К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи
Предложена постановка линейной матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи, обобщающая традиционные линейные краевые задачи для дифференциально-алгебраических уравнений. Найдены конструктивные условия существования, а также схема построения решений линейной матричной дифференциально-алге...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169311 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи / С.М. Чуйко // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 16-32. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169311 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1693112025-02-23T18:35:46Z К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи To the issue of matrix differential-algebraic boundary-value problem generalization Чуйко, С.М. Предложена постановка линейной матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи, обобщающая традиционные линейные краевые задачи для дифференциально-алгебраических уравнений. Найдены конструктивные условия существования, а также схема построения решений линейной матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи. Предложена конструкция обобщенного оператора Грина для построения решений линейной матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи. Приведены примеры построения решений линейных матричных дифференциально-алгебраических краевых задач On the basis of generalization of the well-known differential-algebraic equations we propose a generalized boundary-value problem for matrix differential-algebraic equations. We establish constructive solvability conditions and an algorithm for constructing solutions of the linear boundary-value problem for a system of matrix differential-algebraic equations. We construct a generalized Green operator of linear boundary-value problem for a system of matrix differential-algebraic equations. The suggested approach is illustrated in detail by an example. 2017 Article К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи / С.М. Чуйко // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 16-32. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 34B15 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169311 ru Український математичний вісник application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложена постановка линейной матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи, обобщающая традиционные линейные краевые задачи для дифференциально-алгебраических уравнений. Найдены конструктивные условия существования, а также схема построения решений линейной матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи. Предложена конструкция обобщенного оператора Грина для построения решений линейной матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи. Приведены примеры построения решений линейных матричных дифференциально-алгебраических краевых задач |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи Український математичний вісник |
| author_facet |
Чуйко, С.М. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи |
| title_short |
К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи |
| title_full |
К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи |
| title_fullStr |
К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи |
| title_full_unstemmed |
К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи |
| title_sort |
к вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169311 |
| citation_txt |
К вопросу об обобщении матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи / С.М. Чуйко // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 16-32. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT čujkosm kvoprosuobobobŝeniimatričnojdifferencialʹnoalgebraičeskojkraevojzadači AT čujkosm totheissueofmatrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblemgeneralization |
| first_indexed |
2025-11-24T11:20:29Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:20:29Z |
| _version_ |
1849670479141404672 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 1, 16 – 32
К вопросу об обобщении матричной
дифференциально-алгебраической
краевой задачи
Сергей М. Чуйко
(Представлена И. И. Скрыпником)
Аннотация. Предложена постановка линейной матричной диф-
ференциально-алгебраической краевой задачи, обобщающая тради-
ционные линейные краевые задачи для дифференциально-алгебраи-
ческих уравнений. Найдены конструктивные условия существова-
ния, а также схема построения решений линейной матричной диффе-
ренциально-алгебраической краевой задачи. Предложена констру-
кция обобщенного оператора Грина для построения решений ли-
нейной матричной дифференциально-алгебраической краевой зада-
чи. Приведены примеры построения решений линейных матричных
дифференциально-алгебраических краевых задач.
2010 MSC. 34В15.
Ключевые слова и фразы. Матричная краевая задача, диффе-
ренциально-алгебраические уравнения, обобщенный оператор Гри-
на.
1. Постановка задачи
Исследуем задачу о построении решений [1]
Z(t) ∈ C1
α×β [a, b] := C1[a, b]⊗ Rα×β
матричного дифференциально-алгебраического уравнения
AZ ′(t) = BZ(t) + F (t), (1.1)
Статья поступила в редакцию 03.03.2017
Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного Фонда фун-
даментальных исследований Украины (номер государственной регистрации
0115U003182).
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
С. М. Чуйко 17
подчиненных краевому условию [2,3]
LZ(·) = A, A ∈ Rµ×ν . (1.2)
Здесь
AZ ′(t) : C1
α×β [a, b] → Cγ×δ[a, b] := C1[a, b]⊗ Rγ×δ
— матричный дифференциально-алгебраический оператор, который
по определению для любых скалярных функций ζ(t), ξ(t) ∈ C1[a, b] и
любых постоянных матриц Ξ1,Ξ2 ∈ Rα×β обеспечивает равенство
A(ζ ′(t)Ξ1 + ξ′(t)Ξ2)(t) = ζ ′(t)A(Ξ1)(t) + ξ′(t)A(Ξ2)(t).
