Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169362 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов / А.К. Бахтин // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 309-329. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860116493493075968 |
|---|---|
| author | Бахтин, А.К. |
| author_facet | Бахтин, А.К. |
| citation_txt | Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов / А.К. Бахтин // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 309-329. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| first_indexed | 2025-12-07T17:36:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 3, 309 – 329
Экстремальное разбиение комплексной
плоскости с ограничениями
для свободных полюсов
Александр К. Бахтин
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В геометрической теории функций комплексного пе-
ременного хорошо известны задачи об экстремальном разбиении со
свободными полюсами на окружности. Одной из таких задач явля-
ется задача о максимуме функционала
In(γ) = rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) ,
где γ ∈ (0, n], B0, B1, B2,...,Bn, n > 2, – попарно непересекающиеся
области в C, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, n различные точки окружности,
r(B, a) – внутренний радиус области B ⊂ C, относительно точки a ∈
B. В работе рассмотрена более общая задача в которой ограничение
|ak| = 1, k = 1, n заменено на более общее условие.
2010 MSC. 30C75.
Ключевые слова и фразы. Внутренний радиус области, непересе-
кающиеся области, лучевые системы точек, управляющий функци-
онал, разделяющее преобразование, квадратичный дифференциал,
функция Грина.
Экстремальные задачи о неналегающих областях составляют из-
вестное классическое направление геометрической теории функций
комплексного переменного [1–26]. Многие такие задачи сводятся к
определению максимума произведения внутренних радиусов на си-
стемах попарно неналегающих областей, удовлетворяющих опреде-
ленным условиям. В 1968 году в работе [10] П. М. Тамразов привлек
внимание специалистов к исследованию экстремальных задач кото-
рым соответствуют квадратичные дифференциалы с не фиксирован-
ными полюсами, имеющими определенную свободу. В этой работе он
Статья поступила в редакцию 08.09.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
310 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
рассмотрел и решил одну важную экстремальную задачу геометриче-
ской теории функций комплексного переменного с пятью свободными
простыми полюсами. В работах [11,12] эта идея П. М. Тамразова по-
лучила применение к экстремальным задачам о неналегающих обла-
стях, которые в дальнейшем получили название “экстремальные за-
дачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окружно-
сти”. Именно такие задачи и являются предметом изучения данной
работы.
Пусть N, R – множество натуральных и вещественных чисел, со-
ответственно, C – комплексная плоскость, C = C
∪
{∞} – ее одно-
точечная компактификация, R+ = (0,∞). Пусть χ(t) = 1
2(t + t−1),
t ∈ R+ – функция Жуковского. Пусть r(B, a) – внутренний ради-
ус области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B. Внутренний радиус
области B связан с обобщенной функцией Грина gB(z, a) области B
соотношением
gB(z, a) = − ln |z − a|+ ln r(B,∞) + o(1), z → a,
gB(z,∞) = ln |z|+ ln r(B, a) + o(1), z → ∞.
Задача 1. (Дубинин В.Н. [1]) При всех значениях параметра γ ∈
(0, n] найти максимум функционала
In(γ) = rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1.1)
где B0, B1, B2,...,Bn, n > 2, – попарно непересекающиеся области в C,
a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, n, и описать все экстремальные конфигурации
из областей областей Bk и точек ak, k = 0, n.
Нетрудно показать, что при γ > n экстремальных конфигура-
ций не существует. Эта проблема изучалась во многих работах (см.,
например, [3–7]). Но на данный момент в этой проблеме получены
только частичные результаты. В 1988 году в работе [6] сформулли-
рованная выше Задача 1 была решена для значения параметра γ = 1
и всех значений натурального параметра n > 2. А именно, было по-
казано, что при условиях Задачи 1 справедливо неравенство
r(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6 r (D0, 0)
n∏
k=1
r (Dk, dk) ,
где dk, Dk, k = 0, n, — полюсы и круговые области квадратичного
дифференциала
Q(w)dw2 = −(n2 − 1)wn + 1
w2(wn − 1)2
dw2.
А. К. Бахтин 311
Л .В. Ковалев в 1996 году в работе [7] получил решение Задачи 1
при определенных достаточно жестких ограничениях на геометрию
расположения систем точек на единичной окружности, а именно для
таких систем точек для которых выполняются следующие неравен-
ства
0 < αk 6 2/
√
γ, k = 1, n, n > 5,
где величины αk определены ниже. В работе [21] показано, что ре-
зультат Л. В. Ковальова справедлив и при n = 4. В 2003 году в
работе [17] получено решение Задачи 1 при γ ∈ (0, 1]. В моногра-
фии [3] 2008 года было показано, что аналог результата В. Н. Ду-
бинина [6, теорема 4] выполняется для произвольного γ ∈ R+, но
начиная с некоторого номера n0(γ). Некоторые частные случаи этой
задачи рассмотрены в работах [4, 5, 22–25].
Пусть n ∈ N, n > 2. Систему точек An :=
{
ak ∈ C : k = 1, n
}
назовем n-лучевой , если |ak| ∈ R+ при k = 1, n, и
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π.
Введем обозначения
Γk = Γk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1}, θk := arg ak,
an+1 := a1, θn+1 := 2π, αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1,
k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
Для произвольной n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 та γ ∈
R+ ∪ {0} введем “управляющий” функционал:
M(γ)(An) :=
n∏
k=1
[
χ
(∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣ 1
2αk
)]1− 1
2
γα2
k
n∏
k=1
|ak|1+
1
4
γ(αk+αk−1).
В работах [3,4,26] был предложен метод “управляющих” функци-
оналов, который позволяет ослабить требования на геометрию распо-
ложения систем точек. Благодаря этому удалось обобщить Задачу 1.
Класс n-лучевых систем точек, для которых M(γ)(An) = 1, ав-
томатически содержит все системы n различных точек единичной
окружности.
