Austin T.D. A pair of non-homeomorphic product measures on the Cantor set. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2007. Vol. 142. P. 103—110. 28. Giordano T., Putnam I., Skau C. Topological orbit equivalence and C-crossed products. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1995. Vol. 469, Р. 51—112. 29. Durand F., Host B., Skau C. Substitutional dynamical systems. Bratteli diagrams and di- mension groups. Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1999. Vol. 19. P. 953—993. 30. Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Aperiodic substitution systems and their Bratteli diagrams. Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2009. Vol. 29. No 1. P. 37—72. 31. Akin E. Good Measures on Cantor space. Transactions of the American Mathematical Society. 2005. Vol. 357. No 7. P. 2681—2722. 32. Karpel O. Infinite measures on Cantor spaces. Journal of Difference Equations and Applications. 2012. Vol. 18(4), P. 703—720. 33. Karpel O. Good measures on locally compact Cantor sets. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2012. Vol. 8, No 3. P. 260—279. 34. Bezuglyi S., Karpel O. Orbit Equivalent Substitution Dynamical Systems and Complexity. Proceedings of the American Mathematical Society. 2014. Vol. 142. P. 4155—4169. 35. Bezuglyi S., Karpel O., Kwiatkowski J. Subdiagrams of Bratteli diagrams supporting finite invariant measures. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2015. Vol. 11. No 1. P. 3—17. Одержано 20.05.2019 REFERENCES 1. Bogoliouboff, N. (1931). Sur l’approximation trigonometriques des fonctions dans l’intervalle infini. Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 1(2), 23—54 [in Russian]. 2. Fermi, E. (1923). Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergo- disch ist. Phys. Zs., 24, 261—265. 3. Krylov, N.M. & Bogolyubov, N.N. (1934). Applications of methods of non-linear mechanics to the theory of stationary vibrations. Kyiv: All-Ukrainian Academy of Sciences, 108 [in Russian]. 4. Kryloff, N. & Bogoliouboff, N. (1937). La théorie génèrale de la mesure dans son applications a l’étude des système dynamiques de la mécanique non linéaire. Ann. Math., 38, 65—113. 5. Krylov, M.M., Boholiubov, M.M. (1937). The general theory of measure in non-linear mechanics. Collection of works on non-linear mechanics. Kyiv: the USSR Academy of Scien- ces, 55—112 [in Ukrainian]. ISSN 1560-4926. Наука та наукознавство 2019. № 4 (106) 113 Еволюція ергодичної теорії 6. Kolmogorov, A.N. (1938). A simplified proof of the ergodic Birgof — Klinchin theorem. Advances of mathematical sciences, 5, 52—56 [in Russian]. 7. Kolmogorov, A.N. (1958). A new metric invariant of transit dynamic systems and auto morp- hisms of the Lebed space. Reports of the USSR Academy of Sciences, 119(5), 861—864 [in Russian]. 8. Kolmogorov, A.N. (1959). Entropy per time unit: a metric invariant of automorphisms. Re- ports of the USSR Academy of Sciences, 124(4), 754—755 [in Russian]. 9. Sinay, Ya. G. (1959). The notion of the dynamic system’s entropy. Reports of the USSR Aca- demy of Sciences, 124/4, 768—771 [in Russian]. 10. Abramov, L.M. & Sinay, Ya.G. (1959). A seminar devoted to the metric theory of dynamic system of Moscow State University, supervised by V.A. Rokhlin. Advances of mathematical sciences, 14/6(90), 223—225 [in Russian]. 11. Rokhlin, V.A. (2010). Selected works. Supplements to the biography. MTsNMO [in Russian]. 12. Sinay, Ya.G. (1963). Justification of the ergodic hypothesis for one dynamic system of the statistical mechanics. Reports of the USSR Academy of Sciences, 153(6), 1261—1264 [in Russian]. 13. Sinay, Ya.G. (1966). Classical dynamic systems with the even Lebedev spectrum. II. Pro- ceedings of the USSR Academy of Sciences. Series: Mathematics, 30(1), 1568 [in Russian]. 