Аналогично матричный оператор
BZ(t) : C1
α×β [a, b] → C1
γ×δ[a, b]
будем далее называть алгебраическим, если для любых скалярных
функций ζ(t), ξ(t) ∈ C1[a, b] и любых постоянных матриц Ξ1,Ξ2 ∈
Rα×β имеет место равенство
B(ζ(t)Ξ1 + ξ(t)Ξ2)(t) = ζ(t)B(Ξ1)(t) + ξ(t)B(Ξ2)(t).
Здесь также F (t) ∈ Cγ×δ[a, b] — непрерывная матрица и LZ(·) —
линейный ограниченный матричный функционал:
LZ(·) : C1
α×β [a, b] → Rµ×ν .
Вообще говоря, предполагаем, что α, β, γ, δ, µ, ν ∈ N — произволь-
ные натуральные числа. Матричное дифференциально алгебраиче-
ское уравнение (1.1) обобщает традиционные постановки краевых за-
дач, как для матричных дифференциальных уравнений [4–6], так и
для дифференциально-алгебраических уравнений [2, 3, 7–10]. С дру-
гой стороны, матричная дифференциально-алгебраическая краевая
задача (1.1), (1.2) обобщает традиционные постановки нетеровых кра-
евых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравне-
ний [1].
Изучение краевых задач, как матричных, так и для дифферен-
циально-алгебраических уравнений основано на исследовании алге-
браических матричных уравнений, в частности, результаты, полу-
ченные для матричного дифференциального уравнения Риккати [5]
опираются на исследования матричного алгебраического уравнения
типа Ляпунова [11]; результаты статей [3, 6, 8, 10] опираются на ис-
следования матричных уравнений типа Сильвестра, и, в частности,
уравнения типа Ляпунова [11,14–17].
18 К вопросу об обобщении матричной...
Постановка все более общих краевых задач для дифференциаль-
но-алгебраических уравнений вида (1.1) позволяет сформулировать
проблему, изучению которой посвящена данная статья, а именно: про-
блему нахождения наиболее общей постановки краевых задач для
дифференциально-алгебраических уравнений вида (1.1), для кото-
рых применима схема исследования, а также построения решений,
предложенная в статьях [3, 6, 8, 10].
2. Общий вид линейных ограниченных матричных
функционалов
Поставленная задача приводит к необходимости нахождения об-
щего вида линейного ограниченного матричного функционала:
LX : Rα×β → Rγ×δ, а также общего вида линейного непрерывно-
го матричного функционала:
LX(·) : C1
α×β [a, b] → Rγ×δ.
Определим оператор M[A] : Rm×n → Rm·n, как оператор, который
ставит в соответствие матрице A ∈ Rm×n вектор-столбец B := M[A] ∈
Rm·n, составленный из n столбцов матрицы A, а также обратный опе-
ратор [14–16]
M−1
[
B
]
: Rm·n → Rm×n,
который ставит в соответствие вектору B ∈ Rm·n матрицу A ∈ Rm×n.
Обозначим матрицы
x := MX ∈ Rα·β , y := MY ∈ Rγ·δ, Y := LX ∈ Rγ×δ.
Таким образом, получаем линейный ограниченный матричный фун-
кционал
ℓx := [ML](X) : Rα·β → Rγ·δ,
общий вид которого хорошо известен [18, c. 192]: любой вектор y ∈
Rγ·δ однозначно определяет вектор x ∈ Rα·β и некоторая матрица Q ∈
Rγ·δ×α·β : y = Qx, при этом Y = M−1(y) = M−1(Qx). Определим
матрицы
Υ1 := ( 1 ) ∈ R1×1,Υ2 := ( 1 0 0 1 )∗ ∈ R4×1,
Υ3 := ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )∗ ∈ R9×1, ... .
С. М. Чуйко 19
Вектор Υm состоит из m− 1 цепочки вида ( 1 0 0 ... 0 )∗ ∈ R(m−1)×1
и заканчивается единицей:
Υm :=
(
1 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 ... 1 0 0 ... 0 1
)∗
∈ Rm
2×1.
Определим также матрицы [14][
Emn
]
j
:=
[
Em
1
]
j
⊗ In ∈ Rn×m·n,
[
Em1
]
j
:=
{
δij
}m
i=1
∈ R1×m;
здесь δij — символ Кронеккера [13]. При этом
Y = M−1(Qx) =
δ∑
k=1
[
Eδγ
]
k
QM(X)
[
Eδ1
]
k
=
δ∑
k=1
[
Eδ
γ
]
k
Q (Iβ ⊗X)Υβ
[
Eδ1
]
k
.
