О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе
Найдены условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина задачи Коши для линейной дифференциально-алгебраической системы. Получены достаточные условия приводимости дифференциально-алгебраического уравнения к последовательности систем, объединяющих дифференциальные и алгебраическ...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169384 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе / С.М. Чуйко // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 1-17. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859740312273944576 |
|---|---|
| author | Чуйко, С.М. |
| author_facet | Чуйко, С.М. |
| citation_txt | О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе / С.М. Чуйко // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 1-17. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Найдены условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина задачи Коши для линейной дифференциально-алгебраической системы. Получены достаточные условия приводимости дифференциально-алгебраического уравнения к последовательности систем, объединяющих дифференциальные и алгебраические уравнения. Предложена оригинальная классификация, а также единая схема построения решений дифференциальноалгебраических уравнений.
The conditions of solvability and the structure of a generalized Green operator of the Cauchy problem for a linear differential-algebraic system are found. The sufficient conditions of reducibility of a differential-algebraic equation to a sequence of systems joining differential and algebraic equations are constructed. An original classification and a single scheme of construction of the solutions of differential-algebraic equations are proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T17:00:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 15 (2018), № 1, 1 – 17
О понижении порядка в
дифференциально-алгебраической системе
Сергей М. Чуйко
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Найдены условия разрешимости, а также констру-
кция обобщенного оператора Грина задачи Коши для линейной диф-
ференциально-алгебраической системы. Получены достаточные ус-
ловия приводимости дифференциально-алгебраического уравнения
к последовательности систем, объединяющих дифференциальные и
алгебраические уравнения. Предложена оригинальная классифика-
ция, а также единая схема построения решений дифференциально-
алгебраических уравнений.
2010 MSC. 34B15.
Ключевые слова и фразы. Дифференциально-алгебраические
уравнения, оператор Грина, задача Коши.
1. Постановка задачи
Исследована задача о построении решений
z(t) ∈ C1
n[a, b] := C1[a, b]⊗ Rn
линейной дифференциально-алгебраической системы
A(t)z′(t) = B(t)z(t) + f(t); (1)
здесь
A(t), B(t) ∈ Cm×n[a, b] := C[a, b]⊗ Rm×n
– непрерывные матрицы, f(t) ∈ Cn[a, b] непрерывный вектор-столбец;
далее, по традиции, нижний индекс последнего пространства вектор-
столбцов будем опускать. Матрицу A(t) предполагаем, вообще гово-
ря, прямоугольной: m ̸= n, либо квадратной, но вырожденной.
Статья поступила в редакцию 24.03.2018
Работа выполнена при финансовой поддержке МОН Украины (номер государ-
ственной регистрации 0115U003182).
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
2 О понижении порядка...
Исследованию дифференциально-алгебраических уравнений при
помощи центральной канонической формы и совершенных пар и тро-
ек матриц посвящены монографии [1–6]. В статьях [7, 8] предложе-
на серия достаточных условий разрешимости, а также конструкция
обобщенного оператора Грина задачи Коши для линейной дифферен-
циально-алгебраической системы (1) без использования центральной
канонической формы и совершенных пар и троек матриц и не претен-
дующая на полноту охвата всех дифференциально-алгебраических
уравнений. Целью данной статьи является нахождение условий ра-
зрешимости, а также конструкции обобщенного оператора Грина за-
дачи Коши линейной дифференциально-алгебраической системы для
любых натуральных m и n.
При условии [7,8]
PA∗(t) ≡ 0, A+(t)B(t) ∈ Cn×n[a; b], A+(t)f(t) ∈ C[a; b] (2)
система (1) разрешима относительно производной
z′ = A+(t)B(t)z+F0(t, ν0(t)), F0(t, ν0(t)) := A+(t)f(t)+PAρ0
(t)ν0(t);
(3)
здесь rank A(t) := σ0 = m ≤ n. Кроме того A+(t) — псевдообратная
(по Муру – Пенроузу) матрица, PA∗(t) — матрица-ортопроектор [9]:
PA∗(t) : Rm → N(A∗(t)), PAρ0
(t) — (n×ρ0)− матрица, составленная из
ρ0 линейно-независимых столбцов (n × n)− матрицы-ортопроектора
PA(t) : Rn → N(A(t)). Таким образом, при условии ρ0 ̸= 0 система
(3), разрешенная относительно производной, зависит от произволь-
ной непрерывной вектор-функции ν0(t). Обозначим X0(t) нормаль-
ную фундаментальную матрицу
X ′
0(t) = A+(t)B(t)X0(t), X0(a) = In
полученной традиционной системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (3). При условии (2) система (3), а следовательно и
система (1), имеет решение вида [7, 8]
z(t, c) = X0(t)c+X0(t)
∫ t
a
X−1
0 (s)F0(s, ν0(s)) ds, c ∈ Rn.
Лемма 1. При условии (2) система (1) имеет решение вида
z(t, c) = X0(t)c+K
[
f(s), ν0(s)
]
(t), c ∈ Rn,
где
K
[
f(s), ν0(s)
]
(t) := X0(t)
∫ t
a
X−1
0 (s)F0(s, ν0(s)) ds
С. М. Чуйко 3
– обобщенный оператор Грина задачи Коши z(a) = 0 для дифферен-
циально-алгебраической системы (1).
Пример 1. Требованиям леммы 1 удовлетворяет дифференци-
ально-алгебраическая система
A(t) z′(t) = B(t)z(t) + f(t), f(t) :=
(
sin t cos t
)∗
, (4)
где
A(t) :=
(
cos t sin t cos t
− sin t cos t − sin t
)
,
B(t) :=
(
− sin t cos t − sin t
− cos t − sin t − cos t
)
.
