О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств
В работе изучаются гомеоморфизмы метрических пространств, более общие, чем квазиконформные отображения. Доказано, что семейства указанных отображений при определённых условиях на границы соответствующих областей являются равностепенно непрерывными в их замыкании. For the metric spaces, the homeomorp...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169367 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств / Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 399-417. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860164240925523968 |
|---|---|
| author | Севостьянов, Е.А. |
| author_facet | Севостьянов, Е.А. |
| citation_txt | О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств / Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 399-417. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | В работе изучаются гомеоморфизмы метрических пространств, более общие, чем квазиконформные отображения. Доказано, что семейства указанных отображений при определённых условиях на границы соответствующих областей являются равностепенно непрерывными в их замыкании.
For the metric spaces, the homeomorphisms more general than conformal mappings are studied. It is proved that the families of ine indicated mappings are equicontinuous in their closure under definite conditions imposed on the boundaries of the corresponding domains.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:56:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 3, 399 – 417
О глобальном поведении гомеоморфизмов
метрических пространств
Евгений А. Севостьянов
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В работе изучаются гомеоморфизмы метрических
пространств, более общие, чем квазиконформные отображения. До-
казано, что семейства указанных отображений при определённых
условиях на границы соответствующих областей являются равно-
степенно непрерывными в их замыкании.
1. Введение
В настоящей работе речь идёт об изучении гомеоморфизмов, пред-
ставляющих собой квазиконформные отображения с весом (см. [1–5]
и [6]). Рассматриваемые отображения также находятся в русле изу-
чения обобщённых квазиизометрий, многие из свойств которых уста-
новлены в сравнительно недавних работах [7–9] и [10]. В данной ста-
тье мы исследуем локальное поведение так называемых кольцевых
Q-гомеоморфизмов в области метрического пространства, а также
их поведение в замыкании области метрического пространства (см.,
напр., [11] и [12]). Основоположниками указанных исследований яв-
ляются Някки и Палка, полностью описавшие ситуацию квазикон-
формных отображений в евклидовом случае ([13,14]). Для отображе-
ний с неограниченной характеристикой аналогичные вопросы рассмо-
трены автором в евклидовом пространстве [15]. Более того, частично
рассмотрена и ситуация метрических пространств (см. [16]), где не-
которые из приведённых ниже утверждений установлены в частном
случае. Отметим, кроме того, статью [6], где получены значительные
результаты о граничном поведении Q-гомеоморфизмов. Хотя здесь
не изучались вопросы, связанные с локальным и глобальным поведе-
нием отображений, именно здесь данный объект (Q-гомеоморфизмы)
впервые рассмотрен в метрических пространствах.
Статья поступила в редакцию 07.06.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
400 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
Перейдём к изложению содержательной части работы и её основ-
ных результатов. Хорошо известно, что отображения классов Собо-
лева и Орлича–Соболева в пространстве Rn удовлетворяют соотно-
шениям вида
M(f(Γ)) 6
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x)ηn(|x− x0|)dm(x) (1.1)
для произвольной измеримой по Лебегу функции η : [ε, ε0] → [0,∞]
такой, что
ε0∫
ε
η(t)dt > 1, где Γ – семейство кривых, соединяющих сфе-
ры с центром в точке x0 и радиусов ε и ε0, m – мера Лебега в Rn, а M
– конформный модуль семейств кривых (см., напр., [17, следствие 5]
и [18, теорема 1]). Наша ближайшая цель – изучить некоторые свой-
ства отображений аналогичным тем, что удовлетворяют соотношени-
ям (1.1), в метрических пространствах. В настоящей статье основное
внимание уделяется локальному поведению отображений и поведе-
нию их в замыкании заданной области.
В дальнейшем (X, d, µ) и (X ′, d ′, µ ′) – метрические пространства
с метриками d и d ′ и борелевскими мерами µ и µ ′. Под областью
G в пространстве X следует понимать открытое линейно связное
множество в X. Кривой γ в X называется непрерывное отображение
γ : [a, b] → X. Длиной кривой γ на отрезке [a, b] называется величина
l(γ) := sup
n∑
i=1
d(γ(ti), γ(ti−1)) ,
где sup берётся по всем возможным разбиениям a = t0 6 t1 6 . . . 6
tn := b. Если l(γ) < ∞, кривая называется спрямляемой и, значит,
корректно определена функция длины sγ(t), означающая длину кри-
вой γ[a,t], t ∈ [a, b]. В таком случае, имеет место представление
γ(t) = γ0 ◦ sγ(t) ,
где γ0 называется нормальным представлением кривой γ (см., напр.,
[19, гл. 7, соотношение (7.2)]). Интегралом от борелевской функции
ρ : G→ [0,∞] называется величина
∫
γ
ρ(x)|dx| =
l(γ)∫
0
ρ(γ0(t))dt .
Е. А. Севостьянов 401
Под семейством кривых Γ подразумевается некоторый фиксирован-
ный набор кривых γ. Борелева функция ρ : X → [0,∞] называется
допустимой для семейства Γ кривых γ в X, если∫
γ
ρ(x)|dx| > 1
для всех (локально спрямляемых) кривых γ ∈ Γ (т.е., произвольная
кривая γ семейства Γ имеет длину, не меньшую 1 в метрике ρ). В
этом случае мы пишем: ρ ∈ admΓ.
Пусть p > 1 – фиксированное число, тогда p-модулем семейства
кривых Γ называется величина
Mp(Γ) = inf
ρ∈ admΓ
∫
X
ρp(x)dµ(x) .
При этом, если admΓ = ∅, то полагаем: Mp(Γ) = ∞ (см. [20, разд. 6
на с. 16]).
Говорят, что семейство кривых Γ1 минорируется семейством Γ2,
пишем Γ1 > Γ2, если для каждой кривой γ ∈ Γ1 существует подкри-
вая, которая принадлежит семейству Γ2. В этом случае,
Γ1 > Γ2 ⇒ Mp(Γ1) 6Mp(Γ2) (1.2)
(см. [21, теорема 1]).
