Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією

Отримано поточкові оцінки зверху для розв’язків двічі нелінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбційним членом, які виражені у термінах відстані до межі. Оцінки такого типу беруть свій початок в роботах Дж. Б. Келлера, Р. Оссермана і мають значення для так званих великих розв’язків. Получе...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України
Date:	2018
Main Author:	Шань, М.О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2018
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169133
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Апрiорнi оцiнки типу Келлера–Оссермана для двiчi нiлiнiйних анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю / М.О. Шань // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 149-159. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169133
record_format	dspace
spelling	Шань, М.О. 2020-06-06T12:48:55Z 2020-06-06T12:48:55Z 2018 Апрiорнi оцiнки типу Келлера–Оссермана для двiчi нiлiнiйних анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю / М.О. Шань // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 149-159. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1683-4720 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-15 MSC: 35B45 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169133 517.9 Отримано поточкові оцінки зверху для розв’язків двічі нелінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбційним членом, які виражені у термінах відстані до межі. Оцінки такого типу беруть свій початок в роботах Дж. Б. Келлера, Р. Оссермана і мають значення для так званих великих розв’язків. Получены поточечные оценки сверху для решений дважды нелинейных анизотропных параболических уравнений с абсорбционным членом в терминах расстояния до границы. Оценки такого типа берут свое начало в работах Дж. Келлера, Р. Оссермана и имеют значение для так называемых больших решений. The main purpose is to obtain the pointwise upper estimates in terms of distance to the boundary for nonnegative solutions of such equations. This type of estimates originate from the work of J. B. Keller, R. Osserman, who obtained a simple upper bound for any solution, in any number of variables for Laplace equation. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією Априорные оценки типа Келлера-Оссермана для дважды нелинейных анизотропных параболических уравнений с абсорбцией Keller-Osserman a priori estimates for doubly nonlinear anisotropic parabolic equations with absorption term Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією
spellingShingle	Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією Шань, М.О.
title_short	Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією
title_full	Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією
title_fullStr	Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією
title_full_unstemmed	Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією
title_sort	апріорні оцінки типу келлера–оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією
author	Шань, М.О.
author_facet	Шань, М.О.
publishDate	2018
language	Ukrainian
container_title	Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	Априорные оценки типа Келлера-Оссермана для дважды нелинейных анизотропных параболических уравнений с абсорбцией Keller-Osserman a priori estimates for doubly nonlinear anisotropic parabolic equations with absorption term
description	Отримано поточкові оцінки зверху для розв’язків двічі нелінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбційним членом, які виражені у термінах відстані до межі. Оцінки такого типу беруть свій початок в роботах Дж. Б. Келлера, Р. Оссермана і мають значення для так званих великих розв’язків. Получены поточечные оценки сверху для решений дважды нелинейных анизотропных параболических уравнений с абсорбционным членом в терминах расстояния до границы. Оценки такого типа берут свое начало в работах Дж. Келлера, Р. Оссермана и имеют значение для так называемых больших решений. The main purpose is to obtain the pointwise upper estimates in terms of distance to the boundary for nonnegative solutions of such equations. This type of estimates originate from the work of J. B. Keller, R. Osserman, who obtained a simple upper bound for any solution, in any number of variables for Laplace equation.
