Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними
Досліджено розв’язність задачі з локальними неоднорідними двоточковими умовами за часом для однорідного диференціального рівняння другого порядку за часом та загалом нескінченного порядку за просторовими змінними у випадку, коли множина нулів характеристичного визначника задачі не є порожньою та не...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169399 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними / З.М. Нитребич, В.С. Ільків, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 220-236. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169399 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Нитребич, З.М. Ільків, В.С. Пукач, П.Я. Маланчук, О.М. 2020-06-12T15:34:20Z 2020-06-12T15:34:20Z 2018 Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними / З.М. Нитребич, В.С. Ільків, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 220-236. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 35G15 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169399 Досліджено розв’язність задачі з локальними неоднорідними двоточковими умовами за часом для однорідного диференціального рівняння другого порядку за часом та загалом нескінченного порядку за просторовими змінними у випадку, коли множина нулів характеристичного визначника задачі не є порожньою та не збігається з Cs: Доведено існування розв’язку задачі за умови, що праві частини двоточкових умов є квазіполіномами. Запропоновано диференціально-символьний метод побудови розв’язку задачі. We studied the solvability of a problem with local inhomogeneous conditions two-point in time for a homogeneous differential equation which is second-order in time and has generally the infinite order in spatial variables in the case where the set of zeros of the characteristic determinant of the problem is not empty and does not coincide with Cs. The existence of a solution of the problem under the condition that the right-hand sides of the two-point conditions are quasipolynomials is proved. A differential-symbol method of constructing a solution of the problem is proposed. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними Differential-symbol method of constructing the quasipolynomial solutions of a two-point problem for a partial differential equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними |
| spellingShingle |
Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними Нитребич, З.М. Ільків, В.С. Пукач, П.Я. Маланчук, О.М. |
| title_short |
Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними |
| title_full |
Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними |
| title_fullStr |
Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними |
| title_full_unstemmed |
Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними |
| title_sort |
диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними |
| author |
Нитребич, З.М. Ільків, В.С. Пукач, П.Я. Маланчук, О.М. |
| author_facet |
Нитребич, З.М. Ільків, В.С. Пукач, П.Я. Маланчук, О.М. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Differential-symbol method of constructing the quasipolynomial solutions of a two-point problem for a partial differential equation |
| description |
Досліджено розв’язність задачі з локальними неоднорідними двоточковими умовами за часом для однорідного диференціального рівняння другого порядку за часом та загалом нескінченного порядку за просторовими змінними у випадку, коли множина нулів характеристичного визначника задачі не є порожньою та не збігається з Cs: Доведено існування розв’язку задачі за умови, що праві частини двоточкових умов є квазіполіномами. Запропоновано диференціально-символьний метод побудови розв’язку задачі.
We studied the solvability of a problem with local inhomogeneous conditions two-point in time for a homogeneous differential equation which is second-order in time and has generally the infinite order in spatial variables in the case where the set of zeros of the characteristic determinant of the problem is not empty and does not coincide with Cs. The existence of a solution of the problem under the condition that the right-hand sides of the two-point conditions are quasipolynomials is proved. A differential-symbol method of constructing a solution of the problem is proposed.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169399 |
| citation_txt |
Диференціально-символьний метод побудови квазіполіномних розв'язків двоточкової задачі для рівняння із частинними похідними / З.М. Нитребич, В.С. Ільків, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 220-236. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT nitrebičzm diferencíalʹnosimvolʹniimetodpobudovikvazípolínomnihrozvâzkívdvotočkovoízadačídlârívnânnâízčastinnimipohídnimi AT ílʹkívvs diferencíalʹnosimvolʹniimetodpobudovikvazípolínomnihrozvâzkívdvotočkovoízadačídlârívnânnâízčastinnimipohídnimi AT pukačpâ diferencíalʹnosimvolʹniimetodpobudovikvazípolínomnihrozvâzkívdvotočkovoízadačídlârívnânnâízčastinnimipohídnimi AT malančukom diferencíalʹnosimvolʹniimetodpobudovikvazípolínomnihrozvâzkívdvotočkovoízadačídlârívnânnâízčastinnimipohídnimi AT nitrebičzm differentialsymbolmethodofconstructingthequasipolynomialsolutionsofatwopointproblemforapartialdifferentialequation AT ílʹkívvs differentialsymbolmethodofconstructingthequasipolynomialsolutionsofatwopointproblemforapartialdifferentialequation AT pukačpâ differentialsymbolmethodofconstructingthequasipolynomialsolutionsofatwopointproblemforapartialdifferentialequation AT malančukom differentialsymbolmethodofconstructingthequasipolynomialsolutionsofatwopointproblemforapartialdifferentialequation |
| first_indexed |
2025-11-24T15:05:09Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:05:09Z |
| _version_ |
1850469174615212032 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 15 (2018), № 2, 220 – 236
Диференцiально-символьний метод
побудови квазiполiномних розв’язкiв
двоточкової задачi для рiвняння
iз частинними похiдними
Зiновiй М. Нитребич, Володимир С. Iлькiв,
Петро Я. Пукач, Оксана М. Маланчук
(Представлена I. I. Скрипнiком)
Анотацiя. Дослiджено розв’язнiсть задачi з локальними неоднорi-
дними двоточковими умовами за часом для однорiдного диференцi-
ального рiвняння другого порядку за часом та загалом нескiнчен-
ного порядку за просторовими змiнними у випадку, коли множина
нулiв характеристичного визначника задачi не є порожньою та не
збiгається з Cs. Доведено iснування розв’язку задачi за умови, що
правi частини двоточкових умов є квазiполiномами. Запропоновано
диференцiально-символьний метод побудови розв’язку задачi.
2010 MSC. 35G15.
Ключовi слова та фрази. Квазiполiномнi розв’язки, диференцi-
ально-символьний метод, характеристичний визначник задачi, дво-
точковi умови.