Поскольку условие (2) выполнено, постольку система (4) имеет
решение вида
z(t, c) = X0(t)c+K
[
f(s), ν0(s)
]
(t), c ∈ R3,
где
X0(t) =
1
2
1 + cos t sin t cos t− 1
−2 sin t 2 cos t −2 sin t
cos t− 1 sin t 1 + cos t
,
K
[
f(s), ν0(s)
]
(t) =
1
2
3 (1− cos t)
2 sin t
cos t− 1
.
В данном случае ρ0 = 1 ̸= 0, при этом
PA(t) =
1
2
1 0 −1
0 0 0
−1 0 1
, PAϱ0
(t) =
1
0
−1
,
поэтому найденное решение зависит от произвольной непрерывной
скалярной функции ν0(t); в частности, ν0(t) := sin t.
Поскольку при условии (2) система (1) разрешима для любой нео-
днородности f(t), постольку, по аналогии с классификацией импуль-
сных краевых задач [14] случай (2) будем называть неневырожден-
ным. С другой стороны, в отличие от классификации импульсных
краевых задач речь идет о разрешимости дифференциально-алгебра-
ической системы (2), а не соответствующей краевой задачи.
При условии PA∗(t) ≡ 0, но A+(t)B(t) ̸∈ Cn×n[a; b], либо A+(t)f(t) ̸∈
C[a; b], система (1) разрешима, но решение z(t) ̸∈ C1
n[a, b] не является
искомым.
4 О понижении порядка...
2. Вырождение первого порядка
При условии PA∗(t) ̸= 0 система (1) не разрешима относитель-
но производной. Предположим, что матрица A(t) имеет постоянный
ранг, а именно: 1 ≤ rank A(t) = σ0. Как известно [11], любая (m×n)−
матрица A(t) в определенном базисе может быть представлена в виде
A(t) = R0(t) · Jσ0 · S0(t), Jσ0 :=
(
Iσ0 O
O O
)
,
R0(t) ∈ Cm×m[a, b], S0(t) ∈ Cn×n[a, b];
здесь R0(t) и S0(t) – невырожденные матрицы. Действительно: любая
(m×n)-матрица A(t) может быть представлена в виде скелетного ра-
зложенияA(t) = Φ(t)Ψ(t); здесь матрица Φ(t) ∈ Cm×σ0 [a, b] и матрица
Ψ(t) ∈ Cσ0×n[a, b] полного ранга [13, c. 31]: rank A(t) = rank Φ(t) :=
rank Ψ(t) := σ0. При этом матрица Φ(t) состоит из σ0 столбцов, обра-
зующих алгебраический базис [12, c. 74] столбцов матрицы A(t), а
матрица Ψ(t) определяет [13, c. 31] координаты столбцов матрицы
A(t) в базисе Φ(t). Представим матрицу Jσ0 в виде
Jσ0 = V ·W, V :=
(
Iσ0
O
)
∈ Rm×σ0 , W := ( Iσ0 O ) ∈ Rσ0×n.
Уравнение Φ(t) = R0(t)V относительно матрицы R0(t) разрешимо,
поскольку разрешимо равносильное ему уравнение Φ∗(t) = V ∗R∗
0(t).
Разрешимость последнего уравнения определяет очевидное равен-
ство PV = 0, при этом
R∗
0(t) = (V +)∗Φ∗(t) + PV ∗C1, C1 ∈ Rm×m, rank PV ∗ = m− σ0,
следовательно R0(t) = Φ(t)V + + C1PV ∗ . Заметим, что первое слагае-
мое принадлежит образу матрицы V, а второе – ортогональному ему
нуль-пространству N(V ∗). Поскольку rank Φ(t)V += rank (Φ(t) O)=
σ0, постольку, при надлежащем выборе матрицы C1 ∈ Rm×m, имеет
место равенство rank Φ = σ0. Аналогично, при надлежащем выбо-
ре матрицы C2 ∈ Rn×n, находим невырожденную матрицу S0(t) =
W+Ψ(t)+PWC2. Невырожденная замена переменной y(t) = S0(t)z(t)
приводит систему (1) к виду
Jσ0y
′(t) = C0(t)y(t) +R−1
0 (t)f(t); (5)
здесь
C0(t) :=
(
Jσ0S
′
0(t) +R−1
0 (t)B(t)
)
S−1
0 (t) :=
(
C
(0)
11 (t) C
(0)
12 (t)
C
(0)
21 (t) C
(0)
22 (t)
)
.
С. М. Чуйко 5
Замена переменной
y(t) = col (u(t), v(t)) ∈ C1
n[a, b], u(t) ∈ C1
σ0 [a, b], v(t) ∈ C1
n−σ0 [a, b]
приводит систему (5) к виду
u′(t) = C
(0)
11 (t)u(t) + C
(0)
12 (t)v(t) + g
(0)
1 (t), (6)
C
(0)
21 (t)u(t)+C
(0)
22 (t)v(t)+g
(0)
2 (t) = 0, R−1
0 (t)f(t) := col
(
g
(0)
1 (t), g
(0)
2 (t)
)
.
(7)
Здесь PD∗
0
(t) – матрица-ортопроектор: PD∗
0
(t) : Rm−σ0 → N(D∗
0(t)).