issn	1683-4720
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169133
citation_txt	Апрiорнi оцiнки типу Келлера–Оссермана для двiчi нiлiнiйних анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю / М.О. Шань // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 149-159. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT šanʹmo apríorníocínkitipukelleraossermanadlâdvíčínílíníinihanízotropnihparabolíčnihrívnânʹzabsorbcíêû AT šanʹmo apriornyeocenkitipakelleraossermanadlâdvaždynelineinyhanizotropnyhparaboličeskihuravneniisabsorbciei AT šanʹmo kellerossermanaprioriestimatesfordoublynonlinearanisotropicparabolicequationswithabsorptionterm
first_indexed	2025-11-24T11:39:06Z
last_indexed	2025-11-24T11:39:06Z
_version_	1850845852745072640
fulltext	ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32 УДК 517.9 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-15 c⃝2018. М.О. Шань АПРIОРНI ОЦIНКИ ТИПУ КЕЛЛЕРА–ОССЕРМАНА ДЛЯ ДВIЧI НЕЛIНIЙНИХ АНIЗОТРОПНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ З АБСОРБЦIЄЮ Отримано поточковi оцiнки зверху для розв’язкiв двiчi нелiнiйних анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiйним членом, якi вираженi у термiнах вiдстанi до межi. Оцiнки такого типу беруть свiй початок в роботах Дж. Б. Келлера, Р. Оссермана i мають значення для так званих великих розв’язкiв. MSC: 35B45. Ключовi слова: апрiорнi оцiнки, анiзотропнi параболiчнi рiвняння. 1. Вступ. У данiй статтi отримано апрiорнi оцiнки типу Келлера–Оссермана для невiд’єм- них розв’язкiв анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiйним членом. Такi оцiнки мають важливе значення в теорiї iснування i неiснування так званих ве- ликих розв’язкiв, iнiцiйованих К. Бандле i М. Маркусом [1], а також у задачах регулярностi, усувностi iзольованих особливостей. Вiдмiтимо, що першi оцiнки такого типу були зробленi для рiвняння p-Лапласу з абсорбцiйним членом △pu = uq, x ∈ Ω ⊂ Rn, q > p− 1 Дж. Келлером [2] i Р. Оссерманом [3] при p = 2, i розповсюдженi на випадок, коли p ̸= 2 Д. Васкесом [4]: будь-який невiд’ємний розв’язок u ∈ C2(Ω) задовольняє нерiвностi u(x) ≤ c dist(x, ∂Ω) − p q−p+1 , f(u) = uq, де dist(x, ∂Ω) вiдстань до межi i c = c(p, q, n). Вiдомо, що такi оцiнки для розв’язкiв елiптичних i параболiчних рiвнянь пов’я- занi з рiвняннями, для яких мають мiсце теореми порiвняння. Для ознайомлення з результатами дивiться [5–8] i на посилання в них. Анiзотропнi елiптичнi та па- раболiчнi рiвняння були об’єктом дослiдження невеликої кiлькостi робiт, оскiльки для них немає принципу порiвняння, i основнi роботи стосуються рiвнянь тiльки з конкретним членом абсорбцiї, а саме f(u) = uq (див. [9–18]). Взагалi анiзотропнi рiвняння мало вивченi, якiсна теорiя для них не побудована, тому останнiм часом зростає зацiкавленiсть в дослiдженнi якiсних властивостей розв’язкiв цих рiвнянь. Роботу виконано за пiдтримки гранту 0118U003138 Мiнiстерства освiти i науки України. 149 М.