Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами
Проведено спрощення раніше отриманого частотного рівняння власних осесиметричних коливань важкої ідеальної нестисливої рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами у вигляді тонких кругових пластин. Усунено особливість в частотному рівнянні при збігу масових характеристик пластин....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169126 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами / Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 67-77. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169126 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кононов, Ю.М. Джуха, Ю.О. 2020-06-06T11:59:57Z 2020-06-06T11:59:57Z 2018 Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами / Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 67-77. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1683-4720 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-8 MSC: 74F10 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169126 533.6.013.42 Проведено спрощення раніше отриманого частотного рівняння власних осесиметричних коливань важкої ідеальної нестисливої рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами у вигляді тонких кругових пластин. Усунено особливість в частотному рівнянні при збігу масових характеристик пластин. Розглянуто довільні способи закріплення контурів пластин і різні граничні випадки виродження пластин в мембрани та абсолютно жорсткі, випадок відсутності верхньої пластини (рідина з вільною поверхнею), а також випадок невагомості. Показано, що частотний спектр сумісних осесиметричних коливань пружних основ та ідеальної рідини складається з двох наборів частот, що відповідають коливанням верхньої та нижньої пружних основ, і додаткової частоти коливань стовпа рідини як одного цілого. Проведено упрощение ранее полученного частотного уравнения собственных осесимметричных колебаний тяжелой идеальной несжимаемой жидкости в жестком цилиндрическом резервуаре с упругими основаниями в виде тонких круговых пластин. Устранена особенность в частотном уравнении при совпадении массовых характеристик пластин. Рассмотрены произвольные способы закрепления контуров пластин и различные предельные случаи вырождения пластин в мембраны и абсолютно жесткие, случай отсутствия верхней пластины (жидкость со свободной поверхностью), а также случай невесомости. Показано, что частотный спектр совместных осесимметричных колебаний упругих оснований и идеальной жидкости состоит из двух наборов частот, соответствующих колебаниям верхнего и нижнего упругих оснований, и дополнительной частоты колебаний столба жидкости как одного целого. We have simplified the previously received frequency equation of the natural axially symmetric oscillations of a heavy perfect incompressible liquid in a rigid cylindrical reservoir with elastic bases in the form of thin circular plates. The singularity in the frequency equation in the case of the coincidence of mass characteristics of the plates was removed. We have considered arbitrary methods of fixing the contours of the plates and different limiting cases: the degeneration of plates into membranes, absolutely rigid plates, the absence of upper plate (free surface on the liquid), and the case of zero gravity. It has been shown that the frequency spectrum of the coupled axially symmetric oscillations of elastic bases and the ideal liquid consists of two sets of frequencies, corresponding to oscillations of the upper and lower elastic bases, and additional oscillation frequency of a liquid column as a whole. Роботу виконано відповідно до програми фундаментальних досліджень Міністерства освіти і науки України (проект № 0116U002522). uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами Про упрощение частотного уравнения собственных осесимметричных колебаний идеальной жидкости в жестком цилиндрическом резервуаре с упругими основаниями On the simplification of a frequency equation of the natural axially symmetric oscillations of a perfect liquid in a rigid cylindrical reservoir with elastic bases Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами |
| spellingShingle |
Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами Кононов, Ю.М. Джуха, Ю.О. |
| title_short |
Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами |
| title_full |
Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами |
| title_fullStr |
Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами |
| title_full_unstemmed |
Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами |
| title_sort |
про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами |
| author |
Кононов, Ю.М. Джуха, Ю.О. |
| author_facet |
Кононов, Ю.М. Джуха, Ю.О. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про упрощение частотного уравнения собственных осесимметричных колебаний идеальной жидкости в жестком цилиндрическом резервуаре с упругими основаниями On the simplification of a frequency equation of the natural axially symmetric oscillations of a perfect liquid in a rigid cylindrical reservoir with elastic bases |
| description |
Проведено спрощення раніше отриманого частотного рівняння власних осесиметричних коливань важкої ідеальної нестисливої рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами у вигляді тонких кругових пластин. Усунено особливість в частотному рівнянні при збігу масових характеристик пластин. Розглянуто довільні способи закріплення контурів пластин і різні граничні випадки виродження пластин в мембрани та абсолютно жорсткі, випадок відсутності верхньої пластини (рідина з вільною поверхнею), а також випадок невагомості. Показано, що частотний спектр сумісних осесиметричних коливань пружних основ та ідеальної рідини складається з двох наборів частот, що відповідають коливанням верхньої та нижньої пружних основ, і додаткової частоти коливань стовпа рідини як одного цілого.
