Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв
Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв визначається розв’язком рiвняння оптимальної фiльтрацiї, яке характеризується двовимiрною матрицею коварiацiй. Параметри фiльтрованого сигналу задаються емпiрiчними коварiацiями. The filtering of stationary Gauss statistical experiments...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169321 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв / Д.В. Королюк, В.С. Королюк // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 2. — С. 192-200. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859656256347701248 |
|---|---|
| author | Королюк, Д.В. Королюк, В.С. |
| author_facet | Королюк, Д.В. Королюк, В.С. |
| citation_txt | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв / Д.В. Королюк, В.С. Королюк // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 2. — С. 192-200. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв визначається розв’язком рiвняння оптимальної фiльтрацiї, яке характеризується двовимiрною матрицею коварiацiй. Параметри фiльтрованого сигналу задаються емпiрiчними коварiацiями.
The filtering of stationary Gauss statistical experiments is determined by a solution of the equation of optimum filtering, which is characterized by the two-dimensional matrix of covariances. The parameters of a filtered signal are set by empiric covariances.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:40:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 2, 192 – 200
Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських
статистичних експериментiв
Дмитро В. Королюк, Володимир С. Королюк
Анотацiя. Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних екс-
периментiв визначається розв’язком рiвняння оптимальної фiльтра-
цiї, яке характеризується двовимiрною матрицею коварiацiй. Пара-
метри фiльтрованого сигналу задаються емпiрiчними коварiацiями.
Ключовi слова та фрази. Статистичнi експерименти, коефiцiєнт
фiльтрацiї, рiзницеве стохастичне рiвняння сигналу, коварiацiйнi ха-
рактеристики фiльтрованого сигналу.
1. Вступ
Системний аналiз задач фiльтрацiї стохастичних процесiв викла-
дено у монографiї Р. Ш. Лiпцера i А. М. Ширяєва “Статистика слу-
чайных процессов” (М., Наука, 1974). Задачi фiльтрацiї послiдовно-
стей дослiджено у роздiлах XIII - XV. Розв’язок задач фiльтрацiї для
послiдовностей, шо мають гаусiвський (нормальний) розподiл, базу-
ється на теоремi про нормальну корреляцiю [1, Tеорема 13.1], яка
забезпечує лiнiйну фiльтрацiю.
При дослiдженнi стохастичних послiдовностей з дискретним ча-
сом при додатковiй умовi стацiонарностi та гаусовостi iстотно вико-
ристовуються коварiацiйнi характеристики як самої послiдовностi αt,
t > 0, так i її приростiв ∆αt+1 := αt+1 − αt, t > 0.
В данiй роботi задача фiльтрацiї стацiонарних гаусiвських ста-
тистичних експериментiв розглядається для двокомпонентної стацiо-
нарної гаусiвської послiдовностi СЕ (αt,∆αt+1), t > 0, яка характе-
ризується двовимiрною матрицею коварiацiй
Rα =
[
Rα R0
α
R0
α R∆
α
]
, Rα := Eα2
t , R0
α := E(αt∆αt+1), R∆
α := E(∆αt)
2.
(1)
Стаття надiйшла в редакцiю 27.06.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
Д. В. Королюк, В. С. Королюк 193
Обчислення коварiацiй в (1) використовує рiзницеве стохастичне рiв-
няння
∆αt+1 = −V0αt + σ0∆W
0
t+1, (2)
яке визначає послiдовнiсть СЕ αt, t > 0 та її прирости ∆αt+1 :=
αt+1 − αt, t > 0 при заданому α0.
Виявляється, що фiльтрований стацiонарний гаусiвський стати-
стичний експеримент визначається розв’язком рiвняння оптимальної
фiльтрацiї (Теорема 3), який характеризується двовимiрною матри-
цею коварiацiй зi стохастичною компонентою, що задає оновлюючу
послiдовнiсть.
Стацiонарнiсть у широкому сенсi СЕ αt, t > 0 забезпечується до-
датковими умовами [2, Th. 1]:
Теорема 1 (теорема стацiонарностi). СЕ αt, t > 0, що визначається
розв’язком рiзницевого стохастичного рiвняння (2), є стацiонарним
у широкому сенсi послiдовнiстю тодi i тiльки тодi, коли має мiсце
наступне спiввiдношення:
Rα =: Eα2
t = σ20/V0(2− V0) , Eαt = 0 , t > 0, (3)
а початкове значення α0 є нормально розподiленою випадковою ве-
личиною, некоррельованою зi стохастичною компонентою ∆Wt+1:
E(α0∆Wt+1) = 0.
