Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169373 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением / Е.А. Евгеньева // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 481-495. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169373 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Евгеньева, Е.А. 2020-06-11T17:48:16Z 2020-06-11T17:48:16Z 2017 Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением / Е.А. Евгеньева // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 481-495. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 35K59, 35B44, 35K58, 35K65 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169373 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением Limiting profile of solutions of quasilinear parabolic equations with flat peaking Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением |
| spellingShingle |
Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением Евгеньева, Е.А. |
| title_short |
Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением |
| title_full |
Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением |
| title_fullStr |
Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением |
| title_full_unstemmed |
Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением |
| title_sort |
предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением |
| author |
Евгеньева, Е.А. |
| author_facet |
Евгеньева, Е.А. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Limiting profile of solutions of quasilinear parabolic equations with flat peaking |
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169373 |
| citation_txt |
Предельный профиль решений квазилинейных параболических уравнений с пологим обострением / Е.А. Евгеньева // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 481-495. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT evgenʹevaea predelʹnyiprofilʹrešeniikvazilineinyhparaboličeskihuravneniispologimobostreniem AT evgenʹevaea limitingprofileofsolutionsofquasilinearparabolicequationswithflatpeaking |
| first_indexed |
2025-11-24T11:46:02Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:46:02Z |
| _version_ |
1850846122662166528 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 4, 481 – 495
Предельный профиль решений квазилинейных
параболических уравнений с пологим
обострением
Евгения А. Евгеньева
(Представлена И. И. Скрыпником)
Аннотация. В работе исследуются энергетические (слабые) реше-
ния u(t, x) класса уравнений с модельным представителем
(|u|p−1u)t − ∆p(u) = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × Ω, Ω ∈ Rn, n > 1, p > 0
с условием обострения энергии:
E(t) :=
∫
Ω
|u(t, x)|p+1dx +
∫ t
0
∫
Ω
|∇xu(τ, x)|p+1dxdτ → ∞ при t → T,
где Ω — ограниченная гладкая область. В случае пологого обостре-
ния, а именно при условии
E(t) 6 Fα(t) := ω0(T − t)−α ∀ t < T, ω0 > 0, α >
1
p + 1
,
получена точная оценка профиля решения u(t, x) в окрестности вре-
мени обострения t = T .
2010 MSC. 35K59, 35B44, 35K58, 35K65.
Ключевые слова и фразы. Квазилинейные параболические урав-
нения, обостряющийся режим, энергетическое решение.
1. Введение и формулировка основного результата
Пусть Ω — ограниченная связная область в Rn, n > 1 с C2–гладкой
границей ∂Ω. В цилиндрической области Q = (0, T ) × Ω, 1 6 T < ∞
рассматриваем поведение при t → T произвольного энергетического
решения u(t, x) задачи
(|u|p−1u)t −
n∑
i=1
(ai(t, x, u,∇u))xi = 0 в Q, p = const > 0, (1.1)
Статья поступила в редакцию 21.10.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
482 Предельный профиль решений квазилинейных...
u(0, x) = u0 в Ω, u0 ∈ Lp+1(Ω), (1.2)
из класса UF , который будет определен ниже. Здесь ai(t, x, s, ξ), i =
1, 2, ..., n, — непрерывные функции, удовлетворяющие следующим ус-
ловиям коэрцитивности и роста:
d0|ξ|p+1 6
n∑
i=1
ai(t, x, s, ξ)ξi; ∀(t, x, s, ξ) ∈ Q̄×R1×Rn; d0 = const > 0;
(1.3)
|ai(t, x, s, ξ)| 6 d1|ξ|p; ∀(t, x, s, ξ) ∈ Q̄× R1 × Rn;
i = 1, ..., n; d1 = const <∞. (1.4)
Определение 1.1. Функцию u(t, x) ∈ Cloc([0, T );Lp+1(Ω)) будем на-
зывать слабым (энергетическим) решением задачи (1.1)–(1.2) если
i) u(t, ·) ∈ Lp+1, loc([0, T );W
1
p+1(Ω));
ii) (|u(t, ·)|p−1u(t, ·))t ∈ L p+1
p
, loc([0, T ); (W
1
p+1(Ω, ∂Ω))
∗);
iii) интегральное тождество∫ τ
0
⟨(|u|p−1u)t, η⟩dx+
∫ τ
0
∫
Ω1
n∑
i=1
ai(t, x, u,∇u)ηxidxdt = 0 (1.5)
выполнено для произвольной функции
η(t, ·) ∈ Lp+1((0, τ);W
1
p+1(Ω, ∂Ω)) с любым τ < T ;
iv) выполнено начальное условие (1.2).
