О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе
В статье найдены условия на комплексную коэффициент уравнений Бельтрами с вырождением условия равномерной эллиптичности в единичном круге, при которых обобщенные гомеоморфные решения непрерывны по Гельдеру на границе. Результаты имеют прикладное значение при исследовании различных краевых задач для...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169129 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 104-114. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859876797999480832 |
|---|---|
| author | Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. |
| author_facet | Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. |
| citation_txt | О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 104-114. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| description | В статье найдены условия на комплексную коэффициент уравнений Бельтрами с вырождением условия равномерной эллиптичности в единичном круге, при которых обобщенные гомеоморфные решения непрерывны по Гельдеру на границе. Результаты имеют прикладное значение при исследовании различных краевых задач для уравнений Бельтрами.
У статті знайдені умови на комплексну коефіцієнт рівнянь Бельтрами з виродженням умови рівномірної еліптичності в одиничному колі, при яких узагальнені гомеоморфні рішення неперервні по Гьольдеру на межі. Результати мають прикладне значення при дослідженні різних крайових задач для рівнянь Бельтрамі.
In the present paper, it is found conditions on the complex coefficient of the Beltrami equations with the degeneration of the uniform ellipticity in the unit disk under which their generalized homeomorphic solutions are continuous by H¨older on the boundary. These results can be applied to the investigations of various boundary value problems for the Beltrami equations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:51:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32
УДК 517.5
DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-11
c⃝2018. В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов
О НЕПРЕРЫВНОСТИ ПО ГЁЛЬДЕРУ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ НА ГРАНИЦЕ
В статье найдены условия на комплексную коэффициент уравнений Бельтрами с вырождением
условия равномерной эллиптичности в единичном круге, при которых обобщенные гомеоморф-
ные решения непрерывны по Гёльдеру на границе. Результаты имеют прикладное значение при
исследовании различных краевых задач для уравнений Бельтрами.
MSC: Primary 30C62, 31A05, 31A20, 31A25, 31B25, 35Q15; Secondary 30E25, 31C05, 34M50, 35F45.
Ключевые слова: непрерывность по Гёльдеру, уравнения Бельтрами, вырождение равномер-
ной эллиптичности.
1. Введение.
В серии недавних работ, при изучении краевых задач Гильберта, Дирихле,
Неймана, Пуанкаре и Римана с произвольными измеримыми граничными данны-
ми для уравнения Бельтрами и обобщений уравнений Лапласа в анизотропных и
неоднородных средах, использовалась логарифмическая ёмкость, см., например,
[2–7]. Как хорошо известно, логарифмическая ёмкость совпадает с так называе-
мым трансфинитным диаметром множества. Из этой геометрической характери-
стики следует, что множества нулевой ёмкости и, как следствие, функции изме-
римые относительно логарифмической ёмкости инвариантны при отображениях
непрерывных по Гёльдеру. Это обстоятельство является мотивировкой нашего ис-
следования.
В дальнейшем, D — область в комплексной плоскости C, т.е. связное открытое
подмножество C. Пусть µ(z) : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в. (почти
всюду) в D. Уравнением Бельтрами называется уравнение вида
fz̄ = µ(z) fz, (1)
где fz̄ = ∂f = (fx + ify)/2, fz = ∂f = (fx − ify)/2, z = x + iy, fx и fy частные
производные f по x и y, соответственно. Функция µ называется комплексным
коэффициентом, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
(2)
дилатационным отношением уравнения (1). Уравнение Бельтрами (1) называется
вырожденным, если ess supKµ = ∞.
104
О непрерывности по Гёльдеру решений уравнений Бельтрами на границе
Существование гомеоморфных решений класса Соболева W 1,1
loc было недавно
установлено для многих вырожденных уравнений Бельтрами при соответствую-
щих условиях на дилатационное отношение Kµ, см., напр., монографии [1] и [11]
с дальнейшими ссылками в них.
2. Определения и предварительные замечания.