Вiдомо (див., напр., [3]), що розв’язок РСР (2) має маркiвську
властивiсть.
Бiльш того, виявляється, що двокомпонентна стацiонарна гаусiв-
ська послiдовнiсть (αt,∆αt+1), t > 0, що задається матрицею коварiа-
цiй (1), при додатковiй умовi марковостi, також визначається розв’яз-
ком рiзницевого стохастичного рiвняння (2). Цей результат наведений
у [2, Th. 5] для мультиварiантних СЕ.
Теорема 2 (теорема iснування PCP). Стацiонарнi гаусiвськi маркiв-
ськi СЕ, що характеризується матрицею коварiацiй (1), задоволь-
няють РСР (2) з нормально розподiленою стохастичною компонен-
тою σ0∆W
0
t+1, t > 0.
При цьому дисперсiя стохастичної компоненти задається кое-
фiцiєнтом стацiонарностi E0:
σ20 = Rα E0 , E0 := 2V0 − V 2
0 .
194 Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських...
2. Рiзницеве стохастичне рiвняння процесу фiльтрацiї
Задача фiльтрацiї стацiонарних гаусiвських статистичних експе-
риментiв розглядається для розв’язку рiзницевого стохастичного рiв-
няння (РСР)
∆αt+1 = −V0αt + σ0∆W
0
t+1 , t > 0, (4)
яке визначає корисний сигнал.
Сигнал αt, t > 0 спостерегається з використанням фiльтру βt,
t > 0, який також є розв’язком рiзницевого стохастичного рiвняння
∆βt+1 = −V βt + σ∆Wt+1 , t > 0. (5)
Процес (спостережний) фiльтрацiї задається сумою
ξt = αt + βt , t > 0, (6)
з некоррельованим сигналом та фiльтром: E(αt βt) = 0.
Отже процес фiльтрацiї ξt, t > 0 також задається РСР:
∆ξt+1 = −V ξt − Cαt + σ0∆W
0
t+1 + σ∆Wt+1 , C := V0 − V. (7)
Враховуючи умови стацiонарностi розв’язкiв рiзницевих стохастич-
них рiвняннь (4) i (5), дисперсiї стохастичних компонент ∆W 0
t+1 та
∆Wt+1, задаються спiввiдношеннями:
σ20 = (2V0 − V 2
0 ) ·Rα , σ2 = (2V − V 2) ·Rβ ; (8)
E(∆W 0
t+1)
2 = E(∆Wt+1)
2 = 1. (9)
Наявнiсть рiзницевих стохастичних рiвнянь (4)–(7) для сигналу та
фiльтру дозволяє задачу фiльтрацiї характеризувати двовимiрними
матрицями коварiацiй
Rα =
[
Rα R0
α
R0
α R∆
α
]
, Rβ =
[
Rβ R0
β
R0
β R∆
β
]
, Rξ =
[
Rξ −R0
ξ
−R0
ξ 2R0
ξ
]
. (10)
Eлементи матриць коварiацiй Rα i Rβ визначаються формулами:
R0
α := E[αt]
2 = −V0Rα , R0
β := E[βt]
2 = −V Rβ ,
R∆
α := E[∆αt]
2 = 2V0Rα , R∆
β := E[∆βt]
2 = 2V Rβ . (11)
Cпiввiдношення (6), з урахуванням некоррельованостi сигналу та фiль-
тру, забезпечує представлення матрицi коварiацiй Rξ та її обернення:
Rξ = Rα + Rβ ,
Д. В. Королюк, В. С. Королюк 195
R−1
ξ = (Rα + Rβ)
−1 = R−1
α (I+ R−1
α Rβ)
−1. (12)
а також Rξα := E(ξtαt) = E(αt)
2 = Rα.
