Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича

В роботі знайдено точні значення величин найкращих наближень, базисних поперечників та поперечників за Колмогоровим деяких множин образів мультиплікаторів в модулярних просторах Орлича lM. Описано також простір SM,N всіх мультиплікаторів з простору lM в lN. We obtain the exact values of the best app...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Український математичний вісник
Дата:	2018
Автори:	Чайченко, С.О., Шидліч, А.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2018
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169397
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича / С.О. Чайченко, А.Л. Шидліч // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 194-209. — Бібліогр.: 30 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169397
record_format	dspace
spelling	Чайченко, С.О. Шидліч, А.Л. 2020-06-12T15:29:13Z 2020-06-12T15:29:13Z 2018 Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича / С.О. Чайченко, А.Л. Шидліч // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 194-209. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 42B99 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169397 В роботі знайдено точні значення величин найкращих наближень, базисних поперечників та поперечників за Колмогоровим деяких множин образів мультиплікаторів в модулярних просторах Орлича lM. Описано також простір SM,N всіх мультиплікаторів з простору lM в lN. We obtain the exact values of the best approximations, basic widths and Kolmogorov widths for some sets of images of multipliers in the modular Orlicz spaces lM. We give a description of the space SM;N of all multipliers from the space lM to lN. Робота виконана за часткової підтримки гранту Президента України за конкурсним проектом (Ф78/206-2018) Державного фонду фундаментальних досліджень та гранту H2020-MSCA-RISE-2014, номер проекту 645672 (AMMODIT: Approximation Methods for Molecular Modelling and Diagnosis Tools). uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича Approximative characteristics of modular Orlicz spaces Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича
spellingShingle	Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича Чайченко, С.О. Шидліч, А.Л.
title_short	Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича
title_full	Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича
title_fullStr	Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича
title_full_unstemmed	Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича
title_sort	апроксимативні характеристики модулярних просторів орлича
author	Чайченко, С.О. Шидліч, А.Л.
author_facet	Чайченко, С.О. Шидліч, А.Л.
publishDate	2018
language	Ukrainian
container_title	Український математичний вісник
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	Approximative characteristics of modular Orlicz spaces
description	В роботі знайдено точні значення величин найкращих наближень, базисних поперечників та поперечників за Колмогоровим деяких множин образів мультиплікаторів в модулярних просторах Орлича lM. Описано також простір SM,N всіх мультиплікаторів з простору lM в lN. We obtain the exact values of the best approximations, basic widths and Kolmogorov widths for some sets of images of multipliers in the modular Orlicz spaces lM. We give a description of the space SM;N of all multipliers from the space lM to lN.
issn	1810-3200
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169397
citation_txt	Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича / С.О. Чайченко, А.Л. Шидліч // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 194-209. — Бібліогр.: 30 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT čaičenkoso aproksimativníharakteristikimodulârnihprostorívorliča AT šidlíčal aproksimativníharakteristikimodulârnihprostorívorliča AT čaičenkoso approximativecharacteristicsofmodularorliczspaces AT šidlíčal approximativecharacteristicsofmodularorliczspaces