Пусть E, F ⊂ X – произвольные множества. В дальнейшем че-
рез Γ(E,F,X) мы обозначаем семейство всех кривых γ : [a, b] → X,
которые соединяют E и F в X, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ X
при t ∈ (a, b). Пусть G и G ′ – области с конечными хаусдорфовыми
размерностями α > 2 и α ′ > 2 в метрических пространствах (X, d, µ)
и (X ′, d ′, µ ′), соответственно, и пусть Q : G → [0,∞] – измеримая
функция. Всюду далее
B(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r} , S(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) = r} ,
A = A(x0, r1, r2) = {x ∈ X : r1 < d(x, x0) < r2} . (1.3)
Зафиксируем p, q > 1 и будем называть гомеоморфизм f : G → G ′
кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ G относительно p и
q-модулей, если при любых 0 < r1 < r2 < dist (x0, ∂G) и для любых
сфер S1 = S(x0, r1) и S2 = S(x0, r2) выполнено неравенство
Mp(f(Γ(S1, S2, A))) 6
∫
A
Q(x) · ηq(d(x, x0))dµ(x) (1.4)
402 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r)dr > 1 , (1.5)
где A = A(x0, r1, r2).
Пусть (X, d) и (X ′, d ′) — метрические пространства с расстояни-
ями d и d ′, соответственно. Семейство F непрерывных отображений
f : X → X ′ называется нормальным, если из любой последователь-
ности отображений fm ∈ F можно выделить подпоследовательность
fmk , которая сходится локально равномерно в X (т.е., равномерно
на любых компактных подмножествах X) к непрерывной функции
f : X → X ′.
Введенное понятие очень тесно связано со следующим. Семейство
F отображений f : X → X ′ называется равностепенно непрерывным
в точке x0 ∈ X, если для любого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что
d ′ (f(x), f(x0)) < ε для всех таких x, что d(x, x0) < δ и для всех
f ∈ F. Говорят, что F равностепенно непрерывно, если F равносте-
пенно непрерывно в каждой точке x0 ∈ X. Согласно одной из вер-
сий теоремы Арцела–Асколи (см., напр., [20, пункт 20.4]), если (X, d)
– сепарабельное метрическое пространство, а (X ′, d ′) – компактное
метрическое пространство, то семейство F отображений f : X → X ′
нормально тогда и только тогда, когда F равностепенно непрерывно.
Следующее определение может быть найдено, напр., в [6, разд. 4].
Будем говорить, что интегрируемая в B(x0, r) функция φ : G → R
имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ G, φ ∈ FMO(x0), если
lim sup
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0, ε)
|φ(x)− φε| dµ(x) <∞,
где φε =
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0, ε)
φ(x) dµ(x).
Пусть (X, d, µ) – метрическое пространство с метрикой d, наде-
лённое локально конечной борелевской мерой µ. Следуя [19, раздел
7.22] будем говорить, что борелева функция ρ : X → [0,∞] является
верхним градиентом функции u : X → R, если для всех спрямляемых
кривых γ, соединяющих точки x и y ∈ X выполняется неравенство
|u(x)− u(y)| 6
∫
γ
ρ |dx|. Будем также говорить, что в указанном про-
странстве X выполняется (1; p)-неравенство Пуанкаре, если найдутся
Е. А. Севостьянов 403
постоянные C > 1 и τ > 1 так, что для каждого шара B ⊂ X, прои-
звольной ограниченной непрерывной функции u : τB → R и любого
её верхнего градиента ρ выполняется следующее неравенство:
1
µ(B)
∫
B
|u− uB|dµ(x) 6 C · (diamB)
1
µ(τB)
∫
τB
ρpdµ(x)
1/p
,
где uB := 1
µ(B)
∫
B
udµ(x). Метрическое пространство (X, d, µ) назовём
Q̃-регулярным по Альфорсу при некотором Q̃ > 1, если при каждом
x0 ∈ X, некоторой постоянной C > 1 и произвольного R < diamX
1
C
RQ̃ 6 µ(B(x0, R)) 6 CRQ̃.
Здесь иногда берутся замкнутые шары B(x0, R), что ввиду предель-
ных свойств меры не является принципиальным (см. [22, теорема 9.1,
гл. I]). Как известно, α-регулярные по Альфорсу пространства имеют
хаусдорфову размерность α (см. [19, с. 61–62]). Более того, нетрудно
видеть, что в таких пространствах области G также имеют хаусдор-
фову размерность α (см. там же). Условимся говорить, что метриче-
ское пространство X локально связно, если для произвольной окре-
стности U произвольной точки x0 ∈ X найдётся окрестность V ⊂ U,
являющаяся связной (см. [23, I.49.6]). Справедлива следующая
Теорема 1.1. Пусть G – область в локально связном и локаль-
но компактном метрическом пространстве (X, d, µ) с конечной ха-
усдорфовой размерностью α > 2, а (X ′, d ′, µ ′) – метрическое про-
странство, которое является α ′-регулярным по Альфорсу, и в ко-
тором выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре, p ∈ (α ′ − 1, α ′].
Пусть BR ⊂ X ′ – некоторый фиксированный шар радиуса R. Обо-
значим через Rp,q,x0,Q,BR,δ(G) семейство кольцевых Q-гомеоморфиз-
мов f : G → BR \ Kf в точке x0 ∈ G относительно p и q-модулей
области G на некоторую область f(G) ⊂ X ′ таких, что
sup
x,y∈Kf
d ′(x, y) > δ > 0 ,
где Kf ⊂ BR – некоторый континуум. Тогда семейство отображе-
ний Rp,q,x0,Q,BR,δ(G) является равностепенно непрерывным в точке
x0 ∈ G, если q ∈ (1, α] и Q ∈ FMO(x0).
Как будет видно из дальнейших рассуждений, приведённый ре-
зультат о равностепенной непрерывности отображений распростра-
няется также на точки замыкания области. При этом, здесь требу-
ются определённые дополнительные условия на границу области. В
404 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
связи с этим, напомним некоторые определения. Область D называ-
ется локально связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности
U точки x0 найдется окрестность V ⊂ U такая, что множество V ∩D
связно (см. [23, I.49.6]). Аналогично, область D будет называться ло-
кально линейно связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестно-
сти U точки x0 найдется окрестность V ⊂ U такая, что множество
V ∩D линейно связно. Согласно [24], область D в Rn будем называть
областью квазиэкстремальной длины относительно p-модуля, сокр.