Здесь W 1
p+1(Ω,Γ) — замыкание в норме пространства W 1
p+1(Ω) мно-
жества гладких функций f таких, что f = 0 на Γ ∈ ∂Ω.
В качестве класса UF , где F — произвольная неубывающая фун-
кция: F (t) → ∞ при t → T , рассматриваем множество энергетиче-
ских решений u(t, x) задачи (1.1)–(1.2) таких, что:
E(u)(t) + h(u)(t)
:=
∫ t
0
∫
Ω
|∇xu(τ, x)|p+1dxdτ + sup
0<τ<t
∫
Ω
|u(τ, x)|p+1dx 6 F (t)
∀t < T. (1.6)
Например, как несложно проверить (см. лемма 6.2.1 в [11]), множе-
ство решений задачи (1)–(2), удовлетворяющих условиям Дирихле
u(t, x)
∣∣∣
∂Ω
= f(t, x) → ∞ при t→ T, (1.7)
Е. А. Евгеньева 483
принадлежит множеству UF с функцией F следующего вида:
F (t) := sup
0<τ<t
∫
Ω
|f(τ, x)|q+1dx+
∫ t
0
∫
Ω
|∇xf(τ, x)|p+1dxdτ
+
(∫ t
0
(∫
Ω
|f(τ, x)|q+1dx
) 1
q+1
dτ
)q+1
→ ∞ при t→ T. (1.8)
Многими авторами изучались условия локализации решений за-
дач с обостряющимися граничными данными. А именно, определя-
лись условия на граничный режим, при которых область сингулярно-
сти (blow-up set) решения содержалась в области определения Ω. Так,
например, задача Дирихле с обостряющимися данными типа (1.7)
для уравнения пористой среды
ut = (um)xx ∀(t, x) ∈ (0, T )× (0,∞), m > 1, 0 < T < 1, (1.9)
активно изучалась В. А. Галактионовым и А. А. Самарским (1982 [1]),
Б. Гилдингом и М. Херреро (1988 [2]), К. Кортазаром и М. Элгуета
(1989 [3]). В указанных работах были получены критерии локали-
зации для разных классов граничных режимов, описаны структура
и размер области сингулярности решений. В частности, в работе [3]
изучена также задача Неймана для уравнения (1.9). В [4, 5] изучены
условия локализации для уравнений более общей, чем (1.9), структу-
ры.
Все исследования в этой области до конца 90-х годов основыва-
лись на специальных техниках сравнения, главная идея которых со-
стояла в построении автомодельного решения и сравнении его с со-
ответствующим решением задачи. Такой подход является не доста-
точно универсальным. Так, например, для рассматриваемой задачи
(1.1), (1.2), (1.7) невозможно построить автомодельное решение.
В 1999 году А. Е. Шишковым и А. Г. Щелковым в работе [6] был
впервые предложен новый метод исследования локализованных ре-
жимов с обострением. Он состоит в эффективной оценке энергии,
связанной с решением задачи, на бесконечном семействе полос, на-
капливающихся около времени обострения T . Этот метод в послед-
ствии был развит в серии работ В. А. Галактионова и А. Е. Шишкова
в 2003–2006 годах ([7–10]). Метод энергетических оценок не связан
с техникой сравнения, является более универсальным и охватыва-
ет широкий класс уравнений (включая квазилинейные параболиче-
ские и псевдопараболические уравнения второго и высоких порядков
в многомерных областях).
С применением описанного метода были получены точные усло-
вия локализации граничного режима для задачи (1.1), (1.2), (1.7). А
484 Предельный профиль решений квазилинейных...
именно, доказано (см. Th.1.1 в [7] и Th.6.4.1 в [11]), что для произволь-
ного решения u с условиями на граничный режим F , определенный
в (1.8),
F (t) 6 F0(t) := exp
(
ω(T − t)
− 1
p
)
∀ t < T, ω = const > 0, (1.10)
имеет место следующее свойство: существуют константы c > 0, C <
∞, зависящие только от n, p такие, что
h(u)(t, s) + E(u)(t, s) = h(t, s) + E(t, s) :=
∫
Ω(s)
|u(t, x)|p+1dx
+
∫ t
0
∫
Ω(s)
|∇xu(τ, x)|p+1dxdτ 6 C <∞ ∀ t < T, ∀ s > cω
p
p+1 ,
(1.11)
где Ω(s) = {x ∈ Ω : d(x) := dist(x, ∂Ω) > s}, s ∈ (0, sΩ), где зна-
чение sΩ > 0 определяет кривизну области Ω, т.е. такое, что фун-
кция d(·) ∈ C2(Ω \ Ω(s)) ∀s 6 sΩ и, соответственно, ∂Ω(s) являе-
тся C2–гладкой кривой на 0 < s 6 sΩ. Как известно, существова-
ние такого значения следует из условия гладкости для ∂Ω. Таким
образом, обостряющийся режим (1.10) является локализованным S-
режимом (см. терминологию в [4]) и имеет область сингулярности
Ωbl ⊂ Ω \Ω
(
cω
p
p+1
)
. Граничный режим (1.10) является критическим
случаем в том смысле, что если рассматривать функцию F следую-
щего типа
F (t) 6 exp
(
ω(t)(T − t)
− 1
p
)
∀ t < T, (1.12)
то при ω(t) → ∞ при t → T он становится нелокализованным (HS-
режим) и всегда Ωbl = Ω. С другой стороны, в случае, когда ω(t) → 0
при t → T , область сингулярности всегда будет концентрироваться
на границе, т.е. Ωbl ⊂ ∂Ω (LS-режим).