first_indexed	2025-11-25T23:10:31Z
last_indexed	2025-11-25T23:10:31Z
_version_	1850579096002625536
fulltext	Український математичний вiсник Том 15 (2018), № 2, 194 – 209 Апроксимативнi характеристики модулярних просторiв Орлича Станiслав О. Чайченко, Андрiй Л. Шидлiч (Представлена О. А. Довгошиєм) Анотацiя. В роботi знайдено точнi значення величин найкращих наближень, базисних поперечникiв та поперечникiв за Колмогоро- вим деяких множин образiв мультиплiкаторiв в модулярних просто- рах Орлича lM. Описано також простiр SM,N всiх мультиплiкаторiв з простору lM в lN. 2010 MSC. 47A58, 41A46, 46B45. Ключовi слова та фрази. Модулярi простори Орлича, найкра- ще наближення, базисний поперечник, поперечник за Колмогоро- вим, мультиплiкатор. 1. Вступ Модулярнi простори Орлича lM [1, роздiл 4] дослiджуються ма- тематиками з 40-х рокiв минулого столiття. Данi простори подiбнi до бiльш вивчених просторiв lM , введених В. Орличем в роботi [2], однак вони визначаються не однiєю фiксованою функцiєю Орлича M , а цi- лою послiдовнiстю таких функцiй M = {Mk(t)}∞k=1. Тому простори lM володiють не лише основними властивостей просторiв Орлича lM , а й збiгаються у випадку, коли функцiї Mk(t) = tpk , pk ≥ 1, з вiдо- мими просторами lp зi змiнним показником пiдсумовування, якi були введенi В. Орличем в роботi [3]. Робота [3] заклала початок цiлiй теорiї просторiв типу Орлича. У нiй В. Орлич, окрiм просторiв послiдовностей lp, ввiв також ана- логiчнi функцiональнi простори зi змiнним показником Lp(·), якi у випадку сталої функцiї p збiгаються з вiдомими просторами Лебега. Робота виконана за часткової пiдтримки гранту Президента України за конкурсним проектом (Ф78/206-2018) Державного фонду фундаменталь- них дослiджень та гранту H2020-MSCA-RISE-2014, номер проекту 645672 (AMMODIT: Approximation Methods for Molecular Modelling and Diagnosis Tools). ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України С. О. Чайченко, А. Л. Шидлiч 195 З того часу теорiя таких просторiв активно розробляється багатьма математиками у рiзних напрямах. Її результати знаходять своє за- стосування в теорiї пружностi, механiцi, теорiї диференцiальних опе- раторiв, варiацiйному численнi [4–8]. Значний внесок в дослiдження функцiональних просторiв Lp(·) зi змiнним показником було зробле- но Л. Дiнiнгом, який зокрема, довiв [9] обмеженiсть максимально- го оператора в цих просторах за природних i досить оптимальних умов (див. також [10,11]). Простори lp активно вивчалися А. Неквiн- дою [12–14]. Так в роботi [12] ним були знайденi необхiднi та достатнi умови еквiвалентностi норм у просторах lp i lq та умови обмеженостi операторiв зсуву, в [13] дослiджувались властивостi оператора усере- днення та максимального оператора, а в [14] – знайдено умови вкла- дення для просторiв lp. Властивостi звичайних просторiв Орлича lM вивчалися, зокрема, в роботах [15–18] та iн., а модулярних просторiв Орлича – зокрема, в роботах [7, 8, 19, 20] та iн. Окремо слiд вiдзна- чити монографiї [1, 21] та [22], в яких викладено основнi результати теорiї просторiв типу Орлича та їх застосування, а також фундамен- тальну працю Ю. Мусєлака [23], присвячену модулярним просторам Орлича, в зв’язку з якою останнi iнодi також називають просторами Мусєлака–Орлича. В данiй роботi розглянуто апроксимативнi характеристики моду- лярних просторiв Орлича lM. Знайдено точнi значення величин най- кращих наближень, базисних поперечникiв та поперечникiв за Кол- могоровим деяких множин образiв мультиплiкаторiв в цих просто- рах, а також описано простiр SM,N всiх мультиплiкаторiв з lM