Проведено упрощение ранее полученного частотного уравнения собственных осесимметричных колебаний тяжелой идеальной несжимаемой жидкости в жестком цилиндрическом резервуаре с упругими основаниями в виде тонких круговых пластин. Устранена особенность в частотном уравнении при совпадении массовых характеристик пластин. Рассмотрены произвольные способы закрепления контуров пластин и различные предельные случаи вырождения пластин в мембраны и абсолютно жесткие, случай отсутствия верхней пластины (жидкость со свободной поверхностью), а также случай невесомости. Показано, что частотный спектр совместных осесимметричных колебаний упругих оснований и идеальной жидкости состоит из двух наборов частот, соответствующих колебаниям верхнего и нижнего упругих оснований, и дополнительной частоты колебаний столба жидкости как одного целого.
We have simplified the previously received frequency equation of the natural axially symmetric oscillations of a heavy perfect incompressible liquid in a rigid cylindrical reservoir with elastic bases in the form of thin circular plates. The singularity in the frequency equation in the case of the coincidence of mass characteristics of the plates was removed. We have considered arbitrary methods of fixing the contours of the plates and different limiting cases: the degeneration of plates into membranes, absolutely rigid plates, the absence of upper plate (free surface on the liquid), and the case of zero gravity. It has been shown that the frequency spectrum of the coupled axially symmetric oscillations of elastic bases and the ideal liquid consists of two sets of frequencies, corresponding to oscillations of the upper and lower elastic bases, and additional oscillation frequency of a liquid column as a whole.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169126 |
| citation_txt |
Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами / Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 67-77. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kononovûm prosproŝennâčastotnogorívnânnâvlasnihosesimetričnihkolivanʹídealʹnoírídinivžorstkomucilíndričnomurezervuarízpružnimiosnovami AT džuhaûo prosproŝennâčastotnogorívnânnâvlasnihosesimetričnihkolivanʹídealʹnoírídinivžorstkomucilíndričnomurezervuarízpružnimiosnovami AT kononovûm prouproŝeniečastotnogouravneniâsobstvennyhosesimmetričnyhkolebaniiidealʹnoižidkostivžestkomcilindričeskomrezervuaresuprugimiosnovaniâmi AT džuhaûo prouproŝeniečastotnogouravneniâsobstvennyhosesimmetričnyhkolebaniiidealʹnoižidkostivžestkomcilindričeskomrezervuaresuprugimiosnovaniâmi AT kononovûm onthesimplificationofafrequencyequationofthenaturalaxiallysymmetricoscillationsofaperfectliquidinarigidcylindricalreservoirwithelasticbases AT džuhaûo onthesimplificationofafrequencyequationofthenaturalaxiallysymmetricoscillationsofaperfectliquidinarigidcylindricalreservoirwithelasticbases |
| first_indexed |
2025-11-25T02:05:03Z |
| last_indexed |
2025-11-25T02:05:03Z |
| _version_ |
1850501431584358400 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32
УДК 533.6.013.42
DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-8
c⃝2018. Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха
ПРО СПРОЩЕННЯ ЧАСТОТНОГО РIВНЯННЯ ВЛАСНИХ
ОСЕСИМЕТРИЧНИХ КОЛИВАНЬ IДЕАЛЬНОЇ РIДИНИ В
ЖОРСТКОМУ ЦИЛIНДРИЧНОМУ РЕЗЕРВУАРI
З ПРУЖНИМИ ОСНОВАМИ
Проведено спрощення ранiше отриманого частотного рiвняння власних осесиметричних коли-
вань важкої iдеальної нестисливої рiдини в жорсткому цилiндричному резервуарi з пружними
основами у виглядi тонких кругових пластин. Усунено особливiсть в частотному рiвняннi при
збiгу масових характеристик пластин. Розглянуто довiльнi способи закрiплення контурiв пла-
стин i рiзнi граничнi випадки виродження пластин в мембрани та абсолютно жорсткi, випадок
вiдсутностi верхньої пластини (рiдина з вiльною поверхнею), а також випадок невагомостi. Пока-
зано, що частотний спектр сумiсних осесиметричних коливань пружних основ та iдеальної рiдини
складається з двох наборiв частот, що вiдповiдають коливанням верхньої та нижньої пружних
основ, i додаткової частоти коливань стовпа рiдини як одного цiлого.
MSC: 74F10.
Ключовi слова: гiдропружнiсть, круговi пружнi пластини, iдеальна нестислива рiдина, осе-
симетричнi коливання.
1. Вступ.