О. Шань 2. Постановка задачi i основний результат. В обмеженiй областi ΩT = Ω × (0, T ), 0 < T < ∞,Ω ⊂ Rn, n ≥ 2 розгляне- мо невiд’ємнi розв’язки квазiлiнiйного параболiчного рiвняння другого порядку у дивергентному виглядi ut − divA(x, t, u,∇u) + a0(u) = 0, (x, t) ∈ ΩT . (1) На коефiцiєнти рiвняння A = (a1, ..., an) i a0 будемо накладати наступнi умовi • A = (a1, ..., an) i a0 задовольняють умовi Каратеодорi • A(x, t, u, ξ)ξ ≥ ν1 n∑ i=1 \|u\|(mi−1)(pi−1)\|ξi\|pi , \|ai(x, t, u, ξ)\| ≤ ν2u (mi−1) pi−1 pi  n∑ j=1 \|u\|(mj−1)(pj−1)\|ξj \|pj 1− 1 pi , i = 1, n, (2) a0(u) ≥ ν1f(u), де ν1, ν2 додатнi сталi , f(u)− неперервна, додатня функцiя та для показникiв mi, pi справедливi нерiвностi 2 < p1 ≤ ... ≤ pn, min 1≤i≤n mi > 1, max 1≤i≤n mi(pi − 1) ≤ 1 + κ n , p < n, (3) де κ = n(p(m− d)− 1) + p, d = 1 n n∑ i=1 mi pi . Не втрачаючи спiльностi, будемо вважати, що mn = max 1≤i≤n mi. Введемо необхiднi означення. Означення 1. Будемо казати, що функцiя φ належить простору Vp,m(ΩT ), якщо φ ∈ C(0, T, L2(Ω)) i n∑ i=1 ∫∫ ΩT \|φ\|(mi−1)(pi−1) \|φxi \| pi dxdt <∞. Означення 2. Будемо казати, що u− слабкий розв’язок рiвняння (1), якщо u ∈ Vp,m(ΩT ) i для будь-якого iнтервалу (t1, t2) ⊂ (0, T ) справедлива iнтегральна тотожнiсть ∫ Ω uφdx ∣∣∣∣∣∣ t2 t1 + t2∫ t1 ∫ Ω {−uφt +A(x, t, u,∇u)∇φ+ a0(u)φ} dx dt = 0 (4) для всiх φ ∈ o V p,m(ΩT ). 150 Оцiнки типу Келлера–Оссермана для анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю Зауваження 1. Умова (3) гарантує локальну обмеженiсть слабкого розв’язку рiвняння (1) ([19]). Для формулювання головного результата введемо наступнi позначення. За- фiксуємо довiльну точку (x(0), t(0)) ∈ ΩT , для будь-яких τ, θ1, θ2, ..., θn > 0, θ = (θ1, ..., θn) визначемо цилiндри Qθ,τ (x (0), t(0)) := {(x, t) : \|t − t(0)\| < τ, \|xi − x (0) i \| < θi, i = 1, n} i позначемоM(θ, τ) := sup Qθ,τ (x(0),t(0)) u, δ(θ, τ) := sup Qθ,τ (x(0),t(0)) δ(u), Φ(θ, τ) := sup Qθ,τ (x(0),t(0)) Φ(u), Φ(u) = u∫ 0 g(s)ds, g(s) = smn−1f(s). Теорема 1. Нехай виконанi умови (2), (3) i u− невiд’ємний слабкий розв’язок рiвняння (1), припустимо також, що f ∈ C1(R1 +) i f ′ (u) ≥ 0. Зафiксуємо точку (x(0), t(0)) ∈ ΩT i нехай σ ∈ (0, 1), τ ∈ (0,min(θpnn , t(0), T − t(0))), θi ∈ (0, θn) для i ∈ I ′ = {i = 1, n : mi(pi − 1) < mn(pn − 1)} i θi = θn для i ∈ I ′′ = {i = 1, n : mi(pi − 1) = mn(pn − 1)}. Тодi iснують додатнi сталi c1, c2, якi залежать лише вiд n, ν1, ν2,m1, ...,mn, p1, ..., pn, що виконується u(x(0), t(0)) ≤ (τ−1ρpn) 1 mn(pn−1)−1 + ∑ i∈I′ (θ−1 i θ pn pi n ) pi mn(pn−1)−mi(pi−1) , (5) або Φ(σθ, στ) ≤ c1(1− σ)−c2θ−pnn δ(θ, τ)Mmnpn−1(θ, τ). (6) У випадку, коли I ′ пуста множина, тобто m1(p1 − 1) = m2(p2 − 1) = ... = mn(pn − 1), або справедлива оцiнка u(x(0), t(0)) ≤ (τ−1θpnn ) 1 mn(pn−1)−1 , (7) або (5) має мiсце. 3. Доведення основного результату. 3.1 Допомiжний матерiал Лема 1. ([20]) Нехай Ω ∈ Rn, n ≥ 2 обмежена множина, u ∈ o W 1,1(Ω), тодi справедлива наступна нерiвнiсть ∥u∥Lq(Ω) ≤ γ n∏ i=1 ∫ Ω \|uxi \|dx  1 n , q = n n− 1 , де додатня стала γ залежить лише вiд n. Лема 1. ([21]) Нехай для послiдовностi невiд’ємних чисел {yj}j∈N , j = 0, 1, 2, ... виконується нерiвнiсть yj+1 ≤ Cbjy1+εj , 151 М.О. Шань де ε, C > 0, b > 1. Тодi справедлива оцiнка yj ≤ C (1+ε)j−1 ε b (1+ε)j−1 ε2 − j ε y (1+ε)j 0 . Зокрема, якщо y0 ≤ C− 1 ε b− 1 ε2 , тодi lim j→∞ yj = 0. 