Прежде всего, напомним некоторые определения. Борелева функция ρ : C −→
[0,∞] называется допустимой для семейства Γ кривых γ в C, пишут ρ ∈ admΓ,
если ∫
γ
ρ(z) |dz| > 1 (3)
для всех γ ∈ Γ. Cooтветственно, модулем семейства кривых Γ в C называется
величина
M(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
C
ρ2(z) dm(z) , (4)
где m обозначает меру Лебега в C.
Далее C = C ∪ {∞} — одноточечная компактификация комплексной плоско-
сти C. В дальнейшем, в расширенной комплексной плоскости C мы используем
сферическую (хордальную) метрику
h(z, ζ) : = |π(z)− π(ζ)| , (5)
где π — стереографическая проекция пространства C на сферу S2(12e3,
1
2) в R3, т.е.
h(z, ζ) =
|z − ζ|√
1 + |z|2
√
1 + |ζ|2
, z ̸= ∞ ̸= ζ, (6)
h(z,∞) =
1√
1 + |z|2
. (7)
Отметим, что h(z, ζ) 6 1 , и h(z, ζ) 6 |z−ζ| . Сферический (хордальный) диаметр
множества E ⊂ C есть величина
h(E) = sup
z,ζ∈E
h(z, ζ) . (8)
В дальнейшем также используются следующие стандартные обозначения для
кругов, окружностей и колец в комплексной плоскости:
D := D(0, 1) , D(z0, r) := {z ∈ C : |z − z0| < r} ,
S(z0, r) := {z ∈ C : |z − z0| = r}, A(z0, r1, r2) := {z ∈ C : r1 < |z − z0| < r2} .
105
В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов
Пусть Q : D → [0 ,∞] – измеримая по Лебегу функция. Следуя работе [13],
говорим, что гомеоморфизм f : D → C является кольцевым Q-гомеоморфизмом в
точке z0 ∈ D, если соотношение
M (∆ (fS1, fS2, fD)) 6
∫
A
Q(z) · η2(|z − z0|) dm(z) , (9)
где S i = S(z0, ri), i = 1, 2, выполнено для любого кольца A = A(z0, r1, r2), 0 <
r1 < r2 < d0 = dist (z0 , ∂D) и каждой измеримой функции η : (r1, r2) −→ [0,∞],
такой, что
r2∫
r1
η(r) dr > 1 . (10)
Говорят, что гомеоморфизм f : D → C является кольцевым Q-гомеоморфизмом в
области D, если условие (9) выполнено для всех точек z0 ∈ D .
Следующее утверждение можно найти либо в работе [10], теорема 3.1, либо в
монографии [9], теорема 5.3, смотри также [8], теорема 1.
Предложение 1. Пусть D и D′ — области в C, и f : D → D′ — гомеоморфное
решение класса W 1,1
loc уравнения Бельтрами (1) c Kµ ∈ L1
loc(D). Тогда f является
кольцевым Q-гомеоморфизмом в каждой точке z0 ∈ D с Q(z) = Kµ(z).
Из следствия 7.4 работы [12] непосредственно вытекает следующее утвержде-
ние.
Предложение 2. Пусть µ : D → C — измеримая в D функция с |µ(z)| < 1 п.в.
и f : D → D — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1) класса Соболева
W 1,1
loc . Если для всех ζ ∈ ∂D выполнено условие
lim sup
ε→0
−
∫
D∩D(ζ,ε)
Kµ(z) dm(z) <∞ , (11)
то f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D.
3. Некоторые вспомогательные предложения.
Предложение 3. Пусть D и D′ — области в C, Q : D → [0,∞] — измеримая
функция, и пусть f : D → D′ — кольцевой Q-гомеоморфизм в точке z0 ∈ D и
h(C \ f(D)) > ∆ > 0. Если для некоторого ε0 ∈ (0,dist(z0, ∂D)) и всех ε ∈ (0, ε0)∫
A(z0,ε,ε0)
Q(z)ψ2(|z − z0|) dm(z) 6 C · I(ε) , 0 < I(ε) :=
ε0∫
ε
ψ(t) dt <∞ , (12)
для некоторой измеримой функции ψ(t) : (0,∞) → [0,∞], то
h(f(z), f(z0)) 6
32
∆
exp
{
−2π
C
I (|z − z0|)
}
(13)
106
О непрерывности по Гёльдеру решений уравнений Бельтрами на границе
для всех z ∈ D(z0, ε0). (См. следствие 4.1 в [10]).