в lN. Одержанi результати, зокрема, розповсюджують на простори lM вiд- повiднi результати робiт [17, 24] та [25] для згаданих вище просторiв lM та lp. 2. Означення та деякi властивостi просторiв lM Нехай M = {Mk(t)}∞k=1, t ≥ 0, – довiльна послiдовнiсть функцiй Орлича, тобто, при кожному k ∈ N функцiя Mk(t) є неспадною опу- клою вниз функцiєю, для якоїMk(0) = 0 iMk(t) → ∞ при t→ ∞. Мо- дулярним простором lM, що визначається даною послiдовнiстю фун- кцiй M, називають лiнiйний простiр всiх послiдовностей x = {xk}∞k=1 дiйсних чисел, для яких є скiнченною величина ∥x∥ lM := inf { α > 0 : ∞∑ k=1 Mk(\|xk\|/α) ≤ 1 } . Зазначимо, що коли всi функцiї Mk однаковi: Mk(t) ≡M(t), k∈N, простори lM збiгаються з просторами Орлича lM послiдовностей x = 196 Апроксимативнi характеристики модулярних... {xk}∞k=1 дiйсних чисел, для яких є скiнченною величина ∥x∥ lM := inf { α > 0 : ∞∑ k=1 M(\|xk\|/α) ≤ 1 } . ЯкщоMk(t) = tpk , pk ≥ 1, то lM збiгаються з просторами lp зi змiнним показником пiдсумовування, норма у яких визначається рiвнiстю ∥x∥ lp = inf { α > 0 : ∞∑ k=1 (\|xk\|/α)pk ≤ 1 } , якщо ж всi Mk(t) = tp, p ≥ 1, то простори lM є звичайними просто- рами lp з нормою ∥x∥ lp = ( ∞∑ k=1 \|xk\|p )1/p . Система (ei) ∞ i=1, де ei = {eik}∞k=1, eik = 0 при k ̸= i i eii = 1, є базисом простору lM. Важливим пiдпростором простору lM є простiр hM послiдовно- стей x = {xk}∞k=1 ∈ lM, для яких при будь-якому α > 0 виконується спiввiдношення ∞∑ k=1 Mk(\|xk\|/α) <∞. Кажуть, що послiдовнiсть функцiй Орлича M = {Mk(t)}∞k=1 за- довольняє в нулi рiвномiрну ∆2-умову, якщо iснують додатна стала C > 0 i натуральне число k∗ ∈ N такi, що при всiх k > k∗ i t ∈ (0, 1 2) справджується нерiвнiсть Mk(2t) ≤ CMk(t). Як показано у [1, роздiл 4], якщо послiдовнiсть M = {Mk(t)}∞k=1 задовольняє в нулi рiвномiрну ∆2-умову, то має мiсце рiвнiсть lM = hM. 3. Найкращi наближення та базиснi поперечники в просторах lM Нехай M = {Mk(t)}∞k=1 та N = {Nk(t)}∞k=1 — двi довiльнi послi- довностi функцiй Орлича, lM та lN — простори Орлича, якi вiдпо- вiдають цим послiдовностям, i λ = {λk}∞k=1 — довiльна послiдовнiсть додатних чисел. Якщо для кожної послiдовностi x = {xk}∞k=1 ∈ lM маємо λx = {λkxk}∞k=1 ∈ lN, то кажуть, що послiдовнiсть λ визначає мультиплiкатор, який дiє з простору lM у простiр lN. Простiр всiх по- слiдовностей, якi визначають мультиплiкатори з lM в lN позначають через SM,N. С. О. Чайченко, А. Л. Шидлiч 197 Нехай, далi, BlM — одинична куля простору lM, а λ(BlM) — образ цiєї кулi пiд дiєю мультиплiкатора λ. Для будь-якого фiксованого набору γn iз n ∈ N рiзних натуральних чисел розглянемо величину Eγn(λ : lM → lN) := Eγn(λ(BlM), lN) = sup x∈BlM Eγn(λx, lN) = sup x∈BlM inf ai ∥λx− Pγn∥lN найкращого наближення в просторi lN множини λ(BlM) за допомогою всiх можливих n-членних полiномiв Pγn = ∑ i∈γn aiei, що вiдповiда- ють набору γn, ai — довiльнi дiйснi числа. Зазначимо, що коли 0 < Nk(t) ≤Mk(t), t ∈ [0, 1], k ∈ N, (3.1) а послiдовнiсть λ задовольняє умову lim k→∞ λk = 0, (3.2) для довiльного x ∈ BlM маємо λx ∈ lN i отже, величини Eγn(λ : lM → lN) за таких умов мають змiст. Дiйсно, поклавши λ∗ := max k∈N λk, в такому випадку з урахуванням неспадання функцiй Mk(t) та Nk(t) для довiльного x ∈ BlM будемо мати ∞∑ k=1 Nk ( λk\|xk\| λ∗ ) ≤ ∞∑ k=1 Nk(\|xk\|) ≤ ∞∑ k=1 Mk(\|xk\|) ≤ ∞∑ k=1 Mk ( \|xk\| ∥x∥lM ) ≤ 1. Звiдси випливає, що ∥λx∥ lN ≤ λ∗ <∞ i λx ∈ lN. Теорема 1. Нехай M = {Mk(t)}∞k=1 та N = {Nk(t)}∞k=1 — довiль- нi послiдовностi функцiї Орлича, що задовольняють спiввiдношення (3.1) i рiвностi inf{α > 0 :Mk(1/α) ≤ 1} = inf{α > 0 : Nk(1/α) ≤ 1}, k ∈ N. (3.3) Нехай, далi, λ = {λk}∞k=1 — довiльна послiдовнiсть додатних чисел, для якої виконується умова (3.2). Тодi для довiльного набору γn iз n ∈ N рiзних натуральних чисел має мiсце рiвнiсть Eγn(λ : lM → lN) = max k/∈γn λk. (3.4) 198 Апроксимативнi характеристики модулярних... Доведення. Нехай x = {xk}∞k=1 ∈ lN. Оскiльки для будь-яких α > 0 та ai ∈ R∑ k∈γn Nk(\|xk − ai\|/α) + ∑ k/∈γn Nk(\|xk\|/α) ≥ ∑ k/∈γn Nk(\|xk\|/α), то Eγn(x, lN) = Eγn(x, lN) := ∥x− Sγn(x)∥lN = inf { α > 0 : ∑ k/∈γn Nk(\|xk\|/α) ≤ 1 } , де Sγn(x) = ∑ k∈γn xkek. Покладемо λk∗ = λk∗(γn) = max k/∈γn λk. Тодi для будь-якої послiдов- ностi x ∈ BlM ∑ k/∈γn Nk ( λk\|xk\| λk∗ ) ≤ ∑ k/∈γn Nk(\|xk\|) ≤ ∑ k/∈γn Mk(\|xk\|) ≤ ∑ k/∈γn Mk ( \|xk\| ∥x∥ lM ) ≤ 1. Звiдси випливає, що Eγn(λ : lM → lN) ≤ λk∗ = max k/∈γn λk. З iншого боку, покладемо x∗ := ek∗/∥ek∗∥lM . Внаслiдок (3.3) ∥ek∗∥lM = inf{α > 0 :Mk∗(1/α) ≤ 1} = inf{α > 0 : Nk∗(1/α) ≤ 1} = ∥ek∗∥lN , тому ∥x∗∥ lM = ∥x∗∥ lN = 1 i x∗ ∈ BlM . Звiдси випливає, що Eγn(λx ∗, lN) = inf { α > 0 : Nk∗ ( λk∗ α∥ek∗∥lM ) ≤ 1 } = inf { α > 0 : Nk∗ ( λk∗ α∥ek∗∥lN ) ≤ 1 } = λk∗ . Таким чином, дiйсно має мiсце рiвнiсть (3.4). Зазначимо, що умова (3.3) еквiвалентна тому, що норми векторiв базисної системи (ek) ∞ k=1 в просторах lM та lN однаковi: ∥ek∥lM = ∥ek∥lN або ж тому, що при кожному натуральному k функцiї Mk С. О. Чайченко, А. Л. Шидлiч 199 та Nk досягають значення 1 в одних i тих самих точках: Mk(tk) = Nk(tk) = 1, де tk — деякi додатнi числа. Розглядаючи точнi нижнi межi в обох частинах рiвностi (3.4) по всiм можливим наборам γn iз n натуральних чисел, робимо висновок, що точна нижня межа в правiй частинi (3.4) реалiзується набором γ∗n, який визначається спiввiдношенням γ∗n = {ik ∈ N : λik = λ̄k, k = 1, 2, . . . , n}, n ∈ N, де λ̄ = {λ̄k}∞k=1 – неспадна перестановка чисел λk i max k ̸∈γ∗n λk = λ̄n+1. Тому з теореми 1 випливає такий наслiдок. Наслiдок 1. Нехай M = {Mk(t)}∞k=1 тa N = {Nk(t)}∞k=1 – довiль- нi послiдовностi функцiй Орлича, якi задовольняють спiввiдношення (3.1) та (3.3), λ = {λk}∞k=1 – будь-яка послiдовнiсть додатних чисел, для якої виконується умова (3.2). Тодi при кожному n ∈ N Dn(λ : lM → lN) = Dn(λ(BlM), lN) := inf γn Eγn(λ : lM → lN) = λ̄n+1, де λ̄ = {λ̄k}∞k=1 — незростаюча перестановка чисел λk. Величину Dn(λ : lM → lN) = Dn(λ(BlM), lN) називають базисним поперечником множини λ(BlM) в просторi lN. Зазначимо, що для згаданих вище просторiв Орлича lM та просто- рiв lp зi змiнним показником пiдсумовування твердження, аналогiчнi твердженням теореми 1 та наслiдку 1, були отриманi у роботах [24] та [25] вiдповiдно. Для просторiв lp твердження теореми 1 та наслiдку 1 випливають вiдповiдно з теорем 4.1 та 4.3 роботи [26]. 4. Колмогорiвськi поперечники Конструкцiя апроксимативних агрегатiв, якi будуть нами далi ви- користовуватися, визначаються характеристичними послiдовностями ε(λ), gn(λ) та δ(λ), що визначаються наступним чином [26]. Нехай λ = {λk}∞k=1 – довiльна послiдовнiсть додатних чисел, що задовольняють умову (3.2). Позначимо через ε(λ) = ε1, ε2, . . . послi- довнiсть всiх значень величин λk, впорядковану за незростанням, че- рез g(λ) = g1, g2, . . . позначимо систему множин gn := gλn = {k ∈ N : λk ≥ εn} , (4.1) 200 Апроксимативнi характеристики модулярних... а через δ(λ) = δ1, δ2, . . . – послiдовнiсть чисел δn = \|gn\|, де \|gn\| – кiлькiсть чисел k ∈ N, якi мiстяться в множинi gn. Враховуючи умову (3.2), послiдовностi ε(λ) та g(λ) можна озна- чити наступними спiввiдношеннями ε1 = sup k∈N λk, g1 = {k ∈ N : λk = ε1}, εn = sup k∈̄gn−1 λk, gn = gn−1 ∪ {k ∈ N : λk = εn}. Зауважимо, що за такого означення кожне число n∗ ∈ N належить усiм множинам gλn з достатньо великими номерами n i lim k→∞ δk = ∞. Надалi зручно через g0 = gλ0 позначати порожню множину i вважати, що δ0 = 0. Зазначимо також, що якщо λ̄ = {λ̄k}∞k=1 – незростаюча переста- новка чисел λk, k = 1, 2, . . ., то справджується рiвнiсть λ̄k = εn ∀k ∈ (δn−1, δn], n = 1, 2, . . . . Тому з теореми 1 легко отримати наступний