3.2 Допомiжнi результати Зафiксуємо довiльну точку (x̄, t̄) ∈ ΩT , для будь-яких η1, ..., ηn > 0, η=(η1, ..., ηn) i s > 0 визначемо цилiндри Qη,s(x̄, t̄) := Qη(x̄) × (t̄ − s, t̄ + s), щоб Qη,s(x̄, t̄) ⊂ ΩT через ζ позначемо невiд’ємну кусково-гладку функцiю, що обертається в 0 на па- раболiчнiй межi Qη,s(x̄, t̄). Будемо вважати, що 2 < p1 ≤ ... ≤ pn−1 < pn, min 1≤i≤n mi > 1, mn(pn − 1) ≤ 1 + κ n , p < n. (8) Через γ позначемо сталу, яка залежить тiльки вiд n, ν1, ν2, p1, ..., pn,m1, ...,mn i змiнюється вiд рядка до рядка. Лема 3. Нехай u — невiд’ємний слабкий розв’язок рiвняння (1) i нехай ви- конанi умови (2), (3). Тодi для кожного цилiндру Qη,s(x̄, t̄) ⊂ ΩT i для кожної додатньої сталої k виконується нерiвнiсть sup \|t−t̄\|<s ∫ Qη(x̄) (Φ(u)− k)2+ζ pndx+ n∑ i=1 ∫∫ Ak,η,s g2(u)u(mi−1)(pi−1)\|uxi \|piζpndxdt+ + ∫∫ Ak,η,s f(u)g(u)(Φ(u)− k)+ζ pndxdt ≤ γ ∫∫ Ak,η,s (Φ(u)− k)2+\|ζt\|ζpn−1dxdt+ +γ n∑ i=1 ∫∫ Ak,η,s (Φ(u)− k)2+δ pi−2(u)u(mi−1)(pi−1)\|ζxi \|pidxdt, (9) де Ak,η,s = {(x, t) ∈ Qη,s(x̄, t̄) : Φ(u) > k}. Доведення. В iнтегральну тотожнiсть (4) пiдставимо пробну функцiю φ = 152 Оцiнки типу Келлера–Оссермана для анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю (Φ(u)− k)+g(u)ζ p. Застосувавши умову (2), отримаємо sup \|t−t̄\|<s ∫ Qη(x̄) (Φ(u)− k)2+ζ pndx+ ∫∫ Ak,η,s f(u)g(u)(Φ(u)− k)+ζ pndxdt+ + n∑ i=1 ∫∫ Ak,η,s ( g2(u) + g ′ (u)(Φ(u)− k)+ ) u(mi−1)(pi−1)\|uxi \|piζpndxdt ≤ ≤ γ ∫∫ Ak,η,s (Φ(u)− k)2+\|ζt\|ζpn−1dxdt+ + γ n∑ i=1 ∫∫ Ak,η,s  n∑ j=1 g2(u)u(mj−1)(pj−1)\|uxj \|pjζpn 1− 1 pi × × g 2 pi −1 (u)u (mi−1) pi−1 pi (Φ(u)− k)+\|ζxi \|ζ pn pi −1 dxdt. З останньої формули, використовуючи нерiвнiсть Юнга i очевидну нерiвнiсть Φ(u) g(u) ≤ δ(u), приходимо до оцiнки (9). � 3.3 Доведення Теореми 1 Розглянемо цилiндрQθ,τ (x(0), t(0)) i нехай (x̄, t̄) довiльна точка уQσθ,στ (x(0), t(0)). Якщо u(x(0), t(0))≥(τ−1ρpn) 1 mn(pn−1)−1 + n−1∑ i=1 ( θ−1 i ρ pn pi ) pi mn(pn−1)−mi(pi−1) , тодi M(θ, τ)= max(M(θ,τ),δ(θ,τ))≥(τ−1ρpn) 1 mn(pn−1)−1 + n−1∑ i=1 ( θ−1 i ρ pn pi ) pi mn(pn−1)−mi(pi−1) , i отже Qη,s(x̄, t̄) ⊂ Qθ,τ (x (0), t(0)), де s = (1−σ)θpnn M1−mn(pn−1)(θ, τ), ηi = (1−σ)θ pn pi n Mmi(pi−1)−mn(pn−1) (θ, τ), i = 1, n. Для фiксованої сталої k > 0 i l, j = 0, 1, 2... визначемо αl = 1 4(1 + 2−1 + ... + 2l), ηi,j,l = (αl + 1 42 −j−l−1)ηi, i = 1, n, ηj,l = (η1,j,l, ..., ηn,j,l), sj,l = (αl + 1 42 −j−l−1)s, kj = k(1 − 2−j), Qj,l = Qηj,l,sj,l(x̄, t̄), Akj ,j,l = {(x, t) ∈ Qj,l : F (u) > kj}. Let ζj ∈ C∞ 0 (Qj,l), 0 ≤ ζj ≤ 1, ζj = 1 in Qj+1,l, ∣∣∣ ∂ζj∂xi ∣∣∣ ≤ γ2j+l−1ηi, i = 1, n,∣∣∣∂ζj∂t ∣∣∣ ≤ γ2j+ls−1. Застосувавши нерiвнiсть Гьольдера i Лему 1, отримаємо∫∫ Akj+1,j+1,l (Φ(u)− kj+1) 2 +dxdt ≤ ≤  ∫∫ Akj+1,j+1,l ( Φ(u)− kj+1) 2 +ζ pn j )n+1 n dxdt  n n+1 \|Akj+1,j+1,l\| 1 n+1 ≤ 153 М.