Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞
Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі L∞ за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, які підпорядковані деяким умовам. We obtain exact-order estimates of the approximation of the classes BΩp,θ o...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169364 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ / О.В. Федуник-Яремчук, К.В. Соліч // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 345-360. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859995806941052928 |
|---|---|
| author | Федуник-Яремчук, О.В. Соліч, К.В. |
| author_facet | Федуник-Яремчук, О.В. Соліч, К.В. |
| citation_txt | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ / О.В. Федуник-Яремчук, К.В. Соліч // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 345-360. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі L∞ за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, які підпорядковані деяким умовам.
We obtain exact-order estimates of the approximation of the classes BΩp,θ of periodic functions of several variables in the space L∞, by using operators of orthogonal projection, as well as linear operators subjected to some conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:34:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 3, 345 – 360
Оцiнки апроксимативних характеристик
класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй
багатьох змiнних iз заданою мажорантою
мiшаних модулiв неперервностi у просторi L∞
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч
(Представлена В. Я. Гутлянським)
Анотацiя. Oдержано точнi за порядком оцiнки наближення класiв
BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi L∞ за допо-
могою операторiв ортогонального проектування, а також лiнiйних
операторiв, якi пiдпорядкованi деяким умовам.
2010 MSC. 42B99.
Ключовi слова та фрази. Ортопроекцiйний поперечник, мiшаний
модуль неперервностi, лiнiйний оператор, ядро Валле Пуссена, ядро
Фейєра.
1. Вступ
Нехай Lp(πd), 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-перiодичних по кожнiй
змiннiй i сумовних у степенi p на кубi πd =
d∏
j=1
[0; 2π] функцiй f(x) =
f(x1, ..., xd), в якому норма визначається таким чином
∥f∥Lp(πd) = ∥f∥p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
) 1
p
.
Вiдповiдно L∞(πd) — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй сут-
тєво обмежених функцiй f(x) = f(x1, ..., xd) з нормою
∥f∥L∞(πd) = ∥f∥∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Стаття надiйшла в редакцiю 03.08.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
346 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
Всюди далi будемо вважати, що для функцiй f ∈ Lp(πd) викону-
ється додаткова умова∫ 2π
0
f(x)dxj = 0 , j = 1, d.
Для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, i t = (t1, ..., td), tj ≥ 0, j = 1, d,
розглянемо мiшаний модуль неперервностi порядку l
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
∥∆l
hf(·)∥p,
де l ∈ N, ∆l
hf(x) = ∆l
h1
. . .∆l
hd
f(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))) — мiшана
рiзниця порядку l з векторним кроком h = (h1, . . . , hd), а рiзниця l−го
порядку з кроком hj за змiнною xj визначається наступним чином
∆l
hj
f(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного моду-
ля неперервностi порядку l, яка задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d .
Будемо вважати, що Ω(t) задовольняє також умови (S) i (Sl), якi
називають умовами Барi–Стєчкiна [1]. Це означає наступне.
Функцiя однiєї змiнної φ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (S), якщо
φ(τ)/τα майже зростає при деякому α > 0, тобто iснує така неза-
лежна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0, що
φ(τ1)
τα1
≤ C1
φ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Функцiя φ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), якщо φ(τ)/τγ майже
спадає при деякому 0 < γ < l, тобто iснує така незалежна вiд τ1 i τ2
стала C2 > 0, що
φ(τ1)
τγ1
≥ C2
φ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 347
Будемо говорити, що Ω(t) задовольняє умови (S) i (Sl), якщо Ω(t)
задовольняє цi умови по кожнiй змiннiй tj при фiксованих ti, i ̸= j.
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а Ω(t) — задана функцiя типу мi-
шаного модуля неперервностi порядку l. Тодi класи BΩ
p,θ означаються
наступним чином [2]:
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,θ
≤ 1
}
,
де
∥f∥BΩ
p,θ
=
{∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
} 1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
∥f∥BΩ
p,∞
= sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
,
(запис t > 0 для t = (t1, ..., td) рiвносильний tj > 0, j = 1, d).
Зазначимо, що при θ = ∞ класи BΩ
p,θ спiвпадають з класами HΩ
p , якi
були розглянутi М. М. Пустовойтовим в [3].
