О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений
В статье предложены оригинальные условия регуляризации, а также схема нахождения решений линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений, при этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру–Пенроузу....
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Назва видання: | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169132 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 133-148. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169132 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1691322025-02-09T22:06:30Z О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений Про регуляризацію лінійної нетерової крайової задачі для системи різницевих рівнянь On a regularization method for solving linear Noetherian boundary value problem for difference system Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Калиниченко, Я.В. В статье предложены оригинальные условия регуляризации, а также схема нахождения решений линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений, при этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру–Пенроузу. У статті запропоновано оригінальні умови регуляризації, а також схема знаходження розв’язків лінійної нетерової крайової задачі для системи різницевих рівнянь, при цьому істотно використано техніку псевдообернення матриць за Муром–Пенроузом. The article proposes unusual regularization conditions as well as a scheme for finding bounded solutions of the linear Noetherian boundary value problem for a system of difference equations in the critical case, significantly using the Moore-Penrose matrix pseudo-inversion technology. 2018 Article О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 133-148. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1683-4720 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-14 MSC: 34B15 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169132 517.9 ru Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье предложены оригинальные условия регуляризации, а также схема нахождения решений линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений, при этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру–Пенроузу. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Калиниченко, Я.В. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Калиниченко, Я.В. О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Калиниченко, Я.В. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений |
| title_short |
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений |
| title_full |
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений |
| title_fullStr |
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений |
| title_full_unstemmed |
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений |
| title_sort |
о регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169132 |
| citation_txt |
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 133-148. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT čuikosm oregulârizaciilineinoineterovoikraevoizadačidlâsistemyraznostnyhuravnenii AT čuikoev oregulârizaciilineinoineterovoikraevoizadačidlâsistemyraznostnyhuravnenii AT kaliničenkoâv oregulârizaciilineinoineterovoikraevoizadačidlâsistemyraznostnyhuravnenii AT čuikosm proregulârizacíûlíníinoíneterovoíkraiovoízadačídlâsistemiríznicevihrívnânʹ AT čuikoev proregulârizacíûlíníinoíneterovoíkraiovoízadačídlâsistemiríznicevihrívnânʹ AT kaliničenkoâv proregulârizacíûlíníinoíneterovoíkraiovoízadačídlâsistemiríznicevihrívnânʹ AT čuikosm onaregularizationmethodforsolvinglinearnoetherianboundaryvalueproblemfordifferencesystem AT čuikoev onaregularizationmethodforsolvinglinearnoetherianboundaryvalueproblemfordifferencesystem AT kaliničenkoâv onaregularizationmethodforsolvinglinearnoetherianboundaryvalueproblemfordifferencesystem |
| first_indexed |
2025-12-01T07:34:14Z |
| last_indexed |
2025-12-01T07:34:14Z |
| _version_ |
1850290425873563648 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32
УДК 517.9
DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-14
c⃝2018. С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
В статье предложены оригинальные условия регуляризации, а также схема нахождения решений
линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений, при этом существен-
но использована техника псевдообращения матриц по Муру–Пенроузу. Поставленная в статье
задача продолжает исследование условий регуляризации линейных нетеровых краевых задач,
приведенных в монографиях А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, С.Г. Крейна, А.М. Самойленко,
Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной и А.А. Бойчука. Исследован общий случай,
когда линейный ограниченный оператор, соответствующий однородной части линейной нетеро-
вой краевой задачи, не имеет обратного. В статье построен обобщенный оператор Грина и найден
вид линейного возмущения регуляризованой линейной краевой задачи для системы разностных
уравнений. Предложенные условия регуляризации, а также схема нахождения решений линейных
нетеровых краевых задач для системы разностных уравнений подробно проиллюстрированы на
примерах. В отличие от более ранних статей авторов, задача о регуляризации линейной краевой
задачи для системы разностных уравнений решена конструктивно, причем получены достаточ-
ные условия существования решения задачи о регуляризации.
MSC: 34B15.
Ключевые слова: регуляризация, линейная нетерова краевая задача, системы разностных
уравнений.
1. Постановка задачи.
Исследуем задачу о нахождении ограниченных решений z(k) ∈ Rn системы
линейных разностных уравнений
z(k + 1) = A(k)z(k) + f(k), k = 0, 1, 2, ... ; (1)
здесь A(k) ∈ Rn×n — ограниченные матрицы и f(k) — действительные ограничен-
ные вектор-столбцы. Как известно [1], общее решение задачи Коши z(0) = c ∈ Rn
для однородной части невырожденной (detA(k) ̸= 0) системы разностных урав-
нений (1) представимо в виде: z(k) = X(k)c, c ∈ Rn; здесь X(k) — нормальная
фундаментальная матрица. Общее решение задачи Коши z(0) = c ∈ Rn для неод-
нородной части невырожденной (detA(k) ̸= 0) системы разностных уравнений (1)
представимо в виде:
z(k) = X(k)c+K[f(j)](k), c ∈ Rn;
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Украины
(номер государственной регистрации 0118U003390).