Будем говорить, что n-лучевая система точек подчинена управля-
ющему функционалу M(γ)(An), если выполняется равенство
M(γ)(An) = 1. Таким образом, постановку Задачи 1 можно обобщить
312 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
на случай n-лучевых систем точек, подчиненных управляющему фун-
кционалу M(γ)(An). И так сформулируем следующую задачу.
Задача 2. При всех значениях параметра γ ∈ (0, n] найти макси-
мум функционала (1.1), где n ∈ N, n > 2, An = {ak}nk=1 – n-лучевая
система точек, такая, что M(γ) (An) = 1, a0 = 0, {Bk}nk=0 – систе-
ма взаимно непересекающихся областей таких, что ak ∈ Bk ⊂ C при
k = 0, n, и описать все экстремали.
Выше упомянутая работа Л. В. Ковалева [7] приводит нас к за-
ключению, что весьма интересно рассмотреть Задачу 2 при опреде-
ленных ограничениях на величины αk, k = 1, n. Таким образом, имеет
смысл рассмотреть Задачу 2 при определенных ограничениях на гео-
метрию расположения свободных полюсов ak, k = 1, n. В связи с этим
сформулируем следующую задачу.
Пусть y0 – корень уравнения
ln
4y2
4− y2
=
2
y2
, (1.2)
y0 ≈ 1, 32466.
Задача 3. Найти максимум функционала (1.1), где n ∈ N, n > 2,
{Bk}nk=0 – система взаимно непересекающихся областей таких, что
ak ∈ Bk ⊂ C при k = 0, n, a0 = 0, а n-лучевая система точек {ak}nk=1 =
An удовлетворяет условиям M(γ) (An) = 1, 0 < αk 6 T0/
√
γ, k = 1, n,
y0 6 T0 6 2, и описать все экстремали.
Частичное решение задачи 2 и задачи 3 дают следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть n ∈ N, n > 2, γ ∈ [1, γn), γn = 1
4y
2
0n
2. То-
гда для любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 такой, что
M(γ) (An) = 1, 0 < αk 6 y0/
√
γ, где y0 – корень уравнения (1.2),
k = 1, n, и любого набора взаимно непересекающихся областей Bk,
ak ∈ Bk ⊂ C, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C (k = 1, n), справедливо неравенство
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rγ (Λ0, 0)
n∏
k=1
r (Λk, λk) , (1.3)
где области Λ0, Λk, и точки λ0 = 0, λk, k = 1, n, есть круговые
области и, соответственно, полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (1.4)
А. К. Бахтин 313
Используя приближенное значение y0 ≈ 1, 32466 мы можем полу-
чить более конкретное выражение для теоремы 1.
Следствие 1. Пусть n ∈ N, n > 2, γ ∈ [1, γn), γn = 0, 4386n2.
Тогда для любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 такой, что
M(γ) (An) = 1, 0 < αk 6 y0/
√
γ, y0 ≈ 1, 32466, k = 1, n и любого
набора взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 =
0 ∈ B0 ⊂ C (k = 1, n), справедливо неравенство (1.3), где области
Λ0, Λk, и точки λ0 = 0, λk, k = 1, n, есть круговые области и,
соответственно, полюсы квадратичного дифференциала (1.4).
Доказательство. Рассмотрим систему функций
ζ = πk(w) = −i
(
e−iθkw
) 1
αk , k = 1, n.
Семейство функций {πk(w)}nk=1 является допустимим для разде-
ляющего преобразования областей Bk, k = 0, n относительно углов
{Γk}nk=1.
Обозначим Ω
(1)
k , k = 1, n – область плоскости Cζ , полученную в
результате объединения связной компоненты множества πk(Bk
∩
Γk),
содержащей точку πk(ak), со своим симметричным отражением отно-
сительно мнимой оси. Ω
(2)
k , k = 1, n – область плоскости Cζ , по-
лученная в результате объединения связной компоненты множества
πk(Bk+1
∩
Γk), содержащей точку πk(ak+1), со своим симметричным
отражением относительно мнимой оси,Bn+1 := B1, πn(an+1) := πn(a1).
Кроме того, Ω
(0)
k – область плоскости Cζ , полученная в результате
объединения связной компоненты множества πk(B0
∩
Γk), содержа-
щей точку ζ = 0, со своим симметричным отражением относительно
мнимой оси.
Обозначим
πk(ak) := ω
(1)
k , πk(ak+1) := ω
(2)
k , k = 1, n, πn(an+1) := ω(2)
n .
Из определения функций πk вытекает, что
|πk(w)− ω
(1)
k | ∼ 1
αk
|ak|
1
αk
−1 · |w − ak|, w → ak, w ∈ Γk,
|πk(w)− ω
(2)
k | ∼ 1
αk
|ak+1|
1
αk
−1 · |w − ak+1|, w → ak+1, w ∈ Γk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → 0, w ∈ Γk.
314 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
Тогда, используя соответствующие результаты работ [1, 3], полу-
чаем неравенства
r (Bk, ak) 6
r
(
Ω
(1)
k , ω
(1)
k
)
· r
(
Ω
(2)
k−1, ω
(2)
k−1
)
1
αk
|ak|
1
αk
−1 · 1
αk−1
|ak|
1
αk−1
−1
1
2
, k = 1, n, (1.5)
r (B0, 0) 6
[
n∏
k=1
rα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)] 1
2
. (1.6)
Условия реализации знака равенства в неравенствах (1.5), (1.6) пол-
ностью исследованы в теореме 1.9 [1].