В статтi [1] розглянуто задачу про власнi осесиметричнi коливання важкої
iдеальної нестисливої рiдини в жорсткому цилiндричному резервуарi з пружни-
ми основами у виглядi тонких iзотропних кругових пластин. Частотне рiвняння
представлено у виглядi визначника п’ятого порядку, що має особливiсть при збiгу
масових характеристик пластин. Розглянуто рiзнi граничнi випадки виродження
пластин в мембрани, в абсолютно жорсткi, а також випадок вiдсутностi верхньої
пластини (випадок наявностi вiльної поверхi в рiдини). Ця задача була узагальне-
на в статтi [2] на випадок коаксиального цилiндра з пружними основами у виглядi
кiльцевих пластин з довiльними способами закрiплення контурiв, а в статтi [3] –
на випадок двошарової рiдини. В роботах [4] розглянуто окремi задачi, аналогiчнi
задачi [1] у випадку невагомостi, а в [5] – у випадку вiдсутностi верхної пластини
(випадок наявностi вiльної поверхi в рiдини). Стаття [6] присвячена дослiдженню
впливу перевантаження на осесиметричнi коливання iдеальної рiдини в жорстко-
му цилiндричному резервуарi з закрiпленою на вiльнiй поверхi рiдини мембраною.
Iснує велика кiлькiсть робiт, в яких в лiнiйнiй та нелiнiйнiй постановках дослiд-
жено коливання вiльної поверхнi iдеальної рiдини в круговому резервуарi з пруж-
ним дном, наприклад, [7–9]. Поздовжнi (симетричнi) та поперечнi (несиметричнi)
Роботу виконано вiдповiдно до програми фундаментальних дослiджень Мiнiстерства освiти
i науки України (проект № 0116U002522).
67
Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха
коливання пластини або мембрани на вiльнiй поверхнi iдеальної рiдини в круго-
вому резервуарi з абсолютно жорсткою нижньою основою докладно дослiджено
в статтi [10]. Аналiтично аналiзуються сумiснi гiдропружнi частоти нестисливої
та нев’язкої рiдини в круговому цилiндричному резервуарi з гнучкою мембраною
чи пружною пластиною на вiльнiй поверхнi. Близькою за темою до нашої стат-
тi є робота [11], в якiй дослiджуються коливання однорiдної iдеальної рiдини в
цилiндричному резервуарi з однаковими пружними основами у виглядi кругових
пластин. В нiй запропоновано аналiтичний метод, заснований на розкладаннi в
ряд Фур’є-Бесселя та методi Релея–Рiтца. Для випадку пластини розглянуто рiзнi
граничнi умови. У данiй статтi проведено спрощення частотного рiвняння, отри-
маного в [1]. Воно представлено у виглядi визначника четвертого порядку, усунено
особливiсть в частотному рiвняннi при збiгу масових характеристик пластин, роз-
глянуто довiльнi способи закрiплення контурiв пластин, граничнi випадки вирод-
ження пластин в абсолютно жорсткi, а також випадок невагомостi. Показано, що
частотний спектр сумiсних осесиметричних коливань пружних основ та iдеальної
рiдини складається з двох наборiв частот, що вiдповiдають коливанням верхньої
та нижньої пружних основ i додаткової частоти коливань стовпа рiдини як одного
цiлого. Проведенi числовi дослiдження впливу способiв закрiплення пластин на
частотний спектр.
2. Постановка задачi.
Рис. 1. Постановка задачi.
Розглянемо сумiснi коливання пружних основ i важкої iдеальної нестисливої
рiдини з густиною ρ, що повнiстю заповнює прямий круговий цилiндричний резер-
вуар висоти h i радiуса a з жорсткою боковою поверхнею (рис. 1). Основи резер-
вуара представляють собою круговi iзотропнi пластини зi згинальними жорстко-
стями Di, на якi впливають розтягуючi зусилля Ti в серединнiй площинi (i = 1, 2).
68
Про спрощення рiвняння коливань рiдини в резервуарi з пружними основами
Iндекс i = 1 вiдповiдає верхнiй основi, а i = 2 – нижнiй основi. Цилiндричну систе-
му координат Orθz розмiстимо так, щоби площина Orθ знаходилась на однаковiй
вiдстанi вiд основ, а вiсь Oz була спрямована за вiссю цилiндра протилежно до
вектора прискорення сили тяжiння g⃗. Задачу будемо розглядати в лiнiйнiй поста-
новцi, вважаючи рух рiдини потенцiальним, а сумiснi коливання пластин i рiдини
– безвiдривними.