1. Вступ
Чимало фiзичних, демографiчних, медико-бiологiчних, економi-
чних та iнших процесiв можна описати моделями з багатоточковими
умовами за часом для рiвнянь та систем рiвнянь iз частинними похi-
дними. Задачi з такими часовими умовами мають просту iнтерпрета-
цiю спостережень процесу у рiзнi моменти часу. Наприклад, двото-
чкова задача
∂2U
∂t2
− ∂2U
∂x21
− ∂2U
∂x22
= 0, t ∈ R, x = (x1, x2) ∈ R2, (1.1)
U(0, x) = φ1(x), U(h, x) = φ2(x), x ∈ R2, (1.2)
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук221
описує процес коливання безмежної мембрани, коли у два моменти
часу t = 0 та t = h > 0 задано її профiлi. На вiдмiну вiд задачi Кошi
для рiвняння (1.1) з нульовими початковими умовами
U(0, x) =
∂U
∂t
(0, x) = 0,
яка має лише тривiальний розв’язок, двоточкова задача для рiвняння
(1.1) з нульовими двоточковими умовами
U(0, x) = U(h, x) = 0 (1.3)
має нетривiальнi розв’язки, наприклад, такого вигляду
U(t, x) = x2
{
sin
π(x1 + t)
h
− sin
π(x1 − t)
h
}
. (1.4)
Зауважимо, що початковi умови – це умови, коли в один момент ча-
су задаються одночасно U(0, x) та ∂U
∂t (0, x). Якщо ж для коливно-
го процесу буде задаватись профiль мембрани в один момент часу,
а швидкiсть змiни її профiлю в iнший часовий момент (хоч i дуже
близький), то одержуємо задачу для рiвняння (1.1) з двоточковими
умовами вигляду
U(0, x) = φ0(x),
∂U
∂t
(h, x) = φ1(x) (1.5)
або
U(h, x) = φ0(x),
∂U
∂t
(0, x) = φ1(x). (1.6)
Двоточковi за часом умови (1.5) та (1.6), очевидно, є частковим
випадком умов вигляду
b01U(0, x) + b02
∂U
∂t
(0, x) = φ0(x),
b11U(h, x) + b12
∂U
∂t
(h, x) = φ1(x),
(1.7)
де b01, b02, b11, b12 ∈ C. Умови (1.5) одержуються з (1.7) для b01 =
1, b02 = 0, b11 = 0, b12 = 1, а умови (1.6) для b01 = 0, b02 = 1, b11 =
1, b12 = 0.
Отож, дослiдження розв’язностi задач для диференцiальних рiв-
нянь iз частинними похiдними з багатоточковими умовами за часом
є актуальним як для побудови загальної теорiї крайових задач, так i
для задач практики.
222 Диференцiально-символьний метод...
Вiдзначимо, що задачi з багатоточковими часовими умовами для
диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними узагальнюють за-
дачi з n-точковими умовами для звичайних диференцiальних рiв-
нянь, якi вiдомi в лiтературi як задачi Валле-Пуссена [1–3].
Формулювання та першi важливi результати щодо розв’язностi
n-точкових задач для рiвняння iз частинними похiдними здiйснено
в працi [4]. Бiльш загальнi результати, що стосуються розв’язностi
багатоточкових задач в обмежених областях для рiвнянь та систем
рiвнянь iз частинними похiдними одержано у працях багатьох вче-
них (див. [5–8] та бiблiографiю в них). Видiленню класiв єдиностi
розв’язку задач з багатоточковими умовами за часом в необмежених
областях присвяченi, зокрема, дослiдження [9–11].
В останнi роки багатоточковi умови за часом в моделюваннi про-
цесiв значно узагальнюються та набувають нового сенсу. Зокрема, в
умовах (1.7) замiсть сталих b01, b02, b11 та b12 можуть розглядатися
довiльнi диференцiальнi полiноми за просторовими змiнними. Такого
вигляду крайовi умови зустрiчаються, наприклад, у працях [12,13].
Зауважимо, що функцiя (1.4), що є нетривiальним розв’язком
однорiдної задачi (1.1), (1.3), є квазiполiномом. Чимало робiт вче-
них [14–16] присвяченi побудовi саме полiномних та квазiполiномних
розв’язкiв як самих рiвнянь iз частинними похiдними, так i крайових
задач для них.
Ця праця продовжує дослiдження [17–20] i присвячена узагаль-
ненню задачi (1.1), (1.7). Вивчається питання iснування розв’язку
задачi для рiвняння другого порядку за часом та загалом нескiн-
ченого порядку за просторовими змiнними з двоточковими умова-
ми (1.7), у яких b01, b02, b11, b12 є операторними коефiцiєнтами за
вектор-змiнною x ∈ Rs. Для побудови розв’язку задачi буде вико-
ристано диференцiально-символьний метод, основи якого запропоно-
вано в [21], а також у працях [22–24] для задач з рiзними умовами
за часовою змiнною. Зауважимо, що символьне числення, яке при-
таманне диференцiально-символьному методу, зустрiчається також у
працях [25,26].
2. Формулювання задачi
В областi змiнних t ∈ R та x = (x1, ..., xs) ∈ Rs, де s ∈ N\{1},
вивчається задача знаходження розв’язкiв рiвняння iз частинними
похiдними
L
( ∂
∂t
,
∂
∂x
)
U(t, x) ≡
[ ∂2
∂t2
+ 2a1
( ∂
∂x
) ∂
∂t
+ a2
( ∂
∂x
)]
U(t, x) = 0, (2.1)
З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук223
що задовольняють умови у два моменти часу t = 0 та t = h > 0
lkU(t, x) ≡ bk1
( ∂
∂x
)
U(kh, x) + bk2
( ∂
∂x
)∂U
∂t
(kh, x) = φk(x), k ∈ {0, 1}.
(2.2)
У рiвняннi (2.1) a1
(
∂
∂x
)
, a2
(
∂
∂x
)
– довiльнi диференцiальнi вирази
скiнченного або нескiнченного порядку з цiлими символами a1(ν),
a2(ν) для ν = (ν1, ..., νs) ∈ Cs. В умовах (2.2) b01
(
∂
∂x
)
, b02
(
∂
∂x
)
,
b11
(
∂
∂x
)
, b12
(
∂
∂x
)
– довiльнi диференцiальнi полiноми з комплексни-
ми коефiцiєнтами, символи яких b01 (ν) , b02 (ν) , b11 (ν) , b12 (ν) для
кожного вектор-параметра ν ∈ Cs задовольняють умови
|b01 (ν)|+ |b02 (ν)| > 0, |b11 (ν)|+ |b12 (ν)| > 0.
