Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії
Серед двовимірних комутативних, асоціативних алгебр з одиницею над полем комплексних чисел другого рангу знайдено опис алгебр B₀ (складається з єдиної напівпростої алгебри), які містять базис (e₁, e₂), такий, що e₁⁴ + 2pe₁²e₂² + e₂⁴ = 0 для кожного фіксованого p, -1 < p < 1....
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169121 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії / C.В. Грищук // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 18-29. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169121 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1691212025-02-09T17:51:22Z Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії Моногенные функции в двумерных коммутативных алгебрах для уравнений плоской ортотропии Monogenic functions in two dimensional commutative algebras to equations of plane orthotropy Грищук, C.В. Серед двовимірних комутативних, асоціативних алгебр з одиницею над полем комплексних чисел другого рангу знайдено опис алгебр B₀ (складається з єдиної напівпростої алгебри), які містять базис (e₁, e₂), такий, що e₁⁴ + 2pe₁²e₂² + e₂⁴ = 0 для кожного фіксованого p, -1 < p < 1. Среди двумерных коммутативных, ассоциативных алгебр второго ранга с единицей над полем комплексных чисел найдено множество алгебр B₀ (состоит из одной полупростой алгебры), которые содержат базисы (e₁, e₂), такие, что e₁⁴ + 2pe₁²e₂² + e₂⁴ = 0 для каждого фиксированного p, -1 < p < 1. Among all two-dimensional commutative and assosiative algebras of the second rank with the unity e over the field of complex numbers C we find a semi-simple algebra B₀ := {c₁e + c₂ω : ck ∊ C, k = 1, 2} ω² = e, containing a basis (e₁, e₂), such that e₁⁴ + 2pe₁²e₂² + e₂⁴ = 0 for any fixed p such that -1 < p < 1. Робота частково підтримана грантом Міністерства освіти і науки України (проект № 0116U001528). 2018 Article Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії / C.В. Грищук // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 18-29. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1683-4720 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-3 MSC: 30G35, 74B05 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169121 517.5, 539.3 uk Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Серед двовимірних комутативних, асоціативних алгебр з одиницею над полем комплексних чисел другого рангу знайдено опис алгебр B₀ (складається з єдиної напівпростої алгебри), які містять базис (e₁, e₂), такий, що e₁⁴ + 2pe₁²e₂² + e₂⁴ = 0 для кожного фіксованого p, -1 < p < 1. |
| format |
Article |
| author |
Грищук, C.В. |
| spellingShingle |
Грищук, C.В. Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| author_facet |
Грищук, C.В. |
| author_sort |
Грищук, C.В. |
| title |
Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії |
| title_short |
Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії |
| title_full |
Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії |
| title_fullStr |
Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії |
| title_full_unstemmed |
Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії |
| title_sort |
моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169121 |
| citation_txt |
Моногенні функції у двовимірних комутативних алгебрах для рівнянь плоскої ортотропії / C.В. Грищук // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 18-29. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT griŝukcv monogennífunkcííudvovimírnihkomutativnihalgebrahdlârívnânʹploskoíortotropíí AT griŝukcv monogennyefunkciivdvumernyhkommutativnyhalgebrahdlâuravnenijploskojortotropii AT griŝukcv monogenicfunctionsintwodimensionalcommutativealgebrastoequationsofplaneorthotropy |
| first_indexed |
2025-11-29T01:57:15Z |
| last_indexed |
2025-11-29T01:57:15Z |
| _version_ |
1850088041071247360 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32
УДК 517.5, 539.3
DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-3
c⃝2018. C.В. Грищук
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ У ДВОВИМIРНИХ КОМУТАТИВНИХ
АЛГЕБРАХ ДЛЯ РIВНЯНЬ ПЛОСКОЇ ОРТОТРОПIЇ
Серед двовимiрних комутативних, асоцiативних алгебр з одиницею над полем комплексних чисел
другого рангу знайдено опис алгебр B0 (складається з єдиної напiвпростої алгебри), якi мiстять
базис (e1, e2), такий, що e41 + 2pe21e
2
2 + e42 = 0 для кожного фiксованого p, −1 < p < 1. Будуються
B0-значнi “аналiтичнi” функцiї Φ(xe1 + ye2) ((e1, e2) фiксований, x та y є дiйсними змiнними),
такi, що їх дiйснозначнi компоненти-функцiї задовольняють рiвняння для знаходження функ-
цiї напружень u у випадку ортотропних плоских деформацiй
(
∂4
∂x4
+ 2p ∂4
∂x2∂y2
+ ∂4
∂y4
)
u(x, y) = 0.
Знайдено характеризацiю розв’язкiв u даного рiвняння у обмежених однозв’язних областях через
дiйснi компоненти функцiї Φ.
MSC: 30G35, 74B05.
Ключовi слова: анiзотропне (ортотропне) середовище, комутативнi алгебри, моногеннi функ-
цiї, функцiя напружень.