Помимо условий локализации интересно также описать геоме-
трию профиля решения задачи в случае LS-режима. В предыдущей
работе [12] была впервые получена точная оценка решений задачи
(1.1), (1.2) из класса UF с функцией F близкой к критической. А
именно, показано, что при условии
E(t) + h(t) 6 F (t) 6 Fµ(t) := exp
(
ω0(T − t)
− 1
p+µ
)
∀t < T,
ω0 = const > 0, µ = const > 0
(1.13)
имеет место следующая оценка:
h(t, s) + E(t, s) 6 c1 exp
(
c2ω
p+µ
µ
0 s
− p+1
µ
)
∀ s > 0, (1.14)
Е. А. Евгеньева 485
где h(t, s), E(t, s) из (1.11). Целью данной работы является просле-
дить поведение решения для пологих степенных режимов. В этом
контексте имеем следующий результат.
Теорема 1.1. Пусть u(t, x) — произвольное энергетическое решение
задачи (1.1)–(1.2), принадлежащее классу UF с функцией F :
F (t) = Fα(t) := ω0(T − t)−α ∀ t < T, (1.15)
где ω0 > 0, α > 1
p+1 — произвольные константы. Тогда существует
константа G < ∞, зависящая только от p, n, d0, d1, и значение
ŝ > 0 такие, что выполняется следующая равномерная априорная
оценка:
E(t, s) + h(t, s) 6 Gω0s
−α(p+1) ∀ t < T, ∀ s ∈ (0, ŝ), (1.16)
где h(t, s), E(t, s) — энергетические функции, определенные в (1.11).
Замечание 1.1. Условие на α (α > 1
p+1) является чисто техниче-
ским. В предстоящих работах планируется снять это ограничение и
исследовать поведение энергетических функций для любой степенной
функции F .
2. Доказательство теоремы 1.1
Из определения (1.11) следует монотонное убывание и непрерыв-
ность функции JT (s) := E(T, s) + h(T, s) по s. Более того, изве-
стно, (см. следствие из теоремы 6.3.1 в [11]), что в условиях теоремы
JT (s) → ∞ при s → 0 и JT (s) < ∞ ∀ s > 0. А значит найдется
такое значение s̄ ∈ (0, sΩ), что для всех s из интервала (0, s̄) будет
выполнено следующее конструктивное условие:
E(T, s) + h(T, s) > 2ω0T
−α1ξ−α, (2.1)
где ξ ∈ (0, 1) будет определена позже, α1 — произвольное значение
из промежутка
(
1
p+1 , α
)
. Теперь зафиксируем точку s̃ ∈ (0, s̄]. Оче-
видно, что в этой точке также выполнено условие (2.1).
Далее будем разбивать промежуток [0, T ) последовательностью
точек {tj} (j = 1, 2, ..., t0 = 0, tj → T при j → ∞) на промежутки
[tj−1, tj) длиной ∆j := tj − tj−1 > 0. Эту последовательность {tj}
определим специальным образом, а именно, введем в рассмотрение
непрерывную функцию Γs̃(·) : [0, t′] → [t1, T ], которую зададим сле-
дующим соотношением:(
Γs̃(t)−t
)−α
=
ξα
ω0Tα−α1
(
E(Γs̃(t), s̃)−E(t, s̃)+ sup
t<τ<Γs̃(t)
h(τ, s̃)
)
. (2.2)
486 Предельный профиль решений квазилинейных...