QED-областью относительно p-модуля, если
Mp(Γ(E,F,X)) 6 A ·Mp(Γ(E,F,D)) (1.6)
для конечного числа A > 1 и всех континуумов E и F в D. Пусть
p, q > 1, D – область в метрическом пространстве (X, d, µ) с конечной
хаусдорфовой размерностью α > 2, Q : X → [0,∞] – измеримая фун-
кция, Q(x) ≡ 0 при всех x ̸∈ D. Отображение f : D → X будем на-
зывать кольцевым Q-отображением в точке x0 ∈ ∂D относительно
p и q-модулей, если для некоторого r0 = r(x0), произвольных коль-
ца A = A(x0, r1, r2), центрированного в точке x0, радиусов: r1, r2,
0 < r1 < r2 < r0 = r(x0) и любых континуумов E1 ⊂ B(x0, r1) ∩ D,
E2 ⊂ (X \B(x0, r2)) ∩D отображение f удовлетворяет соотношению
Mp (f (Γ (E1, E2, D))) 6
∫
A
Q(x) · ηq(d(x, x0)) dµ(x) (1.7)
для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞], такой что имеет
место соотношение (1.5). Имеет место следующая теорема.
Теорема 1.2. Предположим, G – область в метрическом простра-
нстве (X, d, µ) с локально конечной борелевской мерой µ и конечной
хаусдорфовой размерностью α > 2, а (X ′, d ′, µ ′) – метрическое про-
странство, являющееся α ′-регулярным по Альфорсу, в котором вы-
полнено (1; p)-неравенство Пуанкаре, p ∈ (α ′ − 1, α ′]. Пусть также
область G локально линейно связна в точках границы, а область
G ′ ⊂ BR является QED-областью относительно p-модуля, где BR
– некоторый шар в X ′, такой что BR – компакт в X ′. Тогда прои-
звольный кольцевой Q-гомеоморфизм f : G → G ′ в точке b ∈ ∂G
относительно p и q-модулей такой, что f(G) = G ′, q ∈ (1, α], имеет
непрерывное продолжение в точку b при условии, что Q ∈ FMO(b).
Обозначим через Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) семейство, состоящее из всех
кольцевых Q-гомеоморфизмов f : G → G ′ в каждой точке x0 ∈ G
относительно p и q-модулей таких, что f(a0) = a1 ̸= b1 = f(b0),
f(G) = G ′. Основной результат настоящей работы заключает в се-
бе следующее утверждение.
Е. А. Севостьянов 405
Теорема 1.3. Пусть G – область в локально связном и сепара-
бельном метрическом пространстве (X, d, µ) с конечной хаусдорфо-
вой размерностью α > 2, локально линейно связная в каждой то-
чке своей границы, а (X ′, d ′, µ ′) – метрическое пространство, α′-
регулярное по Альфорсу, в котором выполнено (1; p)-неравенство Пу-
анкаре, p ∈ (α ′ − 1, α ′]. Предположим, область G ′ ⊂ BR является
QED-областью относительно p-модуля, G ′ ⊂ BR, BR – некото-
рый фиксированный шар в X ′, такой, что BR компакт, причём най-
дётся невырожденный континуум K ⊂ BR \G ′.
Пусть Q ∈ FMO(G) и q ∈ (1, α]. Тогда каждое отображение се-
мейства Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) продолжается по непрерывности на ∂G,
при этом, семейство Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′), состоящее из всех продол-
женных таким образом отображений f : G → G ′, является равно-
степенно непрерывным в каждой точке x0 ∈ G.
2. О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов
внутри области
Результаты настоящего раздела установлены в работе [16] в ча-
стном случае p = α, q = α ′, где α, α ′ – хаусдорфовы размерности
пространств X и X ′, соответственно. Как известно, эффективным
методом исследования кольцевых Q-отображений в Rn является ме-
тод “сингулярных параметров”, т.е., метод, позволяющий связать по-
ведение заданной характеристики Q(x) с поведением модуля соответ-
ствующего семейства кривых. Применим этот метод и к исследова-
нию отображений в метрических пространствах. Следующая лемма
может быть полезной при исследовании свойства равностепенной не-
прерывности Q-гомеоморфизмов, удовлетворяющих (1.4), в наиболее
общей ситуации.
Лемма 2.1. Пусть G – область в метрическом пространстве
(X, d, µ) с конечной хаусдорфовой размерностью α > 2, а (X ′, d ′, µ ′)
– также, некоторое метрическое пространство с конечной хаусдор-
фовой размерностью α ′ > 2. Пусть p, q > 1 и f : G→ X ′ – кольцевой
Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ G относительно p и q-модулей, ото-
бражающий область G на некоторую область f(G) ⊂ X ′, кроме
того, пусть r0 > 0 таково, что шар B(x0, r0) лежит со своим за-
мыканием в G. Предположим, что для некоторого числа 0 < ε0 < r0,
некоторого ε ′0 ∈ (0, ε0) и семейства неотрицательных измеримых по
Лебегу функций {ψε(t)}, ψε : (ε, ε0) → [0,∞], ε ∈ (0, ε ′0) , выполнено
406 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
условие∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x) · ψqε(d(x, x0)) dµ(x) 6 F (ε, ε0) ∀ ε ∈ (0, ε ′0), (2.1)
где F (ε, ε0) – некоторая заданная функция и
0 < I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψε(t)dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε ′0). (2.2)
Тогда для сфер S1 = S(x0, ε) и S2 = S(x0, ε0), 0 < ε < ε ′0 выполнено
неравенство
Mp(f(Γ(S1, S2, A))) 6 F (ε, ε0)/I
q(ε, ε0) ∀ ε ∈
(
0, ε ′0
)
, (2.3)
где A = {x ∈ G : ε < d(x, x0) < ε0}.
Доказательство. Рассмотрим семейство измеримых функций
ηε(t) = ψε(t)/I(ε, ε0), t ∈ (ε, ε0) .
