О локальном поведении одного класса обратных отображений
Рассмотрен некоторый класс гомеоморфизмов областей евклидового пространства, более общих, чем пространственные квазиконформные отображения. Для указанных гомеоморфизмов получены теоремы о локальном поведении соответствующих им обратных отображений в заданной области. В частности, доказано, что семей...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169130 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О локальном поведении одного класса обратных отображений / Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 115-120. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859588355350593536 |
|---|---|
| author | Севостьянов, Е.А. Скворцов, С.А. |
| author_facet | Севостьянов, Е.А. Скворцов, С.А. |
| citation_txt | О локальном поведении одного класса обратных отображений / Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 115-120. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| description | Рассмотрен некоторый класс гомеоморфизмов областей евклидового пространства, более общих, чем пространственные квазиконформные отображения. Для указанных гомеоморфизмов получены теоремы о локальном поведении соответствующих им обратных отображений в заданной области. В частности, доказано, что семейства отображений, обратные к которым удовлетворяют неравенству типа Полецкого, равностепенно непрерывны в заданной области, если мажоранта, относящаяся к этому неравенству, интегрируема.
Розглянуто деякий клас гомеоморфізмів областей евклідового простору, більш загальних, ніж просторові квазіконформні відображення. Для вказаних гомеоморфізмів отримано теореми про локальну поведінку відповідних до них обернених відображень у заданій області. Зокрема, доведено, що сім’ї відображень, обернені до яких задовольняють нерівність Полецького, одностайно неперервні в заданій області, якщо мажоранта, що відноситься до цієї нерівності, інтегровна.
As is known, the local behavior of maps is one of the most important problems of analysis. This, in particular, relates to the study of mappings with bounded and finite distortion, which have been actively studied recently. As for this work, here we solve the problem of the behavior of maps, the inverse of which satisfies the Poletsky inequality. The main result is the statement about the equicontinuity of the indicated mappings inside the domain in the case when the majorant corresponding to the distortion of the module under the mapping is integrable in the original domain.
|
| first_indexed | 2025-11-27T11:42:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32
УДК 517.5
DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-12
c⃝2018. Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА
ОБРАТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Рассмотрен некоторый класс гомеоморфизмов областей евклидового пространства, более общих,
чем пространственные квазиконформные отображения. Для указанных гомеоморфизмов полу-
чены теоремы о локальном поведении соответствующих им обратных отображений в заданной
области. В частности, доказано, что семейства отображений, обратные к которым удовлетворяют
неравенству типа Полецкого, равностепенно непрерывны в заданной области, если мажоранта,
относящаяся к этому неравенству, интегрируема.
MSC: 30C65.
Ключевые слова: квазиконформные отображения, модули семейств кривых.
1. Введение.
Настоящая статья посвящена изучению отображений, обратные к которым удо-
влетворяют неравенству типа Полецкого, см. соотношение (8.5) в [1], см. также [2–
6]. Изучение таких отображений в случае, когда функция Q1 в (8.5) ограничена,
бессодержательно: если f удовлетворяет (8.5) при Q1(x) 6 K ≡ const, то тогда f
– квазиконформно; в то же время, f −1 также квазиконформно по следствию 13.3
в [2]. Значит, мы не выходим за пределы изучаемого класса при переходе к обрат-
ному отображению и их отдельное исследование смысла не имеет. Ситуация суще-
ственно изменится, если мы рассмотрим некоторый более общий класс гомеомор-
физмов. В качестве примера, рассмотрим последовательность fm : Bn → B(0, 2),
определённую следующим образом:
fm(x) =
{
1+|x|α
|x| · x , 1/m 6 |x| 6 1,
1+(1/m)α
(1/m) · x , 0 < |x| < 1/m ,
В этом случае, можно положить Q1(x) =
(
1+|x|α
α|x|α
)n−1
∈ L1(Bn) (см. рассуждения
из предложения 6.3 в [1]). Нетрудно убедиться, что
gm(y) := f−1
m (y) =
{
y
|y|(|y| − 1)1/α , 1 + 1/mα 6 |y| < 2,
(1/m)
1+(1/m)α · y , 0 < |y| < 1 + 1/mα .