Значения t1 = t1(s̃) = Γs̃(0) и t′ определяются из соотношений:
t−α
1 =
ξα
ω0Tα−α1
(
E(t1, s̃) + sup
0<τ<t1
h(τ, s̃)
)
, (2.3)
(T − t′)−α =
ξα
ω0Tα−α1
(
E(T, s̃)− E(t′, s̃) + sup
t′<τ<T
h(τ, s̃)
)
. (2.4)
В силу определения (2.3) и оценки (2.1) имеем(
E(t1, s̃) + sup
0<τ<t1
h(τ, s̃)
)
tα1 =
ω0T
α−α1
ξα
<
1
2
(
E(T, s̃) + sup
0<τ<T
h(τ, s̃)
)
Tα ∀s̃ ∈ (0, s̄]. (2.5)
Таким образом, в силу строгой монотонности функции
Rs̃(t) := (E(t, s̃)+h(t, s̃))tα следует, что t1(s̃) < T ∀s̃ ∈ (0, s̄]. Отметим
также, что из определения (2.4) следует, что
t′ < T если sup
t→T
(E(t, s̃) + h(t, s̃)) <∞, (2.6)
t′ = T если sup
t→T
(E(t, s̃) + h(t, s̃)) = ∞. (2.7)
Итак, можем заключить, что функция Γs̃(·) определяет строго моно-
тонную возрастающую последовательность {tj} следующим соотно-
шением:
tj := Γs̃(tj−1), j = 1, 2, ..., t0 = 0. (2.8)
Более того, эта последовательность является бесконечной и tj → T
при j → ∞ в случае (2.7). В случае же (2.6) последовательность
конечна и существует число j0 такое, что
tj0 = Γs̃(tj0−1) > t′, tj0−1 6 t′. (2.9)
Для удобства определим значение j∞ следующим образом:
j∞ =
{
j0, для случая (2.6);
∞, для случая (2.7).
Отметим, что при таком определении последовательности {tj} сме-
щения ∆j = ∆j(s̃) = tj − tj−1 будут задаваться следующим образом:
∆−α
j =
ξα
ω0Tα−α1
(
E(tj , s̃)− E(tj−1, s̃) + sup
tj−1<τ<tj
h(τ, s̃)
)
. (2.10)
Е. А. Евгеньева 487
Далее покажем, что последовательность {∆j} убывающая, более то-
го, докажем, что ∆j+1 6 ξ∆j ∀ j ∈ N, где ξ ∈ (0, 1) из (2.2). В силу
определения (2.2) функции Γs̃(t) и оценки (1.15) имеем следующее
неравенство:
∆−α
j =
ξα
ω0Tα−α1
(
E(tj , s̃)− E(tj−1, s̃) + sup
tj−1<τ<tj
h(τ, s̃)
)
6 ξαω0(T − tj)
−α
ω0Tα−α1
6 ξαT−(α−α1)(T − tj)
−α ∀j 6 j∞. (2.11)
Далее в силу условия T > 1 из формулировки задачи получаем:
∆j = ∆j(s̃) > ξ−1T 1−α1
α (T − tj) > ξ−1(T − tj) > ξ−1∆j+1 ∀j 6 j∞.
То есть,
∆j+1 6 ξ∆j ∀ j 6 j∞. (2.12)
По сформированной последовательности {tj} определим послойные
энергетические функции Ej(s) и hj(s) следующим образом:
Ej(s) := E(tj , s)− E(tj−1, s), hj(s) := sup
tj−1<τ<tj
h(τ, s) ∀ j 6 j∞.
(2.13)
Очевидно, что для этих функций Ej(s), hj(s) имеет место лемма 3.1,
а значит справедлива система (3.2), (3.3). Теперь нашей целью яв-
ляется получение функционального неравенства для энергетических
функций E(t, s), h(t, s). Для этого будем анализировать систему
(3.2), (3.3). Сначала введем весовые энергетические функции:
Aj(s) := ∆α1
j Ej(s), Hj(s) := ∆α1
j hj(s). (2.14)
Для них стартовая система (3.2), (3.3) перепишется:
Aj(s) +Hj(s) 6 C1Hj−1(s) + C2∆
1
p+1
j
(
− d
ds
Aj(s)
)
,
Hj(s) 6 λjHj−1(s) + C3γ
− 1
p+1∆
1
p+1
j
(
− d
ds
Aj(s)
)
∀j ∈ N,
(2.15)
где C1 = C1ξ
α1 , H0(s) = ∆α1
0 h0(s), ∆0 = ξ−1∆1,
λj := (1 + γ)
(
∆j
∆j−1
)α1
6 λ := (1 + γ)ξα1 < 1, j = 1, 2, ... . (2.16)
Отметим, что (2.16) — первое требование для выбора константы ξ.
Очевидно, что
λjλj−1...λi+1∆
1
p+1
i = (1 + γ)j−i∆
1
p+1
j
(
∆j
∆i
)α1− 1
p+1
∀ j > i.