1. Модель механiки суцiльних середовищ.
Розглянемо однорiдне плоске анiзотропне тiло, що геометрично зображується
у виглядi областi D декартової площини xOy, а фiзично пiдпорядковується уза-
гальненому закону Гука виглядуσx
τxy
σy
=
1
1−(a12)2
0 − a12
1−(a12)2
0 1
2(p−a12) 0
− a12
1−(a12)2
0 1
1−(a12)2
εx
γxy
εy
, (1)
що у оберненiй формi перетворюється на
εx = σx + a12σy, γxy = 2 (p− a12) τxy, εy = a12σx + σy, (2)
де σx, τxy, σy i εx,
γxy
2 , εy є компонентами тензору напружень [3, c. 15] i деформацiй
[3, c. 16], вiдповiдно, p — дiйсне число.
Числова матриця (її елементи — дiйснi числа) у правiй частинi рiвностi (1)
(матриця модулей пружностi [3, c. 25]) є додатньо визначеною (див., наприклад,
[4]). Тому маємо систему нерiвностей вiдносно a12:{
1
1−(a12)2
> 0,
1
2(p−a12) > 0.
(3)
Робота частково пiдтримана грантом Мiнiстерства освiти i науки України (проект
№ 0116U001528).
18
Моногеннi функцiї у двовимiрних комутативних алгебрах для рiвнянь плоскої ортотропiї
Очевидно, що система (3) має непорожнiй розв’язок лише при p > −1.
Для випадку p > −1, одержуємо шуканi числовi промiжки (розв’язки системи
(3)) для a12:
−1 < a12 < p. (4)
Випадок p > 1 розглянуто у [1, 2]. Значення p = 1 вiдповiдає iзотропному
середовищу.
Тому скрiзь у данiй роботi, будемо вважати, що p є довiльним чином фiксова-
ним числом, таким, що
−1 < p < 1. (5)
Вiдмiтимо також, що узагальнений закон Гука (1) (або (2)) вiдповiдає плоскому
випадку анiзотропiї, який називається ортотропним (див. [3, c. 33–34]), причому
його частинному випадку.
Враховуючи узагальнений закон Гука (2), рiвняння для знаходження функцiї
напружень u(x, y) (σx(x◦, y◦) = ∂2u
∂y2
(x◦, y◦), τxy(x◦, y◦) = − ∂2u
∂x∂y (x◦, y◦),
σy(x◦, y◦) =
∂2u
∂x2
(x◦, y◦) при всiх (x◦, y◦) ∈ D) має вигляд (див., наприклад, [3–7]):
l̃pu(x, y) :=
(
∂4
∂x4
+ 2p
∂4
∂x2∂y2
+
∂4
∂y4
)
u(x, y) = 0. (6)
Як зазначалось вище, рiвняння (6) при p ≤ −1 не має застосувань у плоскiй анi-
затропнiй теорiї пружностi.
Рiвняння (6) є частинним випадком узагальненого бiгармонiчного рiвняння (да-
ний термiн вживається, наприклад, в [5, c. 603] або [8]), останнє вiдповiдає за-
гальному випадку плоскої анiзотропiї (за умови, що коефiцiєнти пiдпорядкованi
вiдповiдному узагальненому закону Гука) та є рiвнянням для функцiї напружень.
Введемо для кожних комплексних чисел c1, c2, ck ∈ C, k = 1, 2, позначення:
lp(c1, c2) := c41 + 2pc21c
2
2 + c42. (7)
Характеристичне рiвняння для (6) має вигляд
lp(s, 1) ≡ s4 + 2ps2 + 1 = 0, s ∈ C, (8)
його коренi є комплексними i попарно рiзними:
{s1, s2, s1, s2} =: ker lp(s, 1), (9)
де x+ iy := x − iy ≡ Rez − iImz, x, y ∈ R, z = x + iy (i — уявна комплексна
одиниця);
s1 = P1 − P2i, s2 = −P1 + P2i, P1 =
√
2(1− p)
2
, P2 =
√
2(1 + p)
2
. (10)
19
C.В. Грищук
Очевидно, що
(P1)
2 + (P2)
2 = 1, (P1)
2 − (P2)
2 = −p, P1P2 =
√
1− p2
2
, Pk ̸= 0, k = 1, 2. (11)
З (10) та (11) одержуємо спiввiдношення мiж s1 i s2:
s1 + s2 = 0, s1s2 = p+
√
1− p2 i, s1 ̸= s1, s1 ̸= s2. (12)
2. Комутативнi алгебри другого рангу над полем комплексних чисел
та їх базиси, асоцiйованi з рiвнянням (6).