Уравнение (7) разрешимо тогда и только тогда, когда [9]
PD∗
0
(t)g
(0)
2 (t) ≡ 0; при этом общее решение уравнения (7)
y(t) = PDρ0
φ(t)−D+
0 (t)g
(0)
2 (t),
D0(t) :=
[
C
(0)
21 (t);C
(0)
22 (t)
]
∈ R(m−σ0)×n, φ(t) ∈ Cρ0 [a, b]
определяет PDρ0
(t) – (n × ρ0) – матрица, составленная из ρ0 линей-
но-независимых столбцов PD0(t) – матрицы-ортопроектора: PD0(t) :
Rn → N(D0(t)). Обозначая блоки матрицы PDρ0
(t) и произведения
D+
0 (t)g
(0)
2 (t)
PDρ0
(t) := col(P
(0)
1 (t), P
(0)
2 (t)), D+
0 (t)g
(0)
2 (t) = − col
(
f
(1)
1 (t), f
(1)
2 (t)
)
,
приходим к задаче о построении решений φ(t) ∈ C1
ρ0 [a, b] линейной
дифференциально-алгебраической системы
A1(t)φ
′(t) = B1(t)φ(t) + f1(t), A1(t) := P
(0)
1 (t) ∈ Rσ0×ρ0 ,
rank A1(t) := σ1 = σ0 ≤ ρ0; (8)
здесь
B1(t) := C
(0)
11 (t)P
(0)
1 (t) + C
(0)
12 (t)P
(0)
2 (t)−A′
1(t),
кроме того
f1(t) := C
(0)
11 (t)f
(1)
1 (t) + C
(0)
12 (t)f
(1)
2 (t) + g
(0)
1 (t)−
(
f
(1)
1 (t)
)′
.
При условии [7, 10]
PA∗ ̸= 0, PA∗
1
≡ 0, PD∗
0
g
(0)
2 (t) ≡ 0, A+
1 (t)B1(t) ∈ Cσ0×σ0 [a; b],
A+
1 (t)f1(t) ∈ C[a; b], PD∗
0
(t)g
(0)
2 (t) ≡ 0 . . . ,
S−1
0 (t)D+
0 (t)g
(0)
2 (t) ∈ C[a; b] . . . . (9)
6 О понижении порядка...
система (8) разрешима относительно производной
dφ
dt
= A+
1 (t)B1(t)φ+ F1(t, ν1(t)), ν1(t) ∈ Cρ1 [a; b]; (10)
здесь F1(t, ν1(t)) := A+
1 (t)f1(t) + PAϱ1
(t)ν1(t). Кроме того PA∗
1(t)
–
матрица-ортопроектор [9]: PA∗
1
(t) : Rσ0 → N(A∗
1(t)), PAρ1
(t) – (n×ρ1)−
матрица, составленная из ρ1 линейно-независимых столбцов (ρ0×ρ0)-
матрицы-ортопроектора PA1(t) : Rρ0 → N(A1(t)). Обозначим U1(t)
нормальную фундаментальную матрицу
U ′
1(t) = A+
1 (t)B1(t)U1(t), U1(a) = Iρ1
полученной традиционной системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (10). При условии (9) система (10), а следовательно и
система (1), имеет решение вида
z(t, cρ1) = X1(t)cρ1+S
−1
0 (t)PDρ0
K
[
F1(s, ν1(s))
]
(t)−S−1
0 (t)D+
0 (t)g
(0)
2 (t),
cρ1 ∈ Rρ1 ,
где
X1(t) := S−1
0 (t)PDρ0
U1(t),
K
[
F1(s, ν1(s))
]
(t) := U1(t)
∫ t
a
U−1
1 (s)F1(s, ν1(s)) ds.
Лемма 2. При условии (9) линейная дифференциально-алгебра-
ическая система (1) имеет решение вида
z(t, cρ1) = X1(t)cρ1 +K
[
f(s), ν1(s)
]
(t),
X1(t) := PDρ0
S−1
0 (t)U1(t), cρ1 ∈ Rρ1 ,
где
K
[
f(s), ν1(s)
]
(t) := PDρ0
S−1
0 (t)K
[
F1(s, ν1(s))
]
(t)−S−1
0 (t)D+
0 (t)g
(0)
2 (t)
– обобщенный оператор Грина задачи Коши z(a) = 0 для дифферен-
циально-алгебраической системы (1).
При условии PA∗ ̸= 0, PA∗
1
≡ 0, PD∗
0
g
(0)
2 (t) = 0, но A+
1 (t)B1(t) ̸∈
Cσ0×σ0 [a; b], либо A+
1 (t)f1(t) ̸∈ C[a; b], система (1) разрешима, но ре-
шение z(t) ̸∈ C1
n[a, b] не является искомым. По аналогии с класси-
фикацией импульсных краевых задач [14] в случае (9) будем гово-
рить, что для линейной дифференциально-алгебраической системы
(1) имеет место вырождение первого порядка.
С. М. Чуйко 7
Пример 2. Требованиям леммы 2 удовлетворяет дифференци-
ально-алгебраическая система
A(t) z′(t) = B(t)z(t) + f(t), f(t) :=
(
0 1 0 1
)∗
, (11)
где
A(t) :=
cos t 0 sin t
− sin t 0 cos t
cos t cos t sin t
− sin t − sin t cos t
,
B(t) :=
− sin t cos t − sin t
− cos t − sin t − cos t
− sin t cos t − sin t
− cos t − sin t − cos t
.