Можно показать, что Q1, соответствующая отображениям gm, имеет вид
Q1(y) =
{
|y|
α(|y|−1) , 1 + 1/mα 6 |y| < 2,
1 , 0 < |y| < 1 + 1/mα .
(1)
115
Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов
Нетрудно также проверить, что функция Q1 в (1) не интегрируема в B(0, 2), и
что какой-либо другой интегрируемой функции Q1, которая также подходила бы
к отображениям gm в смысле соотношения (8.5) из [1], не существует.
Исследования, проведённые ниже, касаются локального поведения отображе-
ний, обратные к которым удовлетворяют условию (8.5) из [1], где Q1 – интегриру-
емая функция. Основные определения и обозначения, используемые ниже, могут
быть найдены в монографиях [1] и [2], и потому опускаются. Пусть M обозначает
модуль семейств кривых (см. [2]), а dm(x) соответствует мере Лебега в Rn. До-
пустим, что в области D ⊂ Rn, n > 2, задано отображение f : D → Rn, и оно
удовлетворяет неравенству вида
M(f(Γ)) 6
∫
D
Q(x) · ρn(x) dm(x) ∀ ρ ∈ admΓ (2)
гдеQ : D → [1,∞] – некоторая (заданная) фиксированная функция (см., напр., [3]).
Напомним, что ρ ∈ admΓ в том и только том случае, если∫
γ
ρ(x)|dx| > 1 ∀ γ ∈ Γ .
В частности, все конформные и квазиконформные отображения удовлетворяют
неравенству (2), где функция Q будет равна 1 или некоторой постоянной, соответ-
ственно (см., напр., теоремы 4.6 и 6.10 в [4]).
Пусть E, F ⊂ Rn – произвольные множества. В дальнейшем всюду символом
Γ(E,F,D) мы обозначаем семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соеди-
няют E и F в D, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Напомним, что
область D ⊂ Rn называется локально связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой
окрестности U точки x0 найдется окрестность V ⊂ U точки x0 такая, что V ∩D
связно. Область D локально связна на ∂D, если D локально связна в каждой точ-
ке x0 ∈ ∂D. Граница области D называется слабо плоской в точке x0 ∈ ∂D, если
для каждого P > 0 и для любой окрестности U точки x0 найдётся окрестность
V ⊂ U этой же точки такая, что M(Γ(E,F,D)) > P для произвольных конти-
нуумов E,F ⊂ D, пересекающих ∂U и ∂V. Граница области D называется слабо
плоской, если соответствующее свойство выполнено в каждой точке границы D.
Для областей D,D ′ ⊂ Rn, n > 2, и произвольной измеримой по Лебегу функ-
ции Q : Rn → [1,∞], Q(x) ≡ 0 при x ̸∈ D, обозначим через RQ(D,D
′) семейство
всех отображений g : D ′ → D таких, что f = g−1 – гомеоморфизм области D на
D ′ с условием (2). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Предположим, что D и D ′ – компакты в Rn. Если Q ∈ L1(D),
то семейство RQ(D,D
′) равностепенно непрерывно в D ′.
116
О локальном поведении одного класса обратных отображений
2. Вспомогательные сведения.
Как обычно, для кривой γ : I → Rn полагаем:
|γ| = {x ∈ Rn : ∃ t ∈ [a, b] : γ(t) = x} ,
при этом, |γ| называется носителем (образом) γ.
Следующая лемма содержит в себе утверждение о том, что всякие внутренние
точки произвольной области являются слабо плоскими.
Лемма 1. Пусть D – область в Rn, n > 2, и x0 ∈ D. Тогда для каждого P > 0
и для любой окрестности U точки x0 найдётся окрестность V ⊂ U этой же
точки такая, что M(Γ(E,F,D)) > P для произвольных континуумов E,F ⊂ D,
пересекающих ∂U и ∂V.