Знайдемо усi можливi асоцiативнi, комутативнi над полем комплексних чисел
C алгебри другого рангу з одиницею e, якi мiстять принаймнi один базис (e1, e2),
що задовольняє умову, асоцiйовану з рiвнянням (6), а саме:
Lp(e1, e2) := e41 + 2pe21e
2
2 + e42 = 0. (13)
Крiм того, розширимо поставлену задачу питанням про знаходження у шуканих
алгебрах (або алгебрi у випадку, коли вона єдина) базисiв (e1, e2), що задовольня-
ють умову (13).
При p > 1 дана проблема поставлена та розв’язана у [1], а при p = 1 — схожа
проблема (з додатковою умовою: e21 + e22 ̸= 0) у [9].
Як вiдомо (див. [10]), iснує (з точнiстю до iзоморфiзму) двi асоцiативнi, кому-
тативнi над полем комплексних чисел C алгебри другого рангу з одиницею e. Це
алгебри, породженi базисами (e, ρ), (e, ω), вiдповiдно:
B := {c1e+ c2ρ : ck ∈ C, k = 1, 2}, ρ2 = 0, (14)
B0 := {c1e+ c2ω : ck ∈ C, k = 1, 2}, ω2 = e. (15)
Очевидно, що алгебра B0 є напiвпростою (див. означення, наприклад, у [11, c. 37]),
мiстячи базис з ортогональних iдемпотентiв (I1, I2), де
I1 =
1
2
(e+ ω) , I2 =
1
2
(e− ω) , I1I2 = 0. (16)
Очевидно, що
I1 + I2 = e, I1 − I2 = ω. (17)
Зв’язок алгебри (15) з алгебрами, якi є загальновживаними у зарубiжних нау-
кових працях, наведено у [1].
Оскiльки алгебра B мiстить ненульовий радикал {cρ : c ∈ C} (див. [12]), то
алгебра B не є напiвпростою. Елемент a = c1e + c2ρ з B є оборотним тодi i
тiльки тодi, коли c1 ̸= 0, у випадку виконання цiєї умови справедлива рiвнiсть:
a−1 = 1
c1
e− c2
(c1)2
ρ (див. [13]).
Теорема 1. Алгебра B не мiстить жодного базису (e1, e2), що задовольняє
умову (13).
20
Моногеннi функцiї у двовимiрних комутативних алгебрах для рiвнянь плоскої ортотропiї
Iснує множина потужностi континуум, що складається з базисiв (e1, e2),
ek ∈ B0, k = 1, 2, якi задовольняють (13):
e1 = α I1 + β I2, e2 = s̃1α I1 + s̃2β I2 ∀α, β ∈ C \ {0}, (18)
де s̃1 ̸= s̃2, s̃k ∈ ker lp(s, 1), k = 1, 2.
Доведення. Нехай iснують шуканi базиси у алгебрi B. Тодi ek = αke + βkρ,
αk ∈ C, βk ∈ C, k = 1, 2, ∆e1,e2 := α1β2 − α2β1 ̸= 0. Розглянемо два можливi
випадки:
1) Iснує обернений елемент e−1
2 до e2: e−1
2 e2 = e.
2) Не iснує e−1
2 .
Нехай має мiсце випадок 1). Тодi iснують α, β ∈ C, α2 + β2 ̸= 0, такi, що
e1e
−1
2 = αe+ βρ =: E.
Доведемо, що β ̸= 0. Нехай β = 0, тодi e1e−1
2 = αe, α ̸= 0. Домножаючи останню
рiвнiсть на e2, приходимо до: e1 = αe2, що суперечить спiввiдношенню ∆e1,e2 ̸= 0.
Отже, β ̸= 0.
Враховуючи, що E2 = α2e+2αβρ, E4 = α4e+4α3βρ, одержуємо пiсля множення
обох частей рiвностi (13) на (e−1
2 )4 ланцюжок рiвностей:
0 = (e−1
2 )4Lp(e1, e2) = Lp(E, e) ≡ lp(α, 1)e+ 4αβ
(
α2 + p
)
ρ.
Тому, маємо систему рiвнянь: lp(α, 1) = 0, αβ
(
α2 + p
)
= 0. Беручи до уваги рiвно-
стi (9), (10) та нерiвностi (5), β ̸= 0, приходимо до висновку, що дана система не
має розв’язкiв.
Нехай має мiсце випадок 2). Тодi базиснi елементи подаються у виглядi: e2 =
α2ρ, α2 ∈ C \ {0}, e1 = α1e + β1ρ. Встановлюємо, що α1 ∈ C \ {0}, оскiльки у
протилежному випадку ∆e1,e2 = 0. Тому, одержуємо нерiвнiсть Lp(e1, e2) = e41 ≡
α4
1e+ 4α3
1β1ρ ̸= 0, що протирiчить умовi (13).
Тому не iснує базисiв (e1, e2), ek ∈ B, k = 1, 2, що задовольняють умову (13).
Безпосередня перевiрка показує, що базиси (18) задовольняють умову (13).
Теорему доведено. �
Зауважимо, що при при p > 1 аналогiчна теорема доведена у [1], там знайдено
усi шуканi базиси.