Рiвняння руху механiчної системи, що розглядається, мають вигляд [1–5,12]:
k01
∂2W1
∂t2
+D1∆
2
2W1 − T1∆2W1 + ρgW1 = ρ
(
Q− ∂Φ
∂t
∣∣∣∣
z=h
2
− g
h
2
)
− gk01, (1)
k02
∂2W2
∂t2
+D2∆
2
2W2 − T2∆2W2 − ρgW2 = −ρ
(
Q− ∂Φ
∂t
∣∣∣∣
z=−h
2
+ g
h
2
)
− gk02, (2)
∆Φ = 0
з урахуванням наступних граничних умов:
∂Φ
∂r
∣∣∣∣
γ
= 0,
∂Φ
∂z
∣∣∣∣
z=h
2
=
∂W1
∂t
,
∂Φ
∂z
∣∣∣∣
z=−h
2
=
∂W2
∂t
, (3)
(Lip [Wi])|γ = 0 (i = 1, 2, p = 1, 2), (4)
1
S
∫
S
W1dS =
1
S
∫
S
W2dS. (5)
Тут k0i = ρ0ih0i;Wi, ρ0i i h0i – вiдповiдно прогин, густина та товщина i-ої пластини;
Φ – потенцiал швидкостей рiдини; Q – довiльна функцiя часу; ∆2 i ∆ = ∆2 +
∂2
∂z2
– вiдповiдно двомiрний та тримiрний оператори Лапласа; S – кругова область, а
γ – її контур (r = a).
3. Виведення статичної крайової задачi та частотного рiвняння сумiс-
них коливань пружних основ i рiдини.
Розглянемо задачу про власнi сумiснi коливання пружних пластин i рiдини.
Для цього представимо прогини пластин у виглядi суми статичного та динамiчного
прогинiв i покладемо Wi(r, t) = eiωtwi(r)+W
st
i (r), ρ (Q− ȧ0) = Q̃eiωt+g(ρh2 +k01)+
C, ρȧ1 h2 = w̃eiωt. Рiвняння (1)–(2) та граничнi умови (4)–(5) матимуть вигляд:
Di∆
2
2wi − Ti∆2wi −
[
k0iω
2 + (−1)iρg
]
wi =
= ρω2
∞∑
n=1
w̃inψn + (−1)i+1Q̃− w̃ (i = 1, 2) ,
(6)
(Lip [wi])|γ = 0 (i = 1, 2, p = 1, 2), (7)
69
Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха
w =
2
a2
a∫
0
rw1 d r =
2
a2
a∫
0
rw2 d r, (8)
де W st
i (r) – статичний прогин пластин, ∆2 =
d2
dr2
+
1
r
d
dr
,
w̃1n =
w1n coshκn − w2n
kn sinhκn
, w̃2n =
w2n coshκn − w1n
kn sinhκn
, w̃ = −ρω2h
2
w,
win =
2π
N2
n
a∫
0
rwiψn d r, (9)
Розв’язання статичної задачi зводиться до наступної крайової задачi:
D1∆
2
2W
st
1 − T1∆2W
st
1 + ρgW st
1 = C − g
(
ρ
h
2
+ k01
)
,
D2∆
2
2W
st
2 − T2∆2W
st
2 − ρgW st
2 = −C − g
(
ρ
h
2
+ k02
)
,(
Lip
[
W st
i
])∣∣
γ
= 0,
a∫
0
rW st
1 d r =
a∫
0
rW st
2 d r.
(10)
Тут невiдомi функцiї W st
i та константа C. Розв’язок крайової задачi (10) наведено
в статтi [12].
Розв’язок кожного рiвняння (6) будемо шукати у виглядi суми загального
розв’язку однорiдного рiвняння та частинного розв’язку неоднорiдного [1–6,12,13]:
wi =
2∑
k=1
w0
ikA
0
ik + ρω2
∞∑
n=1
w̃in
din
ψn + k̃0i
[
Q̃+ (−1)i+1ρω2h
2
w
]
(i = 1, 2), (11)
де
k̃0i =
1
ρg + (−1)ik0iω2
(
ω2 ̸= ρg
k01
)
, din =
(
Dik
2
n + Ti
)
k2n−
[
k0iω
2 + (−1)iρg
]
̸= 0,
A0
ik (i, k = 1, 2), win, Q̃ i w – невiдомi константи.
Пiдставивши (11) в умову (9) i розв’язавши систему двох лiнiйних рiвнянь
70
Про спрощення рiвняння коливань рiдини в резервуарi з пружними основами
вiдносно w1n i w2n, остаточно отримаємо:
w1 =
2∑
k=1
[(
w0
1k +
∞∑
n=1
a11nE
0
1knψn
)
A0
1k +
( ∞∑
n=1
a12nE
0
2knψn
)
A0
2k
]
+
+ k̃01
(
Q̃+ ρω2h
2
w
)
,
w2 =
2∑
k=1
[( ∞∑
n=1
a21nE
0
1knψn
)
A0
1k +
(
w0
2k +
∞∑
n=1
a22nE
0
2knψn
)
A0
2k
]
+
+ k̃02
(
Q̃− ρω2h
2
w
)
.