Обозначим Ξ(j) ∈ Rα×β , j = 1, 2, ... , α ·β — естественный базис [13]
пространства Rα×β , а также матрицы Θk := LΞk, k = 1, 2, ... , α ·β;
в этом случае
Q =
α·β∑
i=1
[
Eα·β1
]
i
⊗MΘi,
следовательно
Y =
α·β∑
i=1
δ∑
k=1
[
Eδγ
]
k
{[
Eα·β1
]
i
⊗MΘi
}
(Iβ ⊗X)Υβ
[
Eδ
1
]
k
.
Итак, получаем
Y =
α·β∑
i=1
δ∑
k=1
Φ(i, k) (Iβ ⊗X)Ψ(k), Ψ(k) := Υβ
[
Eδ1
]
k
,
где
Φ(i, k) :=
[
Eδ
γ
]
k
{[
Eα·β1
]
i
⊗MΘi
}
.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Лемма 1. Всякий линейный ограниченный матричный функционал
LX : Rα×β → Rγ×δ
20 К вопросу об обобщении матричной...
в пространстве Rα×β может быть представлен в виде
LX =
α·β∑
i=1
δ∑
k=1
Φ(i, k) (Iβ ⊗X)Ψ(k). (2.3)
Заметим, согласно доказанной лемме 1, что матричный диффе-
ренциально-алгебраический оператор AZ ′(t) может быть приведен к
виду (2.3):
AZ ′(t) =
α·β∑
i=1
δ∑
k=1
Φ(i, k, t) (Iβ ⊗ Z ′(t))Ψ(k, t).
Аналогично, матричный алгебраический оператор BZ(t) может быть
приведен к виду (2.3):
BZ(t) =
α·β∑
i=1
δ∑
k=1
Φ(i, k, t) (Iβ ⊗ Z(t))Ψ(k, t).
Пример 1. Покажем, что матричный алгебраический оператор
LX =
3∑
i=1
SiX Ri +
∫ 1
0
∫ 1
0
U(t, s)X V (t, s) dt ds (2.4)
может быть приведен к виду (2.3); здесь
S1 :=
1 0
0 1
0 0
, S2 :=
0 0
1 0
0 0
, S3 :=
0 0
0 0
0 1
,
R1 :=
0 1 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
, R2 :=
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
,
R3 :=
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
U(t, s) :=
t 0
t s
0 s
, V (t, s) :=
s s 0 0
0 s t 0
0 0 t t
.
С. М. Чуйко 21
Естественный базис пространства R2×3 составляют матрицы
Ξ1 :=
(
1 0 0
0 0 0
)
, Ξ2 :=
(
0 0 0
1 0 0
)
, ... , Ξ6 :=
(
0 0 0
0 0 1
)
.
Ключевая при этом матрица
Q =
1
12
3 0 0 0 12 0
15 4 0 0 0 12
0 4 0 0 0 0
15 0 3 0 0 0
3 16 3 4 0 0
0 16 0 4 0 0
0 0 4 0 4 0
0 0 4 3 4 3
0 0 0 3 0 3
0 0 0 0 4 0
0 0 12 0 4 3
0 0 0 0 0 15
приводит матричный алгебраический оператор (2.4) к виду (2.3):
LX =
4∑
k=1
[
E4
3
]
k
Q (I3 ⊗X)Υ3
[
E4
1
]
k
,
[
E4
1
]
j
:=
{
δij
}4
i=1
∈ R1×4.
Обозначим вектор-столбцы
x(t) := MX(t) ∈ Cα·β [a, b], y := MY ∈ Rγ·δ, Y := LX(·) ∈ Rγ×δ.
Таким образом, получаем линейный ограниченный матричный фун-
кционал
ℓx(·) := [ML](·) : Cα·β [a, b] → Rγ·δ,
общий вид которого хорошо известен [19, c. 362]: любой вектор y ∈
Rγ·δ однозначно определяет вектор x(t) ∈ Cα·β [a, b] и некоторая ма-
трица W (t), элементы которой — функции c ограниченной на отрезке
[a, b] вариацией:
ℓx(·) =
∫ b
a
dW (t)x(t),
а также интеграл Римана–Стилтьеса [20, c. 10]. При этом
Y = M−1(y) = M−1
∫ b
a
dW (t)x(t)
22 К вопросу об обобщении матричной...