Обчислення елементiв матрицi коварiацiй Rξ з урахуванням рiзни-
цевого стохастичного рiвняння (7) та спiввiдношень (8) дає наступнi
формули:
R0
ξ := −E(ξt∆ξt+1) = V Rξ + CRα,
R∆
ξ := E(∆ξt+1)
2 = 2(V Rξ + CRα). (13)
3. Коефiцiєнт фiльтрацiї
Згiдно з теоремою про нормальну корреляцiю [1, T. 13.1], матриця
коварiацiй коефiцiєнтiв фiльтрацiї задається спiввiдношеннями
Φ = RαR−1
ξ = (I+ R−1
α Rβ)
−1. (14)
Лема 1. Елементи матрицi коефiцiєнтiв фiльтрацiї мають пред-
ставлення:
Φ11 = [V (2− V0)RξRα + C(2− V0)R
2
α]/d,
Φ22 = [V0(2− V )RξRα − CV0R
2
α]/d,
Φ12 = C(R2
α −RξRα)/d = −CRαRβ/d , Φ21 = 0. (15)
Тут за означенням
d := detRξ = V (2− V )R2
ξ − 2CRξRα − C2R2
α. (16)
Разом з тим має мiсце спiввiдношення мiж елементами матрицi
коефiцiєнтiв фiльтрацiї:
Φ22 = Φ11 − 2Φ12. (17)
Зауваження 1. Наявнiсть нуля (Φ21 = 0) у матрицi коефiцiєнта
фiльтрацiї (15) забезпечує оптимальну фiльтрацiю стацiонарних га-
усiвських статистичних експериментiв з використанням лише приро-
стiв процесу фiльтрацiї, що задається рiвнянням (7).
Доведення леми 1. Використовується представлення оберненої мат-
рицi (1):
R−1
ξ =
[
2R0
ξ R0
ξ
R0
ξ Rξ
]
d−1. (18)
Тепер множення матриць (14) дає представлення (15).
196 Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських...
Обчислення детермiнанту матрицi Rξ
detRξ = 2RξR
0
ξ − (R0
ξ)
2,
з урахуванням (13) дає формулу (16).
Для доведення (17) розглянемо рiзницю з використанням замiни
параметра V0 = V + C:
Φ11 − Φ22 = [−2CRξRα + 2CR2
α]/d
= [−2CRα(Rξ −Rα)]/d = [−2CRαRβ ]/d = 2Φ12.
(19)
4. Рiвняння оптимальної фiльтрацiї
Для побудови рiвняння оптимальної фiльтрацiї використовуються
РСР (4) сигналу αt, t ≥ 0, а також спостережний процес фiльтрацiї ξt,
t ≥ 0, який задається сумою (6) та визначається розв’язком РСР (7).
При цьому iстотно використовуються коварiацiйнi характеристики
(10) з урахуванням Леми 1, в якiй представленi елементи матрицi
коефiцiєнтiв фiльтрацiї, а також спiввiдношення (17).
Рiвняння оптимальної фiльтрацiї для двокомпонентних апостерi-
орних середнiх α̂t, ∆α̂t+1, t ≥ 0:
α̂t := E[αt | Fξ
t ] , ∆α̂t+1 := E[∆αt+1 | Fξ
t+1] , t ≥ 0, (20)
будується за схемою, що описана у монографiї [1, розд. XIII] з вико-
ристанням теореми про нормальну корреляцiю [1, T. 13.1], а також
теореми 13.4 [1, с. 507].
Середньоквадратична похибка оптимальної фiльтрацiї визначає-
ться матрицею коварiацiй:
ΓΓ =
[
Γ11 Γ12
Γ21 Γ22
]
. (21)
Елементи матрицi ΓΓ визначають:
Γ11 = E[(αt − α̂t)
2 | Fξ
t ],
Γ12 = E[(αt − α̂t)(∆αt+1 −∆α̂t+1) | Fξ
t+1],
Γ21 = E[(∆αt+1 −∆α̂t+1)(αt − α̂t) | Fξ
t+1],
Γ22 = E[(∆αt+1 −∆α̂t+1)
2 | Fξ
t+1]. (22)
Д. В. Королюк, В. С. Королюк 197
Матриця похибки ΓΓ має представлення [1, T. 13.1]:
ΓΓ = Rα − RαR−1
ξ Rα = Rα[I− Φ∗]. (23)
Рiвняння оптимальної фiльтрацiї формулюється для двокомпо-
нентного фiльтрованого сигналу (20). А саме, має мiсце
Теорема 3. Фiльтрований сигнал (α̂t, ∆α̂t+1) визначається рiвня-
нням оптимальної фiльтрацiї для приростiв:
∆α̂t+1 + V0α̂t = Φ22[∆ξt+1 + V ξt + Cα̂t]. (24)
Середньоквадратична похибка оптимальної фiльтрацiї для приро-
стiв мають представлення:
E[(∆α̂t+1 −∆αt+1)
2 | Fξ
t+1] = 2V0(1− Φ22)Rα. (25)
Доведення теореми 3. Використуємо представлення фiльтрованих при-
ростiв сигналу (7) (див. [1, ф. (13.60)–(13.61)])
E[∆αt+1 | Fξ
t , ξt+1]− E[∆αt+1 | Fξ
t ] == Φ22[∆ξt+1 − E[∆ξt+1 | Fξ
t ]].