Функцiї φ0(x), φ1(x) в умовах (2.2) є заданими, причому хоча б одна
з них є ненульовою i належить до класу квазiполiномiв, який буде
введено нижче.
Введемо позначення для просторiв квазiполiномiв:
— KC,P – це клас квазiполiномiв, який мiстить тривiальний квазiпо-
лiном f(t, x) ≡ 0, а також нетривiальнi квазiполiноми вигляду
f(t, x) =
m∑
j=1
N∑
l=1
flj(t, x)e
βlt+αj ·x, t ∈ R, x ∈ Rs, m,N ∈ N,
де f11(t, x), . . . , fNm(t, x) – ненульовi полiноми змiнних t, x з компле-
ксними коефiцiєнтами, β1, . . . , βN – попарно рiзнi комплекснi числа,
а попарно рiзнi вектори α1 = (α11, . . . , α1s), . . ., αm = (αm1, . . . , αms)
належать до P ⊆ Cs, αj · x = αj1x1 + · · ·+ αjsxs, j = 1,m;
— KP – це клас квазiполiномiв вигляду
φ(x) =
m∑
j=1
Qj(x)e
αj ·x, x ∈ Rs, m ∈ N, (2.3)
де α1, . . . , αm – попарно рiзнi вектори з P ⊆ Cs, а Q1(x), . . . , Qm(x)
– ненульовi полiноми з комплексними коефiцiєнтами, а також тривi-
альний квазiполiном φ(x) ≡ 0.
У статтi [24] доведено iснування єдиного розв’язку задачi (2.1),
(2.2) у класi KC,Cs\M , якщо φ0(x), φ1(x) належать до KCs\M , де M
та Cs\M – непорожнi множини, причому
M = {ν ∈ Cs : ∆(ν) = 0}, (2.4)
∆(ν) = b01(ν)
{
b11 (ν)T1(h, ν)+b12 (ν)
dT1
dt
(h, ν)
}
− b02(ν)
{
b11 (ν)T0(h, ν)+b12 (ν)
dT0
dt
(h, ν)
}
,
224 Диференцiально-символьний метод...
{
T0 (t, ν) , T1 (t, ν)
}
– нормальна фундаментальна в точцi t = 0 систе-
ма розв’язкiв звичайного диференцiального рiвняння
L
( d
dt
, ν
)
T (t, ν) ≡
[ d2
dt2
+ 2a1(ν)
d
dt
+ a2(ν)
]
T (t, ν) = 0. (2.5)
Розв’язок задачi (2.1), (2.2) при цьому для φ0(x) i φ1(x) з класу
KCs\M зображено у виглядi
U(t, x) =
1∑
k=0
φk
( ∂
∂ν
){
Tk+2 (t, ν) e
ν·x
}∣∣∣
ν=O
, (2.6)
де
T2 (t, ν) = e−a1(ν)(t+h)
(
b11(ν)− a1(ν)b12(ν)
)
S(h− t, ν) + b12(ν)C(h− t, ν)
∆ (ν)
,
T3 (t, ν) = e−a1(ν)t
(
b01(ν)− a1(ν)b02(ν)
)
S(t, ν)− b02(ν)C(t, ν)
∆ (ν)
,
S(t, ν) =
sinh
[
tD(ν)
]
D(ν)
, D(ν) ̸= 0;
t, D(ν) = 0,
C(t, ν) = cosh
[
tD(ν)
]
,
D(ν) =
√
a21(ν)− a2(ν), O = (0, . . . , 0).
Зауваження 2.1. Функцiї T2 (t, ν) та T3 (t, ν) є розв’язками рiвня-
ння (2.5) i для k, j ∈ {0, 1} задовольняють умови
lk
{
Tj+2(t, ν)e
ν·x
}
≡
(
bk1(ν)Tj+2 (kh, ν) + bk2(ν)
dTj+2
dt
(kh, ν)
)
eν·x
= δkje
ν·x =
{
eν·x, k = j,
0, k ̸= j.
Зауваження 2.2. Дiю квазiполiномних диференцiальних виразiв у
формулi (2.6) розумiємо так: якщо H(ν, t, x) – деяка функцiя змiн-
них t, x та вектор-параметра ν ∈ Cs i φ(x) – квазiполiном вигляду
(2.3), то
φ
( ∂
∂ν
){
H(ν, t, x)
}∣∣∣
ν=O
=
m∑
j=1
Qj
( ∂
∂ν
){
H(ν, t, x)
}∣∣∣
ν=αj
.
Отже, якщо φ0(x) i φ1(x) належать до KCs\M , то у формулi (2.6)
ми не “попадатимемо” на нулi функцiї ∆(ν).
З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук225
Ця стаття присвячена випадку, коли правi частини φ0(x) та φ1(x)
двоточкових умов (2.2) можуть належати до KM . Буде доведено, що
для цього випадку розв’язок задачi (2.1), (2.2) у класi KC,M iснує. То-
му буде запропоновано формулу для знаходження одного з розв’язкiв
задачi (2.1), (2.2).
3. Основнi результати
Нехай для векторiв r = (r1, . . . , rs) та q = (q1, . . . , qs) з Zs+ вiдно-
шення порядку r ≥ q i r ≻ g означають, що вектор r − q має невiд’-
ємнi компоненти i додатну першу ненульову компоненту вiдповiдно;
rq = rq11 · · · rqss , r! = r1! · · · rs!, |r| = r1 + · · ·+ rs; ξ(r)(ν) =
∂|r|ξ(ν)
∂νr11 · · · ∂νrss
.
Теорема 3.1. Нехай аналiтичнi в околi точки α ∈ Cs функцiї
η : Cs → C i ζ : Cs → C мають усi нульовi похiднi η(r)(α), |r| < p, i
ζ(q)(α), |q| < d, а також iснують ненульовi похiднi η(r)(α), |r| = p,
i ζ(q)(α), |q| = d, якi впорядкованi так, що r∗ ≻ · · · ≻ r∗ та q∗ ≻
· · · ≻ q∗. Тодi похiднi ξ(γ)(α) добутку ξ(ν) = η(ν)ζ(ν) цих функцiй є
нульовими для |γ| < p+q, а для |γ| = p+q iснують ненульовi похiднi,
причому r∗ + q∗ ≻ · · · ≻ r∗ + q∗ i справджуються рiвностi
ξ(r
∗+q∗)(α)
(r∗ + q∗)!