Выбирая в предыдущем предложении ψ(t) = 1
t , приходим к следующему ре-
зультату.
Предложение 4. Пусть D и D′ — области в C, Q : D → [0,∞] — измеримая
функция, и пусть f : D → D′ — кольцевой Q-гомеоморфизм в точке z0 ∈ D и
h(C \ f(D)) > ∆ > 0. Если для некоторого ε0 ∈ (0,dist(z0, ∂D)) и всех ε ∈ (0, ε0)∫
A(z0,ε,ε0)
Q(z)
|z − z0|2
dm(z) 6 C ln
(ε0
ε
)
, (14)
то для всех z ∈ D(z0, ε0)
h(f(z), f(z0)) 6
32
∆
ε
−2π/C
0 |z − z0|2π/C . (15)
Лемма 1. Пусть Q : C → [0,∞] — измеримая функция и для δ0 ∈ (0, 1) и
C∗ > 0
sup
r∈(0,δ0)
−
∫
D(z0,r)
Q(z) dm(z) < C∗ ∀ z0 ∈ ∂D . (16)
Тогда для всех ε ∈ (0, ε0), где ε0 = min{1
2 , δ
2
0},∫
A(z0,ε,ε0)
Q(z) dm(z)
|z − z0|2
6 4πC∗
ln 2
ln
1
ε
∀ z0 ∈ ∂D . (17)
Доказательство. Пусть εk := 2−k+1ε0, Ak := {z ∈ C : εk+1 6 |z − z0| < εk},
Dk := D(z0, εk) и N — натуральное число такое, что ε ∈ [εN+1, εN ). Заметим, что
A(z0, ε, ε0) ⊂ A(z0, εN+1, ε0) =
N∪
k=1
Ak ,
1
|z − z0|2
6 1
ε2k+1
∀ z ∈ Ak .
Таким образом, имеем, что
η(ε) :=
∫
A(z0,ε,ε0)
Q(z)
|z − z0|2
dm(z) 6
∫
A(z0,εN+1,ε0)
Q(z)
|z − z0|2
dm(z) =
N∑
k=1
∫
Ak
Q(z)
|z − z0|2
dm(z) 6
6
N∑
k=1
m(Dk)
ε2k+1
−
∫
Dk
Q(z) dm(z) 6 4π
N∑
k=1
−
∫
Dk
Q(z) dm(z) 6 4πNC∗ . (18)
Поскольку ε0 ∈ (0, 2−1) и ε < εN по выбору N, то
N < N + log2
(
1
2ε0
)
= log2
1
εN
< log2
1
ε
=
ln 1
ε
ln 2
. (19)
107
В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов
Комбинируя оценки (18) и (19), получаем (17). �
4. Основная лемма.
Лемма 2. Пусть µ : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в. в D,
и f : D → D — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1) класса Соболева
W 1,1
loc , такое что f(0) = 0 и f(1) = 1. Если Kµ ∈ L1(D) и, для некоторых ε0 ∈ (0, 1)
и C ∈ [1,∞),
sup
ε∈(0,ε0)
−
∫
D∩D(ζ,ε)
Kµ(z) dm(z) < C ∀ ζ ∈ ∂D , (20)
то f имеет гомеоморфное продолжение на ∂D и
|f(z2)− f(z1)| 6 64 ε−α0 |z2 − z1|α ∀ z1, z2 ∈ ∂D , |z2 − z1| < δ0 := min
{
1
2
, ε20
}
(21)
где α = log 2
68C .
Доказательство. В силу предложения 1, отображение f допускает гомеоморф-
ное продолжение f : D → D. Продолжим f по симметрии во внешность круга D.