Поскольку
PA∗(t) =
1
4
1− cos 2t sin 2t cos 2t− 1 − sin 2t
sin 2t 1 + cos 2t − sin 2t −1− cos 2t
cos 2t− 1 − sin 2t 1− cos 2t sin 2t
− sin 2t −1− cos 2t sin 2t 1 + cos 2t
̸= 0,
постольку условие (2) не выполнено, при этом матрица A(t) может
быть представлена в виде
A(t) = R0(t) · Jσ0 · S0(t), Jσ0 :=
(
I3 O
O O
)
, σ0 = 3;
здесь
R0(t) =
cos t sin t 0 0
− sin t cos t 0 0
cos t sin t cos t sin t
− sin t cos t − sin t cos t
, S0(t) =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
– невырожденные матрицы. В данном случае матрица A1(t) = I3
невырождена, при этом PA1(t) = 0, PAρ1
(t) = 0, поэтому искомое
решение
z(t, c3) = X1(t)c3 +K
[
f(s)
]
(t), c3 ∈ R3
не зависит от произвольной непрерывной функции ν1(t); здесь
X1(t) =
1 0 t
0 0 1
e−t − 1 e−t 1− e−t − t
,K
[
f(s)
]
(t) =
cos t− 1
0
1− e−t
.
8 О понижении порядка...
3. Вырождение порядка p.
При условии PA∗(t) ̸= 0 и PA∗
1(t)
̸= 0 дифференциально-алгебраи-
ческая система (8) не разрешима относительно производной. Пред-
положим, что матрица A1(t) имеет постоянный ранг: rank A1(t)=σ1;
при этом матрица A1(t) в определенном базисе может быть представ-
лена в виде
A1(t) = R1(t) · Jσ1 · S1(t), Jσ1 :=
(
Iσ1 O
O O
)
,
R1(t) ∈ Cσ0×σ0 [a, b], S1(t) ∈ Cρ0×ρ0 [a, b];
здесь R1(t) и S1(t) – невырожденные матрицы. Невырожденная за-
мена переменной ψ(t) = S1(t)φ(t) приводит систему (8) к виду
Jσ1ψ
′(t) = C1(t)ψ(t) +R−1
1 (t)f1(t); (12)
здесь
C1(t) :=
(
Jσ1S
′
1(t) +R−1
1 (t)B1(t)
)
S−1
1 (t) :=
(
C
(1)
11 (t) C
(1)
12 (t)
C
(1)
21 (t) C
(1)
22 (t)
)
.
Замена переменной
ψ(t) = col (ξ(t), ζ(t)) ∈ C1
ρ0 [a, b], ξ(t) ∈ C1
σ1 [a, b], ζ(t) ∈ C1
ρ0−σ1 [a, b]
приводит систему (12) к виду
ξ′(t) = C
(1)
11 (t)ξ(t) + C
(1)
12 (t)ζ(t) + g
(1)
1 (t), (13)
C
(1)
21 (t)ξ(t) + C
(1)
22 (t)ζ(t) + g
(1)
2 (t) = 0,
R−1
1 (t)f1(t) := col
(
g
(1)
1 (t), g
(1)
2 (t)
)
. (14)
Уравнение (14) разрешимо тогда и только тогда, когда [7, 8, 10]
PD∗
1
(t)g
(1)
2 (t) ≡ 0, D1(t) :=
[
C
(1)
21 (t); C
(1)
21 (t)
]
∈ R(ρ0−σ1)×ρ0 ;
здесь PD∗
1
(t) – матрица-ортопроектор: PD∗
1
(t) : Rρ0−σ1 → N(D∗
1(t)).
При этом общее решение уравнения (14)
ψ(t) = PDρ1
µ(t)−D+
1 (t)g
(1)
2 (t), µ(t) ∈ C1
ρ1 [a, b]
С. М. Чуйко 9
определяет PDρ1
(t) – (ρ0×ρ1) – матрица, составленная из ρ1 линейно-
независимых столбцов матрицы-ортопроектора PD1(t): PD1(t) : Rρ0 →
N(D1(t)). Обозначая блоки матрицы PDρ1
(t) и произведения
D+
1 (t)g
(1)
2 (t)
PDρ1
(t) :=col
(
P
(1)
1 (t), P
(1)
2 (t)
)
, D+
1 (t)g
(1)
2 (t) :=−col
(
f
(2)
1 (t), f
(2)
2 (t)
)
,
приходим к задаче о построении решений µ(t) ∈ C1
ρ1 [a, b] линейной
дифференциально-алгебраической системы
A2(t)µ
′(t) = B2(t)µ(t) + f2(t), A2(t) := P
(1)
1 (t) ∈ Rσ1×ρ1 ; (15)
здесь
B2(t) := C
(1)
11 (t)P
(1)
1 (t) + C
(1)
12 (t)P
(1)
2 (t)−A′
2(t),
кроме того
f2(t) := C
(1)
11 (t)f
(2)
1 (t) + C
(1)
12 (t)f
(2)
2 (t) + g
(1)
1 (t)−
(
f
(2)
1 (t)
)′
.