=
η(r
∗)(α)
r∗!
· ζ
(q∗)(α)
q∗!
, (3.1)
ξ(r∗+q∗)(α)
(r∗ + q∗)!
=
η(r∗)(α)
r∗!
· ζ
(q∗)(α)
q∗!
. (3.2)
Доведення. Оскiльки за умовами теореми ряди
η(ν) =
∑
|r|≥p
η(r)(α)
r!
(ν − α)r, ζ(ν) =
∑
|q|≥d
ζ(q)(α)
q!
(ν − α)q
є збiжними в околi точки α, то перемножуючи почленно отримуємо
також збiжний ряд
ξ(ν) =
∑
|r|≥p, |q|≥d
η(r)(α)
r!
ζ(q)(α)
q!
(ν − α)r+q.
Враховуючи, що
(
(ν−α)r+q
)(γ) ≡ 0, якщо не виконується умова r+q ≥
γ, продиференцiюємо ряд почленно, тодi
ξ(γ)(ν) =
r+q≥γ∑
|r|≥p, |q|≥d
(r + q)!
(r + q − γ)!
η(r)(α)
r!
ζ(q)(α)
q!
(ν − α)r+q−γ ,
226 Диференцiально-символьний метод...
зокрема, ξ(γ)(α) = 0 для |γ| < p+ d.
Якщо r + q ̸= γ, то (ν − α)r+q−γ
∣∣
ν=α
= 0 для r + q ≥ γ. Звiдси
випливає формула
ξ(γ)(α)
γ!
=
r+q=γ∑
|r|=p, |q|=d
η(r)(α)
r!
ζ(q)(α)
q!
.
Нехай r = r∗, q = q∗, γ = γ∗ = r∗+ q∗, тодi |r∗| = p, |q∗| = d, |γ∗| =
p+ d, а рiвняння r + q = γ∗ має лише один розв’язок (r, q) = (r∗, q∗).
Звiдси випливає формула (3.1), причому ξ(r∗+q∗)(α) ̸= 0.
Формула (3.2) отримується з формули (3.1) при оберненому впо-
рядкуваннi компонент вектора ν (рiвняння r + q = γ∗ ≡ r∗ + q∗ має
також лише один розв’язок (r, q) = (r∗, q∗), де |r∗| = p, |q∗| = d).
Очевидно, що
(r∗ + q∗)− (r + q) = (r∗ − r) + (q∗ − q) ≻ · · · ≻ (r − r∗) + (q − q∗)
= (r + q)− (r∗ + q∗)
для довiльних пар (r, q), для яких |r| = p i |q| = d. Теорему доведено.
Покладаючи в теоремi 3.1 множники η(ν) та ζ(ν) однаковими,
тобто η(ν) = ζ(ν) = ∆(ν), отримуємо такий результат.
Наслiдок 3.1. Нехай аналiтична в околi точки α ∈ Cs функцiя
∆: Cs → C має усi нульовi похiднi ∆(r)(α), |r| < p, а також iсну-
ють ненульовi похiднi ∆(r)(α), |r| = p, якi впорядкованi так, що
r∗ ≻ · · · ≻ r∗. Тодi (∆2)(γ)(α) = 0 для |γ| ≤ 2p − 1, ненульовi похi-
днi (∆2)(γ)(α), |γ| = 2p, впорядковуються так, що 2r∗ ≻ · · · ≻ 2r∗,
причому справджується рiвнiсть
(∆2)(2r
∗)(α) =
(2r∗)!
(r∗!)2
[
∆(r∗)(α)
]2
.
Аналогiчний результат одержуємо для похiдних (∆n)(γ) у точцi α
функцiї ∆n(ν), де n ∈ N, причому (∆n)(γ)(α) = 0 для |γ| ≤ np − 1,
а ненульовi похiднi (∆n)(γ)(α), |γ| = np, впорядковуються так, що
nr∗ ≻ · · · ≻ nr∗, i справджується рiвнiсть
(∆n)(nr
∗)(α) =
(nr∗)!
(r∗!)n
[
∆(r∗)(α)
]n
. (3.3)
Нехай правi частини умов (2.2) є квазiполiномами з класу KM ,
де M – множина (2.4) (M ̸= ∅, M ̸= Cs), причому функцiї φ0(x)
З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук227
та φ1(x) як квазiполiноми з KM мають такий одночленний (з однiєю
експонентою) вигляд
φk(x) = Qk(x)e
αk·x, k ∈ {0, 1}, (3.4)
де Q0(x), Q1(x) – полiноми вiдповiдно степенiв n0 ∈ Zs+ та n1 ∈
Zs+ за сукупнiстю змiнних, а вектори α0 = (α01, . . . , α0s) та α1 =
(α11, . . . , α1s) належать до множини M , тобто ∆(α0) = 0 та ∆(α1) = 0
(зокрема, α0 = α1).
Згiдно з наслiдком 3.1 позначимо через r∗ = r∗0 та r∗ = r∗1 мульти-
iндекси з Zs+ для похiдних, якi вiдповiдають нулям α = α0 та α = α1
функцiї ∆(ν). Крiм цих мультиiндексiв, позначимо через q0 та q1 ще
однi мультиiндекси з Zs+:
q0 = (n0 + 1)r∗0, q1 = (n1 + 1)r∗1. (3.5)
Теорема 3.2. Нехай в умовах (2.2) функцiї φ0(x) та φ1(x) є ква-
зiполiномами вигляду (3.4), де α0, α1 ∈ M, M – множина (2.4), а
мультиiндекси q0 та q1 визначенi рiвностями (3.5). Тодi розв’язок
задачi (2.1), (2.2) у класi KC,M iснує i його можна знайти за фор-
мулою
U(t, x) =
1∑
k=0
( ∂
∂ν
)qk
ρk(t, x, ν)( ∂
∂ν
)qk[
∆nk+1(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=αk
=
1∑
k=0
( ∂
∂ν
)qk
ρk(t, x, ν)
∣∣∣
ν=αk(∆(r∗k)(αk)
r∗k !
)nk+1
qk !