Заметим, что для ε ∈ (0, ε ′0) выполнено равенство
ε0∫
ε
ηε(t) dt = 1. Тогда
из определения кольцевого Q-гомеоморфизма в точке x0 относитель-
но p и q-модулей, и соотношений (2.1) получаем неравенство (2.3).
Справедливо следующее утверждение (см. [25, предложение 4.7]).
Предложение 2.1. Пусть X – α-регулярное по Альфорсу метри-
ческое пространство с мерой, в котором выполняется (1; p)-нера-
венство Пуанкаре, α > 1, p ∈ (α − 1, α]. Тогда для произвольных
континуумов E и F, содержащихся в шаре B(x0, R), и некоторой
постоянной C > 0 выполняется неравенство
Mp(Γ(E,F,X)) > 1
C
· min{diamE, diamF}
R1+p−α .
Теперь сформулируем и докажем утверждение о равностепенной
непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов между метрическими
пространствами в “максимальной” степени общности.
Лемма 2.2. Пусть G – область в локально связном и локально ком-
пактном метрическом пространстве (X, d, µ) с конечной хаусдорфо-
вой размерностью α > 2, а (X ′, d ′, µ ′) – метрическое пространство,
Е. А. Севостьянов 407
α ′-регулярное по Альфорсу, в котором выполнено (1; p)-неравенство
Пуанкаре, p ∈ (α ′ − 1, α ′].
Пусть r0 > 0 таково, что шар B(x0, r0) лежит со своим замыка-
нием в G и 0 < ε0 < r0. Предположим также, что для некоторо-
го числа ε ′0 ∈ (0, ε0) и семейства неотрицательных измеримых по
Лебегу функций {ψε(t)}, ψε : (ε, ε0) → (0,∞), ε ∈ (0, ε ′0) , выполнено
условие (2.1), где некоторая заданная функция F (ε, ε0) удовлетворя-
ет условию F (ε, ε0) = o(Iq(ε, ε0)), а I(ε, ε0) определяется соотноше-
нием (2.2).
Пусть BR ⊂ X ′ – некоторый фиксированный шар радиуса R. Обо-
значим через Rp,q,x0,Q,BR,δ(G) семейство кольцевых Q-гомеоморфиз-
мов f : G → BR \ Kf в точке x0 ∈ G относительно p и q-модулей
таких, что q ∈ (1, α] и sup
x,y∈Kf
d ′(x, y) > δ > 0, где Kf ⊂ BR – неко-
торый континуум. Тогда семейство отображений Rp,q,x0,Q,BR,δ(G)
является равностепенно непрерывным в точке x0 ∈ G.
Доказательство. Пусть x0 ∈ G, f ∈ Rp,q,x0,Q,BR,δ(G). Поскольку
пространство X локально связно и локально компактно, можно выб-
рать последовательность шаров B(x0, εk), k = 0, 1, 2, . . . , εk → 0 при
k → ∞, таких что Vk+1 ⊂ B(x0, εk) ⊂ Vk, где Vk – континуумы в G.
Заметим, что f(Vk) и Kf – континуумы в BR (в частности, f(Vk) –
континуум как непрерывный образ континуума, см. [23, теорема 1,
III, § 41 и теорема 3, I, § 46]). Тогда по предложению 2.1 при неко-
торой постоянной C > 0 получим:
Mp(Kf , f(Vk), X
′)) > 1
C
·
min{diamKf ,diam f(Vk)}
R1+p−α ′ . (2.4)
Для кривой γ : [a, b] → X положим, как обычно,
|γ| = {x ∈ X : ∃ t ∈ [a, b] : γ(t) = x} .
Заметим, что при k > 1 произвольная кривая γ ∈ Γ(Kf , f(Vk), X
′)
соединяет f(B(x0, ε0)) и X ′ \ f(B(x0, ε0)), поэтому найдётся точка
y1 ∈ |γ| ∩ f(S(x0, ε0)) и t1 ∈ (0, 1) такие, что γ(t1) = y1 и |γ|[0,t1)| ⊂
f(B(x0, ε0)) (см. [26, предложение 13.3] либо [23, теорема 1.I.46]). Обо-
значим γ1 := γ|[0,t1), и пусть α1 = f −1(γ1). Заметим, что |α1| ⊂
B(x0, ε0). Заметим далее, что α1 целиком не лежит ни в B(x0, εk−1),
ни в X \B(x0, εk−1), поэтому найдётся t2 ∈ (0, t1) такое, что α1(t2) ∈
S(x0, εk−1) (см. [23, теорема 1.I.46]) и |α[t2,t1]| ⊂ X \ B(x0, εk−1). По-
ложим α2 = α1|[t2,t1]. Заметим, что γ2 := f(α2) является подкривой
γ. Исходя из сказанного,
Γ(Kf , f(Vk), X
′) > Γ(f(S(x0, εk−1)), f(S(x0, ε0)), f(A)) ,
408 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
где A = {x ∈ X : εk−1 < d(x, x0) < ε0}, откуда ввиду соотношения
(1.2)
Mp(Γ(Kf , f(Vk), X
′)) 6Mp(Γ(f(S(x0, εk−1)), f(S(x0, ε0)), f(A))) .
(2.5)
Тогда из соотношений (2.4) и (2.5) вытекает, что
Mp(Γ(f(S(x0, εk−1)), f(S(x0, ε0)), f(A)))
> 1
C
·
min{diamKf ,diam f(Vk)}
R1+p−α ′ . (2.6)
С другой стороны, из леммы 2.1 и условия F (ε, ε0) = o(Iq(ε, ε0)) выте-
кает, что
Mp(Γ(f(S(x0, εk−1)), f(S(x0, ε0)), f(A))) → 0
при k → ∞, поэтому для любого σ > 0 найдётся k0 ∈ N = k0(σ)
такой, что при всех k > k0
Mp(Γ(f(S(x0, εk−1)), f(S(x0, ε0)), f(A))) < σ .
В таком случае, из (2.6) вытекает, что при указанных k ∈ N
min{diamKf ,diam f(Vk)} < σ. (2.7)
Поскольку по условию diamKf > δ > 0 для всех f из рассматриваемо-
го семейства отображений, то min{diamKf ,diamf(Vk)} = diamf(Vk)
начиная с некоторого номера k1 > k0, k1 = k1(σ). Тогда из (2.7) выте-
кает, что
diam f(Vk) < σ (2.8)
при всех k > k1. Из включений Vk+1 ⊂ B(x0, εk) ⊂ Vk следует, что
неравенство (2.8) выполнено также в шаре B(x0, εk) при k > k1(σ).
Положим ε(σ) := εk1 . Окончательно, для числа σ > 0 найдётся ε(σ) >
0 такое, что при d(x, x0) < ε(σ) выполнено d ′(f(x), f(x0)) < σ, что
и означает равностепенную непрерывность семейства отображений
Rp,q,x0,Q,BR,δ(G) в точке x0.
Доказательство теоремы 1.1 вытекает из леммы 2.2 и [26, лем-
ма 13.2].
Действительно, согласно [26, лемма 13.2], условие Q ∈ FMO(y0)
влечёт, что при некотором ε0 > 0 и ε→ 0∫
ε<d(y,y0)<ε0
Q(x) · ψq(d(y, y0)) dµ(y) = O
(
log log
1
ε
)
,
Е. А. Севостьянов 409
где ψ(t) =
(
t log 1
t
)−α/q
> 0 и 1 < q 6 α. Как и прежде, определим
I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t)dt, тогда
I(ε, ε0) =
ε0∫
ε
ψ(t)dt > log
log 1
ε
log 1
ε0
.
В таком случае, заключаем, что условия (2.1)–(2.2), фигурирующие
в лемме 2.2, выполнены и, значит, из этой леммы вытекает требуемое
утверждение.
3. О непрерывном продолжении гомеоморфизмов
в метрическом пространстве
Аналог следующей леммы доказывался В.И. Рязановым и Р.Р. Са-
лимовым в работе [6] для случая, когда границы отображённых обла-
стей сильно достижимы, либо являются слабо плоскими (см. также
статью [27]). Указанные условия на границы мы заменяем ниже тре-
бованием вида (1.6), при этом, здесь присутствуют также некото-
рые дополнительные ограничения на сами метрические пространс-
тва. Приведённое ниже утверждение установлено в [27] (см. также [6])
в частном случае, когда p = α ′, q = α. В случае произвольных p и q
наличие упомянутой связи, насколько нам известно, не установлено.
Лемма 3.1. Пусть G – область в метрическом пространстве
(X, d, µ) с конечной хаусдорфовой размерностью α > 2, а (X ′, d ′, µ ′) –
метрическое пространство, являющееся α ′-регулярным по Альфор-
су, в котором выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре, p ∈ (α ′−1, α ′].
Пусть также область G локально линейно связна в точках грани-
цы, а область G ′ ⊂ BR является QED-областью относительно p-
модуля, где BR – некоторый шар в X ′, такой что BR – компакт в
X ′.
Предположим также, что найдётся ε0 > 0 и некоторая поло-
жительная измеримая функция ψ(t), ψ : (0, ε0) → (0,∞), такая что
для всех ε ∈ (0, ε0)
0 < I(ε, ε0) =
ε0∫
ε
ψ(t)dt <∞ (3.1)
и при ε→ 0 и некотором q ∈ (1, α]∫
A(b,ε,ε0)
Q(x) · ψ q(d(x, b)) dµ(x) = o(Iq(ε, ε0)) , (3.2)
410 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
где A := A(b, ε, ε0) определено в (1.3). Тогда произвольное кольцевое
Q-отображение f : G → G ′ в точке b ∈ ∂G относительно p и q-
модулей, такое, что f(G) = G ′, имеет непрерывное продолжение в
точку b.
Доказательство. Поскольку G ′ ⊂ BR и BR – компакт в X ′, предель-
ное множество C(f, b) не пусто.
Предположим противное, а именно, что отображение f не имеет
непрерывного продолжения в точку b. Тогда найдутся, по крайней
мере, две последовательности xi, x
′
i ∈ G, i = 1, 2, . . . , такие, что
xi → b, x ′
i → b при i → ∞, f(xi) → y, f(x ′
i ) → y ′ при i → ∞
и y ′ ̸= y. Отметим, что y и y ′ ∈ ∂D ′, так как f – гомеоморфизм
(см. [26, предложение 13.5]). Заметим, что в этом случае найдётся
δ > 0 такое, что d ′(f(xi), f(x
′
i )) > δ > 0 при всех i ∈ N. Соединим
точки xi и x ′
i кривой Ci, целиком лежащей в B(b, 2−i), что возможно
ввиду локальной связности области G в точке b. Пусть C ′
i = f(Ci),
тогда diamC ′
i > δ > 0 при всех i ∈ N. Не ограничивая общности
рассуждений, можно считать, что G \ B(b, ε0) ̸= ∅. Выберем прои-
звольную точку z0 ∈ G \ B(b, ε0) и соединим её с точкой b локально
спрямляемой кривой, лежащей в G (что возможно ввиду [26, предло-
жение 13.2]). Тогда у этой кривой существует подкривая, лежащая
в G \ B(b, ε0) ввиду [26, предложение 13.3] (см. по этому поводу та-
кже [23, теорема 1.I.46]). Эту подкривую обозначим через K и заме-
тим, что она представляет собой некоторый фиксированный конти-
нуум в G\B(b, ε0); тогда при больших i ∈ N имеем: K ⊂ G\B(b, 2−i).
Тогда, с одной стороны, поскольку G ′ является QED-областью
относительно p-модуля, то для некоторой постоянной A > 1
Mp(Γ(C
′
i , f(K), G ′)) > 1
A
·Mp(Γ(C
′
i , f(K), X ′) . (3.3)
Поскольку X ′ является α ′-регулярным по Альфорсу и, кроме того,
в X ′ выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре, ввиду предложения 2.1
Mp(Γ(C
′
i , f(K), X ′) > 1
C
· min{diam f(K),diamC ′
i }
R1+p−α ′ > δ1 > 0 , (3.4)
где δ1 не зависит от i. Из (3.3) и (3.4) вытекает, что
Mp(Γ(C
′
i , f(K), G ′)) > δ2 > 0 , (3.5)
где δ2 не зависит от i.
С другой стороны, рассмотрим семейство кривых Γi, соединяю-
щих K и Ci. Рассмотрим функцию
η(t) =
{
ψ(t)/I(2−i, ε0), t ∈ (2−i, ε0),
0, t ∈ R \ (2−i, ε0) ,
Е. А. Севостьянов 411
где I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t)dt, удовлетворяет условию нормировки вида (1.5)
при r1 := 2−i, r2 := ε0. В силу определения кольцевого Q-отображе-
ния f : G → G ′ в точке b ∈ ∂G относительно p и q-модулей, а также
соотношений (3.1)–(3.2), будем иметь:
Mp (f (Γi)) =Mp(Γ(C
′
i , f(K), G ′)) 6 ∆(i) , (3.6)
где ∆(i) → 0 при i → ∞. Однако, (3.6) противоречит (3.5), что и
доказывает утверждение леммы.
Доказательство теоремы 1.2 вытекает из леммы 3.1 на основа-
нии рассуждений, аналогичных рассуждениям, сделанных при дока-
зательстве теоремы 1.1. 2
4. О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов
в замыкании области
Обозначим через Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) семейство, состоящее из всех
кольцевых Q-гомеоморфизмов f : G → G ′ в каждой точке x0 ∈ G
относительно p и q-модулей, таких, что f(a0) = a1 ̸= b1 = f(b0),
f(G) = G ′. Имеет место следующее утверждение.
Лемма 4.1. Пусть G – область в локально связном и сепарабель-
ном метрическом пространстве (X, d, µ) с конечной хаусдорфовой
размерностью α > 2, локально линейно связная в каждой точке сво-
ей границы, а (X ′, d ′, µ ′) – метрическое пространство, α′-регулярное
по Альфорсу, в котором выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре, p ∈
(α ′ − 1, α ′]. Предположим, область G ′ ⊂ BR является QED-облас-
тью относительно p-модуля, BR – некоторый фиксированный шар
в X ′, BR – компакт в X ′, причём найдётся невырожденный конти-
нуум K ⊂ BR \G ′.
Предположим, для каждой точки x0 ∈ G, некоторого числа ε ′0 ∈
(0, ε0), ε0 = ε0(x0), и семейства {ψε(t)} измеримых по Лебегу фун-
кций ψε : (ε, ε0) → (0,∞), ε ∈ (0, ε ′0) , выполнено условие (2.1), где
некоторая заданная функция F (ε, ε0) удовлетворяет условию
F (ε, ε0) = o(Iq(ε, ε0)) , q ∈ (1, α] ,
а I(ε, ε0) определяется соотношением (2.2).
Тогда каждое отображение семейства Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) продол-
жается по непрерывности на ∂G, при этом, семейство отображе-
ний Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′), состоящее из всех продолженных таким обра-
зом отображений f : G→ G ′ является равностепенно непрерывным
в каждой точке x0 ∈ G.
412 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
Доказательство. Заметим, что G – локально компактно. Действи-
тельно, так как G ′ ⊂ BR и BR – компакт в X ′, то G ′ также ком-
пакт как замкнутое подмножество компактного пространства BR.
Тогда для достаточно малого ε > 0 шары B(y0, ε) компактны при
y0 ∈ G ′. С другой стороны, поскольку f(G) = G ′ при произвольном
f ∈ Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′), то какова бы ни была точка x0 ∈ G, для то-
чки y0 = f(x0) множество f −1(B(y0, ε)) компактно как непрерывный
образ компакта и, одновременно, является окрестностью точки x0.
Кроме того, заметим, что G ′ имеет хаусдорфову размерность α ′,
что вытекает из α ′-регулярности по Альфорсу пространства X ′ (см.
рассуждения на с. 61 в [19]).
В таком случае, равностепенная непрерывность семейства продол-
женных отображений Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) во внутренних точках обла-
сти G является утверждением леммы 2.2, а возможность непрерыв-
ного на границу по непрерывности – леммы 3.1. Осталось доказать
равностепенную непрерывность семейства Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) в точках
∂G.
Предположим противное, тогда найдётся x0 ∈ ∂G и число a > 0
такое, что для каждого m = 1, 2, . . . существуют точка xm ∈ G и
элемент fm семейства Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) такие, что d(x0, xm) < 1/m и
d ′ (fm(xm), fm(x0)) > a . (4.1)
Ввиду возможности непрерывного продолжения каждого fm на гра-
ницу G, мы можем считать, что xm ∈ G.
В силу локальной линейной связности области G в точке x0 най-
дётся последовательность окрестностей Vm точки x0 с diamVm → 0
при m → ∞, такие что множества G ∩ Vm являются областями и
xm ∈ G ∩ Vm. Т.к. граничные точки области, локально связной на
границе являются достижимыми из G некоторым локально спрямля-
емым путём, см. [26, предложение 13.2], мы можем соединить точки
xm и x0 кривой γm(t) : [0, 1] → G такой, что γm(0) = x0, γm(1) = xm
и γm(t) ∈ Vm при t ∈ (0, 1). Можно считать, что |γm| ⊂ B(x0, 1/m).
Обозначим через Cm образ кривой γm(t) при отображении fm. Из
соотношения (4.1) вытекает, что
diamCm > a ∀m ∈ N . (4.2)
Соединим точки a0 и b0 ∈ G из условия леммы кривой β : [0, 1] →
G, лежащей в G, такой что β(0) = a0 и β(1) = b0. Можно считать, что
dist (|β|, ∂G) > ε0(x0), где ε0(x0) – из условия леммы, а, как обычно,
|β| = {x ∈ G : ∃ t ∈ [0, 1] : β(t) = x} – носитель кривой β. Посколь-
ку семейство Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) является равностепенно непрерывным
Е. А. Севостьянов 413
в G, BR – компакт, а G – сепарабельно, Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) является
нормальным ввиду критерия Арцела–Асколи (см. [20, пункт 20.4]).
В таком случае, не ограничивая общности рассуждений, можно счи-
тать, что найдётся непрерывное отображение f : G → BR, такое что
sup
x∈|β|
d ′(fm(x), f(x)) → 0 при m→ ∞. Тогда f(|β|) – компакт в X ′ как
образ компакта |β| ⊂ G при непрерывном отображении f.
Возможны две ситуации: 1) f(|β|) ⊂ G ′, тогда полагаем B :=
f(|β|); 2) f(|β|) ∩ ∂G ′ ̸= ∅. В этом случае полагаем t0 := { sup
t∈[0,1]
t :
f(β(r)) ∈ G ′ при всех r ∈ [0, t]}. Возьмём теперь произвольное s0 < t0
и положим B := f(|β[0,s0]|). Очевидно, в обеих из двух ситуаций B
– невырожденный континуум в G ′, при этом, существует компакт
C = |β[0,s0]|, 0 < s0 6 1, такой что f(C) = B. Тогда ввиду локально
равномерной сходимости fm к f найдётся k0 ∈ N такой, что
diam (fm(C)) >
diam (f(C))
2
:= δ0 > 0 ∀m > k0 . (4.3)
Рассмотрим теперь семейство кривых Γm = Γ(fm(C), Cm, G
′). По-
скольку по условию G ′ является QED-областью, а пространство X ′
является α ′-регулярным по Альфорсу, в котором выполнено (1; p)-
неравенство Пуанкаре, то ввиду предложения 2.1, (4.2) и (4.3), будем
иметь:
Mp(Γm) >
1
A
·Mp(Γ(fm(C), Cm, X
′)) (4.4)
> 1
AC
· min{diam fm(C),diamCm}
R1+p−α ′ >M1 > 0 ,
где M1 – некоторая постоянная, которая не зависит от m ∈ N. С дру-
гой стороны, так как fm – гомеоморфизм, то Γm = Γ(fm(C), Cm, G
′)
= fm(Γ(C, |γm|, G), причём C ⊂ G \ B(x0, ε0), а |γm| ⊂ B(x0, 1/m).
Тогда по определению кольцевого Q-гомеоморфизма в точке x0 отно-
сительно p и q-модулей
Mp(Γm) =Mp(Γ(fm(C), Cm, G
′)) =Mp(fm(Γ(C), |γm|, G))
6
∫
A(x0,
1
m
,ε0)
Q(x) · ηq(d(x, x0))dµ(x) (4.5)
для каждой измеримой функции η : ( 1
m , ε0) → [0,∞], такой что
ε0∫
1
m
η(r)dr > 1. Заметим, что функция
η(t) =
{
ψ(t)/I(1/m, ε0), t ∈ (1/m, ε0),
0, t ∈ R \ (1/m, ε0) ,
414 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
где I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t)dt, удовлетворяет условию нормировки вида (1.5)
при r1 := 1/m, r2 := ε0, поэтому из условий (4.5) и (2.1) вытекает,
что
Mp(Γm) 6 α(1/m) → 0 (4.6)
при m → ∞, где α(ε) – некоторая неотрицательная функция, стре-
мящаяся к нулю при ε→ 0, которая существует ввиду условия (2.1).
Однако, соотношение (4.6) противоречит (4.4). Полученное противо-
речие указывает на то, что исходное предположение (4.1) было не-
верным, и, значит, семейство отображений Rp,q,Q,a0,b0(G,G
′) равно-
степенно непрерывно в точке x0 ∈ ∂G.
Доказательство теоремы 1.3 вытекает из леммы 4.1 на основа-
нии рассуждений, аналогичных рассуждениям, сделанных при дока-
зательстве теоремы 1.1.
5. Заключительные замечания
Большая часть условий, присутствующих в основных результа-
тах статьи, по-видимому, являются только достаточными. Тем не ме-
нее, опишем некоторые требования, которые можно обозначить, как
“близкие к необходимым”.
Прежде всего, в теоремах 1.1, 1.2 и 1.3 нельзя, вообще говоря,
отказаться от условия Q ∈ FMO, заменив его более слабым требова-
нием Q ∈ Lp, каким бы большим ни было число p > 1. Для простоты
рассмотрим X = X ′ = Rn со стандартной евклидовой метрикой и Ле-
беговой мерой. Пусть, кроме того, q = p = n. В этом случае отобра-
жение, удовлетворяющее оценке (1.7) будем называть просто “коль-
цевым Q-гомеоморфизмом”. Ниже приведён результат, относящийся
к равностепенной непрерывности (по поводу устранения особенности
см., напр., [26, предложение 6.3]).
Положим D := Bn \{0} ⊂ Rn, D ′ := B(0, 2)\{0} ⊂ Rn. Обозначим
через AQ семейство всех кольцевых Q-гомеоморфизмов g : Bn\{0} →
Rn в точке 0. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.1. Для каждого p > 1 найдётся функция Q : Bn → [1,∞],
Q(x) ∈ Lp(Bn) и последовательность gm ∈ AQ такая, что каждый
элемент gm имеет непрерывное продолжение в точку x0 = 0, при
этом, семейство {gm(x)}∞m=1 не является равностепенно непрерыв-
ным в точке x0 = 0.
Е. А. Севостьянов 415
Доказательство теоремы 5.1 может быть найдено в [16, теоре-
ма 8].
В условиях теоремы 1.3, даже в случае Q(x) ≡ 1, от условия фи-
ксации, по крайней мере, одной внутренней точки области D каждым
гомеоморфизмом f соответствующего семейства отображений, отка-
заться нельзя. Сказанное выше показывает следующий пример семей-
ства конформных (Q(x) ≡ 1) отображений на плоскости: ft(z) = z−t
1−tz ,
которое при каждом фиксированном t ∈ (−1, 1) переводит область
D = B2 ⊂ C на D ′ = B2 ⊂ C, см., напр., [28, соотношение (12), гл. V,
§ 1]. При этом, при каждом фиксированном z ∈ B2, ft(z) → −1 при
t → 1, в то же время, ft(1) = 1 при всех t ∈ (−1, 1), откуда следует,
что семейство ft(z) не является равностепенно непрерывным в точке
z0 = 1. Относительно необходимости фиксации двух и более точек
области мы ничего не можем сказать – это условие может относиться
к методу доказательства и, таким образом, не быть необходимым.
Настоящая статья опубликована в виде электронного препринта,
см. [29].
Литература
[1] Andreian Cazacu C., On the length-area dilatation // Complex Var. Theory Appl.,
50 (2005), No. 7–11, 765–776.
[2] C. J. Bishop, V. Ya. Gutlyanskii, O. Martio, M. Vuorinen, On conformal dilatation
in space // Intern. Journ. Math. and Math. Scie., 22 (2003), 1397–1420.
[3] M. Cristea, Local homeomorphisms having local ACLn inverses // Compl. Var.
and Ellipt. Equat., 53 (2008), No. 1, 77–99.
[4] V. Ya. Gutlyanskĭi, A. Gol’berg, On Lipschitz continuity of quasiconformal
mappings in space // J. d’ Anal. Math., 109 (2009), 233–251.
[5] V. Ya. Gutlyanskii, V. I. Ryazanov, E. Yakubov, The Beltrami equations and
prime ends // Ukr. Mat. Visn., 12 (2015), No. 1, 27–66; transl. in Journal of
Mathematical Sciences, 210 (2015), No. 1, 2–51.
[6] В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Слабо плоские пространства и границы в
теории отображений // Укр. матем. вестник, 4 (2007), No. 2, 199–234.
[7] Р. Р. Салимов, О кольцевых Q-отображениях относительно неконформного
модуля // Дальневост. матем. журн., 14 (2014), No. 2, 257–269.
[8] Р. Р. Салимов, О липшицевости одного класса отображений // Мат. заме-
тки, 94 (2013), No. 4, 591–599.
[9] A. L. Golberg, R. R. Salimov, E. A. Sevost’yanov, Normal Families of Discrete
Open Mappings with Controlled p-Module // Contemporary Mathematics, 667
(2016), 83–103.
416 О глобальном поведении гомеоморфизмов...
[10] A. L. Golberg, R. R. Salimov, E. A. Sevost’yanov, Singularities of discrete open
mappings with controlled p-module // J. Anal. Math, 127 (2015), 303–328.
[11] V. Ryazanov, E. Sevost’yanov, Toward the theory of ring Q-homeomorphisms //
Israel J. Math., 168 (2008), 101–118.
[12] Е. А. Севостьянов, Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства ото-
бражений, допускающих ветвление // Укр. матем. вестник, 28 (2007), No. 6,
582–604.
[13] R. Näkkia, B. Palka, Uniform equicontinuity of quasiconformal mappings // Proc.
Amer. Math. Soc., 37 (1973), No. 2, 427–433.
[14] R. Näkki, Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math, 35 (1979),
13–40.
[15] E. A. Sevost’yanov, Equicontinuity of homeomorphisms with unbounded
characteristic // Siberian Advances in Mathematics, 23 (2013), No. 2, 106–122.
[16] Е. А. Севостьянов, О локальном и граничном поведении отображений в ме-
трических пространствах // Алгебра и анализ, 28 (2016), No. 6, 118–146.
[17] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории
классов Орлича-Соболева // Алгебра и анализ, 25 (2013), No. 6, 50–102.
[18] Е. А. Севостьянов, Обобщение одной леммы Е.А. Полецкого на классы про-
странственных отображений // Укр. матем. ж., 61 (2009), No. 7, 969–975.
[19] J. Heinonen, Lectures on Analysis on metric spaces, New York, Springer Sci-
ence+Business Media, 2001.
[20] J. Väisälä., Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes
in Math. 229, Berlin etc., Springer–Verlag, 1971.
[21] B. Fuglede, Extremal length and functional completion // Acta Math., 98 (1957),
171–219.
[22] С. Сакс, Теория интеграла, М., ИЛ, 1949.
[23] К. Куратовский, Топология, T. 2, М., Мир, 1969.
[24] F. W. Gehring, O. Martio, Quasiextremal distance domains and extension of qua-
siconformal mappings // J. d’Anal. Math., 24 (1985), 181–206.
[25] T. Adamowicz, N. Shanmugalingam, Non-conformal Loewner type estimates for
modulus of curve families // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 35 (2010), 609–626.
[26] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro and E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping
Theory, New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
[27] Е. С. Смоловая, Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в ме-
трических пространствах // Укр. мат. журн., 62 (2012), No. 5, 682–689.
Е. А. Севостьянов 417
[28] А. Гурвиц, Р. Курант, Теория функций, Москва, Наука, 1968.
[29] E.A. Sevost’yanov, On equicontinuity of homeomorphisms in a closure of a
domain in metric space // www. arxiv. org, arXiv:1502.07932, 16 p.
Сведения об авторах
Евгений
Александрович
Севостьянов
Житомирский государственный
университет имени Ивана Франко,
Житомир, Украина
E-Mail: esevostyanov2009@gmail.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169367 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:56:10Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Севостьянов, Е.А. 2020-06-10T17:39:54Z 2020-06-10T17:39:54Z 2017 О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств / Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 399-417. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169367 В работе изучаются гомеоморфизмы метрических пространств, более общие, чем квазиконформные отображения. Доказано, что семейства указанных отображений при определённых условиях на границы соответствующих областей являются равностепенно непрерывными в их замыкании. For the metric spaces, the homeomorphisms more general than conformal mappings are studied. It is proved that the families of ine indicated mappings are equicontinuous in their closure under definite conditions imposed on the boundaries of the corresponding domains. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств On the global behavior of homeomorphisms of metric spaces Article published earlier |
| spellingShingle | О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств Севостьянов, Е.А. |
| title | О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств |
| title_alt | On the global behavior of homeomorphisms of metric spaces |
| title_full | О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств |
| title_fullStr | О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств |
| title_full_unstemmed | О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств |
| title_short | О глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств |
| title_sort | о глобальном поведении гомеоморфизмов метрических пространств |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169367 |
| work_keys_str_mv | AT sevostʹânovea oglobalʹnompovedeniigomeomorfizmovmetričeskihprostranstv AT sevostʹânovea ontheglobalbehaviorofhomeomorphismsofmetricspaces |