В подальших мiркуваннях нам буде зручно користуватися еквiва-
лентним (з точнiстю до абсолютних сталих) означенням класiв BΩ
p,θ.
Для цього нам знадобляться вiдповiднi позначення.
Кожному вектору s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть множину
ρ(s) =
{
k = (k1, ..., kd) : 2
sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z, j = 1, d
}
i для f ∈ Lp(πd), 1 < p <∞, позначимо
δs(f) := δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
де
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f , (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd.
Отже, нехай 1 < p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) — задана функцiя типу
мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови
(S) i (Sl). Тодi з точнiстю до абсолютних сталих класи BΩ
p,θ можна
означити наступним чином [2]:
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)∥δs(f)∥θp
) 1
θ
≤ 1
}
(1.1)
348 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
при 1 ≤ θ <∞ та
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,∞
= sup
s
∥δs(f)∥p
Ω(2−s)
≤ 1
}
. (1.2)
Тут i надалi Ω(2−s) = Ω(2−s1 , ..., 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Наведенi означення класiв BΩ
p,θ можна поширити i на крайнi ви-
падки p = 1 i p = ∞, дещо змiнивши в (1.1) i (1.2) "блоки" δs(f).
Нехай Vn(t) позначає ядро Валле Пуссена порядку 2n− 1, тобто
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k − n
n
)
cos kt.
Кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть полiном
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V
2sj−1(xj)
)
i для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, покладемо
As(f) := As(f, x) = (f ∗As)(x).
Тодi з точнiстю до абсолютних сталих класи BΩ
p,θ, 1 ≤ p ≤ ∞, мо-
жна означити наступним чином:
BΩ
p,θ=
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)∥As(f)∥θp
) 1
θ
≤ 1
}
(1.3)
при 1 ≤ θ <∞ та
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,∞
= sup
s
∥As(f)∥p
Ω(2−s)
≤ 1
}
. (1.4)
Зазначимо, що спiввiдношення (1.3) i (1.4) були отриманi в робо-
тах [4] i [3] вiдповiдно.
Зауважимо також, що при Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j , 0 < rj < l, класи BΩ
p,θ є
аналогами вiдомих класiв Бєсова Br
p,θ, 1 ≤ θ < ∞ та Нiкольського
Br
p,∞ = Hr
p (див., наприклад, [5]).
Нижче будемо дослiджувати класи BΩ
p,θ, якi визначаються фун-
кцiєю Ω(t) такого вигляду:
Ω(t) = Ω(t1, ..., td) =
d∏
j=1
trj(
log 1
tj
)bj
+
, якщо tj > 0, j = 1, d;
0, якщо
d∏
j=1
tj = 0.
(1.5)
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 349
Тут i надалi розглядаються логарифми за основою 2, i(
log
1
tj
)
+
= max
{
1, log
1
tj
}
.
Крiм цього будемо вважати, що 0 < r < l, а значить для функцiї
Ω(t) вигляду (1.5) виконуються властивостi 1 – 4 i умови (S) та (Sl).
Метою роботи є встановлення точних за порядком оцiнок орто-
проекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ, 1 ≤ p <∞, в просторi L∞. На-
гадаємо, що поняття ортопроекцiйного поперечника ввiв В. М. Тем-
ляков [6].
Нехай {ui}Mi=1 — ортонормована система функцiй ui ∈ L∞(πd), f ∈
Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞. Покладемо
(f, ui) = (2π)−d
∫
πd
f(x)ui(x)dx,
де ui− функцiя комплексно-спряжена до функцiї ui.
Кожнiй функцiї f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, поставимо у вiдповiднiсть
апарат наближення вигляду
M∑
i=1
(f, ui)ui, тобто ортогональну прое-
кцiю функцiї f на пiдпростiр, породжений системою функцiй {ui}Mi=1.
Тодi для функцiонального класу F ⊂ Lq(πd) величина
d⊥M (F,Lq) = inf
{ui}Mi=1
sup
f∈F
∥∥∥∥f −
M∑
i=1
(f, ui)ui
∥∥∥∥
q
(1.6)
називається ортопроекцiйним поперечником (Фур’є–поперечником)
цього класу у просторi Lq(πd).