14. Sinay, Ya.G. (1970). Dynamic systems with elastic reflections. Advances of mathematical scien ces, 25(4), 141—192 [in Russian]. 15. Ornsteyn, D. (1978). The ergodic theory, randomness and dynamic systems. Moscow: Mir. [in Russian]. 16. Adler, R.L., Konheim, A.G. & Andrew, Мс. (1965). Topological entropy. Мс. Andrew — Trans. AMS., 114, 309—319. 17. Riecan, В. (1974). Abstract entropy. Acta F.R.N. Univ. Comen. — Mat., 55—67. 18. Otokar, Grošek. (1979). Entropy on algebraic structures. Mathematica Slovaca. 29 (4), 411— 424 [in Russian]. 19. Bratteli, O. (1972). Inductive limits of finite-dimensional C-algebras. Trans. Am. Math. Soc., 171, 195—234. 20. Vershik, A. M. (1982). The theorem on Markov periodic approximation in the egrodic theory. Proceedings of scientific seminars of Leningrad Optical Mechanical Institute, 115, 72—82 [in Russian]. 21. Herman, R.H., Putnam, I. & Skau, C. (1992). Ordered Bratteli diagrams, dimension groups, and topological dynamics. Int. J. Math., 3, 827—864. 22. Medynets, K. (2006). Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams. Comptes Rendus Mat- hematique, 342, issue 1, 43—46. 23. Oxtoby, J.C. & Ulam, S.M. (1941). Measure preserving homeomorphisms and metrical tran- sitivity. Ann. Math. (2), 42, 874—920. 24. Alpern, S. & Prasad, V.S. (2000). Typical Dynamics of Volume Preserving Homeomorphisms. Cambridge: Cambridge University Press, 240. 25. Navarro-Bermudez, F.J. (1979). Topologically equivalent measures in the Cantor space. Proc. Am. Math. Soc., 77, 229—236. 26. Akin, E., Dougherty, R., Mauldin, R.D. & Yingst, A. (2008). Which Bernoulli measures are good measures? Colloq. Math., 110, 243—291. 27. Austin, T.D. (2007). A pair of non-homeomorphic product measures on the Cantor set. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 142, 103—110. 28. Giordano, T., Putnam, I. & Skau, C. (1995). Topological orbit equivalence and C-crossed pro ducts. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 469, 51—112. 29. Durand, F., Host, B. & Skau, C. (1999). Substitutional dynamical systems. Bratteli diagrams and dimension groups. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 19, 953—993. 114 ISSN 1560-4926. Science and Science of Science 2019. № 4 (106) Т.В. Кілочицька 30. Bezuglyi, S., Kwiatkowski, J. & Medynets, K. (2009). Aperiodic substitution systems and their Bratteli diagrams. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 29(1), 37—72. 31. Akin, E. (2005). Good Measures on Cantor space. Transactions of the American Mathematical Society, 357(7), 2681—2722. 32. Karpel, O. (2012). Infinite measures on Cantor spaces. Journal of Difference Equations and App lications, 18(4), 703—720. 33. Karpel, O. (2012). Good measures on locally compact Cantor sets. J. Math. Phys. Anal. Geom., 8(3), 260—279. 34. Bezuglyi, S. & Karpel, O. (2014). Orbit Equivalent Substitution Dynamical Systems and Comp- lexity. Proceedings of the American Mathematical Society, 142, 4155—4169. 35. Bezuglyi, S., Karpel, O. & Kwiatkowski, J. (2015). Subdiagrams of Bratteli diagrams suppor- ting finite invariant measures. J. Math. Phys. Anal. Geom., 11(1), 3—17. Received 20.05.2019 Т.В. Килочицкая, кандидат исторических наук, доцент, доцент кафедры высшей и прикладной математики, доцент кафедры общетехнических дисциплин и черчения, Национальный университет «Черниговский коллегиум» имени Т.Г. Шевченко, ул. Гетмана Полуботко 53, г. Чернигов, Украина, https://orcid.org/0000-0003-4471-0904, e-mail: kilocht@gmail.com ЭВОЛЮЦИЯ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ В статье рассмотрена предыстория эргодической теории, пути развития комплекса по- нятий и идей, которые привели к формированию и развитию этой теории. Проанализи- ровано открытие из эргодической теории динамических систем А.