Аналогично рассуждениям приведенным в [3] при доказательстве
теоремы 5.2.1. получаем следующее неравенство для функционала
(1.1)
In(γ) 6
n∏
k=1
[
r
(
Ω
(0)
k , 0
)] γα2k
2 ·
n∏
k=1
r
(
Ω
(2)
k−1, ω
(2)
k−1
)
r
(
Ω
(1)
k , ω
(1)
k
)
1
αk−1·αk |ak|
1
αk−1
−1 · |ak|
1
αk
−1
1
2
=
n∏
k=1
αk ·
n∏
k=1
|ak|
|akak+1|
1
2αk
(1.7)
×
[
n∏
k=1
rγα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(1)
k , ω
(1)
k
)
r
(
Ω
(2)
k , ω
(2)
k
)] 1
2
.
Введем в рассмотрение функционал
y3(σ
2, 1, 1, B0, B1, B2, 0, a1, a2) = rσ
2
(B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2), σ ∈ R+,
(1.8)
где B0, B1, B2 – взаимно непересекающиеся области, ak ∈ Bk ⊂ C,
k = 0, 2, a0 = 0. Учитывая (1.8), получаем
In(γ)
6
n∏
k=1
αk|ak|
|akak+1|
1
2αk
·
[
n∏
k=1
y3(γα
2
k, 1, 1,Ω
(0)
k ,Ω
(1)
k ,Ω
(2)
k , 0, ω
(1)
k , ω
(2)
k )
] 1
2
.
(1.9)
В работе [6] полностью исследована задача о максимуме фун-
кционала (1.8) на тройках произвольных попарно непересекающихся
областей B0, B1, B2 расширенной комплексной плоскости таких, что
А. К. Бахтин 315
ak ∈ Bk, k = 0, 2, a0 = 0, ak = (−1)ki и получено следующее неравен-
ство
y3(σ
2, 1, 1, B0, B1, B2, 0, i,−i) 6 S(σ) (1.10)
= 2σ
2+6 · σσ2 · (2− σ)−
1
2
(2−σ)2 · (2 + σ)−
1
2
(2+σ)2 , σ ∈ [0, 2],
и знак равенства в неравенстве (1.10) достигается, когда области B0,
B1, B2 являются круговыми областями квадратичного дифференци-
ала
Q(w)dw2 = −(σ2 − 4)w2 + σ2
w2(w2 + 1)2
dw2.
Заметим, что функционал (1.8) при σ > 2 не ограничен. Известно [18],
что функционал
Y3(t1, t2, t3, D1, D2, D3, d1, d2, d3) (1.11)
=
rt1(D1, d1) · rt2(D2, d2) · rt3(D3, d3)
|d1 − d2|t1+t2−t3 · |d1 − d3|t1−t2+t3 · |d2 − d3|−t1+t2+t3
,
где tk ∈ R+, {Dk}3k=1 – произвольная система взаимно неналегающих
областей таких, что dk ∈ Dk ⊂ C, k = 1, 2, 3, инвариантен относи-
тельно всех конформных автоморфизмов комплексной плоскости C.
Полагая t1 = (αk
√
γ)2, t2 = 1, t3 = 1, а Dk = Bk−1, dk = ak−1,
k = 1, 2, 3, a0 = 0, получаем, что функционал
y3((αk
√
γ)2, 1, 1, B0, B1, B2, a0, a1, a2)
|a0 − a1|γα
2
k |a0 − a2|γα
2
k |a1 − a2|2−γα
2
k
=
rγα
2
k (B0, 0) r (B1, a1) r (B2, a2)
|a1|γα
2
k |a2|γα
2
k |a1 − a2|2−γα
2
k
при каждом k = 1, n инвариантен относительно конформных авто-
морфизмов плоскости C.
Из соотношений (1.7) и (1.11), получаем
In(γ) 6
(
n∏
k=1
αk
)
·
n∏
k=1
|ak|
|akak+1|
1
2αk
×
n∏
k=1
rγα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)
· r
(
Ω
(1)
k , ω
(1)
k
)
· r
(
Ω
(2)
k , ω
(2)
k
)
|ω(1)
k · ω(2)
k |γα2
k |ω(1)
k − ω
(2)
k |2−γα2
k
1
2
(1.12)
×
[
n∏
k=1
|ω(1)
k · ω(2)
k |γα2
k |ω(1)
k − ω
(2)
k |2−γα2
k
] 1
2
,
316 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
где
|ω(1)
k | = |ak|
1
αk , |ω(2)
k | = |ak+1|
1
αk , (1.13)
|ω(1)
k − ω
(2)
k | = |ak|
1
αk + |ak+1|
1
αk , k = 1, n.
Учитывая (1.11) и (1.12), имеем следующее соотношение
In(γ) 6
n∏
k=1
αk|ak|
|akak+1|
1
2αk
·
{
n∏
k=1
Y3(γα
2
k, 1, 1,Ω
(0)
k ,Ω
(1)
k ,Ω
(2)
k , 0, ω
(1)
k , ω
(2)
k )
} 1
2
×
[
n∏
k=1
|ω(1)
k · ω(2)
k |γα2
k |ω(1)
k − ω
(2)
k |2−γα2
k
] 1
2
. (1.14)
Правую часть неравенства (1.14) обозначим ∆. Тогда
∆ =
(
n∏
k=1
αk
)
· T1 · T2 · T3,
где
T1 =
n∏
k=1
|ak|
|akak+1|
1
2αk
·
(
n∏
k=1
|ω(1)
k − ω
(2)
k |
)
,
T2 =
n∏
k=1
(
|ω(1)
k · ω(2)
k |
|ω(1)
k − ω
(2)
k |
) γα2k
2
,
T3 =
{
n∏
k=1
Y3(γα
2
k, 1, 1,Ω
(0)
k ,Ω
(1)
k ,Ω
(2)
k , 0, ω
(1)
k , ω
(2)
k )
} 1
2
.