У роботi, крiм ортопроекцiйних поперечникiв, будемо дослiджу-
вати величини dBM (F,Lq), розглянутi також В. М. Темляковим (див.,
наприклад, [7]), i якi визначаються наступним чином:
dBM (F,Lq) = inf
G∈LM (B)q
sup
f∈F∩D(G)
∥f −Gf∥q . (1.7)
Через LM (B)q тут позначено множину лiнiйних операторiв, якi задо-
вольняють умови:
а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi триго-
нометричнi полiноми, а їх область значень мiститься у пiдпросторi
розмiрностi M простору Lq(πd);
б) iснує число B ≥ 1 таке, що для всiх векторiв k = (k1, . . . , kd),
kj ∈ Z, j = 1, d, виконується нерiвнiсть
∥∥Gei(k,·)∥∥
2
≤ B.
350 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
Зазначимо, що до LM (1)2 належать оператори ортогонального
проектування на простори розмiрностi M , а також оператори, якi
задаються на ортонормованiй системi функцiй за допомогою мульти-
плiкатора, який визначається послiдовнiстю {λm} такою, що |λm| ≤ 1
для всiх m.
Iз (1.6) i (1.7) легко бачити, що величини d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq)
пов’язанi мiж собою нерiвнiстю
dBM (F,Lq) ≤ d⊥M (F,Lq). (1.8)
На сьогоднi вiдомо багато робiт, в яких дослiджувалися величини
d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq) для тих чи iнших класiв функцiй. Тут згадає-
мо роботи [7–11], в яких вивчались величини (1.6) i (1.7) для класiв
функцiй багатьох змiнних W r
p,α, Hr
p , Br
p,θ та HΩ
p , i в яких можна озна-
йомитись з бiльш детальною бiблiографiєю. Для класiв функцiй HΩ
p ,
BΩ
p,θ двох змiнних, якi визначаються функцiєю Ω(t), що задана фор-
мулою (1.5), оцiнки величин (1.6) i (1.7) були знайденi вiдповiдно в
роботах [12] i [13]. Величини d⊥M (BΩ
p,θ, Lq) i dBM (BΩ
p,θ, Lq) для класiв
функцiй багатьох змiнних iз заданою функцiєю Ω(t) виду (1.5) при
умовi, що bj < r, j = 1, d, розглядались в роботах [14–17].
2. Допомiжнi твердження
Наведемо кiлька вiдомих тверджень, якi будемо використовувати
у подальших мiркуваннях.
Як зазначалось вище, Ω(t) – функцiя виду (1.5). Для натураль-
ного N покладемо
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d, Ω(2−s) ≥ 1
N
}
,
Q(N) =
∪
s∈χ(N)
ρ(s).
Зазначимо, що наближення певних класiв перiодичних функцiй
багатьох змiнних iз мiшаною узагальненою гладкiстю тригонометри-
чними полiномами з “номерами” гармонiк з множин, якi є аналогами
Q(N), було розпочато в роботi [18], а згодом наближення тригономе-
тричними полiномами з “номерами” гармонiк з множин Q(N) вивча-
лись в роботах [14,19,20] та iнших.
Має мiсце твердження.
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 351
Лема 2.1. [11] Для кiлькостi елементiв множини Q(N) виконую-
ться порядковi рiвностi:
|Q(N)| ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
+ν−1
,
якщо b1 ≤ . . . ≤ bν < r < bν+1 ≤ . . . ≤ bd;
|Q(N)| ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r ,
якщо r ≤ b1 ≤ . . . ≤ bd, b2 > r.
Тут i далi для додатних функцiй µ1(N) та µ2(N) запис µ1 ≪ µ2
означає, що iснує стала C > 0 така, що ∀N ∈ N виконується нерiв-
нiсть µ1(N) ≤ Cµ2(N). Спiввiдношення µ1 ≍ µ2 рiвносильне тому, що
виконуються порядковi нерiвностi µ1 ≪ µ2 та µ1 ≫ µ2. Зауважимо
також, що всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися у робо-
тi, можуть залежати тiльки вiд параметрiв, що входять в означення
класу та розмiрностi d простору Rd.
Для формулювання наступних тверджень зауважимо, що згiдно
(1.5) означення множини χ(N) запишеться наступним чином:
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
d∏
j=1
2rsjs
bj
j ≤ N
}
.