Тогда
F (z) =
{
f(z), |z| < 1 ,
1/f (1/z), |z| > 1 .
(22)
Элементарные вычисления также показывают, что комплексная характеристика
отображения F имеет вид:
µF (z) =
{
µ(z), |z| < 1 ,
z2
z2
µ (1/z), |z| > 1 .
(23)
Покажем, что F ∈W 1,1(D). Для этого заметим, что
|Fz| 6 |Fz| 6 |Fz|+ |Fz| 6 K
1
2
µF (z) J
1
2
F (z) . (24)
Отсюда ∫
D
|Fz| dm(z) 6
∫
D
K
1
2
µF (z) J
1
2
F (z) dm(z) . (25)
Далее, применяя неравенство Гельдера, получаем
∫
D
|Fz| dm(z) 6
∫
D
Kµ(z) dm(z)
1
2
.
∫
D
JF (z) dm(z)
1
2
. (26)
В силу гомеоморфности отображения F , имеем∫
D
JF (z) dm(z) 6 m(F (D)) = π . (27)
108
О непрерывности по Гёльдеру решений уравнений Бельтрами на границе
Учитывая условие Kµ ∈ L1(D), из оценок (26) и (27) следует, что
∫
D
|Fz| dm(z) 6
π ∫
D
Kµ(z) dm(z)
1
2
<∞ . (28)
Покажем, теперь, что F ∈ W 1,1(DR) для любого R > 1, где DR := D(0, R).
Действительно, по аддитивности интеграла Лебега, имеем равенство∫
|z|6R
|Fz| dm(z) =
∫
D
|Fz| dm(z) +
∫
16|z|6R
|Fz| dm(z) . (29)
В силу (28),
∫
D
|Fz| dm(z) <∞. Осталось показать, что
∫
1<|z|6R
|Fz| dm(z) <∞.
Заметим, что в силу гомеоморфности отображения F∫
16|z|6R
JF (z) dm(z) 6
∫
DR
JF (z) dm(z) 6 m(F (DR)) <∞ . (30)
Далее, покажем, что
∫
16|z|6R
KµF (z) dm(z) < ∞. Сделав замену переменных
w = 1
z , преобразуем этот интеграл к виду:∫
16|z|6R
KµF (z) dm(z) =
∫
16|z|6R
Kµ
(
1
z
)
dm(z) =
∫
1/R6|z|61
Kµ(w)
dm(w)
|w|4
. (31)
Следовательно,∫
16|z|6R
KµF (z) dm(z) =
∫
1/R6|z|61
Kµ(w)
dm(w)
|w|4
6 R4
∫
D
Kµ(w)dm(w) <∞ . (32)
Применяя неравенство Гёльдера и оценки (30), (32), получаем∫
16|z|6R
|Fz| dm(z) 6
∫
16|z|6R
K
1
2
µF (z) J
1
2
F (z) dm(z) 6 (33)
6
∫
16|z|6R
KµF (z) dm(z)
1
2
∫
16|z|6R
JF (z) dm(z)
1
2
< ∞ . (34)
Таким, образом мы показали, что F ∈W 1,1
loc (C).
109
В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов
Теперь, давайте оценим интеграл
∫
D(ζ,ε)
KF (z) dm(z) при ε ∈ (0, ε0). Для этого
последний интеграл разобьем на две части:∫
D(ζ,ε)
KµF (z) dm(z) =
∫
D∩D(ζ,ε)
KµF (z) dm(z) +
∫
D(ζ,ε)\D
KµF (z) dm(z) . (35)
Сделав замену переменных w = 1
z , преобразуем второй интеграл к виду:∫
D(ζ,ε)\D
KµF (z) dm(z) =
∫
D(ζ,ε)\D
Kµ
(
1
z
)
dm(z) =
∫
D(ζ,ε)∩D
Kµ (w)
dm(w)
|w|4
. (36)
Далее, легко проверить, что выполняется следующее неравенство:
max
w∈D(ζ,ε)∩D
1
|w|4
< 16
для всех ε ∈
(
0, 12
)
. Действительно,
max
|w−ζ|=ε
1
|w|2
= max
φ∈[0,2π)
1
|ζ + εeiφ|2
= max
φ∈[0,2π)
1
|ζ|2 + 2εRe(ζe−iφ) + ε2
=
= max
φ∈[0,2π)
1
1 + 2ε cos(φ− α) + ε2
=
1
(1− ε)2
< 4 ,
где w = ζ + εeiφ, ζ = eiϑ.