Далее, поочередно исследуем величины T1, T2, T3. Из соотношений
(1.13) непосредственно вытекает, что
T1 =
n∏
k=1
|ak|
1
αk + |ak+1|
1
αk
|akak+1|
1
2αk
· |ak|
=
n∏
k=1
(∣∣∣∣ akak+1
∣∣∣∣ 1
2αk
+
∣∣∣∣ak+1
ak
∣∣∣∣ 1
2αk
)
|ak| = 2n ·
n∏
k=1
χ
(∣∣∣∣ akak+1
∣∣∣∣ 1
2αk
)
|ak|.
Аналогично предыдущему следует, что
|ω(1)
k · ω(2)
k |
|ω(1)
k − ω
(2)
k |
=
|ak|
1
αk · |ak+1|
1
αk
|ak|
1
αk + |ak+1|
1
αk
А. К. Бахтин 317
=
(
|ak|
1
αk + |ak+1|
1
αk
|akak+1|
1
αk
)−1
=
(
|ak|
1
αk + |ak+1|
1
αk
|akak+1|
1
2αk
)−1
|akak+1|
1
2αk
= 2−1 ·
[
χ
(∣∣∣∣ akak+1
∣∣∣∣ 1
2αk
)]−1
· |akak+1|
1
2αk .
Далее, непосредственно получаем
T2 = 2
− γ
2
n∑
k=1
α2
k ·
n∏
k=1
[
χ
(∣∣∣∣ akak+1
∣∣∣∣ 1
2αk
)]− γα2k
2 n∏
k=1
|ak|
1
4
γ(αk+αk−1).
Таким образом, подытоживая все выше сказанное, получим следую-
щее равенство
∆ = 2
n− γ
2
n∑
k=1
α2
k ·
(
n∏
k=1
αk
)
· M(γ)(An) · T3. (1.15)
Теперь приступим к преобразованию величины T3. При каждом k =
1, n несложно указать конформный автоморфизм ζ = Tk(z) плоско-
сти комплексных чисел C такой, что Tk(0) = 0, Tk
(
ω
(s)
k
)
= (−1)s · i,
D
(q)
k := Tk
(
Ω
(q)
k
)
, k = 1, n, s = 1, 2, q = 0, 1, 2. Тогда в силу ука-
занной конформной инвариантности функционала (1.11), получаем
следующее равенство
Y3
(
γα2
k, 1, 1,Ω
(0)
k ,Ω
(1)
k ,Ω
(2)
k , 0, ω
(1)
k , ω
(2)
k
)
= Y3
(
γα2
k, 1, 1, D
(0)
k , D
(1)
k , D
(2)
k , 0,−i, i
)
,
где k = 1, n и
Y3
(
γα2
k, 1, 1, D
(0)
k , D
(1)
k , D
(2)
k , 0,−i, i
)
=
rα
2
kγ
(
D
(0)
k , 0
)
· r
(
D
(1)
k ,−i
)
· r
(
D
(2)
k , i
)
22−γα
2
k
.
Отсюда
∆ = 2
n− γ
2
n∑
k=1
α2
k ·
(
n∏
k=1
αk
)
· M(γ) (An)
×
n∏
k=1
rα
2
kγ
(
D
(0)
k , 0
)
· r
(
D
(1)
k ,−i
)
· r
(
D
(2)
k , i
)
22−γα
2
k
1
2
.
318 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
Из последнего равенства и неравенств (1.12) и (1.15), окончательно
получаем следующую оценку для функционала (1.1)
In(γ) 6 2
n− γ
2
n∑
k=1
α2
k
(
n∏
k=1
αk
)
· M(γ)(An) · 2
−n+ γ
2
n∑
k=1
α2
k
×
[
n∏
k=1
rα
2
kγ
(
D
(0)
k , 0
)
r
(
D
(1)
k ,−i
)
r
(
D
(2)
k , i
)] 1
2
6
(
n∏
k=1
αk
)
M(γ)(An)
[
n∏
k=1
rα
2
kγ
(
D
(0)
k , 0
)
r
(
D
(1)
k ,−i
)
r
(
D
(2)
k , i
)] 1
2
.
С учетом условий теоремы 1, получим неравенство
In(γ) 6
(
n∏
k=1
αk
)
·
[
n∏
k=1
rα
2
kγ
(
D
(0)
k , 0
)
r
(
D
(1)
k ,−i
)
r
(
D
(2)
k , i
)] 1
2
.
(1.16)
Так как по условиям теоремы 1 величины αk удовлетворяют условиям
0 <
√
γαk 6 y0, k = 1, n, y0 ≈ 1, 32466, то в силу (1.10) справедливо
неравенство
y3(γα
2
k, 1, 1, D
(0)
k , D
(1)
k , D
(2)
k , 0, i,−i)
6 2γα
2
k+6 · (√γαk)γα
2
k · (2−√
γαk)
− 1
2
(2−√
γαk)
2 · (2 +√
γαk)
− 1
2
(2+
√
γαk)
2
.
Отсюда и из (1.16) следует оценка
In(γ) 6
(
n∏
k=1
αk
)[
n∏
k=1
S (αk
√
γ)
]1/2
. (1.17)
Тогда
In(γ) 6
(
1
√
γ
)n( n∏
k=1
αk
√
γ
)[
n∏
k=1
S(τk)
]1/2
=
(
1
√
γ
)n [ n∏
k=1
2τ
2
k+6 · τ τ
2
k+2
k · (2− τk)
− 1
2
(2−τk)2 · (2 + τk)
− 1
2
(2+τk)
2
] 1
2
,
где τk = αk
√
γ, k = 1, n.
Пусть
Ψ(x) = 2x
2+6 · xx2+2 · (2− x)−
1
2
(2−x)2 · (2 + x)−
1
2
(2+x)2 .
А. К. Бахтин 319
Функция Ψ(x) логарифмически выпукла вверх на интервале (0, y0].
Так как xk ∈ (0, y0], k = 1, n, тогда имеет место соотношение
1
n
n∑
k=1
lnΨ (xk) 6 lnΨ
n∑
k=1
xk
n
.