Вiдповiдно
χ⊥(N) = Nd \ χ(N).
Далi, нехай
Θ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
1
2lN
≤ Ω(2−s) <
1
N
}
.
У [21] встановлено, що для кiлькостi елементiв множини Θ(N) має
мiсце порядкова рiвнiсть
|Θ(N)| ≍ (logN)d−1.
Лема 2.2. [11] Для функцiї Ω(t), яка визначена рiвнiстю (1.5) при
0 < β < r, 0 < p <∞ справедливе спiввiдношення∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2∥s∥1β
)p ≪ ∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)2∥s∥1β
)p
,
де ||s||1 = s1 + . . .+ sd.
352 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
Лема 2.3. [11] Якщо γ1 ≤ . . . ≤ γν < 1 < γν+1 ≤ . . . ≤ γd, то
∑
s∈Θ(N)
d∏
j=1
s
−γj
j ≍
(
logN
)−γ1−...−γν+ν−1
.
Якщо 1 ≤ γ1 ≤ . . . ≤ γd, γ2 > 1, то
∑
s∈Θ(N)
d∏
j=1
s
−γj
j ≍
(
logN
)−γ1 .
Теорема 2.1. [22] Нехай Tn – тригонометричний полiном порядку
n = (n1, . . . , nd), тобто
Tn(x) =
∑
|k1|≤n1
. . .
∑
|kd|≤nd
ck1,...,kde
i(k,x),
де nj, j = 1, d, — натуральнi числа, ck1,...,kd — довiльнi коефiцiєнти.
Тодi при 1 ≤ p < q ≤ ∞ виконується нерiвнiсть
∥Tn∥q ≤ 2d
( d∏
j=1
nj
) 1
p
− 1
q
∥Tn∥p . (2.1)
Нерiвнiсть (2.1) була встановлена С.М. Нiкольським i отрима-
ла назву “нерiвностi рiзних метрик”. В одновимiрному випадку при
p = ∞ вiдповiдну нерiвнiсть довiв Д. Джексон [23].
3. Основнi результати
Переходячи до формулювання i доведення отриманих результатiв
будемо вважати, що M = |Q(N)|. Cпочатку розглянемо випадок b1 ≤
. . . ≤ bν < r < bν+1 ≤ . . . ≤ bd. Тодi, згiдно з лемою 2.1, отримаємо
M ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
+ν−1
,
logM ≍ logN, N ≍M r
(
logM
)b1+...+bν−(ν−1)r
.
Теорема 3.1. Нехай 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < ∞, а Ω(t) — функцiя
виду (1.5). Тодi при 1
p < r < l,
bj
rp > 1, j = ν + 1, . . . , d, мають мiсце
спiввiдношення
d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) ≍ dBM (BΩ
p,θ, L∞)
≍M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1−...−bν+(ν−1)
(
r+1− 1
p
− 1
θ
)
. (3.1)
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 353
Доведення. Встановимо спочатку в (3.1) оцiнки зверху. Згiдно (1.8)
достатньо встановити оцiнку зверху для ортопроекцiйного попере-
чника d⊥M (BΩ
p,θ, L∞). З цiєю метою розглянемо наближення функцiй
f ∈ BΩ
p,θ тригонометричними полiномами tQ(N) виду
tQ(N)(x) =
∑
s∈χ(N)
δs(f, x).
Нехай q0 — довiльне число, яке задовольняє умову p < q0 <∞. То-
дi, скориставшись нерiвнiстю Мiнковского, нерiвнiстю рiзних метрик
Нiкольського, а також спiввiдношенням
∥δs(f)∥q0 ≍ ∥As(f)∥q0 , 1 < q0 <∞,
для f ∈ BΩ
p,θ будемо мати
∥f − tQ(N)∥∞ =
∥∥∥∥f −
∑
s∈χ(N)
δs(f)
∥∥∥∥
∞
≤
∑
s∈χ⊥(N)
∥δs(f)∥∞
≪
∑
s∈χ⊥(N)
2
∥s∥1
q0 ∥δs(f)∥q0 ≍
∑
s∈χ⊥(N)
2
∥s∥1
q0 ∥As(f)∥q0
≪
∑
s∈χ⊥(N)
2
∥s∥1
q0 2
∥s∥1
(
1
p
− 1
q0
)
∥As(f)∥p
=
∑
s∈χ⊥(N)
Ω(2−s)2
∥s∥1
p Ω−1(2−s)∥As(f)∥p = I1.