(12)
Тут
a11n = ω2ρ
kn cothκnd2n − ω2ρ
∆n
, a12n = −ω2knbnd2n
∆n
,
a21n = −ω2knbnd1n
∆n
, a22n = ω2ρ
kn cothκnd1n − ω2ρ
∆n
,
∆n =
(
knd1n − ω2ρ cothκn
) (
knd2n − ω2ρ cothκn
)
− ω4b2n =
= k2nd1nd2n − ω2ρkn cothκn (d1n + d2n) + ω4ρ2, bn =
ρ
sinhκn
,
(13)
E0
ikn =
2π
N2
n
a∫
0
rw0
ikψn d r. (14)
Так, наприклад, при T2 = ∞ коефiцiєнт a11n матиме вигляд:
a11n =
ω2ρ
knd1n tanhκn − ω2ρ
i збiгається з аналогiчним спiввiдношенням з роботи [13].
4. Частотне рiвняння сумiсних симетричних (поздовжнiх) коливань
iдеальної рiдини та пружних основ.
Для отримання частотного рiвняння симетричних коливань рiдини та пружних
основ необхiдно мати ще два рiвняння для невiдомих Q̃ i w. Для цього, пiдставивши
(12) в (8), отримаємо систему:
k̃01Q+ k̃1w = −
2∑
k=1
w̃0
1kA
0
1k,
k̃02Q+ k̃2w = −
2∑
k=1
w̃0
2kA
0
2k,
71
Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха
з якої знайдемо Q i w:
Q =
1
∆
(
−k̃2
2∑
k=1
w̃0
1kA
0
1k + k̃1
2∑
k=1
w̃0
2kA
0
2k
)
,
w =
1
∆
(
k̃02
2∑
k=1
w̃0
1kA
0
1k − k̃01
2∑
k=1
w̃0
2kA
0
2k
)
,
(15)
де k̃1 = k̃01ρ
h
2ω
2 − 1, k̃2 = −k̃02ρh2ω
2 − 1, ∆ = k̃01k̃2 − k̃02k̃1,
w̃0
ik =
2
a2
a∫
0
rw0
ik d r. (16)
Пiдставивши (15) в (12), остаточно отримаємо:
w1 =
2∑
k=1
[(
w0
1k + α1w̃
0
1k +
∞∑
n=1
a11nE
0
1knψn
)
A0
1k+
+
(
α2w̃
0
2k +
∞∑
n=1
a12nE
0
2knψn
)
A0
2k
]
,
w2 =
2∑
k=1
[(
β1w̃
0
1k +
∞∑
n=1
a21nE
0
1knψn
)
A0
1k+
+
(
w0
2k + β2w̃
0
2k +
∞∑
n=1
a22nE
0
2knψn
)
A0
2k
]
.
(17)
Тут
α1 = −
k02 + ρ
(
h+ g
/
ω2
)
k12
, α2 =
k02 + ρg
/
ω2
k12
,
β1 =
k01 − ρg
/
ω2
k12
, β2 = −
k01 + ρ
(
h− g
/
ω2
)
k12
,
k12 = k01 + k02 + ρh.
Таким чином, форми коливань пружних пластин мають вигляд (17).
З умов закрiплення пластин (7) витiкає частотне рiвняння власних сумiсних
осесиметричних коливань двошарової рiдини та пружних основ:∣∣∣∥Cqr∥4
q,r=1
∣∣∣ = 0, (18)
72
Про спрощення рiвняння коливань рiдини в резервуарi з пружними основами
де
C1,k = L0
1k1 + α1w̃
0
1kL
0
11 +
∞∑
n=1
a11nE
0
1knL1n1,
C1,k+2 = α2w̃
0
2kL
0
11 +
∞∑
n=1
a12nE
0
2knL1n1,
C2,k = L0
1k2 + α1w̃
0
1kL
0
12 +
∞∑
n=1
a11nE
0
1knL1n2,
C2,k+2 = α2w̃
0
2kL
0
12 +
∞∑
n=1
a12nE
0
2knL1n2,
C3,k = β1w̃
0
1kL
0
21 +
∞∑
n=1
a21nE
0
1knL2n1,
C3,k+2 = L0
2k1 + β2w̃
0
2kL
0
21 +
∞∑
n=1
a22nE
0
2knL2n1,
C4,k = β1w̃
0
1kL
0
22 +
∞∑
n=1
a21nE
0
1knL2n2,
C4,k+2 = L0
2k2 + β2w̃
0
2kL
0
22 +
∞∑
n=1
a22nE
0
2knL2n2 (k = 1, 2).