О. Шань ≤ γ  sup \|t−t̄\|<sj,l ∫ Qηj,l(x̄) (Φ(u)− kj+1) 2 +ζ pn j dx  1 n+1 × × n∏ i=1  ∫∫ Akj+1,j,l ∣∣∣∣((Φ(u)− kj+1) 2 +ζ pn j ) xi ∣∣∣∣ dxdt  n n+1 \|Akj+1,j,l\| 1 n+1 (10) Використовуючи нерiвнiсть Φ(u) − kj ≥ k 2j+1 , яка справедлива на множинi Akj+1,j,l, Φ(u) g(u) ≤ δ(u), оцiнимо другий доданок у правiй частинi (10):∫∫ Akj+1,j,l ∣∣∣∣((Φ(u)− kj+1) 2 +ζ pn j ) xi ∣∣∣∣ dxdt ≤ γ ∫∫ Akj+1,j,l g(u)(Φ(u)− kj+1)+\|uxi \|ζ pn j dxdt+ + γ ∫∫ Akj+1,j,l (Φ(u)− kj+1) 2 + ∣∣∣∣∂ζj∂xi ∣∣∣∣ ζpn−1 j dxdt ≤ ≤ γ2jγk − pi−1 pi  ∫∫ Akj+1,j,l g2(u)u(mi−1)(pi−1)\|uxi \|piζ pn j dxdt  1 pi × ×  ∫∫ Akj+1,j,l ( Φ(u) g(u) ) pi pi−1 g(u)umn−mif(u)(Φ(u)− kj)+ζ pn j dxdt  pi−1 pi + + γ ∫∫ Akj,j,l (Φ(u)− kj) 2 + ∣∣∣∣∂ζj∂xi ∣∣∣∣ ζpn−1 j dxdt ≤ ≤ γ2jγk − pi−1 piδ(θ, τ)M mn−mi pi (pi−1) (θ, τ) ∫∫ Akj,j,l g2(u)u(mi−1)(pi−1)\|uxi \|piζ pn j dxdt  1 pi × × ∫∫ Akj,j,l g(u)f(u)(Φ(u)− kj)+ζ pn j dxdt  1− 1 pi + γ ∫∫ Akj,j,l (Φ(u)− kj) 2 + ∣∣∣∣∂ζj∂xi ∣∣∣∣ dxdt (11) Обираючи k з умови k ≥ θ−pnn δ(θ, τ)Mmnpn−1(θ, τ), 154 Оцiнки типу Келлера–Оссермана для анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю та використовуючи Лему 3, з (10), (11) маємо yj+1,l = ∫∫ Akj+1,j+1,l (Φ(u)− kj+1) 2 +dxdt ≤γ(1− σ)−γ2(j+l)γk− 2 n+1\|Qη,s(x̄, t̄)\|− 1 n+1y 1+ 1 n+1 j,l . Нехай Ql = Qαlη,αls,Φl = sup Ql Φ(u), з Леми 2 випливає, що yj,l → 0, коли j → ∞, за умови, що k задовольняє рiвностi k2 = γ(1− σ)−γ2γl \|Qη,s(x̄, t̄)\|−1 ∫∫ Ql+1 Φ2(u)dxdt. Якщо ε ∈ (0, 1), тодi з попередньої нерiвностi отримаємо Φl ≤ γθ−pnn δ(θ, τ)Mmnpn−1(θ, τ)+ + γ(1− σ)−γ2γlδ 1 2(θ, τ)M mn−1 2 (θ, τ)Φ 1 2 l+1 \|Qη,s(x̄, t̄)\| − 1 2  ∫∫ Q η 2 , s 2 (x̄,t̄) f(u)dxdt  1 2 ≤ ≤ εΦl+1 + γθ−pnn δ(θ, τ)Mmnpn−1(θ, τ)+ + γε−1(1− σ)−γ2γlδ(θ, τ)Mmn−1(θ, τ) \|Qη,s(x̄, t̄)\|−1 ∫∫ Q η 2 , s 2 (x̄,t̄) f(u)dxdt, l = 0, 1, 2... З цього за допомогою iтерацiй приходимо до оцiнки Φ(u(x̄, t̄)) ≤ Φ0 ≤ εlΦl+γε −1σ−γ l−1∑ i=0 (ε2γ)i× × θ−pnn δ(θ, τ)Mmnpn−1(θ, τ) + δ(θ, τ)Mmn−1(θ, τ) \|Qη,s(x̄, t̄)\|−1 ∫∫ Q η 2 , s 2 (x̄,t̄) f(u)dxdt  , для кожного l ≥ 1. Оберемо ε = 2−γ−1, щоб сума у правiй частинi була збiжним рядом, коли l → ∞: Φ(u(x̄, t̄)) ≤ γ(1−σ)−γθ−pnn δ(θ, τ)Mmnpn−1(θ, τ)dxdt+ +γ(1− σ)−γδ(θ, τ)Mmn−1(θ, τ) \|Qη,s(x̄, t̄)\|−1 ∫∫ Q η 2 , s 2 (x̄,t̄) f(u)dxdt. (12) 155 М.О. Шань Нехай ξ ∈ C∞ 0 (Qη,s(x̄, t̄)), 0 ≤ ξ ≤ 1, ξ = 1 у Q η 2 , s 2 (x̄, t̄), ∣∣∣ ∂ξ∂xi ∣∣∣ ≤ γη−1 i , i = 1, n, ∣∣∣∂ξ∂t ∣∣∣ ≤ γs−1. Щоб оцiнити iнтеграл у правiй частинi формули (12), у iнте- гральну тотожнiсть (4) пiдставимо функцiю φ = u u+εξ pn . Використовуючи умову (2), нерiвнiсть Гьольдера i переходячи до границi, коли ε→ 0, отримаємо∫∫ Qη,s(x̄,t̄) f(u)ξpndxdt ≤ γ ∫∫ Qη,s(x̄,t̄) u\|ξt\|ξpn−1dxdt+ +γ n∑ i=1  n∑ j=1 ∫∫ Qη,s(x̄,t̄) \|uxi \|pjξpndxdt  1− 1 pi  ∫∫ Qη,s(x̄,t̄) \|ξxi \|pidxdt  1 pi . Тепер пiдставляючи в iнтегральну тотожнiсть (4) пробну функцiю φ = uξpn , використовуючи умову (2) i нерiвнiсть Юнга, маємо∫∫ Qη,s(x̄,t̄) f(u)ξpndxdt ≤ γM(θ, τ)\|Qη(x̄)\|. (13) Комбiнуючи нерiвностi (12), (13), приходимо до оцiнки Φ(u(x̄, t̄)) ≤ γσ−γθ−pnn δ(θ, τ)Mmnpn−1(θ, τ). (14) Оскiльки (x̄, t̄) була довiльна точка з цилiндру Qσθ,στ (x(0), t(0)), тодi з нерiвностi (14) виходить необхiдна оцiнка (6), що доводить Теорему 1. Цитована лiтература 1. Bandle K., Marcus M. Large solutions of semilinear elliptic equations: Existence, uniqueness and asymptotic behavior // Jl. d’Anal. Math. – 1992. – V. 58. – P. 9–24. 2. Keller J.B. On the solutions of △u = f(u) // Comm. Pure Applied Math. – 1957. – V. 10. – P. 503–510. 3. Osserman R. On the inequality −△u ≥ f(u) // Pacific J. Math. – 1957. – V. 7, N. 4. – P. 1641– 1647. 