Застосувавши до I1 нерiвнiсть Гельдера з показником θ (з приро-
дною модифiкацiєю при θ = 1) i скориставшись лемою 2.2, одержимо
I1 ≤
( ∑
s∈χ⊥(N)
Ω−θ(2−s)∥As(f)∥θp
) 1
θ
( ∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2
∥s∥1
p
) θ
θ−1
)1− 1
θ
≪ ∥f∥BΩ
p,θ
( ∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2
∥s∥1
p
) θ
θ−1
)1− 1
θ
≪
( ∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)2
∥s∥1
p
) θ
θ−1
)1− 1
θ
≪ N−1
( ∑
s∈Θ(N)
2
∥s∥1 θ
p(θ−1)
)1− 1
θ
= I2.
Далi враховуючи, що для s ∈ Θ(N)
2∥s∥1 ≍ N
1
r
d∏
j=1
s
−
bj
r
j ,
354 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
i скориставшись лемою 2.3 iз bj
rp > 1, j = ν + 1, . . . , d, будемо мати
I2 ≍ N
−1+ 1
rp
( ∑
s∈Θ(N)
d∏
j=1
s
−
bjθ
rp(θ−1)
j
)1− 1
θ
≍ N
−1+ 1
rp
(
logN
)− b1
pr
−...− bν
pr
+(ν−1)
(
1− 1
θ
)
≍
(
M r
(
logM
)b1+...+bν−(ν−1)r
)−1+ 1
pr (
logM
)− b1
pr
−...− bν
pr
+(ν−1)
(
1− 1
θ
)
=M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1−...−bν+(ν−1)
(
r+1− 1
p
− 1
θ
)
.
Таким чином, згiдно з означенням ортопроекцiйного поперечника
з проведених мiркувань отримаємо оцiнку зверху для d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) i
вiдповiдно для величини dBM (BΩ
p,θ, L∞).
Перейдемо до встановлення в (3.1) оцiнок знизу. Оскiльки має
мiсце нерiвнiсть (1.8), то достатньо отримати оцiнку знизу для вели-
чини dBM (BΩ
p,θ, L∞).
За допомогою мiркувань, аналогiчних до тих, що були проведенi
в [24], можна показати iснування такої множини Θ1(N) ⊂ Θ(N), що
для s = (s1, ..., sd) ∈ Θ1(N) будуть виконуватись спiввiдношення
sj ≍ logN, j = 1, d i |Θ1(N)| ≍
(
logN
)d−1
.
Аналогiчно можна стверджувати, що iснує множина
Θ
(ν)
1 (N)={s ∈ Θ(N) : sj ≍ logN, j = 1, . . . , ν, sj = 1, j = ν+1, . . . , d}
така, що
|Θ(ν)
1 (N)| ≍
(
logN
)ν−1
.
Нехай Kn — ядро Фейєра порядку n, тобто
Kn(t) =
∑
|k|≤n
(
1− |k|
n+ 1
)
eikx.
Покладемо
g1(x) =
∑
s∈Θ(ν)
1 (N)
K(ν)
s (x)
d∏
j=ν+1
eixj ,
де
K(ν)
s (x) =
ν∏
j=1
eik
sj
j xjK
2sj−2(xj),
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 355
k
sj
j =
{
2sj−1 + 2sj−2, sj ≥ 2;
1, sj = 1, j = 1, ν.
Розглянемо функцiю
g2(x) = C3N
−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
) 1
p
−1(
logN
)− ν−1
θ g1(x), C3 > 0,
i покажемо, що при вiдповiдному виборi сталої C3 вона належить до
класу BΩ
p,θ.