(19)
Тут
L0
ikp =
(
Lip
[
w0
ik
])∣∣
γ
, Linp = (Lip [ψn])|γ , L0
ip = (Lip [1])|γ .
Частотний спектр сумiсних симетричних коливань буде складатися з двох на-
борiв частот, що вiдповiдають коливанням пружних основ, i додаткової частоти
коливань стовпа рiдини як одного цiлого.
У статтi [1] було отримано у виглядi визначника п’ятого порядку рiвняння,
аналогiчне рiвнянню (18). Якщо привести визначник п’ятого порядку до визнач-
ника четвертого порядку, то цi рiвняння збiгаються. Слiд зазначити, що рiвняння
роботи [1] мало особливiсть при збiгу масових характеристик пластин (k01 = k02).
У рiвняннi (18) цю особливiсть було усунуто.
Випишемо оператори Lip i значення функцiй Linp, L0
ip для рiзних способiв
закрiплення пружних пластин, а саме закрiпленого, опертого та вiльного кон-
турiв [14]: у випадку закрiпленого контуру
Li1 ≡ 1, Li2 =
d
dr
, Lin1 = 1, Lin2 = 0, L0
i1 = 1, L0
i2 = 0,
у випадку опертого контуру
Li1 ≡ 1, Li2 =
d2
dr2
+
νi
r
d
dr
, Lin1 = 1, Lin2 = −ξ
2
n
a2
, L0
i1 = 1, L0
i2 = 0,
73
Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха
у випадку вiльного контуру
Li1 =
d2
dr2
+
νi
r
d
dr
, Li2 =
d3
dr3
+
1
r
d2
dr2
− 1
r2
d
dr
,
Lin1 = −ξ
2
n
a2
, Lin2 = 0, L0
i1 = 0, L0
i2 = 0,
де νi – коефiцiєнт Пуасона матерiалу i-ої пластини.
У випадку невагомостi (g = 0) частотне рiвняння (18) за однакових умов за-
крiплення верхньої та нижньої пластин буде симетричне вiдносно iндексiв 1 i 2,
що має фiзичне обґрунтування i пiдтверджує правильнiсть виведених рiвнянь.
Якщо нижня або верхня пластина стає абсолютно жорсткою, то вiдповiдно
w2 ≡ 0 (w̃0
2k ≡ 0) або w1 ≡ 0 (w̃0
1k ≡ 0). Переходячи до границi в рiвняннях (13)
при T2 → ∞ або T1 → ∞, вiдповiдно отримаємо a21n → 0, a22n → 0 або a11n → 0,
a12n → 0.
Рiвняння симетричних коливань (18) при T2 = ∞ мають вигляд:∣∣∣∥Cqr∥1,2
q,r=1,2
∣∣∣ = 0, (20)
а при T1 = ∞ – ∣∣∣∥Cqr∥3,4
q,r=3,4
∣∣∣ = 0. (21)
У випадку симетричних коливань в коефiцiєнтах (19) слiд покладати α1 = −1
при T2 = ∞ та β2 = −1 при T1 = ∞ . Це випливає iз значень цих коефiцiєнтiв у
формулах (17) вiдповiдно при k02 = ∞ та k01 = ∞.
Рiвняння (20) збiгається з аналогiчним рiвнянням роботи [13].
У випадку вiдсутностi верхньої пластини та виродження нижньої пластини
в мембрану, з визначника рiвняння (18) необхiдно викреслити перший, другий i
четвертий рядки та перший, другий i четвертий стовпцi:
L0
211 + β2w̃
0
21L
0
21 +
∞∑
n=1
a22nE
0
21nL2n1 = 0. (22)
Частотний спектр рiвняння (22) буде складатися з трьох наборiв частот, що
вiдповiдають коливанням вiльної поверхнi рiдини та пружного дна i коливанням
стовпа рiдини як одного цiлого. Це можна побачити з рiвняння (22), у випадку
закрiпленого контуру, вже при n = 1. З урахуванням одного члена ряду воно
зводиться до рiвняння третього ступеня вiдносно ω2.
Цитированная литература
1. Кононов Ю.Н., Русаков В.Ф., Джуха Ю.А. Осесимметричные колебания упругих оснований
и идеальной жидкости в жестком цилиндрическом резервуаре // Вiсн. Запорiз. нац. ун-ту.
Сер. фiз.-мат. наук. – 2015. – № 2. – С. 105–114.