Таким образом, получаем
∫
D(ζ,ε)\D
KµF (z) dm(z)6 max
w∈D(ζ,ε)∩D
1
|w|4
∫
D(ζ,ε)∩D
Kµ (w) dm(w)<16
∫
D(ζ,ε)∩D
Kµ (w) dm(w).
Учитывая последнюю оценку и равенство (35), имеем, что∫
D(ζ,ε)
KµF (z) dm(z) < 17
∫
D(ζ,ε)∩D
Kµ (w) dm(w) .
Поэтому, в силу условия (20), видим, что
sup
ε∈(0,ε0)
−
∫
D(ζ,ε)
KµF (z) dm(z) < 17 sup
ε∈(0,ε0)
m (D ∩D(ζ, ε))
πε2
−
∫
D∩D(ζ,ε)
Kµ(z)dm(z) < 17C .
Далее, применяя лемму 1 при C ′ = 17C, получаем оценку∫
A(z0,ε,ε0)
KFµ(z) dm(z)
|z − z0|2
6 68πC
log 2
(
log
1
ε
)
110
О непрерывности по Гёльдеру решений уравнений Бельтрами на границе
для всех z0 ∈ ∂D.
Кроме того, учитывая оценку
log 1
ε
log
(
ε0
ε
) = 1 +
log 1
ε0
log
(
ε0
ε
) < 2
для всех ε ∈ (0, δ0), приходим к оценке∫
A(z0,ε,ε0)
KF (z) dm(z)
|z−z0|2
log
(
ε0
ε
) 6 68πC
log 2
log 1
ε
log
(
ε0
ε
) 6 136πC
log 2
.
Наконец, при ε := |z2 − z1| из предложения 4 следует оценка
h(f(z1), f(z2)) 6 32 ε−α0 |z1 − z2|α , где α = log 2
68C , (37)
и, поскольку z1 и z2 ∈ ∂D, имеем, что
|f(z1)− f(z2)| 6 64 ε−α0 |z1 − z2|α . (38)
5. Основной результат.
Теорема 1. Пусть µ : D → D — измеримая функция и f : D → D — гомео-
морфное решение уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc . Если Kµ ∈ L1(D) и, для
некоторых ε0 ∈ (0, 1) и C ∈ [1,∞),
sup
ε∈(0,ε0)
−
∫
D∩D(ζ,ε)
Kµ(z) dm(z) < C ∀ ζ ∈ ∂D , (39)
то f имеет гомеоморфное продолжение на ∂D, которое непрерывно там по Гёльдеру.
Доказательство. Действительно, применяя в образе дробно-линейное отоб-
ражение γ расширенной комплексной плоскости C на себя, γ(D) = D, переводя-
щее f(0) в 0 и f(1) в 1, можем считать, что f(0) = 0 и f(1) = 1. Далее, при
|z1 − z2| > δ0, имеем тривиальную оценку
|f(z2)− f(z1)| 6 2 =
2
δα0
δα0 6 2
δα0
|z1 − z2|α (40)
и, выбирая L := max{ 2
δα0
, 64 ε−α0 }, получаем по лемме 2, что
|f(z2)− f(z1)| 6 L |z1 − z2|α
для всех z1 и z2 ∈ ∂D.
111
В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов
Цитированная литература
1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami Equation. A Geometric Approach.
– Developments in Mathematics, 26. – New York: Springer, 2012.
2. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yefimushkin A. On the boundary value problems for quasiconformal
functions in the plane // Ukr. Mat. Visn. – 2015. – 12, no. 3. – P. 363–389; transl. in J. Math. Sci.