4. Vazquez J.L. An a priori interior estimate for the solutions of a nonlinear problem representing weak diffusion // Nonlinear Anal. – 1981. – V. 5. – P. 95–103. 5. Kovalevsky A.A., Skrypnik I.I., Shishkov A.E. Singular Solutions of Nonlinear Elliptic and Pаrabolic Equations, De Gruyter,Series in Nonl.Analysis and Applications, Berlin, 2016. 6. Marcus M., Veron L. Nonlinear second order elliptic equations involving measures, Berlin, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 2014. 7. Radulescu V.D. Singular phenomena in nonlinear elliptic problems: from blow-up boundary solutions to equations with singular nonlinearities // Handb. Differ. Equat., North-Holland, Amsterdam. – 2007. – P. 485–593. 8. Veron L. Singularities of Solution of Second Order Quasilinear Equations, Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman, Harlow, 1996. 9. Cirstea F.C., Vetois J. Fundamental solutions for anisotropic elliptic equations: existence and a priori estimates // Comm. PDE. – 2015. – V. 40, N. 4. – P. 727–767. 156 Оцiнки типу Келлера–Оссермана для анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю 10. Garcia-Melian J., Rossi J.D., Sabina de Lis J.C. Large solutions to an anisotropic quasilinear elliptic problem // Annali di Matematica Pura ed Applicata. – 2010. – V. 189. – P. 689–712. 11. Namlyeyeva Yu.V., Shishkov A.E., Skrypnik I.I. Isolated singularities of solutions of quasilinear anisotropic elliptic equations // Adv. Nonlinear Stud. – 2006. – V. 6. – P. 617–641. 12. Namlyeyeva Yu.V., Shishkov A.E., Skrypnik I.I. Removable isolated singularities for solutions of doubly nonlinear anisotropic parabolic equations // Applicable Analysis. – 2010. – V. 10 – P. 1559–1574. 13. Skrypnik I.I. Removability of an isolated singularity for anisotropic elliptic equations with absorpti- on // Mat. Sb. – 2008. – V. 199, N. 7. – P. 85–102. 14. Skrypnik I.I. Removability of isolated singularity for anisotropic parabolic equations with absorpti- on // Manuscr. Math. – 2013. – V. 140. – P. 145–178. 15. Skrypnik I.I. Removable singularities for anisotropic elliptic equations // Potential Anal. – 2014. – V. 41. – P. 1127–1145. 16. Vetois J. Strong maximum principles for anisotropic elliptic and parabolic equations // Advanced Nonlinear Studies. – 2016. – V. 12. – P. 101–114. 17. Vetois J. A priori estimates for solutions of anisotropic elliptic equations // Nonlin. Anal. – 2009. – V. 71, N. 9. – P. 3881–3905. 18. Vetois J. The blow-up of critical anisotropic equations with critical directions // Nonlinear Differ. Equ. Appl. – 2011. – V. 18. – P. 173–197. 19. Kolodij I.M. On boundedness of generalized solutions of parabolic differential equations // Vestnik Moskov. Gos. Univ. – 1971. – V. 5. – P. 25–31. 20. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Изд. 2-е, перераб. – Москва : Наука, 1973. – 576 с. 21. DiBenedetto E. Degenerate Parabolic Equations. Universitext, Springer–Verlag, New York, 1993. References 1. Bandle, K., Marcus, M. (1992). Large solutions of semilinear elliptic equations: Existence, unique- ness and asymptotic behavior. J. d’Anal. Math., 58, 9-24. 