У данiй роботi акцентуємо увагу на базисi з (18) у випадку α = β = 1, а саме:
e1 = I1 + I2 ≡ e, e2 = s̃1I1 + s̃2 I2, (19)
де
(s̃1, s̃2) ∈ {(s1, s2), (s1, s2), (s1, s2), (s1, s2), (s2, s1), (s2, s1), (s2, s1), (s2, s1)} , (20)
тобто s̃k, k = 1, 2, крiм умов теореми 1 задовольняють ще одну додаткову:
s̃1 ̸= s̃2.
21
C.В. Грищук
Зауважимо, що формула (19) описує також усi базиси (e1, e2), що задовольня-
ють умову (13) з точнiстю до перестановки (термiн вживається у [1]) для випадку,
коли один з базисних елементiв спiвпадає з одиницею алгебри e, а другий має
коефiцiєнти Ak ∈ C , k = 1, 2, вiдповiдно при iдемпотентах Ik, k = 1, 2, що задо-
вольняють умову: A1 ̸= A2.
З (19) одержуємо вираження iдемпотентiв Ik, k = 1, 2, через ek, k = 1, 2:
I1 = s̃2s12 e1 − s12 e2, I2 = −s̃1s12 e1 + s12 e2, (21)
де
s12 :=
1
s̃2 − s̃1
.
З урахуванням (19) та (21) одержуємо рiвностi
e1 = e, e1e2 = e2, e
2
2 = −s̃1s̃2 e1 + (s̃1 + s̃2) e2. (22)
3. Моногеннi функцiї площини, породженої елементами (20).
Розглянемо площину µe1,e2 := {xe1 + ye2 : x, y ∈ R} над полем дiйсних чисел
R, де ek, k = 1, 2, визначаються рiвностями (19).
Нехай D є областю декартової площини xOy. Позначимо: Dζ := {ζ = xe1 +
ye2 ∈ µe1,e2 : (x, y) ∈ D}.
Надалi, вважатимемо: (x, y) ∈ R2, ζ = xe1 + ye2 ∈ µe1,e2 .
Зауважимо, що якщо кожен елемент ζ ∈ µe1,e2 \ {0} є оборотним.
Розглядаємо моногеннi в Dζ функцiї, тобто функцiї Φ: Dζ −→ B0 вигляду:
Φ(ζ) = U1(x, y) e1 + U2(x, y) ie1 + U3(x, y) e2 + U4(x, y) ie2, (23)
що мають класичну похiдну Φ′(ζ) в кожнiй точцi ζ з Dζ :
Φ′(ζ) := lim
h→0, h∈µe1,e2
(
Φ(ζ + h)− Φ(ζ)
)
h−1 . (24)
Кожну компоненту Uk : D −→ R, k ∈ {1, . . . , 4}, з (23) позначаємо через Uk [Φ],
тобто Uk [Φ(ζ)] := Uk(x, y), k ∈ {1, . . . , 4}.
Аналогiчно [1, Теорема 2] встановлюємо наступну теорему.
Теорема 2. Функцiя Φ: Dζ −→ B0 є моногенною в областi Dζ тодi i тiльки
тодi, коли її компоненти Uk : D −→ R, k = 1, 4, з розкладу (23) диференцiйовнi в
областi D та виконується наступний аналог умов Кошi – Рiмана:
∂Φ(ζ)
∂y
e1 =
∂Φ(ζ)
∂x
e2 ∀ ζ = xe1 + ye2 ∈ Dζ . (25)
22
Моногеннi функцiї у двовимiрних комутативних алгебрах для рiвнянь плоскої ортотропiї
Пiдставляючи у (25) розклад (23), далi, використовуючи (22), одержуємо по-
компонентну форму рiвностi (25) у виглядi системи чотирьох рiвнянь вiдносно
компонент Uk, k = 1, 4, функцiї (23):
∂U1(x, y)
∂y
= −Re (s̃1s̃2)
∂U3(x, y)
∂x
+ Im (s̃1s̃2)
∂U4(x, y)
∂x
, (26)
∂U2(x, y)
∂y
= −Im (s̃1s̃2)
∂U3(x, y)
∂x
− Re (s̃1s̃2)
∂U4(x, y)
∂x
, (27)
∂U3(x, y)
∂y
=
∂U1(x, y)
∂x
+Re (s̃1 + s̃2)
∂U3(x, y)
∂x
−
− Im (s̃1 + s̃2)
∂U4(x, y)
∂x
, (28)
∂U4(x, y)
∂y
=
∂U2(x, y)
∂x
+ Im (s̃1 + s̃2)
∂U3(x, y)
∂x
+
+ Re (s̃1 + s̃2)
∂U4(x, y)
∂x
, (29)
для кожного (x, y) ∈ D.