488 Предельный профиль решений квазилинейных...
Учитывая это, проитерируем неравенства (2.15). В результате полу-
чаем:
Aj(s) +Hj(s) 6 C1(1 + γ)j−1
(
∆j
∆0
)α1
H0(s) + C3γ
− 1
p+1∆
1
p+1
j
×
( j∑
i=1
(1 + γ)j−i
(
∆j
∆i
)α1− 1
p+1 (
−A′
j(s)
))
∀ j 6 j∞, ∀ s ∈ (s̃, s̄),
(2.17)
где C3 = max{C2γ
1
p+1 , (1 + γ)−1C1C3}. Далее будем сводить полу-
ченную систему (2.17) к системе вида (3.4). Для этого введем новые
энергетические функции следующим образом:
Uj(s) :=
j∑
i=1
(1 + γ)j−i
(
∆j
∆i
)α1− 1
p+1
(Ai(s) +Hi(s)) j = 1, 2, ... .
(2.18)
Очевидны соотношения:
Uj(s)−Aj(s)−Hj(s) = θ(j)Uj−1(s), j = 1, 2, ... , (2.19)
где
θ(j) := (1 + γ)
(
∆j
∆j−1
)α1− 1
p+1
6 θ0 := (1 + γ)ξ
α1− 1
p+1 < 1. (2.20)
Условием (2.20) накладываются более жесткие окончательные тре-
бования на выбор константы ξ. Таким образом для новых функций
Uj(s) справедлива следующая система:
Uj(s) 6 C1λ
j−1H0(s) + θ0Uj−1(s) + C3γ
− 1
p+1∆
1
p+1
j (−U ′
j(s))
∀ s ∈ (s̃, s̄). (2.21)
Определим теперь начальные данные для них. Оценим Uj(s̃):
Uj(s̃) =
j∑
i=1
(1 + γ)j−i
(
∆j
∆i
)α1− 1
p+1
∆i
α1 (Ei(s̃) + hi(s̃))
= ω0ξ
−αTα−α1
j∑
i=1
(1 + γ)j−i
(
∆j
∆i
)α1− 1
p+1
∆
−(α−α1)
i
= ω0ξ
−αTα−α1∆
−(α−α1)
j
j∑
i=1
(1 + γ)j−i
(
∆j
∆i
)α1− 1
p+1
6 G1ω0∆
−(α−α1)
j ∀ j 6 j∞, (2.22)
Е. А. Евгеньева 489
гдеG1 = ξ−αTα−α1(1−θ0)−1. Далее определим значение b̄ = C1λH0(s)
и перепишем систему (2.21), (2.22) следующим образом:
U j(s) := Uj(s)− b̄ 6 θ0U j−1(s) + C3∆
1
p+1
j (−U ′
j(s)),
U j(s̃) 6 G1ω0∆
−(α−α1)
j .
(2.23)
Для анализа полученной системы применим лемму 3.2. Получим сле-
дующую равномерную оценку:
U j(s) 6 G2ω0ψ(s− s̃) ∀ s ∈ (s̃, s̄), ψ(s) := s−(α−α1)(p+1)
G2 :=
(
C3(α− α1)(p+ 1)
e(1− θ0)
)(α−α1)(p+1)
G1. (2.24)
Для Uj(s) соответственно имеем оценку:
Uj(s) 6 G2ω0ψ(s− s̃) + b̄ ∀ s ∈ (s̃, s̄). (2.25)
Далее определим значение s1 > s̃ следующим образом:
ψ(s1 − s̃) = G−1
3 ω−1
0 b̄, (2.26)
тогда (2.25) перепишется:
Uj(s) 6 2G2 ω0ψ(s− s̃) ∀ s : s̃ < s < s2 := min{s1, s̄}. (2.27)
Вспоминая определения (2.18) и (2.14), получаем следующую оценку:
Ej(s)+hj(s) 6 ∆−α1
j Uj(s) 6 2G2ω0ψ(s− s̃)∆−α1
j ∀ s ∈ (s̃, s2). (2.28)
Теперь получим оценку для энергетических функций E(t, s) и h(t, s).
Для этого зафиксируем значение i 6 j∞ и просуммируем неравенство
(2.28) по j от 1 до i. В силу (2.10) получим
E(ti, s) + h(ti, s) 6 2G2ω0ψ(s− s̃)
i∑
j=1
∆−α1
j
6 2G2ω0ψ(s− s̃)∆−α1
i
i∑
j=1
(ξα1)j−1 6 2G2
1− ξα1
ω0ψ(s− s̃)∆−α1
i
= G3ω
α−α1
α
0 ψ(s− s̃) (E(ti, s̃) + h(ti, s̃))
α1
α ∀ s ∈ (s̃, s2),
где G3 = 2ξα1(1− ξα1)−1T− (α−α1)α1
α G2. (2.29)
490 Предельный профиль решений квазилинейных...