=
δ∑
k=1
[
Eδγ
]
k
∫ b
a
dW (t)MX(t)
[
Eδ
1
]
k
=
δ∑
k=1
[
Eδγ
]
k
∫ b
a
dW (t) (Iβ ⊗X(t))Υβ
[
Eδ1
]
k
.
Итак, получаем
Y =
∫ b
a
δ∑
k=1
d
[
W δ
γ (t)
]
k
(Iβ ⊗X(t))Ψ(k), Ψ(k) := Υβ
[
Eδ1
]
k
.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Лемма 2. Всякий линейный ограниченный матричный функционал
LX(·) : Cα×β [a, b] → Rγ×δ
в пространстве Cα×β [a, b] может быть представлен в виде
LX(·) =
∫ b
a
δ∑
k=1
dWk(t) (Iβ ⊗X(t))Ψ(k), Ψ(k) := Υβ
[
Eδ1
]
k
, (2.5)
где
Wk(t) :=
[
Eδγ
]
k
W (t), k = 1, 2, ... , δ
— матрицы, элементы которых — функции c ограниченной на от-
резке [a, b] вариацией.
Другими словами, всякий линейный ограниченный матричный
функционал LX(·) в пространстве Cα×β [a, b] однозначно, может быть
с точностью до не более чем счетного множества точек отрезка [a, b],
определяет некоторая матрица W (t), элементы которой — функции
c ограниченной на отрезке [a, b] вариацией:
LX(·) = M−1
∫ b
a
dW (t)MX(t).
Пример 2. Покажем, что матричный функционал
LX(·) =
∫ 1
0
∫ 1
0
U(t, s)X(t)V (t, s) dt ds : C1
3×2[a, b] → R6×4 (2.6)
С. М. Чуйко 23
может быть приведен к виду (2.5); здесь
U(t, s) :=
0 s 0
0 0 0
0 0 s
t 0 0
0 0 t
t 0 0
, V (t, s) :=
(
t 0 s 0
0 s 0 t
)
.
Естественный базис пространства R3×2 составляют матрицы
Ξ1 :=
(
1 0 0
0 0 0
)∗
, Ξ2 :=
(
0 1 0
0 0 0
)∗
, ... , Ξ6 :=
(
0 0 0
0 0 1
)∗
.
Согласно лемме 2, матричный функционал (2.6) может быть пред-
ставлен в виде (2.5):
LX(·) =
∫ b
a
δ∑
k=1
dWk(t) (Iβ ⊗X(t))Ψ(k), Ψ(k) := Υβ
[
Eδ1
]
k
,
где
W1(t) =
1
12
0 3t2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 3t2 0 0 0
4t3 0 0 0 0 0
0 0 4t3 0 0 0
4t3 0 0 0 0 0
,
W2(t) =
1
12
0 0 0 0 4t 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 4t
0 0 0 3t2 0 0
0 0 0 0 0 3t2
0 0 0 3t2 0 0
,
W3(t) =
1
12
=
0 4t 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 4t 0 0 0
3t2 0 0 0 0 0
0 0 3t2 0 0 0
3t2 0 0 0 0 0
,
24 К вопросу об обобщении матричной...
W4(t) =
1
12
0 0 0 0 3t2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 3t2
0 0 0 4t3 0 0
0 0 0 0 0 4t3
0 0 0 4t3 0 0
— матрицы, элементы которых — функции c ограниченной на отрезке
[0, 1] вариацией, а также
Ψ1 :=
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
, Ψ2 :=
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
,
Ψ3 :=
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
, Ψ4 :=
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
.
3. Условия разрешимости краевой задачи (1.1), (1.2)
Задача о нахождении решений матричного дифференциально-ал-
гебраического уравнения (1.1) приводит к задаче о нахождении ве-
ктора z(t) ∈ C1
α·β [a; b], компоненты которого zj(t) определяют разло-
жение матрицы
Z(t) =
α·β∑
j=1
Ξ(j)zj(t), zj(t) ∈ C1[a; b], j = 1, 2, ... , α · β.
Линейный дифференциально-алгебраический матричный оператор
AZ ′(t) по определению представим в виде
AZ ′(t) =
αβ∑
j=1
A Ξ(j)z′j(t),
при этом
M
[
AZ ′(t)
]
= Ω(t) · z′(t), Ω(t) :=
[
Ωj(t)
]α·β
j=1
∈ Rγ·δ×α·β ,
где
Ωj(t) = M
[
A Ξ(j)(t)
]
, j = 1, 2, ... , α · β.