,
(3.6)
де
ρk(t, x, ν) = ∆nk+1(ν)Qk
( ∂
∂ν
){
Tk+2(t, ν)e
ν·x
}
, k ∈ {0, 1}. (3.7)
Доведення. Насамперед зауважимо. що функцiї (3.7) для кожного
ν ∈ Cs є квазiполiномами i для довiльних t ∈ R i x ∈ Rs є цiлими
стосовно вектор-параметра ν ∈ Cs. Функцiї ρ0(t, x, ν), ρ1(t, x, ν), крiм
того, для кожного ν ∈ Cs задовольняють рiвняння (2.1). Дiйсно, для
k ∈ {0, 1} маємо
L
( ∂
∂t
,
∂
∂x
)
ρk(t, x, ν) = ∆nk+1(ν)L
( ∂
∂t
,
∂
∂x
)
Qk
( ∂
∂ν
){
Tk+2(t, ν)e
ν·x
}
= ∆nk+1(ν)Qk
( ∂
∂ν
)
L
( ∂
∂t
,
∂
∂x
){
Tk+2(t, ν)e
ν·x
}
= ∆nk+1(ν)Qk
( ∂
∂ν
){
eν·xL
( d
dt
, ν
)
Tk+2(t, ν)
}
=0.
228 Диференцiально-символьний метод...
У вищенаведеному ланцюжку рiвностей використано комутатив-
нiсть операцiй ∂
∂t ,
∂
∂x та ∂
∂ν , зауваження 2.1, а також рiвностi
L
( ∂
∂t
,
∂
∂x
){
Tk+2(t, ν)e
ν·x
}
= eν·xL
( d
dt
, ν
)
Tk+2(t, ν), k ∈ {0, 1},
що випливають iз такої очевидної рiвностi
A
( ∂
∂x
)
eν·x = A(ν)eν·x
для довiльного диференцiального виразу A( ∂∂x) з цiлим символом.
Доведемо тепер, що функцiя U(t, x) вигляду (3.6) задовольняє
умови (2.1). Для j ∈ {0, 1} маємо
ljU(t, x) =
1∑
k=0
( ∂
∂ν
)qk
ljρk(t, x, ν)( ∂
∂ν
)qk[
∆nk+1(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=αk
=
1∑
k=0
( ∂
∂ν
)qk[
∆nk+1(ν)Qk
( ∂
∂ν
){
lj
(
Tk+2(t, ν)e
ν·x)}]( ∂
∂ν
)qk[
∆nk+1(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=αk
=
1∑
k=0
( ∂
∂ν
)qk[
∆nk+1(ν)Qk
( ∂
∂ν
){
δkj e
ν·x}]( ∂
∂ν
)qk[
∆nk+1(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=αk
=
( ∂
∂ν
)qj[
∆nj+1(ν)Qj(x)e
ν·x
]
( ∂
∂ν
)qj[
∆nj+1(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=αj
=Qj(x)
∑
γ≤qj
Cγqj
(
∆nj+1
)(γ)
(αj)x
qj−γeαj ·x(
∆nj+1
)(qj)(αj) =Qj(x)e
αj ·x=φj(x).
В останньому ланцюжку рiвностей використано зауваження 2.1,
а також властивостi мультиiндексiв q0 та q1 i r∗0 та r∗1 з теореми 3.1.
У зображеннi розв’язку (3.6) задачi (2.1), (2.2) використано також
формулу (3.3).
Зауваження 3.1. Знайдений за теоремою 3.2 розв’язок (3.6) задачi
(2.1), (2.2) у класi KC,M не є єдиним, оскiльки [17] у цьому класi
iснують нетривiальнi розв’язки рiвняння (2.1), що задовольняють
однорiднi умови
lkU(t, x) = 0, k ∈ {0, 1}.
З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук229
Зауваження 3.2. У теоремi 3.2 встановлено iснування розв’язку
задачi (2.1), (2.2) у класi KC,M , якщо φ0(x) та φ1(x) мають одно-
членний квазiполiномний вигляд (3.4). Однак, якщо функцiї φ0(x)
та φ1(x) мають вигляд (2.3), то за теоремою 3.2 можна знайти
розв’язки задачi (2.1), (2.2), що вiдповiдають кожнiй парi одночлен-
них квазiполiномiв i тодi за принципом суперпозицiї сума знайде-
них розв’язкiв також буде розв’язком задачi (2.1), (2.2). Наприклад,
якщо φ0(x) = cosx = 1
2e
ix + 1
2e
−ix, а φ1(x) = sin 2x = 1
2ie
2ix − 1
2ie
−2ix,
то розв’язком задачi (2.1), (2.2) є сума двох розв’язкiв рiвняння (2.1)
з такими одночленними правими частинами в умовах (2.2):
1) φ0(x) =
1
2
eix, φ1(x) =
1
2i
e2ix; 2) φ0(x) =
1
2
e−ix, φ1(x) =
− 1
2i
e−2ix.
4. Приклади розв’язування задач
Приклад 4.1. Знайти розв’язки двоточкової задачi[
∂
∂t
+
∂
∂x3
− ∂2
∂x1∂x2
]2
U(t, x) = 0, t ∈ R, x ∈ R3, (4.1)
[
2
∂
∂x3
− ∂2
∂x1∂x2
+ 1
]
U(0, x) +
∂U
∂t
(0, x) = ex1−3x2 ,
U(1, x) = 1 + x1 + 2x2 + 3x3, x ∈ R3.
(4.2)
∇ Для задачi (4.1), (4.2) маємо a1(ν) = ν3− ν1ν2, a2(ν) = (ν3− ν1ν2)2,
b01(ν) = 2ν3−ν1ν2+1, b02(ν) = 1, b11(ν) = 1, b12(ν) = 0, ν = (ν1, ν2, ν3),
h = 1, φ0(x) = ex1−3x2 , φ1(x) = 1 + x1 + 2x2 + 3x3.
Функцiя ∆(ν), множина M , а також функцiї T2(t, ν) та T3(t, ν)
мають вигляд:
∆(ν) = ν3e
−ν3+ν1ν2 , M = {ν ∈ C3 : ν3 = 0},
T2(t, ν) =
e(ν1ν2−ν3)t
ν3
(1− t), T3(t, ν) =
e(ν1ν2−ν3)(t−1)
ν3
[
(ν3 + 1)t− 1
]
.