2. Keller, J.B. (1957). On the solutions of △u = f(u). Comm. Pure Applied Math., 10, 503-510. 3. Osserman, R. (1957). On the inequality −△u ≥ f(u). Pacific J. Math., 7(4), 1641-1647. 4. Vazquez, J.L. (1981). An a priori interior estimate for the solutions of a nonlinear problem repre- senting weak diffusion. Nonlinear Anal., 5, 95-103. 5. Kovalevsky, A.A., Skrypnik, I.I., Shishkov, A.E. (2016). Singular solutions of nonlinear elliptic and parabolic equations. Series in Nonl.Analysis and Applications, Berlin: De Gruyter. 6. Marcus, M., Veron, L. (2014). Nonlinear second order elliptic equations involving measures. Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG. 7. Radulescu, V.D. (2007). Singular phenomena in nonlinear elliptic problems: from blow-up boundary solutions to equations with singular nonlinearities. In Handb. Differ. Equat. (pp. 485-593), Am- sterdam: North-Holland. 8. Veron, L. (1996). Singularities of Solution of Second Order Quasilinear Equations. Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman, Harlow. 9. Cirstea, F.C., Vetois, J. (2015). Fundamental solutions for anisotropic elliptic equations: existence and a priori estimates. Comm. PDE., 40 (4), 727-767. 10. Garcia-Melian, J., Rossi, J.D., Sabina de Lis, J.C. (2010). Large solutions to an anisotropic quasilinear elliptic problem. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 189, 689-712. 11. Namlyeyeva, Yu.V., Shishkov, A.E., Skrypnik, I.I. (2006). Isolated singularities of solutions of quasi-linear anisotropic elliptic equations. Adv. Nonlinear Stud., 6, 617-641. 12. Namlyeyeva, Yu.V., Shishkov, A.E., Skrypnik, I.I. (2010). Removable isolated singularities for solutions of doubly nonlinear anisotropic parabolic equations. Applicable Analysis, 10, 1559-1574. 157 М.О. Шань 13. Skrypnik, I.I. (2008). Removability of an isolated singularity for anisotropic elliptic equations with absorption. Mat. Sb., 199 (7), 85-102. 14. Skrypnik, I.I. (2013). Removability of isolated singularity for anisotropic parabolic equations with absorption. Manuscr. Math., 140, 145-178. 15. Skrypnik, I.I. (2014). Removable singularities for anisotropic elliptic equations. Potential Anal., 41, 1127-1145. 16. Vetois, J. (2016). Strong maximum principles for anisotropic elliptic and parabolic equations. Advanced Nonlinear Studies, 12, 101-114. 17. Vetois, J. (2009). A priori estimates for solutions of anisotropic elliptic equations. Nonlin. Anal., 71 (9), 3881-3905. 18. Vetois, J. (2011). The blow-up of critical anisotropic equations with critical directions. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 18, 173-197. 19. Kolodij, I.M. (1971). On boundedness of generalized solutions of parabolic differential equations. Vestnik Moskov. Gos. Univ., 5, 25-31. 20. Ladyzhenskaya, O.A., Ural’tseva, N.N. (1968). Linear and quasilinear elliptic equations. New York: Academic Press (in Russian). 