С. М. Чуйко 25
Аналогично
M
[
BZ(t)
]
= Θ(t) · z(t), Θ(t) :=
[
Θj(t)
]α·β
j=1
∈ Rγ·δ×α·β ,
Θj(t) = M
[
B Ξ(j)(t)
]
.
Таким образом, задача о построении решений дифференциально-ал-
гебраического уравнения (1.1) приведена к задаче о нахождении ре-
шений z(t) ∈ C1
α·β×1[a; b] традиционного дифференциально-алгебраи-
ческого уравнения [2, 7]
Ω(t) · z′(t) = Θ(t) · z(t) + F(t), F(t) := M
[
F (t)
]
. (3.7)
В статье [6] был исследован случай разрешимости системы (3.7) отно-
сительно производной: PΩ∗(t)Θ(t) = 0, PΩ∗(t)F(t) = 0. Здесь PΩ∗(t) —
(γ · δ × γ · δ)− матрица-ортопроектор: PΩ∗(t) : Rγ·δ → N(Ω∗(t)). Пред-
положим, что псевдообратная матрица Θ+(t) непрерывна и условие
разрешимости системы (3.7) относительно производной не выполне-
но. При условии
PΩ∗(t)Θ(t) ̸= 0, PΘ∗(t)Ω(t) = 0, PΘ∗(t)F(t) = 0 (3.8)
система (3.7) разрешима относительно неизвестной
z(t) = Θ+(t)Ω(t) · z′(t)−Θ+(t)F(t) + PΘρ(t)cρ(t), cρ(t) ∈ Cρ[a, b];
здесь PΘ∗(t) — (γ · δ × γ · δ)− матрица-ортопроектор: PΘ∗(t) : Rγ·δ →
N(Θ∗(t)); матрица PΘρ(t) составлена из ρ линейно независимых столб-
цов ортопроектора PΘ. Предположим, что матрица Θ+(t)Ω(t) посто-
янного ранга
rank Θ+(t)Ω(t) = ω, αβ − ω := η
и не имеет среди собственных чисел нулей геометрической кратности,
отличной от алгебраической; при этом неособенным (detS(t)) ̸= 0
преобразованием подобия Θ+(t)Ω(t) = S(t)J(t)S−1(t) она приводится
к жордановой форме
J(t) =
(
Oη O
O Jω(t)
)
, Jω(t) ∈ Rω×ω, det Jω(t) ̸= 0, Oη ∈ Rη×η.
Обозначим вектор
y(t) = S−1(t)z(t) := col (u(t), v(t)), u(t) ∈ Rη, v(t) ∈ Rω.
26 К вопросу об обобщении матричной...
При условии (3.8) система (3.7):
J(t)·y′ =
(
Iαβ−J(t)S−1(t)S′(t)
)
·y+S−1(t)Θ+(t)F(t)+S−1(t)PΘρ(t)cρ(t)
(3.9)
приводится к виду(
Oη O
O Jω(t)
)(
u′
v′
)
=
(
Iαβ − J(t)S−1(t)S′(t)
)
·
(
u
v
)
(3.10)
+S−1(t)Θ+(t)F(t) + S−1(t)PΘρ(t)cρ(t).
Отметим, что даже однородная часть уравнения (3.10), вообще гово-
ря, не разрешима относительно производных при произвольных фун-
кциях u(t) и v(t) :
PJ∗(t)
(
Iαβ − J(t)S−1(t)S′(t)
)
= PJ∗(t) ̸= 0;
здесь ортопроектор
PJ∗(t) =
(
Iω O
O Oη
)
, PJ∗(t) : Rαβ → N(J∗(t))
и матрица
S−1(t)S′(t) :=
(
Sωω(t) Sηω(t)
Sωη(t) Sηη(t)
)
, Sηη(t) ∈ Rη×η, Sωω(t) ∈ Rω×ω.
С другой стороны, уравнение (3.10) разрешимо при условии v(t) ≡ 0.
Для нахождения второй компоненты v(t) ∈ Rω вектора y(t) исполь-
зуем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
v′ = (J−1
ω (t)−Sωω(t)) · v.
Предположим, что матрица J−1
ω (t) − Sωω(t) непрерывна; обозначим
Yω(t) нормальную фундаментальную матрицу
Yω(t) =
(
J−1
ω (t)−Sωω(t)
)
· Yω(t), Yω(a) = Iω.