Для квазiполiнома φ0(x) = ex1−3x2 вiдповiдно до вигляду (2.3)
маємо: α0 = (1,−3, 0) ∈ M, Q0(x) = 1, n0 = 0. Тодi r∗0 = (0, 0, 1) i
q0 = r∗0 = (0, 0, 1). Аналогiчно для функцiї φ1(x) = 1 + x1 + 2x2 + 3x3
маємо: α1 = (0, 0, 0) ∈ M, Q1(x) = 1 + x1 + 2x2 + 3x3, n1 = 1. Тодi
r∗1 = (0, 0, 1) i за формулою (3.5) q1 = (0, 0, 2).
230 Диференцiально-символьний метод...
Запишемо функцiї ρ0(t, x, ν) та ρ1(t, x, ν) вигляду (3.7):
ρ0(t, x, ν) = ∆(ν)Q0
( ∂
∂ν
){
T2(t, ν)e
ν·x
}
= ∆(ν)
{
T2(t, ν)e
ν·x
}
= (1− t) e(ν1ν2−ν3)(t+1)+ν·x,
ρ1(t, x, ν) = ∆2(ν)Q1
( ∂
∂ν
){
T3(t, ν)e
ν·x
}
= ν23e
2ν1ν2−2ν3
(
1 +
∂
∂ν1
+ 2
∂
∂ν2
+ 3
∂
∂ν3
){
T3(t, ν)e
ν·x
}
=
(
ν3(ν3t+ t− 1)
{
(t− 1)(ν2 + 2ν1 − 3)+x1 + 2x2 + 3x3 + 1
}
+ 3− 3t
)
e(ν1ν2−ν3)(t+1)+ν·x.
За теоремою 3.2 розв’язок задачi (4.1), (4.2) знаходимо за форму-
лою (3.6):
U(t, x) =
∂
∂ν3
ρ0(t, x, ν)
∂
∂ν3
∆(ν)
∣∣∣∣∣
ν=(1,−3,0)
+
∂2
∂ν23
ρ1(t, x, ν)
∂2
∂ν23
[
∆2(ν)
] ∣∣∣∣∣
ν=(0,0,0)
= (1− t)(x3 − t− 1)ex1−3x2−3t + t(x1 + 2x2 + 3x3 − 3t+ 4)
+ (t− 1)(x3 − t− 1)
(
x1 + 2x2 +
3
2
x3 −
3
2
t+
11
2
)
.
Знайдений розв’язок задачi (4.1), (4.2) згiдно iз зауваженням 3.1
не є єдиним у класi KC,M , оскiльки в цьому класi iснують нетривiаль-
нi розв’язки вiдповiдної однорiдної задачi. Одним з таких нетривiаль-
них розв’язкiв є, зокрема, функцiя вигляду U(t, x) = (1−t)e2t+2x1+x2 .
△
Приклад 4.2. В областi t ∈ R, x ∈ R2 знайти розв’язки диферен-
цiально-функцiонального рiвняння
∂2
∂t2
U(t, x1, x2)−
(
1 +
∂
∂x1
)2
U(t, x1, x2 + 2) = 0, (4.3)
що задовольняють двоточковi умови(
1 +
∂
∂x1
)
U(0, x) +
∂2U
∂t∂x1
(0, x) = 2ex2−x1 ,(
1 +
∂
∂x1
)
U(h, x) +
∂2U
∂t∂x1
(h, x) = ex1 .
(4.4)
∇ Для задачi (4.3), (4.4) маємо a1(ν) = 0, a2(ν) = −(1 + ν1)
2e2ν2 ,
b01(ν) = b11(ν) = 1 + ν1, b02(ν) = b12(ν) = ν1, ν = (ν1, ν2), φ0(x) =
З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук231
2ex2−x1 , φ1(x) = ex1 . Функцiя ∆(ν), множина M , а також функцiї
T2(t, ν) та T3(t, ν) мають такий вигляд:
∆(ν) = (1 + ν1)
[
1− ν21e
2ν2
]
e−ν2 sinh[(1 + ν1)e
ν2h],
M = {ν ∈ Cs : ∆(ν) = 0},
T2(t, ν) =
e−ν2 sinh[(1 + ν1)e
ν2(h− t)] + ν1 cosh[(1 + ν1)e
ν2(h− t)]
∆(ν)
,
T3(t, ν) =
e−ν2 sinh[(1 + ν1)e
ν2t]− ν1 cosh[(1 + ν1)e
ν2t]
∆(ν)
.
Для квазiполiнома φ0(x) = 2ex2−x1 вiдповiдно до вигляду (2.3)
маємо: α0 = (−1, 1) ∈M, Q0(x) = 2, n0 = 0. Тодi r∗0 = (2, 0) i q0 = r∗0 =
(2, 0). Аналогiчно для функцiї φ1(x) = ex1 маємо: α1 = (1, 0) ∈ M,
Q1(x) = 1, n1 = 0, тодi r∗1 = (1, 0) i q1 = (1, 0).
Запишемо функцiї ρ0(t, x, ν) та ρ1(t, x, ν) вигляду (3.7):
ρ0(t, x, ν) = ∆(ν)Q0
( ∂
∂ν
){
T2(t, ν)e
ν·x}
= 2
[
e−ν2 sinh[(1 + ν1)e
ν2(h− t)] + ν1 cosh[(1 + ν1)e
ν2(h− t)]
]
eν·x,
ρ1(t, x, ν) = ∆(ν)Q1
( ∂
∂ν
){
T3(t, ν)e
ν·x}
=
[
e−ν2 sinh[(1 + ν1)e
ν2t]− ν1 cosh[(1 + ν1)e
ν2t]
]
eν·x.
За теоремою 3.2 розв’язок задачi (4.3), (4.4) знаходимо за форму-
лою (3.6):
U(t, x) =
∂2
∂ν21
ρ0(t, x, ν)
∂2
∂ν21
∆(ν)
∣∣∣∣∣
ν=(−1,1)
+
∂
∂ν1
ρ1(t, x, ν)
∂
∂ν1
∆(ν)
∣∣∣∣∣
ν=(1,0)
=
−e2(h− t)2 + 2x1(h− t+ 1)− x21
h(1− e2)
ex2−x1
+
(x1 − t) sinh[2t] + (t− 1− x1) cosh[2t]
−4 sinh[2h]
ex1 .