Это равносильно тому, что
ln
(
n∏
k=1
Ψ(xk)
) 1
n
6 ln
(
Ψ
(
2
n
√
γ
))
.
Знак равенства в этом неравенстве достигается когда τ1 = τ2 = . . . =
τn =
2
√
γ
n , то есть когда αk = 2
n , k = 1, n. В этом случае из (1.16)
следует, что
In(γ) 6 I0n(γ) =
(
2
n
)n [
r
4γ
n2 (D0, 0) r (D1,−i) r (D2, i)
]n
2
,
где D0, D1, D2 – круговые области квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
( 4γ
n2 − 4)w2 + 4γ
n2
w2(w2 + 1)2
dw2. (1.18)
Отсюда окончательно имеем
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6
(
1
√
γ
)n [
Ψ
(
2
n
√
γ
)]n
2
.
Используя конкретное выражение для Ψ(x), получаем основное не-
равенство теоремы 1. Квадратичный дифференциал (1.18) несложно
представить в следующем виде
Q(w)dw2 = −(γ − n2)w2 + γ
w2(w2 + 1)2
dw2. (1.19)
Осуществляя в квадратичном дифференциале (1.19) замену перемен-
ной w = −iz
n
2 получаем квадратичный дифференциал (1.4). Знак ра-
венства в неравенстве (1.3) проверяется непосредственно. Теорема 1
доказана.
Приведем еще несколько следствий теоремы 1, но предварительно
вычислим величину
I0n(γ) = rγ (Λ0, 0)
n∏
k=1
r (Λk, λk) ,
320 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
где 0 ∪ {λk}nk=1 и {λk}nk=0 являются соответственно полюсами и кру-
говыми областями квадратичного дифференциала (1.4).
Из результатов работ [1, 3, 6, 7] и свойств разделяющего преобра-
зования, имеем
I0n(γ) =
(
2
n
)n 2
4γ
n2
+6
(
2
√
γ
n
) 4γ
n2
(
2− 2
√
γ
n
) 1
2
(
2− 2
√
γ
n
)2 (
2 +
2
√
γ
n
) 1
2
(
2+
2
√
γ
n
)2
n
2
.
Используя несложные преобразования, получаем
A =
(
2−
2
√
γ
n
) 1
2
(
2− 2
√
γ
n
)2
= 2
2
(
1−
√
γ
n
)2 (
1−
√
γ
n
)2
(
1−
√
γ
n
)2
,
B =
(
2 +
2
√
γ
n
) 1
2
(
2+
2
√
γ
n
)2
= 2
2
(
1+
√
γ
n
)2 (
1 +
√
γ
n
)2
(
1+
√
γ
n
)2
.
M =
(
1−
√
γ
n
)2
(
1−
√
γ
n
)2
=
(
1−
√
γ
n
)2− 4
√
γ
n
+ 2γ
n2
,
N =
(
1 +
√
γ
n
)2
(
1+
√
γ
n
)2
=
(
1 +
√
γ
n
)2+
4
√
γ
n
+ 2γ
n2
,
Отсюда следует, что
MN =
(
1− γ
n2
)2(1+ γ
n2
)(
1 +
√
γ
n
1−
√
γ
n
) 4
√
γ
n
,
и
AB = 2
4
(
1+ γ
n2
)
MN = 2
4
(
1+ γ
n2
) (
1− γ
n2
)2(1+ γ
n2
)(
1 +
√
γ
n
1−
√
γ
n
) 4
√
γ
n
.
Окончательно получаем
I0n(γ) =
(
2
n
)n 2
4γ
n2
+6
(
2
√
γ
n
) 4γ
n2
2
4γ
n2
+4 (1− γ
n2
)(2+ 2γ
n2
)
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
) 4
√
γ
n
n
2
А. К. Бахтин 321
=
(
4
n
)n (
4γ
n2
) γ
n(
1− γ
n2
)n+ γ
n
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
.
Величина I0n(γ) получена в работе [6] при γ = 1 и для произвольного
γ в работах [7, 17]. Форма выражения I0n(γ), которая используется в
данной работе, была предложенна в [3].
Следствие 2. При условиях Теоремы 1 справедливо следующее
неравенство
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6
(
4
n
)n (
4γ
n2
) γ
n(
1− γ
n2
)n+ γ
n
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
.
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда ak и Bk, k =
0, n, являются, соответственно, полюсами и круговыми областями
квадратичного дифференциала (1.4).
Далее в связи с постановкой задачи с ограничениями на углы αk,
k = 1, n, приведем некоторые другие результаты.
Следствие 3. Пусть n ∈ N, n > 2, γ ∈ [1, γn), γn = 1
4y
2
0n
2.
Тогда для любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 такой, что
|ak| = 1, 0 < αk 6 y0/
√
γ, где y0 – корень уравнения (1.2), k = 1, n,
и любого набора взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂
C, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C (k = 1, n), справедливо неравенство (1.3), где
области Λ0, Λk, и точки λ0 = 0, λk, k = 1, n, есть круговые области
и, соответственно, полюсы квадратичного дифференциала (1.4).
Следствие 4. Пусть n ∈ N, n > 2, γ ∈ [1, γn), γn = 0, 4386n2.
Тогда для любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 такой,
что |ak| = 1, 0 < αk 6 y0/
√
γ, y0 ≈ 1, 32466, k = 1, n и любо-
го набора взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C,
a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C (k = 1, n), справедливо неравенство (1.3), где обла-
сти Λ0, Λk, и точки λ0 = 0, λk, k = 1, n, есть круговые области и,
соответственно, полюсы квадратичного дифференциала (1.4).