наслiдок. Наслiдок 2. Нехай M = {Mk(t)}∞k=1 тa N = {Nk(t)}∞k=1 – довiль- нi послiдовностi функцiй Орлича, якi задовольняють спiввiдношення (3.1) i (3.3), λ = {λk}∞k=1 — будь-яка послiдовнiсть додатних чисел, для якої виконується умова (3.2). Тодi при кожному n ∈ N Egλn−1 (λ : lM → lN) = Egλn−1 (λ : lM → lN) := = sup x∈BlM Egλn−1 (λx, lN) = εn, (4.2) де εn – n-й член характеристичної послiдовностi ε(λ). Зауваження 1. Зазначимо, що коли послiдовнiсть λ = {λk}∞k=1 є строго спадною, при будь-якому n ∈ N маємо εn(λ) = λn i gλn = {1, 2, . . . , n}, δn(λ) = n, i тому для довiльної послiдовностi x ∈ lM величини Egλn−1 (x, lM) та Egλn−1 (x, lM) мають вiдповiдно вигляд Egλn−1 (x, lM) = En−1(x, lM) = inf ai ∥∥∥x− n−1∑ i=1 aiei ∥∥∥ lM та Egλn−1 (x, lM) = En−1(x, lM) = ∥∥∥x− n−1∑ i=1 xiei ∥∥∥ lM . С. О. Чайченко, А. Л. Шидлiч 201 Нехай, далi, X та Y – лiнiйнi нормованi простори, BX – замкне- на одинична куля простору X i λ : X → Y – обмежений лiнiйний оператор. Величину dn(λ : X → Y ) := dn(λ(BX);Y ) = inf Fn∈Fn sup x∈BX inf u∈Fn ∥λx− u∥ Y , де Fn – множина всiх пiдпросторiв простору Y розмiрностi не вище n ∈ N, називають поперечником за Колмогоровим множини λ(BX) в просторi Y . Теорема 2. Нехай M = {Mk(t)}∞k=1 – довiльна послiдовнiсть функцiй Орлича, λ = {λk}∞k=1 – будь-яка послiдовнiсть додатних чисел, для якої виконується умова (3.2). Тодi при кожному n ∈ N мають мiсце рiвностi dδn−1(λ : lM → lM) = dδn−1+1(λ : lM → lM) = . . . = dδn−1(λ : lM → lM) = En(λ : lM → lM) = εn, (4.3) в яких δs i εs, s = 1, 2, . . . , – елементи характеристичних послiдов- ностей δ(λ) та ε(λ) послiдовностi λ, а δ0 = 0. Доведення. Нехай спочатку n > 1. Пiдпростiр Φλn−1 полiномiв Φn−1 = ∑ k∈gλn−1 akek (4.4) має розмiрнiсть δn−1. З урахуванням (4.2) знаходимо εn = Egλn−1 (λ : lM → lM) ≥ dδn−1(λ : lM → lM) ≥ dδn−2(λ : lM → lM) ≥ . . . ≥ dδn−1(λ : lM → lM). Тому для доведення рiвностi (4.3) залишається переконатися, що dδn−1(λ : lM → lM) ≥ εn, n = 1, 2, . . . . (4.5) Для цього скористаємось вiдомою теоремою про поперечник кулi [27, §10.2], згiдно з якою, якщо множина M лiнiйного нормованого простору X з нормою ∥ · ∥X мiстить кулю γUν+1 радiуса γ деякого (ν + 1)-мiрного пiдпростору Uν+1 з X, тобто, якщо M ⊃ γUν+1 = {y : y ∈ Uν+1, ∥y∥X ≤ γ}, то dν(M)X = inf Fν∈Gν sup f∈M inf u∈Fν ∥f − u∥ X ≥ γ, 202 Апроксимативнi характеристики модулярних... де Gν – множина всiх ν-мiрних пiдпросторiв в X. Нехай εnBλ n,Φ – перетин кулi радiуса εn в lM з простором Φλn (роз- мiрностi δn) полiномiв вигляду (4.4): εnU λ n,Φ = {Φn ∈ Φ(λ) n : ∥Φn∥lM ≤ εn}. (4.6) Тодi з урахуванням (4.1), (4.6) та монотонностi функцiй Mk(t) для довiльного полiнома Φn = ∑ k∈gλn akek ∈ εnB λ n,Φ маємо∑ k∈gψn Mk(\|ak\|/λk) ≤ ∑ k∈gψn Mk(\|ak\|/εn) ≤ 1. Звiдси випливає, що Φn є образом деякої послiдовностi з оди- ничної кулi BlM . Таким чином, куля εnB λ n,Φ δn-мiрного пiдпросто- ру Φn(λ) з lM мiститься в образi λ(BlM) одиничної кулi BlM при дiї мультиплiкатора λ, що на пiдставi наведеної вище теореми i дає спiв- вiдношення (4.5). Таким чином, у випадку n > 1 теорему доведено. При n = 1 ї ї доведення залишається без змiн, якщо вважати, що пiдпростiр Φ0(λ) складається з нульової послiдовностi θ = (0, 0, . . .) i його розмiрнiсть дорiвнює нулю. Зазначимо, що для просторiв lM та lp твердження наслiдку 2 та теореми 2 отриманi в роботах [24] та [25] вiдповiдно. Для просторiв lp данi твердження випливають вiдповiдно з теорем 1 та 2 роботи [28] (див. також [29, гл.11] теореми 3.1 та 3.2). У випадку скiнченнови- мiрних просторiв ldp твердження, аналогiчне до теореми 2, випливає з теореми 2.1 глави VI монографiї [30]. 