Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде
В работе рассмотрены решения стохастического дифференциального уравнения Ито в случайной среде. Случайная среда формируется обобщённым телеграфным процессом. Доказано, что исходная задача равносильна системе двух стохастических дифференциальных уравнений с неслучайными коэффициентами. Первое уравнен...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169366 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде / С.Я. Махно, С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 370-398. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859588360687845376 |
|---|---|
| author | Махно, С.Я. Мельник, С.А. |
| author_facet | Махно, С.Я. Мельник, С.А. |
| citation_txt | Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде / С.Я. Махно, С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 370-398. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | В работе рассмотрены решения стохастического дифференциального уравнения Ито в случайной среде. Случайная среда формируется обобщённым телеграфным процессом. Доказано, что исходная задача равносильна системе двух стохастических дифференциальных уравнений с неслучайными коэффициентами. Первое уравнение является уравнением Ито и его решением является исходный процесс. Второе уравнение является уравнением с пуассововской компонентой и его решением является обобщенный телеграфный процесс. Приведены теоремы существования и единственности как сильных, так и слабых решений.
Solutions of the Ito stochastic differential equation in a random environment are considered. The random environment is formed by the generalized telegraph process. It is proved that the initial problem is equivalent to a system of two stochastic differential equations with nonrandom coefficients. The first equation is the Ito equation, and the initial process is its solution. The second equation is an equation with Poisson process, and its solution is a generalized telegraph process. The theorems of existence and uniqueness of strong and weak solutions are proved.
|
| first_indexed | 2025-11-27T11:42:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 3, 370 – 398
Стохастическое дифференциальное уравнение
в случайной среде
Сергей Я. Махно, Сергей А. Мельник
Аннотация. В работе рассмотрены решения стохастического диф-
ференциального уравнения Ито в случайной среде. Случайная среда
формируется обобщённым телеграфным процессом. Доказано, что
исходная задача равносильна системе двух стохастических диффе-
ренциальных уравнений с неслучайными коэффициентами. Первое
уравнение является уравнением Ито и его решением является исхо-
дный процесс. Второе уравнение является уравнением с пуассовов-
ской компонентой и его решением является обобщенный телегра-
фный процесс. Приведены теоремы существования и единственности
как сильных, так и слабых решений.
2010 MSC. 60H10, 60G57.
Ключевые слова и фразы. Стохастическое уравнение, случайная
среда, телеграфный процесс, сильное решение, слабое решение.
1. Введение
Типичным подходом при изучении стохастических уравнений в
случайной среде является включение случайной переменной в коэф-
фициенты уравнения. Стохастические дифференциальные уравнения
со случайными коэффициентами изучались многими исследователя-
ми. Одним из ключевых вопросов является вопрос существования и
единственности их решений. Классическим результатом в этой обла-
сти является [2, Теорема 9, с. 254]. Здесь от коэффициентов требуе-
тся выполнение с вероятностью 1 условий линейной ограниченности
и липшицевости с неслучайными константами. Это означает, что вли-
яние случая на коэффициенты уравнения ограничено. В работе [11,
Теорема 4.1, с. 241] рассмотрено уравнение со случайным коэффици-
ентом дрейфа и неслучайным коэффициентом диффузии. Коэффи-
циент дрейфа должен быть с вероятностью 1 линейно ограничен и
Статья поступила в редакцию 30.08.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
С. Я. Махно, С. А. Мельник 371
удовлетворять условию Липшица со случайной константой. Это ра-
сширяет класс рассматриваемых уравнений. Но, как известно, усло-
вие Липшица является жёстким условием и многие математические
модели реальных объектов не удовлетворяют этому требованию. В
рассмотренном в монографии [8, с. 63–73] уравнении от случая зави-
сит как коэффициент дрейфа, так и коэффициент диффузии. Нало-
женные здесь условия A и B слабее условия Липшица со случайной
константой, но для их проверки нужно установить существование
вспомогательных функций V (x) и Q(x), что является непростой за-
дачей. В работе [15, Теорема 2.1, с. 12] рассмотрено уравнение, содер-
жащее помимо диффузионной составляющей ещё и пуассоновскую
компоненту. От коэффициента дрейфа, как и в классическом случае,
требуется выполнение условий линейной ограниченности и липши-
цевости с неслучайными константами. На коэффициент диффузии
наложено условие Гёльдера, но также с неслучайной константой.
Включение случайного параметра в коэффициенты уравнения в
качестве независимой переменной затрудняет исследование вероятно-
стных характеристик решения задачи. По этой причине применяют
иной подход к формированию математической модели: коэффициен-
ты рассматриваемого уравнения являются неслучайными функция-
ми, зависящими не только от фазовой переменной, но и от другого
случайного процесса, характеризующего изменчивость среды. Таким
процессом, например, может являться обобщённый телеграфный про-
цесс. Обобщенным телеграфным процессом мы, следуя [3, с. 28–29],
будем называть введенный ниже процесс η(t). В моделях финансо-
вой математики, моделях динамики биологических популяций хара-
ктеристики среды обитания изучаемого объекта остаются неизмен-
ными в течение некоторого случайного интервала времени, а затем
случайным образом изменяют своё значение. Например, в моделях,
описывающих динамику биржевого курса финансового актива, коэф-
фициенты роста и волатильности некоторое время сохраняют посто-
янное значение, а затем, в случайный момент времени, меняют своё
значение. Обобщенный телеграфный процесс адекватно описывает
подобные явления.
В нашей работе рассмотрено стохастическое дифференциальное
уравнение Ито коэффициенты которого зависят не только от фазовой
переменной, но и от значений обобщённого телеграфного процесса,
который наряду с процессом броуновского движения формирует слу-
чайную среду. Для обощённого телеграфного процесса строится сто-
хастическое дифференциальное уравнение с пуассоновской компонен-
той. Это позволяет вместо одного уравнения в случайной среде рас-
смотреть систему двух стохастических дифференциальных уравне-
372 Стохастическое дифференциальное уравнение...
ний с неслучайными коэффициентами. Для построенной таким обра-
зом системы доказаны теоремы существования и единственности ре-
шения как в сильном, так и в слабом смысле.
Работа содержит шесть параграфов. Во втором параграфе вводя-
тся основные определения и обозначения. В параграфе три строится
стохастическое уравнение для обобщенного телеграфного процесса. В
параграфе четыре приводятся условия существования слабых реше-
ний системы стохастических уравнений. Сильные решения системы
стохастических уравнений исследуются в параграфе пять. Шестой
параграф содержит примеры стохастических уравнений в случайных
средах для которых применимы полученные в статье результаты.
2. Обозначения, определения
Через Rl обозначим l- мерное евклидово пространство со скаляр-
ным произведением (·, ·), Rl – σ-алгебра борелевских множеств в Rl,
1(A) – индикатор события A. Далее, Mm×n – пространство матриц
размерности m× n, ∗ – символ транспонирования матрицы, для A ∈
Mm×n квадрат нормы ||A||2 = trAA∗. Буквой C будут обозначаться
различные постоянные. Если нужно подчеркнуть от каких величин
они зависят, эти величины будут указываться в скобках. Пространс-
тво непрерывных функций с равномерной метрикой на отрезке [0, T ]
со значениями в Rd обозначим C[0,T ](R
d), B[0,T ](R
d) – борелевская σ-
алгебра в этом пространстве, Bt = σ{f ∈ C[0,T ](R
d) : f(s), s ≤ t}.
Символом E будет обозначаться математическое ожидание на соо-
тветствующем вероятностном пространстве.
На полном вероятностном пространстве (Θ,L,Q) задана после-
довательность одномерных одинаково распределенных независимых
случайных величин ηk = ηk(θ), k = 0, 1, 2, ..., с функцией распределе-
ния F (x). Обозначим F (A) =
∫
A F (dx), m0 = Eη0 =
∫
R1 zF (dz). Для
p ≥ 1 положим mp = E|η0|p.
На стохастическом базисе (Ω(1),F (1), {F (1)
t }t≥0,P
(1)) заданы не-
зависимые F (1)
t − согласованные m− мерный винеровский процесс
w(t, ω(1)) и пуассоновский процесс ν(t, ω(1)) с параметром λ, t ≥ 0.
Определим обобщенный телеграфный процесс η(t) равенством η(t) =
η(t, θ, ω(1)) = ην(t)(θ) [3, с. 28–29] и рассмотрим уравнение
ξ(t) = ξ0+
∫ t
0
b(s, ξ(s), η(s))ds+
∫ t
0
σ(s, ξ(s), η(s))dw(s), t ∈ [0, T ]. (1)
В этом уравнении для t ∈ [0;T ], x ∈ Rd, y ∈ R1 функции b(s, x, y) ∈
Rd, σ(s, x, y) ∈ Md×m, ξ0− неслучайная величина. Для того, чтобы в
С. Я. Махно, С. А. Мельник 373
(1) был определен стохастический интеграл проведем дополнитель-
ные построения.