Дiйсно, скориставшись тим, що для ядра Фейєра
||Kn||p ≍ n
1− 1
p , 1 ≤ p ≤ ∞,
будемо мати ∥∥∥K(ν)
s
∥∥∥
p
≍ 2
∥s∥1
(
1− 1
p
)
, 1 ≤ p ≤ ∞,
i, таким чином, можемо записати
∥g2∥BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)∥As(g2)∥θp
) 1
θ
≪ N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
) 1
p
−1(
logN
)− ν−1
θ
×
∑
s∈Θ(ν)
1 (N)
Ω−θ(2−s)∥As(g1)∥θp
1
θ
≪
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
) 1
p
−1(
logN
)− ν−1
θ
×
∑
s∈Θ(ν)
1 (N)
2
∥s∥1
(
1− 1
p
)
θ
1
θ
= I3. (3.2)
Тепер враховуючи, що для s ∈ Θ
(ν)
1 (N) ⊂ Θ(N) виконуються спiввiд-
ношення
2∥s∥1 ≍ N
1
r
d∏
j=1
s
−
bj
r
j
i
sj ≍ logN, j = 1, . . . , ν, sj = 1, j = ν+1, . . . d, |Θ(ν)
1 (N)| ≍
(
logN
)ν−1
,
356 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
будемо мати
I3 ≍
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
) 1
p
−1(
logN
)− ν−1
θ
×
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
)1− 1
p |Θ(ν)
1 (N)|
1
θ
≍
(
logN
)− ν−1
θ
(
logN
) ν−1
θ = 1. (3.3)
Тому спiвставляючи (3.2) i (3.3) приходимо до висновку, що g2 ∈
BΩ
p,θ iз вiдповiдною сталою C3 > 0.
У роботi [11] встановлено, що iснує вектор y∗ = (y∗1, ..., y
∗
d) такий,
що для G ∈ LM (B)∞ виконується спiввiдношення
∥g1(x− y∗)−Gg1(x− y∗)∥∞ ≫M. (3.4)
Таким чином, скориставшись оцiнкою (3.4), отримаємо
∥g2(x− y∗)−Gg2(x− y∗)∥∞
≫ N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
+ν−1
) 1
p
−1(
logN
)(ν−1)
(
1− 1
p
− 1
θ
)
×∥g1(x− y∗)−Gg1(x− y∗)∥∞
≫M−r( logM)−b1−...−bν+(ν−1)r
M
1
p
−1(
logM
)(ν−1)
(
1− 1
p
− 1
θ
)
M
=M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1−...−bν+(ν−1)
(
r+1− 1
p
− 1
θ
)
.
Оцiнки знизу в (3.1) встановлено. Теорему 3.1 доведено.
В наступному твердженнi розглянемо iншi спiввiдношення мiж
числами r, b1, . . . , bd. Тобто нехай r ≤ b1 ≤ . . . ≤ bd, b2 > r. В цьому
випадку, згiдно з лемою 2.1, отримаємо
M ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r ,
logM ≍ logN, N ≍M r
(
logM
)b1 .
Припустимо, що
b1 = . . . = bν < bν+1 ≤ . . . ≤ bd.
Тодi для ν = 1 буде виконуватись r ≤ b1 < b2. Якщо ж ν ≥ 2, то
b1 > r.
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 357
Теорема 3.2. Нехай 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < ∞, а Ω(t)− функцiя виду
(1.5). Тодi при 1
p < r < l, b2rp > 1 мають мiсце спiввiдношення
d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) ≍ dBM (BΩ
p,θ, L∞) ≍M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1 . (3.5)
Доведення. Оскiльки при 1 ≤ θ < ∞ виконується вкладення BΩ
p,θ ⊂
HΩ
p , то оцiнки зверху в (3.5) випливають iз вiдповiдної оцiнки
d⊥M (HΩ
p , L∞), одержаної в [11].
Для доведення в (3.5) оцiнок знизу, достатньо отримати оцiнку
знизу для величини dBM (BΩ
p,θ, L∞).
Виберемо вектор s̃ = (s̃1, . . . , s̃d) ∈ Θ(N) таким чином, щоб
s̃1 ≍ logN, s̃2 = . . . = s̃d = 1,
i покладемо
g3(x) = Ks̃(x) = ei(k
s̃,x)K2s̃1−2(x1),
де ks̃ = (2s̃1−1 + 2s̃1−2, 1, . . . , 1).
Розглянемо функцiю
g4(x) = C4N
−12
||s̃||1
(
1
p
−1
)
g3(x), C4 > 0.