5. Мультиплiкатори в модулярних просторах Орлича Розглянемо послiдовнiсть функцiй Qk(y) := sup t∈[0,1] ( Nk(yt)−Mk(t) ) , y ≥ 0, k = 1, 2, . . . , (5.1) кожна з яких, вiдповiдно до означення, є функцiєю Орлича i задо- вольняє нерiвнiсть Nk(yt) ≤Mk(t) +Qk(y), y ≥ 0, t ∈ [0, 1], (5.2) що є аналогом класичної нерiвностi Юнга. Лема 1. Якщо λ ∈ lQ, де послiдовнiсть Q = {Qk(t)}∞k=1 визначає- ться спiввiдношенням (5.1), то λ = {λk(t)}∞k=1 визначає мультиплi- катор з простору lM в lN. Крiм того для всiх x ∈ lM виконується нерiвнiсть ∥λx∥ lN ≤ 2∥λ∥ lQ · ∥x∥ lM . (5.3) С. О. Чайченко, А. Л. Шидлiч 203 Перед доведення даної леми встановимо таке допомiжне твердже- ння. Твердження 1. Нехай M={Mk(t)}∞k=1 — довiльна послiдовнiсть функцiй Орлича, яка визначає простiр lM. Якщо для деякої послi- довностi x = {xk}∞k=1 маємо ∥x∥ lM > 1, то ∥x∥ lM ≤ ∞∑ k=1 Mk(\|xk\|), (5.4) якщо ж ∥x∥ lM < 1, то ∥x∥ lM ≥ ∞∑ k=1 Mk(\|xk\|). (5.5) Доведення. Дiйсно, переконаємось, наприклад, в справедливостi (5.4) за умови ∥x∥ lM > 1. Нерiвнiсть (5.5) за умови ∥x∥ lM < 1 доводиться аналогiчно. Виберемо число ε > 0 так, щоб ∥x∥ lM − ε > 1. Тодi на пiдставi нерiвностi M(αt) ≤ αM(t), 0 ≤ α ≤ 1, (5.6) яка виконується для довiльної функцiї Орлича (див., наприклад, [21, гл. 1], [17, 25]), а також означення норми у просторi lM, знаходимо 1 < ∞∑ k=1 Mk ( \|xk\| ∥x∥ lM − ε ) ≤ 1 ∥x∥ lM − ε ∞∑ k=1 Mk(\|xk\|). Звiдси, переходячи до границi при ε→ 0, отримуємо (5.4). Доведення леми 1. Нехай λ = {λk}∞k=1 ∈ lQ i x = {xk}∞k=1 ∈ lM – довiльнi фiксованi послiдовностi i ε > 0 — будь-яке число. Тодi внаслiдок (5.2) ∞∑ k=1 Nk ( \|λk\| ∥λ∥ lQ + ε · \|xk\| ∥x∥ lM + ε ) ≤ ∞∑ k=1 Mk ( \|xk\| ∥x∥ lM + ε ) + ∞∑ k=1 Qk ( \|λk\| ∥λ∥ lQ + ε ) ≤ 2. (5.7) Розглянемо послiдовностi λ̃ = {λ̃k}∞k=1 та x̃ = {x̃k}∞k=1, де λ̃k := \|λk\| ∥λ∥ lQ + ε , x̃k := \|xk\| ∥x∥ lM + ε , 204 Апроксимативнi характеристики модулярних... У випадку, коли ∥λ̃x̃∥ lN ≤ 1, нерiвнiсть (5.3) очевидна. Тому далi вважаємо, що ∥λ̃x̃∥ lN > 1. Враховуючи нерiвностi (5.4) i (5.7), знахо- димо ∥λ̃x̃∥ lN ≤ ∞∑ k=1 Nk ( \|λk\| ∥λ∥ lQ + ε · \|xk\| ∥x∥ lM + ε ) ≤ 2, звiдки одержуємо оцiнку ∥λx∥ lN ≤ 2 ( ∥λ∥ lQ + ε )( ∥x∥ lM + ε ) , яка з урахуванням довiльностi числа ε > 0 i доводить нерiвнiсть (5.3). 2 Теорема 3. Нехай M = {Mk(t)}∞k=1 та N = {Nk(t)}∞k=1 — довiль- на пара послiдовностей функцiй Орлича, якi задовольняють умову ∥ek∥lM ≤ K1∥ek∥lN ≤ K2, k = 1, 2, . . . , (5.8) де K1 та K2 — деякi додатнi сталi, K2 ≥ K1 ≥ 1. Тодi простори SM,N i lQ, де Q = {Qk(t)}∞k=1, визначається спiввiдношеннями (5.1), збiгаються як множини, та крiм того, є iзоморфними як банаховi простори. Доведення. Розглянемо у просторi мультиплiкаторiв SM,N норму ∥λ∥ SM,N = sup { ∥λx∥ lN : ∥x∥ lM ≤ 1 } . (5.9) З леми 1 випливає, що SM,N ⊃ lQ.Дiйсно, якщо λ ∈ lQ, то з нерiвностi (5.3) отримуємо ∥λ∥ SM,N ≤ 2∥λ∥ lQ · ∥x∥ lM ≤ 2∥λ∥ lQ . Отже, для доведення теореми потрiбно переконатися, що справ- джується обернене вкладення SM,N ⊂ lQ i виконується оцiнка для норм ∥λ∥ lQ ≤ 2K2∥λ∥SM,N . (5.10) Нехай k – будь-яке натуральне число. Вiзьмемо довiльну послiдов- нiсть невiд’ємних чисел λ∗ = {λ∗k}∞k=1 ∈ SM,N, для якої ∥λ∗∥ SM,N = 1/(2K1) i позначимо λ∗∗k = λ∗k/∥ek∥lN , k = 1, 2, . . . Тодi λ∗k = ∥λ∗∗ek∥lN = ∥ek∥lM ∥ek∥lN · ∥∥∥λ∗ek/∥ek∥lM∥∥∥ lN ≤ K1 · sup { ∥λ∗x∥ lN : ∥x∥ lM ≤ 1 } = K1 · ∥λ∗∥SM,N = 1/2. (5.11) С. О. Чайченко, А. Л. Шидлiч 205 Оскiльки функцiї Mk та Nk є неперервними, то iснує таке x∗k ∈ [0, 1], що Qk(λ ∗∗ k ) := Nk(λ ∗∗ k x ∗ k)−Mk(x ∗ k). (5.12) Нехай µ := λ∗∗k x ∗ kek. Оскiльки ∥µ∥ lN = inf { α > 0 : Nk (λ∗∗k x∗k α ) ≤ 1 } = λ∗kx ∗ k ≤ 1 2 , то на пiдставi твердження 1 Nk(λ ∗∗ k x ∗ k) ≤ ∥µ∥ lN ≤ 1/2. Таким чином, при довiльному k ∈ N Mk(x ∗ k) = Nk(λ ∗∗ k x ∗ k)−Qk(λ ∗∗ k ) ≤ 1 2 . (5.13) Далi, скориставшись методом математичної iндукцiї, покажемо, що для довiльного n ∈ N n∑ k=1 Mk(x ∗ k) ≤ 1 2 . (5.14) Дiйсно, при n = 1 спiввiдношення (5.14) випливає з (5.13). Припу- стимо, що (5.14) справджується