Таким образом, при условии (3.8), в случае непрерывности матрицы
J−1
ω (t)−Sωω(t) однородная часть системы (3.7) имеет решение вида
z(t, cω) = X(t)cω, X(t) = S(t) · Y (t), Y (t) =
(
Yω(t)
O
)
, cω ∈ Rω.
С. М. Чуйко 27
При условии (3.8) неоднородность системы (3.9) представима двумя
компонентами
S−1(t)Θ+(t)F(t) + S−1(t)PΘρ(t)cρ(t) = col
(
φ(t, cρ), ψ(t, cρ)
)
,
где
φ(t, cρ) =
(
Iω O
)(
S−1(t)Θ+(t)F(t) + S−1(t)PΘρ(t)cρ(t)
)
∈ Rη,
ψ(t, cρ) =
(
O Iη
)(
S−1(t)Θ+(t)F(t) + S−1(t)PΘρ(t)cρ(t)
)
∈ Rω.
Система (3.9) расщепляется на обыкновенное дифференциальное и
функциональное уравнения
dv
dt
=
(
J−1
ω (t)−Sωω(t)
)
·v+Sωη(t)·u+J−1
ω (t)ψ(t, cρ), u+φ(t, cρ) = 0.
При условии φ(t, cρ), Sωη(t)φ(t, cρ) ∈ C[a, b] система (3.9) имеет ре-
шение вида
y(t, cω) = Y (t)cω +K
[
φ(s, cρ), ψ(s, cρ)
]
(t), cω ∈ Rω, cρ(t) ∈ Cρ[a, b],
где
K
[
φ(s, cρ), ψ(s, cρ)
]
(t)
:=
−φ(t, cρ)
Yω(t)
∫ t
a Y
−1
ω (s)
(
J−1
ω (s)ψ(s, cρ)−Sωη(s)φ(s, cρ)
)
ds
.
Таким образом, при условии (3.8) и φ(t, cρ), Sωη(t)φ(t, cρ) ∈ C[a, b]
система (3.7) имеет решение вида
z(t, cω) = X(t)cω +K
[
F (s); cρ(s)
]
(t), cω ∈ Rω, cρ(t) ∈ Cρ[a, b],
где
X(t) := S(t)Y (t), K
[
F (s); cρ(s)
]
(t) := S(t) ·K
[
φ(s, cρ), ψ(s, cρ)
]
(t).
Итак, при условии (3.8) и φ(t, cρ), Sωη(t)φ(t, cρ) ∈ C[a, b] система (1.1)
имеет решение вида
Z(t, cω) =W (t, cω)+K
[
F (s); cρ(s)
]
(t), W (t, cω) := M−1
{
X(t)cω
}
(t),
28 К вопросу об обобщении матричной...
где
K
[
F (s); cρ(s)
]
(t) := M−1
{
K[F (s); cρ(s)]
}
(t).
Таким образом, доказано следующее утверждение, обобщающее ре-
зультаты [2–10,21] на случай матричного дифференциально-алгебра-
ического уравнения.
Лемма 3. Предположим, что матрица Θ+(t)Ω(t) постоянного ран-
га и не имеет среди собственных чисел нулей геометрической кра-
тности, отличной от алгебраической; при условии (3.8) для φ(t, cρ),
Sωη(t)φ(t, cρ) ∈ C[a, b] система (1.1) имеет решение вида
Z(t, cω) =W (t, cω)+K
[
F (s); cρ(s)
]
(t), W (t, cω) := M−1
{
X(t)cω
}
(t),
где
K
[
F (s); cρ(s)
]
(t) := M−1
{
K[F (s); cρ(s)]
}
(t).
— обобщенный оператор Грина задачи Коши z(a) = 0 для дифферен-
циально-алгебраической системы (1.1).
При условии (3.8) и φ(t, cρ), Sωη(t)φ(t, cρ) ∈ C[a, b] решение z(t, cω)
системы (3.7) удовлетворяет краевому условию ℓz(·) = MA тогда и
только тогда, когда
PQ∗
{
MA− ℓK
[
F (s); cρ(s)
]
(·)
}
= 0; (3.11)
при этом решение системы (3.7), удовлетворяющее краевому условию
ℓz(·) = MA имеет вид
z(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
F (s); cρ(s)
]
(t), cr ∈ Rr,
где
G
[
F (s); cρ(s)
]
(t) := X(t)Q+
{
α− ℓK
[
F (s); cρ(s)
]
(·)
}
+ K
[
F (s); cρ(s)
]
(t).