Следствие 5. Пусть n = 2, γ ∈ [1, γ2), γ2 = y20. Тогда для любой
2-лучевой системы точек A2 = {ak}2k=1 такой, что |ak| = 1, 0 <
αk 6 y0/
√
γ, где y0 – корень уравнения (1.2), k ∈ {1, 2}, и любого
набора взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 =
0 ∈ B0 ⊂ C (k ∈ {1, 2}), справедливо неравенство
rγ (B0, 0) r (B1, a1) r (B2, a2) 6 rγ (Λ0, 0) r (Λ1, λ1) r (Λ2, λ2) , (1.20)
322 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
где области Λ0, Λ1, Λ2, и точки λ0 = 0, λ1, λ2, есть круговые обла-
сти и, соответственно, полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(4− γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)2
dw2. (1.21)
Следствие 6. Пусть n = 2, γ ∈ [1, γ2), γ2 = 1, 75. Тогда для
любой 2-лучевой системы точек A2 = {ak}2k=1 такой, что |ak| = 1,
0 < αk 6 y0/
√
γ, y0 ≈ 1, 32466, k ∈ {1, 2} и любого набора взаимно
непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C
(k ∈ {1, 2}), справедливо неравенство (1.20), где области Λ0, Λ1, Λ2,
и точки λ0 = 0, λ1, λ2, есть круговые области и, соответственно,
полюсы квадратичного дифференциала (1.21).
Следствие 7. Пусть n = 3, γ ∈ [1, γ3), γ3 = 9
4y
2
0. Тогда для
любой 3-лучевой системы точек A3 = {ak}3k=1 такой, что |ak| = 1,
0 < αk 6 y0/
√
γ, где y0 – корень уравнения (1.2), k = 1, 3, и любого
набора взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 =
0 ∈ B0 ⊂ C (k = 1, 3), справедливо неравенство
rγ (B0, 0)
3∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rγ (Λ0, 0)
3∏
k=1
r (Λk, λk) , (1.22)
где области Λ0, Λk, и точки λ0 = 0, λk, есть круговые области и,
соответственно, полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(9− γ)w3 + γ
w2(w3 − 1)2
dw2. (1.23)
Следствие 8. Пусть n = 3, γ ∈ [1, γ3), γ3 = 3, 94. Тогда для
любой 3-лучевой системы точек A3 = {ak}3k=1 такой, что |ak| = 1,
0 < αk 6 y0/
√
γ, y0 ≈ 1, 32466, k = 1, 3 и любого набора взаимно
непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C
(k = 1, 3), справедливо неравенство (1.22), где области Λ0, Λk, и то-
чки λ0 = 0, λk, есть круговые области и, соответственно, полюсы
квадратичного дифференциала (1.23).
Следствие 9. Пусть n = 4, γ ∈ [1, γ4), γ4 = 4y20. Тогда для
любой 4-лучевой системы точек A4 = {ak}4k=1 такой, что |ak| = 1,
0 < αk 6 y0/
√
γ, где y0 – корень уравнения (1.2), k = 1, 4, и любого
А. К. Бахтин 323
набора взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 =
0 ∈ B0 ⊂ C (k = 1, 4), справедливо неравенство
rγ (B0, 0)
4∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rγ (Λ0, 0)
4∏
k=1
r (Λk, λk) , (1.24)
где области Λ0, Λk, и точки λ0 = 0, λk, есть круговые области и,
соответственно, полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(16− γ)w4 + γ
w2(w4 − 1)2
dw2. (1.25)
Следствие 10. Пусть n = 4, γ ∈ [1, γ4), γ4 = 7, 01. Тогда для
любой 4-лучевой системы точек A4 = {ak}4k=1 такой, что |ak| = 1,
0 < αk 6 y0/
√
γ, y0 ≈ 1, 32466, k = 1, 4 и любого набора взаимно
непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C
(k = 1, 4), справедливо неравенство (1.24), где области Λ0, Λk, и то-
чки λ0 = 0, λk, есть круговые области и, соответственно, полюсы
квадратичного дифференциала (1.25).
Приведем результат дающий решение частного случая задачи 3.
Введем некоторые определения. Пусть t = t(x) = [logΨ(x)]′x введен-
ная в (1.17). Эта функция дает много важной информации о поведе-
нии экстремалей функционала (1.1). График функции t = t(x) пред-
ставлен на рисунке 1.
На промежутке (0, y0] t(x) монотонно убывает, а на (y0, 2] – моно-
тонно возрастает. При каждом t′ ∈ (t(y0), t(T0)), y0 6 T0 6 2, уравне-
ние t′ = t(x) имеет два решения x1(t
′) ∈ (0, t(y0)] и x2(t
′) ∈ [t(y0), 2].
Пусть
min
t∈[t(y0),t(T0)]
[(n− 1)x1(t) + x2(t)] = σn(T0), (1.26)
n > 2, y0 6 T0 6 2.
Тогда справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть
n ∈ N, n > 2, γ ∈
[
1, γ0n
)
, γ0n = min
{
1
4
[σn(T0)]
2,
T 2
0 n
2
4
}
.
Тогда для любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 такой, что
M(γ) (An) = 1, 0 < αk 6 T0/
√
γ, t(y0) < T0 6 2, k = 1, n, и любого
набора взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 =
324 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
Рис. 1: График функции t(x)
0 ∈ B0 ⊂ C (k = 1, n), справедливо неравенство (1.3), где Λk, λk, k =
0, n, – соответственно, круговые области и полюсы квадратичного
дифференциала (1.4), λ0 = 0.
Доказательство. Из неравенства (1.17) следует, что
In(γ) 6
(
1
√
γ
)n [ n∏
k=1
Φ(τk)
] 1
2
,
где {τk}nk=1 и Φ(x) – определены в (1.17). В соответствии с условиями
теоремы 2 величины {τk}nk=1 удовлетворяют соотношению
0 < τk 6 T0.