Зауважимо, що знайдений розв’язок задачi (4.3), (4.4) у класi
KC,M не є єдиним, оскiльки вiдповiдна однорiдна задача у вказаному
класi квазiполiномiв має нетривiальнi розв’язки, наприклад, вигляду
U(t, x) = e−2t+x1 , U(t, x) = e−x1φ(x2), U(t, x) = (t + x1)e
−x1φ(x2) (φ
– довiльна неперервна функцiя), якi в сумi зi знайденим розв’язком
також будуть розв’язками задачi (4.3), (4.4). △
232 Диференцiально-символьний метод...
Зауваження 4.1. Якщо φ0 ∈ KCs\M , а φ1 ∈ KM i має вигляд (2.3)
для k = 1, то розв’язок задачi (2.1), (2.2) у класi KC,Cs iснує i може
бути знайдений за формулою
U(t, x) = φ0
( ∂
∂ν
){
T2(t, ν)e
ν·x
}∣∣∣
ν=O
+
( ∂
∂ν
)q1
ρ1(t, x, ν)( ∂
∂ν
)q1[
∆n1+1(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=α1
. (4.5)
Аналогiчно, якщо φ0 ∈ KM i має вигляд (2.3) для k = 0, а φ1 ∈
KCs\M , то розв’язок задачi (2.1), (2.2) в класi KC,Cs iснує i його
можна знайти за формулою
U(t, x) =
( ∂
∂ν
)q0
ρ0(t, x, ν)( ∂
∂ν
)q0[
∆n0+1(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=α0
+ φ1
( ∂
∂ν
){
T3(t, ν)e
ν·x
}∣∣∣
ν=O
.
Приклад 4.3. Знайти в областi (t, x) ∈ R3 розв’язки U = U(t, x)
двоточкової задачi
∂2U
∂t2
+ 2
∂U
∂t
+
(
1− ∂4
∂x21∂x
2
2
)
U = 0, (4.6)
(
1+
∂2
∂x21
)
U(0, x)+
∂U
∂t
(0, x) = x1x2,
(
1+
∂2
∂x22
)
U(1, x)+
∂U
∂t
(1, x) = 0.
(4.7)
∇ Маємо a1(ν) = 1, a2(ν) = 1−ν21ν22 , b01(ν) = 1+ν21 , b02(ν) = b12(ν) =
1, b02(ν) = 1 + ν22 , s = 2, h = 1, φ0(x) = x1x2, φ1(x) = 0.
Функцiя ∆(ν), множина M , а також функцiї T2(t, ν) та T3(t, ν)
мають вигляд:
∆(ν) = e−1
(
ν21 − ν22
)
cosh[ν1ν2], M =
{
(ν1, ν2) ∈ C2 : ∆(ν) = 0
}
,
T2(t, ν) =
ν2
ν1
sinh[ν1ν2(1− t)] + cosh[ν1ν2(1− t)]
∆(ν)
e−(t+1),
T3(t, ν) =
ν1
ν2
sinh[ν1ν2t]− cosh[ν1ν2t]
∆(ν)
e−t.
Для квазiполiнома φ0(x) = x1x2 вiдповiдно до вигляду (2.3) α0 =
(0, 0) ∈M, Q0(x) = x1x2, n0 = 2. Тодi r∗0 = (2, 0) i згiдно з формулою
(3.5) q0 = (6, 0).
З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук233
Запишемо функцiю ρ0(t, x, ν) вигляду (3.7):
ρ0(t, x, ν) = ∆3(ν)Q0
( ∂
∂ν
){
T2(t, ν)e
ν·x
}
= ∆3(ν)e−t−1 ∂2
∂ν1∂ν2
{
ν2
ν1
sinh[ν1ν2(1− t)] + cosh[ν1ν2(1− t)]
∆(ν)
eν·x
}
.
Вiдповiдно до зауваження 4.1 знайдемо розв’язок задачi (4.6),
(4.7) за формулою (4.5):
U(t, x) =
( ∂
∂ν
)q0
ρ0(t, x, ν)( ∂
∂ν
)q0[
∆n0+1(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=α0
=
( ∂
∂ν1
)6
ρ0(t, x, ν)( ∂
∂ν1
)6[
∆3(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=(0,0)
.
Значення похiдної
( ∂
∂ν1
)6
ρ0(t, x, ν) при ν = (0, 0) завдяки тому,
що функцiя ρ0(t, x, ν) за вектор-параметром ν є цiлою, обчислимо
так: ( ∂
∂ν1
)6
ρ0(t, x, ν)
∣∣∣
ν=O
=
( ∂
∂ν1
)6
ρ0(t, x, ν1, 0)
∣∣∣
ν1=0
.
Оскiльки
ρ0(t, x, ν1, 0) = x2 ν
3
1 e
−t+ν1x1−3,( ∂
∂ν1
)6[
∆3(ν)
]∣∣∣∣∣
ν=(0,0)
=
6 !
(2 !)3
[
∆(2,0)(0, 0)
]3
= 720 e−3,
то
U(t, x) =
( ∂
∂ν1
)6
ρ0(t, x, ν)( ∂
∂ν1
)6[
∆3(ν)
]
∣∣∣∣∣
ν=(0,0)
=
1
6
x2 x
3
1 e
−t. (4.8)
Знайдений розв’язок (4.8) задачi (4.6), (4.7) не є єдиним у класi
KC,M , оскiльки вiдповiдна однорiдна задача у цьому класi має не-
тривiальнi розв’язки, наприклад, U(t, x) = x1e
−t, U(t, x) = x2e
−t,
U(t, x) = x1x2e
−t. △
Висновки
Дослiджено розв’язнiсть задачi для однорiдного диференцiально-
го рiвняння (2.1) iз частинними похiдними другого порядку за часо-
вою змiнною та скiнченного або нескiнченного порядку за просторо-
вими змiнними з неоднорiдними двоточковими умовами за часом (2.2)
234 Диференцiально-символьний метод...
у випадку, коли множина нулiв характеристичного визначника задачi
(2.1), (2.2) не є порожньою i не збiгається з Cs. Доведено iснування
розв’язку задачi та вказано формулу (3.6) для його побудови, якщо
правi частини двоточкових умов є квазiполiномами. Подано прикла-
ди застосування запропонованого диференцiально-символьного мето-
ду до конкретних двоточкових задач (приклади 4.1, 4.2 та 4.3).