21. DiBenedetto, E. (1993). Degenerate Parabolic Equations. Universitext, New York: Springer-Verlag. M.A. Shan Keller-Osserman a priori estimates for doubly nonlinear anisotropic parabolic equations with absorption term. We are concerned with divergence type quasilinear parabolic equation with measurable coefficients and lower order terms model of which is a doubly nonlinear anisotropic parabolic equations with absorption term. This class of equations has numerous applications which appear in modeling of electrorheological fluids, image precessing, theory of elasticity, theory of non-Newtonian fluids with viscosity depending on the temperature. But the qualitative theory doesn’t construct for these anisotropic equations. So, naturally, that during the last decade there has been growing substantial development in the qualitative theory of second order anisotropic elliptic and parabolic equations. The main purpose is to obtain the pointwise upper estimates in terms of distance to the boundary for nonnegative solutions of such equations. This type of estimates originate from the work of J. B. Keller, R. Osserman, who obtained a simple upper bound for any solution, in any number of variables for Laplace equation. These estimates play a crucial role in the theory of existence or nonexistence of so called large solutions of such equations, in the problems of removable singularities for solutions to elliptic and parabolic equations. Up to our knowledge all the known estimates for large solutions to elliptic and parabolic equations are related with equations for which some comparison properties hold. We refer to I.I. Skrypnik, A.E. Shishkov, M. Marcus , L. Veron, V.D. Radulescu for an account of these results and references therein. Such equations have been the object of very few works because in general such properties do not hold. The main ones concern equations only in the precise choice of absorbtion term f(u) = uq. Among the people who published significative results in this direction are I.I. Skrypnik, J. Vetois, F.C. Cirstea, J. Garcia-Melian, J.D. Rossi, J.C. Sabina de Lis. The main result of the paper is a priori estimates of Keller-Osserman type for nonnegative solutions of a doubly nonlinear anisotropic parabolic equations with absorption term that have been proven despite of the lack of comparison principle. To obtain these estimates we exploit the method of energy estimations and De Giorgy iteration techniques. Keywords: a priori estimates, anisotropic parabolic equations. 158 Оцiнки типу Келлера–Оссермана для анiзотропних параболiчних рiвнянь з абсорбцiєю М.А. Шань Априорные оценки типа Келлера-Оссермана для дважды нелинейных анизотропных параболических уравнений с абсорбцией. Получены поточечные оценки сверху для решений дважды нелинейных анизотропных параболи- ческих уравнений с абсорбционным членом в терминах расстояния до границы. Оценки такого типа берут свое начало в работах Дж. Келлера, Р. Оссермана и имеют значение для так назы- ваемых больших решений. Ключевые слова: априорные оценки, анизотропные параболические уравнения. Донецький нацiональний унiверситет iменi Василя Стуса, Вiнниця shan maria@ukr.net Отримано 25.09.18 159

Апріорні оцінки типу Келлера–Оссермана для двічі нілінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією

Institution

Similar Items