При условии [10]
PA∗(t) ̸= 0, PA∗
1(t)
̸= 0, PA∗
2(t)
≡ 0, PD∗
0
(t)g
(0)
2 (t) ≡ 0,
PD∗
1
(t)g
(1)
2 (t) ≡ 0, A+
2 (t)B2(t) ∈ C[a; b], A+
2 (t)f2(t) ∈ C[a; b],
S−1
0 (t)D+
0 (t)g
(0)
2 (t) ∈ C[a; b]
(16)
система (15) разрешима относительно производной:
µ′ = A+
2 (t)B2(t)µ+ F2(t, ν2(t)), ν2(t) ∈ Cρ2 [a; b]; (17)
здесь F2(t, ν2(t)) := A+
2 (t)f2(t) + PAρ2
(t)ν2(t). Кроме того PA∗
2(t)
–
матрица-ортопроектор [9]: PA∗
2
(t) : Rσ1 → N(A∗
2(t)), PAρ2
(t) – (ρ1×ρ2)
– матрица, составленная из ρ2 линейно-независимых столбцов (ρ1 ×
ρ1)-матрицы-ортопроектора PA2(t) : Rρ1 → N(A2(t)). Заметим, что
при условии (16) rank A2(t) := σ2 = σ1 ≤ ρ1. Обозначим U2(t) нор-
мальную фундаментальную матрицу:
U ′
2(t) = A+
2 (t)B2(t)U2(t), U2(a) = Iρ1
полученной традиционной системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (17). При условии (16) система (1) имеет решение
вида
z(t, cρ2) = S−1
0 (t)PDρ0
S−1
1 (t)PDρ1
U2(t)cρ2
10 О понижении порядка...
+S−1
0 (t)PDρ0
S−1
1 (t)
{
PDρ1
K
[
F2(s, ν2(s))
]
(t)−D+
1 (t)g
(1)
2 (t)
}
,
где
K
[
F2(s, ν2(s))
]
(t) := U2(t)
∫ t
a
U−1
2 (s)F2(s, ν2(s)) ds, cρ2 ∈ Rρ2 .
Лемма 3. При условии (16) линейная дифференциально-алгебра-
ическая система (1) имеет решение вида
z(t, cρ2) = X2(t)cρ2 +K
[
f(s), ν2(s)
]
(t),
X2(t) := S−1
0 (t)PDρ0
S−1
1 (t)PDρ1
U2(t),
где
K
[
f(s), ν2(s)
]
(t) := S−1
0 (t)PDρ0
S−1
1 (t)
×
{
PDρ1
K
[
F2(s, ν2(s))
]
(t)−D+
1 (t)g
(1)
2 (t)
}
− S−1
0 (t)D+
0 (t)g
(0)
2 (t)
– обобщенный оператор Грина задачи Коши z(a) = 0 для дифферен-
циально-алгебраической системы (1).
По аналогии с классификацией импульсных краевых задач [14]
в случае (16) будем говорить, что для линейной дифференциально-
алгебраической системы (1) имеет место вырождение второго поряд-
ка. При условии
PA∗(t) ̸= 0, PA∗
1(t)
̸= 0, PA∗
2(t)
≡ 0, PD∗
0
(t)g
(0)
2 (t) ≡ 0, PD∗
1
(t)g
(1)
2 (t) ≡ 0,
но A+
2 (t)B2(t) ̸∈ Cn×n[a; b], либо A+
2 (t)f2(t) ̸∈ C[a; b], система (1) ра-
зрешима, но решение z(t) ̸∈ C1
n[a, b] не является искомым. При усло-
вии
PA∗(t) ̸= 0, PA∗
1(t)
̸= 0, PA∗
2(t)
≡ 0, PD∗
0
(t)g
(0)
2 (t) ≡ 0, PD∗
1
(t)g
(1)
2 (t) ̸= 0
система (1) не разрешима. Сравним ранги матриц A0(t) := A(t), A1(t)
и A2(t) в уравнениях (1), (8) и (15), определяющих условия разре-
шимости системы (1). В невырожденном случае для разрешимости
системы (1) достаточно тождества PA∗
0(t)
≡ 0, при этом
1 ≤ rank A0(t) := σ0 = m ≤ n.
С. М. Чуйко 11
В случае вырождения первого порядка PA∗
0(t)
̸= 0, следовательно σ0 <
m, при этом для разрешимости системы (1) достаточно тождества
PA∗
1(t)
≡ 0; в этом случае
1 ≤ rank A1(t) := σ1 := σ0 < min (m,n).
В вырожденном случае второго порядка PA∗
0(t)
̸= 0 и PA∗
1(t)
̸= 0, при
этом для разрешимости системы (1) достаточно тождества PA∗
2(t)
≡ 0;
в этом случае
1 ≤ rank A2(t) := σ2 := σ1 < σ0 < min (m,n).
Продолжая рассуждения, предположим, что после расщепления си-
стем (1), (8), (15), . . . , получено уравнение
Ak(t)κ
′(t) = Bk(t)κ(t) + fk(t), k = 1, 2 , 3 , . . . , (18)
не разрешимое относительно производной: PA∗
0(t)
̸= 0 PA∗
1(t)
̸= 0, . . . и
PA∗
k(t)
̸= 0, при этом разрешимы промежуточные уравнения (7), (14),
. . . , а именно:
PD∗
0
(t)g
(0)
2 (t) ≡ 0, PD∗
1
(t)g
(1)
2 (t) ≡ 0, . . . , PD∗
k−1
(t)g
(k−1)
2 (t) ≡ 0.
Предположим также, что матрица Ak(t) имеет постоянный ранг:
rank Ak(t) = σk; при этом матрица Ak(t) в определенном базисе мо-
жет быть представлена в виде
Ak(t) = Rk(t) · Jσk · Sk(t), Jσk :=
(
Iσk O
O O
)
;
здесь
Rk(t) ∈ Cσk−1×σk−1
[a, b], Sk(t) ∈ Cρk−1×ρk−1
[a, b]
– невырожденные матрицы. Невырожденная замена переменной
κ(t) = Sk(t)ω(t) приводит систему (18) к виду
Jσkω
′(t) = Ck(t)ω(t) +R−1
k (t)fk(t); (19)
здесь
Ck(t) :=
(
JσkS
′
k(t) +R−1
k (t)B(t)
)
S−1
k (t) :=
(
C
(k)
11 (t) C
(k)
12 (t)
C
(k)
21 (t) C
(k)
22 (t)
)
.