Для змiнної ζ = xe1 + ye2 ∈ µe1,e2 (або (x, y) ∈ R2) та довiльним чином фiксо-
ваної пари (s̃1, s̃2) з (20) введемо до розгляду комплекснi змiннi Zk ∈ C, k = 1, 2,
за допомогою формул
Zk = x+ s̃ky, k = 1, 2, (30)
а також областi комплексної площини:
DZk := {Zk = x+ s̃ky ∈ C : xe1 + ye2 ∈ Dζ}, k = 1, 2. (31)
З рiвностей (19) випливає, що змiнна ζ подається у виглядi
ζ = Z1I1 + Z2I1. (32)
Аналогiчно [1, Теорема 3] встановлюємо наступну теорему.
Теорема 3. Функцiя Φ: Dζ −→ B0 є моногенною в областi Dζ тодi i тiльки
тодi, коли має мiсце рiвнiсть
Φ(ζ) = F1 (Z1) I1 + F2 (Z2) I2 ∀ζ ∈ Dζ , (33)
де Fk є деякою голоморфною функцiю комплексної змiнної Zk в областi DZk , вiд-
повiдно при k = 1, 2.
Оскiльки з iснування границi (24) випливає, що функцiя Φ: Dζ −→ B0 є непе-
рервною, то функцiя Φ є також моногенною у сенсi робiт [14–16] (неперервнi i
диференцiйовнi за Гато у напрямку додатних променiв). Для позначення остан-
ньої моногенностi будемо вживати термiн G+-моногеннiсть. Аналогiчно випад-
ку p > 1, де показано, що G+-моногеннi функцiї зображаються у виглядi (33)
23
C.В. Грищук
(див. [1, 14–16]), доводимо аналогiчне твердження для випадку −1 < p < 1. Тому,
як i при p > 1, обидва види моногенностi (моногеннiсть у сенсi рiвностi (24) та
G+-моногеннiсть) спiвпадають.
Пiдставляючи (21) у (33), та, замiнюючи, без втрати загальностi, s12s̃2F1 на F1,
а (−s12s̃1)F2 на F2, одержуємо зображення моногенної функцiї Φ за базисом (19)
у виглядi
Φ(ζ) = (F1(Z1) + F2(Z2)) e1 −
(
1
s̃2
F1(Z1) +
1
s̃1
F2(Z2)
)
e2 ∀ζ ∈ Dζ . (34)
4. Моногеннi функцiї площини, породженої елементами (20), та рiв-
няння (6).
З теореми 3 випливає, що моногенна функцiя (23) має похiднi довiльного по-
рядку Φ(k), k = 1, 2, . . . . Наслiдком цього є рiвностi
l̃pΦ(ζ) = Lp(e1, e2)Φ(ζ) ≡ 0 ∀ζ ∈ Dζ . (35)
З (35) та моногенностi l̃pΦ випливають рiвностi
Uk
[
l̃pΦ(ζ)
]
= 0 ∀ζ ∈ Dζ , k = 1, 4, (36)
тобто, дiйснозначнi компоненти-функцiї Uk = Uk [Φ], k = 1, 4, з (23) задовольняють
рiвняння (6) в областi D.
З рiвностi (34) випливає, що компоненти Uk(x, y) = Uk [Φ(ζ)], k = 1, 4, моноген-
ної функцiї Φ, є нескiнченно диференцiйовними в областi D. Таку саму гладкiсть
мають компоненти Uk, k = 1, 4, розв’язкiв систему рiвнянь (26) – (29)
Будемо вважати тут i надалi, що область D є обмеженою i однозв’язною.
Вiдомо (див., наприклад, [3, §20, c. 136] або [4]), що загальний розв’язок рiв-
няння (6) подається у виглядi:
u(x, y) = Re (F1 (Z1) + F2 (Z2)) ∀(x, y) ∈ D, (37)
Fk : DZk −→ C, k = 1, 2, — довiльнi аналiтичнi функцiї вiдповiдних комплексних
змiнних.
Користуючись (34), переписуємо рiвнiсть (37) у виглядi
u(x, y) = U1 [Φ(ζ)] ∀ζ ∈ Dζ , (38)
де Φ: Dζ −→ B0 — довiльна моногенна функцiя.
Позначемо через V0 := (U10, U20, U30, U40), де U10 ≡ 0,
Uk0 := Uk : D −→ R, k = 2, 4, є нескiнченно диференцiйовними в D функцiя-
ми, що задовольняють систему рiвнянь (26)–(29). Зауважимо, що V0 є загальним
розв’язком розв’язком системи (26)–(29) з U1 ≡ 0.
Нехай Φ1,0 : Dζ −→ B0 є довiльною моногенною функцiєю, такою, що Uk [Φ1,0] =
Uk0, k = 1, 4.
24
Моногеннi функцiї у двовимiрних комутативних алгебрах для рiвнянь плоскої ортотропiї
Для фiксованого розв’язку u рiвняння (6) справедливий обернений результат
про його подання через моногеннi функцiї Φ.