при деякому m = n i переконає- мося в його справедливостi при m = n + 1. Для цього позначимо τ := ∑n+1 k=1 x ∗ kek. Внаслiдок спiввiдношення (5.13) та припущення iн- дукцiї n+1∑ k=1 Mk(x ∗ k) = n∑ k=1 Mk(x ∗ k) +Mn+1(x ∗ n+1) ≤ 1 2 + 1 2 = 1, тому ∥τ∥ lM = inf { α > 0 : n+1∑ k=1 Mk (x∗k α ) ≤ 1 } ≤ 1. i тодi з урахуванням (5.8) та (5.9) маємо ∥λ∗∗τ∥ lN = inf { α > 0 : n+1∑ k=1 Nk (λ∗∗k x∗k α ) ≤ 1 } = inf { α > 0 : n+1∑ k=1 Nk ( λ∗kx ∗ k α∥ek∥lM · ∥ek∥lM ∥ek∥lN ) ≤ 1 } ≤ K1 · sup { ∥λ∗x∥ lN : ∥x∥ lM ≤ 1 } = K1 · ∥λ∗∥SM,N = 1/2. (5.15) 206 Апроксимативнi характеристики модулярних... Об’єднуючи (5.12), (5.15) та використовуючи твердження 1, отриму- ємо необхiдну нерiвнiсть: n+1∑ k=1 Mk(x ∗ k) ≤ n+1∑ k=1 Nk(λ ∗∗ k x ∗ k) ≤ ∥λ∗∗τ∥ lN ≤ 1 2 . Таким чином, нерiвнiсть (5.14) виконується для довiльного натураль- ного числа n, i тому ∞∑ k=1 Mk(x ∗ k) ≤ 1 2 . Звiдси випливає, що x∗ = {x∗k}∞k=1 ∈ lM, ∥x∗∥ lM = inf { α > 0 : ∞∑ k=1 Mk ( \|x∗k\| α ) ≤ 1 } ≤ 1, i при цьому ∥λ∗∗x∗∥ lN ≤ K1 · sup { ∥λ∗x∥ lN : ∥x∥ lM ≤ 1 } = K1 · ∥λ∗∥SM,N = 1/2. (5.16) Використовуючи твердження 1, на пiдставi спiввiдношень (5.12) та (5.16) одержуємо ∞∑ k=1 Qk(λ ∗∗ k ) ≤ ∞∑ k=1 Nk(λ ∗∗ k x ∗ k) ≤ ∥λ∗∗x∗∥ lN ≤ 1 2 . Таким чином, послiдовнiсть λ∗∗ належить lQ i виконується нерiвнiсть ∥λ∗∗∥ lQ ≤ 1. Тодi з огляду на (5.8) послiдовнiсть λ∗ теж належить lQ i при цьому ∥λ∗∥ lQ ≤ K2/K1. Нехай тепер λ – довiльна послiдовнiсть з множини SM,N. Покла- демо λ∗ := λ/ ( 2K1∥λ∥S M,N ) . Оскiльки ∥λ∗∥ S M,N = 1/(2K1), то як показано вище, λ∗ ∈ lQ i справджується спiввiдношення K2/K1 ≥ ∥λ∗∥ lQ = ∥∥∥λ/(2K1∥λ∥S M,N )∥∥∥ lQ , з якого випливає, що λ ∈ lQ i має мiсце нерiвнiсть (5.10). Зазначимо, що для звичайних просторiв Орлича lM твердження, аналогiчнi до тверджень леми 1 та теореми 3, отримано в роботi [17]. С. О. Чайченко, А. Л. Шидлiч 207 Нехай {pk}∞k=1 i {rk}∞k=1 – довiльнi послiдовностi додатних чисел, таких що 1 ≤ rk < pk ≤ K, k = 1, 2, . . . , (5.17) де K – додатна стала. Розглянемо послiдовностi функцiй P = {tpk/pk}∞k=1 i R = {trk/rk}∞k=1. Зрозумiло, що кожна функцiя з цих послiдовностей є функцiєю Орлича i справджується спiввiдно- шення 1/K ≤ ∥ek∥lP = inf { α > 0 : 1 αpk ≤ 1 } = 1 pk < 1 rk = inf { α > 0 : 1 αrk ≤ 1 } = ∥ek∥lR ≤ 1, звiдки випливає, що послiдовностi P i R задовольняють умову (5.8). Оскiльки при кожному фiксованому y ∈ [0, 1] рiзниця δ(t) := (yt)rk rk − tpk pk досягає свого максимального значення при t = yrk/(pk−rk) ∈ [0, 1], то Qk(y) = sup t∈[0,1] ∣∣∣(yt)rk rk − tpk pk ∣∣∣ = yqk qk , k = 1, 2, . . . , де qk = pkrk pk − rk , k = 1, 2, . . . . (5.18) Тому з теореми 3 отримуємо такий наслiдок. Наслiдок 3. Нехай P = {tpk/pk}∞k=1, R = {trk/rk}∞k=1, де {pk}∞k=1 i {rk}∞k=1 — довiльнi послiдовностi, що задовольняють умову (5.17). Тодi простори SP,R i lQ, Q = {tqk/qk}∞k=1, де числа qk визначається спiввiдношенням (5.18), спiвпадають як множини, та крiм того, є iзоморфними як банаховi простори. Лiтература [1] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces I: Sequence Spaces, Berlin, 1977. [2] W. Orlicz, Über Räume (LM ) // Bull. intern. de l’Acad. Pol., (1936), Serie A, Cracovie. [3] W. Orlicz, Über konjugierte Exponentenfolgen // Studia Math., (1931), No. 3, 200–211. [4] L. Diening, M. Ružička, Calderon-Zygmund operators on generelized Lebesgue spaces Lp(x) and problems related to fluid dynamics // J. Reine Angew. Math., 563 (2003), 197–220. [5] M. Ružička, Electroreological fluids: Modeling and mathematical theory, Lect. Notes Math. Springer, 1748, 2000. 208 Апроксимативнi характеристики модулярних... [6] S. G. Samko, On a progress in the theory of Lebesgue spaces whith variable exponent: Maximal and Singular operators // Integral Transforms Spec. Funct., 16 (2005), No. 5–6, 461–482. [7] P. Harjulehto, P. Hästö, R. Klén, Generalized Orlicz spaces and related PDE // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 143 (2016), 155–173. [8] P. Hästö, The maximal operator on generalized Orlicz spaces // J. Funct. Anal., 269 (2015), No. 12, 4038–4048. [9] L. Diening, Maximal function on generalized Lebesgue spaces Lp(·) // Math. Inequal. Appl., 7 (2004), No. 2, 245–253. [10] L. Pick, M. Ružička, An example of a space Lp(x) on which the Hardy–Littlewood maximal operator is not bounded // Expo. Math., 19 (2001), 369–371. [11] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, C. Neugebauer, The maximal function on variable Lp spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 28 (2003), 223–238; Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 29 (2004), 247–249. [12] A. Nekvinda Equivalence of lpn norms and shift operators // Math. Inequal. Appl., 5 (2002), № 4, 711–723. [13] A. Nekvinda, A note on maximal operator on lpn and Lp(x)(R) // J. Funct. Spaces Appl., 5 (2007), № 1, 49–88. [14] A. Nekvinda, Imbeddings between discrete weighted Lebesgue spaces // Math. Inequal. Appl., 10 (2007), № 1, 165–172. [15] Ю. И. Грибанов, Нелинейные операторы в пространствах Орлича // Уч. зап. Казанского ун-та, 115 (1955), кн. 7. [16] Ю. И. Грибанов, К теории пространств lM // Уч. зап. Казанского ун-та, 117 (1957), кн. 2. [17] P. B. Djakov, M. S. Ramanujan, Multipliers between Orlicz Sequence Spaces // Truk. J. Math., (2000), No. 24, 313–319. [18] M. Aiyub, On some seminormed sequence spaces defined by Orlicz function // Proyecciones Journal of Mathematics, 32 (2013), No. 3, 267–280. [19] F.-Y. Maeda, Y. Mizuta, T. Ohno, T. Shimomura, Boundedness of maximal operators and Sobolev’s inequality on Musielak-Orlicz-Morrey spaces // Bull. Sci. Math., 137 (2013), 76–96. [20] F.-Y. Maeda, Y. Mizuta, T. Ohno, T. Shimomura, Approximate identities and Young type inequalities in Musielak-Orlicz spaces // Czechoslovak Math. J.,63(138) (2013), No. 4, 933–948. [21] М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий Выпуклые функции и пространства Орлича, Москва, Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958. [22] L. Diening, P. Harjulehto, P. Hästö, M. Ružička, Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents, Lecture Notes in Math., vol. 2017, Berlin–Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. [23] J. Musielak, Orlicz spaces and modular spaces, Berlin: Springer, 1983. [24] А. Л. Шидлiч, С. О. Чайченко, Апроксимацiйнi характеристики дiагональ- них операторiв в просторах lp // Математичнi проблеми механiки та обчи- слювальної математики: Зб. праць Iнституту математики НАН України, 11 (2014), No. 4, 399–412. С. О. Чайченко, А. Л. Шидлiч 209 [25] A. L. Shidlich, S. O. Chaichenko, Approximative Properties of Diagonal Operators in Orlicz Spaces // Numerical Functional Analysis and Optimization, 36 (2015), No. 10, 1339–1352. [26] А. И. Степанец, Задачи теории приближений в линейных пространствах // Укр. мат. журн., 58 (2006) No. 1, 47–92. [27] В.М. Тихомиров, Некоторые вопросы теории приближений, М., Изд.-во Моск. ун-та, 1976. [28] А. И. Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств Spφ // Укр. мат. журн., 53 (2001), No. 3, 392–416. [29] А. И. Степанец, Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате- матики НАН України, ч. 2, (2002) 40, 468 с. [30] A. Pinkus, n-widths in approximation theory, Springer–Verlag, 1985. Вiдомостi про авторiв Станiслав Олегович Чайченко Донбаський державний педагогiчний унiверситет, Слов’янськ, Україна E-Mail: s.chaichenko@gmail.com Андрiй Любомирович Шидлiч Iнститут математики НАН України, Київ, Україна E-Mail: shidlich@gmail.com CoverUMB_V15_N2.pdf Страница 1 Страница 2

Апроксимативні характеристики модулярних просторів Орлича

Репозитарії

Схожі ресурси