Замена переменной
ω(t) = col (ω1(t), ω2(t)) ∈ C1
ρk−1
[a, b],
12 О понижении порядка...
ω1(t) ∈ C1
σk
[a, b], ω2(t) ∈ C1
ρk−1−σk [a, b]
приводит систему (19) к виду
ω′
1(t) = C
(k)
11 (t)ω1(t) + C
(k)
12 (t)ω2(t) + g
(k)
1 (t), (20)
C
(k)
21 (t)ω1(t) + C
(k)
22 (t)ω2(t) + g
(k)
2 (t) = 0,
R−1
k (t)fk(t) := col
(
g
(k)
1 (t), g
(k)
2 (t)
)
. (21)
Уравнение (21) разрешимо тогда и только тогда, когда [7, 8, 10]
PD∗
k
(t)g
(k)
2 (t) = 0, Dk(t) :=
[
C
(k)
21 (t); C
(k)
21 (t)
]
∈ R(ρk−1−σk)×ρk−1 ;
здесь PD∗
k
(t) – матрица-ортопроектор: PD∗
k
(t) : Rρk−1−σk → N(D∗
k(t)).
При этом общее решение уравнения (21)
ω(t) = PDρk
θ(t)−D+
k (t)g
(k)
2 (t), θ(t) ∈ C1
ρk
[a, b]
определяет PDρk
(t) — (ρk−1 × ρk) – матрица, составленная из ρk ли-
нейно-независимых столбцов PDk
(t) ортопроектора: PDk
(t) : Rρk−1 →
N(Dk(t)). Обозначая блоки матрицы PDρk
(t) и произведения
D+
k (t)g
(k)
2 (t)
PDρk
(t) := col
(
P
(k)
1 (t), P
(k)
2 (t)
)
,
D+
k (t)g
(k)
2 (t) := − col
(
f
(k+1)
1 (t), f
(k+1)
2 (t)
)
,
приходим к задаче о построении решений θ(t) ∈ C1
ρk
[a, b] линейной
дифференциально-алгебраической системы
Ak+1(t) θ
′(t) = Bk+1(t) θ(t) + fk+1(t), Ak+1(t) := P
(k+1)
1 (t) ∈ Rσk×ρk ;
(22)
здесь
Bk+1(t) := C
(k)
11 (t)P
(k)
1 (t) + C
(k)
12 (t)P
(k)
2 (t)−A′
k+1(t),
кроме того
fk+1(t) := C
(k)
11 (t)f
(k+1)
1 (t) + C
(k)
12 (t)f
(k+1)
2 (t) + g
(k)
1 (t)−
(
f
(k+1)
1 (t)
)′
.
При условии [8, 10]
PA∗(t) ̸=0, PA∗
1(t)
̸= 0, ..., PA∗
k(t)
̸=0, PA∗
k+1(t)
≡0, PD∗
0
(t)g
(0)
2 (t)≡0, ...,
PD∗
k
(t)g
(k)
2 (t)≡0, A+
k+1(t)Bk+1(t)∈C[a; b], A+
k+1(t)fk+1(t)∈C[a; b],
S−1
0 (t)D+
0 (t)g
(0)
2 (t) ∈ C[a; b]
(23)
С. М. Чуйко 13
система (22) разрешима относительно производной:
θ′ = A+
k+1(t)Bk+1(t) θ + Fk+1(t, νk+1(t)), νk+1(t) ∈ Cρk+1
[a; b]; (24)
здесь Fk+1(t, νk+1(t)) := A+
k+1(t)fk+1(t)+PAρk+1
(t)νk+1(t). Кроме того
PA∗
k+1(t)
– матрица-ортопроектор [9]: PA∗
k+1
(t) : Rσk → N(A∗
k+1(t)),
PAρk+1
(t) – (ρk×ρk+1) – матрица, составленная из ρk+1 линейно-неза-
висимых столбцов (ρk×ρk)− матрицы-ортопроектора PAk+1
(t) : Rρk →
N(Ak+1(t)). Заметим, что при условии (23)
1 ≤ rankAk+1(t) := σk+1=σk < σk−1<...<σ2 < σ1 < σ0 < min(m,n).
В силу конечности числа строк m ∈ N матриц A(t) и B(t), при усло-
вии (23), последовательность {σk} монотонно убывающая, причем
ограниченная снизу, следовательно, согласно теореме Вейерштрас-
са [15, c. 102] последовательность {σk} имеет предел σp ≥ 1. При
условии
PA∗(t) ̸= 0, PA∗
1(t)
̸= 0, ... , PA∗
k(t)
̸= 0, PA∗
k+1(t)
≡ 0,
PD∗
0
(t)g
(0)
2 (t) ≡ 0, ... , PD∗
k
(t)g
(k)
2 (t) ≡ 0
будем говорить, что для линейной дифференциально-алгебраической
системы (1) имеет место вырождение порядка p := k+1. При условии
(23) система (24), а следовательно и система (1) разрешимы. Действи-
тельно, обозначим Up(t) нормальную фундаментальную матрицу:
U ′
p(t) = A+
p (t)Bp(t)Up(t), Up(a) = Iρp−1
полученной традиционной системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (24). При условии (23) система (24), а следовательно
и система (1), имеет решение вида
z(t, cρp) =
p∏
i=0
S−1
i (t)PDρi
Up(t)cρp +
p−1∏
i=0
S−1
i (t)PDρi
S−1
p−1(t)
×
{
PDρp−1
K
[
Fp(s, νp(s))
]
(t)−D+
p−1(t)g
(1)
p (t)
}
,−S−1
0 (t)D+
0 (t)g
(0)
2 (t),
где
K
[
Fp(s, νp(s))
]
(t) := Up(t)
∫ t
a
U−1
p (s)F2(s, νp(s)) ds, cρp ∈ Rρp .
14 О понижении порядка...
Теорема. В невырожденном случае, при условии (2) для любой
непрерывной вектор-функции f(t) ∈ Cm[a, b] система (1) имеет ре-
шение вида
z(t, c) = X0(t)c+K
[
f(s), ν0(s)
]
(t), c ∈ Rn,
зависящее от произвольной непрерывной вектор-функции ν0(t) ∈
Cρ0 [a, b].
В случае вырождения первого порядка, при условии (9) линейная
дифференциально-алгебраическая система (1) имеет решение вида
z(t, cρ1) = X1(t)cρ1 +K
[
f(s), ν1(s)
]
(t),
X1(t) := PDρ0
S−1
0 (t)U1(t), cρ1 ∈ Rρ1 ,
зависящее от произвольной непрерывной вектор-функции ν1(t) ∈
Cρ1 [a, b].
В случае вырождения второго порядка, при условии (16) линей-
ная дифференциально-алгебраическая система (1) имеет решение ви-
да
z(t, cρ2) = X2(t)cρ2 +K
[
f(s), ν2(s)
]
(t), cρ2 ∈ Rρ2 ,
зависящее от произвольной непрерывной вектор-функции ν2(t) ∈
Cρ2 [a, b].
В случае вырождения порядка p, при условии (23) линейная диф-
ференциально-алгебраическая система (1) имеет решение вида
z(t, cρp) = Xp(t)cρp +K
[
f(s), νp(s)
]
(t),
Xp(t) :=
p∏
i=0
S−1
i (t)PDρi
Up(t), cρp ∈ Rρp ,−S−1
0 (t)D+
0 (t)g
(0)
2 (t),
зависящее от произвольной непрерывной вектор-функции νp(t) ∈
Cρp [a, b]. Здесь
K[f(s), νp(s)](t)
:=
p−1∏
i=0
S−1
i (t)PDρi
S−1
p−1(t)
{
PDρp−1
K
[
Fp(s, νp(s))
]
(t)−D+
p−1(t)g
(1)
p (t)
}
– обобщенный оператор Грина задачи Коши z(a) = 0 для дифферен-
циально-алгебраической системы (1).
С. М. Чуйко 15
При условии
PA∗(t) ̸= 0, PA∗
1(t)
̸= 0, ... , PA∗
p(t)
≡ 0, PD∗
p−1
(t)g(1)p (t) ≡ 0,
но A+
p (t)Bp(t) ̸∈ Cn×n[a; b], либо A+
p (t)gp(t) ̸∈ C[a; b], система (1) раз-
решима, но решение z(t) ̸∈ C1
n[a, b] не является искомым. При условии
PA∗(t) ̸=0, PA∗
1(t)
≡0, ..., PA∗
p(t)
≡0, PD∗
0
(t)f2(t)≡0, ..., PD∗
1
(t)g
(1)
2 (t) ̸=0
система (1) не разрешима.
Пример 3. Требованиям доказанной теоремы удовлетворяет диф-
ференциально-алгебраическая система
A(t) z′(t) = B(t)z(t) + f(t), f(t) :=
(
0 1 0
)∗
, (25)
где
A(t) :=
0 3 3
1 0 0
2 0 0
, B(t) :=
0 1 0
1 0 0
0 0 0
.
Поскольку PA∗(t) ̸= 0, постольку условие (2) не выполнено, при
этом матрица A(t) может быть представлена в виде
A(t) = R0(t) · Jσ0 · S0(t), Jσ0 :=
(
I2 O
O O
)
,
R0(t) =
0 3 0
1 0 0
2 0 1
, S0(t) =
1 0 0
0 1 1
0 0 1
.
В данном случае матрица A1(t) вырождена, поэтому условие (9) не
выполнено, при этом матрица A1(t) может быть представлена в виде
A1(t) = R1(t) · Jσ1 · S1(t), R1(t) =
(
0 1
1 0
)
,
Jσ1 =
(
1 0
0 0
)
, S1(t) = I2, σ1 = 1;
здесь R1(t) и S1(t) — невырожденные матрицы. Поскольку условие
PD∗
1
(t)g
(1)
2 (t) = 0 выполнено, находим матрицу A2 = ( 1 0 ), для ко-
торой выполнено условие (23), следовательно система (25) разреши-
ма. В данном случае матрица A2(t) невырождена, при этом PA2(t) ̸=
0, PAρ2
(t) ̸= 0, поэтому искомое решение
z(t, c1) = X2(t)c1 +K[f(s)](t), X2(t) =
0 0
e
t
3 −e
t
3
0 1
,
16 О понижении порядка...
K[f(s)](t) =
(
−1 3
(
1− e
t
3
)
t
)∗
не зависит от произвольной непрерывной функции ν2(t), в данном
случае ν2(t) := 1.