Определим вероятностное пространство (Ω,F , {Ft}t≥0 ,P), t ≥ 0,
где Ω = Θ × Ω(1), ω = (θ, ω(1)), F = L × F (1), Ft = L × F (1)
t ,
P = Q × P(1). На этом пространстве определим процессы w(t, ω) =
w(t, ω(1)) и ν(t, ω) = ν(t, ω(1)). Из [9, Следствие 1, с. 107] следует, что
на пространстве (Ω,F , {Ft}t≥0 ,P) процессы w(t, ω) и ν(t, ω) являю-
тся Ft-согласованными. Легко проверяется, что w(t, ω) и ν(t, ω) явля-
ются независимыми винеровским и пуассоновским процессами, соо-
тветственно, на вероятностном пространстве (Ω,F , {Ft}t≥0,P). Ана-
логично, процесс η(t, ω) так же Ft-согласован и E|η(t)|p = mp, p ≥ 1.
В дальнейшем уравнение (1) рассматривается на вероятностном
пространстве (Ω,F , {Ft}t≥0,P) с определенными выше винеровским
процессом w(t), пуассоновским процессом ν(t) и процессом η(t).
Ниже в параграфе 3 получено стохастическое уравнение (4) для
процесса η(t). В работе рассматриваются сильные и слабые реше-
ния системы уравнений (1), (4). Сильное решение – это решение на
исходном вероятностном пространстве (Ω,F , {Ft}t≥0,P). Слабое ре-
шение – это решение на возможно другом вероятностном пространс-
тве (Ω̂, F̂ , {F̂t}t≥0, P̂) на котором существуют процессы ξ̂(t), η̂(t), ви-
неровский процесс ŵ(t), пуассоновская мера µ̂(t, A) и для которых
равенства (1), (4) выполняются с вероятностью единица [2, с. 229–
230]. Сильная единственность – это единственность по траекториям
решений стохастических уравнений. Слабая единственность – это сов-
падение мер, порожденными процессами в соответствующих функци-
ональных пространствах.
Обозначим SN = {(x, y) : |x|2 + y2 ≤ N2, x ∈ Rd, y ∈ R1}, τN =
inf{t : (ξ(t), η(t)) /∈ SN}, a(t, x, y) = σ(t, x, y)σ∗(t, x, y).
Введем условия для коэффициентов уравнения (1).
Условие I.
I1. Существует постоянная Γ такая, что
|b(t, x, y)|2 + ||σ(t, x, y)||2 ≤ Γ(1 + |x|2 + |y|2).
I2. Существует постоянная γ > 0, такая, что для любого z ∈ Rd
(a(t, x, y)z, z) ≥ γ|z|2.
374 Стохастическое дифференциальное уравнение...
3. Стохастическое уравнение для обобщённого
телеграфного процесса
Получим уравнение для процесса η(t). Определим процесс
µ(t, A) =
ν(t)∑
k=1
1(ηk ∈ A),
полагая, что сумма вида
0∑
k=1
= 0.
Лемма 1. На вероятностном пространстве (Ω,F , {Ft}t≥0,P)
процесс µ(t, A) является пуассоновой мерой на (R1,R1) с парамет-
ром λtF (A) :
Eeiuµ(t,A) = exp
{
λtF (A)(eiu − 1)
}
. (2)
Доказательство. Очевидно, случайные величины µ(t, A) являются
Ft-согласованными и из свойства процесса Пуассона следует, что слу-
чайная величина µ(t, A)− µ(s,A) не зависит от σ-алгебры Fs. Пусть
A =
∪
k Ak, Ak ∈ R1, k = 1, 2, ..., Ak ∩Aj = ∅. Тогда
µ(t, A) =
ν(t)∑
j=1
1(ηj ∈ A) =
∑
k
ν(t)∑
j=1
1(ηj ∈ Ak) =
∑
k
µ(t, Ak).
Значит, µ(t, A) является стохастической мерой на (R1,R1). Докажем,
что она является пуассоновской мерой. Так как ηk(θ) и ν(t, ω(1)) не-
зависимы, то
Eeiuµ(t,A) =
+∞∑
k=0
P(ν(t) = k)E exp
{
iu
k∑
j=1
1(ηj ∈ A)
}
= P(ν(t) = 0)
+ e−λt
+∞∑
k=1
(λt)k
k!
k∏
j=1
Eeiu1(ηj∈A)
= e−λt + e−λt
+∞∑
k=0
(λt)k
k!
k∏
j=1
((eiu − 1)F (A) + 1)
= e−λt + e−λt
+∞∑
k=1
1
k!
(
λt((eiu − 1)F (A) + 1)
)k
= e−λt
+∞∑
k=0
1
k!
(
λt((eiu − 1)F (A) + 1)
)k
= exp
{
λtF (A)(eiu − 1)
}
.
С. Я. Махно, С. А. Мельник 375
Полученная характеристическая функция является характеристи-
ческой функцией распределения Пуассона с параметром λtF (A).
Лемма доказана.
Теорема 1. Процесс η(t) является решением уравнения
η(t) = η0 +
t∫
0
∫
(u− η(s−))µ(ds, du). (3)
Доказательство. Доказательство проведём методом математической
индукции. Обозначим ϑ1, ϑ2, ... моменты скачков процесса ν(t).
Пусть t ∈ [0;ϑ1). Докажем, что в этом случае справедливо равен-
ство (3). В левой части (3) получаем η(t) = η0. В правой части также
получаем η0, поскольку на этом временном промежутке µ(ds, du) = 0.
Пусть t = ϑ1. В левой части (3) получаем η(ϑ1) = η1. Рассмотрим
правую часть. Имеем
ϑ1∫
0
∫
uµ(ds, du) =
∫
u µ(ϑ1, du) =
∫
u
ν(ϑ1)∑
j=1
1(ηj ∈ du) = η1,
и далее,
ϑ1∫
0
∫
η(s−)µ(ds, du) = η0
ϑ1∫
0
∫
µ(ds, du) = η0µ(ϑ1, R
1)
= η01(η0 ∈ R1) = η0.
Подставив полученные результаты в правую часть равенства (1), убе-
ждаемся, что она равна его левой части.
При t ∈ [0;ϑ1] равенство (3) выполнено.
Предположим, равенство (3) выполнено при t ∈ [0;ϑn]. Докажем,
что тогда оно выполнено и при t ∈ [0;ϑn+1].
Пусть t ∈ (ϑn;ϑn+1). Тогда левая часть (3) имеет вид η(t) = ηn.
Рассмотрим правую часть.
η0 +
t∫
0
∫
(u− η(s−))µ(ds, du) = η0 +
ϑn∫
0
∫
(u− η(s−))µ(ds, du)
+
t∫
ϑn
∫
(u− η(s−))µ(ds, du) = ηn +
t∫
ϑn
∫
(u− η(s−))µ(ds, du).
376 Стохастическое дифференциальное уравнение...
Интеграл в правой части последнего равенства равен нулю, т.к. на
указанном временном промежутке мера µ(ds, du) = 0.
Пусть теперь t = ϑn+1. В левой части (3) получаем η(ϑn+1) =
ηn+1. Рассмотрим правую часть.
η0 +
ϑn+1∫
0
∫
(u− η(s−))µ(ds, du) = ηn +
ϑn+1∫
ϑn
∫
(u− η(s−))µ(ds, du).
Теперь
ϑn+1∫
ϑn+
∫
u v(ds, du) =
ν(ϑn+1)∑
j=ν(ϑn)
∫
u 1(ηj ∈ du) = ηn + ηn+1.
Далее,
ϑn+1∫
ϑn
∫
η(s−) v(ds, du) = ηn
ϑn+1∫
ϑn
v(ds,R1) = ηn
ν(ϑn+1)∑
j=ν(ϑn)
1(ηj ∈ R1) = 2ηn.
Подставив полученные результаты в правую часть равенства (3), убе-
ждаемся, что она равна его левой части.
В итоге равенство (3) выполнено и при t ∈ (ϑn;ϑn+1]. Теорема 1
доказана.
Введем центрированную пуассоновскую меру
µ̃(t, A) = µ(t, A)− tλF (A).
Следствие 1. Процесс η(t) является решением уравнения
η(t) = η0 + λ
∫ t
0
(m0 − η(s))ds+
t∫
0
∫
(u− η(s−))µ̃(ds, du). (4)
4. Слабые решения системы уравнений (1), (4)
Рассмотрим слабые решения системы (1), (4). Существование та-
кого решения при непрерывных по пространственным переменным
коэффициентам известна [2, Теорема 1, глава 5, параграф 2, с. 357].