(N.Y.) – 2016. – 214, no. 2. – P. 200–219.
3. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yefimushkin A. On a new approach to the study of plane boundary-
value problems // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki. – 2017. – No. 4.
– P. 12–18.
4. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E., Yefimushkin A. On Hilbert problem for Beltrami equation
in quasihyperbolic domains // ArXiv.org: 1807.09578v3 [math.CV] 1 Nov 2018, 28 pp.
5. Yefimushkin A. On Neumann and Poincare Problems in A-harmonic Analysis // Advances in
Analysis. – 2016. – 1, no. 2. – P. 114–120.
6. Efimushkin A., Ryazanov V. On the Riemann-Hilbert problem for the Beltrami equations in
quasidisks // Ukr. Mat. Visn. – 2015. – 12, no. 2. – P. 190–209; transl. in J. Math. Sci. (N.Y.) –
2015. – 211, no. 5. – P. 646–659.
7. Yefimushkin A., Ryazanov V. On the Riemann–Hilbert Problem for the Beltrami Equations //
Contemp. Math. - 2016. - 667. - P. 299-316.
8. Kovtonyuk D.A., Petkov I.V., Ryazanov V.I. The Beltrami equations and lowerQ−homeomorphisms
// Труды ИПММ НАН Украины. – 2010. – 21. – C. 114–117.
9. Ковтонюк Д.А., Салимов Р.Р., Севостьянов Е.А. (под общей редакцией Рязанова В.И.) К
теории отображений классов Соболева и Орлича–Соболева. – Киев: Наук. думка, 2013.
10. Lomako T., Salimov R., Sevostyanov E. On equicontinuity of solutions to the Beltrami equations
// Ann. Univ. Bucharest, Ser. Math. – 2010. – 1(LIX), № 2. – P. 263–274.
11. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – Springer
Monographs in Mathematics. – New York: Springer, 2009.
12. Ryazanov V., Salimov R., Srebro U., Yakubov E. On Boundary Value Problems for the Beltrami
Equations // Contemp. Math. – 2013. – 591. – P. 211–242.
13. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. Anal. Math. –
2005. – 96. – P. 117–150.
References
1. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Srebro, U., Yakubov, E. (2012). The Beltrami Equation. A Geometric
Approach. Developments in Mathematics, 26. New York, Springer.
2. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Yefimushkin, A. (2015). On the boundary value problems for
quasiconformal functions in the plane. Ukr. Mat. Visn., 12 (3), 363-389; transl. in (2016) J. Math.
Sci. (N.Y.), 214 (2), 200-219.
3. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Yefimushkin, A. (2017). On a new approach to the study of plane
boundary-value problems. Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki, 4, 12-18.
4. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Yakubov, E., Yefimushkin, A. (2018). On Hilbert problem for
Beltrami equation in quasihyperbolic domains. Retrieved July 24, 2018, from
https://arxiv.org/abs/1807.09578v7.
5. Yefimushkin, A. (2016). On Neumann and Poincare Problems in A-harmonic Analysis. Advances
in Analysis, 1 (2), 114-120.
6. Efimushkin, A., Ryazanov, V. (2015). On the Riemann-Hilbert problem for the Beltrami equations
in quasidisks. Ukr. Mat. Visn., 12 (2), 190-209; transl. in (2015) J. Math. Sci. (N.Y.), 211 (5),
646-659.
7. Yefimushkin, A., Ryazanov, V. (2016). On the Riemann-Hilbert Problem for the Beltrami Equations.
Contemp. Math., 667, 299-316.
8. Kovtonyuk, D.A., Petkov, I.V., Ryazanov, V.I. (2010). The Beltrami equations and lower Q-
homeomorphisms. Proc. IAMM NASU, 21, 114-117.
112
О непрерывности по Гёльдеру решений уравнений Бельтрами на границе
9. Kovtonyuk, D.A., Salimov, R.R., Sevost’yanov, E.A. (2013). Toward the Mapping Theory of the
Classes of Sobolev and Orlicz-Sobolev, (ed. Ryazanov, V.I.). Kiev: Naukova dumka (in Russian).