Покажемо, що функцiя g4 при вiдповiдному виборi сталої C4 на-
лежить до класу BΩ
p,θ.
Дiйсно, скориставшись властивостями ядра Фейєра, будемо мати
∥g4∥BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)∥As(g4)∥θp
) 1
θ
≪ N−12
||s̃||1
(
1
p
−1
) (
Ω−θ(2−s̃)∥As̃(g3)∥θp
) 1
θ
≪ 2
||s̃||1
(
1
p
−1
)
∥As̃(g3)∥p ≍ 2
||s̃||1
(
1
p
−1
)
2
||s̃||1
(
1− 1
p
)
= 1.
Отже, g4 ∈ BΩ
p,θ з вiдповiдною сталою C4 > 0.
У роботi [11] встановлено, що iснує вектор y∗ = (y∗1, ..., y
∗
d) такий,
що для G ∈ LM (B)∞ виконується спiввiдношення
∥g3(x− y∗)−Gg3(x− y∗)∥∞ ≫M. (3.6)
Враховуючи, що
2∥s̃∥1 ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r ,
358 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
а також скориставшись оцiнкою (3.6), отримаємо
∥g4(x− y∗)−Gg4(x− y∗)∥∞
≫ N−12
||s̃||1
(
1
p
−1
)
∥g3(x− y∗)−Gg3(x− y∗)∥∞
≫M−r( logM)−b1M 1
p
−1
M =M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1 .
Оцiнки знизу в (3.5) встановлено. Теорему 3.2 доведено.
Зауваження 3.1. Результати теорем 3.1 i 3.2 для класiв HΩ
p вста-
новленi М. М. Пустовойтовим в [11], причому при виконаннi умов
теореми 3.2 мають мiсце порядковi рiвностi
d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) ≍ dBM (BΩ
p,θ, L∞) ≍ d⊥M (HΩ
p , L∞) ≍ dBM (HΩ
p , L∞),
тобто оцiнки величин d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) i dBM (BΩ
p,θ, L∞) не залежать вiд
параметра θ.
Лiтература
[1] Н. К. Бари, С. Б. Стечкин, Наилучшие приближения и дифференциальные
свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва, 5 (1956), 483–
522.
[2] S un Yongsheng, Wang Heping, Representation and approximation of multivariate
periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та
им. В.А. Стеклова, 219 (1997), 356–377.
[3] Н. Н. Пустовойтов, Представление и приближение периодических функций
многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности //
Anal. Math., 20, (1994), 35–48.
[4] С. А. Стасюк, О. В. Федуник, Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн., 58 (2006), No. 5,
692–704.
[5] П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной глад-
кости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стекло-
ва, 187 (1989), 143–161.
[6] В. Н. Темляков, Поперечники некоторых классов функций нескольких пере-
менных // Докл. АН СССР, 267 (1982), No. 2, 314–317.
[7] В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной произво-
дной // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова, 178 (1986), 1–112.
[8] В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций
с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та им.
В.А.Стеклова, 189 (1989), 138–168.
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 359
[9] А. С. Романюк, Наилучшие приближения и поперечники классов периоди-
ческих функций многих переменных // Мат. сб., 199 (2008), No. 2, 93–114.
[10] А. С. Романюк, Поперечники и наилучшие приближения классов Brp,θ пери-
одических функций многих переменных // Anal. Math., 37 (2011), 181–213.
[11] Н. Н. Пустовойтов, Ортопоперечники классов многомерных периодических
функций, мажоранта смешанных модулей непрерывности которых содер-
жит как степенные, так и логарифмические множители // Anal. Math.,
34 (2008), 187–224.
[12] Н. Н. Пустовойтов, Ортопоперечники некоторых классов периодических
функций двух переменных с заданной мажорантой смешанных модулей не-
прерывности // Изв. РАН. Серия матем., 64 (2000), 123–144.
[13] А. Ф. Конограй, Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ пе-
рiодичних функцiй двох змiнних iз заданою мажорантою мiшаних модулiв
неперервностi // Укр. мат. журн., 63 (2011), No. 2, 176–186.
[14] А. Ф. Конограй, Оценки аппроксимативных характеристик классов BΩ
p,θ пе-
риодических функций многих переменных с заданной мажорантой смешан-
ных модулей непрерывности // Мат. заметки, 95 (2014), No. 5, 734–749.