Здесь Q := ℓX(·)− (µν × ω) — матрица, rank Q = n1, r := αβ − n1,
PQ∗− (µν×µν) — матрица-ортопроектор: PQ∗ : Rµν → N(Q∗), Xr(t) :=
С. М. Чуйко 29
X(t)PQr , PQr — (ω × r) — матрица, составленная из r линейно-неза-
висимых столбцов (ω × ω) — матрицы-ортопроектора PQ : Rω →
N(Q); PQ∗
d
− (d×µν) — мерная матрица PQ∗
d
составлена из d линейно-
независимых строк матрицы-ортопроектора PQ∗ . Итак, при условиях
(3.8), (3.11) и φ(t, cρ), Sωη(t)φ(t, cρ) ∈ C[a, b] задача (1.1), (1.2) имеет
решение вида
Z(t, cr) =W (t, cr) + G
[
F (s);A
]
(t), W (t, cr) := M−1
{
Xr(t)cr
}
(t),
где
G
[
F (s);A
]
(t) := M−1
{
G
[
F (s); cρ(s)
]
(t)
}
(t).
Таким образом, доказано следующее утверждение, обобщающее ре-
зультаты [2–10,21] на случай линейной матричной дифференциально-
алгебраической краевой задачи (1.1), (1.2).
Теорема 1. Предположим, что матрица Θ+(t)Ω(t) постоянного
ранга и не имеет среди собственных чисел нулей геометрической
кратности, отличной от алгебраической, а также выполнены усло-
вие (3.8) и φ(t, cρ), Sωη(t)φ(t, cρ) ∈ C[a, b]. В этом случае матричная
дифференциально-алгебраическая краевая задача (1.1), (1.2) разреши-
ма тогда и только тогда, когда выполнено условие (3.11), при этом
общее решение
Z(t, cr) =W (t, cr) + G
[
F (s);A
]
(t),
W (t, cr) := M−1
{
Xr(t)cr
}
(t), cr ∈ Rr
определяет обобщенный оператор Грина
G
[
F (s);A
]
(t) := M−1
{
G
[
F (s); cρ(s)
]
(t)
}
(t), cρ(t) ∈ Cρ[a, b]
матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи
(1.1), (1.2).
Пример 3. Требованиям доказанной теоремы удовлетворяет зада-
ча о построении решений дифференциально-алгебраической краевой
задачи
AZ ′(t) = BZ(t) + F (t), LZ(·) := e2Z(0) + Z(1) = 0, (3.12)
30 К вопросу об обобщении матричной...
где
AZ ′(t) =
2∑
i=1
Si Z ′(t)Ri, S1 :=
(
1 0
0 0
)
, S2 := R2 :=
(
0 1
0 0
)
,
R1 :=
(
0 0
0 1
)
, BZ(t) := Φ1 Z(t)Ψ1, Φ1 :=
(
1 0
0 1
)
,
Ψ1 :=
(
1 0
0 2
)
, F (t) :=
(
0 2 e2t
0 0
)
.
Матричное дифференциально-алгебраическое уравнение (3.12) при-
водится уравнению (3.7), где
Ω(t) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 0
, Θ(t) =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
,
при этом выполнено условие (3.8), кроме того: матрица 2Θ+(t)Ω(t) =
Ω постоянного ранга ω = 1 и не имеет среди собственных чисел ну-
лей геометрической кратности, отличной от алгебраической. Неосо-
бенным преобразованием подобия матрица Θ+(t)Ω(t) приводится к
жордановой форме, где
J(t) =
1
2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
, S(t) =
0 0 1 0
0 −1 0 0
0 1 0 1
1 0 0 0
.
Поскольку дифференциально-алгебраическая система (3.12) удовле-
творяет требованиям леммы 3, постольку находим ее решение
Z(t, cω) =W (t, cω) +K
[
F (s); cρ(s)
]
(t),
W (t, cω) =
(
0 cω e
2t
0 0
)
, cω ∈ R1.
Оператор Грина задачи Коши Z(0) = 0 для дифференциально-алгеб-
раической системы (3.12)
K
[
F (s); cρ(s)
]
(t) =
(
0 2t e2t
0 0
)
С. М. Чуйко 31
определяется однозначно, поскольку cρ(t) ≡ 0. Условие (3.11) ра-
зрешимости дифференциально-алгебраической краевой задачи (3.12)
выполнено, поскольку
PQ∗ = diag
(
1 1 0 1
)
, ℓK
[
F (s); cρ(s)
]
(·) =
(
0 0 2 e2 0
)
.