Доказательство. Пусть U – произвольная окрестность точки x0. Выберем
ε0 > 0 так, чтобы B(x0, ε0) ⊂ D ∩ U. Пусть cn – положительная постоянная,
определённая в соотношении (10.11) в [2], а число ε ∈ (0, ε0) настолько мало, что
cn · log ε0
ε > P. Положим V := B(x0, ε). Пусть E,F – произвольные континуумы,
пересекающие ∂U и ∂V, тогда также E и F пересекают S(x0, ε0) и ∂V (см. теоре-
му 1.I.5.46 в [7]). Необходимое заключение вытекает на основании разд. 10.12 в [2],
поскольку M(Γ(E,F,D)) > cn · log ε0
ε > P. �
3. Доказательство теоремы 1.
Проведём доказательство теоремы 1 от противного. Предположим, что се-
мейство RQ(D,D
′) не является равностепенно непрерывным в некоторой точке
y0 ∈ D ′, другими словами, найдутся y0 ∈ D ′ и ε0 > 0, такие что для любого m ∈ N
существует элемент ym ∈ D ′, |ym − y0| < 1/m, и гомеоморфизм gm ∈ RQ(D,D
′),
для которых
|gm(ym)− gm(y0)| > ε0 . (3)
Проведём через точки gm(ym) и gm(y0) прямую r = rm(t) = gm(y0) + (gm(ym) −
gm(y0))t, −∞ < t < ∞ (см. рисунок 1). Заметим, что указанная прямая r = rm(t)
при t > 1 обязана пересекать область D ввиду теоремы 1.I.5.46 в [7], поскольку
областьD ограничена; таким образом, существует tm1 > 1 такое, что rm(tm1 ) = xm1 ∈
∂D. Не ограничивая общности, можно считать, что rm(t) ∈ D при всех t ∈ [1, tm1 ),
тогда отрезок γm1 (t) = gm(y0) + (gm(ym) − gm(y0))t, t ∈ [1, tm1 ], принадлежит D
при всех t ∈ [1, tm1 ), γm1 (tm1 ) = xm1 ∈ ∂D и γm1 (1) = gm(ym). Ввиду аналогичных
соображений, найдутся tm2 < 0 и отрезок γm2 (t) = gm(y0) + (gm(ym) − gm(y0))t,
t ∈ [tm2 , 0], такие, что γm2 (tm2 ) = xm2 ∈ ∂D, γm2 (0) = gm(y0) и γm2 (t) принадлежит
D при всех t ∈ (tm2 , 0]. Положим fm := g−1
m . Так как fm – гомеоморфизм, то
при каждом фиксированном m ∈ N предельные множества C(fm, xm1 ) и C(fm, xm2 )
отображений fm в соответствующих граничных точках xm1 , x
m
2 ∈ ∂D лежат на
∂D ′ (см. предложение 13.5 в [1]). Следовательно, найдётся точка zm1 ∈ D ∩ |γm1 |
такая, что dist (fm(z
m
1 ), ∂D ′) < 1/m. Так как D ′ – компакт, то можно считать,
что последовательность fm(zm1 ) → p1 ∈ ∂D ′ при m → ∞. Аналогично, найдётся
117
Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов
Рис. 1. К доказательству теоремы 1
последовательность zm2 ∈ D∩|γm2 | такая, что dist (fm(z
m
2 ), ∂D ′) < 1/m и fm(zm2 ) →
p2 ∈ ∂D ′ при m→ ∞.
Пусть Pm – часть отрезка γm1 , заключённая между точек gm(ym) и zm1 , а Qm
– часть отрезка γm2 , заключённая между точек gm(y0) и zm2 . По построению и
ввиду (3), dist (Pm, Qm) > ε0 > 0. Пусть Γm = Γ(Pm, Qm, D), тогда функция
ρ(x) =
{ 1
ε0
, x ∈ D,
0, x /∈ D
является допустимой для семейства Γm, поскольку для произвольной (локально
спрямляемой) кривой γ ∈ Γm выполнено
∫
γ
ρ(x)|dx| > l(γ)
ε0
> 1 (где l(γ) обознача-
ет длину кривой γ). Поскольку по условию отображения fm удовлетворяют (2),
получаем:
M(fm(Γm)) 6
1
εn0
∫
D
Q(x) dm(x) := c <∞ , (4)
т.к.Q ∈ L1(D). С другой стороны, diam fm(Pm) > |ym−fm(zm1 )| > (1/2)·|y0−p1| > 0
и diam fm(Qm) > |y0 − fm(z
m
2 )| > (1/2) · |y0 − p2| > 0 при больших m ∈ N, кроме
того,
dist (fm(Pm), fm(Qm)) 6 |ym − y0| → 0, m→ ∞ .
Тогда ввиду леммы 1 M(fm(Γm)) = M(fm(Pm), fm(Qm), D
′)
m→∞→ ∞, что проти-
воречит соотношению (4). Полученное противоречие указывает на ошибочность
предположения в (3), что и завершает доказательство теоремы. 2
118
О локальном поведении одного класса обратных отображений
Цитированная литература
1. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York:
Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
2. Väisälä J. Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings. Lecture Notes in Math. 229.
Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Math. – 2005. – Vol. 30, no. 1. – P. 49–69.
4. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d’Anal.
Math. – 2004. – Vol. 93. – P. 215–236.
5. Рязанов В.И., Салимов Р.Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений //
Укр. мат. вестник. – 2007. – Т. 4, № 2. – С. 199–234.
6. Салимов Р.Р., Севостьянов Е.А. О равностепенной непрерывности одного семейства обратных
отображений в терминах простых концов // Укр. мат. журн. – 2018. – Т. 70, № 9. – С. 1264–
1273.
7. Куратовский К. Топология, т. 2. – М.: Мир, 1969.
References
1. Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U., Yakubov, E. (2009). Moduli in Modern Mapping Theory.
Springer Monographs in Mathematics. New York, Springer.
2. Väisälä J (1971). Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings. Lecture Notes in Math,
229. Berlin etc.: Springer-Verlag.
3. Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U., Yakubov, E. (2005). On Q-homeomorphisms. Ann. Acad.
Sci. Fenn. Math., 30 (1), 49-69.
4. Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U., Yakubov, E. (2004). Mappings with finite length distortion.
J. d’Anal. Math., 93, 215-236.
5. Ryazanov, V., Salimov, R. (2007). Weakly flat spaces and bondaries in the mapping theory. Ukrain.
Math. Bull., 4 (2), 199-233.
6. Salimov, R.R., Sevost’yanov, E.A. (2018). On equicontinuity of one class of inverse mappings in
terms of prime ends. Ukr. Math. Zh., 70 (9), 1264-1273 (in Russian).
7. Kuratowski K. (1968). Topology, v. 2. New York-London: Academic Press.
E.A. Sevost’yanov, S.A. Skvortsov
On local behavior of one class of inverse mappings.
As is known, the local behavior of maps is one of the most important problems of analysis. This,
in particular, relates to the study of mappings with bounded and finite distortion, which have been
actively studied recently. As for this work, here we solve the problem of the behavior of maps, the inverse
of which satisfies the Poletsky inequality. The main result is the statement about the equicontinuity of
the indicated mappings inside the domain in the case when the majorant corresponding to the distortion
of the module under the mapping is integrable in the original domain. It should be emphasized that the
proof of this result is largely geometric, at the same time, it uses only the conditions of boundedness
of the direct and mapped domains and does not involve any requirements on their boundaries. The
study of families of mappings inverse to a given class may turn out to be trivial if we are talking about
quasiconformal mappings. In the latter case, we do not go beyond the limits of the class under study in
the transition to inverse maps. Nevertheless, when studying mappings with unbounded characteristic,
this question is quite substantial, as simple examples of the corresponding classes show. The idea of the
proof of the main result is based on the fact that the inner points of an arbitrary domain are weakly
119
Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов
flat. The last statement can be called the Väisälä lemma, which was established in his monograph
and related to families of curves joining two continua between the plates of a spherical condenser. The
proof is also based on the fact that the module of families of curves joining two converging continua in
a good domain must tend to infinity. In this case, the neighborhood of some inner point of the mapped
domain serves as ”good” region, in which we check the equicontinuity of the inverse family of maps.