(26)
Враховуючи спiввiдношення
∆α̂t+1 := E[∆αt+1 | Fξ
t ] = −V0 α̂t , E[∆ξt+1 | Fξ
t ] = −(V ξt + Cα̂t),
(27)
отримуємо твердження (24) теореми 3. Середньоквадратична похибка
(25) рiвняння оптимальної фiльтрацiї доводяться з використанням
коеффiцiєнтiв фiльтрацiї
E[(α̂t − αt)
2 | Fξ
t ] = (1− Φ11 − V0Φ12)Rα,
E[(∆α̂t+1 −∆αt+1)
2 | Fξ
t+1] = 2V0(1− Φ22)Rα,
E[(α̂t − αt)(∆α̂t+1 −∆αt+1) | Fξ
t+1] = −V0(1− Φ11 + 2Φ12)Rα
= −V0(1− Φ22)Rα.
(28)
та представлення (15).
За означенням (22) матриця ΓΓ є симетричною. Симетричнiсть ма-
триць у правiй частинi представлення (25) забезпечується спiввiдно-
шенням (17) Леми 1.
198 Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських...
5. Характеризацiя фiльтрованого сигналу
Для побудови рiвняння оптимальної фiльтрацiї використовується
РСР (4) сигналу, а також спостережний процес фiльтрацiї (24). Далi
використовується представлення фiльтру з урахуванням апостерiор-
ного середнього двокомпонентного сигналу (α̂t, ∆α̂t+1), t ≥ 0:
∆ξt+1 + V ξt + Cα̂t = σ0∆W
0
t+1 + σ∆Wt+1 − C(αt − α̂t). (29)
Для характеризацiї фiльтрованого сигналу перш за все зауважимо,
що лiва частина рiвняння оптимальної фiльтрацiї
ϱ̂t = ∆α̂t+1 + V0α̂t (30)
задає стацiонарний гаусiвський маркiвський процес, що характеризу-
ється дисперсiєю
σ̂2 := Eϱ̂2t = σ20 + σ2 + C2Γ11. (31)
Тут середньоквадратична похибка сигналу Γ11 має представлення
(28).
Разом з тим, з використанням формули (31) обчислюється кова-
рiацiя R̂α:
σ̂2 = V0(2− V0) · R̂α , R̂α =: E(α̂t)
2. (32)
Отже фiльтрований двокомпонентний сигнал (α̂t, ∆α̂t+1), t ≥ 0 є ста-
цiонарним гаусiвським процесом, який характеризується матрицею
коварiацiй
R̂α =
[
R̂α R̂0
α
R̂0
α R̂∆
α
]
, R̂0
α = −V0R̂α , R̂∆
α = 2V0R̂α. (33)
Коварiацiя фiльтру R̂α визначається рiвняннями (31) i (32).
Рiвняння фiльтрованого сигналу (29) означає, що має мiсце на-
ступна рiвнiсть (див. [1, T. 13.5]):
E[∆ξt+1 + V ξt + Cα̂t]
2 = σ̂2. (34)
Разом з тим, згiдно з Теоремою 13.5,
E[∆ξt+1 + V ξt + Cα̂t]
2 = cov(∆ξt+1, ∆ξt+1 | Fξ
t ]). (35)
Так що рiвняння оптимальної фiльтрацiї (24)
∆α̂t+1 + V0α̂t = Φ22[∆ξt+1 + V ξt + Cα̂t], (36)
Д. В. Королюк, В. С. Королюк 199
з урахуванням формули [1, (13.85)], перетворюється у рiзницеве сто-
хастичне рiвняння
∆α̂t+1 + V0α̂t = σ̂∆Ŵt+1 , t ≥ 0, (37)
де послiдовнiсть ∆Ŵt+1, t ≥ 0 стандартних нормально розподiлених
випадкових величин має назву оновлюючої послiдовностi. При цьому
дисперсiя σ̂2 визначається формулою (32).