[15] А. Ф. Конограй, О. В. Федуник–Яремчук, Оцiнки апроксимативних хара-
ктеристик класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою
мажорантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення фун-
кцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 10
(2013), No. 1, 148–160.
[16] А. Ф. Конограй, О. В. Федуник–Яремчук, Оцiнки ортопроекцiйних попере-
чникiв класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою мажо-
рантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення функцiй та
сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 11 (2014), No. 3,
146–165.
[17] А. Ф. Конограй, О. В. Федуник–Яремчук, Оцiнки ортопроекцiйних попере-
чникiв класiв BΩ
∞,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою ма-
жорантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення функцiй
та сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 12 (2015),
No. 4, 205–215.
[18] А. С. Романюк, О приближении классов периодических функций многих пе-
ременных // Укр. мат. журн., 44 (1992), No. 5, 662–672.
[19] С. А. Стасюк, Наилучшие приближения периодических функций многих пе-
ременных из классов BΩ
p,θ // Мат. заметки, 87 (2010), No. 1, 108–121.
[20] С. А. Стасюк, Приближение суммами Фурье и колмогоровские поперечники
классов MBΩ
p,θ периодических функций нескольких переменных // Тр. ИММ
УрО РАН, 20 (2014), No. 1, 247-257.
360 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
[21] Н. Н. Пустовойтов, Приближение многомерных функций с заданной ма-
жорантой смешанных модулей непрерывности // Мат. заметки, 65 (1999),
No. 1, 107–117.
[22] С. М. Никольский, Неравенства для целых функций конечной степени и их
применение в теории дифференцируемых функций многих переменных //
Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 38 (1951), 244–278.
[23] D. Jakson, Certain problem of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc.,
39 (1933), 889–906.
[24] Н. Н. Пустовойтов, О приближении и характеризации периодических фун-
кций многих переменных, имеющих мажоранту смешанных модулей непре-
рывности специального вида // Anal. Math., 29 (2003), 201–218.
Вiдомостi про авторiв
Оксана
Володимирiвна
Федуник-Яремчук
Схiдноєвропейський нацiональний
унiверситет iменi Лесi Українки,
Луцьк, Україна
E-Mail: fedunyk@ukr.net
Катерина
Василiвна Солiч
Схiдноєвропейський нацiональний
унiверситет iменi Лесi Українки,
Луцьк, Україна
E-Mail: solichkatia@gmail.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169364 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:34:46Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Федуник-Яремчук, О.В. Соліч, К.В. 2020-06-10T17:33:31Z 2020-06-10T17:33:31Z 2017 Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ / О.В. Федуник-Яремчук, К.В. Соліч // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 345-360. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 42B99 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169364 Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі L∞ за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, які підпорядковані деяким умовам. We obtain exact-order estimates of the approximation of the classes BΩp,θ of periodic functions of several variables in the space L∞, by using operators of orthogonal projection, as well as linear operators subjected to some conditions. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ Estimates of approximative characteristics of the classes BΩp,θ of periodic functions of many variables with given majorant of mixed continuity moduli in the space L∞ Article published earlier |
| spellingShingle | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ Федуник-Яремчук, О.В. Соліч, К.В. |
| title | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_alt | Estimates of approximative characteristics of the classes BΩp,θ of periodic functions of many variables with given majorant of mixed continuity moduli in the space L∞ |
| title_full | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_fullStr | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_full_unstemmed | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_short | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_sort | оцінки апроксимативних характеристик класів bωp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі l∞ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169364 |
| work_keys_str_mv | AT fedunikâremčukov ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbωpθperíodičnihfunkcíibagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervnostíuprostoríl AT solíčkv ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbωpθperíodičnihfunkcíibagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervnostíuprostoríl AT fedunikâremčukov estimatesofapproximativecharacteristicsoftheclassesbωpθofperiodicfunctionsofmanyvariableswithgivenmajorantofmixedcontinuitymoduliinthespacel AT solíčkv estimatesofapproximativecharacteristicsoftheclassesbωpθofperiodicfunctionsofmanyvariableswithgivenmajorantofmixedcontinuitymoduliinthespacel |