Следующий шаг доказательства — получение оценки типа (2.29) для
произвольной точки t < T . Для этого отметим, что функция Γs̃(·),
определенная в (2.2), непрерывно, монотонно и взаимнооднозначно
отображает любой отрезок [tj−1, tj ] на [tj , tj+1] ∀ j 6 j∞−1. Зафикси-
руем точку t̄ ∈ [t1, T ). Пусть для определенности t̄ := t̄k ∈ (tk, tk+1]
при некотором k 6 j∞ − 1. Тогда единственным образом восстанови-
тся последовательность {t̄i}, i 6 j∞ такая, что:
t̄i+1 = Γs̃(t̄i) ∀ i 6 j∞, t̄i ∈ (ti, ti+1], t̄0 ∈ (0, t1].
Этой последовательностью определяются новые смещения {∆i}:
∆
−α
i := (t̄i− t̄i−1)
−α =
ξα
ω0Tα−α1
(
E(t̄i, s̃)−E(t̄i−1, s̃)+ sup
t̄i−1<t<t̄i
h(t, s̃)
)
.
(2.30)
Аналогично проверяется, что ∆i+1 6 ξ∆i ∀ i 6 j∞−1. По этим смеще-
ниям определяются соответствующие энергетические функции Ei(s)
и hi(s). Далее повторяем рассуждения (2.14)–(2.29). Отличие будет
состоять только в том, что в качестве начальной функции выступает
функция h0(s) := h(t̄0, s). Оценим H0(s), используя условие (1.15):
H0(s) = (ξ−1∆1)
α1h0(s) 6 ξ−α1ω0
(
t̄1 − t̄0
T − t̄0
)α1
6 ξ−α1ω0.
В результате получаем следующую оценку типа (2.29):
E(t̄i, s) + h(t̄i, s) 6 G3ω
α−α1
α
0 ψ(s− s̃) (E(t̄i, s̃) + h(t̄i, s̃))
α1
α
∀ s ∈ (s̃, s3), (2.31)
где G3 из (2.29), s3 := min{s̄1, s̄}, где значение s̄1 определяется сле-
дующим соотношением:
ψ(s̄1 − s̃) = G−1
3 ω−1
0
¯̄b, где ¯̄b := C1λH0(s).
Теперь в силу того, что выбор точки t̄k был произвольным, получаем
оценку для всех t < T :
E(t, s) + h(t, s) 6 G3ω
α−α1
α
0 (s− s̃)−(α−α1)(p+1) (E(t, s̃) + h(t, s̃))
α1
α
∀ t < T, ∀ s, s̃ : 0 < s̃ < s < s3. (2.32)
Таким образом мы получили функциональное неравенство для энер-
гетических функций. Для его анализа применим лемму 3.3. Получаем
следующую оценку:
E(t, s) + h(t, s) 6 2
α2(p+1)
α−α1 G
α
α−α1
3 ω0s
−α(p+1) ∀ t < T, ∀ s ∈ (0, s3).
(2.33)
Получили утверждение теоремы с G = 2
α2(p+1)
α−α1 G
α
α−α1
3 , ŝ = s3.
Е. А. Евгеньева 491
3. Приложения
Лемма 3.1. Пусть u(t, x) — энергетическое решение задачи (1.1) —
(1.2), (1.3), (1.4). И положим, что промежуток [0, T ) разбит неко-
торой монотонно возрастающей последовательностью точек {tj}
(j = 1, 2, ..., t0 = 0, tj → T при j → ∞) на промежутки [tj−1, tj)
длиной ∆j := tj − tj−1 > 0. Тогда для послойных энергетических
функций Ej(s) и hj(s), определенных следующим образом:
Ej(s) :=
∫ tj
tj−1
∫
Ω(s)
|∇xu(t, x)|p+1dxdt,
hj(s) := sup
tj−16t<tj
∫
Ω(s)
|u(t, x)|p+1dx ∀s > 0,
Ω(s) = {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) > s},
(3.1)
справедлива следующая система дифференциальных неравенств:
Ej(s)+hj(s) 6 C1hj−1(s)+C2∆
1
p+1
j
(
− d
ds
Ej(s)
)
, j = 1, 2, ..., (3.2)
hj(s) 6 (1+γ)hj−1(s)+C3γ
− 1
p+1∆
1
p+1
j
(
− d
ds
Ej(s)
)
, j = 1, 2, ..., (3.3)
для почти всех s ∈ (0, sΩ) и произвольного γ : 0 < γ < 1. Положи-
тельные константы C1 < ∞, C2 < ∞, C3 < ∞ зависят только от
известных параметров задачи и не зависят, в частности от γ и
от ω0.