Рассмотрим задачу
n∏
k=1
Φ(τk) −→ max,
n∑
k=1
τk = 2
√
γ,
τk = αk
√
γ, 0 < τk 6 T0.
Аналогично работам [7,21,24], получаем условия для экстремального
набора
{
τ0k
}n
k=1
Φ′(τ0k )
Φ(τ0k )
=
Φ′(τ0j )
Φ(τ0j )
, τ0k < τ0j < T0,
А. К. Бахтин 325
Φ′(τ0k )
Φ(τ0k )
6 Φ′(T0)
Φ(T0)
, τ0k < τ0j = T0, k, j = 1, n, k ̸= j.
Положив γ0n = min
{
1
4 [σn(T0)]
2,
T 2
0 n
2
4
}
, получим γ0n 6 1
4 [σn(T0)]
2 и
γ0n 6 T 2
0 n
2
4 . Таким образом, для любого γ ∈ (1, γ0n), получим
n∑
k=1
τ0k = 2
√
γ < 2
√
γ0n,
а отсюда следует, что τ0k ∈ (0, y0], k = 1, n. Тогда
τ01 = τ02 = . . . = τ0n =
2
√
γ
n
.
Аналогично доказательству теоремы 1 получим, что
I0n(γ) = rγ(Λ0, 0)
n∏
k=1
r(Λk, λk) =
(
1
√
γ
)n [
Ψ
(
2
n
√
γ
)]n
2
,
где Λk, λk, k = 0, n, – соответственно, круговые области и полюсы
квадратичного дифференциала (1.4). Теорема 2 доказана.
Приведем некоторые конкретизации теоремы 2.
Теорема 3. Пусть γ03 = 3, 29, γ ∈
[
1, γ03
)
. Тогда для любой 3-лучевой
системы точек A3 = {ak}3k=1 такой, что M(γ) (A3) = 1, 0 < αk 6
1, 7/
√
γ, k = 1, 3, и любого набора взаимно непересекающихся обла-
стей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 = 0, (k = 0, n), справедливо неравенство
(1.22), где Λk, λk, k = 0, 3, λ0 = 0, – круговые области и, соответ-
ственно, полюсы квадратичного дифференциала (1.23).
Доказательство. Положив в теореме 2 T0 = 1, 7, вычислим γ03 . Сле-
дующая таблица позволяет получить оценку снизу величины σ3(1, 7).
Интервал [t(y0), t(T0)] = [t(y0), t(1, 7)] значений функции t = t(x) =
[logΨ(x)]′x разобьем на подинтервалы t1 > t2 > . . . > tn так, чтобы
на каждом подинтервале [tk+1, tk], выполнялось неравенство
2x1(tk) + x2(tk+1) > 3, 63.
k tk x1(tk) x2(tk) 2x1(tk) + x2(tk+1)
1 0,14 0.972559 1.702843
2 0,12 0.983296 1.690609 3,635727
3 0,08 1.006181 1.664642 3,631234
4 0,02 1.044976 1.621015 3,633377
5 -0,06 1.109881 1.549295 3,639247
6 -0,15 1.234855 1.416171 3,635933
7 -0.168173 1.32466 1.32466 3,7944
326 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
Из анализа таблицы следует, что
3, 63 < σ3(1, 7) = min
t∈[t(y0),t(T0)]
[2x1(t) + x2(t)].
Положим γ03 = min
{
1
4 [σ3(1, 7)]
2,
9T 2
0
4
}
= min
{
1
4 [3, 63]
2, 6, 5
}
, тогда
γ03 = 3, 29. Следовательно, если 1 < γ 6 3, 29, то τ01 = τ02 = τ03 =
2
√
γ
3 и в соответствии с теоремой 2 получаем утверждение Теоремы 3.
Теорема 3 доказана.
Аналогичным образом получаем конкретизацию теоремы 2 для
случая n = 4 и T0 = 1, 7.
Теорема 4. Пусть n = 4, γ04 = 5, 29, γ ∈
[
1, γ04
)
. Тогда для любой
4-лучевой системы точек A4 = {ak}4k=1 такой, что M(γ) (A4) = 1,
0 < αk 6 1, 7/
√
γ, k = 1, 4, и любого набора взаимно непересекающи-
хся областей {Bk}4k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 = 0, k = 0, n, справедливо
неравенство (1.24), где Λk, λk, k = 0, 4, λ0 = 0, – круговые области
и, соответственно, полюсы квадратичного дифференциала (1.25).
Доказательство. Полагая в условиях теоремы 2 n = 4 и T0 = 1, 7,
аналогично доказательству теоремы 3, составим следующую таблицу
значений функции t = [logΨ(x)]
′
x.
k tk x1(tk) x2(tk) 3x1(tk) + x2(tk+1)
1 0,14 0.972559 1.702843
2 0,12 0.983296 1.690609 4,6082
3 0,08 1.006181 1.664642 4,6145
4 0,02 1.044976 1.621015 4,6395
5 -0,06 1.109881 1.549295 4,6842
6 -0.168173 1.32466 1.32466 4,6543
Из анализа табличных данных и с учетом свойств функции t =
t(x) следует, что
4, 6 < σ4(1, 7) = min
t∈[t(y0),t(1,7)]
[3x1(t) + x2(t)].
Тогда полагая 2
√
γ04 = 4, 6, получим, что γ04 = 5, 29. Следователь-
но для любого γ ∈
[
1, γ04
)
справедливы соотношения 2
√
γ < 2
√
γ04 =
4, 6. С другой стороны 3τ01 + τ02 = 2
√
γ, что возможно только ко-
гда τ02 ∈ (0, y0). Следовательно τ0k = 1
2
√
γ, k = 1, 4. Отсюда следует
утверждение теоремы 4. Теорема 4 доказана.
Проводя аналогичные рассуждения при n = 2 и T0 = 1, 7, несло-
жно получить, что γ02 = 1, 69.