Сформулируем отмеченную теорему, учитывая линейность уравне-
ния (4).
С. Я. Махно, С. А. Мельник 377
Теорема 2. Пусть выполнено условие I1, m2 <∞ и при каждом
фиксированном t функции b(t, x, y), σ(t, x, y) непрерывны по перемен-
ным (x, y). Тогда система уравнений (1), (4) имеет слабое решение.
Для диффузионных процессов слабые решения существуют для
измеримых коэффициентов при невырожденной матрице диффузии.
Отметим, что для системы уравнений (1), (4) матрица диффузии яв-
ляется вырожденной и поэтому ослабление условий существования
слабых решений требует отдельного исследования. Используя специ-
альный вид уравнения (4), докажем существование слабого решения
для (1), (4) лишь при измеримых коэффициентах и невырожденности
матрицы a(t, x, z). Вначале докажем оценку Крылова для решения
(1), (4).
В следующей лемме приведен результат теоремы 2 из [4]. Для
ее формулировки введем следующие обозначения. Пусть ρ(x), x ∈
R1 – неотрицательная бесконечно дифференцируемая функция, рав-
ная нулю при |x| ≥ 1 и
∫ 1
−1 ρ(|x|)dx = 1. Для локально суммируемой
функции f(t, x), t ∈ (−∞,∞), x ∈ Rl, n <∞, положим
fn(t, x) =
∫
R1
∫
Rl
ρ(|s|)ρ(|y|)f
(
t− s
n
, x− y
n
)
dyds.
Как хорошо известно, что функции fn(t, x) бесконечно дифференци-
руемы.
Лемма 2. Пусть дана неотрицательная функция f(t, x), равная
нулю при t ≤ 0 и |x| ≥ N такая, что∫ ∞
0
∫
|x|≤N
(f(t, x))l+1dtdx <∞.
На (−∞,∞)×Rl существует ограниченная функция ψ(t, x) ≤ 0, рав-
ная нулю при t < 0, для которой выполнены следующие неравенства.
a) Функция ψ(t, x) выпукла вниз по x при |x| ≤ 2N, t ∈ (−∞,∞).
b) При достаточно больших n для любой симметричной
неотрицательно определенной матрицы A
C(l)det(A)
1
l+1 fn(t, x) ≤ −∂ψn(t, x)
∂t
+
l∑
i,j=1
Aij
∂2ψn(t, x)
∂xi∂xj
.
c) Для вектора H ∈ Rl , если 2|H| < kN при достаточно больших n
|(∇ψn,H)| ≤ k|ψn|.
378 Стохастическое дифференциальное уравнение...
d) Существует постоянная C(l, N), такая, что
|ψ(t, x)| ≤ C(l, N)
[∫ t
0
∫
|x|≤N
f l+1(s, y)dyds
] 1
l+1
.
Теорема 3. (Оценка Крылова).Пусть выполнено условие I1. То-
гда существует постоянная C(ξ0,Γ,m2, µ, λ, d,N) такая, что
E
∫ t∧τN
0
(det a(s, ξ(s), η(s)))
1
d+2 |g(s, ξ(s), η(s))|ds
≤ C(ξ0,Γ,m2, µ, λ, d,N)||g||Ld+2([0,t]×SN ). (5)
Доказательство. Доказательство теоремы основано на применении
леммы 2 и следует идее доказательства [2, лемма 1, с. 562]. Очевидно,
теорему достаточно доказать для функции g(t, x, z) ≥ 0. Положим
f(t, x, z) = g(T −t, x, z) при t ∈ [0, T ] и f(t, x, z) = 0 при t /∈ [0, T ]. Для
функции f(t, x, z) существует функция ψ(t, x, z) из леммы 2. Строим
бесконечно дифференцируемые функции ψn(t, x, z) как указано перед
этой леммой
ψn(t, x, z) =
∫
R1
∫
Rd+1
ρ(|s|)ρ(u, v)ψ
(
t− s
n
, x− u
n
, z − v
n
)
dvduds,
где для u ∈ Rd, v ∈ R1, ρ(u, v) = ρ(
√
|u|2 + v2).
Применим формулу Ито к функции ψn(T − t, ξ(t), η(t)) при t ∈
[0, T ∧ τN ] :
Eψn(T − T ∧ τN , ξ(T ∧ τN ), η(T ∧ τN )) = Eψn(T, ξ0, η0)
+E
∫ T∧τN
0
[
−∂ψn
∂t
(T − s, ξ(s), η(s)) +
1
2
d∑
i,j=1
aij(s, ξ(s), η(s))
× ∂2ψn
∂xi∂xj
(T − s, ξ(s), η(s)) +
d∑
i=1
bi(s, ξ(s), η(s))
∂ψn
∂xi
(T − s, ξ(s), η(s))
+λ
∫
R1
(
ψn(T − s, ξ(s), η(s) + z − η(s))− ψn(T − s, ξ(s), η(s))
)
F (dz)
]
ds.
В пункте b) леммы 2 положим l = d+ 1, xd+1 = z и введем матрицу
A(t, x, z) размерности (d+ 1)× (d+ 1) у которой
Aij(t, x, z) =
1
2
aij(t, x, z), для i, j = 1, 2, ..., d,
Ai,d+1(t, x, z) = 0, i = 1, 2, ..., d, Ad+1,j(t, x, z) = 0, j = 1, 2, ..., d,
Ad+1,d+1(t, x, z) =
1
2
.
С. Я. Махно, С. А. Мельник 379
В этом случае detA = 2−(d+1) deta. Согласно пункту а) леммы 2 фун-
кция ψ(t, x, z) выпукла вниз по аргументу z. Тогда
ψn
(
t, x,
z1 + z2
2
)
=
∫
R1
∫
Rd+1
ρ(|s|)ρ(u, v)ψ
(
t− s
n
, x− u
n
,
z1 − v/n+ z2 − v/n
2
)
dvduds
≤ 1
2
∫
R1
∫
Rd+1
ρ(|s|)ρ(u, v)ψ
(
t− s
n
, x− u
n
, z1 − v/n
)
dvduds
+
1
2
∫
R1
∫
Rd+1
ρ(|s|)ρ(u, v)ψ
(
t− s
n
, x− u
n
, z2 − v/n
)
dvduds
=
1
2
ψn(t, x, z1) +
1
2
ψn(t, x, z2).
Т.е. бесконечно дифференцируемая функция ψn(t, x, z) так же выпу-
кла вниз по аргументу z. Отсюда, ∂2ψn(t,x,z)
∂z2
≥ 0. Используя этот
факт, получим неравенство
Eψn(T − T ∧ τN , ξ(T ∧ τN ), η(T ∧ τN )) ≤ Eψn(T, ξ0, η0)
+E
∫ T∧τN
0
[
−∂ψ
∂t
(T − s, ξ(s), η(s)) +
1
2
d∑
i,j=1
aij(s, ξ(s), η(s))
× ∂2ψn
∂xi∂xj
(T − s, ξ(s), η(s)) +
1
2
∂2ψn
∂2z
(T − s, ξ(s), η(s))
+
d+1∑
i=1
∣∣∣∣bi(s, ξ(s), η(s))∣∣∣∣∣∣∣∣∂ψn∂xi
(T − s, ξ(s), η(s))
∣∣∣∣
+ λ
∫
R1
(
ψn(T − s, ξ(s), η(s) + z − η(s))
− ψn(T − s, ξ(s), η(s))
)
F (dz)
]
ds.
Используем теперь свойство в) леммы 2. Тогда
E
C(d)
2
∫ T∧τN
0
(det a(s, ξ(s), η(s)))
1
d+2 f(T − s, ξ(s), η(s))ds
≤ Eψn(T, ξ0, η0)−Eψn(T −T ∧τN , ξ(T ∧τN ), η(T ∧τN ))+B1+B2. (6)
Здесь
B1 = E
∫ T∧τN
0
(d+1∑
i=1
∣∣∣∣bi(s, ξ(s), η(s))∣∣∣∣∣∣∣∣∂ψn∂xi
(T − s, ξ(s), η(s))
∣∣∣∣ds,
380 Стохастическое дифференциальное уравнение...
B2 = λE
∫ T∧τN
0
(∫
R1
ψn(T − s, ξ(s), z)F (dz)−ψn(T − s, ξ(s), η(s))
)
ds.
Из условия I1 следует оценка |bi(s, ξ(s), η(s))| < 3Γ(N ∧ 1) на проме-
жутке [0, T ∧ τN ]. На основании свойства пункта с) леммы 2∫ T∧τN
0
∣∣∣∣bi(s, ξ(s), η(s))∣∣∣∣∣∣∣∣∂ψn∂xi
(T − s, ξ(s), η(s))
∣∣∣∣ds
≤ 3Γ
∫ T∧τN
0
|ψn(s, ξ(s), η(s))|ds ≤ 3ΓT sup
s,x,z
|ψn(s, x, z)|.