10. Lomako, T., Salimov, R., Sevostyanov, E. (2010). On equicontinuity of solutions to the Beltrami
equations. Ann. Univ. Bucharest, Ser. Math., 1(LIX)(2), 263-274.
11. Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U., Yakubov, E. (2009). Moduli in Modern Mapping Theory.
Springer Monographs in Mathematics. New York, Springer.
12. Ryazanov, V., Salimov, R., Srebro, U., Yakubov, E. (2013). On Boundary Value Problems for the
Beltrami Equations. Contemp. Math., 591, 211-242.
13. Ryazanov, V., Srebro, U., Yakubov, E. (2005). On ring solutions of Beltrami equations. J. Anal.
Math., 96, 117-150.
V.I. Ryazanov, R.R. Salimov
On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations on the boundary.
In the present paper, it is found conditions on the complex coefficient of the Beltrami equations
with the degeneration of the uniform ellipticity in the unit disk under which their generalized
homeomorphic solutions are continuous by Hölder on the boundary. These results can be applied
to the investigations of various boundary value problems for the Beltrami equations. In a series
of recent papers, under the study of the boundary value problems of Dirichlet, Hilbert, Neumann,
Poincare and Riemann with arbitrary measurable boundary data for the Beltrami equations as
well as for the generalizations of the Laplace equation in anisotropic and inhomogeneous media,
it was applied the logarithmic capacity, see e.g. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yefimushkin A. On
the boundary value problems for quasiconformal functions in the plane // Ukr. Mat. Visn. – 2015.
– 12, no. 3. – P. 363–389; transl. in J. Math. Sci. (N.Y.) – 2016. – 214, no. 2. – P. 200–219;
Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yefimushkin A. On a new approach to the study of plane boundary-
value problems // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki. – 2017. – No. 4. – P.
12–18; Yefimushkin A. On Neumann and Poincare Problems in A-harmonic Analysis // Advances
in Analysis. – 2016. – 1, no. 2. – P. 114–120; Efimushkin A., Ryazanov V. On the Riemann-Hilbert
problem for the Beltrami equations in quasidisks // Ukr. Mat. Visn. – 2015. – 12, no. 2. – P.
190–209; transl. in J. Math. Sci. (N.Y.) – 2015. – 211, no. 5. – P. 646–659; Yefimushkin A., Ryazanov
V. On the Riemann–Hilbert Problem for the Beltrami Equations // Contemp. Math. - 2016. - 667.
- P. 299-316; Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E., Yefimushkin A. On Hilbert problem for
Beltrami equation in quasihyperbolic domains // ArXiv.org: 1807.09578v3 [math.CV] 1 Nov 2018,
28 pp. As well known, the logarithmic capacity of a set coincides with the so–called transfinite
diameter of the set. This geometric characteristic implies that sets of logarithmic capacity zero and,
as a consequence, measurable functions with respect to logarithmic capacity are invariant under
mappings that are continuous by Hölder. That circumstance is a motivation of our research. Let D
be a domain in the complex plane C and let µ : D → C be a measurable function with |µ(z)| < 1
a.e. The equation of the form fz̄ = µ(z)fz where fz̄ = ∂̄f = (fx+ ify)/2, fz = ∂f = (fx− ify)/2,
z = x + iy, fx and fy are partial derivatives of the function f in x and y, respectively, is said to
be a Beltrami equation. The function µ is called its complex coefficient, and Kµ(z) = 1+|µ(z)|
1−|µ(z)| is
called its dilatation quotient. The Beltrami equation is said to be degenerate if ess supKµ(z) = ∞.