А. К. Бахтин 327
Таким образом, сопоставляя результаты теорем 1–4 и следствий
1–10, приходим к заключению, что максимальные значения для ве-
личин γ0n получены при T0 = y0, а при величинах T0 > y0, соответ-
ствующие значения γ0n уменьшаются.
Литература
[1] В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного // Успехи мат. наук, 49 (295) (1994), No. 1, 3–76.
[2] В. Н. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической
теории функций комплексного переменного, Владивосток, Дальнаука ДВО
РАН, 2009.
[3] А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические
структуры и геометрические методы в комплексном анализе // Працi iн-ту
мат-ки НАН України, 2008.
[4] Г. П. Бахтина, А. К. Бахтин, Разделяющее преобразование и задачи о нена-
легающих областях // Комплексний аналiз i течiї з вiльними границями /
Збiрник праць Iн-ту мат-ки НАН України, Київ, Iн-т матем. НАН України,
3 (2006), No. 4, 273–281.
[5] Я. В. Заболотний, Застосування роздiляючого перетворення в однiй задачi
про неперетиннi областi // Доповiдi НАН України, 9 (2011), 13–17.
[6] В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстре-
мальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР,
168 (1988), 48–66.
[7] Л. В. Ковалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полю-
сами на окружности // Дальневосточный матем. сборник, 2 (1996), 96–98.
[8] Г. В. Кузьмина, Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы //
Зап. науч. сем. ПОМИ, 276 (2001), 253–275.
[9] Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, М.,
Издательство иностр. лит., 1962.
[10] П. М. Тамразов, Экстремальные конформные отображения и по- люсы ква-
дратичных дифференциалов // Изв. АН СССР. Серия мат., 32 (1968), No. 5,
1033–1043.
[11] Г. П. Бахтина, Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в за-
дачах о неналегающих областях : Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук, К.,
1975, 11 с.
[12] Г. П. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих обла-
стей // Современные вопросы вещественного и комплексного анализа, Киев,
Ин-т математики АН УССР (1984), 21–27.
328 Экстремальное разбиение комплексной плоскости...
[13] В. Н. Дубинин, О произведении внутренних радиусов “частично неналегаю-
щих” областей // Вопросы метрической теории отображений и ее примене-
ние, Киев, Наук. думка, 1978.
[14] М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР, 5 (1934), 159–245.
[15] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного,
М., Наука, 1966.
[16] Г. В. Кузьмина, Методы геометрической теории функций. I, II // Алгебра
и анализ, 9 (1997), No. 3, 41–103; No. 5, 1–50.
[17] Г. В. Кузьмина, Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме
произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей при
наличии свободных параметров // Зап. науч. сем. ПОМИ, 302 (2003), 52–67.
[18] Л. И. Колбина, Конформное отображение единичного круга на неналегаю-
щие области // Вестник Ленингр. ун-та, 5 (1955), 37–43.
[19] Г. В. Кузьмина, Об одном экстремально-метрическом подходе к задачам об
экс- тремальном разбиении // Зап. науч. сем. ПОМИ, 449 (2016), 214–229.
[20] Е. Г. Емельянов, К задаче о максимуме произведения степеней кон- формных
радиусов неналегающих областей // Зап. науч. семин. ПОМИ, 286 (2002),
103–114.
[21] A. K. Bakhtin, I. V. Denega, Addendum to a theorem on extremal decomposition
of the complex plane // Bulletin de la société des sciences et des lettres de Lódź,
Recherches sur les déformations, 62 (2012), No. 2, 83–92.
[22] I. V. Denega, Generalization of some extremal problems on non-overlapping
domains with free poles // Annales universitatis Mariae Curie-Skladovska, Lublin-
Polonia, LXVII (2013), No. 1, 11–22.
[23] A. Bakhtin, I. Dvorak, I. Denega, Separating transformation and extremal
decomposition of the complex plane // Bulletin de la societe des sciences et des
lettres de Lodz, Recherches sur les deformations, LXVI (2016), No. 2, 13–20.
[24] A. Bakhtin, L. Vygivska, I. Denega, N-Radial Systems of Points and Problems for
Non-Overlapping Domains // Lobachevskii Journal of Mathematics, 38 (2017),
No. 2, 229–235.
[25] A. K. Bahtin, Ya. V. Zabolotnii, Estimates of a product of the inner radii of
nonoverlapping domains // Ukr. Mat. Visn., 13 (2016), No. 2, 148–156; transl.
in Journal of Mathematical Sciences, 221 (2017), No. 5, 623–629.
[26] А. К. Бахтин, Неравенства для внутренних радиусов неналегающих обла-
стей и открытых множеств // Доп. НАН України, (2006), No. 10, 7–13.
А. К. Бахтин 329
Сведения об авторах
Александр
Константинович
Бахтин
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: abahtin@imath.kiev.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169362 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| isbn | 2010 MSC. 30C75 |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:36:56Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бахтин, А.К. 2020-06-10T17:23:18Z 2020-06-10T17:23:18Z 2017 Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов / А.К. Бахтин // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 309-329. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 2010 MSC. 30C75 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169362 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов Extremal decomposition of the complex plane with restrictions for free poles Article published earlier |
| spellingShingle | Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов Бахтин, А.К. |
| title | Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов |
| title_alt | Extremal decomposition of the complex plane with restrictions for free poles |
| title_full | Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов |
| title_fullStr | Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов |
| title_full_unstemmed | Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов |
| title_short | Экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов |
| title_sort | экстремальное разбиение комплексной плоскости с ограничениями для свободных полюсов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169362 |
| work_keys_str_mv | AT bahtinak ékstremalʹnoerazbieniekompleksnoiploskostisograničeniâmidlâsvobodnyhpolûsov AT bahtinak extremaldecompositionofthecomplexplanewithrestrictionsforfreepoles |