Доказательство аналогично доказательству леммы 6.2.3 из [11].
Лемма 3.2. Пусть некоторое семейство неотрицательных абсолю-
тно непрерывных монотонно невозрастающих функций
{Mj(s)}, j ∈ N, удовлетворяет системе дифференциальных нера-
венств:
Mj(s) 6 λMj−1(s) + (1− λ)kj(−M ′
j(s)) ∀ s > s̄,
Mj(s̄) 6 expKj ∀ j ∈ N, M0(s) := 0,
(3.4)
где λ ∈ (0, 1), а последовательность {kj} стремится монотонно к 0
при j → ∞. Пусть также
Kj = f(kj) = a+ b ln(k−1
j ). (3.5)
Тогда для решений Mj(s) справедлива следующая равномерная апри-
орная оценка:
Mj(s) 6 N(s) := bbea−b(s− s̄)−b ∀ j ∈ N, ∀ s > s̄. (3.6)
492 Предельный профиль решений квазилинейных...
Доказательство. Рассмотрим следующую систему:
M j(s) = −kjM
′
j(s) ∀ s > s̄, M j(s̄) = expKj , (3.7)
где последовательность {kj} из (3.4), а {Kj} такая, что {K−1
j } и
{kjKj} монотонно стремятся к 0 при j → ∞. Интегрируя (3.7), полу-
чаем
M j(s) = exp
(
Kj − k−1
j (s− s̄)
)
∀ j ∈ N, ∀ s > s̄. (3.8)
Функции M j(s) монотонно убывают по s, а значит могут иметь ме-
жду собой не более одной точки пересечения. Очевидно, что соседние
функции M j(s) и M j+1(s) пересекаются в точке sj := s̄+
Kj−Kj−1
k−1
j −k−1
j−1
> s̄
∀j ∈ N. Несложно показать, что при заданных условиях на {kj} и
{Kj} получаем, что {sj} монотонно стремится к s̄ при j → ∞. Вве-
дем теперь в рассмотрение функцию M̃j(s), определенную следую-
щим образом:
M̃j(s) := max
i6j
{M i(s)}.
Зная структуру последовательности {M i(s)}, можем утверждать, что
M̃j(s) =
M1(s), если s > s1;
M2(s), если s ∈ [s2, s1);
. . .
M j(s), если s ∈ [s̄, sj−1).
(3.9)
Далее перейдем непосредственно к анализу решений заданной систе-
мы неравенств (3.4). Используя индукцию, докажем, что выполняе-
тся оценка:
Mj(s) 6 M̃j(s) ∀ j 6 i, ∀ s > s̄. (3.10)
При j = 1 оценка проверяется непосредственным интегрированием
неравенства (3.4). Положим, что оценка (3.10) выполняется для j−1.
Пусть она не выполнена для j. Тогда найдется такой интервал (a, b),
a > s̄, что имеет место
Mj(s) > M̃j(s) ∀ s ∈ (a, b) и Mj(a) = M̃j(a). (3.11)
Пусть для определенности a ∈ [sl, sl−1), l < j, тогда (3.11) можно
переписать
Mj(s) > M l(s) ∀ s ∈ (a,min{sl−1, b}) и Mj(a) =M l(a). (3.12)
Е. А. Евгеньева 493
Далее, в силу монотонного возрастания последовательности {M̃i(s)}
по i и в силу справедливости оценки (3.10) для j − 1, имеем:
M̃j(s) > M̃j−1(s) >Mj−1(s),
а значит, в силу предположения (3.11),
Mj−1(s) 6Mj(s) ∀ s ∈ [a, b).
Тогда система (3.4) для Mj перепишется следующим образом:
Mj(s) 6 −kjM ′
j(s) ∀ s ∈ [a,min{sl−1, b}), Mj(a) =M l(a). (3.13)
Решая систему, получаем:
Mj(s) 6M l(s) ∀ s ∈ [a,min{sl−1, b}),
что противоречит предположению (3.11) и доказывает оценку (3.10).
Рассмотрим теперь более широкое, чем (3.8) семейство функций
{N τ (s)}, зависящее от непрерывного параметра τ > 0, такое, что
Nkj (s) = M j(s). Отметим, что заданная в (3.5) последовательность
{Kj} удовлетворяет условиям из (3.7). А значит функции N τ (s) име-
ют вид:
N τ (s) = eaτ−b exp
(
−τ−1(s− s̄)
)
.