The existence of homeomorphic solutions in the Sobolev class W 1,1
loc has been recently established
for many degenerate Beltrami equations under the corresponding conditions on the dilatation
quotient Kµ, see e.g. the monograph Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The
Beltrami equation. A geometric approach. Developments in Mathematics, 26. Springer, New York,
2012 and the further references therein. The main theorem of the paper, Theorem 1, states that a
homeomorphic solution f : D → D in the Sobolev class W 1,1
loc of the Beltrami equation in the unit
disk D has a homeomorphic extension to the boundary that is Hölder continuous if Kµ ∈ L1(D)
and, for some ε0 ∈ (0, 1) and C ∈ [1,∞),
sup
ε∈(0,ε0)
−
∫
D∩D(ζ,ε)
Kµ(z) dm(z) < C ∀ ζ ∈ ∂D
113
В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов
where D(ζ, ε) = {z ∈ C : |z − ζ| < ε}.
Keywords: continuity by Hölder, Beltrami equations, degeneration of uniform ellipticity.
В.I. Рязанов, Р.Р. Салiмов
Щодо неперервностi по Гьольдеру рiшень рiвнянь Бельтрамi на межi.
У статтi знайденi умови на комплексну коефiцiєнт рiвнянь Бельтрами з виродженням умови рiв-
номiрної елiптичностi в одиничному колi, при яких узагальненi гомеоморфнi рiшення неперервнi
по Гьольдеру на межi. Результати мають прикладне значення при дослiдженнi рiзних крайових
задач для рiвнянь Бельтрамi.
Ключовi слова: неперервнiсть по Гьольдеру, рiвняння Бельтрамi, виродження рiвномiрної
елiптичностi.
Институт прикладной математики и механики НАН Украины,
Славянск;
Институт математики НАН Украины, Киев
vl.ryazanov1@gmail.com, ruslan.salimov1@gmail.com
Получено 19.11.2018
114
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169129 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:51:26Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. 2020-06-06T12:31:59Z 2020-06-06T12:31:59Z 2018 О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 104-114. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-11 MSC: Primary 30C62, 31A05, 31A20, 31A25, 31B25, 35Q15; Secondary 30E25, 31C05, 34M50, 35F45. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169129 517.5 В статье найдены условия на комплексную коэффициент уравнений Бельтрами с вырождением условия равномерной эллиптичности в единичном круге, при которых обобщенные гомеоморфные решения непрерывны по Гельдеру на границе. Результаты имеют прикладное значение при исследовании различных краевых задач для уравнений Бельтрами. У статті знайдені умови на комплексну коефіцієнт рівнянь Бельтрами з виродженням умови рівномірної еліптичності в одиничному колі, при яких узагальнені гомеоморфні рішення неперервні по Гьольдеру на межі. Результати мають прикладне значення при дослідженні різних крайових задач для рівнянь Бельтрамі. In the present paper, it is found conditions on the complex coefficient of the Beltrami equations with the degeneration of the uniform ellipticity in the unit disk under which their generalized homeomorphic solutions are continuous by H¨older on the boundary. These results can be applied to the investigations of various boundary value problems for the Beltrami equations. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе Щодо неперервності по Гьольдеру рішень рівнянь Бельтрамі на межі On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations on the boundary Article published earlier |
| spellingShingle | О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. |
| title | О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе |
| title_alt | Щодо неперервності по Гьольдеру рішень рівнянь Бельтрамі на межі On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations on the boundary |
| title_full | О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе |
| title_fullStr | О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе |
| title_full_unstemmed | О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе |
| title_short | О непрерывности по Гельдеру решений уравнений Бельтрами на границе |
| title_sort | о непрерывности по гельдеру решений уравнений бельтрами на границе |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169129 |
| work_keys_str_mv | AT râzanovvi onepreryvnostipogelʹderurešeniiuravneniibelʹtraminagranice AT salimovrr onepreryvnostipogelʹderurešeniiuravneniibelʹtraminagranice AT râzanovvi ŝodoneperervnostípogʹolʹderuríšenʹrívnânʹbelʹtramínameží AT salimovrr ŝodoneperervnostípogʹolʹderuríšenʹrívnânʹbelʹtramínameží AT râzanovvi onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequationsontheboundary AT salimovrr onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequationsontheboundary |