К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169372 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости / И.В. Денега, Б.А. Клищук // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 472-480. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859695231932301312 |
|---|---|
| author | Денега, И.В. Клищук, Б.А. |
| author_facet | Денега, И.В. Клищук, Б.А. |
| citation_txt | К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости / И.В. Денега, Б.А. Клищук // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 472-480. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| first_indexed | 2025-12-01T00:34:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 4, 472 – 480
К задаче об экстремальном разбиении
комплексной плоскости
Ирина В. Денега, Богдан А. Клищук
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В данной работе изучается одна из классических про-
блем геометрической теории функций комплексного переменного о
максимуме функционала
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]γ
n∏
k=1
r (Bk, ak) ,
где n ∈ N, n > 2, γ ∈ R+, An = {ak}nk=1 – система точек, такая
что |ak| = 1, a0 = 0, B0, B∞, {Bk}nk=1 – совокупность взаимно не-
налегающих областей, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, r(B, a)
– внутренний радиус области B ⊂ C относительно точки a ∈ B.
В работе рассматривается эта задача при некоторых более слабых
ограничениях на взаимное неналегание областей.
2010 MSC. 30C75.
Ключевые слова и фразы. Внутренний радиус области, непере-
секающиеся области, лучевые системы точек, разделяющее преобра-
зование, квадратичный дифференциал, функция Грина.
В настоящее время задачи об экстремальном разбиении компле-
ксной плоскости занимают значительное место в геометрической те-
ории функций комплексного переменного и имеют богатую историю.
Впервые экстремальные разбиения рассматривались при получении
оценок произведения степеней конформных радиусов неналегающих
областей. Эта тематика восходит к статье М. А. Лаврентьева 1934
года [1] и впоследствии развивалась в работах многих авторов (см.,
например [2–12]). Следует отметить, что важным элементом исследо-
вания экстремальных задач являются результаты теории квадрати-
чных дифференциалов, описывающие локальную и глобальную стру-
ктуру их траекторий [2].
Статья поступила в редакцию 26.12.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
И. В. Денега, Б. А. Клищук 473
Пусть N, R – множества натуральных и вещественных чисел, соо-
тветственно, C – комплексная плоскость, C = C
∪
{∞} – расширенная
комплексная плоскость или сфера Римана, R+ = (0,∞). Пусть
r(B, a) =
exp(lim
z→a
(gB(z, a) + log |z − a|)), a ̸= ∞
exp(lim
z→a
(gB(z, a)− log |z|)), a = ∞
– внутренний радиус области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B, где
gB(z, a) – обобщенная функция Грина области B.
Систему точек An := {ak ∈ C, k = 1, n}, n ∈ N, n > 2 назовем
n-лучевой, если |ak| ∈ R+ при k = 1, n и
0 = arg a1 < arg a2 < ... < arg an < 2π.
Введем обозначения
Pk = Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1}, an+1 := a1,
αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αk > 0, αn+1 := α1, k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2. (1)
Пусть D – открытое множество в C, содержащее лучевую систему
точек An = {ak}nk=1. Если a ∈ D, то обозначим через D(a) связную
компоненту D, содержащую точку a; Dk(ap) – связную компонен-
ту множества D(ap) ∩ Pk(An), содержащую точку ap, p ∈ {k, k + 1},
k = 1, n; Dk(0) – связную компоненту множества D(0) ∩ Pk(An), со-
держащую точку w = 0; Dk(∞) – связную компоненту множества
D(∞) ∩ Pk(An), содержащую бесконечно удаленную точку.
Внутренним радиусом r (D, ak) открытого множества D относи-
тельно точки a называется внутренний радиус связной компоненты
множества D, содержащей точку a.
Пусть открытое множество D содержит точки w1 = 0, w2 = ∞ и
произвольную n-лучевую систему точек An = {ak}nk=1, тогда будем
говорить, что такое множество удовлетворяет условию неналегания
относительно системы точек An, если множества Dk(ak), Dk(ak+1),
Dk(0) и Dk(∞) попарно не пересекаются для каждого k = 1, n.
Пусть {Bk}nk=1, B∞, B0 – произвольный набор областей таких,
что 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n. Пусть
D̃ =
n∪
k=1
Bk ∪B0 ∪B∞. Будем говорить, что система B∞, B0, {Bk}nk=1
удовлетворяет условию частичного налегания относительно некото-
рой системы An, если открытое множество D̃ удовлетворяет условию
неналегания относительно этой же n-лучевой системы точек An.
474 К задаче об экстремальном разбиении...
Рассмотрим следующую экстремальную задачу.
Задача. При всех значениях параметра γ ∈ R+ найти максимум
функционала
Jn(γ) = [r (B0, 0) r (B∞,∞)]γ
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (2)
где n ∈ N, n > 2, An = {ak}nk=1 – n-лучевая система точек такая,
что |ak| = 1, a0 = 0, B0, B∞, {Bk}nk=1 – совокупность областей, удов-
летворяющих условию частичного налегания относительно системы
An, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, и описать все экстремали.
При γ = 1
2 и n > 2 оценка для функционала (2) для системы
неналегающих областей которые рассположены на единичной окру-
жности была найдена в работе [3, с. 59]. Этот результат был усилен
в работе [9, с. 267]. Некоторые частные случаи сформулированной
выше задачи были также рассмотрены в работах [5, 6].
В данной работе мы рассматриваем выше сформулированную за-
дачу при определенных ограничениях на величины αk, k = 1, n. Пусть
y0 ≈ 0, 884414 – корень уравнения
ln
y2
1− y2
=
1
y2
. (3)
Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть n ∈ N, n > 2, γ ∈ (0, γn), γn = 1
4y
2
0n
2. Тогда для
любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 такой, что |ak| = 1,
0 < αk 6 y0/
√
γ, где y0 – корень уравнения (3), k = 1, n и любого
набора областей Bk, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C,
k = 1, n, удовлетворяющего условию частичного налегания относи-
тельно лучевой системы An, справедливо неравенство
Jn(γ) 6
(
4
n
)n
(
4γ
n2
) 2γ
n
∣∣∣1− 4γ
n2
∣∣∣ 2γn +n
2
∣∣∣∣n− 2
√
γ
n+ 2
√
γ
∣∣∣∣2
√
γ
. (4)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда точки 0,
∞, ak и области B0, B∞, Bk, k = 1, n, являются, соответственно,
полюсами и круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
2n + (n2 − 2γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (5)
И. В. Денега, Б. А. Клищук 475
Доказательство. Рассмотрим открытое множество
D̃ =
n∪
k=1
Bk ∪B0 ∪B∞.
Очевидно, что r (Bk, ak) 6 r
(
D̃, ak
)
= r
(
D̃(ak), ak
)
. Отсюда
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]γ
n∏
k=1
r (Bk, ak)
6
[
r
(
D̃, 0
)
r
(
D̃,∞
)]γ n∏
k=1
r
(
D̃, ak
)
.
Пусть ζ = πk(w) обозначает ту однозначную ветвь многозначной ана-
литической функции −i
(
e−i arg akw
) 1
αk , k = 1, n, которая осуществля-
ет однолистное и конформное отображение P k на правую полупло-
скость Re ζ > 0. Рассмотрим систему функций
ζ = πk(w) = −i
(
e−i arg akw
) 1
αk , k = 1, n.
Пусть Ω
(1)
k , k = 1, n, обозначает область плоскости Cζ , полученную в
результате объединения связной компоненты множества πk(Bk
∩
P k),
содержащей точку πk(ak), со своим симметричным отражением отно-
сительно мнимой оси. В свою очередь, через Ω
(2)
k , k = 1, n, обозна-
чаем область плоскости Cζ , полученную в результате объединения
связной компоненты множества πk(Bk+1
∩
P k), содержащей точку
πk(ak+1), со своим симметричным отражением относительно мнимой
оси, Bn+1 := B1, πn(an+1) := πn(a1). Кроме того, Ω
(0)
k будет обо-
значать область плоскости Cζ , полученную в результате объеди-
нения связной компоненты множества πk(B0
∩
P k), содержащей то-
чку ζ = 0, со своим симметричным отражением относительно мни-
мой оси. Аналогично, Ω(∞)
k будет обозначать область плоскости Cζ ,
полученную в результате объединения связной компоненты множе-
ства πk(B∞
∩
P k), содержащей точку ζ = ∞, со своим симметри-
чным отражением относительно мнимой оси. Ясно, что πk(ak) := −i,
πk(ak+1) := i, k = 1, n. Из определения функций πk вытекает, что
|πk(w) + i| ∼ 1
αk
|w − ak|, w → ak, w ∈ Pk,
|πk(w)− i| ∼ 1
αk
|w − ak+1|, w → ak+1, w ∈ Pk,
476 К задаче об экстремальном разбиении...
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → 0, w ∈ Pk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → ∞, w ∈ Pk.
Используя соответствующие результаты для разделяющего преобра-
зования [3, 7], имеем неравенства
r (Bk, ak) 6
[
αkr
(
Ω
(1)
k ,−i
)
· αk−1r
(
Ω
(2)
k−1, i
)] 1
2
, (6)
r (B0, 0) 6
[
n∏
k=1
rα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)] 1
2
, (7)
r (B∞,∞) 6
[
n∏
k=1
rα
2
k
(
Ω
(∞)
k ,∞
)] 1
2
. (8)
Условия реализации знака равенства в неравенствах (6)–(8) описаны
в работе [7, с. 29]. На основании этих соотношений получаем нера-
венство
Jn(γ) 6
(
n∏
k=1
αk
)
×
{
n∏
k=1
(
r
(
Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(∞)
k ,∞
))γα2
k
r
(
Ω
(1)
k ,−i
)
r
(
Ω
(2)
k , i
)} 1
2
.
Знак равенства в последнем неравенстве достигается тогда, когда ре-
ализуется знак равенства в неравенствах (6)–(8) при всех k = 1, n.
Далее, из последнего соотношения на основании теоремы 4.1.1 [8],
следствия 4.1.3 [8] и инвариантности функционала(
r (B1, a1) r (B3, a3)
|a1 − a3|2
)γ (r (B2, a2) r (B4, a4)
|a2 − a4|2
)
,
имеем
Jn(γ) 6 2n ·
(
n∏
k=1
αk
)
(9)
×
n∏
k=1
(r (Ω̃(0)
k , 0
)
r
(
Ω̃
(∞)
k ,∞
))γα2
k
r
(
Ω̃
(1)
k ,−i
)
r
(
Ω̃
(2)
k , i
)
|(−i)− i|2
1
2
,
где области Ω̃
(0)
k , Ω̃(∞)
k , Ω̃(1)
k , Ω̃(2)
k и точки 0, ∞, −i, i, есть, соответ-
ственно, круговые области и полюсы квадратичного дифференциала
Q(z)dz2 = −
z4 + 2
(
1− 2
γα2
k
)
z2 + 1
z2(z2 + 1)2
dz2.
И. В. Денега, Б. А. Клищук 477
Каждое выражение, стоящее в фигурных скобках последнего нера-
венства, является значением функционала
Kτ = [r (B0, 0) r (B∞,∞)]τ
2
· r (B1, a1) r (B2, a2)
|a1 − a2|2
на системе неналегающих областей {Ω̃(0)
k , Ω̃
(1)
k , Ω̃
(2)
k , Ω̃
(∞)
k } и соответ-
ствующей системе точек {0,−i, i,∞} (k = 1, n). На основании леммы
4.1.2. [8], получаем оценку
Kτ 6 Φ(τ), τ > 0,
где Φ(τ) = τ2τ
2 · |1− τ |−(1−τ)2 · (1 + τ)−(1+τ)2 . Тогда
Jn(γ) 6
(
2
√
γ
)n
[
n∏
k=1
(
τ
2τ2k+2
k · |1− τk|−(1−τk)
2 · (1 + τk)
−(1+τk)
2
)] 1
2
,
где τk = αk
√
γ, k = 1, n. Пусть
S(x) = x2x
2+2 · |1− x|−(1−x)2 · (1 + x)−(1+x)2 и Ψ(x) = ln(S(x)).
Тогда
Ψ′(x) = 4x ln(x)− 2(x− 1) ln |x− 1| − 2(x+ 1) ln(x+ 1) +
2
x
,
Ψ′′(x) = 2 ln
x2
|x− 1|(x+ 1)
− 2
x2
.
Функция Ψ(x) при x > 0 имеет единственную точку перегиба y0 ≈
0, 884414. Таким образом, получаем, что S(x) – логарифмически выпу-
клая функция на промежутке [0, y0]. Так как xk ∈ (0, y0], k = 1, n,
тогда имеет место соотношение
1
n
n∑
k=1
lnS (xk) 6 lnS
n∑
k=1
xk
n
.
Это равносильно тому, что
ln
(
n∏
k=1
S (xk)
) 1
n
6 ln
(
S
(
2
n
√
γ
))
.
478 К задаче об экстремальном разбиении...
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда
τ1 = τ2 = . . . = τn =
2
√
γ
n
,
то есть когда αk = 2
n , k = 1, n. В этом случае из (9) следует, что
Jn(γ) 6 J0
n(γ)
=
(
4
n
)n [
(r (D0, 0) r (D∞,∞))
4γ
n2 · r (D1,−i) r (D2, i)
|(−i)− i|2
]n
2
,
где D0, D∞, D1, D2, – круговые области квадратичного дифферен-
циала
Q(z)dz2 = −
4γ
n2 z
4 + 2
(
4γ
n2 − 2
)
z2 + 4γ
n2
z2(z2 + 1)2
dz2. (10)
Отсюда окончательно имеем
Jn(γ) 6
(
2
√
γ
)n [
S
(
2
n
√
γ
)]n
2
.
Используя конкретное выражение для S (x), получаем основное не-
равенство теоремы 1. Осуществляя в (10) замену переменной по фор-
муле z = −iw
n
2 , получаем квадратичный дифференциал (5). Знак
равенства в неравенстве (4) проверяется непосредственно. Теорема 1
доказана.
Из теоремы 1 для точек расположенных на единичной окружно-
сти и взаимно неналегающих областей, получаем следующее утвер-
ждение.
Следствие 1. Пусть n ∈ N, n > 2, γ ∈ (0, γn), γn ≈ 0, 195547n2. То-
гда для любых различных точек ak, k = 1, n, единичной окружности
|w| = 1 таких, что 0 < αk 6 y0/
√
γ, где αk, k = 1, n, определяются
равенствами (1), y0 ≈ 0, 884414, и любого набора взаимно неналега-
ющих областей Bk, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C,
k = 1, n, справедливо неравенство (4). Знак равенства в котором
достигается при выполнении условий теоремы 1.
Поскольку в работах [3, с. 59], [9, с. 267] для n = 2 было получено,
что γ2 = 0, 5, то приведем следующее утверждение.
Следствие 2. Пусть n = 2, γ ∈ (0, γ2), γ2 ≈ 0, 782188. Тогда для лю-
бых различных точек a1 и a2 единичной окружности |w| = 1 таких,
что 0 < αk 6 y0/
√
γ, где αk, k ∈ {1, 2}, определяются равенствами
И. В. Денега, Б. А. Клищук 479
(1), y0 ≈ 0, 884414, и любого набора взаимно неналегающих областей
Bk, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k ∈ {1, 2},
справедливо неравенство
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]γ r (B1, a1) r (B2, a2)
6 [r (Λ0, 0) r (Λ∞,∞)]γ r (Λ1, λ1) r (Λ2, λ2) ,
где области Λ0, Λ∞, Λ1, Λ2, и точки 0, ∞, λ1, λ2, есть круговые
области и, соответственно, полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
4 + (4− 2γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)2
dw2.
Авторы выражают благодарность рецензенту статьи за очень вни-
мательное прочтение работы и сделанные замечания.
Литература
[1] М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР., 5 (1934), 159–245.
[2] Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, М.,
Издательство иностр. лит., 1962.
[3] В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстре-
мальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СС-
СР., 168 (1988), 48–66.
[4] Г. В. Кузьмина, Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы //
Зап. научн. семин. ПОМИ., 276, (2001), 253–275.
[5] А. К. Бахтин, И. В. Денега, Некоторые оценки функционалов для N-лучевых
систем точек // Зб. праць Iн-ту матем. НАН України, 8 (2011), No. 1, 12–21.
[6] И. В. Денега, Некоторые неравенства для внутренних радиусов частино
неналегающих областей // Доп. НАН України, (2012), No. 5, 19–22.
[7] В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного // Успехи мат. наук., 49 (1994), No. 1 (295), 3–76.
[8] А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические
структуры и геометрические методы в комплексном анализе // Працi iн-ту
мат-ки НАН Укр., 2008.
[9] V. N. Dubinin, Condenser capacities and symmetrization in geometric function
theory, Birkhäuser/Springer, Basel, 2014.
[10] A. K. Bakhtin, I. V. Denega, Addendum to a theorem on extremal decomposition
of the complex plane // Bulletin de la société des sciences et des lettres de Lódź,
Recherches sur les déformations, 62 (2012), No. 2, 83–92.
[11] I. V. Denega, Ya. V. Zabolotnii, Estimates of products of inner radii of non-
overlapping domains in the complex plane // Complex Variables and Elliptic
Equations, 62 (2017), No. 11, 1611–1618.
480 К задаче об экстремальном разбиении...
[12] A. Bakhtin, L. Vygivska, I. Denega, N-radial systems of points and problems for
non-overlapping domains // Lobachevskii Journal of Mathematics, 38 (2017),
No. 2, 229–235.
Сведения об авторах
Ирина
Викторовна
Денега
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: iradenega@gmail.com
Богдан
Анатольевич
Клищук
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: kban1988@gmail.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169372 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T00:34:34Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Денега, И.В. Клищук, Б.А. 2020-06-11T17:46:36Z 2020-06-11T17:46:36Z 2017 К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости / И.В. Денега, Б.А. Клищук // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 472-480. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 30C75 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169372 Авторы выражают благодарность рецензенту статьи за очень внимательное прочтение работы и сделанные замечания. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости To the problem of extremal partition of the complex plane Article published earlier |
| spellingShingle | К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости Денега, И.В. Клищук, Б.А. |
| title | К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости |
| title_alt | To the problem of extremal partition of the complex plane |
| title_full | К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости |
| title_fullStr | К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости |
| title_full_unstemmed | К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости |
| title_short | К задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости |
| title_sort | к задаче об экстремальном разбиении комплексной плоскости |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169372 |
| work_keys_str_mv | AT denegaiv kzadačeobékstremalʹnomrazbieniikompleksnoiploskosti AT kliŝukba kzadačeobékstremalʹnomrazbieniikompleksnoiploskosti AT denegaiv totheproblemofextremalpartitionofthecomplexplane AT kliŝukba totheproblemofextremalpartitionofthecomplexplane |