133
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
здесь
K[f(j)](k) := X(k)
k−1∑
j=0
X−1(j + 1)f(j)
— оператор Грина задачи Коши для системы разностных уравнений (1). Зада-
ча о нахождении ограниченных решений системы линейных разностных уравне-
ний (1) существенно усложняется в случае ее вырождения, а именно: при условии
detA(k) = 0 хотя бы для некоторых k = 0, 1, 2, ... . В этом случае для нахожде-
ния ограниченных решений системы линейных разностных уравнений (1) можно
использовать технику регуляризации [2–5]. Возмущение квадратной, но вырож-
денной матрицы A(k) будем искать в виде
A(k, ε) := A(k) + εΩ(k), Ω(k) ∈ Rn×n, k = 0, 1, 2, ... ,
предполагая матрицу A(k, ε) невырожденной и ограниченной. Таким образом, при-
ходим к задаче о нахождении ограниченных решений
z(k, ε) ∈ Rn, k = 0, 1, 2, ...
регуляризованной системы линейных разностных уравнений
z(k + 1, ε) = A(k, ε)z(k, ε) + f(k), k = 0, 1, 2, ... . (2)
Поскольку любая (n × n) – матрица A(k) постоянного ранга σ в определенном
базисе может быть представлена в виде стандартного разложения [6–8]
A(k) = R(k) · Jσ · S(k), Jσ :=
(
Iσ O
O O
)
,
постольку возмущение матрицы A(k) представимо в виде
Ω(k) = R(k) · J̌σ0 · S(k), J̌σ :=
(
O O
O In−σ
)
;
здесь R(k) и S(k) — ограниченные невырожденные матрицы.
Общее решение задачи Коши z(0, ε) = c ∈ Rn для однородной части невырож-
денной (detA(k, ε) ̸= 0) системы разностных уравнений (2) представимо в виде:
z(k, ε) = X(k, ε)c, c ∈ Rn;
здесь X(k, ε) — нормальная фундаментальная матрица:
X(k + 1, ε) = A(k, ε)X(k, ε), X(0, ε) = In.
Одной из фундаментальных матриц является, в частности, матрица
X(k, ε) =
k−1∏
j=0
A(j, ε).
134
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений
Общее решение задачи Коши z(0, ε) = c ∈ Rn для неоднородной регуляризованной
системы разностных уравнений (2) представимо в виде:
z(k, ε) = X(k, ε)c+X(k, ε)
k−1∑
j=0
X−1(j + 1, ε)f(j), c ∈ Rn.
Таким образом, доказана следующая лемма.
Лемма 1. Предположим, что (n × n) – матрица A(k) имеет постоянный
ранг, а именно:
1 ≤ rank A(k) = σ < n.
Тогда общее решение задачи Коши z(0, ε) = c ∈ Rn для неоднородной регуляризо-
ванной системы разностных уравнений (2) представимо в виде:
z(k, ε) = X(k, ε)c+K[f(j)](k, ε), c ∈ Rn;
здесь
K[f(j)](k, ε) := X(k, ε)
k−1∑
j=0
X−1(j + 1, ε)f(j)
— оператор Грина задачи Коши для регуляризованной системы разностных урав-
нений (2).
Пример 1. Найдем решение системы разностных уравнений первого порядка
z(k + 1) = Az(k) + f(k), k = 0, 1, 2, 3, (3)
где
A =
0 3 3
1 0 0
2 0 0
, f(k) =
1
2
3
.
Для нахождения возмущенной матрицы
A(k, ε) =
1√
10
0 3
√
10 3
√
10√
10 2 ε −2 ε
2
√
10 −ε ε
, A(k, 0) = A,
определяющей регуляризованную систему линейных разностных уравнений ис-
пользуем возмущение матрицы A в виде
Ω = R·J̌σ·S, Jσ :=
0 0 0
0 0 0
0 0 1
, R =
1 0 0
0 1√
5
− 2√
5
0 2√
5
1√
5
, S =
0 3 3√
5 0 0
0 − 1√
2
1√
2
.
135
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
При этом X(k, ε) — нормальная фундаментальная матрица:
X(1, ε) = X(0, ε) = I3,
кроме того
X(2, ε) =
9 3 ε√
10
− 3 ε√
10
−
√
2
5ε
3
5
(
5 + ε2
)
3− 3 ε2
5
ε√
10
6− 3 ε2
10 6 + 3 ε2
10
,
X(3, ε) =
1
10
√
10
−30 ε 9
√
10
(
30 + ε2
)
−9
√
10
(
−30 + ε2
)
−6
√
10
(
−15 + ε2
)
6ε
(
−5 + 3ε2
)
−18ε
(
5 + ε2
)
3
√
10
(
60 + ε2
)
−9ε
(
−10 + ε2
)
−30 ε+ 9 ε3
.
Общее решение задачи Коши z(0, ε) = c ∈ Rn для неоднородной регуляризованной
системы разностных уравнений для системы (3) представимо в виде:
z(k, ε) = X(k, ε)c+K[f(j)](k, ε), c ∈ R3;
здесь
K[f(j)](1, ε) = f(1), K[f(j)](2, ε) =
16
3−
√
2
5 ε
5 + ε√
10
,
K[f(j)](3, ε) =
25− 3 ε√
10
18− 2
√
2
5 ε−
3 ε2
5
35 +
√
2
5 ε+
3 ε2
10
— оператор Грина регуляризованной задачи Коши для системы разностных урав-
нений (3). При этом нормальная фундаментальная матрица X(k, ε) и оператор
Грина задачи Коши для регуляризованной системы разностных уравнений (3)
K[f(j)](k, ε) непрерывны по ε :
X(k, ·), K[f(j)](k, ·) ∈ C[0, ε0],
поэтому общее решение задачи Коши z(0, ε) = c ∈ Rn для неоднородной регу-
ляризованной системы разностных уравнений для системы (3) z(k, ε) при ε = 0
обращается в точное решение z(k) системы разностных уравнений (3)
z(k) = X(k)c+K[f(j)](k), c ∈ R3;
здесь
X(1) = I3, X(2) =
9 0 0
0 3 3
0 6 6
, X(3) =
0 27 27
9 0 0
18 0 0
136
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений
— нормальная фундаментальная матрица и
K[f(j)](1) = f(1), K[f(j)](2) =
16
3
5
, K[f(j)](3) =
25
18
35
— обобщенный оператор Грина вырожденной задачи Коши для системы разност-
ных уравнений (3).
2. Регуляризация линейной невырожденной краевой задачи для сис-
темы разностных уравнений.
Задача о нахождении ограниченных решений z(k) линейной нетеровой (m ̸=
n) краевой задачи для линейной невырожденной системы разностных уравнений
первого порядка
z(k + 1) = A(k)z(k) + f(k), ℓz(·) = α ∈ Rm (4)
была решена А.А. Бойчуком [1]; здесь ℓz(·) : Rn → Rm — линейный ограниченный
векторный функционал, определенный на пространстве ограниченных функций.
Обозначим матрицу Q := ℓX(·) ∈ Rm×n, а также
PQ : Rn → N(Q), PQ∗ : Rm → N(Q∗)
— матрицы-ортопроекторы. Подставляя общее решение задачи Коши z(0) = c ∈ Rn
неоднородного линейного разностного уравнения (4) в краевое условие (4)
z(k) = X(k)c+K
[
f(s)
]
(k),
при условии detA(k) ̸= 0 приходим к уравнению
Qc = α− ℓK
[
f(s)
]
(·),
разрешимому тогда и только тогда, когда [1]
PQ∗
{
α− ℓK
[
f(s)
]
(·)
}
= 0. (5)
В этом случае решение z(k) линейной невырожденной нетеровой краевой задачи
(4) определяет вектор
c = Q+
{
α− ℓK
[
f(s)
]
(·)
}
+ PQrcr, cr ∈ Rr.
Здесь Q+ ∈ Rn×m — псевдообратная по Муру – Пенроузу матрица [1]; матрица
PQr ∈ Rn×r составлена из r линейно независимых столбцов матрицы-ортопроектора
137
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
PQ ∈ Rn×n. Таким образом [1], линейная нетерова краевая задача для линейной
системы разностных уравнений первого порядка (4) при условии detA(k) ̸= 0 раз-
решима тогда и только тогда, когда выполнено условие (5); в этом случае решение
z(k) линейной нетеровой краевой задачи (4) представимо в виде:
z(k) = Xr(k)cr +G
[
f(s);α
]
(k), cr ∈ Rr;
здесь Xr(k) := X(k)PQr , X(k) — нормальная (X(0) = In) фундаментальная мат-
рица,
G
[
f(s);α
]
(k) := X(k)Q+
{
α− ℓK
[
f(s)
]
(·)
}
+K
[
f(s)
]
(k)
— обобщенный оператор Грина нетеровой линейной краевой задачи (4) для невы-
рожденной системы разностных уравнений первого порядка. Следуя традицион-
ной классификации краевых задач [1], случай PQ∗ ̸= 0 назовем критическим. Слу-
чай PQ∗ = 0 назовем некритическим. Поставим задачу о регуляризации [2, 3, 5]
краевой задачи (4), а именно: поставим задачу о нахождении малого возмущения
краевого условия (4) таким образом, чтобы линейная краевая задача (4) стала
разрешимой для любых неоднородностей краевой задачи для системы разностных
уравнений (4). Возмущение функционала ℓz(·) : Rn → Rm, определяющего вид
краевого условия (4) будем искать в виде
Lz(·, ε) := ℓz(·, ε) + εΞz(0, ε) : Rn → Rm
линейного ограниченного векторного функционала, определенного на простран-
стве ограниченных функций z(k, ε). Таким образом, возмущение матрицы Q будем
искать в виде
Q(ε) := Q+ εΞ, 0 < ε≪ 1, Ξ ∈ Rm×n,
предполагая матрицу Q(ε) матрицей полного ранга:
PQ∗(ε) = 0, 0 < ε≪ 1,
в частности, для фредгольмовой (m = n) задачи (4), невырожденной. В случае
нетеровой (m ̸= n) краевой задачи (4) условие полноты ранга матрицы Q(ε) рав-
носильно уравнению (
Q+ εΞ
)
·
(
Q+ εΞ
)+
= Im (6)
относительно (m× n)− матрицы Ξ. Заметим, что в случае PQ∗ ̸= 0 уравнение (6)
разрешимо лишь для m = n, либо m < n. Действительно, предположим уравнение
(6) переопределенным: m > n, при этом
rank
(
Q+ εΞ
)(
Q+ εΞ
)+
≤ rank
(
Q+ εΞ
)
=
138
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений
= rank
(
Q+ εΞ
)+
≤ n < m,
что противоречит равенству рангов левой и правой части уравнения (6). Посколь-
ку любая (m × n) – матрица Q в определенном базисе может быть представлена
в виде стандартного разложения Q = R · Jσ · S, постольку возмущение матрицы Ξ
представимо в виде
Ξ = R · J̌ · S, J̌ :=
(
O O
O J̌(m−σ)×(n−σ)
)
∈ Rm×n;
здесь
J̌(m−σ)×(n−σ) ∈ R(m−σ)×(n−σ)
— любая постоянная матрица полного ранга. Таким образом, приходим к задаче
о нахождении ограниченных решений
z(k, ε) ∈ Rn, k = 0, 1, 2, ...
регуляризованной краевой задачи для системы линейных разностных уравнений
z(k + 1, ε) = Az(k, ε) + f(k), Lz(·, ε) = α. (7)
В силу равенства PQ∗(ε) = 0, регуляризованная краевая задача (7) разрешима для
любых неоднородностей краевой задачи для системы разностных уравнений (7).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Линейная нетерова краевая задача для линейной системы раз-
ностных уравнений первого порядка (4) при условии detA(k) ̸= 0 в критическом
случае:
PQ∗ ̸= 0, m ≤ n
может быть регуляризована возмущением краевого условия:
Lz(·, ε) := ℓz(·, ε) + εΞz(0, ε), Ξ = R · J̌ · S.
Регуляризованная краевая задача (7) разрешима для любых неоднородностей кра-
евой задачи для системы разностных уравнений (7), при этом решение z(k) ли-
нейной нетеровой краевой задачи (7) представимо в виде:
z(k) = Xr(k)cr +G
[
f(s);α
]
(k, ε), cr ∈ Rr;
здесь Xr(k) = X(k)PQr(ε), X(k) — нормальная (X(0) = In) фундаментальная
матрица,
G
[
f(s);α
]
(k, ε) = X(k)Q+(ε)
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
+K
[
f(s)
]
(k)
139
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
— обобщенный оператор Грина регуляризованной краевой задачи (7) для невы-
рожденной системы разностных уравнений первого порядка.
Пример 2. Найдем решение периодической задачи для системы разностных
уравнений первого порядка
z(k + 1) = Az(k) + f, z(0)− z(4) = 0, (8)
где
A =
−1 −1 1
−2 0 3
−4 −1 4
, f =
1
−1
1
.
В данном случае λ1, λ2 = ± i, λ3 = 3 ̸= 1 — корни характеристического урав-
нения; в этом случае матрица A неособенным преобразованием подобия
A = S · J · S−1, S =
0 1 0
1 0 1
0 1 1
, S−1 =
1 1 −1
−2 0 3
−1 0 1
приводится к жордановой форме
J =
0 1 0
−1 0 0
0 0 3
,
при этом общее решение линейной однородной системы разностных уравнений
первого порядка с постоянными коэффициентами
z(k + 1) = Jz(k), k ∈ N
представимо в виде
z(k) = Y (k) c, c ∈ R3,
где
Y (k) :=
cos πk2 sin πk
2 0
− sin πk
2 cos πk2 0
0 0 3k
— нормальная (Y (0) = I3) фундаментальная матрица однородной части последней
нормальной системы разностных уравнений. Общее решение однородной части
системы (8) представимо в виде
z(k) = X(k)c, c ∈ R2,
140
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений
где
X(k) =
cos πk2 − sin πk
2 − sin πk
2 sin πk
2
cos πk2 + sin πk
2 − 3k cos πk2 3k − cos πk2
cos πk2 − sin πk
2 − 3k − sin πk
2 3k + sin πk
2
— фундаментальная матрица однородной части системы разностных уравнений
(8); она определяет частное решение
K
[
f(s)
]
(k) =
2 sin2 πk2
− sin πk
2
2 sin2 πk2
,
представимое оператором Грина задачи Коши для системы разностных уравнений
(8). Поскольку матрица
Q = X(0)−X(4) =
0 0 0
−80 0 80
−80 0 82
вырождена, постольку для краевой задачи (8) имеет место критический случай:
PQ∗ ̸= 0, при этом матрица Q базисе может быть представлена в виде стандартного
разложения Q = R · Jσ · S, где
R =
1√
2
0 0
√
2
1 −1 0
1 1 0
, S =
1√
2
−1 0 1
0 0 1
0
√
2 0
.
Поскольку матрица
Q(ε) =
0 ε 0
−80− ε
2 0 80− ε
2
−80 + ε
2 0 82 + ε
2
невырождена, постольку
PQ∗(ε) = PQ(ε) = 0,
следовательно регуляризованная задача (7) в случае краевой задачи (8) разрешима
для любых неоднородностей, при этом
z(k, ε) = G
[
f(s)
]
(k, ε);
здесь
G
[
f(s); 0
]
(k) =
1
2
cos πk2
sin πk
2
cos πk2
— обобщенный оператор Грина краевой задачи (8).
141
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
3. Регуляризация линейной вырожденной краевой задачи для линей-
ной системы разностных уравнений.
Поставим задачу о регуляризации [2, 3, 5] краевой задачи (4) при условии
detA(k) = 0, а именно: поставим задачу о нахождении малого возмущения кра-
евого условия (4) таким образом, чтобы линейная краевая задача (4) стала раз-
решимой для любых неоднородностей краевой задачи для системы разностных
уравнений (4). Возмущение квадратной, но вырожденной матрицы A(k) будем ис-
кать в виде
A(k, ε) := A(k) + εΩ(k), Ω(k) ∈ Rn×n, k = 0, 1, 2, ... ,
предполагая матрицу A(k, ε) невырожденной и ограниченной. Таким образом, при-
ходим к задаче о нахождении ограниченных решений
z(k, ε) ∈ Rn, k = 0, 1, 2, ...
регуляризованной системы линейных разностных уравнений (2). Поскольку любая
(n × n) — матрица A(k) постоянного ранга σ может быть представлена в виде
стандартного разложения A(k) = R(k) · Jσ · S(k), постольку возмущение матрицы
A(k) представимо в виде
Ω(k) = R(k) · J̌σ · S(k), J̌σ :=
(
O O
O In−σ
)
.
Одной из фундаментальных матриц является матрица
X(k, ε) =
k−1∏
j=0
A(j, ε).
Общее решение задачи Коши z(0, ε) = c ∈ Rn для неоднородной регуляризованной
системы разностных уравнений (2) представимо в виде:
z(k, ε) = X(k, ε)c+K[f(j)](k, ε), c ∈ Rn;
здесь
K[f(j)](k, ε) := X(k, ε)
k−1∑
j=0
X−1(j + 1, ε)f(j)
— оператор Грина задачи Коши для регуляризованной системы разностных урав-
нений (2). Поставим задачу о регуляризации краевой задачи (4) при условии
detA(k) = 0,
а именно: поставим задачу о нахождении малого возмущения краевого условия (4)
таким образом, чтобы линейная краевая задача (4) стала разрешимой для любых
142
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений
неоднородностей краевой задачи для системы разностных уравнений (4). Возму-
щение функционала ℓz(·) : Rn → Rm, определяющего вид краевого условия (4)
будем искать в виде
Lz(·, ε) := ℓz(·, ε) + εΞz(0, ε) : Rn → Rm
линейного ограниченного векторного функционала, определенного на простран-
стве ограниченных функций z(k, ε). Таким образом, возмущение матрицы Q будем
искать в виде
Q(ε) := Q+ εΞ, Ξ ∈ Rm×n, 0 < ε≪ 1,
предполагая матрицу Q(ε) матрицей полного ранга:
PQ∗(ε) = 0, m ≤ n, 0 < ε≪ 1,
в частности, для фредгольмовой (m = n) задачи (4), невырожденной. Поскольку
любая (m×n) – матрица Q ранга σq может быть представлена в виде стандартного
разложения Q = R1 · Jσq · S1, постольку матрица Ξ представима в виде
Ξ = R1 · J̌σq · S1, J̌σq :=
(
O O
O In−σq
)
.
Таким образом, приходим к задаче о нахождении ограниченных решений
z(k, ε) ∈ Rn, k = 0, 1, 2, ...
регуляризованной краевой задачи для системы линейных разностных уравнений
z(k + 1, ε) = A(k, ε) z(k, ε) + f(k), Lz(·, ε) = α. (9)
В силу равенства PQ∗(ε) = 0, регуляризованная краевая задача (9) разрешима для
любых неоднородностей краевой задачи для системы разностных уравнений (9).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Линейная нетерова краевая задача для линейной системы раз-
ностных уравнений первого порядка (4) при условии detA(k) = 0 в критическом
случае: PQ∗ ̸= 0, m ≤ n может быть регуляризована возмущением матрицы
A(k) :
A(k, ε) := A(k) + εΩ(k), k = 0, 1, 2, ... , Ω(k) = R(k) · J̌σ · S(k),
а также краевого условия:
Lz(·, ε) := ℓz(·, ε) + εΞz(0, ε), Ξ = R · J̌ · S.
Регуляризованная краевая задача (9) разрешима для любых неоднородностей кра-
евой задачи для системы разностных уравнений (7), при этом решение z(k) ли-
нейной нетеровой краевой задачи (9) представимо в виде:
z(k) = Xr(k)cr +G
[
f(s);α
]
(k, ε), cr ∈ Rr;
143
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
здесь Xr(k) = X(k)PQr(ε), X(k) — нормальная (X(0) = In) фундаментальная
матрица,
G
[
f(s);α
]
(k, ε) = X(k)Q+(ε)
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
+K
[
f(s)
]
(k)
— обобщенный оператор Грина регуляризованной краевой задачи (9) для невы-
рожденной системы разностных уравнений первого порядка.
Пример 3. Найдем решение двухточечной задачи для системы разностных
уравнений первого порядка
z(k + 1) = Az(k) + f, ℓz(·) :=M z(0) +N z(3) = 0, (10)
где
A =
0 3 3
1 0 0
2 0 0
, M :=
0 0 0
0 0 1
0 0 0
, f =
1
0
1
, N := 10
√
10
0 0 1
0 0 0
0 0 0
.
Вырожденная матрица A(k) постоянного ранга σ = 2 в виде стандартного раз-
ложения, а также возмущение A(ε) матрицы A(k) представлены в примере 1, при
этом нормальная фундаментальная матрица X(k, ε), соответствующая возмущен-
ной матрице A(k, ε) была найдена там же. Возмущение матрицы
Q(ε) =
3
√
10
(
60 + ε2
)
−9 ε
(
−10 + ε2
)
−30 ε+ 9 ε3
0 0 1
0 0 0
будем искать в виде
Q(ε) := Q(ε) + εΞ, Ξ ∈ R3×3, 0 < ε≪ 1.
Предполагая матрицу Q(ε) невырожденной, находим
Ξ(ε) = R1(ε) · J̌σq · S1(ε), J̌σq :=
(
O O
O I1
)
,
где
R1(ε) =
−9 ε
(
−10 + ε2
)
−30 ε+ 9 ε3 0
0 1 0
0 0 1
, S1(ε) =
3
√
10(60+ε2)
90 ε−9 ε3
1 0
0 0 1
0 1 0
.
Таким образом, находим невырожденную матрицу
Q(ε) =
3
√
10
(
60 + ε2
)
−9 ε
(
−10 + ε2
)
−30 ε+ 9 ε3
0 0 1
0 ε 0
,
144
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений
которая определяет обобщенный оператор Грина
G
[
f(s)
]
(0, ε) =
−90+2
√
10 ε+3 ε2
3(60+ε2)
0
0
, G
[
f(s)
]
(1, ε) =
1
−90+2
√
10 ε+3 ε2
3(60+ε2)
− ε(4
√
10+3 ε)
3(60+ε2)
,
G
[
f(s)
]
(2, ε) =
−30+6
√
10 ε+5ε2
60+ε2
180−18
√
10 ε+7ε2
180+3ε2
540+9
√
10 ε+7ε2
180+3ε2
, G
[
f(s)
]
(3, ε) =
780−9
√
10 ε+15 ε2
60+ε2
−30+30
√
10 ε+23 ε2
60+ε2
0
,
в свою очередь, определяемый оператором Грина задачи Коши для возмущенной
системы разностных уравнений
K
[
f(s)
]
(0, ε) =
0
0
0
, K
[
f(s)
]
(1, ε) =
1
0
1
,
K
[
f(s)
]
(2, ε) =
4
1−
√
2
5 ε
3 + ε√
10
, K
[
f(s)
]
(3, ε) =
13− 3 ε√
10
4− 2
√
2
5 ε−
3 ε2
5
9 +
√
2
5 ε+
3 ε2
10
.
Итак, найдено ограниченное решение z(k, ε) регуляризованной краевой задачи (9)
для линейной краевой задачи (10)
z(k, ε) = G
[
f(s);α
]
(k, ε), z(k, ·) ∈ C[0, ε0], k = 0, 1, 2, 3,
следовательно найдено ограниченное решение z(k) линейной краевой задачи для
вырожденной системы (10):
z(k) := G
[
f(s);α
]
(k, 0), k = 0, 1, 2, 3;
здесь
z(0) = −1
2
1
0
0
, z(1) =
1
2
2
−1
0
, z(2) =
1
2
−1
2
6
, z(3) =
1
2
26
−1
0
.
Доказанная теорема обобщает соответствующие результаты [1] на случай необ-
ратимости матрицы A(k). Кроме того, полученные результаты аналогично [10] мо-
гут быть использованы в теории устойчивости для систем разностных уравнений,
а также аналогично [11,12] — в теории нелинейных нетеровых краевых задач для
145
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
систем разностных уравнений. Предложенная в статье схема исследования анало-
гично [11,13–15] может быть перенесена на нелинейные краевые задачи для систем
разностных уравнений.
Цитированная литература
1. Бойчук А.А. Краевые задачи для систем разностных уравнений // Укр. мат. журн. – 1997.
– 49, № 6. – С. 832–835.
2. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.
3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. –
288 с.
4. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-
дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1991. – 277 с.
5. Chuiko S.M., Chuiko E.V., Belushenko A.V. On a regularization method for solving linear matrix
equation // Bull. of Taras Shevchenko National Univ. Ser. Math. – 2014. – 1. – P. 12–14.
6. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отобра-
жений. 3 изд. – М.: Изд. МЦНМО, 2009. – 672 с.
7. Чуйко С.М. О понижении порядка в дифференциально алгебраической системе // Укр. мат.
вестник. – 2018. – T. 15, № 1. – C. 1–17.
8. Chuiko S.M. On a reduction of the order in a differential-algebraic system // Journal of Mathemati-
cal Sciences. – 2018. – V. 235, № 1. – P. 2–18.
9. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. – 318 с.
10. Коробов В.И., Бебия М.О. Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых
по первому приближению // Доп. НАН України. – 2014. – № 2. – С. 20–25.
11. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value
problems (2-th edition). – Berlin; Boston: De Gruyter, 2016. – 298 pp.
12. Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи для матрич-
ного разностного уравнения // Таврический вестник информатики и математики. – 2015. –
№ 1 (26). – С. 104–116.
13. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yefimushkin A. On the boundary-value problems for quasiconformal
functions in the plane // Journal of Mathematical Sciences. – 2016. – 214. – P. 200–219.
14. Skrypnik I.I. Removability of isolated singularities for anisotropic elliptic equations with gradient
absorption // Israel Journal of Mathematics. – 2016. – 215, № 1. – P. 163–179.
15. Chuiko S. Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential equation // Miskolc
Mathematical Notes. – 2016. – 17, № 1. – P. 139–150.
References
1. Boichuk, A.A. (1997). Boundary value problems for systems of difference equations. Ukr. mat.
zhurn., 49 (6), 832-835 (in Russian).
2. Krein, S.G. (1971). Linear equations in Banach space. Moscow: Nauka (in Russian).
3. Tihonov, A.N., Arsenin, V.Ya. (1986). Methods for solving incorrect problems. Moscow: Nauka (in
Russian).
4. Azbelev, N.V., Maksimov, V.P., Rahmatullina, L.F. (1991). Introduction to the theory of functional
differential equations. Moscow: Nauka (in Russian).
5. Chuiko, S.M., Chuiko, E.V., Belushenko, A.V. (2014). On a regularization method for solving
linear matrix equation. Bull. of Taras Shevchenko National Univ. Ser. Math., 1, 12-14.
6. Arnold, V.I., Varchenko, A.N., Guseyn-Zade, S.M. (2009). Features of differentiable mappings.
3rd ed. Moscow: Izd. MTsNMO (in Russian).
7. Chuiko, S.M. (2018). On a reduction of the order in a differential-algebraic system. Ukr. mat.
vestnik, 15 (1), 1-17 (in Russian).
8. Chuiko, S.M. (2018). On a reduction of the order in a differential-algebraic system. J. Math. Sci.,
235 (1), 2-18.
146
О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений
9. Voevodin, V.V., Kuznetsov, Yu.A. (1984). Matrices and calculations. Moscow: Nauka (in Russian).
10. Korobov, V.I., Bebiya, M.O. (2014). Stabilization of a class of nonlinear systems uncontrollable
by the first approximation. Dopovidi NAN Ukraini, 2, 20-25 (in Russian).
11. Boichuk, A.A., Samoilenko, A.M. (2016). Generalized inverse operators and Fredholm boundary-
value problems (2-th edition). Berlin; Boston: De Gruyter.
12. Chuiko, S.M. (2015). Generalized Green operator for a linear Fredholm boundary value problem
for a matrix difference equation. Tavricheskiy vestnik informatiki i matematiki, 1 (26), 104-116 (in
Russian).
13. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Yefimushkin, A. (2016). On the boundary-value problems for
quasiconformal functions in the plane. J. Math. Sci., 214, 200-219.
14. Skrypnik, I.I. (2016). Removability of isolated singularities for anisotropic elliptic equations with
gradient absorption. Israel Journal of Mathematics, 215 (1), 163-179.
15. Chuiko, S. (2016). Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential equation.
Miskolc Mathematical Notes, 17 (1), 139-150.
S.M. Chuiko, E.V. Chuiko, Ya.V. Kalinichenko
On a regularization method for solving linear Noetherian boundary value problem for
difference system.
The article proposes unusual regularization conditions as well as a scheme for finding bounded solutions
of the linear Noetherian boundary value problem for a system of difference equations in the critical
case, significantly using the Moore-Penrose matrix pseudo-inversion technology. The problem posed in
the article continues the study of the a sufficient condition for solvability and regularization conditions
for linear Noetherian boundary value problems in the critical case given in the monographs by
A.N. Tikhonov, V.Ya. Arsenin, S.G. Krein, A.M. Samoilenko, N.V. Azbelev, V.P. Maksimov, L.F.
Rakhmatullina and A.A. Boichuk. The general case is studied in which a linear bounded operator
corresponding to a homogeneous part of a linear Noetherian boundary value problem has no inverse.
The noninvertibility of the operators corresponding to a homogeneous part of a linear Noetherian
boundary value problem is a consequence of the fact that the number of boundary conditions does
not coincide with the number of unknown variables of the difference equations. Using the theory of
generalized inverse operators and Moore-Penrose pseudoinverse matrix in the article, a generalized
Green operator is constructed and the type of a linear perturbation of a regularized linear Noether
boundary value problem for a system of difference equations in the critical case is found. The proposed
regularization conditions, as well as the scheme for finding of bounded solutions to linear Noetherian
boundary value problems for a system of difference equations in the critical case, are illustrated in
details with examples. In contrast to the earlier articles of the authors, the regularization problem for
a linear Noether boundary value problem for a system of difference equations in the critical case has
been resolved constructively, and sufficient conditions has been obtained for the existence of a bounded
solution to the regularization problem.
Keywords: regularization, linear Noether boundary value problem, systems of difference equations.
С.М. Чуйко, О.B. Чуйко, Я.В. Калиниченко
Про регуляризацiю лiнiйної нетерової крайової задачi для системи рiзницевих рiв-
нянь.
У статтi запропоновано оригiнальнi умови регуляризацiї, а також схема знаходження розв’яз-
147
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, Я.В. Калиниченко
кiв лiнiйної нетерової крайової задачi для системи рiзницевих рiвнянь, при цьому iстотно ви-
користано технiку псевдообернення матриць за Муром–Пенроузом. Поставлена в статтi зада-
ча продовжує дослiдження умов регуляризацiї лiнiйних нетерових крайових задач, наведених
у монографiях А.М. Тихонова, В.Я. Арсенiна, С.Г. Крейна, М.В. Азбелева, А.М. Самойленка,
Л.Ф. Рахматуллiної та О.А. Бойчука. Дослiджено загальний випадок, коли лiнiйний обмежений
оператор, вiдповiдний до однорiдної частини лiнiйної нетерової крайової задачi, не має оберне-
ного. У статтi побудовано узагальнений оператор Грiна та знайдений вигляд лiнiйного збурення
регулярiзованої лiнiйної крайової задачi для системи рiзницевих рiвнянь. Запропонованi умови
регуляризацiї, а також схема знаходження розв’язкiв лiнiйних нетерових крайових задач для
системи рiзницевих рiвнянь детально проiлюстровано на прикладах. На вiдмiну вiд попереднiх
статей авторiв, задача про регуляризацiю лiнiйної крайової задачi для системи рiзницевих рiв-
нянь розв’язана конструктивно, причому отриманi достатнi умови iснування розв’язку задачi
про регуляризацiю.
Ключовi слова: регуляризацiя, лiнiйна нетерова крайова задача, системи рiзницевих рiвнянь.
Донбасский государственный педагогический университет,
Славянск
chujko-slav@inbox.ru, chujko-slav@ukr.net
Получено 22.11.2018
148
|