Теорема 4. Нехай u — певний розв’язок рiвняння (6). Деякi аналiтичнi функ-
цiї Fk : DZk −→ C, k = 1, 2, задовольняють рiвнiсть (37). Моногенна функцiя
Φ12 : Dζ −→ B0 задовольняє умову
U1 [Φ12(ζ)] + iU2 [Φ12(ζ)] = F1(Z1) + F2(Z2)∀ζ ∈ Dζ . (39)
Усi моногеннi функцiї Φ, такi, що
U1 [Φ] = u(x, y)∀(x, y) ∈ D, (40)
подаються у виглядi
Φ(ζ) = Φ12(ζ) + Φ1,0(ζ)∀ζ ∈ Dζ . (41)
Доведення. Доведення теореми випливає з вищенаведених мiркувань та лiнiй-
ностi операцiї U1 [·]. �
Зауважимо, що аналогiчнi твердження до теореми 4 можна встановити для
iнших компонент Uk = Uk [Φ], k ∈ {2, 3, 4}.
Розглянемо випадки, коли Φ1,0 знаходиться у явному виглядi. Нехай s̃k := sk,
k = 1, 2. Тодi, використовуючи (12) для системи рiвнянь з частинними похiдними
першого порядку (26) – (29) з U1 ≡ 0, та здiйснюючи елементарнi перетворення,
приходимо до рiвносильної системи
∂U3(x, y)
∂x
= −
√
1− p2
∂U2(x, y)
∂y
, (42)
∂U4(x, y)
∂x
= −p ∂U2(x, y)
∂y
, (43)
∂U3(x, y)
∂y
= 0, (44)
∂U4(x, y)
∂y
=
∂U2(x, y)
∂x
, (45)
для кожного (x, y) ∈ D.
Оскiльки l̃p (U3) = 0 в областi D (далi, для спрощення запису, будемо, при
нагодi, опускати дане словосполучення), то пiдставляючи (44) у зазначене вище
рiвняння, приходимо до рiвностi ∂4U3
∂x4
= 0, тому з використанням останньої рiв-
ностi та рiвнянь-наслiдкiв з (44) виду ∂
∂y
(
∂kU3
∂xk
)
= 0 (k ∈ {3, 2, 1, 0}), одержуємо
послiдовним iнтегруванням рiвностi
∂2U3
∂x3
= const,
∂2U3
∂x2
= P1(x),
∂2U3
∂x
= P2(x), U3 = P3(x),
25
C.В. Грищук
де const позначає довiльну дiйсну сталу, Pk(x) є полiномом вiдносно дiйсної змiнної
x з (довiльними) дiйсними коефiцiєнтами, що є не вище k-го степеня для кожного
k ∈ {1, 2, 3}.
Отже, доведена рiвнiсть
U3(x, y) = P3(x) ∀(x, y) ∈ D. (46)
Пiдставляючи (46) у (42), одержуємо
∂U2(x, y)
∂y
=
√
1− p2
p2 − 1
P ′
3(x) ∀(x, y) ∈ D, (47)
де P ′
3 позначає похiдну вiд P3.
Пiдставляючи тепер вже (47) у (43), маємо
∂U4(x, y)
∂x
=
p
√
1− p2
1− p2
P ′
3(x) ∀(x, y) ∈ D. (48)
Пiдставляючи (47) у рiвняння, що одержується з (45) при диференцiюваннi
обох частин за змiнною y, приходимо до рiвностi
∂2U4(x, y)
∂y2
=
√
1− p2
p2 − 1
P ′′
3 (x) ∀(x, y) ∈ D. (49)
Для P3 введемо позначення:
P3(x) =
a
6
x3 +
b
2
x2 + cx+ d, (50)
де a, b, c, d — довiльнi дiйснi сталi.
Здiйснюючи мiркуванням для рiвностей (48) i (49) з урахуванням (46), анало-
гiчнi тим, що застосовувались при доведеннi (49), приходимо до рiвностi
U4(x, y) =
√
1− p2
1− p2
(
p
(
a
6
x3 +
b
2
x2 + c x
)
− (ax+ b)
(
y2
2
+ e y
)
+ f
)
∀(x, y) ∈ D,
(51)
де e, f — довiльнi дiйснi сталi.
З урахуванням (51) рiвностi (45), (47) набувають, вiдповiдно, вигляду
∂U2
∂x
= −
√
1− p2
1− p2
(ax+ b)(y + e),
∂U2
∂y
= −
√
1− p2
1− p2
(a
2
x2 + bx+ c
)
.
Звiдки iнтегруванням знаходимо U2, одержуємо рiвнiсть
U2(x, y) = −
√
1− p2
1− p2
((a
2
x2 + bx
)
(2y + e) + cy + g
)
∀(x, y) ∈ D (52)
(g — довiльна дiйсна стала).
Отже, шукана Φ1,0 має компоненти Uk [Φ1,0] = Uk, k = 1, 4, де U1 ≡ 0, U2
визначається рiвнiстю (52), U3 — формулами (46) i (50), U4 — рiвнiстю (51), в усiх
рiвностях a, b, c, d, e, f, g позначають довiльнi дiйснi сталi.
26
Моногеннi функцiї у двовимiрних комутативних алгебрах для рiвнянь плоскої ортотропiї
Цитована лiтература
1. Грищук С.В. Комутативнi комплекснi алгебри другого рангу з одиницею та деякi випадки
плоскої ортотропiї. I // Укр. мат. журн. – 2018. – T. 70, № 8. – С. 1058–1071.
2. Грищук С.В. Комутативнi комплекснi алгебри другого рангу з одиницею та деякi випадки
плоскої ортотропiї. II // Укр. мат. журн. – 2018. – T. 70, № 10. – С. 1382–1389.
3. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 416 c.
4. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды // Труды сейсм.
ин-та АН СССР. – 1938. – № 86. – C. 51–78.
5. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.:
Наука, 1966. – 708 с.
6. Фридман М.М. Математическая теория упругости анизотропных сред // Прикладная мате-
матика и механика. – 1950. – T. 14, № 3. – C. 321–340.
7. Боган Ю.А. Регулярные интегральные уравнения для второй краевой задачи в анизотропной
двумерной теории упругости // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 4. – C. 17–26.
8. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости // Труды сейсм. ин-та АН СССР. – 1934. –
№ 65. – 83 c.
9. Мельниченко И.П. Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга // Укр. мат. журн. –
1986. – Т. 38, № 2. – C. 252–254.
10. Study E. Über systeme complexer zahlen und ihre anwendungen in der theorie der transformation-
sgruppe. Monatshefte für Mathematik. – 1890. – 1, No. 1. –P. 283–354.
11. Чеботарев Н.Г. Введение в теорию алгебр. – Изд. 3-е. /Физико-математическое наследие:
математика (алгебра). – М.: Издательство ЛКИ, 2008. – 88 с.
12. Ковалев В.Ф., Мельниченко И.П. Бигармонические функции на бигармонической плоско-
сти // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1981. – № 8. – C. 25–27.
13. Грищук С.В., Плакса С.А. О логарифмичном вычете моногенных функций бигармонической
переменной. Комплексний аналiз i течiї з вiльними границями // Зб. праць Iн-ту матемема-
тики НАН України. – 2010. – Т. 7, № 2. – C. 227–234.
14. Плакса С.А., Пухтаєвич Р.П. Конструктивний опис моногенних функцiй в скiнченновимiрнiй
напiвпростiй комутативнiй алгебрi // Доповiдi НАН України. – 2014. – № 1. – С. 14–21.
15. Plaksa S.A., Pukhtaievych R.P. Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple commu-
tative algebra // An. St. Univ. Ovidius Constanta. – 2014. – 22, No. 1. – P. 221–235.
16. Shpakivskyi V.S. Monogenic functions in finite-dimensional commutative associative algebras //
Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr. – 2015. – 12, № 3. –P. 251–268.
References
1. Gryshchuk, S.V. (2018). Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some
cases of plane orthotropy. I. Ukr. Mat. Zh., 70 (8), 1058-1071 (in Ukrainian).
2. Gryshchuk, S.V. (2018). Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some
cases of plane orthotropy. II. Ukr. Mat. Zh., 70 (10), 1382-1389 (in Ukrainian).
3. Lekhnitskii, S.G. (1981) Theory of Elasticity of an Anisotropic Body. Мoscow: MIR Publishers.
4. Sherman, D.I. (1938). The plane problem of the theory of elasticity for an anisotropic medium. Tr.
Seism. Inst. Akad. Nauk SSSR, 86, 51-78 (in Russian).
5. Muskhelishvili, N.I. (1977). Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Springer
Netherlands.
6. Fridman, М.М. (1950). Mathematical theory of elasticity in the anisotropic media. Prikl. Mat.
Mech., 14 (3), 321-340 (in Russian).
7. Bogan, Yu.A. (2005). Regular integral equations for the second boundary value problem in anisotropic
two-dimensional theory of elasticity. Izv. Ross. Akad. Nauk, Mekh. Tverd. Tela, 4, 17-26 (in
Russian).
8. Mikhlin, S.G. (1935). The plane problem of the theory of elasticity. Tr. Seism. Inst. Akad. Nauk
SSSR, 65 (in Russian).
27
C.В. Грищук
9. Mel’nichenko, I.P. (1986). Biharmonic bases in algebras of the second rank. Ukr. Mat. Zh., 38 (2),
224-226 (in Russian). Translation in (1986) Ukr. Math. J., 38 (2), 252-254.
10. Study, E. (1890). Über systeme complexer zahlen und ihre anwendungen in der theorie der trans-
formationsgruppe. Monatshefte für Mathematik, 1 (1), 283-354.
11. Chebotarev, N.G. (2008). Introduction to the Theory of Algebras. Moscow: Publ. House “LKI” (in
Russian).
12. Kovalev, V.F., Mel’nichenko, I.P. (1981). Biharmonic functions on the biharmonic plane. Reports
Acad. Sci. USSR, ser. A., 8, 25-27 (in Russian).
13. Gryshchuk, S.V., Plaksa, S.A. (2010). On logarithmic residue of monogenic functions of biharmonic
variable. In Complex analysis and flows with free boundaries. Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr., 7 (2),
227-234 (in Russian).
14. Plaksa, S.A., Pukhtaievych, R.P. (2014). Constructive description of monogenic functions in a
finite-dimensional semisimple commutative algebra. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 1, 14-21 (in
Ukrainian).
15. Plaksa, S.A., Pukhtaievych, R.P. (2014). Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple
commutative algebra. An. St. Univ. Ovidius Constanta, 22 (1), 221-235.
16. Shpakivskyi, V.S. (2015). Monogenic functions in finite-dimensional commutative associative al-
gebras. Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr., 12 (3), 251-268.
S.V. Gryshchuk
Monogenic functions in two dimensional commutative algebras to equations of plane
orthotropy.
Among all two-dimensional commutative and assosiative algebras of the second rank with the unity
e over the field of complex numbers C we find a semi-simple algebra B0 := {c1e + c2ω : ck ∈ C, k =
1, 2}, ω2 = e, containing a basis (e1, e2), such that e41 + 2pe21e
2
2 + e42 = 0 for any fixed p such that
−1 < p < 1. A domain B1 = {(e1, e2)}, e1 = e, is discribed in an explicit form. We consider an approach
of B0-valued “analytic” functions Φ(xe1 + ye2) = U1(x, y)e1 + U2(x, y)ie1 + U3(x, y)e2 + U4(x, y)ie2
((e1, e2) ∈ B, x and y are real variables) such that their real-valued components Uk, k = 1, 4, satisfy the
equation on finding the stress function u in the case of orthotropic plane deformations (with absence
of body forses):
(
∂4
∂x4
+ 2p ∂4
∂x2∂y2
+ ∂4
∂y4
)
u(x, y) = 0 for every (x, y) ∈ D, where D is a domain of
the Cartesian plane xOy. A characterization of solutions u for this equation in a bounded simply-
connected domain via real components Uk, k = 1, 4, of the function Φ is done in the following sense:
let D be a bounded and simply-connected domain, a solution u is fixed, then u is a first component of
monogenic function Φu. The variety of such Φu is found in a complete form. We consider a particular
case of (e, e2) ∈ B1 for which Φu can be found in an explicit form. For this case a function Φu is
obtained in an explicit form. Note, that in case of orthotropic plane deformations, when Eqs. of the
stress function is of the form:
(
∂4
∂x4
+ 2p ∂4
∂x2∂y2
+ ∂4
∂y4
)
u(x, y) = 0, here p is a fixed number such that
p > 1, a similar research is done in [Gryshchuk S. V. Сommutative сomplex algebras of the second
rank with unity and some cases of plane orthotropy. I. Ukr. Mat. Zh. 2018. 70, No. 8. pp. 1058–1071
(Ukrainian); Gryshchuk S. V. Сommutative сomplex algebras of the second rank with unity and some
cases of plane orthotropy. II. Ukr. Mat. Zh. 2018. 70, No. 10. pp. 1382–1389 (Ukrainian)].
Keywords: anisotropic (orthotropic) media, commutative algebras, monogenic functions, stress fun-
ction.
28
Моногеннi функцiї у двовимiрних комутативних алгебрах для рiвнянь плоскої ортотропiї
C.В. Грищук
Моногенные функции в двумерных коммутативных алгебрах для уравнений плос-
кой ортотропии.
Среди двумерных коммутативных, ассоциативных алгебр второго ранга с единицей над полем
комплексных чисел найдено множество алгебр B0 (состоит из одной полупростой алгебры), ко-
торые содержат базисы (e1, e2), такие, что e41 + 2pe21e
2
2 + e42 = 0 для каждого фиксированного p,
−1 < p < 1. Построены B0-значные “аналитические” функции Φ(xe1 + ye2) ((e1, e2) фиксирован,
x и y — действительные переменные), такие, что их вещественнозначные компоненты-функции
удовлетворяют уравнению для функции напряжений u в случае плоских ортотропных деформа-
ций
(
∂4
∂x4
+ 2p ∂4
∂x2∂y2
+ ∂4
∂y4
)
u(x, y) = 0. Найдена характеризация решений u данного уравнения,
рассматриваемого в ограниченных односвязных областях, через вещественнозначные компонен-
ты функции Φ.
Ключевые слова: анизотропная (ортотропная) среда, коммутативные алгебры, моногенные
функции, функция напряжений.
Iнститут математики НАН України, Київ
serhii.gryshchuk@gmail.com
Отримано 03.11.18
29
|