Искомое решение дифференциально-алгебраической краевой задачи
(3.12)
Z(t, cr) = G
[
F (s);A
]
(t) =
(
0 (2 t− 1) e2t
0 0
)
, cr = 0
единственно, поскольку PQ = 0.
В заключение заметим, что предложенная в статье техника по-
зволяет обобщение полученных результатов на линейные краевые за-
дачи для матричных дифференциальных уравнений в абстрактных
пространствах [1, 22–24].
Литература
[1] A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm
boundary-value problems, 2-th edition, Berlin, Boston, De Gruyter, 2016.
[2] S. L. Campbell, Singular Systems of differential equations, San Francisco, London,
Melbourne, Pitman Advanced Publishing Program, 1980.
[3] S. M. Chuiko, A generalized matrix differential-algebraic equation // Journal of
Mathematical Sciences, 210 (2015), No. 1, 9–21.
[4] Р. Беллман, Введение в теорию матриц, М., Наука, 1969.
[5] A. A. Boichuk, S. A. Krivosheya, A Critical Periodic Boundary Value Problem for
a Matrix Riccati Equations // Differential Equations, 37 (2001), No. 4, 464–471.
[6] S. M. Chuiko, Generalized Green Operator of Noetherian boundary-value problem
for matrix differential equation // Russian Mathematics, 60 (2016), No. 8, 64–73.
[7] В. Ф. Чистяков, Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным
ядром, Новосибирск; Наука, 1996.
[8] С. М. Чуйко, Линейные нетеровы краевые задачи для дифференциально-
алгебраических систем // Комп. исследов. и моделирование, 5 (2013), No. 5,
769– 783.
[9] A. A. Boichuk, A. A. Pokutnyi, V. F. Chistyakov, Application of perturbation
theory to the solvability analysis of differential algebraic equations // Computati-
onal Mathematics and Mathematical Physics, 53 (2013), No. 6, 777–788.
[10] S. M. Chuiko, The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-
algebraic boundary value problem // Siberian Mathematical Journal, 56 (2015),
No. 4, 752–760.
[11] A. A. Boichuk, S. A. Krivosheya, Criterion of the solvability of matrix equations
of the Lyapunov type // Ukrainian Mathematical Journal, 50 (1998), No. 8, 1162–
1169.
32 К вопросу об обобщении матричной...
[12] Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, М., Наука, 1988.
[13] В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов, Матрицы и вычисления, М., Наука, 1984.
[14] С. М. Чуйко, О решении матричного уравнения Сильвестра // Вестник
Одесского национального университета. Сер. математика и механика, 19
(2014), No. 1 (21), 49–57.
[15] С. М. Чуйко, О решении матричных уравнений Ляпунова // Вестник Харь-
ковского национального университета им. В. Н. Каразина. Серия: Матема-
тика, прикладная математика и механика, 1120 (2014), 85–94.
[16] С. М. Чуйко, О решении обобщенного матричного уравнения Сильвестра //
Чебышевский сборник, 16 (2015), No. 1, 52–66.
[17] С. М. Чуйко, О решении матричного уравнения Ляпунова // Вестник Во-
ронежского государственного университета. Серия: физика и математика, 3
(2015), 176–185.
[18] Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, М., Наука, 1977.
[19] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функциональ-
ного анализа, М., Наука, 1968.
[20] А. А. Бойчук, Конструктивные методы анализа краевых задач, Киев, Наук.
думка, 1990.
[21] С. М. Чуйко, Оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи для ма-
тричного дифференциального уравнения // Динамические системы, 4(32)
(2014), No. 1–2, 101–107.
[22] A. A. Boichuk, E. V. Panasenko, Boundary-value problems for differential equati-
ons in a Banach space // Nonlinear Oscillations, 12 (2009), No. 1, 15–18.
[23] S. M. Chuiko, On the solvability of a matrix boundary-value problem // Itogi
Nauki i Tekhniki. Seriya “Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Temati-
cheskie Obzory”, 132 (2017), 139–143.
[24] С. М. Чуйко, Линейная краевая задача для матричного дифференциального
уравнения // Дифференц. уравнения, 52 (2016), No. 11, 1578–1579.
Сведения об авторах
Сергей
Михайлович
Чуйко
Донбасский государственный
педагогический университет,
Славянск, Украина
E-Mail: chujko-slav@inbox.ru
|