74
Про спрощення рiвняння коливань рiдини в резервуарi з пружними основами
2. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А. Осесимметричные колебания упругих оснований и идеальной
жидкости в жестком кольцевом цилиндрическом резервуаре // Вiсн. Запорiз. нац. ун-ту. Сер.
фiз.-мат. наук. – 2016. – № 1. – С. 103–115.
3. Кононов Ю.М., Шевченко В.П., Джуха Ю.О. Осесиметричнi коливання пружних кiльце-
вих основ i двошарової iдеальної рiдини в жорсткому кiльцевому цилiндричному резервуарi
// Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2017. – Т. 60, № 1. – С. 85–95.
4. Кононов Ю.М., Шевченко В.П., Джуха Ю.О. Поздовжнi коливання в невагомостi iдеаль-
ної рiдини, що знаходиться в жорсткому кiльцевому цилiгдричному резервуарi з пружними
основами // Вiсн. ДонНУ. Сер. А. – 2016. – № 1–2. – С. 129–138.
5. Кононов Ю.Н., Шевченко В.П., Джуха Ю.А. Осесимметричные колебания двухслойной иде-
альной жидкости со свободной поверхностью в жестком круговом цилиндрическом резервуаре
с упругим дном // Вiсн. ДонНУ. Сер. А. – 2015. – № 1–2. – С. 116–125.
6. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А. Влияние перегрузки на осесимметричные колебания круговой
мембраны, расположенной на свободной поверхности жидкости в цилиндрическом резервуаре
// Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2017. – Т. 14, № 2. – С. 32–41.
7. Bauer H.F., Chang S., Wang J.T.S. Nonlinear liquid motion in a longitudinally excited container
with elastic bottom // AIAA Journal. – 1971. – Vol. 9, No. 12. – P. 2333–2339.
8. Chiba M. Nonlinear hydroelastic vibration of a cylindrical tank with an elastic bottom, containing
liquid. Part II: Linear axisymmetric vibration analysis // Journal of Fluids and Structures. –
1993. – Vol. 7, No. 1. – P. 57–73.
9. Chiba M. Axisymmetric free hydroelastic vibration of a flexural bottom plate in a cylindrical tank
supported on an elastic foundation // Journal of Sound and Vibration. – 1994. – Vol. 169, No. 3. –
P. 387–394.
10. Bauer H.F. Coupled frequencies of a liquid in a circular cylindrical container with elastic liquid
surface cover // Journal of Sound and Vibration. – 1995. – Vol. 180, No. 5. – P. 689–704.
11. Jeong K.-H. Free vibration of two identical circular plates coupled with bounded fluid // Journal
of Sound and Vibration. – 2003. – Vol. 260, No. 4. – P. 653–670.
12. Джуха Ю.О. Статичний прогин пружних основ жорсткого кiльцевого цилiндричного резер-
вуара з рiдиною // Вiсник Днiпропетровського унiверситету. Сер. «Механiка неоднорiдних
структур». – 2017. – № 2 (21). – С. 44–54.
13. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элемента-
ми. – Москва: Машиностроение, 1987. – 232 с.
14. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. – Москва: Машиностроение, 1970. – 736 с.
References
1. Kononov, Yu.N., Rusakov, V.F., Dzhukha, Yu.A. (2015). Axial-symmetric vibrations of elastic
bases and ideal liquid in a rigid cylindrical tank. Visnyk of Zaporizhzhya National University.
Physical & mathematical Sciences, 2, 105-114 (in Russian).
2. Kononov, Yu.N., Dzhukha, Yu.A. (2016). Axisymmetric vibrations of elastic bases and ideal liquid
in a rigid annular cylindrical tank. Visnyk of Zaporizhzhya National University. Physical & mathe-
matical Sciences, 1, 103-115 (in Russian).
3. Kononov, Yu.M., Shevchenko, V.P., Dzhukha, Yu.O. (2017). Axially symmetric oscillations of
elastic annular bases and a perfect two-layer liquid in a rigid annular cylindrical reservoir. Mathe-
matical methods and physicomechanical fields, 60 (1), 85-95 (in Ukrainian).
4. Kononov, Yu.M., Shevchenko, V.P., Dzhukha, Yu.O. (2016). Longitudinal oscillations in zero
gravity of an ideal liquid located in a rigid circular cylindrical reservoir with elastic bases. Bulletin
of Donetsk National University. Series A: Natural Sciences, 1-2, 129-138 (in Ukrainian).