The results of this article are applicable to many other classes of mappings such as mappings with a
finite distortion in the sense of Iwaniec, Sobolev classes on the plane and in space, and so on.
Keywords: quasiconformal mappings, moduli of families of curves.
Є.О. Севостьянов, С.О. Скворцов
Про локальну поведiнку одного класу обернених вiдображень.
Розглянуто деякий клас гомеоморфiзмiв областей евклiдового простору, бiльш загальних, нiж
просторовi квазiконформнi вiдображення. Для вказаних гомеоморфiзмiв отримано теореми про
локальну поведiнку вiдповiдних до них обернених вiдображень у заданiй областi. Зокрема, дове-
дено, що сiм’ї вiдображень, оберненi до яких задовольняють нерiвнiсть Полецького, одностайно
неперервнi в заданiй областi, якщо мажоранта, що вiдноситься до цiєї нерiвностi, iнтегровна.
Ключовi слова: квазiконформнi вiдображення, модулi сiмей кривих.
Житомирский государственный университет имени Ивана
Франко, Житомир
esevostyanov2009@gmail.com, serezha.skv@yandex.ru
Получено 13.10.18
120
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169130 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T11:42:16Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Севостьянов, Е.А. Скворцов, С.А. 2020-06-06T12:36:00Z 2020-06-06T12:36:00Z 2018 О локальном поведении одного класса обратных отображений / Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 115-120. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-12 MSC: 30C65 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169130 517.5 Рассмотрен некоторый класс гомеоморфизмов областей евклидового пространства, более общих, чем пространственные квазиконформные отображения. Для указанных гомеоморфизмов получены теоремы о локальном поведении соответствующих им обратных отображений в заданной области. В частности, доказано, что семейства отображений, обратные к которым удовлетворяют неравенству типа Полецкого, равностепенно непрерывны в заданной области, если мажоранта, относящаяся к этому неравенству, интегрируема. Розглянуто деякий клас гомеоморфізмів областей евклідового простору, більш загальних, ніж просторові квазіконформні відображення. Для вказаних гомеоморфізмів отримано теореми про локальну поведінку відповідних до них обернених відображень у заданій області. Зокрема, доведено, що сім’ї відображень, обернені до яких задовольняють нерівність Полецького, одностайно неперервні в заданій області, якщо мажоранта, що відноситься до цієї нерівності, інтегровна. As is known, the local behavior of maps is one of the most important problems of analysis. This, in particular, relates to the study of mappings with bounded and finite distortion, which have been actively studied recently. As for this work, here we solve the problem of the behavior of maps, the inverse of which satisfies the Poletsky inequality. The main result is the statement about the equicontinuity of the indicated mappings inside the domain in the case when the majorant corresponding to the distortion of the module under the mapping is integrable in the original domain. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України О локальном поведении одного класса обратных отображений Про локальну поведінку одного класу обернених відображень On local behavior of one class of inverse mappings Article published earlier |
| spellingShingle | О локальном поведении одного класса обратных отображений Севостьянов, Е.А. Скворцов, С.А. |
| title | О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_alt | Про локальну поведінку одного класу обернених відображень On local behavior of one class of inverse mappings |
| title_full | О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_fullStr | О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_full_unstemmed | О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_short | О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_sort | о локальном поведении одного класса обратных отображений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169130 |
| work_keys_str_mv | AT sevostʹânovea olokalʹnompovedeniiodnogoklassaobratnyhotobraženii AT skvorcovsa olokalʹnompovedeniiodnogoklassaobratnyhotobraženii AT sevostʹânovea prolokalʹnupovedínkuodnogoklasuobernenihvídobraženʹ AT skvorcovsa prolokalʹnupovedínkuodnogoklasuobernenihvídobraženʹ AT sevostʹânovea onlocalbehaviorofoneclassofinversemappings AT skvorcovsa onlocalbehaviorofoneclassofinversemappings |