Лiтература
[1] Ch. J. Vallee-Poussin, Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre.
Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equati-
ons d’ordre n // Journ. Math. de pura et appl., 9 (1929), No. 8, 125–144.
[2] M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro do cui dipend un equazione
differentiale lineare ordinaria del secondo ordine, Pisa, 1909.
[3] Я. Д. Тамаркин, О некоторых общих задачах теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды, Пг.,
1917.
[4] Б. Й. Пташник, Задача типу Валле-Пуссена для гiперболiчних рiвнянь iз
сталими коефiцiєнтами // ДАН УРСР, (1966), No. 10, 1254–1257.
[5] Б. И. Пташник, Некорректные граничные задачи для дифференциальных
уравнений с частными производными, К.: Наук. думка, 1984.
[6] Б. Й. Пташник, I. Я. Кмiть, В. С. Iлькiв, В. М. Полiщук, Нелокальнi крайовi
задачi для рiвнянь iз частинними похiдними, К.: Наук. думка, 2002.
[7] Б. Й. Пташник, М. М. Симотюк, Багатоточкова задача з кратними вузлами
для диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними зi сталими коефiцi-
єнтами // Укр. мат. журн., 55 (2003), No. 3, 400–413.
[8] T. Kiguradze, The Vallee-Poussin problem for higher order nonlinear hyperbolic
equations // Computers and Mathematics with Applications, 59 (2010), Iss. 2,
994-1002.
[9] В. М. Борок, Классы единственности решения краевой задачи в бесконечном
слое // ДАН СССР, 183 (1968), No. 5, 995–998.
[10] В. М. Борок, М. А. Перельман, О классах единственности решения много-
точечной краевой задачи в бесконечном слое // Известия вузов, Математика,
8 (1973), 29–34.
[11] I. Л. Вiленць, Класи єдиностi розв’язку загальної крайової задачi в шарi для
систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних // ДАН
УРСР, Сер. А, 3 (1974), 195–197.
[12] Л. В. Фардигола, Корректные задачи в слое с дифференциальными операто-
рами в краевом условии // Укр. матем. журн., 44 (1992), No. 8, 1083–1090.
З.М. Нитребич, В.С. Iлькiв, П.Я. Пукач, О.М. Маланчук235
[13] Л. В. Фардигола, Нелокальные двухточечные краевые задачи в слое с диффе-
ренциальным оператором в краевом условии // Укр. матем. журн., 47 (1995),
No. 8, 1122–1128.
[14] W. K. Hayman, Z. G. Shanidze, Polynomial solutions of partial differential equati-
ons // Methods and Applications of Analysis, 6 (1999), No. 1, 97–108.
[15] G. N. Hile, A. Stanoyevitch, Heat polynomial analogous for equations with higher
order time derivatives // J. Math. Anal. Appl., 295 (2004), 595–610.
[16] P. Pedersen, A basis for polynomial solutions for systems of linear constant coeffi-
cient PDE’s // Adv. Math., 117 (1996), 157–163.
[17] O. Malanchuk, Z. Nytrebych, Homogeneous two-point problem for PDE of the
second order in time variable and infinite order in spatial variables // Open
Math., (2017), No. 15, 101–110.
[18] Z. Nytrebych, O. Malanchuk, V. Il’kiv, P. Pukach, Homogeneous problem with two-
point in time conditions for some equations of mathematical physics // Azerb. J.
of Math., 7 (2017), No. 2, 176–191.
[19] Z. Nytrebych, V. Il’kiv, P. Pukach, O. Malanchuk, On Nontrivial Solutions of
Homogeneous Dirichlet Problem for Partial Differential Equations in a Layer //
Krag. J. of Math., 42 (2018), No. 2, 193–207.
[20] Z. Nytrebych, O. Malanchuk, V. Il’kiv, P. Pukach, On the solvability of two-point
in time problem for PDE // Italian J. of Pure and Appl. Math., (2017), No. 38,
715–726.
[21] П. I. Каленюк, З. М. Нитребич, Узагальнена схема вiдокремлення змiнних.
Диференцiально-символьний метод, Львiв: Вид-во Нац. ун-ту „Львiвська по-
лiтехнiка“, 2002.
[22] P. I. Kalenyuk, I. V. Kohut, Z. M. Nytrebych, Problem with integral condition
for partial differential equation of the first order with respect to time // J. Math.
Sci., 181 (2012), Iss. 3, 293–304.
[23] Z. M. Nitrebich, An operator method of solving the Cauchy problem for a
homogeneous system of partial differential equations // J. Math. Sci., 81 (1996),
Iss. 6, 3034–3038.
[24] Z. Nytrebych, O. Malanchuk, The differential-symbol method of solving the two-
point problem with respect to time for a partial differential equation // J. Math.
Sci., 224 (2017), Iss. 4, 541–554.
[25] A. Kampf, D. M. Jackson, A. H. Morales, New Dirac delta function based methods
with applications to perturbative expansions in quantum // J. Phys. Math. Theor.,
47 (2014), No. 41, 415204.
[26] A. Kampf, D. M. Jackson, A. H. Morales, How to (Parth–) Integrate by Differenti-
ating // J. Phys.: Conf. Ser., 626 (2015), No. 626012015.
236 Диференцiально-символьний метод...
Вiдомостi про авторiв
Зiновiй
Миколайович
Нитребич
Нацiональний унiверситет
“Львiвська полiтехнiка”
Львiв, Україна
E-Mail: znytrebych@gmail.com
Володимир
Степанович Iлькiв
Нацiональний унiверситет
“Львiвська полiтехнiка”
Львiв, Україна
E-Mail: iilkiv@i.ua
Петро
Ярославович
Пукач
Нацiональний унiверситет
“Львiвська полiтехнiка”
Львiв, Україна
E-Mail: ppukach@gmail.com
Оксана
Михайлiвна
Маланчук
Львiвський нацiональний медичний
унiверситет iм. Д. Галицького
Львiв, Україна
E-Mail: Oksana.Malan@gmail.com
CoverUMB_V15_N2.pdf
Страница 1
Страница 2
|