5. Kononov, Yu.N., Shevchenko, V.P., Dzhukha, Yu.A. (2015). Axisymmetric vibrations of a two-layer
ideal liquid with a free surface in a rigid circular cylindrical tank with elastic bottom. Bulletin of
Donetsk National University. Series A: Natural Sciences, 1-2, 116-125 (in Russian).
6. Kononov, Yu.N., Dzhukha, Yu.A. (2017). Influence of overload on axisymmetric oscillations of a
75
Ю.М. Кононов, Ю.О. Джуха
circular membrane located on a free surface of the liquid in a cylindrical reservoir. Zb. prats of the
Inst. of Math. of NASU, 14 (2), 32-41 (in Russian).
7. Bauer, H.F., Chang, S., Wang, J.T.S. (1971). Nonlinear liquid motion in a longitudinally excited
container with elastic bottom. AIAA Journal, 9 (12), 2333-2339.
8. Chiba, M. (1993). Nonlinear hydroelastic vibration of a cylindrical tank with an elastic bottom,
containing liquid. Part II: Linear axisymmetric vibration analysis. Journal of Fluids and Structures,
7 (1), 57-73.
9. Chiba, M. (1994). Axisymmetric free hydroelastic vibration of a flexural bottom plate in a cylin-
drical tank supported on an elastic foundation. Journal of Sound and Vibration, 169 (3), 387-394.
10. Bauer, H.F. (1995). Coupled frequencies of a liquid in a circular cylindrical container with elastic
liquid surface cover. Journal of Sound and Vibration, 180 (5), 689-704.
11. Jeong, K.-H. (2003). Free vibration of two identical circular plates coupled with bounded fluid.
Journal of Sound and Vibration, 260 (4), 653-670.
12. Dzhukha, Yu.O. (2017). Static deflection of elastic bases in an annular cylindrical container with
a liquid. Bulletin of Dnipropetrovsk University. Series: Mechanics, 21 (2), 44-54 (in Ukrainian).
13. Dokuchaev, L.V. (1987). Nonlinear dynamics of aircrafts with deformable elements. Moscow: Ma-
shinostroenie (in Russian).
14. Filippov, A.P. (1970). Oscillations of deformable systems. Moscow: Mashinostroenie (in Russian).
Yu.M. Kononov, Yu.O. Dzhukha
On the simplification of a frequency equation of the natural axially symmetric oscillations
of a perfect liquid in a rigid cylindrical reservoir with elastic bases.
We have simplified the previously received frequency equation of the natural axially symmetric oscil-
lations of a heavy perfect incompressible liquid in a rigid cylindrical reservoir with elastic bases in the
form of thin circular plates. The singularity in the frequency equation in the case of the coincidence
of mass characteristics of the plates was removed. We have considered arbitrary methods of fixing
the contours of the plates and different limiting cases: the degeneration of plates into membranes,
absolutely rigid plates, the absence of upper plate (free surface on the liquid), and the case of zero
gravity. It has been shown that the frequency spectrum of the coupled axially symmetric oscillations
of elastic bases and the ideal liquid consists of two sets of frequencies, corresponding to oscillations of
the upper and lower elastic bases, and additional oscillation frequency of a liquid column as a whole.
Keywords: hydroelasticity, circular elastic plates, ideal incompressible liquid, axially symmetric
oscillations.
Ю.Н. Кононов, Ю.А. Джуха
Про упрощение частотного уравнения собственных осесимметричных колебаний иде-
альной жидкости в жестком цилиндрическом резервуаре с упругими основаниями.
Проведено упрощение ранее полученного частотного уравнения собственных осесимметричных
колебаний тяжелой идеальной несжимаемой жидкости в жестком цилиндрическом резервуаре
с упругими основаниями в виде тонких круговых пластин. Устранена особенность в частотном
уравнении при совпадении массовых характеристик пластин. Рассмотрены произвольные спо-
собы закрепления контуров пластин и различные предельные случаи вырождения пластин в
мембраны и абсолютно жесткие, случай отсутствия верхней пластины (жидкость со свободной
поверхностью), а также случай невесомости. Показано, что частотный спектр совместных осе-
симметричных колебаний упругих оснований и идеальной жидкости состоит из двух наборов
76
Про спрощення рiвняння коливань рiдини в резервуарi з пружними основами
частот, соответствующих колебаниям верхнего и нижнего упругих оснований, и дополнительной
частоты колебаний столба жидкости как одного целого.
Ключевые слова: гидроупругость, круговые упругие пластины, идеальная несжимаемая жид-
кость, осесимметричные колебания.
Донецький нацiональний унiверситет iменi Василя Стуса,
Вiнниця
kononov.yuriy.nikitovich@gmail.com,
yu.djukha@donnu.edu.ua
Отримано 10.12.18
77
|