М. Колмогорова, его учеников и последователей. Показана роль украинских ученых М.М. Боголюбова и М.М. Крылова в формировании этой теории. Рассмотрены труды харьковской школы по эргодической теории. Проанализированы основные направления исследований и ра- бот выдающихся ученых, связанные с развитием эргодической теории. Продемонстри- ровано, что эргодическая теория возникла при попытке получить макроскопическое описание физических систем исходя из микроскопического описания с помощью урав- нений движения; применение эргодической теории к обоснованию статистической фи- зики свелось к задаче установления метрической транзитивности; эргодические теоремы дают возможность рассматривать предельные часовые средние или часовые средние на бесконечном промежутке времени, то есть имеет место регулярность поведения дина- мических систем, которое связано с усреднением. Ключевые слова: эргодичность, эргодическая теория, эргодическая гипотеза, динамическая система, инвариантная мера. ISSN 1560-4926. Наука та наукознавство 2019. № 4 (106) 115 Еволюція ергодичної теорії Т.V. Kilochytska, PhD (History), associate professor, associate professor of Department for Higher and Applied Mathematics, associate professor of Department for General Technical Disciplines and Drawing, T.H. Shevchenko National University “Chernihiv Collegium”, Henman Polubotko str., 53, Chernihiv, Ukraine, https://orcid.org/0000-0003-4471-0904, e-mail: kilocht@gmail.com EVOLUTION OF THE ERGODIC THEORY The article provides a historical reconstruction of the origin, formation and development of the ergodic theory in the global context. In 30s of the past century the applied tasks assisted formulation of the theory of nonlinear fluctuations, forming of bases of ergodic theory. G. Birkhoff laid the beginning to the concept of the dynamic system. In 1930s ideas of H. Poincar laid the beginning of the ergodic theory (G. Birkhoff, John von Neumann, M. Krylov, M. Bogolubov). The article describes the historical sequence of becoming and development of the ergodic theory in Ukraine (world context). In 1950—1970, the theory of the dynamical systems was rap- idly developing. The ergodic theory develops as cleanly mathematical theory within the frame- work of the general theory of the dynamical systems and studies of transformation with an invari- ant measure. The article shows ways of developing a set of concepts and ideas that resulted in creating of the ergodic theory (for example, in 1934 M. Bogolubov and M. Krylov introduced the concept of integral manifold, put beginning to asymptotic theory of nonlinear mechanics, in 1958—1959 А. Коlmogorov introduced two fundamental concepts — К-system and dynamical entropy, in 1959 Yakov Sinai developed a concept of entropy, in 1965 three American mathematicians put beginning to the concept of topological entropy). In the article, opening is considered from the ergodic theory of the dynamic systems of А. Коlmogorov and his followers. Dynamical entropy is well-known as entropy of Коlmogorov — Sinai entropy (1959). Numerous works are analyzed, published since 1979, in which the problem of classification of measures was examined on Cantor sets. Probability measures were studied in these works only, majority of results touched the case of Bernoulli measures. Тhe article shows the contribution of Ukrainian scientists in formation of ergodic theory. Works of ergodic theory of M. Bogolubov and M. Krylov are analyzed. A review of works of the Kharkiv school, devoted to the ergodic theory, is made. Expansion of research directions, re- search of the dynamical systems operating in spaces of various nature are a modern tendency. Keywords: ergodic theorem, ergodic process, ergodic theory, dynamical system, invariant measure.

Еволюція ергодичної теорії

Institution

Similar Items