Учитывая, что sups,x,z |ψn(s, x, z)| ≤ sups,x,z |ψ(s, x, z)| и оценку пун-
кта d) леммы 2, оценим B1 :
B1 ≤ C(Γ, d, T )||f ||Ld+2([0,T ]×SN ). (7)
Аналогично,
B2 ≤ C(Γ, d, T, λ)||f ||Ld+2([0,T ]×SN ). (8)
Первые два слагаемые в правой части неравенства (6) также оценива-
ются через неравенство пункта d) леммы 2. Из (6)–(8) следует оценка
(5) для положительной функции.
Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть выполнено условие (I), m2 < ∞. Тогда су-
ществует постоянная C(ξ0,Γ,m2, µ, λ, d,N, γ) такая, что
E
∫ t∧τN
0
|g(s, ξ(s), η(s))|ds ≤ C(ξ0,Γ,m2, µ, λ, d,N, γ)||g||Ld+2([0,t]×SN ).
(9)
Доказательство. Пусть µ1(t, x, z) ≤ µ2(t, x, z) ≤ ... ≤ µd(t, x, z) – соб-
ственные числа матрицы a(t, x, z). Из условия I2 следует, что
µ1(t, x, z) ≥ γ. Т.к. deta(t, x, z) = µ1(t, x, z)µ2(t, x, z)...µd(t, x, z), то
deta(t, x, z) ≥ γd. Оценка (9) следует из оценки (5). Следствие дока-
зано.
Оценки, приведенные ниже в лемме 3, являются стандартными в
теории стохастических уравнений.
Лемма 3.
1. Пусть выполнено условие I1 и m2p <∞ для некоторого p ≥ 1.
Тогда существует постоянная C(T, p,Γ,m2p) такая, что
E sup
t≤T
|ξ(t)|2p ≤ C(T, p,Γ,m2p)(1 + |ξ0|2p). (10)
С. Я. Махно, С. А. Мельник 381
2. Пусть выполнено условие I1 и m4 < ∞. Тогда существует
постоянная C(T,Γ,m4) такая, что
E sup
s≤t≤T
|ξ(t)− ξ(s)|4 ≤ C(T,Γ,m4)(T − s)2(1 + |ξ0|4). (11)
3. Пусть m2 <∞. Тогда
E sup
t≤T
|η(t)|2 ≤ C(T, λ,m0)(1 +m2). (12)
Доказательство. Из уравнения (1), применяя к интегралу Римана
неравенство Коши–Буняковского, а к стохастическому интегралу не-
равенство Буркхольдера–Ганди, получим
E sup
t≤T
|ξ(t)|2p ≤ 32p−1
[
|ξ0|2p +E
(∫ T
0
|b(s, ξ(s), η(s))|ds
)2p
+ C(p)E
(∫ T
0
||a(s, ξ(s), η(s))||ds
)p ]
≤ C(p, T )
[
|ξ0|2p
+ T p−1
∫ T
0
E
(
|b(s, ξ(s), η(s))|2p + ||a(s, ξ(s), η(s))||p
)
ds
]
.
Теперь воспользуемся условием (I1). Тогда
E sup
t≤T
|ξ(t)|2p ≤ C(p, T,Γ)
[
|ξ0|2p+
∫ T
0
(
1+E sup
s≤t
|ξ(s)|2p+E|η(s)|2p
)
ds
]
.
Отсюда и из леммы Гронуолла получим оценку (10). Аналогично,
E sup
s≤t≤T
|ξ(t)− ξ(s)|4 ≤ 8(T − s)3E
∫ T
s
|b(v, ξ(v), η(v))|4dv
+ 8E sup
s≤t≤T
∣∣∣∣∫ t
s
σ(v, ξ(v), η(v))dw(v)
∣∣∣∣4≤ C
[
(T − s)3
∫ T
s
E|b(v, ξ(v),
η(v))|4dv +
(∫ T
s
E||a(v, ξ(v), η(v))||dv
)2]
≤ C(Γ, T )(T − s)
∫ T
s
E(1 + |ξ(v)|4 + |η(v)|4)dv.
Отсюда и оценки (10) следует оценка (11). Оценка (12) хорошо изве-
стна [2, с. 239]. Лемма доказана.
Теорема 4. Пусть выполнено условие (I), m4 <∞. Тогда систе-
ма уравнений (1), (4) имеет слабое решение.
382 Стохастическое дифференциальное уравнение...
Доказательство. Решение уравнения (4) сильное. Пусть P(1) – мера
на (C[0,T ](R
d),B[0,T ](R
d),Bt), относительно которой существует Bt- со-
гласованный винеровский процесс ŵ(t). Покажем, что на пространс-
тве (Ω̂, F̂ ,
{
F̂t
}
t≥0
, P̂), Ω̂ = Θ × C[0,T ](R
d), F̂ = L × B[0,T ](R
d), F̂t =
L×Bt, P̂ = Q×P(1), существует Ft- согласованный процесс ξ(t) и для
процессов (ŵ(t), ξ(t)) с вероятностью единица справедливо равенство
(1).
Как перед леммой 2 с помощью свертки построим функции
bn(t, x, z), σn(t, x, z). Тогда выполняются следующие свойства.
|bn(t, x, z)|2 + ||σn(t, x, z)||2 ≤ Γ(1 + |x|2 + |z|2). (13)
Для всяких n,N при |xi| ≤ N, |zi| ≤ N i = 1, 2, существуют постоян-
ные Γ(n,N) такие, что выполняется неравенство
|bn(t, x2, z2)− bn(t, x1, z1)|2 + ||σn(t, x2, z2)− σn(t, x1, z1)||2
≤ Γ(n,N)(|x2 − x1|2 + |z2 − z1|2). (14)
Для почти всех t ∈ [0, T ] и почти всех (x, z) : |x| ≤ N, |z| ≤ N при
любом N
lim
n→∞
(
|b(t, x, z)− bn(t, x, z)|+ ||σ(t, x, z)− σn(t, x, z)||
)
= 0. (15)
Определим процесс ξn(t) как решение уравнения
ξn(t) = ξ0 +
∫ t
0
bn(s, ξn(s), η(s))ds+
∫ t
0
σn(s, ξn(s), η(s))dŵ(s), (16)
где процесс η(t) есть решение уравнения (4). Коэффициенты уравне-
ний (16), (4) удовлетворяют локальному условию Липшица и поэтому
эти уравнения имеют единственные сильные решения (ξn(t), η(t)) на
указанном вероятностном пространстве. Дальнейшие доказательство
использует рассуждение из [2, с. 566–567].
Перепишем уравнение для процесса ξn(t) в виде
ξn(t) = ξ0 +
∫ t
0
b(s, ξn(s), η(s))ds+
∫ t
0
σ(s, ξn(s), η(s))dŵ(s) + ζn(t),
(17)
где
ζn(t) =
∫ t
0
(bn(s, ξn(s), η(s))− b(s, ξn(s), η(s)))ds
+
∫ t
0
(σn(s, ξn(s), η(s))− σ(s, ξn(s), η(s)))dŵ(s).
С. Я. Махно, С. А. Мельник 383
Положим τn,N = inf{t : |ξn(t)|2 + η2(t) ≥ N2}. Тогда
E sup
t≤T∧τn,N
|ζn(t)|2 ≤ 2E
∫ T∧τn,N
0
hn(s, ξn(s), η(s))ds,
где
hn(t, x, z) = T |bn(t, x, z)− b(t, x, z)|2 + 4||σn(t, x, z)− σ(t, x, z)||2.
Согласно оценке (10)
E sup
t≤T∧τn,N
|ζn(t)|2 ≤ C(ξ0,Γ,m, µ, λ, d,N, γ)||hn||L2(d+2)([0,t]×SN ).
Функция hn(t, x, z) равномерно по n ограничена на множестве [0, t]×
SN и согласно (15) сходится к нулю. Поэтому
lim
n→∞
E sup
t≤T∧τn,N
|ζn(t)|2 = 0. (18)
Положим ξn,N (t) = ξn(t ∧ τn,N ). Из (17) следует равенство
ξn,N (t) = ξ0 +
∫ t∧τn,N
0
b(s, ξn,N (s), η(s))ds
+
∫ t∧τn,N
0
σ(s, ξn,N (s), η(s))dŵ(s) + ζn(t ∧ τn,N ).
Из оценки (12) следует, что последовательность процессов {ξn,N (t)}
слабо компактна в пространстве C([0, T ], Rd). Учитывая это, и рав-
номерную сходимость ζn(t∧ τn,N ) к нулю по вероятности при n→ ∞,
строим процессы ξN (t) в C([0, T ], Rd) которые удовлетворяют следу-
ющим условиям:
– процессы ξN (t) ∈ SN при t ∈ [0, T ] с вероятностью единица;
– если |ξN (s)| = N, то ξN (s) = ξN (t) при s ≤ t ≤ T ;
– если τN = inf{t : |ξN (t)| = N, } то при t < τN
ξN (t) = ξ0 +
∫ t
0
b(s, ξN (s), η(s))ds+
∫ t
0
σ(s, ξN (s), η(s))dŵ(s).
Выберем последовательность Nk ↑ ∞. Так как ξn,Nk(t) = ξn,Nk+1
(t)
при |ξn,Nk(t)| ≤ Nk, то процессы ξNk(t) можно выбрать такими, что
ξNk(t) = ξNk+1
(t) при t ≤ τNk . Процесс ξ(t) = ξNk(t) при t ≤ τNk
является решением уравнения (1). Теорема доказана.
384 Стохастическое дифференциальное уравнение...
5. Сильные решения системы уравнений (1), (4)
В следующей теореме формулируются условия существования и
единственности сильных решений у системы уравнений (1), (4). Ис-
пользуя специальный вид уравнения для процесса η(t), получим бо-
лее приемлемые в данной ситуации условия существования сильных
решений, чем при непосредственном использовании соответствующих
результатов из [12], [14, Теорема 170].
Теорема 5. Пусть система уравнений (1), (4) имеет слабое ре-
шение. Справедливы следующие утверждения.
1. Пусть для каждого N <∞ при |xi| ≤ N, i = 1, 2, |y| ≤ N, и t ∈
[0, T ] существует функции KN (t) ≥ 0 и возрастающая, непрерывная
выпуклая вниз функция ϕN (v) ≥ 0, v ≥ 0, такие, что
2(x2 − x1, b(t, x2, y)− b(t, x1, y)) + ||σ(t, x2, y)− σ(t, x1, y)||2
≤ KN (t)ϕN (|x2 − x1|2),
и ∫ T
0
KN (t)dt <∞,
∫
0+
dv
ϕN (v)
= ∞.
Тогда система уравнений (1), (4) имеет единственное сильное реше-
ние.
2. Пусть для любого N < ∞, v ≥ 0, существуют неубывающие,
непрерывные функции κN (v), χN (v), такие, что κN (0) = χN (0) = 0
и для всех t ≤ N, |xi| ≤ N, i = 1, 2, |y| ≤ N,
|b(t, x2, y)− b(t, x1, y)| ≤ κN (|x2 − x1|),
||σ(t, x2, y)− σ(t, x1, y)|| ≤ χN (|x2 − x1|),
∫
0+
dv
χ2
N (v)
= ∞. (19)
Кроме того, пусть существует непрерывная выпуклая вниз фун-
кция GN (v) такая, что
GN (v) ≥ κN (v) +
d− 1
2v
χ2
N (v),
∫
0+
dv
GN (v)
= ∞. (20)
Тогда система уравнений (1), (4) имеет единственное сильное реше-
ние.
Доказательство. Для доказательства обоих пунктов установим еди-
нственность по траекториям возможных решений при предположе-
ниях теоремы. Затем воспользуемся тем, что если существует слабое
С. Я. Махно, С. А. Мельник 385
решение уравнения и имеет место единственность по траекториям,
то это решение является сильным [14, Теорема 137]. Пусть ξ(1)(t)
и ξ(2)(t) два решения уравнения (1) на вероятностном пространстве
(Ω,F , {Ft},P).
Докажем пункт 1. Заметим, что
ξ(2)(t)− ξ(1)(t) =
∫ t
0
(
b(s, ξ(2)(s), η(s))− b(s, ξ(1)(s), η(s))
)
ds
+
∫ t
0
(
σ(s, ξ(2)(s), η(s))− σ(s, ξ(1)(s), η(s))
)
dw(s). (21)
По формуле Ито и условию теоремы
E|ξ(2)(t ∧ τN )− ξ(1)(t ∧ τN ))|2 = E
∫ t∧τN
0
[
2
(
ξ(2)(s)− ξ(1)(s),
b(s, ξ(2)(s), η(s))− b(s, ξ(1)(s), η(s))
)
+||σ(s, ξ(2)(s), η(s))
− σ(s, ξ(1)(s), η(s))||2
]
ds
≤
∫ t
0
KN (s)EϕN (|ξ(2)(s)− ξ(1)(s)|2)1(s ∈ [0, t ∧ τN ])ds.
Отсюда и неравенства Иенсена имеем
E|ξ(2)(t ∧ τN )− ξ(1)(t ∧ τN ))|2
≤
∫ t
0
KN (s)ϕN (E|ξ(2)(s ∧ τN )− ξ(1)(s ∧ τN )|2)ds.
Из неравенства Бихари [1, теорема 3, с. 189], [14, Lemma 116] получим
E|ξ(2)(t ∧ τN )− ξ(1)(t ∧ τN )|2 = 0. для любого t ≥ 0.
Т.к. limN→∞ τN = ∞, отсюда следует потраекторная единственность
P{ξ(2)(t) = ξ(1)(t)} = 1, для любого t ≥ 0.
Рассмотрим пункт 2. Определим положительные числа hi так,
чтобы 1 > h1 > h2 > ... > hn > ...,∫ 1
h1
dv
χ2
N (v)
= 1,
∫ h1
h2
dv
χ2
N (v)
= 2, ...
∫ hn−1
hn
dv
χ2
N (v)
= n, ...
386 Стохастическое дифференциальное уравнение...
Очевидно, limn→∞ hn = 0. При фиксированном N строим последова-
тельность функций qn(v), v ≥ 0, такую, что qn(0) = 0 и∫ hn−1
hn
qn(v)dv = 1,
qn(v) =
0, для v /∈ (hn, hn−1)
≤ 2
nχ2
N (v)
, для v ∈ (hn, hn−1).
Для x ≥ 0 положим
kn(x) =
∫ x
0
dy
∫ y
0
qn(u)du.
Тогда функция kn(x) дважды непрерывно дифференцируемая и
k′n(x) =
0, для 0 ≤ x ≤ hn
∈ [0, 1], для hn < x < hn−1,
1, для x ≥ hn−1.
k′′n(x) =
0, для 0 ≤ x ≤ hn
∈
[
0,
2
nχ2
N (x)
]
, для hn < x < hn−1,
0, для x ≥ hn−1.
Для x ∈ Rd положим Ln(x) = kn(|x|). Функция Ln(x) ↑ |x| при n →
∞. Обозначим Z(t) = ξ(2)(t)− ξ(1)(t). Положим
B(s) = b(s, ξ(2)(s), η(s))− b(s, ξ(1)(s), η(s)),
r(s) = σ(s, ξ(2)(s), η(s))− σ(s, ξ(1)(s), η(s)), R(s) = r(s)r∗(s).
В силу (19)
|B(s ∧ τN )| ≤ κN (|Z(s ∧ τN )|), ||r(s ∧ τN )|| ≤ χN (|Z(s ∧ τN )|).
Из (21) и формулы Ито
ELn(Z(t ∧ τN )) = E
∫ t
0
(
(B(s),∇Ln(Z(s)))
+
1
2
tr
∂2Ln
∂x2
(Z(s))R(s)
)
1(s ∈ [0, t ∧ τN ])ds, (22)
где ∇ – символ градиента функции, а ∂2L
∂x2
– матрица вторых прои-
зводных функции L(x).
С. Я. Махно, С. А. Мельник 387
В силу отмеченных свойств и введенных обозначений |∇Ln(x)| ≤
1 для всех x ∈ Rd. Поэтому∣∣∣∣∫ t
0
(
B(s),∇Ln(Z(s))
)
1(s ∈ [0, t ∧ τN ])ds
∣∣∣∣
≤
∫ t
0
κN (|ξ(2)(s ∧ τN )− ξ(1)(s ∧ τN )|)ds. (23)
Прямым подсчетом устанавливаем, что
tr
∂2Ln
∂x2
(x) ≤ qn(|x|) +
d− 1
|x|
1(|x| ̸= 0).
Поэтому при s ∈ [0, t ∧ τN ]
tr
∂2Ln
∂x2
(Z(s))R(s) ≤ tr
∂2Ln
∂x2
(Z(s))trR(s) ≤
(
qn(|Z(s)|) +
d− 1
|Z(s)|
)
× χ2
N (|Z(s)|) ≤
(
2
nχ2
N (|Z(s)|)
+
d− 1
|Z(s)|
)
χ2
N (|Z(s)|),
т.е.
tr
∂2Ln
∂x2
(Z(s))R(s) ≤ 2
n
+
d− 1
|Z(s)|
χ2
N (|Z(s)|). (24)
Из (22)–(24)
ELn(Z(t ∧ τN )) ≤
t
n
+E
∫ t
0
GN (Z(s ∧ τN ))ds.
Отсюда, переходя к пределу при n→ ∞, получим
E|ξ(2)(t ∧ τN )− ξ(1)(t ∧ τN )| ≤ E
∫ t
0
GN (|ξ(2)(s ∧ τN )− ξ(1)(s ∧ τN )|)ds.
Применение неравенств Иенсена и Бихари, как и выше, заканчивает
доказательство этого пункта.
Теорема доказана.
В следующей теореме существование сильного решения уравне-
ний (1), (4) доказывается при условиях коэрцитивности (25) и мотон-
ности (26) коэффициентов уравнения (1). Доказательство утвержде-
ния следует доказательству теоремы 1 работы [5].
Теорема 6. Пусть m2 <∞ и функции b(t, x, y), σ(t, x, y) непре-
рывны по x при каждых t ∈ [0, T ], y ∈ R1. Определим
MN (t) = sup
|x|+|y|≤N
[
|b(t, x, y)|+ ||σ(t, x, y)||2
]
.
388 Стохастическое дифференциальное уравнение...
Пусть существуют функции K(t) ≥ 0 и KN (t) ≥ 0 такие, что
2(x, b(t, x, y)) + ||σ(t, x, y)||2 ≤ K(t)(1 + |x|2 + |y|2), (25)
и при |xi| ≤ N, i = 1, 2, |y| ≤ N, t ∈ [0, T ],
2(x2 − x1, b(t, x2, y)− b(t, x1, y)) + ||σ(t, x2, y)− σ(t, x1, y)||2
≤ KN (t)|x2 − x1|2. (26)
Кроме того, ∫ T
0
(MN (t) +KN (t) +K(t))dt <∞.
Тогда система уравнений (1), (4) имеет единственное сильное реше-
ние.
Доказательство. Определим процессы ξn(t) как
ξn(0) = ξ0
ξn(t) = ξn
(
k
n
)
+
∫ t
k
n
b
(
s, ξn
(
k
n
)
)
, η(s)
)
ds
+
∫ t
k
n
σ
(
s, ξn
(
k
n
)
, η(s)
)
dw(s), t ∈
[
k
n
,
k + 1
n
]
. (27)
Обозначим [a] – целую часть числа a и положим χ(n, t) = [nt]
n .Процесс
из (27) удовлетворяет равенству
ξn(t) = ξ0 +
∫ t
0
b
(
s, ξn(χ(n, t)), η(s)
)
ds
+
∫ t
0
σ
(
s, ξn(χ(n, t)), η(s)
)
dw(s). (28)
Определим процесс pn(t) = ξn(χ(n, t)) − ξn(t) и запишем (28) в виде
уравнения
ξn(t) = ξ0 +
∫ t
0
b
(
s, ξn(s) + pn(s), η(s)
)
ds
+
∫ t
0
σ
(
s, ξn(s) + pn(s), η(s)
)
dw(s). (29)
С. Я. Махно, С. А. Мельник 389
Отметим, что
pn(t) = −
∫ t
χ(n,t)
b
(
s, ξn(χ(n, t)), η(s)
)
ds
−
∫ t
χ(n,t)
σ
(
s, ξn(χ(n, t)), η(s)
)
dw(s). (30)
Определим моменты остановок
δn(N) = inf
{
t ∈ [0, T ] : |ξn(t)| ≥
N
3
}
,
r(N) = inf
{
t ∈ [0, T ] : |η(t)| ≥ N
}
,
δn,m(N) = δn(N) ∧ δm(N). При t ≤ δn(N), процесс |pn(t)| ≤ 2N
3 .
Пусть
VN (t) = exp
{
−2
∫ t
0
KN (s)ds
}
.
В силу формулы Ито для t ≤ δn,m(N) ∧ r(N)
|ξn(t)− ξm(t)|2NVN (t) =
∫ t
0
[
2
(
ξn(s)− ξm(s)), b(s, ξn(s) + pn(s), η(s))
− b(s, ξm(s) + pm(s), η(s))
)
+||σ(s, ξn(s) + pn(s), η(s))− σ(s, ξm(s)
+ pm(s), η(s))||2 − 2KN (s)|ξn(s)− ξm(s)|2
]
VN (s)ds+ βN,n,m(t),
где βN,n,m(t) мартингал. При s ≤ δn,m(N) ∧ r(N) из условия (26)
получим, что подинтегральное выражение в последнем равенстве не
больше
2(KN (t) +MN (t) +N)(|pn(t)|+ |pm(t)|).
Следовательно, при t ≤ δn,m(N) ∧ r(N)
|ξn(t)− ξm(t)|2VN (t) ≤ 2
∫ t
0
(
KN (s) +MN (s) +N
)
× (|pn(s)|+ |pm(s)|))ds+ βN,n,m(t).
Отсюда, для произвольного марковского момента γ
E|ξn(γ)− ξm(γ)|2VN (γ)1(γ ≤ T ∧ δn,m(N) ∧ r(N))
≤ 2E
∫ T∧δn,m(N)∧r(N)
0
(
KN (s)+MN (s)+N
)
(|pn(s)|+ |pm(s)|)ds. (31)
390 Стохастическое дифференциальное уравнение...
Далее, из (30) и свойств стохастических интегралов получим для лю-
бых ε > 0, ∆ > 0
P
{
|pn(t)| > 2ε, t ≤ δn(N) ∧ r(N)
}
≤ P
{
ε ≤
∣∣∣∣∫ t
χ(n,t)
b(s, ξn(χ(n, t)), η(s))ds
∣∣∣∣, t ≤ δn(N) ∧ r(N)
}
+P
{
∆ <
∫ t
χ(n,t)
||σ(s, ξn(χ(n, t)), η(s))||2ds, t ≤ δn(N) ∧ r(N)
}
+
∆
ε2
≤ ∆
ε2
+ 1
(
ε ≤
∫ t
χ(n,t)
MN (s)ds
)
+1
(
∆ ≤
∫ t
χ(n,t)
MN (s)ds
)
.
Следовательно, случайная величина |pn(t)|1(s ≤ δn(N)) ∧ r(N) при
фиксированном N сходится к нулю по вероятности при n → ∞. По-
скольку она ограничена числом N, то
lim
n→∞
E
∫ T
0
|pn(t)|1(t ≤ δn(N) ∧ r(N))dt = 0. (32)
Отсюда и (31) для произвольного марковского момента γ
lim
n→∞,m→∞
E|ξn(γ)− ξm(γ)|2VN (γ)1(γ ≤ T ∧ δn,m(N)∧ r(N)) = 0. (33)
Т.о. случайная величина |ξn(γ) − ξm(γ)|21(γ ≤ T ∧ δn,m(N) ∧ r(N))
стремится к нулю по вероятности при n → ∞,m → ∞. Сомножи-
тель VN (γ) опущен, т.к. он не зависит от n,m. Воспользуемся теперь
леммой 1 работы [5]. Тогда для любого ε > 0
lim
n,m→∞
P
{
sup
t≤T∧δn(N)∧δm(N)∧r(N)
|ξn(t)− ξm(t)| > ε
}
= 0. (34)
Докажем теперь, что
lim
N→∞
lim
n→∞
P
{
δn(N) ∧ r(N) ≤ T
}
= 0. (35)
Т.к. m2 <∞, то с вероятностью единица r(N) ∧ T ↑ T при N ⇀∞ и
для доказательства (35) достаточно показать, что
lim
N→∞
lim
n→∞
P
{
δn(N) ≤ T
}
= 0. (36)
Положим V (t) = exp
{
−
∫ t
0 K(s)ds
}
. Аналогично (31), применяя
формулу Ито к функции F (t)|x|2, используя условие (25), получим
С. Я. Махно, С. А. Мельник 391
для произвольного марковского момента γ
E|ξn(γ)|2V (γ)1(γ ≤ T ∧ δn(N) ∧ r(N))
≤ |ξ0|2 + 1 +m2 + 2E
∫ T∧δn(N)∧r(N)
0
(K(s)N +MN (s))|pn(s)|ds.
Отсюда и [5, лемма 1] заключаем, что для любого числа A
P
{
sup
t≤T∧δn(N)∧r(N)
|ξn(t)|2V (t) ≥ A
}
≤ 1
A2
(
|ξ0|2 + 1 +m2 +E
∫ T∧δn(N)∧r(N)
0
K(s)(N + 2MN (s))|pn(s)|ds
)
.
Выбрав A = N2V (T )
16 , получим
P
{
sup
t≤T∧δn(N)∧r(N)
|ξn(t)| ≥
N
4
}
≤ 256
N4V 2(T )
(
|ξ0|2 + 1 +m2
+E
∫ T∧δn(N)∧r(N)
0
K(s)(N + 2MN (s))|pn(s)|ds
)
.
Поэтому, согласно (32),
lim
N→∞
lim
n→∞
P
{
sup
t≤δn(N)∧r(N)
|ξn(t)| ≥
N
4
, δn(N) ∧ r(N) ≤ T
}
= 0.
Следовательно,
lim
N→∞
lim
n→∞
P
{
sup
t≤δn(N)
|ξn(t)| ≥
N
4
, δn(N) ≤ T
}
= 0. (37)
С другой стороны, по определению моментов δn(N),
lim
N→∞
lim
n→∞
P
{
sup
t≤δn(N)
|ξn(t)| ≤
N
4
, δn(N) ≤ T
}
= 0, (38)
т.к. под знаком вероятности стоит пустое множество. Из (37), (38)
следует (36) и (35) . Теперь из (35) и (34) заключаем, что для любого
ε > 0
lim
n,m→∞
P
{
sup
t≤T
|ξn(t)− ξm(t)| > ε
}
= 0.
Отсюда, существует непрерывный случайный процесс ξ(t) для кото-
рого
lim
n→∞
P
{
sup
t≤T
|ξn(t)− ξ(t)| > ε
}
= 0. (39)
392 Стохастическое дифференциальное уравнение...
В силу непрерывности процессов ξn(t), ξ(t),
lim
n→∞
P
{
sup
t≤T
|ξn(χ(n, t))− ξ(t)| > ε
}
= 0. (40)
Учитывая (39), (40), непрерывность коэффициентов уравнения (1),
переходя к пределу в равенстве (28), видим, что процесс ξ(t) явля-
ется решением уравнения (1). Существование решения установлено.
Существование сильного решения и его единственность следует из
пункта 1 теоремы 5.
Теорема доказана.
Замечание. В формулировках теорем 4, 5 и 6 условия накла-
дываются лишь на коэффициенты уравнения (1). Это естественно,
так как в уравнение (4) не входит процесс ξ(t). В процессе дока-
зательства этих теорем использовалось лишь то, что уравнение (4)
имеет единственное сильное решение и это решение имеет конечный
момент нужного порядка. При выполнении этих условий утвержде-
ния теорем 4–6 остаются справедливыми и в случае, если уравнение
(4) имеет более общий вид с коэффициентами, не зависящими от про-
цесса ξ(t).
6. Примеры.
Пример 1. Рассмотрим пример [7, уравнение (7)], описывающий
динамику фондовооружённости предприятия, функционирующего в
случайной среде.
ξ(t) = ξ0 +
∫ t
0
(
|η(s)|q−1 η(s) |ξ(s)|p−1 ξ(s) + cξ(s)
)
ds
+
∫ t
0
σξ(s)dw1(s) +
∫ t
0
δdw2(s). (41)
Здесь 0 < p < 1, 0 < q < 1, p + q ≤ 1, c ∈ R1, σ > 0 – коэффициент
волатильности фондовооружённости предприятия, δ > 0 – коэффи-
циент волатильности среды, в которой функционирует предприятие,
m4 <∞.
Покажем, что выполнено условие I.
Имеем,
|b(t, x, y)|2 + ∥σ(t, x, y)∥2 =
∣∣|y|q−1y|x|p−1x+ cx
∣∣2 + σ2x2 + δ2
≤ 2y2qx2p + (σ2 + 2c2)x2 + δ2.
С. Я. Махно, С. А. Мельник 393
Воспользуемся неравенством Юнга.
Если p+ q = 1, то y2qx2p ≤ y2
q + x2
p .
Если p+ q < 1, то y2qx2p ≤ 1
1−p−q +
y2
q + x2
p . В итоге получаем
|b(t, x, y)|2 + ∥σ(t, x, y)∥2 ≤ Γ(1 + |x|2 + |y|2),
то есть выполнено условие I1.
Поскольку a(t, x, y) = σ2x2 + δ2, то условие I2 для этого примера
следует из условия δ > 0.
Из Теоремы 4 следует существование слабого решения уравнения
(41).
Пример 2. Рассмотрим уравнение
ξ(t) = ξ0+
∫ t
0
b(η(s)) |ξ(s)|p−2 ξ(s)ds+
∫ t
0
σ(η(s)) |ξ(s)|0.5p dw(s). (42)
Здесь p ≥ 2, b(y) и σ(y) неслучайные локально ограниченные фун-
кции на R1, E |η(t)|2 = m2 <∞. Сделаем предположение
2b(y) + σ2(y) ≤ 0. (43)
Покажем, что выполнены условия Теоремы 6. Имеем,
2(x, b(t, x, y)) + ∥σ(t, x, y)∥2 = (2b(y) + σ2(y))|x|p ≤ 0
и условие (25) выполнено. Проверим условие (26). Применяя формулу
Адамара, аналогично [6, с. 109], получим
2(x2 − x1, b(t, x2, y)− b(t, x1, y)) + ∥σ(t, x2, y)− σ(t, x1, y)∥2
= 2b(y)(x2 − x1)
[
|x2|p−1x2 − |x1|p−1x1
]
+σ2(y)
[
|x2|0.5p − |x1|0.5p
]2
= (x2 − x1)
2
[
2(p− 1)b(y)
1∫
0
|x1 + s(x2 − x1)|p−2 ds
+0.25p2σ2(y)
1∫
0
|x1 + s(x2 − x1)|0.5(p−2) ds
2 ]
≤
(
2(p− 1)bN + 0.25p2σ2N
)
(3N)p−2|x2 − x1|2.
Здесь: |xi| ≤ N, i = 1, 2, |y| ≤ N , bN = sup
|y|≤N
|b(y)|, σ2N = sup
|y|≤N
σ2(y).
Из полученного неравенства следует, что
MN (t) = bN + σ2N ,KN (t) =
(
2(p− 1)bN + 0.25p2σ2N
)
(3N)p−2.
394 Стохастическое дифференциальное уравнение...
Условия Теоремы 6 выполнены и уравнение (42) при условии (43)
имеет единственное сильное решение.
Пример 3. Рассмотрим модель динамики плотности популяции
в случайной среде (модель Wright–Fisher) [13, с. 8, (3.19), (3.38)].
ξ(t) = ξ0 +
∫ t
0
η(s)ξ+(s)(1− ξ(s))+ds+
∫ t
0
σ
√
ξ+(s)(1− ξ(s))+dw(s).
(44)
Покажем, что при m2 < ∞ выполнены условия пункта 2 Теоре-
мы 5. Прежде всего отметим, что коэффициенты уравнения непре-
рывны по своим переменным.
Обозначим h(x) = x+(1 − x)+. Легко видно, что 0 ≤ h(x) ≤ 0.25,
−1 ≤ h́(x) ≤ 1.
Линейная ограниченность:
|b(t, x, y)|2 + ∥σ(t, x, y)∥2 ≤ 0.0625y2 + 0.25σ2.
Значит, выполнено условие I1. Тогда согласно Теореме 2 система (44),
(4) имеет слабое решение.
Локальная липшицевость коэффициента дрейфа: для |y| ≤ N,
|b(t, x2, y)− b(t, x1, y)| = |y| |h(x2)− h(x1)| ≤ |y||x2 − x1| ≤ N |x2 − x1|.
Выберем kN (v) = Nv.
Для доказательства справедливости условия, наложенного на ко-
эффициент диффузии, воспользуемся неравенством:
|
√
u−
√
v| ≤
√
|u− v|, u ≥ 0, v ≥ 0.
Тогда
|σ(t, x2, y)− σ(t, x1, y)| ≤ σ
√
|h(x2)− h(x1)| ≤ σ
√
|x2 − x1|.
Положим χN (v) =
√
v. Эта функция удовлетворяет условию пункта 2
Теоремы 5. Отметим, что в данном примере коэффициент диффузии
не является даже локально липшицевым. Согласно Теореме 5 урав-
нение (44) имеет единственное сильное решение.
Пример 4. Модель Гестона [10] предполагает, что S(t) – цена
актива – определяется стохастическим процессом
dS(t) = rS(t) dt+ S(t)
√
v+(t) dw
(1)(t), S(0) = S0 > 0, (45)
С. Я. Махно, С. А. Мельник 395
где v(t) – волатильность актива, задаваемая уравнением
dv(t) = β(D − v(t)) dt+ k
√
v+(t)
(
ρdw(1)(t) +
√
1− ρ2dw(2)(t)
)
,
v(0) = v0 > 0. (46)
Здесь w(1)(t), w(2)(t) – независимые винеровские процессы. Как обы-
чно, для функции f(t) обозначим f−(t) = −min(f(t), 0), f+(t) =
max(f(t), 0). Параметры, использованные выше, имеют следующий
смысл:
r – коэффициент роста цены;
ρ – детерминированный коэффициент, ρ ∈ [−1, 1];
β – скорость возвращения к равновесной вариации (дисперсии до-
ходности);
D – равновесная вариация (дисперсия доходности);
k – величина, определяющая дисперсию волатильности v(t).
В исходной модели Гестона коэффициент r является числом. Его
знак определяет направление треда, а его модуль определяет вели-
чину скорости изменения стоимости. Естественно предположить, что
тренд меняется с течением времени в случайнык моменты времени.
Будем считать, что в уравнение (45) вместо числа r стоит выраже-
ние r(η(t)), функция r(y) неслучайна. Аналогично, будем считать,
что коэффициент β имеет вид β = g(η(t)), где g(y) неслучайная не-
прерывная по y ∈ R1 функция и существует постоянная L > 0 для
которой 0 ≤ g(y) ≤ L. Обозначим w̃(t) = ρw(1)(t) +
√
1− ρ2w(2)(t).
Процесс w̃(t) является винеровским и уравнение (46) теперь имеет
вид
dv(t) = g(η(t))(D − v(t)) dt+ k
√
v+(t) dw̃(t)),
v(0) = v0 > 0. (47)
Существует слабое решение уравнения (47) так как коэффициенты
удовлетворяют условиям Теоремы 2. Проверим условие 2 Теоремы 5.
Имеем,
g(y) |(D − v2)− (D − v1)| ≤ L|v2 − v1|,
то есть, kN (v) = Lv.
|√v2+ −√
v1+| ≤
√
|v2+ − v1+|,
и χN (v) =
√
v.
Так как для (47) d = 1, то GN (v) = kN (v) = Lv и уравнение
(47) имеет единственное сильное решение. Докажем, что это решение
396 Стохастическое дифференциальное уравнение...
неотрицательно. Определим функцию:
φ(x, ϵ) =
x2 − ϵ2
6
, x < −ϵ;
− x4
2ϵ2
− 4x3
3ϵ
, −ϵ ≤ x < 0;
0, x ≥ 0.
Эта функция неотрицательна, дважды непрерывно дифференцируе-
ма по x, монотонно убывает на отрицательной полуоси и
lim
ϵ↓0
φ(x, ϵ) = x21(x ≤ 0).
По формуле Ито получаем
φ(v(t), ϵ) = D
t∫
0
φ′
x(v(s), ϵ)g(η(s))ds−
t∫
0
g(η(s))φ′
x(v(s), ϵ)v(s)ds
+ 0.5
t∫
0
φ′′
x2(v(s), ϵ)v+(s)ds+ k
t∫
0
φ′
x(v(s), ϵ)
√
v+(s)dw(s).
Два последние слагаемые равны нулю, так φ(v, ϵ) и v+ не могут быть
отличны от нуля одновременно. Так как g(y) ≥ 0, θ > 0, φ′
x(x, ε) ≤ 0,
то первое слагаемое в правой части неположительно. Так как
φ′
x(v, ε)v = φ′
x(v, ε)v− ≥ 0, то и второе слагаемое в правой части
неположительно. Тогда получаем φ(v(t), ϵ) = 0. Перейдя к пределу
по ε ↓ 0 получаем для любого t ∈ [0, T ] с вероятностью единица
0 = v2(t)1(v(t) ≤ 0) = (v−(t))
2.
Поэтому, для любого t ∈ [0, T ] с вероятностью единица v−(t) = 0, то
есть решение задачи (47) неотрицательно. Определим процесс
Z(t) = lnS0 +
∫ t
0
(
r(η(s))− v(s)
2
)
ds+
∫ t
0
√
v(s)dw(1)(s).
С помощью формулы Ито убеждаемся, что процесс S(t) = exp{Z(t)}
является решением модифицированного уравнения (45)
S(t) = S0 +
∫ t
0
r(η(s))S(s) ds+
∫ t
0
S(s)
√
v(s) dw(1)(s),
где процесс v(t) – решение уравнения (47).
С. Я. Махно, С. А. Мельник 397
Литература
[1] Э. Беккенбах, З. Беллман, Неравенства, M., Мир, 1965.
[2] И. И. Гихман, А. В. Скороход, Стохастические дифференциальные уравнения
и их приложения, K., Наукова Думка, 1982.
[3] В. И. Кляцкин, Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных
средах, M., Наука, 1980.
[4] Н. В. Крылов, Последовательности выпуклых функций и оценки максимума
решения параболического уравнения // Сиб. матем. журнал, 17 (1976), No. 2,
291–303.
[5] Н. В. Крылов, Простое доказательство существования решения уравнения
Ито с монотонными коэффициентами // Теория вероятностей и ее примене-
ния, 35 (1999), No. 3, 576–580.
[6] Н. В. Крылов, Б. Л. Розовский, Об эволюционных стохастических уравнени-
ях // Итоги науки и техники, 14 (1979), М., ВИНИТИ, 71–147.
[7] В. А. Курзенев, Е. Б. Лычагина, Стохастическое моделирование динамики
экономических систем // Управленческое консультирование, (2013), No. 5,
78–83.
[8] А. А. Леваков, Стохастические дифференциальные уравнения, Минск, БГУ,
2009.
[9] Ж. Неве, Математические основы теории вероятностей, М., Мир, 1969.
[10] S. Heston, A closed form solutions for options with stochastic volatility // Review
of Financial Studies, 6 (1993), 327–343.
[11] A. Kohatsu-Higa, J. A. Leon, D. Nualart, Stochastic differential equations with
random coefficients // Bernoulli, 3 (1997), No. 2, 233–245.
[12] G. Kulinich, S. Kushnirenko, Strong uniqueness of solutions of stochastic di-
fferential equations with jumps and non-Liptshitz random coefficients // Modern
Stochastics: Theory and Applications, (2014), No. 1, 65–72.
[13] C. Mueller, Some tools and results for parabolic stochastic partial differential
equations // Proceedings of a summer school in probability, University of Utah,
Editors Davar Khoshnevisan and Firas Rassoul-Agha, 2009, Lecture Notes in
Mathematics, 1962, Springer, 111–144.
[14] R. Situ, Theory of Stochastic Differential Equations With Jumps and Applications,
Springer, 2005.
[15] V. P. Zubchenko, Properties of solutions of stochastic differential equations with
random coefficients // Theor. Probability and Math. Statist., (2011), No. 82, 11–
26.
398 Стохастическое дифференциальное уравнение...
Сведения об авторах
Сергей
Яковлевич
Махно,
Сергей
Анатольевич
Мельник
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Славянск, Украина
E-Mail: smahno@gmail.com
melniks1953@gmail.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169366 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T11:42:28Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Махно, С.Я. Мельник, С.А. 2020-06-10T17:38:22Z 2020-06-10T17:38:22Z 2017 Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде / С.Я. Махно, С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 370-398. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 60H10, 60G57 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169366 В работе рассмотрены решения стохастического дифференциального уравнения Ито в случайной среде. Случайная среда формируется обобщённым телеграфным процессом. Доказано, что исходная задача равносильна системе двух стохастических дифференциальных уравнений с неслучайными коэффициентами. Первое уравнение является уравнением Ито и его решением является исходный процесс. Второе уравнение является уравнением с пуассововской компонентой и его решением является обобщенный телеграфный процесс. Приведены теоремы существования и единственности как сильных, так и слабых решений. Solutions of the Ito stochastic differential equation in a random environment are considered. The random environment is formed by the generalized telegraph process. It is proved that the initial problem is equivalent to a system of two stochastic differential equations with nonrandom coefficients. The first equation is the Ito equation, and the initial process is its solution. The second equation is an equation with Poisson process, and its solution is a generalized telegraph process. The theorems of existence and uniqueness of strong and weak solutions are proved. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде Stochastic differential equation in a random environment Article published earlier |
| spellingShingle | Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде Махно, С.Я. Мельник, С.А. |
| title | Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде |
| title_alt | Stochastic differential equation in a random environment |
| title_full | Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде |
| title_fullStr | Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде |
| title_full_unstemmed | Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде |
| title_short | Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде |
| title_sort | стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169366 |
| work_keys_str_mv | AT mahnosâ stohastičeskoedifferencialʹnoeuravnenievslučainoisrede AT melʹniksa stohastičeskoedifferencialʹnoeuravnenievslučainoisrede AT mahnosâ stochasticdifferentialequationinarandomenvironment AT melʹniksa stochasticdifferentialequationinarandomenvironment |