Найдем теперь огибающую N(s) для этого семейства.
∂N τ (s)
∂τ
= 0 ⇒ τ̄(s) =
s− s̄
b
⇒
⇒ N(s) = N τ̄(s)(s) = bbea−b(s− s̄)−b. (3.14)
Учитывая, что τ̄ является точкой максимума, можем утверждать,
что
∀ s > s̄ ∃ τ̄(s) : N(s) := N τ̄(s)(s) > N τ (s) ∀ τ > 0,
а значит найденная функция N(s) удовлетворяет неравенство:
N(s) > N τ (s) ∀ τ > 0, ∀ s > s̄. (3.15)
Учитывая определение функций N τ (s) и (3.15), получаем оценку:
M̃j(s) = max
i6j
{M i(s)} 6 max
i∈N
{M i(s)} 6 max
τ>0
{N τ (s)} 6 N(s). (3.16)
Тогда из (3.10) и (3.16) следует утверждение леммы.
494 Предельный профиль решений квазилинейных...
Лемма 3.3 (Stampacchia lemma [13]). Пусть некоторая непрерывная
неотрицательная невозрастающая функция f : [0,∞) → R1 удовле-
творяет соотношению:
f(s+ δ) 6 aδ−ρf(s)λ ∀ s > 0, δ > 0, (3.17)
где числа a > 0, ρ > 0, λ > 0. Тогда для функции f справедлива
следующая универсальная априорная оценка:
1) если λ < 1, то f(s) 6 2
ρ
λ(1−λ)2 a
1
1−λ s−
ρ
1−λ ∀ s > 0;
2) если λ = 1, то f(s) 6 f(0) exp
(
1− (ae)
− 1
ρ s
)
∀ s > 0;
3) если λ > 1, то f(s0) = 0, s0 = 2
λ
λ−1
(
af(0)λ−1
) 1
ρ .
Литература
[1] В. А. Галактионов, А. А. Самарский, Методы построения приближенных ав-
томодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности // Матем.
сб., 118(160) (1982), No. 3, 291–322.
[2] B. H. Gilding, M. A. Herrero, Localization and blow-up of termal waves in nonli-
near heat conduction with peaking // Math. Ann., 282 (1988), No. 2, 223–242.
[3] C. Cortazar, M. Elgueta, Localization and boundedness of the solutions of the
Neumann problem for a filtration equation // Nonlinear Anal., 13 (1989), No. 1,
33–41.
[4] A. A. Samarskii, V. A. Galaktionov, S. P. Kurdyumov, A. P. Mikhailov, Regimes
with peaking in problems for quasilinear parabolic equations, Nauka, Moscow, 1987
(in Russian).
[5] B. H. Gilding, J. Goncerzewicz, Localization of solutions of exterior domain
problems for the porous media equation with radial symmetry // SIAM J. Math.
Anal., 31 (2000), No. 4, 862–893.
[6] A. E. Shishkov, A. G. Shchelkov, Boundary regimes with peaking for general quasi-
linear parabolic equations in multidimensional domains // Math. Sb., 190 (1999),
No. 3–4, 447–479 (in Russian).
[7] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Saint-Venant’s principle in blow-up for higher
order quasilinear parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A, 133
(2003), No. 5, 1075–1119.
[8] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Structure of boundary blow-up for higher-order
quasilinear parabolic equations // Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, Math. Phys. Eng.
Sci., 460 (2004), No. 2051, 3299–3325.
[9] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Self-similar boundary blow-up for higher-
order quasilinear parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh., 135A (2005),
1195–1227.
[10] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Higher-order quasilinear parabolic equations
with singular initisl data // Communications in Contemp. Math., 8 (2006), No. 3,
331–354.
Е. А. Евгеньева 495
[11] A. A. Kovalevsky, I. I. Skrypnik, A.E. Shishkov, Singular Solutions in Nonlinear
Elliptic and Parabolic Equations, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and
Applications 24, De Gruyter, Basel, 2016.
[12] A. E. Shishkov, E. A. Evgenieva, Localized peaking regimes for quasilinear
parabolic equations, (2018), https://arxiv.org/abs/1802.03717.
[13] G. Stampacchia, Équations elliptiques du second ordre à coefficients disconti-
nus // Séminaire de Mathématiques Supérieures, No. 16 (Été, 1965), Montreal,
Les Press. Univ. Montreal, 1966.
Сведения об авторах
Евгения
Александровна
Евгеньева
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Славянск, Украина
E-Mail: yevgeniia.yevgenieva@gmail.com,
bashtynskaya.evgeniya@gmail.com
|