Предложенная в статье схема исследования дифференциально-
алгебраических систем аналогично [16, 17] может быть перенесена
на матричные дифференциально-алгебраические краевые задачи. С
другой стороны, в случае неразрешимости дифференциально-алгеб-
раические краевые задачи могут быть регуляризованы аналогично
[18,19]. Предложенная в статье схема исследования дифференциаль-
но-алгебраических систем аналогично [9,20,21] может быть перенесе-
на на нелинейные матричные дифференциально-алгебраические кра-
евые задачи, в том числе, в частных производных [22–24].
Литература
[1] S. L. Campbell, Singular Systems of differential equations, San Francisco–London–
Melbourne, Pitman Advanced Publishing Program, 1980.
[2] В. Ф.Чистяков, Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным
ядром, Новосибирск, Наука, 1996.
[3] Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков, Алгебро-дифференциальные системы. Ме-
тоды решения и исследования, Новосибирск, Наука, 1998.
[4] Э. Хайрер, Г. Ваннер, Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи, М., Мир, 1999.
[5] В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова, Избранные главы теории алгебро-дифферен-
циальных систем, Новосибирск, Наука, 2003.
[6] А. М. Самойленко, М. I. Шкiль, В. П. Яковець, Лiнiйнi системи диференцi-
альних рiвнянь з виродженням, К., Вища школа, 2000.
[7] С. М. Чуйко, Линейные нетеровы краевые задачи для дифференциально-
алгебраических систем // Комп. исследов. и моделирование, 5 (2013), No. 5,
769–783.
[8] S. M. Chuiko, A generalized matrix differential-algebraic equation // Journal of
Mathematical Sciences (N.Y.), 210 (2015), No. 1, 9–21.
[9] A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm
boundary-value problems, 2-th edition, Berlin, Boston, De Gruyter, 2016.
[10] С. М. Чуйко, Линейная нетерова краевая задача для вырожденной
дифференциально-алгебраической системы // Spectral and Evolution Problems,
23 (2013), 148–157.
[11] В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифферен-
цируемых отображений, 3 изд., М., Изд. МЦНМО, 2009.
[12] Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, М., Наука, 1977.
[13] Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, М., Наука, 1988.
[14] S. M. Chuiko, A Generalized Green operator for a boundary value problem with
impulse action // Differential Equations, 37 (2001), No. 8, 1189–1193.
С. М. Чуйко 17
[15] Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, Том 1, М., Высшая школа,
1988.
[16] S. M. Chuiko, On the solvability of a matrix boundary-value problem // Itogi
Nauki i Tekhniki. Seriya “Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Temati-
cheskie Obzory”, 132 (2017), 139–143.
[17] S. M. Chuiko, To the issue of a generalization of the matrix differential-algebraic
boundary-value problem // Journal of Mathematical Sciences, 227 (2017), No. 1,
13–25.
[18] А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, М.,
Наука, 1986.
[19] S. M. Chuiko, On the regularization of a matrix differential-algebraic boundary-
value problem // Journal of Mathematical Sciences, 220 (2017), No. 5, 591–602.
[20] Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов, Конструктивные методы анализа нелиней-
ных систем, М., Наука, 1979.
[21] S. M. Chuiko, Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential
equation // Miskolc Mathematical Notes, 17 (2016), No. 1, 139–150.
[22] V. Ya. Gutlyanskii, V. I. Ryazanov, E. Yakubov, The Beltrami equations and
prime ends // Journal of Mathematical Sciences, 210 (2015), 22–51.
[23] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, A. Yefimushkin, On the boundary-value problems
for quasiconformal functions in the plane // Journal of Mathematical Sciences, 214
(2016), 200–219.
[24] I. I. Skrypnik, Removability of isolated singularities for anisotropic elliptic equati-
ons with gradient absorption // Israel Journal of Mathematics, 215 (2016), No. 1,
163–179.
[25] S. M. Chuiko, The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-
algebraic boundary value problem // Siberian Mathematical Journal, 56 (2015),
No. 4, 752–760.
Сведения об авторах
Сергей
Михайлович
Чуйко
Донбасский государственный
педагогический университет,
Славянск, Украина
E-Mail: chujko-slav@inbox.ru
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169384 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T17:00:28Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чуйко, С.М. 2020-06-11T20:13:54Z 2020-06-11T20:13:54Z 2018 О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе / С.М. Чуйко // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 1-17. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 34B15 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169384 Найдены условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина задачи Коши для линейной дифференциально-алгебраической системы. Получены достаточные условия приводимости дифференциально-алгебраического уравнения к последовательности систем, объединяющих дифференциальные и алгебраические уравнения. Предложена оригинальная классификация, а также единая схема построения решений дифференциальноалгебраических уравнений. The conditions of solvability and the structure of a generalized Green operator of the Cauchy problem for a linear differential-algebraic system are found. The sufficient conditions of reducibility of a differential-algebraic equation to a sequence of systems joining differential and algebraic equations are constructed. An original classification and a single scheme of construction of the solutions of differential-algebraic equations are proposed. Работа выполнена при финансовой поддержке МОН Украины (номер государственной регистрации 0115U003182). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе On a reduction of the order in a differential-algebraic system Article published earlier |
| spellingShingle | О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе Чуйко, С.М. |
| title | О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе |
| title_alt | On a reduction of the order in a differential-algebraic system |
| title_full | О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе |
| title_fullStr | О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе |
| title_full_unstemmed | О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе |
| title_short | О понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе |
| title_sort | о понижении порядка в дифференциально-алгебраической системе |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169384 |
| work_keys_str_mv | AT čuikosm oponiženiiporâdkavdifferencialʹnoalgebraičeskoisisteme AT čuikosm onareductionoftheorderinadifferentialalgebraicsystem |