Висновок 1. Фiльтрований сигнал (α̂t, ∆α̂t+1), t ≥ 0, що ви-
значається рiвнянням оптимальної фiльтрацiї (24), характеризується
також стацiонарним розв’язком рiвняння (37) з оновлюючою послi-
довнiстю стохастичної компоненти, яка є нормально розподiленою з
нульовим середнiм i дисперсiєю σ̂2 i характеризується двовимiрною
матрицею коварiацiй (33).
Тепер є можливiсть оцiнки параметрiв фiльтрованого сигналу за
траекторiями спостережного процесу.
Наявнiсть рiвняння оптимальної фiльтрацiї (37) для фiльтровано-
го СЕ дозволяє використовувати оптимальнi оцiнки (див. [2]) параме-
трiв зсуву V0 та дисперсiї σ̂2 фiльтрованого статистичного експери-
менту з використанням емпiрiчних коварiацiй фiльтрованого процесу.
Висновок 2. Оптимальнi оцiнки параметрiв V0, σ̂ фiльтрованого
сигналу (37) задаються спiввiдношеннями [2]:
V̂ 0
T = −R̂0
T /R̂T , σ̂2T = E0
T R̂T , E0
T = 2V ∆
T − (V 0
T )
2, (38)
де емпiрiчнi коварiацiї R̂T , R̂0
T , R̂∆
T визначенi на траекторiях фiль-
трованого сигналу (α̂t, ∆α̂t+1), t ≥ 0:
R̂T :=
1
T
T−1∑
t=0
α̂2
t , R̂0
T =
1
T
T−1∑
t=0
α̂t∆α̂t , R̂∆
T :=
1
T
T−1∑
t=0
(∆α̂t)
2. (39)
Лiтература
[1] Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев, Статистика случайных процессов. Нелиней-
ная фильтрация и смежные вопросы, М., Наука, 1974.
[2] D. Koroliouk, Stationary statistical experiments and the optimal estimator for a
predictable component // Journal of Mathematical Sciences, 214 (2016), No. 2,
220–228.
[3] M. B. Nevelson, R. Z. Hasminskii, Stochastic Approximation and Recursive Esti-
mation, Am. Mathem. Soc., Translations of Mathematical Monographs, 47, 1973.
200 Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських...
Вiдомостi про авторiв
Дмитро
Володимирович
Королюк
Iнститут телекомунiкацiй i глобального
iнформацiйного простору НАН України,
Київ, Україна
E-Mail: dimitri.koroliouk@ukr.net
Володимир
Семенович
Королюк
Iнститут математики НАН України,
Київ, Україна
E-Mail: korol@imath.kiev.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169321 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:40:10Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Королюк, Д.В. Королюк, В.С. 2020-06-10T15:22:15Z 2020-06-10T15:22:15Z 2017 Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв / Д.В. Королюк, В.С. Королюк // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 2. — С. 192-200. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169321 Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв визначається розв’язком рiвняння оптимальної фiльтрацiї, яке характеризується двовимiрною матрицею коварiацiй. Параметри фiльтрованого сигналу задаються емпiрiчними коварiацiями. The filtering of stationary Gauss statistical experiments is determined by a solution of the equation of optimum filtering, which is characterized by the two-dimensional matrix of covariances. The parameters of a filtered signal are set by empiric covariances. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв Filtration of stationary Gaussian statistical experiments Article published earlier |
| spellingShingle | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв Королюк, Д.В. Королюк, В.С. |
| title | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв |
| title_alt | Filtration of stationary Gaussian statistical experiments |
| title_full | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв |
| title_fullStr | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв |
| title_full_unstemmed | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв |
| title_short | Фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв |
| title_sort | фiльтрацiя стацiонарних гаусiвських статистичних експериментiв |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169321 |
| work_keys_str_mv | AT korolûkdv filʹtraciâstacionarnihgausivsʹkihstatističniheksperimentiv AT korolûkvs filʹtraciâstacionarnihgausivsʹkihstatističniheksperimentiv AT korolûkdv filtrationofstationarygaussianstatisticalexperiments AT korolûkvs filtrationofstationarygaussianstatisticalexperiments |